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Unidad 3Formulacin de problemas de programacin lineal

L para representar, buscar lanalizar problemas de optimizacin; esto es, maximizar o minimizar algn objetivoestos problemas hay que decidir cmo realizar diversas acciones o productos que cpiten por recursos limitados o escasos. Para utilizar este modelo es necesario que tael objetivo como las restricciones que representan las distintas condiciones del probma se puedan formular con funciones lineales.

La gran ventaja del modelo de la programacin lineal (PL) dentro de la investigacde operaciones es que se trata de una estructura general que puede servir para represtar de manera apropiada aplicaciones de campos muy diversos con un mtodo o varmtodos de solucin sencillos, que, por sus caractersticas, es fcilmente programab

La PL ha sido utilizada con xito en problemas reales de planeacin de produccicampaas publicitarias, carteras nancieras, para establecer turnos de personal, rezar mezclas de productos, o bien para los problemas clsicos de transporte, de ruta mcorta, asignacin, ujo mximo e inventarios. A continuacin se presentar una sede ejemplos de problemas tpicos que por supuesto no intenta ser exhaustiva, peropretende ayudar en este paso que suele ser muy difcil para los estudiantes: la formucin del modelo matemtico a partir de un problema real, expresado en el lenguacoloquial.

Los problemas abarcan una gran cantidad de temticas: problemas de producciadministracin y nanzas, de administracin pblica y para la toma de decisiones las polticas pblicas; problemas ecolgicos, sanitarios y de medio ambiente. En alnos casos el objetivo es fcilmente cuanticable, como obtener la mxima utilidadotros, especialmente cuando el objetivo es la salud o el bienestar social, no es tan scillo medirlo, y deber analizarse cuidadosamente cmo plantear tales objetivos.

Pero sin importar el tipo de problema, para su formulacin, en particular en los dPL, el paso fundamental es la denicin de lasvariables ; se trata de aquello que necesi-tamos decidir: qu y cunto hacer de las diversas acciones o productos que constitulas incgnitas del problema.

El siguiente paso es denir el objetivo del problema. En los modelos de PL siemse querr optimizar, esto es, minimizar o maximizar la funcin objetivo (FO) que estar

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Hay una serie derestricciones para la produccin: el departamento de electrnica dela planta de Chihuahua dispone de 3 000 horas mensuales que puede ocupar en produ-cir la parte electrnica de ambos tipos de televisores, requiriendo 2.25 y 2 horas paracada televisor de 24 y 50, respectivamente, por lo tanto:

2.25x 3 + 2x 4 3 000 horas

En el departamento donde se ensamblan estos televisores se cuenta con 3 250 horas:

2.5x 3 + 2.75x 4 3 250 horas

En la planta de Tijuana se cuenta con 5 000 horas para la produccin de las panta-llas de cristal lquido tanto de 20 como de 24, por lo tanto:

3.5x 1 + 3.8x 2 5 000 horas

Todos los equipos deben ser sometidos a pruebas de calidad, y este departamentocuenta con 3 200 horas al mes. Aqu se nos indica la cantidad de equipos que puedenser revisados en una hora; por ejemplo, nos dicen que en una hora se revisan 3 pantallas

de 20; esto quiere decir que se requieren 20 minutos o 1/3 de hora para cada pan-talla; lo mismo habra que hacer para los dems equipos. Esta restriccin se puede es-cribir de dos manera: en horas o en minutos, por lo tanto:

1/3x 1 + 1/2.5x 2 + 1/1.5x 3 + 1/2x 4 3 200 horas

O en minutos:

20 x 1 + 24 x 2 + 40 x 3 + 30 x 4 192 000 minutos

Ambas ecuaciones son equivalentes.Por ltimo para el empaque se cuenta con 800 horas, por lo tanto:

1/6x 1 + 1/5x 2 + 1/5x 3 + 1/3x 4 800 horas

Falta agregar las restricciones impuestas por el departamento de mercadotecnia:x 1, x 2, x 3, x 4 100 equipos

El modelo del problema queda entonces as:

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FORMULACIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL

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Mx U = 850x 1 + 925x 2 + 800x 3 + 1 200x 4 s.a.

2.25x 3 + 2x 4 3 000 horas2.5x 3 + 2.75x 4 3 250 horas

3.5x 1 + 3.8x 2 5 000 horas 1/3x 1 + 1/2.5x 2 + 1/1.5x 3 + 1/2x 4 3 200 horas

1/6x 1 + 1/5x 2 + 1/5x 3 + 1/3x 4 800 horas x 1 100

x 2 100x 3 100x 4 100

La solucin de este sistema ser la cantidad de equipos que se deben fabricar pque se maximice la utilidad mensual de la empresa.

Problemas de planeacin de campaas en medios de comunicacin

Se trata de problemas en los que con un presupuesto limitado se quiere incidir en opinin del mayor nmero de personas utilizando diferentes medios de comunicaciComo no es posible tratar de llegar al mayor nmero con el menor presupuesto, eestos problemas se plantea cubrir al menos cierta cantidad de poblacin con el mencosto posible. Para presentar este problema se utilizar una variante de un problemvisto en la unidad 1.

Ejemplo 3.2

Una cadena de supermercados se va a instalar en un municipio que ya cuenta con ottiendas similares, por lo que ha decidido realizar una campaa publicitaria agresivmes anterior a la inauguracin. Tiene tres alternativas: anuncios en la televisin, anucios en la radio local y folletos para entregar a domicilio. La experiencia obtenidalocalidades similares le indica que con cada anuncio en la televisin su mensaje lle500 personas, cada anuncio en la radio llega a 320 y de cada 1 000 folletos repartid320 sern ledos por las personas. La poblacin es de 260 000 habitantes, y la pretenses llegar a por lo menos 25% minimizando los costos de la campaa y utilizando esmedios. El costo del millar de folletos, es de $400 siempre que el pedido sea por m10 millares de folletos y el costo de los anuncios en televisin es de $2 000 cada anunsi contrata al menos 20 anuncios mensuales; los anuncios en la radio cuestan $1 300ofrecen un paquete mnimo de un anuncio diario durante una semana. Se ha decididutilizar los tres medios ya que llegan a pblicos diferentes y slo se cuenta con $75 0

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En este problema hay que decidir cuntos anuncios de cada tipo contratar, con larestriccin de que se quiere usar los 3 medios. Por lo tanto, las variables de decisin sonstas:

TV: nmero de anuncios en la televisin (al menos 20)R: nmero de anuncios en la radioF: cantidad de folletos a repartir (F = 1 equivale a 1 000 folletos)

La FO es minimizar el costo de la campaa Mn costo = 2 000 TV + 1 300 R + 400 F

Se quiere llegar por lo menos a 25% de la poblacin de 260 000 habitantes:

500 TV + 320 R + 320 F 65 000El presupuesto mximo es de $ 75 000:

2 000 TV + 1300 R + 400 F 75 000

adems: TV 20 R 7 F 10

El modelo entonces queda as:Mn costo = 2 000 TV + 1 300 R + 400 Fs.a.500 TV + 320 R + 320 F 65 0002 000 TV + 1 300 R + 400 F 75 000

TV 20 R 7 F 10

La solucin de este sistema ser la mejor manera de realizar la campaa que cumplacon los requisitos planteados.

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Problemas de planeacin de carteras nancieras

Se trata de cmo invertir una cantidad de dinero en varias opciones nancieras conobjeto de obtener el mximo rendimiento esperado, pero ajustndose a restriccionque moderen el riesgo y permitan tener la liquidez requerida por el inversor.

Ejemplo 3.3

El seor Montao Garca recibe en diciembre la cantidad de $220 000 en concepto daguinaldo, vacaciones y comisiones. Como no necesita utilizar ese dinero inmediamente, consulta a un asesor nanciero para analizar las distintas posibilidades paraplan de inversin anual. Esta persona sabe que a mitad de ao, en julio necesita$45 000 para saldar una deuda; adems quisiera disponer, para cualquier emergencde al menos 15% de este dinero.

El asesor le sugiere repartir el dinero en varias alternativas:1) en este momento pa-rece atractivo comprar dlares ya que estn a $13.5 y se espera que para n de alleguen a $15, pero debido a lo riesgoso sugiere que no se invierta ms que 1/3 del nero; 2) debido a la competencia que hay entre los bancos, Banorte est ofreciend6.8% si se depositan ms de $80 000 en pagars a 28 das, pero se deben dejar duran6 meses; esta inversin permitira retirar el dinero que necesita a mitad de ao; 3) elfondo de inversin Banefo ofrece un rendimiento esperado de 7.8%, aunque depende la tasa de los Cetes y por lo tanto tambin presenta riesgo, por lo que le sugiere invertir ms de la mitad de lo que invierta en pagars;4) para poder tener dinero dis-ponible, debe dejar cierta cantidad en una cuenta corriente cuyo rendimiento es d1.2 por ciento.

Se trata de ayudar al seor Montao a decidir cmo debe invertir su dinero en estcuatro opciones. Las variables de decisin sern stas:

D: cantidad de dinero a invertir en dlaresP: cantidad de dinero a invertir en pagars, de donde retirar $45 000 a los 6 mesF: cantidad de dinero a invertir en el fondo BanefoC: cantidad de dinero que se dejar en la cuenta corriente

El objetivo es maximizar el rendimiento. Si el dlar sube como se espera, la tasainters equivalente ser de (1.5)/(13.5) = 11.11%, superior a todas las dems. La Fentonces ser:

Mx R = 0.111 D + 0.034 P + 0.034 (P-45 000)+ 0.078 F + 0.012 C

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Pero por cuestiones de riesgo no se debe invertir ms que la tercera parte en dlares:

D (1/3) 220 000

Para que Banorte d la tasa de inters de 6.8% es necesario invertir al menos $80 000pero como a mitad de ao se retirarn $45 000, para que no baje la tasa debern ser:

P 125 000

En cuanto a los fondos, debido a que son de inters variable tambin le recomendmesura:

F 1/2 P

Y para emergencias quiere disponer de 15% de su dinero:

C (0.15) 220 000

La suma de sus inversiones no puede exceder su capital, por lo que:

D + P + F + C 220 000

El modelo de PL de esta situacin queda as:

Mx R = 0.111 D + 0.034 P + 0.034 (P-45 000)+ 0.078 F + 0.012 Cs.a. D 73 333

P 125 000 F (0.5) P 0 C 33 000

D + P + F + C 220 000 D, P, F, C 0

La solucin de este sistema ser la cantidad de dinero que debe invertirse en cada

una de las cuatro opciones para maximizar el rendimiento y conocer el rendimientoesperado.

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Problema de dietas

El problema de las dietas se presenta cuando en una institucin como una escuela o hospital debe disear una dieta que cumpla con ciertos requisitos mnimos de nutrietes, pero tratando de obtener el menor costo. El mismo tipo de problema sirve parrealizar dietas para adelgazar, por ejemplo, donde lo que se pretende es minimizar caloras, o para las granjas donde se debe alimentar animales utilizando aquellos pductos que ofrezcan los nutrientes necesarios al menor precio. A continuacin se dacaso especco.

Ejemplo 3.4

Se necesita disear una dieta para estudiantes al menor costo posible pero satisfaciesus necesidades bsicas de 2 400 kcal diarias y de no menos de 1 000 g de comida;necesidades bsicas tambin incluyen 2 l de agua, aunque el lquido no debe necesamente provenir de los alimentos, y cantidades especcas de protenas, grasas y carhidratos. En el cuadro se indican las caractersticas de cada tipo de alimento por porcde 100 g y los requerimientos diarios mnimos promedio para cada estudiante. La dta debe tambin incluir al menos 1 huevo, 200 g de vegetales y 100 g de leche o que

Cuadro 3.3

Alimento kcal Agua ml Protenas

(g)Grasas

(g)Carbohidratos

(g)Precio($/kg)

Pan 245 38 8 1.4 52 20Huevos (2) 150 66 11 11 1 25 Arroz 110 72 2 0.2 23 15Pollo 250 55 30 4 0 42Leche 66 90 3.6 3.6 4.8 10Frijoles 110 67 6 1 21 12Queso 250 50 20 15 0 55Vegetales 35 80 2 0 18 13

Req. mnimo 2 400 2 litros 100 50 375

Variables de decisin. Es necesario saber cuntos gramos o porciones de cada alimen-to debe incluir la dieta. Debido a que la dieta se debe armar con los ocho alimentdisponibles, el problema tiene ocho variables. Es conveniente expresar la dieta en pciones de 100 g ya que toda la informacin est dada por porcin.

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x 1: nmero de porciones de panx 2: nmero de porciones de huevox 3: nmero de porciones de arrozx 4: nmero de porciones de pollox 5: nmero de porciones de lechex 6: nmero de porciones de frijolesx 7: nmero de porciones de quesox 8: nmero de porciones de vegetales

Elobjetivoes minimizar el costo. Como el precio est dado por kilogramos, y lasporciones son de 100 gramos, es necesario que los coecientes de la FO sean calculadospreviamente:

Mn C = 2x 1 + 2.5x 2 + 1.5x 3 + 4.2x 4 + 1x 5 + 1.2x 6 + 5.5x 7 + 1.3x 8

Las restricciones de esta dieta son cubrir cierta cantidad de caloras y una mnima degramos de alimento, y cubrir las necesidades de protenas, grasas y carbohidratos quenecesita un estudiante para sus actividades normales. Ntese que no es necesario agre-gar una restriccin respecto a la necesidad de agua de los individuos ya que este reque-rimiento no debe ser satisfecho con los alimentos solamente, sino que se complementacon las bebidas. Las ecuaciones de las restricciones son las siguientes:

Caloras (kcal):245x 1 +150x 2 + 110x 3 + 250x 4 + 66x 5 + 110x 6 + 250x 7 + 35x 8 2 400

Cantidad de comida en peso (1 000 g = 10 porciones):x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 10Protenas ( g ):

8x 1 + 11x 2 + 2x 3 + 30x 4 + 3.6x 5 + 6x 6 + 20x 7 + 2x 8 100Grasas ( g ):

1.4x 1 + 11x 2 + 0.2x 3 + 4x 4 + 3.6x 5 + 1x 6 + 15x 7 50Carbohidratos ( g ):

52x 1 + 1x 2 + 23x 3 + 4.8x 5 + 21x 6 + 18x 8 375Huevo (porciones):

x 2 0.5Vegetales (porciones):

x 8 2Lcteos (porciones):

x 5 + x 7 1

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Como no puede haber cantidades negativas de alimentos, hay que agregar lasres-tricciones de no negatividad ; el modelo entonces queda as:

Mn Costo = 2x 1 + 2.5x 2 + 1.5x 3 + 4.2x 4 + x 5 + 1.2x 6 + 5.5x 7 + 1.3x 8 s.a. 245x 1 + 150x 2 + 110x 3+ 250x 4 + 66x 5 + 110x 6+ 250x 7+ 35x 8 2 400

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 108x 1 + 11x 2 + 2x 3 + 30x 4 + 3.6x 5 + 6x 6 + 20x 7 + 2x 8 1001.4x 1 + 11x 2 + 0.2x 3 + 4x 4 + 3.6x 5 + 1x 6 + 15x 7 5052x 1 + 1x 2 + 23x 3 + 4.8x 5 + 21x 6 + 18x 8 375x 2 0.5x 8 2x 5 + x 7 1x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 0

Problema de mezclas

Los problemas de mezclas se dan cuando para la elaboracin de un producto, o varise utiliza una serie de componentes o ingredientes en determinada proporcin para dlas caractersticas especcas a cada producto o mezcla. Por ejemplo, se utilizan ditas variedades de granos de caf para lograr el grado de acidez, aroma y textura dedos; se mezclan semillas como cacahuate, pepitas, nueces, pin, etctera para vendeen empaques individuales; lo mismo ocurre cuando se produce acero en un horno dfundicin a partir de hierro y otros metales que le darn las caractersticas buscadsegn el tipo de uso para el que va a ser destinado dicho acero. Otro uso frecuenteel diseo de dietas para animales a partir de ingredientes que puedan satisfacer losquerimientos nutricionales; este caso puede verse como el problema de dietas ya trado. Se pueden encontrar ejemplos en la industria qumica, la petroqumica o en la cosmticos.

En todos estos problemas, el tomador de decisiones quiere minimizar el costo dproducir la mezcla que satisfaga los requerimientos impuestos, para lo cual debe indla proporcin de los distintos ingredientes que incluir en la mezcla.

Ejemplo 3.5

En el estado de Veracruz se ha instalado una cooperativa de pequeos productores caf para evitar venderlo a precios por debajo de los costos a los grandes acaparadinternacionales. En ella se realizar la compra del caf en cereza a los productores, evado, separacin, secado y tostado para posteriormente molerlo, empacarlo y vender

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Se ha pensado en vender dos estilos de caf: gourmet yamericanoya que son los msconsumidos en el mercado nacional. Aunque los gustos del consumidor nacional estncambiando, actualmente la demanda de caf estilo americano es mayor que la demandadel estilo gourmet . En el cuadro 3.4 se indican los precios que pagar la cooperativa porla tonelada de caf en cereza:

Cuadro 3.4

Variedades Precio $/t Robusta 3 750 Arbica borbn 4 450 Arbica caturra 4 100No especicado 2 800

Debido a las diferentes caractersticas de cada especie de caf, se necesita mezclarlasen diferentes proporciones para obtener las mezclas apropiadas para los estilos gourmet y americano. La variedad arbica tiene un sabor delicado, aroma intenso y mayor can-tidad de cafena; la planta requiere de cuidados y de la sombra de grandes rboles,mientras que la variedad robusta, como su nombre lo indica, es ms resistente, es unaplanta de mayor tamao y rendimiento, de sabor ms fuerte.

Entre los productores hay un grupo de la sierra de Zongolica que es de origen n-huatl y que estn comenzando con la explotacin de caf, pero este ao tendrn unaproduccin de no muy buena calidad. Aun as la cooperativa se ha comprometido aque al menos 10% del volumen que se procese provenga de esta regin.

En el cuadro 3.5 se especican los requerimientos que debe cumplir cada uno de losestilos de caf.

Cuadro 3.5

Americano Gourmet Robusta menos de 30% menos de 8% Arbica borbn ms de 15% ms de 25%

menos de 55% Arbica caturra ms de 25% ms de 25%

menos de 80% menos de 65%Revuelto menos de 25% menos de 12%

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Es necesario establecer la cantidad o el porcentaje de cada tipo de grano con querealizar la mezcla para cada uno de los estilos de caf. El porcentaje de cada ingredte de la mezcla para obtener el costo mnimo es independiente de la cantidad, ya sque se trate de producir un kilogramo o una tonelada o cualquier otra cantidad. Aspara denir las variables se puede establecer lo siguiente:

x ij: cantidad del ingredientei a utilizar en 1 kg de la mezcla j , expresada en kg

con i = 1,...4 y j = 1, 2, donde:i = 1 robusta, j = 1 americano,i = 2 borbn, j = 2 gourmet i = 3 caturra,i = 4 revuelto,

En este caso empezaremos por plantear las restricciones. Consideremos la restrcin que dice que el caf estilo americano no debe contener ms que 30% de grano tipo robusta. La cantidad de robusta en 1 kg de caf americano es x 11 y sabemos quedebe ser menor o igual a 30% del total de la mezcla.

x 11 0.30 total de la mezcla

Tambin sabemos que el total de la mezcla de caf americano debe estar formapor la suma de cada uno de los cuatro ingredientes:

x 11 0.3 (x 11 + x 21+ x 31+ x 41)

Esta ecuacin se puede rescribir como

0.7 x 11 0.3 x 21 0.3 x 31 0.3 x 41 0

De la misma manera se pueden escribir el resto de las restricciones.Para el caf estilo americano

x 21

0.15 (x 11

+ x 21

+ x

31+ x

41) (mnimo de borbn)

x 21 0.55 (x 11 + x 21+ x 31+ x 41) (mximo de borbn)x 31 0.25 (x 11 + x 21+ x 31+ x 41) (mnimo de caturra)x 31 0.80 (x 11 + x 21+ x 31+ x 41) (mximo de caturra)x 41 0.25 (x 11 + x 21+ x 31+ x 41) (mximo revuelto)

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x 11 + x 21+ x 31+ x 41= 1x 12+ x 22+ x 32+ x 42= 1-0.1x 11 -0.1x 21-0.1x 31+ 0.9x 41 -0.1x 12-0.1x 22-0.1x 32+ 0.9x 42 0 x 11,x 21,x 31,x 41,x 12,x 22, x 32,x 42 0

Los problemas de mezclas suelen tener variantes; por ejemplo, puede ser que se tga una oferta determinada de cada uno de los ingredientes, incluso puede estar especada cierta demanda para cada uno de los productos resultantes. En esos casoconvendr denir las variables como la cantidad del ingrediente (i) que se utilizar pla mezcla (j). Adems habr que escribir las ecuaciones de oferta y demanda para cuna de las restricciones que especique el problema. Por ejemplo, si se nos explicique la demanda es de cinco toneladas de mezcla para caf americano y dos tonelapara caf gourmet , con slo variar las restricciones que indican el total se obtendra lamezcla ms adecuada para la nueva condicin:

x 11 + x 21+ x 31+ x 41= 5x 12+ x 22+ x 32+ x 42= 2

Si hubiera restricciones en la disponibilidad de alguno de los ingredientes, pejemplo, se dispone slo de diez toneladas de granos de caf Borbn, habra que delas variables en toneladas y agregar

x 21+ x 22 10

El resultado indicara cuanto de cada grano mezclar pero expresado en toneladas

Problemas de asignacin de turnos de personal

Estos problemas se presentan en los casos en que hay que cubrir diferentes requemientos de personal a lo largo del da o de la semana, como seran los cajeros de supermercado o de un banco, los meseros, los turnos de vigilancia en edicios, etctUna condicin implcita en estos problemas es que todos los empleados ganan lo mmo, y lo que se intenta es minimizar el nmero de personas necesarias para satisfalas necesidades. El siguiente ejemplo presenta este tipo de problema.

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Ejemplo 3.6

Se quieren reorganizar los turnos de las enfermeras de un hospital general que da aten-cin a una ciudad de medio milln de habitantes. Las enfermeras trabajan turnos de 8

horas continuas, con excepcin del turno nocturno de 12 horas (de 8 pm a 8 am). Hay4 turnos diurnos que comienzan a las 6 am, 10 am, 2 pm y 6 pm. El nmero de enfer-meras necesarias vara segn las distintas tareas que deben realizarse como baar a lospacientes, darles de comer, asistir a los mdicos en las consultas, realizar curaciones,etctera. La administracin del hospital indica que el nmero de enfermeras mnimonecesario es el siguiente:

Cuadro 3.6

Intervalo Nmero mnimo de enfermeras

6 a 8 308 a 10 22

10 a 14 2614 a 16 1716 a 20 2020 a 22 1522 a 6 12

Para resolver este problema es importante entender cul es la decisin que han detomar las autoridades del hospital. Como existen cuatro turnos diurnos y uno noctur-no, es necesario decidir cuntas personas trabajarn en cada uno de los turnos, por loque se tienen cinco variables de decisin:

x 1: cantidad de enfermeras en el turno de 6 a 14x 2: cantidad de enfermeras en el turno de 10 a 18x 3: cantidad de enfermeras en el turno de 14 a 22x 4: cantidad de enfermeras en el turno de 18 a 2x 5: cantidad de enfermeras en el turno de 20 a 8

y por supuesto el objetivo es tener la menor cantidad de enfermeras pero que cubranlos requerimientos de personal para cada uno de los intervalos en que se conoce lademanda.

Mn x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5

Para plantear las restricciones hay que garantizar que se cumpla con el nmero m-nimo necesario de enfermeras en cada intervalo. Por ejemplo, se sabe que entre las 6 y

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las 8 am se requieren de al menos 30 enfermeras; durante esas horas estarn las enmeras del turno de la noche ya que su hora de salida es a las 8 am; adems estarn que entran a las 6 am de la maana. Esto se puede representar as:

x 1 + x 5 30

En el intervalo de las 8 am a las 10 am se requieren 22 enfermeras. Dado que lnicas que trabajan en ese horario son las del primer turno de la maana, las que entra las 6 am, pues las del turno nocturno acaban de salir, entonces:

x 1 22

Habr que seguir analizando cada uno de los intervalos, observando cules turncubren dicho intervalo, y escribir las ecuaciones correspondientes. Para visualizar meste tipo de problemas se puede utilizar una representacin de tipo matricial, en lque, por un lado, se ponen los turnos y, por el otro, los intervalos en los cuales debcumplirse ciertas restricciones. El cuadro 3.7 es la representacin de la matriz de eproblema.

El primer rengln que corresponde al intervalo de 6 a 8 am muestra cuales son lturnos que cubren ese intervalo. Como el primer turno tiene x 1 enfermeras y el turnonocturno x 5, la suma de ambas deber ser al menos igual a las 30 enfermeras que srequieren. Para el turno de 8 a 10 am solamente trabajan las del primer turno, mientrque entre las 10 am y las 2 pm se dispondr del personal que entr a las 6 am, as codel que lo hizo a las 10 am.

Cuadro 3.7

Intervalos Subintervalos X 1

6 a 14 X 2

10 a 18 X 3

14 a 22 X 4

18 a 2 X 5

20 a 8

Nmeromnimo deenfermeras

06 a 08 3008 a 10 2210 a 14 26

14 a 16 1716 a 20 16-18 20

18-20 2020 a 22 1522 a 06 22-02 12

02-06 12

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El cuadro 3.7 permite ver quines estn trabajando simultneamente en cada inter-valo, lo que facilita la construccin de las ecuaciones.

Es importante notar que los intervalos en que se tienen determinados requisitos notienen por qu coincidir con los turnos de los trabajadores; esto se puede observar conla restriccin en que se especica que entre las 16 y las 20 horas se necesitan 20 enfer-meras. Al observar los horarios de inicio y n de cada turno, se identica un turno quecomienza dentro de dicho intervalo, por lo que durante esas cuatro horas del intervalono se contar con las mismas enfermeras, razn por la cual fue necesario dividir el in-tervalo en dos subintervalos, pero asegurndonos de que en ambos existiera el mnimode personal requerido para efectuar las labores. Se sugiere al alumno analizar qu ocurredurante el intervalo de 10 pm a 6 am.

El problema queda modelado por el siguiente conjunto de ecuaciones:

Mn x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5

s. a. x 1 + x 5 30x 1 22

x 1 + x 2 26 x 2 + x 3 17 x 2 + x 3 20 x 3 + x 4 20 x 3 + x 4 + x 5 15 x 4 + x 5 12 x 5 12 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

El modelo encontrado tiene 9 restricciones estructurales y las condiciones de nonegatividad. Sin embargo, si se revisan podemos notar que la cuarta y quinta restriccio-nes tienen la misma expresin del lado izquierdo; asimismo, mientras que en la cuartase pide que haya por lo menos 17 enfermeras, en la quinta se exige que al menos sean20, por lo que la primera de estas ecuaciones resulta una condicin redundante y porlo tanto puede quitarse del modelo sin afectar la solucin.

Como ejercicio, vamos a buscar una solucin posible que cumpla con los requeri-mientos mnimos, aunque no necesariamente sea la ptima. Empezaremos por aque-llos turnos para los que hay lmites mnimos establecidos. En el turno de la noche debehaber al menos 12 personas, por lo tanto proponemos x 5 = 12; adems como de 8 a 10am solamente est el personal que inicia su turno a las 6 am, se requiere que al menosx 1 = 22. Con eso queda satisfecha la necesidad de contar con 30 personas de 6 a 8 am,ya que habr 34. Desde las 10 am a las 2 pm se necesitan 26 enfermeras y ya se cuentacon 22, por lo que x 2 = 4, pero como luego se necesita que x 2 + x 3 20, entonces x 3 = 16.

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En el intervalo siguiente, de las 6 pm a las 8 pm se necesitan 20, por lo que x 4 = 4. Lasolucin propuesta requiere de 22 + 4 + 16 + 4 + 12 = 58 enfermeras para cubrir necesidades diarias del hospital. Esta es una solucin posible aunque no necesariamte ptima. En la siguiente unidad se aprender cmo resolver estos problemas paencontrar la solucin ptima.

Problemas de transporte

En los problemas de transporte hay un nico producto, homogneo, que se debe ditribuir desde varios orgenes a varios destinos. Se acepta la hiptesis de que el producuesta lo mismo cualquiera sea su origen, lo que vara es el costo del transporte.costo del transporte puede estar dado en cualquier tipo de unidades como $/t, $/camin, $/caja, etctera, lo que interesa es minimizar el costo de surtir la demanda socitada por los distintos destinos.

Ejemplo 3.7

La Zona Metropolitana del Valle de Mxico ( ) tiene problemas de abasto dagua en varias de sus colonias, especialmente al este de la ciudad. En este momelas autoridades del Sistema de Aguas de la Ciudad de Mxico, junto con la Comsin de Agua del Estado de Mxico deben decidir cmo abastecer tres zonas qestn padeciendo un desabasto sistemtico: Nezahualcyotl, Iztapalapa y Los Reycon necesidades de 3.4, 5 y 2.2 m3/s. Las fuentes de abastecimiento que se estnconsiderando son 3 sistemas de pozos profundos (uno de ellos del Estado de Mxco), que an tienen excedentes, y agua proveniente del sistema Cutzamala. El pmer sistema puede abastecer 2 m3/s, el segundo, 2.5 m3/s, y el tercer sistema depozos, 2.5 m3/s; de la presa de Valle de Bravo, que forma parte del sistema Cutzamala, despus de realizar obras de mantenimiento, se podr extraer de 1 a 10 m3/s, se-gn sea necesario. Los costos de abastecimiento, operacin y conduccin por m3/sson stos:

Cuadro 3.8

P 1 P 2 P 3 Cutzamala Iztapalapa 6.0 4.5 3.0 12.5Los Reyes 3.5 3.0 4.5 12.0Nezahualcyotl 3.0 3.5 4.5 11.5

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Se debe encontrar la manera ms econmica de satisfacer la demanda de agua a loslugares que la necesitan.

Es necesario decidir cunta agua se enviar desde cada uno de los orgenes a cadauno de los destinos. Este problema, adems de pertenecer a los de PL, se puede analizarcomo un problema de redes. Aqu utilizaremos la grca de redes correspondiente.

En el siguiente diagrama se representa cada punto origen con un crculo y cada des-tino tambin con un crculo, llamados nodos. Estos nodos estn unidos por unas lneaso echas llamadas ramas, que indican los posibles ujos del agua.

Cada nodo representa un punto de origen u oferta o un punto de destino o deman-da, por lo tanto cada nodo tiene asignada una cantidad que es la oferta o demandacorrespondiente. Las ramas representan un ujo o una accin, y a cada una de ellas seasocia una variable que corresponde a lacantidad del ujo que se enviar del origen (i)al destino (j). Cada rama tiene asociada tambin un parmetro que indica elcostodeenviar una unidad del origen (i) al destino (j).

Diagrama 3.1

P1

P2

P3

C

Iz

LR

N

x 11

x 12

x 21

x 31

x 41

c11

= 6

c43

= 11.5

2m 3/s

2.5m 3/s

2.5m 3/s

10m 3/s

3.4m 3/s

2.2m 3/s

5m 3/s

En este problema hay 12 variables de decisin que llamaremos x ij donde x ij es lacantidad de agua medida en m3/seg, que va desde el origeni al destino j .

con i = 1: P1 j = 1: Iztapalapa 2: P2 2: Los Reyes 3: P3 3: Nezahualcyotl 4: Cutzamala

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El objetivo es satisfacer la demanda de agua en las tres delegaciones al menor coposible. Por lo tanto la FO se formular como:

Mn = 6x 11 + 3.5x 12+ 3x 13+ 4.5x 21+3x 22+ 3.5x 23+

3x 31+ 4.5x 32+ 4.5x 33+ 1 2.5x 41+ 12x 42+11.5x 43

Restricciones de la oferta . Cada uno de los pozos puede enviar cierto ujo de agua a cadauna de las tres delegaciones demandantes, pero la suma de los ujos enviados no puexceder la disponibilidad de ellos. Las restricciones son:

x 11 + x 12+ x 13 2 m3/sx 21+ x 22+ x 23 2.5 m3/sx 31+ x 32+ x 33 2.5 m3/sx 41+ x 42+ x 43 10 m3/s

Restricciones de la demanda . Visto desde la demanda, cada destino puede recibir el lqui-do de cualquiera de las cuatro fuentes. Aqu es necesario analizar la situacin para eblecer el signo de las restricciones: puede ser que el demandante quiera exactamentcantidad demandada o al menos dicha cantidad. Pero como se trata de un caso de mnimizar costos, seguramente la solucin ptima har que se cumpla la igualdad y plo tanto no enviar excedentes. Las restricciones son:

x 11 + x 21+ x 31+ x 41 5x 12+ x 22+ x 32+ x 42 2.2

x 31+ x 32+ x 33+ x 34 3.4Como ningn ujo puede ser negativo en ese caso signicara que el agua ira

sentido inverso, se plantean la condicin de no negatividad:

x 11, x 21, x 31, x 41, x 12, x 22, x 32, x 42, x 13, x 23, x 33, x 34 0 El sistema de ecuaciones resultante tiene caractersticas que lo hacen muy fcil

resolver dado que todos los coecientes son cero o uno y con una distribucin muparticular. Esta simplicacin en el modelo permite utilizar una simplicacin del m

todo general de resolucin de problemas de PL, llamado mtodo de transporte. Emtodo se explica en la unidad 6, aunque estos problemas tambin se pueden resolcon el mtodo general, el mtodo Simplex y se puede resolver con los paquetes tracionales para PL.

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x T1 + x D21 D1x 22+ x 32+ x T2 D2 + x D21x 1T + x 2T = x T1 + x T2

El objetivo es minimizar el costo del transporte, entonces la FO ser:Mn C = cij x ij

dondec ij son los costos unitarios de cada trayecto.

Problemas de asignacin

Los problemas de asignacin son aquellos en que es necesario asignar personas reas especcas; mquinas a distintos operarios o vendedores a diferentes rutas, mtros a grupos de alumnos, etctera. El costo o el rendimiento de asignar a determinaindividuo cada una de las tareas vara de acuerdo a sus capacidades particulares.objetivo generalmente es minimizar el costo de la asignacin o el tiempo en que se pduzca el trabajo. En algunos casos puede ser ms conveniente plantear maximizautilidad obtenida por esas tareas.

Ejemplo 3.8

Una empresa de publicidad en expansin acaba de seleccionar a cinco nuevos emp

dos con capacidades profesionales: dos son licenciados en comunicacin y los otrosson diseadores grcos con entrenamiento y experiencias diversas que pueden tiles a la empresa. Debido a que las vacantes son de diferente responsabilidad y coderando las habilidades personales, el departamento de recursos humanos realiz laguiente matriz en la que se indica el salario que debera pagarse a cada uno de lindividuos para las distintas funciones que podra desempear.

Cuadro 3.9

Puesto 1 Puesto 2 Puesto 3 Puesto 4 Puesto 5

C1 7 000 7 250 7 250 10 000C2 6 500 7 500 7 000 6 000

DG1 5 800 7 000 7 000 8 500DG2 6 000 6 500 5 700 6 500 DG3 5 500 7 000 7 000 9 500

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La empresa quiere colocar a cada uno de los nuevos empleados en los distintospuestos de manera que la nmina a pagar sea la menor posible, dado que el proyectoen que est trabajando la empresa lo empezar a cobrar seis meses despus, por lo quetendr que obtener un prstamo bancario para mantenerse hasta ese momento.

Diagrama 3.3

C1

C2

DG1

DG2

DG3

P1

P2

P3

P4

P5

x 15

x 29

x 11

x 12

7000 7250 6000 10000

En este caso se puede hacer un diagrama de red como en los problemas de transpor-te, en el que existir una rama entre cada uno de los empleados y los puestos que puedeocupar. A cada rama le corresponder un costo que indica la matriz de salarios. Y comoen los problemas de transporte, a cada rama se le asigna una variable. Aqu es dondeaparece la diferencia fundamental entre los problemas de transporte y los de asigna-cin: cada una de las variables x ij slo puede tomar dos valores, 1 y 0:

x ij = 1 si el empleadoi se asigna al puesto j = 0 si el empleadoi no se asigna al puesto j

La FO es:

Mn C = c1jx 1j+ c2jx 2j + c3jx 3j + c4j x 4j + c5j x 5j

Las restricciones corresponden a cada nodo; por ejemplo, el primer empleado pue-de ser colocado en cualquiera de los puestos, excepto el puesto 4, pero si ocupa un

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puesto, ya no puede estar en ninguno de los otros; por lo que la restriccin correspodiente ser:

x 11 + x 12+ x 13+ x 15= 1

E igual para los otros empleados:

x 21+ x 22+ x 23+ x 24= 1x 31+ x 33+ x 34+ x 35= 1x 41+ x 42+ x 43+ x 44= 1x 51+ x 52+ x 54+ x 55= 1

Lo mismo pasa con los puestos ya que slo una persona podr ocupar cada pues

x 11 + x 21+ x 31+ x 41+ x 51= 1x 12+ x 22+ x 42+ x 52= 1x 13+ x 23+ x 33+ x 43= 1x 24+ x 34+ x 44+ x 54= 1x 15+ x 35+ x 55= 1

Adems:

x ij {0, 1}

La resolucin de estos problemas requiere que se agregue esta condicin y exisprogramas de cmputo para resolverlos.

Problemas de inventarios

Todos los problemas presentados hasta ahora no tomaban en cuenta el tiempo, esto esplanea la mejor manera de realizar una serie de actividades y stas se ejecutan una solao se repiten de la misma manera en los periodos siguientes. A este tipo de modelos pomos llamarlos estticos. Los problemas de inventarios, por el contrario, correspondmodelos dinmicos en los que el valor que toma una variable en un periodo depende valor que tena en el periodo anterior: xt + 1 = f (x t). En estos problemas es necesario ana-lizar lo que ocurre a lo largo de un ciclo, sea ste un ao, un mes, una semana; no intesa optimizar cada periodo por separado, sino el rendimiento en el ciclo completo.

El problema que analizaremos es un tpico problema administrativo en el que, pejemplo, se conoce la demanda mensual de cierto producto durante todo el ao. E

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general casi todos los productos tienen demandas cclicas; por ejemplo, los uniformesescolares se venden al comienzo del ao escolar; los electrodomsticos, a n de aoporque la gente utiliza el aguinaldo para comprar bienes duraderos o tambin para ce-lebrar el da de la madre (aunque sera mejor regalar ores que una plancha); hay comi-das tpicas de determinadas estas; ropa para fro o para calor, etctera. Por otro lado,para las empresas no es fcil cambiar sus productos o volmenes de produccin de unmomento a otro; si producen a ritmo constante para satisfacer los meses de menor de-manda, se perdern la posibilidad de vender cuando la demanda crezca y si producenpor encima de la demanda de ciertos meses tendrn que pagar el costo nanciero de lainversin que no puedan vender inmediatamente y pagar los costos de almacenamien-to, seguros y los costos administrativos del manejo de estos inventarios.

Ejemplo 3.9

En octubre una empresa automotriz debe planear su produccin del siguiente ao parasatisfacer la demanda de su modelo ms econmico en funcin de los pedidos antici-pados. En el cuadro 3.10 se muestra la demanda en miles de carros para cada bimestre.Se ha estimado que el costo de tener que mantener un carro de un bimestre al otro mslos costos del seguro y del personal de vigilancia es de $420 bimestrales. Los costos deproduccin de los vehculos tambin varan a lo largo del ao pues en el mes de marzose espera un aumento en los salarios de 5% y los costos de los insumos tambin se in-crementan. Tambin se han estimado estos costos y se muestran en el cuadro 3.10. Elprecio de venta es el mismo durante todo el ao. Al comenzar el siguiente ao se dis-pondr de 2 000 vehculos, este es el inventario inicial y se quiere que para el ao si-guiente queden al menos 2 200 vehculos. Por polticas de la empresa, ningn pedidodebe quedar sin satisfacerse totalmente.

Cuadro 3.10

Bimestre 1 2 3 4 5 6Demanda 6 3.5 3 3 4 6.5Costo total 38 000 39 600 39 750 40 100 40 400 41 000

Planear la produccin implica determinar el nmero de carros que se han de pro-ducir cada bimestre, o sea, habr seis variables de decisin:

x i: miles de carros a producir en el bimestre i: i ={1,2...6}

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Pero tambin hay otras variables que conviene denir:

di: demanda durante el intervaloi en miles de carros (dato en este problema)Ii: inventario o sobrante del intervaloi en miles de carros

El nmero de carros que se han de producir en el primer bimestre deber ser:

x 1 = d1 + I1 I0

esto es la demanda del bimestre ms los que se queden para el siguiente menos losrros que se tenan del periodo anterior. En este caso conocemos la demanda y el invtario inicial:

d1 = 6I0 = 2

Pero la cantidad de carros que nos conviene producir y almacenar para el siguienperodo tambin es una incgnita. La ecuacin entonces queda as:

x 1 = 6 + I1 2 = 4 + I1

O el inventario del periodo ser:

I1 = x 1 + I0 d1 = x 1 4

El inventario al nal del periodo es igual a lo que se produce en el periodo msque haba en existencia menos lo que se vende.

Para el segundo bimestre el inventario ser igual a lo que se produzca en ese bimtre ms lo que haba quedado menos lo que se venda:

I2 = x 2 + I1 d2 = x 2 + I1 3.5

Y de igual manera para los siguientes bimestres:

I3 = x 3 + I2 d3 = x 3 + I2 3I4 = x 4 + I3 d4 = x 4 + I3 3I5 = x 5 + I4 d5 = x 5 + I4 4I6 = x 6 + I5 d6

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Pero como se quiere que el sexto bimestre queden 2 200 carros para el ao siguien-te, entonces:

I6 = 2.2 = x 6 + I5 6.5

Entonces el problema tiene 11 variables de decisin, ya que en este caso I6fue dato:

x i: miles de carros a producir en el bimestrei: i ={1,2..6}Ii: miles de carros que quedan del periodoi al i + 1 con i ={1, 2, 3, 4, 5}

El objetivo de la empresa es minimizar los costos de produccin y de inventarios alo largo del ao:

Mn C = c j x j + k j I j

Dondec j es el costo de produccin unitario y k j es el costo de almacenaje de los ca-rros. Como las variables de decisin indican los miles de carros a producir, la FO que-da as:

Mn C =[38 000 x 1 + 39 600 x 2 +39 750 x 3 + 40 100 x 4 + 40 400 x 5+ 41 000 x 6+ 420 ( I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 )] 1 000s.a. x 1 I1 = 4 x 2 + I1 I2 = 3.5 x 3 + I2 I3 = 3 x 4 + I3 I4 = 3 x 5 + I4 I5 = 4

x 6 + I5 = 8.7

Adems: x i, Ii 0

Nota: este ejemplo no cubre todos los aspectos que se ven en el estudio de los pro-blemas de inventarios, pero sirve como introduccin a modelos dinmicos y muestracmo la PL puede utilizarse cuando se trata de optimizar en problemas en los que eltiempo es un componente fundamental.1 Este esquema de planteamiento es utilizadopara la planeacin de la comercializacin de cualquier producto. Para mostrar este tipode aplicacin se presenta el siguiente caso.

1 Otros problemas que no se presentan en el presente texto, pero que tienen caractersticas similares,son los problemas nancieros en los que se quiere invertir, pero que debe considerarse el ujo de dinero enel tiempo.

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Ejemplo 3.10

La comercializadora de granos MaizMex se dedica a la compra y venta de maz al ctado; posee una bodega con capacidad para 520 toneladas. El 1 de enero tiene un ventario de 100 t y $2 000 000 en caja. La empresa debe planear sus compras y venpara el trimestre ya que se tienen los precios a futuro. En el cuadro 3.11 se muestrlos precios por tonelada de enero a marzo. Por las condiciones de transporte y entrelo que se compra en un mes no puede ser vendido hasta el siguiente mes. Al nal trimestre se quiere contar con un inventario de 200 toneladas.2

Cuadro 3.11

Mes Precio compra Precio venta

Enero $2 850 $3 100Febrero $3 050 $3 250Marzo $2 900 $2 950

Para realizar el programa de compras y ventas se deben denir las variables del pblema; en este caso se propone

x e, x f y x m : toneladas a comprar los meses de enero, febrero y marzoy e, y f y y m: toneladas a vender los meses de enero, febrero y marzoI1 e I2: inventarios en toneladas al finalizar enero y febrero

C1 y C2: capital disponible a fines de enero y febreroEl objetivo es maximizar la utilidad:

FO: Mx U = 3 100y e + 3 250y f + 2 950y m 2 850x e 3 050x f 2 900x m

Las restricciones son para cada mes; las de enero son stas:

1) Espacio: Io + x e y e 520 t x e y e 420 2) Capacidad de compra: 2 850x e Co = $2 000 000 2 850x e 2 000 000 3) Venta mxima: y e Io y e 100

Para simplicar el problema se agrega la denicin de dos variables:

2 Este problema fue adaptado de Moskowitz, H. Y Wrigth, G., Investigacin de operaciones, PHH

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4) Inventario a fin de mes: I1 = Io + x e y e I1 x e + y e = 1005) Capital a n de mes: C1 = Co + 3 100y e 2 850x e C1 3 100y e + 2 850x e = 2 000 000

Para el mes de febrero:

1) I1 + x f y f 520 I1 + x f y f 520 2) 3 050x f C1 3 050x f C1 0 3) y f I1 y f I1 04) I2 = I1 + x f y f I2 I1 x f + y f = 05) C2 = C1 + 3 250y f 3 050x f C2 C1 3 250y f + 3 050x f = 0

Para el mes de marzo:

1) I2 + x m y m 520 I2 + x m y m 520 2) 2 900x m C2 2 900x m C2 0 3) y m I2 y m I2 04) I3 = 200 = I2 + x m y m I2 + x m y m = 200

El modelo entonces queda como sigue:FO: Mx U = 3 100y e + 3 250y f + 2 950y m 2 850x e 3 050x f 2 900x ms. a.

x e y e 420 2 850x e 2 000 000 y e 100 I1 x e + y e = 100

C1 3 100y e + 2 850x e = 2 000 000 I1 + x f y f 520 3 050x f C1 0 y f I1 0 I2 I1 x f + y f = 0

C2 C1 3 250y f + 3 050x f = 0

I2 + x m y m 520 2 900x m C2 0 y m I2 0 I2 + x m y m = 200

Con todas las variables mayores o iguales a cero.

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Al resolver este problema utilizando la herramienta Solver de Excel, se obtiene el plan ptimo de compras y ventas es ste:

Comprar: 520 t en enero 200 t en marzoVender: 100 t en enero 520 t en febrero

Al nalizar marzo se dispondr de 200 toneladas de maz en la bodega y d$1 938 000 en caja.

Lecturas complementarias

Eppen y otros (2000), sobre todo el captulo 3, secciones 3.1 a 3.4 y 3.10 a 3.17 Arreola y Arreola (2003), captulo 2; Stokey y Zeckhauser (1978).

Problemas de la unidad 3

Para cada uno de los problemas de esta seccin, identique las variables con las undes que corresponda, dena la FO, identique las restricciones y plantee las ecuaciodel modelo de PL.

Problemas de produccin

Problema 3.1

Una fbrica de productos metal-mecnicos tiene alguna capacidad excedente que qure utilizar para la produccin de algunos de los tres nuevos artculos que est consirando. El tiempo disponible medido en horas-mquina a la semana es el siguiente: pla fresadora 500 horas, torno, 350 horas, y recticadora, 150 horas.

La productividad de cada mquina, esto es, el nmero de productos que hace camquina en una hora, para cada uno de los tres productos es la siguiente:

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Cuadro 3.12

Mquina Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3Fresadora 9 3 5Torno 5 4 0Recticadora 3 0 2

El departamento de mercadotecnia estima que se podr vender todo lo que se pro-duzca de los producto 1 y 2, mientras que del producto 3 la demanda semanal no su-pera las 20 unidades. Si la ganancia unitaria es de $50, $20 y $25, respectivamente,cul debe ser la combinacin de productos que maximice la ganancia semanal?

Problema 3.2

En una planta se producen cuatro productos diferentes ( , , , ); para cada productose requiere realizar trabajo con cuatro mquinas (cortar, armar, pegar y pintar), el cualse expresa en min/kg en el cuadro 3.13. Se cuenta con 60 horas semanales de cada m-quina (el armado se realiza con una mquina robotizada totalmente).

Cuadro 3.13

Mquina min/kg Cortadora Robot Pegadora Compresora Demanda mxima

5 10 6 3 4003 6 4 8 1004 5 3 3 1504 2 1 2 500

Los precios de venta de los productos por kilogramo son $9, $7, $6 y $5, respectiva-mente; la mano de obra tiene un costo de $2 por hora. El costo de materia prima para elproducto 1 es de 3.5 $/kg, mientras que para los otros es de 1.2 $/kg. Cul es la produc-cin semanal que ms le conviene para maximizar su utilidad?

Problema 3.3

Una planta productora de bras tiene una lnea donde produce polister, elastano ydacrn. El departamento de hilandera requiere de 20, 40 y 30 horas respectivamen-te para producir una tonelada de cada una de las bras; este departamento cuenta

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con 2 000 horas. El departamento de teido cuenta con 4 800 horas y requiere 7080 y 90 horas respectivamente para teir una tonelada de bra. Por ltimo los productos deben ser colocados en bobinas de 1 kg para su venta. El tiempo requeridode 25 horas por cada tonelada de polister o de dacrn y de 35 horas para bobinauna tonelada de elastano pues debe realizarse mucho ms lentamente para no perdsus propiedades. Se cuenta con 1 500 horas de bobinadora. Las ventas limitan la pduccin de dacrn a 25 000 kg por mes. Si los costos de materia prima para l3 bras son similares y si el precio de venta es de 1 000, 1 500 y 2 000 pesos por nelada, plantelo como un problema de PL.

Problema 3.4

Una cooperativa opera cuatro granjas con rendimientos similares. Cada una de lgranjas tiene cierta cantidad de hectreas y horas hombre disponibles como se mueen el cuadro 3.14:

Cuadro 3.14

Granja ha tiles Horas disponibles al mes 1 500 1 7002 900 3 0003 300 9004 700 2 200

Se est pensando en sembrar tres cultivos: maz, frijol y calabaza, cada uno de cuales produce distintas ganancias y requieren distinta cantidad de mano de obra (vse cuadro 3.15). Tambin por cuestiones de dinero, solamente se compraron las semllas y fertilizantes para determinado nmero de ha mximo de cada cultivo.

Cuadro 3.15

CultivoSemillas y fertilizantes

ha mximas Horas mes/ha Ganancias esperadas

por ha ($)Maz 700 2 500Frijol 800 4 200Calabaza 300 3 300

Determine el plan de cultivo ms apropiado con los recursos disponibles.

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Problema 3.5

Una cooperativa agrcola posee 3 ranchos de 25, 30 y 40 ha respectivamente. Se estplaneando la produccin del prximo ciclo agrcola. Las opciones son sembrar maz,frijol y sorgo; adems tienen instalaciones para la cra de hasta 2 500 pollos en el ranchoms grande (adems de las hectreas para cultivo). Cuentan con un capital de $200 000para gastos de fertilizantes, semillas y el alimento de las aves. Debido a la cantidad deagua disponible en la presa, se les han asignado 200 000 m3 para el riego.

Para la cra de pollos se requieren de $20 por pollo, y un hombre puede atender a250 animales (durante 125 das, que es el periodo antes de venderlos). Las necesidadesde agua son inferiores a 1 m3 diario (puede despreciarse), y la utilidad, el precio de ven-ta menos los costos, es de $20 por ave. En el siguiente cuadro se presentan los datosespeccos de cada rancho as como los requerimientos de mano de obra por hectreay la lmina de agua de cada cultivo para todo el ciclo productivo.

Cuadro 3.16

Manode obra(h/ha)

Costo de losinsumos($/ha)

Lminade agua

(cm)Utilidad($/ha) Rancho

Mano de obradisponible

(h)Maz 800 3 000 55 7 000 1 12 000Frijol 1 200 5 000 60 10 200 2 20 000Sorgo 300 1 200 20 4 500 3 27 000

La cooperativa debe planear cuntas hectreas de cada cultivo sembrar y dnde, ascomo la conveniencia o no de criar pollos. Para alimentar a los pollos requiere sembraral menos 3 ha de sorgo.

a) Cuntas variables de decisin tiene este problema?, descrbalas.b) Cuntas restricciones tiene el problema y cules son?c) Plantee el problema como un modelo de PL (sistema de ecuaciones).

Problema 3.6 3

Una ciudad de dos millones de habitantes, que produce 3 000 toneladas de residuospor da, utiliza 3 incineradores, bastante obsoletos por cierto, como el mtodo paraprocesar la mayor parte de sus residuos. El resto los enva a un relleno sanitario a 20 kmde la ciudad, con un costo mucho ms elevado.

3 Problema de polticas pblicas tomado de Stokey y Zeckhauser (1978).

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Problema 3.8

Una renera compra dos tipos de petrleo: ligero tipo Brent y petrleo crudo pesadotipo Maya. Los costos actuales estn en 77 y 64 dlares por barril, respectivamente. Decada tipo de petrleo se obtiene por el proceso de destilacin las siguientes cantidadesde gasolina, diesel y aceites lubricantes, expresado en barriles:

Cuadro 3.19

Gasolina Diesel Aceites Crudo ligero Brent 0.40 0.25 0.30Crudo pesado Maya 0.33 0.38 0.25

La renera debe entregar mensualmente 600 000 barriles de gasolina, 500 000 ba-rriles de diesel y 200 000 barriles de aceites lubricantes. Encuentre la cantidad de barri-les de crudo de cada tipo que le conviene comprar para satisfacer la demanda con elmnimo costo en los insumos.

Problemas de planeacin nanciera

Problema 3.9

Un asesor nanciero debe colocar 10 millones de pesos en cuatro alternativas nan-cieras, cuidando obtener el mayor rendimiento anual, pero manteniendo al menos10% de liquidez. Las opciones son Cetes a 90 das, Cetes a 180 das, acciones deCemex y mesas de dinero. El rendimiento esperado es de 7.25% y 7.45% para losCetes; Cemex se espera que de 8.5% a condicin de retenerlas durante un ao; y enmesas de dinero se espera 6.25%. Para minimizar riesgos no se quiere tener ms del50% ni en acciones de Cemex ni en Cetes. Las acciones de Cemex cuestan $17, ylos Cetes se venden en unidades de $1 000. Plantee el problema como un modelode PL.

Problema 3.10

Banco Azteca estima que el prximo ao tendr 100 millnes de pesos para prstamos.Tiene distintos tipos de prstamos a diferente tasa de inters.

Debido a las polticas de la empresa se deben respetar los siguientes lmites:a) losprstamos personales no pueden exceder 15%.b) Los prstamos para mejora de casas

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junto con los dedicados a actividades recreativas no pueden exceder 20% del totallos crditos.c) Los prestamos a las Pymes deben ser menos de 30% del total.d) Al me-nos 10% de los prstamos deben destinarse a los prstamos personales tipo , ottanto debe destinarse a las hipotecas y a las Pymes. El banco quiere maximizar sus lidades. Cuntas variables tiene el problema?; cuntas restricciones? Plantee el prma de PL.

Cuadro 3.20

Tipo de prstamo Inters anual (%) Tipo de prstamo Inters anual (%)Personal tipo 8 Mejoras a la casa habitacin 10Personal tipo 12 Implementos para

actividades recreativas12

Automvil 10

Hipoteca 8 Pymes 9

Problema 3.11 6

Conacyt ha decidido repartir 1 000 millones de pesos para estimular la investigacininnovacin tecnolgica en el rea de energa. Se recibieron 200 solicitudes para ottantos proyectos entre los cuales se seleccionaron 6 nalistas. Un grupo de cientcoeconomistas evaluaron los proyectos y estimaron los benecios potenciales que cuno de ellos podra signicar para un periodo de 10 aos por cada peso invertido ahra en investigacin. Los proyectos seleccionados aparecen en el cuadro 3.21.

Cuadro 3.21

Proyecto Tipo de energa Benecio neto

por peso invertidoFondos solicitados(millones de pesos)

1 Solar 4.4 2202 Solar 3.8 1803 Biocombustible 4.1 2504 Carbn 3.5 1505 Nuclear 5.1 4006 Geocntrica 3.2 120

Esto quiere decir que el primer proyecto al cabo de 10 aos potencialmente prodcir $4.4 por cada peso que se haya invertido en l despus de recuperar la inversi

6 Problema adaptado de un ejercicio de Reyes Garca y Romero (2004).

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que requiere como mximo 220 millones de pesos, pero el Conacyt puede decidir en-tregarle slo parte de esos fondos.

El Conacyt necesita decidir cunto dinero asignar a cada proyecto tratando demaximizar los benecios futuros, pero tambin deben tomarse en cuenta otros criteriospor lo que se ha decidido que al menos deben otorgarse $300 millones para la investi-gacin de energa solar, no menos de 100 millones de pesos para biocombustibles yrestringir la cantidad invertida en investigaciones relacionadas con carbn y nuclear amenos de 250 millones de pesos en total.

Planeacin de publicidad

Problema 3.12

Se est planeando una campaa publicitaria para anunciar la apertura de un nuevo su-permercado en Tapachula. Se cuenta con un presupuesto de $250 000 y se est consi-derando la posibilidad de contratar anuncios en la radio a $10 000, y en la televisinlocal, a $20 000. Cada anuncio en la radio llega a 12 000 personas y cada anuncio en latelevisin llega a 20 000 personas. Se quiere llegar a la mayor cantidad de pblico posi-ble, pero garantizando una audiencia de al menos 20 000 mujeres y de 18 000 hombresadultos. Los medios de difusin dicen que su audiencia por anuncio es:

Cuadro 3.22

Mujeres Hombres Radio 2 000 1 500Televisin 2 500 5 000

Problemas de dietas

Problema 3.13

Un criadero de cerdos debe determinar los distintos tipos de alimento que deben dar alos cerdos para cubrir los requerimientos nutricionales a costo mnimo. En el siguientecuadro se dan las unidades nutricionales por kilogramo de alimento, los requerimien-tos mnimos y los costos. Se debe encontrar la dieta de costo mnimo.

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Cuadro 3.23

Maz (kg) Grasa (kg) Alfalfa (kg)Requisitomnimo Unidad

Carbohidratos 90 20 40 200 g Protenas 30 80 60 180 g Vitaminas 10 20 60 150 mg Costo($/kg) 8 9 6

Problema 3.14

Un hospital se propone elaborar una dieta balanceada para el desayuno de sus paciencon las siguientes caractersticas:

a) El desayuno debe aportar no menos de 480 calorasb) El consumo mnimo de protenas en el desayuno debe ser de 25 g.c) Los alimentos que se han de utilizar son jamn, huevo, leche, pan y queso fresco

Las caractersticas de cada uno de estos alimentos se dan a continuacin:

Cuadro 3.24

Alimentos Porcin Precio Caloras Protenas (g) Jamn 1 rebanada $2.5 76 3.9Huevo 1 pieza $1.0 74 5.6Leche 1 vaso $2.2 116 6.8Pan 1 pieza $0.5 124 2.0Queso 1 racin $4.0 127 11.3

Plantelo como un modelo de PL considerando que el desayuno no debe llevar mde dos huevos y que slo se incluir una pieza de pan si se incluye una porcin de jam

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Problemas de mezclas

Problema 3.15

Una fbrica de plsticos planea sacar un nuevo producto utilizando plstico recicladoproveniente de cuatro plantas recicladoras. Dadas las caractersticas del producto quese quiere obtener en cuanto a exibilidad, transparencia y resistencia trmica, se tieneque encontrar la mezcla ms conveniente de los cuatro insumos de tal manera que laresina resultante contenga al menos 20% de , al menos 30% de polietileno debaja densidad y al menos 20% de polipropileno. Debido a que se necesita que el pro-ducto nal sea muy exible, no debe contener ms de 30% de ni ms de 35% depolietileno.

En el siguiente cuadro se indica el porcentaje del contenido de cada una de las resi-nas en los insumos provenientes de las cuatro plantas:

Cuadro 3.25

Insumosde resina Planta 1 Planta 2 Planta 3 Planta 4

35 25 25 30Polietileno 45 15 30 25Polipropileno 12 60 40 25

El precio del kilogramo de cada uno de los insumos es de $20, $25, $15 y $10. Indi-que cul es la mezcla de insumos ms conveniente para minimizar el costo del producto.

Problema 3.16

Una pequea fbrica de productos cosmticos naturales produce jabn, champ paraprevenir la cada del cabello, crema y aceite para la piel. Sus ingredientes bsicos son la jojoba, el romero y la sbila que ellos mismos producen. Esta temporada han cosechadoy procesado 1 000 litros de sbila, 560 litros de aceite de romero y 2 200 litros de acei-te de jojoba. Debido a que se trata de una cooperativa quieren utilizar especialmentetodo lo producido por ellos mismos.

En el siguiente cuadro se indican las cantidades mnimas y mximas que debe con-tener un litro de estos productos, as como los precios tentativos de venta por litro. El jabn lleva una pasta base que no debe exceder 70%; el champ puede tener hasta 20%de agua, la crema slo 12% y el aceite apenas 5%. Se debe decidir cul es el mejor plande produccin.

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Cuadro 3.26

Jojoba (ml) Sbila (ml) Romero (ml) Precio de venta ($/l) Jabn mx. 180 mx. 300 25

mn. 125 mn. 175Champ mx. 250 mx. 350 mx. 350 43

mn. 140 mn. 220 mn. 320Crema mx. 450 mn. 220 mx. 30 55

mn. 300 Aceite mx. 800 mn. 50 mx. 100 70

mn. 700 mn. 30

Turnos de trabajo

Problema 3.17

Un municipio conurbado altamente poblado ha estimado el nmero mnimo de patrullas necesarias para la vigilancia de su territorio para periodos de cuatro horas. Losciales de las patrullas trabajan turnos continuos de ocho horas y no hay policas cturnos parciales. Se quiere organizar los turnos para reducir el nmero de empleadnecesarios. Los ociales pueden empezar su turno al comienzo de cualquiera de los

tervalos que se muestran a continuacin; en cada patrulla deben ir dos ociales.Cuadro 3.27

Intervalo Nmero mnimo requerido12 a 16 10016 a 20 25020 a 00 40000 a 4 5004 a 8 2008 a 12 150

Indique cul es la cantidad de patrullas con que debe contar el municipio (se cosidera que debe tener un 10% de carros extra para darles mantenimiento) y cuntoociales requiere para satisfacer la demanda de vigilancia.

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Problemas de transporte

Problema 3.18

Una compaa que produce concreto debe abastecer a cuatro obras en construccin. Lacompaa tiene tres plantas desde las que suministrar el concreto. En el cuadro se indi-can los costos por camin enviado desde las plantas a las obras, que depende de la dis-tancia que se debe recorrer, as como la capacidad diaria en cargas de camin de cadaplanta y la demanda de cada obra.

Cuadro 3.28

Planta Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4 Capacidad de

las plantas 1 $80 $100 $60 $70 1202 $40 $80 $75 $60 1003 $100 $120 $90 $110 80Demanda 50 40 75 60

Plantee las ecuaciones como un problema de PL.

Problema 3.19

Una compaa tiene dos bodegas que surten mercanca a cinco tiendas de abarrotes.Los envos se hacen slo por una carga completa de camin. El nmero de cargas re-querido por cada tienda es de 80, 50, 75, 45, 80, respectivamente. Los costos de envoestn en el siguiente cuadro junto con las cargas disponibles en cada bodega.

Cuadro 3.29

Tiendas Mx. de cargasdisponibles 1 2 3 4 5

Bodega 1 $40 $50 $45 $50 $25 100Bodega 2 $50 $35 $40 $20 $40 250

a) Haga una representacin del problema.b) Plantee las ecuaciones del problema.c) D una solucin posible.

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Problema 3.20

Una empresa duea de una cadena de supermercados acaba de comprar las tiendasotra cadena, con lo que logra una cobertura a nivel nacional. Ahora tiene que disela estrategia para surtir a sus nuevas tiendas desde las bodegas que tena estableciincluso para determinar cules de ellas necesitarn aumentar su capacidad. El critepara decidir desde dnde surtir a las nuevas tiendas lo establece tratando de minimilas distancias, ya que esto se traduce en disminucin de combustible y de costos. Tique proveer de mercancas a cuatro tiendas, una en Cuernavaca, otra en Puebla y den el Distrito Federal, una al norte y otra en el oriente. Las bodegas se encuentran la ciudad de Veracruz, en Puebla y Toluca. En el siguiente cuadro se dan las distancen kilmetros entre las bodegas, las tiendas y las necesidades semanales medidas enmiones de 12 t.

Cuadro 3.30

Tiendas/Bodegas Toluca Puebla Veracruz Necesidades semanales Cuernavaca 96 109 291 35D. F. norte 40 80 260 70D. F. oriente 48 75 255 73Puebla 117 8 182 47

La bodega de Toluca tiene capacidad para surtir 48 toneladas, la de Puebla, umximo de 72, y la de Veracruz puede suplir hasta 150, y lo que no sea necesarioembarcar para Tampico. Encuentre la mejor manera de realizar el transporte dmercancas.

Problema 3.21 7

Se debe realizar un plan de emergencia para asignar heridos a los hospitales generde la zona en caso de que ocurra un temblor importante en la ciudad. Debido a la desidad de la poblacin y al tipo de construcciones, se estima que un temblor de gradoen la escala de Richter producira 300 heridos en la zona y 250 heridos en la zonaHay tres hospitales en la ciudad para atender este tipo de emergencias. El tiempo traslado desde el lugar es de 25, 15 y 10 minutos a cada uno de los hospitales, y dde el punto es de 20, 5 y 15 minutos. Las capacidades de los hospitales para escasos son 250, 150 y 150 pacientes respectivamente. Cmo convendra asignar

7 Problema de polticas pblicas elaborado a partir de Stokey y Zeckhauser (1978).

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vctimas a los hospitales? Cul es el tiempo promedio de traslado? Si disponen de 10ambulancias, cunto tiempo tardarn en recoger todos los heridos?

Problema 3.22Una cadena de restaurantes tiene tres locales en Tlalpan, Villa Coapa y Tlhuac, a losque debe surtir los vasos desechables. Hay tres proveedores con diferentes precios ycapacidades de produccin que le ofrecen el producto. stos le enviaron sus cotizacio-nes y capacidades de produccin. Adems se anexa el precio del transporte por 1 000unidades. Se solicita plantearlo como un problema de transporte.

Cuadro 3.31

Proveedor Precio (por 1 000 unidades) Capacidad anual $9 40 000

$10 75 000$11 135 000

Costo del transporte por 1 000 vasos en pesos.

Cuadro 3.32

De proveedor Tlalpan Villa Coapa Tlhuac 8 1 3

5 2 52 4 2

Se necesitan 90 000 vasos en Tlalpan; 70 000 en Villa Coapa, y 90 000 en Tlhuac.

Problemas de inventarios

Problema 3.23 8

Una compaa quiere planear la produccin de cierto artculo para las prximas 4 se-manas. El costo de produccin es de $1 000 las 2 primeras semanas y $1 500 las si-guientes. Las demandas semanales son 7, 8, 10 y 10 unidades, pero la planta no puede

8 Este problema fue adaptado de Moskowitz, H. Y. Wrigth, G., Investigacin de operaciones, PHH.

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producir ms de 9 unidades semanales, aunque puede pagar horas extra las dos ltimsemanas, lo que le permite aumentar la produccin en 2 unidades semanales, con ucosto extra de $580 por unidad. El exceso de produccin se puede almacenar a un cto de $35 por semana y por unidad. El objetivo es minimizar los costos totales.

Respuesta a los problemas de la unidad 3

Problema 3.1. El problema tiene 3 variables y 4 restricciones. La solucin ptimaproducir a la semana 450 unidades del artculo 1; 1 040, del artculo 2, y no producir el tercer artculo. La ganancia semanal ser de $43 300 y quedarn sin utiliz103.3 horas de fresadora.

Problema 3.2. La solucin ptima es producir de , 220 kg; , 100 kg; , 150 kg, y525 kg. Con esta produccin sobraran (1 505 min), 25 h de pegadora y 15.7 h dcompresora. La utilidad sera de $3 556.50.

Problema 3.3. Se deben producir 25 t de elastano y 25 t de dacrn, con lo que se obtiene una utilidad de $87 500, quedarn disponibles 250 h en el departamento dteido.

Problema 3.4. La cooperativa deber sembrar:granja 1: 200 ha de frijol y 300 ha de calabaza,granja 2: 300 ha de maz y 600 ha de frijol,granja 3: 300 ha de maz,granja 4: 100 ha de maz.La ganancia esperada con este plan de produccin es de $600 000.

Problema 3.5.a) Hay 10 variables de decisin: el nmero de ha que se deben sembrarde cada cultivo en cada rancho y el nmero de pollos que deben criarse.b) El pro-blema tiene 10 restricciones.c) La solucin ptima ser criar los 2 500 pollos paralos que hay capacidad, y producir especialmente sorgo: 25 ha en el rancho 1, 27ha en el rancho 2, y 40 ha en el rancho 3; adems se debern sembrar 2.5 ha en rancho 2 de frijol. La utilidad ser de $491 750. Seguramente hay otras solucionalternas con igual utilidad.

Problema 3.6. Solamente se podrn incinerar 1 987.5 t: en el incinerador 1, 625 t; eel incinerador 2, 800 t, y en el incinerador 3, 562.5 t. Las otras 1 012.5 t debernser enviadas al relleno sanitario para no sobrepasar los lmites de contaminaciestablecidos por la norma ambiental.

Problema 3.7. La empresa pblica deber producir 1 350 MWh con el combustiblemtodos tradicionales, 450 MWh a partir de diesel pesado e importar los 200 MWque le permiten. El costo ser de $7 875 pesos por los 2 000 MWh necesarios.

Problema 3.8. La renera debe comprar 906 475 barriles de petrleo ligero y 719 4barriles de crudo pesado con un costo de $115 841 727 millones de dlares. Co

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esto producir exactamente las cantidades necesarias de gasolina y diesel, pero ten-dr un excedente de 215 798 barriles de aceites lubricantes.

Problema 3.9. El asesor debe invertir $1 000 000 en mesas de dinero; $4 000 000 en4 000 Cetes a 180 das, y $5 000 000 en 249 117 acciones de Cemex. El rendimien-to ser de $785 500.

Problema 3.10. El banco, para maximizar sus utilidades, debe prestar:10% a prstamos personales tipo

5% a prstamos personales tipo 20% a prstamos para actividades recreativas 10% a prstamos hipotecarios 45% a prstamos para automviles (o a mejora de vivienda) 10% en prstamos a PymesProblema 3.11. El Conacyt ha decidido entregar las siguientes cantidades a cada uno

de los proyectos, expresado en millones de pesos: Solar 1: 220 mp Solar 2: 180 mp Biocombustibles: 250 mp Nuclear: 250 mp Geotrmica: 100 mpProblema 3.12. Es conviente contratar 25 anuncios de radio solamente, con lo que se

tendra una audiencia de 300 000 personas con al menos 50 000 mujeres y 37 500hombres.

Problema 3.13. La dieta de costo mnimo es de $24 diarios por cerdo e incluye 1.20 kgde maz, 0.103 kg de grasa y 2.27 kg de alfalfa; si se quiere que los animales engor-den ms rpido se les puede dar comida suplementaria.

Problema 3.14. La dieta de costo mnimo debe incluir una rebanada de jamn, doshuevos, 1.2 vasos de leche (o sea, un vaso grande) y una pieza de pan. El costo deldesayuno es de $7.55 aproximadamente.

Problema 3.15. La mezcla ms conveniente tiene un costo de 13 $/kg y est compues-ta con 20% de la planta 1; 20% de la planta 3, 60% de la planta 4.

Problema 3.16. La fbrica debe producir solamente champ, crema y aceite. Las mez-clas que se deben realizar se muestran en el cuadro con una utilidad de 258 434pesos.

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Cuadro 3.33

Litros Champ Crema Aceite Jojoba 107.8 193.4 1 899.0Sbila 238.6 354.5 407.0Romero 269.4 19.3 271.3 Agua 154.0 77.3 135.6Total 769.8 644.5 2 715.9

Problema 3.17. Se debe contar con no menos de 500 patrullas (sera conveniente tenalgunas para imprevistos y mantenimiento); se deben organizar 900 parejas de ociales, o sea, 1 800 ociales. Aunque hay muchas soluciones, una posible sera qentren a trabajar 150 ociales a las 12 am, 350 a las 4 pm, 550 a las 8 pm, 450 a l12 am y 300 a las 8 am.

Problema 3.18. La compaa debe enviar la carga en los camiones como se indica ecuadro, y el costo ser de $13 950.

Cuadro 3.34

Obra 1 Obra 2 Obra 3 Obra 4 Planta 1 70 50

Planta 2 50 40 10Planta 3 5

Problema 3.19. En este caso la oferta es inferior a la demanda, por lo que se sugiere pminimizar los costos, enviar la siguiente cantidad de cargas:

Cuadro 3.35

Bodega Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5 1 20 80

2 60 50 75 45

Problema 3.20. Para surtir la demanda recorriendo la menor distancia posible se debrealizar los siguientes envos de camiones. Se recorrern 31 964 km.

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PROGRAMACIN LINEAL

Cuadro 3.36

Distrito Federal(zona norte)

Distrito Federal(zona oeste)

Cuernavaca Puebla

Toluca 48Puebla 37 35

Veracruz 22 36 47

Problema 3.21. Lo ms conveniente es enviar de la zona 150 heridos al hospital 1 y150 al hospital 3. De la zona se deben enviar 100 heridos al hospital 1 y 150 alhospital 2. El tiempo promedio de los traslados ser de 14.55 minutos. Como lasambulancias deben ir y regresar, demorarn ms de 26 horas (26.66) en terminar de

trasladar a todos los heridos.Problema 3.22. Lo ms conveniente para la cadena es surtir al restaurante de Tlhuaccon 40 000 unidades del proveedor , 5 000 de y 45 000 de . Para el restaurantede Villa Coapa se deben comprar las 70 000 piezas al proveedor ; y para Tlalpan,las 90 000 unidades del proveedor . El costo ser de $3 150.

Problema 3.23. La mejor solucin para la compaa es producir lo siguiente:Primer semana: 9 unidades, 7 para la demanda y 2 para la tercera semana Segunda semana: 9 unidades, 8 para la demanda y una para la cuarta semana Tercera semana: 8 unidadesCuarta semana: 9 unidades

Con un costo de 18 (1 000) + 2 (2) 35 + 1 (35) + 17 (1 500)

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