第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

§1 矩阵的初等变换

定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换：

1． 互换两行（记 i jr r ）；

2． 以数 k 0k 乘以某一行（记 ir k ）；

3． 把某一行的 k倍加到另一行上（记 i jr kr ）。

“ ” “ ”若将定义中的 行 换成 列 ，则称之为初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。

定义 若矩阵 A经有限次初等行变换变成矩阵B，则称 A与B行等价，记 ~r

A B；

若矩阵 A经有限次初等列变换变成矩阵B，则称 A与B列等价，记 ~c

A B；

若矩阵 A经有限次初等变换变成矩阵B，则称 A与B等价，记 ~A B。

等价关系满足：

1． 反身性： ~A A；

2． 对称性： ~ ~A B B A；

3． 传递性： ~ , ~ ~A B B C A C。

例 用初等行变换解线性方程组：

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 2

2 4

4 6 2 2 4

3 6 9 7 9

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

解

2 1 1 1 2

1 1 2 1 4,

4 6 2 2 4

3 6 9 7 9

B A b （称B是该线性方程组的增广矩阵）

2 3

3 11 2

4 13

2

1 32

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4

2 1 1 1 2 0 2 2 2 0

2 3 1 1 2 0 5 5 3 6

3 6 9 7 9 0 3 3 4 3

~ ~r rr rr r

r rr

2

3 2

4 2

152

3

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4

0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

0 5 5 3 6 0 0 0 2 6

0 3 3 4 3 0 0 0 1 3

~ ~r r r

r r

3 4 4 32

1

1 1 2 1 4 1 1 2 1 4

0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

0 0 0 1 3 0 0 0 1 3

0 0 0 2 6 0 0 0 0 0

~ ~r r r r

B ,（ 1B 称为行阶梯形矩阵）

2 3 1 2

1 3

1 2

1 1 2 0 7 1 0 1 0 4

0 1 1 0 3 0 1 1 0 3

0 0 0 1 3 0 0 0 1 3

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

~ ~r r r r

r r

B B ，（ 2B 称为行最简形矩阵）

2B 对应的线性方程组为

1 3

2 3

4

4

3

3

x x

x x

x

取 3x c ，则

1

2

3

4

4

3

3

x c

x c

x c

x

即

1

2

3

4

4 1 4

3 1 3

0 1 0

0 3 0 3

x c

x cc

x c

x

对m n 矩阵 A，总能经若干次初等行变换和初等列变换变成如下形式

~ r

E OA

O O， （称之为标准形）。

§2 初等矩阵

定义 单位阵E经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有如下形式：

1．

1

0 1

~ ,

1 0

1

i j

i j

r r

c ci j

E E

或

2．

1

~

1

i

i

r k

c ki kk

E E

或

3．

1

1

~ ,

1

1

i j

j i

r kr

c kc

k

i j k

E E

或

上述 , , , ,i j i k i j kE E E 就是三种初等矩阵。

定理 1 设 A为m n 矩阵，对 A作一次初等行变换，相当于 A左乘以一个相应的初等矩阵，对 A作一次初等列变换，相当于 A右乘以一个相应的初等矩阵，即

1． ~ ,i jr r

i j

A B E A， ~ ,i jc c

i j

A B AE ；

2． ~ir k

i k

A B E A， ~ic k

i k

A B AE ；

3． ~ ,i jr kr

i j k

A B E A， ~ ,i jc kc

j i k

A B AE 。

所有初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆阵也是初等矩阵：

1, ,i j i j

E E ， 1 1i k i

k

E E ， 1

, ,i j k i j k

E E

定理 2 设 A是可逆方阵，则存在有限个初等矩阵 1 2, , , lP P P ，使得

1 2 lA PP P

证：A可逆，则 A经有限次初等变换可变成单位阵 E，即 ~r

A E，同样 ~r

E A，即单位阵

E经有限次初等变换也可变成 A，所以存在有限个初等矩阵 1, , sP P 和 1, ,s lP P ，使得

1 1s s l P P EP P A

即

1 2 lA PP P

推论 m n 矩阵 ~A B 存在m阶可逆阵 P 和 n阶可逆阵Q，使得 PAQ B。

利用初等行变换求可逆阵的逆阵的方法：

设 A是 n阶可逆矩阵，则有有限个初等矩阵 1 2, , , lP P P ，使得

1 2 lA PP P

故 1 1 12 1l

P P P A E

而 1 1 1 12 1l

A P P P

即 1 1 1 12 1l

P P P E A

所以由 1 1 12 1l

P P P A E 和 1 1 1 12 1l

P P P E A 可得

1 1 1 12 1 , ,l

P P P A E E A

即

1, ~ ,r

A E E A

上式表明只要对 ,A E 作初等行变换，使得 ,A E 的左边 A变成 E，则右边 E就变成

1A 。

例 设

1 2 3

2 2 1

3 4 3

A ，求 1A 。

解 对 ,A E 作初等行变换：

2 1

3 1

2

3

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0

, 2 2 1 0 1 0 ~ 0 2 5 2 1 0

3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1

r r

r r

A E

1 31 2

3 2 2 3

2

5

1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2

~ 0 2 5 2 1 0 ~ 0 2 0 3 6 5

0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

r rr r

r r r r

2

3

1

2

1

1 0 0 1 3 2

3 5~ 0 1 0 3

2 2

0 0 1 1 1 1

r

r

所以 1

1 3 2

3 53

2 21 1 1

A 。

§3 矩阵的秩

定义 在m n 矩阵 A中，任取 k行 k列的元素，按原排列组成的 k阶行列式，称之为 A的k阶子式。

若m n 矩阵 A中有一个 r阶子式 0D ，并且所有的 1r 阶子式全为零，则称D为

A的最高阶非零子式， r称为 A的秩，记 r R A 。

例 在

2 1 1 2

1 1 1 2

2 4 4 0

A 中，一个 2阶子式2 1

1 01 1

，所有 3阶子式均为零：

2 1 1

1 1 1 0

2 4 4

，

2 1 2

1 1 2 0

2 4 0

，

1 1 2

1 1 2 0

4 4 0

，

2 1 2

1 1 2 0

2 4 0

故 2R A 。

特别，当 n阶方阵 A的行列式 0A ，则 R nA ；反之，当n阶方阵 A的秩 R nA ，

则 0A 。因此 n阶方阵可逆的充分必要条件是 R nA （满秩）。

定理 若 ~A B，则 R RA B 。

例 求

3 2 0 5 0

3 2 3 6 1

2 0 1 5 3

1 6 4 1 4

A 的秩，以及一个最高阶非零子式。

解 用初等行变换化 A为行阶梯形矩阵：

1 6 4 1 4

0 4 3 1 1~

0 0 0 4 8

0 0 0 0 0

r

A B

所以， 3R A ，

3 2 5

3 2 6 16

2 0 5

是 A的一个最高阶非零子式。

§4 线性方程组的解

定理 n元线性方程组 Ax b

1． 无解 ,R RA A b

2． 有唯一解 ,R R n A A b

3． 有无穷多解 ,R R n A A b

证 设 R rA ，为讨论方便，不妨设增广矩阵经若干次初等行变换变成如下行最简形矩

阵

11 1, 1

21 2, 2

1 ,

1

1 0 0

0 1 0

0 0 1, ~

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

n r

n r

rr r n r r

r

b b d

b b d

b b d

d

B A b

1． ,R RA A b ，则 1 1rd ，上述矩阵的第 r+1行对应矛盾方程0 1 ，故方程组无解。

2． ,R R n A A b ，则上述行最简形矩阵为

1

2

1

1

1 n

d

d

d

对应的方程组是

1 1

2 2

n n

x d

x d

x d

， 即表示方程组有唯一解。

3． ,R R n A A b ，则 1 0rd ，对应的方程组可表示为

1 11 1 1, 1

2 21 1 2, 2

1 1 ,

r n r n

r n r n

r r r r n r n r

x b x b x d

x b x b x d

x b x b x d

令 1 1, ,r n n rx c x c ，则解得方程组含 n r 个参数的解：

11 1 1, 11

1 1 ,

11

n r n r

r r n r n r rr

r

n rn

b c b c dx

b c b c dx

cx

cx

即

1,1 11 1

,11

1 01 0

11 0

n r

r n rr r rn r

r

n

bx b d

bx b dc c

x

x

由于参数可任取，故方程组有无穷多个解。

例 设线性方程组

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 0

1 3

1

x x x

x x x

x x x

问取何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。

解

1 1 1 0 1 1 1

1 1 1 3 ~ 0 3

1 1 1 0 0 3 1 3

r

1． 0, 3 时， 3R R A B ，方程组有唯一解；

2． 0 时， 1, 2R R A B ，方程组无解；

3． 3 时， 2R R A B ，方程组有无穷多解，并且通解为

1

2

3

1 1

1 2

1 0

x

x c

x

一些推广：

1． 矩阵方程 AX B有解 ,R RA A B 。

2． AB C ，则 min{ , }R R RC A B 。

3． 矩阵方程 m n n l A X O只有零解 0R A 。