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Modelos Discretos y Ecuaciones de Predicción
del Clima Solar usando las Ecuaciones de
Maxwell
Instituto Tecnológico de Santo Domingo (INTEC)
Área de Ciencias Básicas y Ambientales
Maestría en Matemáticas Puras
Harold L. Marzan, Mat. : 09-6110
Prof.: René Piedra, Ph.D.
Abstracto
En esta propuesta de investigación se presentan modelos discretos de la radiación
electromagnética solar, usando fórmulas creadas a partir de las Ecuaciones de Maxwell, para
entender el fenómeno de la radiación de estas ondas, y crear predicciones del llamado Clima Solar,
midiendo ciertas magnitudes de importancia como el tiempo y la velocidad con que se mueven
estas ondas. Se estará utilizando el software Mathematica para crear los modelos
computacionales que surjan de este estudio, para poder comprender estos fenómenos desde el
punto de vista computacional.
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Tabla de Contenido Introducción ......................................................................................................................... 3
Objetivos Generales .............................................................................................................. 3
Objetivos Específicos ............................................................................................................. 3
Preliminares .......................................................................................................................... 4
Registros Históricos de Tormentas Geomagnéticas ............................................................. 5
Detalles de la Propuesta de Investigación ........................................................................... 6
Las Ecuaciones de Maxwell ................................................................................................ 7
Ecuaciones de Predicción del Clima Solar ............................................................................... 8
Predicción simple del tiempo de llegada de una onda electromagnética ................................. 9
Datos sobre las cargas eléctricas .......................................................................................... 10
Trayectoria, Flujo y Fuerza de expulsión de las ondas electromagnéticas .............................. 10
Hipótesis del Campo Eléctrico Independiente ....................................................................... 11
Observaciones en este modelo Preliminar de Clima Solar ..................................................... 13
Teoría de la Fuerza de Expulsión de Campos Electromagnéticos desde el Sol......................... 14
Hipótesis de la fuerza electromotriz o Campo Eléctrico producido por Campo Magnético
Cambiante .......................................................................................................................... 16
Ecuación de Inducción de Campo Magnético del Sol MHD .................................................... 19
La relatividad y la energía producida en el núcleo del Sol ..................................................... 20
La irradiación solar y aspectos climáticos producidos por el Sol ............................................ 23
Predicción de la magnitud de los daños producidos por estos fenómenos ............................. 23
Propagación de Ondas Electromagnéticas. ....................................................................... 26
Ondas en el Espacio ......................................................................................................... 27
Desde las Ecuaciones de Maxwell, a la Ecuación de Onda ..................................................... 27
Calculando la Impedancia de los componentes de la onda .................................................... 28
Modelos Discretos de Predicciones del Clima Solar .............................................................. 29
Conclusión .......................................................................................................................... 37
Bibliografía ......................................................................................................................... 38
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Introducción
En esta propuesta, se estarán creando modelos con el auxilio de las Ecuaciones de Maxwell, acerca
de predicción del Clima Solar, donde se podrán medir ciertas magnitudes de importancia de los
fenómenos solares como las manchas solares, las expulsiones de materia coronal o CMEs, y
vientos solares turbulentos. Estos fenómenos causan que ondas y campos electromagnéticos
emitidas por el Sol sean esparcidas en el espacio, afectando las comunicaciones satelitales, la vida
y la sociedad en el planeta Tierra.
En este proyecto de investigación se crean modelos computacionales de predicciones, que
muestren el comportamiento del Clima Solar, usando herramientas de aproximaciones numéricas
del software Mathematica.
Objetivos Generales
Analizar datos recolectados previamente por laboratorios de la NASA, y ahora por el SDO (Solar
Dynamics Observatory) [1] y hacer predicciones sobre el Clima Espacial sobre los fenómenos
creados por el campo magnético del Sol; esto quiere decir que se puede determinar con un nivel
de exactitud, cuando estas actividades pueden ocurrir, y poder informar con tiempo sobre estos
fenómenos a toda la sociedad.
Objetivos Específicos
Crear fórmulas a partir de las Ecuaciones de Maxwell, para poder medir una vez se haya detectado
un evento en el Sol, como vientos solares turbulentos, explosiones en la atmósfera del Sol, o
Expulsiones de Masa Coronal o CMEs; medir el tamaño de su campo electromagnético, la
velocidad con la que viaja el campo y las ondas electromagnéticas; de esta manera, se puede
predecir el tiempo aproximado en que estas ondas llegaran a nuestro planeta, y de esta manera
poder tomar medidas que eviten interrumpir las comunicaciones satelitales, los sistemas de
centrales eléctricas o “power grids” (produciendo apagones o “blackouts” ), los sistemas de
navegación GPS y de tráfico aéreo; poder informar a los aviones en vuelo actual cerca de los Polos
Norte y Sur, sobre la amenaza de las ondas que se aproximan para que estos cambien su curso y
poder finalmente evitar tragedias aéreas [2] [3]. Lo que se busca es minimizar el impacto en la vida
y la sociedad.
Modelar que tan grande es aprox. el campo magnético del Sol, que lleva a provocar los CMEs,
explosiones solares y que producen partículas cargadas de energía y radiación que viajan a altas
velocidades por todo el sistema solar hasta llegar a destinos como el planeta tierra [2].
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Modelar el tamaño y la dirección de los vientos solares que pasan cerca de la Tierra, tomando en
cuenta el campo magnético y la estructura atmosférica cerca de la superficie solar [1].
Pronosticar sabiendo de antemano, el tamaño del campo magnético o las longitudes de ondas
electromagnéticas emitidas por el Sol, pudiendo reducir el daño global que puede causar un
evento solar en la tierra [1][2].
Preliminares
El Sol tiene la capacidad de convertir energía magnética, en otras formas de energía que pueden
afectar a la Tierra y la vida en ella. Entre las energías que estaremos modelando, están lo fotones
(forman la luz), partículas energéticas y campos magnéticos (que pueden causar interferencia en
las comunicaciones satelitales y la falla de sistemas eléctricos) [2].
Algunas definiciones de importancia sobre nuestro tema, siguen a continuación:
Viento solar (Solar winds): Es un flujo de partículas cargadas eléctricamente fluyendo desde el Sol,
llena el sistema solar con Campos magnéticos y partículas cargadas [1].
Explosiones Solares (Solar flares): son explosiones en la atmosfera del Sol; la más larga de ellas
iguala a 1 billón de bombas nucleares de 1 megatón cada una [1].
Expulsiones de Masa Coronal o Coronal Mass Ejection (CME): son erupciones que lanzan material
solar al espacio a altas velocidades [1]. Erupciones solares de rápido desplazamiento, que
sobrepasan y devoran a sus similares más lentas, pueden generar tormentas magnéticas de larga
duración cuando llegan a la magnetósfera terrestre [16].
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Machas solares (Sunspots): Una mancha solar[4] es una región del Sol con una temperatura más
baja que sus alrededores, y con una intensa actividad magnética. Una mancha solar típica consiste
en una región central oscura, llamada "umbra", rodeada por una "penumbra" más clara. Una sola
mancha puede llegar a medir hasta 12.000 km (casi tan grande como el diámetro de la Tierra),
pero un grupo de manchas puede alcanzar 120.000 km de extensión e incluso algunas veces más.
Este conjunto de fenómenos solares, son parte de las actividades de la NASA. Este tipo de
actividades científicas sobre el estudio del Sol y los fenómenos electromagnéticos que este causa,
se llama Heliofísica [5].
Tormenta Geomagnética: es una perturbación temporal de la magnetosfera de la Tierra, causada
por una perturbación del medio. Una tormenta geomagnética es el componente principal del
Clima Espacial. Una tormenta geomagnética, es causada por una onda de choque creada por el
campo magnético del sol, donde la onda es un campo EM que afecta al campo magnético de la
tierra. El incremento en la presión del viento solar, inicialmente, comprime la magnetosfera y el
campo magnético del viento solar interactuando con el campo magnético de la Tierra,
transfiriendo el gran monto de energía dentro de la magnetosfera. Los campos eléctricos quedan
en el interior de la magnetosfera, por efecto de la fuerza del campo magnético invasor.
Las Tormentas geomagnéticas son producidas por las Eyecciones de Masa Coronal (CME) del Sol, o
por un flujo de alta velocidad de viento solar originado en una región débil del campo magnético
del Sol, en la superficie. La frecuencia estas tormentas crece y decrece con el ciclo de mancha
Solar del Sol.
Registros Históricos de Tormentas Geomagnéticas
La super tormenta de 1859, que afecto a los telégrafos de Europa y Estados Unidos, de Agosto 28 a
Septiembre 2, 1859, donde las enormes manchas solares del sol, causaron Auroras vistas hasta en
el sur de Hawaii, México, Cuba e Italia. Los CMEs, enviaron EMF que llegaron en 18 horas.
La geo tormenta que afecto Quebec, Canadá de Marzo 13, 1989, que causo un colapso en la
central eléctrica Hydro-Quebec en segundos, cayendo en cascada los relays de todos los equipos
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de protección. La tormenta causo Auroras vistas hasta el sur de Texas. Esta fue causada por CMEs,
eyectados en Marzo 9, 1989. Esto provoco también la caída de todos los sistemas de la Bolsa de
Valores de Toronto.
Desde 1989, las compañías productoras de electricidad, evaluaron los riesgos de las Corrientes
Inducidas Geomagnéticamente (GIC), y han estado creando estrategias de mitigación.
Se creó en los 1990s, el Programa Nacional de Clima Espacial, en los Estados Unidos, cuyo foco de
investigación está dado sobre las necesidades de las comunidades militares y comerciales, las
cuales son afectadas por el clima solar, y crear estrategias para integrar la comunidad civil con las
comunidades de investigación.
Desde 1995, las tormentas geomagnéticas, y vientos solares, han estado siendo monitoreadas
usando el instrumento SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) de la NASA-Agencia Europea
Espacial.
En el Febrero 26, 2008, se produjo un evento similar de tormenta, tal que fueron vistas Auroras
en Canadá y Alaska.
En el Marzo del 2009, fue lanzado el SDO (Solar Dynamics Observatory), el cual posee mejores
instrumentos de medida, para ver en tiempo casi real, a 16 millones de megapixeles, el
comportamiento del campo magnético, los CMEs y vientos solares que produce el sol a cada
momento.
Detalles de la Propuesta de Investigación
Algunos datos para nuestra propuesta, serán tomados de estudios realizados por la NASA, y otros
serán obtenidos por aproximaciones de manera que podamos concluir nuestro trabajo de
investigación en el tiempo acordado.
En algunos casos, se harán suposiciones sobre tamaños de CMEs y explosiones solares a partir de
observaciones previas realizadas por la NASA, de las cuales existen muchos datos, los cuales serán
empleados para crear los modelos de aproximaciones de predicciones solares.
Para desarrollar el tema, se requiere el conocimiento de los siguientes temas matemáticos:
• Las Integrales de Superficie, ya que las Ecuaciones de Maxwell en su forma de integral son
en su mayoría integrales de superficies cerradas.
• Algunas herramientas del Calculo Vectorial, para trabajar con conceptos como gradientes,
divergencia, otros.
• Conocimientos esenciales sobre Ecuaciones Diferenciales Parciales, ya que las Ecuaciones
de Maxwell en su forma diferencial son en su mayoría de este tipo.
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Este implica tener claro los conceptos siguientes:
• Campo Eléctrico: se dice que existe en cualquier región en el cual actúan fuerzas
eléctricas. Un campo eléctrico es la fuerza eléctrica ejercida por unidad de carga, sobre un
objeto cargado. Se representa por la letra E como vector, y representa el total de campo
eléctrico en cada punto sobre una superficie en consideración [8] [11].
• Campo magnético: es una región del espacio en la cual una carga eléctrica puntual de
valor q que se desplaza a una velocidad, sufre los efectos de una fuerza que es
perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al campo. Así, dicha carga
percibirá una fuerza descrita con la siguiente igualdad [8] [11].
• Campo Eléctrico Inducido: es aquel campo eléctrico, producido por el efecto de la tasa de
cambio de un Campo Magnético Cambiante. Este es uno de los de mayor interés para esta
investigación.
Las Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los
fenómenos electromagnéticos. La gran contribución de James Clerk Maxwell fue reunir en estas
ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere,
Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y
unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.
Estas ecuaciones están definidas en sus formas integrales y diferenciales, como mostramos a
continuación:
Ley de Gauss sobre el Campo Eléctrico
Ley de Gauss sobre el Campo Magnético
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Ley de Faraday
Ley de Maxwell-Ampere
Ecuaciones de Predicción del Clima Solar
El campo magnético del Sol, es el motor generador de los campos electromagnéticos liberados al
espacio desde la corona; a medida que las líneas del campo magnético orbitan con un incremento
de su velocidad angular, visiblemente es notable un incremento del número de manchas solares
en la corona [21]; estos son indicadores de próximos eventos de tormentas solares turbulentas y
de expulsiones de masas coronal[16]. Estas observaciones son realizadas por el SOHO (Solar and
Heliospheric Observatory) y el nuevo SDO (Solar Dynamics Observatory) de la NASA.
Cuando esto ocurre, se liberan campos electromagnéticos con fuerzas capaces de inhabilitar
cualquier sistema eléctrico o electrónico orbitando la tierra, así como los sistemas sobre la tierra.
El campo magnético del Sol es generado por corrientes eléctricas[3] actuando como un generador
magnético dentro del Sol. Esta corriente eléctrica es generada por un flujo de gases calientes
ionizados en la Zona de Convección del Sol. Este es un perfecto escenario, para la aplicación de la
Ecuación Maxwell-Ampere, pero es muy difícil de medir, por lo que nuestra opción, dado los
avances y datos obtenidos por la NASA, en medir el campo eléctrico inducido, debido al campo
magnético cambiante, que es más estudiado actualmente por la NASA. El Sol posee un ciclo
magnético de 22 años , en el cual cada 11 años se intercambian la posición de los Polos Norte y
Sur. Cuando esto ocurre, es visible la gran manifestación de manchas solares y regiones activas las
cuales migran hacia el Ecuador solar desde altas latitudes del ciclo de manchas solares de 11 años.
Las manchas solares y las Regiones Activas son los fenómenos visibles en la atmósfera del Sol, y
son la manifestación del campo magnético generado en el interior por la fusión nuclear de los
gases y el plasma resultante a altas temperaturas como desde 14,000,000 C hasta 21,000,000 C en
el Kernel.
A continuación, se presenta una tabla con algunos datos de observaciones y características físicas
de la Tierra y el Sol, utilizados en su mayoría en esta investigación.
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Radio de la Tierra 6,371.0 km
Radio Ecuatorial de la Tierra 6,378.1 km
Diámetro de la Tierra* 12,742 km
Área de Superficie de la Tierra 510,072,000 km2
148,940,000 km2 solo tierra (29.2 %)
361,132,000 km2 solo agua (70.8 %)
Gravedad en la Tierra 9.780327 m/s2
Velocidad Orbital Promedio (Tierra) 29.78 km/s o 107,200 km/h
Diámetro del Sol 109 × Tierra* = 1.392×106 km
Radio del Sol 6.955×105 km
Circunferencia del Sol 4.379×106 km
Área de Superficie del Sol 11,990 × Tierra* o 6.0877×1012
km2
Gravedad del Sol 28 × Gravedad de la Tierra*
Velocidad de rotación del Sol 7.189×103 km/h
Cuando un evento solar de nuestro interés de estudio ocurre, se pueden determinar algunas
magnitudes de interés que ayudan a realizar una buena predicción sobre el tiempo de llegada del
campo electromagnético, el tamaño del flujo EM (Electromagnético) y la Fuerza EM, otros. Se
puede determinar geométricamente, utilizando integración de superficie, el área de la zona de
liberación de las cargas del campo EM y finalmente el flujo del campo EM. A medida que se
desplaza el campo EM, la divergencia se mantiene a cero mientras se desplazan las cargas en
movimiento en el vacío. Cualquiera de los dos tipos de campos que sean producidos en un evento
solar (magnético o eléctrico), debe ser analizado en profundidad, ya que pueden ser los causantes
de desastres a nuestro medio en la Tierra.
Predicción simple del tiempo de llegada de una onda electromagnética
Sabiendo que la distancia del Sol a la Tierra es de 149.6 millones de kilómetros o 1 AU (Unidad
Astronómica; esto varia así como la Tierra se mueve desde el perihelio en Enero a aphelion en
Julio), y que la velocidad de la luz es de 300,000 Km/s , determinamos cuanto tiempo dura un
fotón o conjunto de partículas luminosas que viajan desde el Sol a la Tierra; una ecuación bien
simple desde mecánica clásica, nos revela el tiempo que tarde un fotón en llegar desde el Sol a la
tierra:
Este es el tiempo que tarda una radiación de onda electromagnética de cualquier tipo conocido en
el espectro. Es sabido, que todas las ondas electromagnéticas, difieren en general, de su
frecuencia, y su longitud de onda; a pesar de esto, todas viajaran a lo sumo, a la velocidad v = c, la
velocidad de la luz en el vacío.
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Si se desea determinar, a partir su frecuencia, la longitud una onda electromagnética, solo se tiene
despejar a λ (lambda), de la ecuación de frecuencia:
La velocidad con que se mueve la nube de cargas, en el CME producido por el Sol, puede ser
calculado a partir de la siguiente fórmula: V = 1 AU x f = 1 AU / T, donde T es el periodo llevado de
segundos a horas, ya que las unidades astronómicas están dadas en Km/h.
Datos sobre las cargas eléctricas
Un culombio de carga eléctrica, consiste de cargas elementales con valor de 6.242 × 1018 Como
los fotones poseen una carga q = 0 C, y sabiendo que el valor e de una carga eléctrica que viaja en
el campo EM es de 1.602 × 10^−19 C para los protones, y -1.602 × 10^−19 C para los electrones,
podemos variar un poco la velocidad, para ajustar el modelo, o utilizar la misma velocidad de
300,000 Km/s para simplificar las cosas. En nuestro caso, mantenemos las cosas simples, y
asumimos que la velocidad de las cargas en el campo EM, es la misma de la velocidad de la luz.
Sabiendo este dato, solo nos queda desarrollar un conjunto de ecuaciones que nos permitan
determinar si los campos EM liberados son del todo perjudiciales para la vida y los sistemas de los
que depende.
Luego de haber determinado la velocidad y el tiempo que tardan las partículas que viajan en una
onda electromagnética hacia la Tierra, determinamos con auxilio de las Ecuaciones de Maxwell, la
densidad, el flujo eléctrico o la concentración de las cargas eléctricas en el campo EM, así como de
el tamaño del daño que puede causar al tocar la zona de residencia de los sistemas satelitales,
debido a la magnitud de la densidad y la divergencia del campo al aproximarse lo suficiente a la
Tierra, y aplicar su Fuerza en contra del campo magnético de la Tierra.
Trayectoria, Flujo y Fuerza de expulsión de las ondas electromagnéticas
La trayectoria del campo EM hacia la tierra es determinada por los instrumentos del SOHO y el
SDO; ahora veamos algunos importantes detalles que nos ayudaran a conjeturar la fuerza con la
que la onda electromagnética alcanza la Tierra.
Todo depende de si la Tierra esta orbitando en el Perihelio o Aphelio, y ocurre un evento solar con
una magnitud vectorial con dirección hacia la tierra.
Sabiendo por la ley de gravitación universal de Isaac Newton, la cual establece que los cuerpos son
atraídos con una fuerza entre sus masas a una distancia r entre ellos; según Newton, esta fuerza
actúa sobre todo cuerpo en el universo:
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Para el caso de la fuerza gravitacional de la tierra, y sabiendo por la ley que G es la constante de
gravitación universal: M es la masa de la Tierra, m es la masa del objeto de referencia, y r es el
radio de la Tierra.
El valor de G actualmente está dado por:
Para el caso de determinar el valor de la fuerza gravitacional de un campo EM en el Sol, nos
valemos las leyes de Gauss sobre el campo eléctrico, para luego sustituir en la fórmula la masa del
Sol por su flujo eléctrico, y luego, sabiendo el flujo y la densidad del campo EM creado por el Sol
por un evento solar dado, podemos hacer los cambios en la fórmula de la fuerza gravitacional,
para ajustarla a un nuevo modelo.
Hipótesis del Campo Eléctrico Independiente
Según las leyes de Gauss, las siguientes Ecuaciones de Maxwell permiten determinar el flujo
eléctrico de un campo, mediante una integral de superficie o de masa:
En el caso del campo producido por los CMEs y los vientos solares turbulentos o posiblemente por
surgimiento de nuevas manchas solares, esta dado por:
Donde ε0 es la constante de permisividad en el vacio con valor de:
Obviamente, si el núcleo o Kernel del Sol, está formado en alta proporción por el gas Hidrogeno y
Helio, esto nos puede servir para determinar otra constante de permisividad diferente, ya que
estas son diferentes en el vacio como en el núcleo, y se vuelve más resistente a medida que las
cargas llegan a la zona de concavidad [21]. Para mantener la teoría simple en estos momentos,
asumimos este valor.
Si conociéramos esta nueva constante de permisividad, ejemplo τ, la integral luciría de esta
manera:
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Como el Sol es de forma esférica, puede determinarse el campo eléctrico generado en las capas
superiores como la Corona y la Fotósfera, empleando para ello la Superficie especial Gaussiana [8],
de modo que el Flujo puede ser determinado así:
Todo esto es posible ya que el campo Eléctrico inducido en un momento dado lo consideramos
constante para nuestros fines; luego así podremos determinar el valor de la magnitud del campo
Eléctrico para su uso futuro en la investigación:
Finalmente, despejando la ley de Gauss, obtenemos el campo eléctrico en el Sol. Pero como no
sabemos el valor de la carga encerrada Q, debemos auxiliarnos de la densidad de las cargas en el
Volumen del Sol; luego obtenemos a Q de s:
Es obvio que la integración del volumen de la esfera del Sol, es simplemente el volumen del Sol,
donde α es el radio de la esfera como Superficie Especial de Gauss [8][19], y ρ es la densidad de la
carga eléctrica total en el Sol.
Finalmente, tenemos el valor del campo eléctrico del Sol, sustituyendo a Q en:
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Para dar la magnitud de E:
Este es E fuera de la esfera del Sol; ahora, dentro de la esfera, seria para r < α:
La zona roja, indica la localización del evento solar como la Expulsión de Masa Coronal o CMEs.
Para los casos donde necesitamos obtener aproximaciones numéricas, se estará empleando ε0, y
no la constante supuesta en nuestra investigación, τ0. Por tanto, τ0 = ε0 en nuestro modelo.
Observaciones en este modelo Preliminar de Clima Solar
Determinar el campo eléctrico, utilizando la integral de Gauss para el Flujo Eléctrico, solo nos
permite manipular el flujo eléctrico, y el campo eléctrico, independientemente de un campo
magnético que lo induzca (como sucede en el Sol), ya que es sabido que un campo eléctrico,
producido por cargas, es un campo electrostático, el cual difiere al producido por el Sol, ya que
este último es inducido.
Los campos eléctricos que nos interesan, son aquellos inducidos por el campo magnético del Sol,
el cual es un campo magnético cambiante no uniforme. Es por ello que debemos de llevar nuestra
atención, hacia la ecuación de Faraday, la 3ra. En la lista de las Ecuaciones de Maxwell; esta
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describe con mayor exactitud, el campo eléctrico inducido, y nos permitirá avanzar en nuestras
teorías sobre predicciones de Clima Espacial.
Teoría de la Fuerza de Expulsión de Campos Electromagnéticos desde el
Sol.
En esta secuencia, puede notarse la expulsión violenta de masa coronal, la cual es capaz de crear
un campo EM lo suficientemente grande como para barrer todos los sistemas de comunicaciones
satelitales y eléctricos sobre la Tierra.
Las líneas del campo magnético del Sol se van acelerando de menor a mayor latitud, con su
máximo en el Ecuatorial del Sol; mientras más gira el campo magnético solar, mas manchas solares
son visibles en la corona, y más fuerte es este campo. La siguiente gráfica, muestra un "snapshot"
de una herramienta empleada en la NASA, para observar estos fenómenos; esto ocurre basados
en las observaciones de la NASA [21], cuando los campos magnéticos Toroidal y Radial alcanzan
niveles de crecimiento importantes.
El Kernel o núcleo del Sol, genera un campo magnético, el cual a su vez, produce un campo
eléctrico por inducción de cargas en movimiento bajo la fuerza magnética con una gravedad muy
fuerte en la zona de concavidad; la fuerza esta descrita por:
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Donde los φ del Sol y φ nuevo son los campos eléctricos atraídos por la Fuerza Gravitacional; luego
surge un modelo, donde esta fuerza permite que las ondas electromagnéticas de los campos EM
escapen al espacio, algunos con destino a la Tierra; en este caso, la fuerza producida por el campo
magnético del Sol para expulsar un nuevo campo EM con respecto al tiempo, está dada por:
Donde Fs es la Fuerza de Atracción, y Fe es la Fuerza de Expulsión, la cual debe ser k veces la de
atracción pero opuesta como para permitir que la onda electromagnética fluya en el espacio, a
una velocidad cercana a la de la luz.
El problema que surge de hacer depender la fórmula anterior, en función del crecimiento del flujo
del campo magnético del Sol, es que la ley de Gauss especifica que:
Esta ecuación integral indica que el flujo del campo magnético siempre será cero; similar sucede
con la divergencia (la tendencia del campo a alejarse de un lugar con más fuerza que hacia ese
lugar), lo cual se representa así:
Es por eso, que esta hipótesis no se desarrolla muy bien, con respecto a lo observado por la NASA.
Es por eso, que en la siguiente sección, se presentará otra hipótesis más aceptada.
Luego de realizar experimentaciones con los datos y las ecuaciones formuladas aquí, podremos
determinar si estos modelos son aceptables y estables a la vez.
Más adelante, en nuestra investigación, estaremos usando estas fórmulas en los modelos
discretos en Mathematica.
Otra fórmula que surge de la relación de gravidez entre la Tierra y el Sol, conocido como el sistema
Tierra/Sol, es la siguiente:
En esta fórmula, los valores φ/c2 y (v/c)
2 son menores a 1, donde φ el potencial gravitacional, v es
la velocidad de los objetos estudiados, y c la velocidad de la luz (300,000 Km/s).
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Hipótesis de la fuerza electromotriz o Campo Eléctrico producido por
Campo Magnético Cambiante
Esta hipótesis, se basa en la siguiente definición de la Ley de Faraday:
Un campo magnético cambiante produce un campo eléctrico inducido, o una fuerza electromotriz,
que es cambiante en el tiempo, mientras la inducción magnética persista. Esta dada por:
El lado izquierdo, representa el flujo eléctrico producido por la tasa de cambio del campo
magnético cambiante, el cual a su vez crea un campo magnético opuesto al flujo del Sol.
Una conexión entre la circulación del campo eléctrico y el campo magnético cambiantes está dada
por la siguiente regla
Donde emf representa la fuerza electromotriz en movimiento; mientras esté cambiando el campo
magnético, se estará produciendo el campo eléctrico inducido.
La ley de Faraday establece que: un campo magnético cambiante a través de una superficie,
induce un emf en cualquier trayectoria de esa superficie, y que por ende, induce un campo
eléctrico circulante. La superficie puede ser real o imaginaria.
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El signo negativo, significa que el emf resultante es opuesto al flujo cambiante, esto es, el flujo
cambiante se mantiene. Esta, es otra ley llamada Ley de Lenz.
Nota sobre la dirección del campo eléctrico inducido: Si el flujo magnético a través del circuito es
creciente, la corriente inducida produce su propio flujo magnético en dirección opuesta al
desplazamiento del flujo creciente (Ley de Lenz).
Para nuestra teoría, da es la superficie del sol.
En la siguiente grafica, puede observarse, como las herramientas software empleadas por la NASA,
en el SDO, puede mostrar el campo magnético del sol.
Otra forma alternativa de esta ley, es integrando la tasa de cambio de campo magnético
cambiante, influye un emf dado por:
Nota: En la ley de Faraday, la integral es independiente de cualquier superficie, mientras que en la
hipótesis anterior, con la integral de Gauss, la superficie debe ser cerrada.
Armados con estas formulas, podemos suponer ahora, que el campo magnético cambiante del Sol,
induce el campo eléctrico que queremos estudiar.
Este campo eléctrico E = N/C = V/m, tendrá una divergencia igual a cero, por lo tanto, no hay
perdida de las cargas eléctricas, ya que pueden oscilar y transformarse mientras recorren grandes
distancias en unidades astronómicas (AU).
Nota: los campos eléctricos producidos por cargas, se originan en cargas positivas, y terminan en
cargas negativas, por lo que la divergencia es mayor que cero, mientras que aquellos producidos
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por campos magnéticos cambiantes tienen divergencia cero. Esto garantiza la persistencia del
campo eléctrico estudiado.
El campo eléctrico inducido, conduce corriente eléctrica que es capaz de producir a la vez, flujo de
un magnético cambiante; en teoría, esto puede ser la razón del porque los CMEs son disparados
por el sol con gran fuerza hacia el espacio, los cuales terminan formando tormentas
geomagnéticas camino a la tierra.
La siguiente imagen, fue tomada por uno de los instrumentos del SDO llamado HMI (SDO's
Helioseismic and Magnetic Imager (HMI):
Se puede observar fenómenos que describen una gran cantidad de energía liberada.
Un campo EM resultante de un CME, puede sostenerse a sí mismo, por inducción uno sobre el
otro; esto será detallado en secciones posteriores.
El siguiente, es un ejemplo, dada una ecuación ficticia del campo magnético del Sol.
Sea el campo magnético del Sol dado por:
El campo magnético, cambia su tamaño y su radio, en el tiempo. Dando el valor del vector unidad
normal , y considerando que la superficie del sol está dada por , por ser el
Sol una esfera casi perfecta. Asumimos que la esfera del campo magnético cambiante, esta centra
en 0, con radio R.
19 | P a g e
Calcular:
Si pudiéramos determinar una ecuación, para este campo magnético, es muy probable, que
podamos en un futuro, predecir el clima espacial, mas rápido de lo que imaginamos.
Ecuación de Inducción de Campo Magnético del Sol MHD
La ecuación de inducción del campo electromagnético del sol, definida por el campo de la física
llamada Magneto Hidro Dinámica (Davidson 2001, Charbonneau 2010), puede ser integrada para
encontrar el campo eléctrico inducido[20], según la siguiente ecuación de inducción MHD:
20 | P a g e
donde
,
Donde η es la difusividad magnética, y σ es la conductividad eléctrica, y u es el campo de flujo.
Utilizando la forma alternativa de la ecuación de Faraday,
Tenemos, finalmente
De esta forma, obtenemos la fuerza electro motiva, para nuestro modelo de predicciones.
La relatividad y la energía producida en el núcleo del Sol
Las siguientes formulas, fueron presentados en la teoría especial de la relatividad, bajo el tema de
Mecánica de Puntos de Masa, y Leyes de Conservación de la Energía propuesta por Einstein.
El físico matemático Albert Einstein, en su Teoría de la Relatividad[22] nos enseña que la masa de
las partículas aumentan a medida que se mueven tan rápido como la velocidad de luz[23]. Según
Einstein, si se agitan partículas o algunos pocos átomos de materia, con una fuerza suficiente
como para expandir su masa, se puede causar explosiones de grandes magnitudes. Una masa m de
una partícula dada, aumenta al moverse tan rápido como la velocidad de la luz, según la siguiente
ecuación:
Es decir, que a medida que las partículas se mueven con aceleración constante, alcanzan
velocidades por encima de todas las fronteras, en este caso, c o la velocidad de la luz. Esto quiere
decir que en el núcleo del Sol las partículas se están acelerando constantemente, produciendo
21 | P a g e
plasma o energía nuclear por la fusión constante entre los átomos de hidrogeno, helio y otros
elementos de menor proporción como el oxigeno y el hierro.
Por la 2da. Ley de Newton, sabemos que cuando una fuerza F actúa sobre una partícula de masa
m, esta produce un momentum (= m v) a una razón igual a la fuerza:
Pero sabemos por Einstein que la masa no es constante, y que esta aumenta proporcional a la
velocidad. Luego, surge la ley del movimiento de Einstein:
Al aplicar la regla de cadena, y derivar, introducimos la aceleración:
Ejecutando la derivación:
Finalmente, la fuerza F según la relatividad de Einstein, está dada por:
Es esta fuerza es la que produce el trabajo de fusión de las partículas al acelerar su movimiento en
el núcleo del sol; esto es, la combustión constante de los átomos de Hidrogeno y Helio producen
suficiente energía E como para crear el campo eléctrico descrito en la sección anterior.
22 | P a g e
Para demostrar que la energía de las partículas moviéndose en el núcleo, es producida por esta
fuerza F, y que esta energía está relacionada con el aumento de la masa de dichas partículas,
introducimos por Einstein, la ecuación de cambio de masa:
Sabiendo que por la regla de la cadena, la aceleración está dada por:
Luego, integrando la fuerza que acelera las partículas que se desplazan desde el reposo a una
posición x en el núcleo del Sol, obtenemos la energía de fusión en el Kernel o núcleo del Sol:
23 | P a g e
Finalmente, esto relaciona la fusión de las partículas en movimiento en el centro del Sol, con la
energía resultante de estas interacciones. Esta energía es la productora del campo eléctrico y
finalmente el campo magnético por la presión de la zona convectiva del Sol.
Sabiendo lo suficiente sobre el campo eléctrico, magnético y la energía que da origen a estos, es
tiempo de entender algunos fenómenos como lo es la irradiación solar y los aspectos que produce.
La irradiación solar y aspectos climáticos producidos por el Sol
La energía radiante es la primera fuente de energía en la Tierra. Luces de diferentes tipos de
longitudes de onda alcanzan diversas partes de atmósfera la Tierra. Radiación de luz visible y luz
infrarroja alcanzan la superficie calentándola [2].
Según la NASA, la energía deja al Sol como fotones, partículas energéticas y campos magnéticos.
Cada uno de estos tiene un impacto en la Tierra y cercano a la Tierra. Los fotones se mueven en
línea recta del Sol hacia la Tierra, mientras que los otros tipos de energía deben de pasar por un
tortuoso camino a través de la atmosfera del Sol, la heliósfera, hacia la magnetosfera de la Tierra
hasta alcanzar la atmosfera. Los Cambios en el campo magnético del Sol causan todas las
variaciones que impactan nuestra vida y tecnología aquí en la Tierra.
El SDO de la NASA realizará experimentos que medirán las longitudes de onda de la Extrema
Ultra-Violeta (EUV) desde 1 a 1059 Argstrom (0.1 a 105nm), mas la importante emisión de
hidrogeno en 1215 Angstrom. El EUV es absorbido por la atmosfera en altitudes de alrededor de
100 Km. Esto significa que cambios en la irradiación de EUV afectan la termósfera, ionósfera y lo
cercano a la Tierra.
Predicción de la magnitud de los daños producidos por estos fenómenos
Un Flujo de campo magnético cambiante ψm, a través de un campo magnético cambiante,
producirá corriente eléctrica [24]. Por lo tanto, el flujo de un campo magnético cambiante a través
de un bucle o ciclo cerrado produce un campo EM o voltaje V:
24 | P a g e
Un campo magnético cambiante, produce un ca
Donde el voltaje es la integral del campo eléctrico alrededor de un bucle. En el Sol, el campo
eléctrico inducido en la corona o superficie exterior
el voltaje esta dado por:
Donde,
Es la integral de volumen en el núcleo del Sol.
Y,
Es la integral de superficie de la parcial del campo magnético con respecto al tiempo sobre el bucle
de las líneas del campo en el área exterior del sol.
Un campo magnético cambiante, produce un campo eléctrico inducido [25].
Donde el voltaje es la integral del campo eléctrico alrededor de un bucle. En el Sol, el campo
inducido en la corona o superficie exterior, crea un flujo eléctrico no uniforme, por lo que
Es la integral de volumen en el núcleo del Sol.
Es la integral de superficie de la parcial del campo magnético con respecto al tiempo sobre el bucle
de las líneas del campo en el área exterior del sol.
Donde el voltaje es la integral del campo eléctrico alrededor de un bucle. En el Sol, el campo
, crea un flujo eléctrico no uniforme, por lo que
Es la integral de superficie de la parcial del campo magnético con respecto al tiempo sobre el bucle
25 | P a g e
Por lo tanto, el campo magnético B cambiante produce un campo eléctrico E cambiante; el cual se
adhiere alrededor del bucle cambiando el voltaje en todas direcciones. Esto implica que una
corriente variable en el tiempo fluye a través de los bucles [24].
El flujo total a través del circuito eléctrico es igual a la integral del componente normal de la
densidad del flujo B sobre la superficie acotada por el circuito.
El flujo magnético total es:
Esta otra fórmula, da el ritmo de cambio con respecto al tiempo:
Esta forma de la Ley de Faraday, llamada la ecuación de inducción transformadora da el campo EM
inducido debido específicamente a un ritmo de cambio con respecto al tiempo, para un bucle o
circuito que es fijo con respecto al observador.
En un circuito cerrado, el campo EM total inducido por la inducción del movimiento de un campo
es dado por la siguiente ecuación:
La integración está completamente alrededor del circuito en la superficie del sol. Cuando ambos
tipos de cambios (B cambiando con el tiempo y el circuito en movimiento), el campo EM total
inducido es igual a la suma de los campos EMs dado por:
La primera integral, representa el movimiento del campo; da el campo EM inducido por
movimiento. La segunda integral, da el ritmo de cambio con respecto al tiempo; da el campo EM
inducido por el cambio de B. La integral de superficie es tomada sobre toda la superficie S del sol
(asumimos 4πr^2) acotada por el circuito en dicha superficie.
Para el caso especial de solo movimiento, tenemos que:
Por lo que la ecuación se reduce a:
26 | P a g e
La dirección del movimiento.
Para el caso especial del cambio del tiempo de la densidad del flujo solamente, la velocidad v = 0,
luego la ecuación se reduce a:
La tasa de cambio del flujo del campo EM.
Las siguientes ecuaciones, intentan medir el nivel de Energía liberada por los CMEs o Expulsiones
de Masa Coronal por el Sol, y el tamaño de los daños colaterales que puede ocasionar la onda
expansiva al llegar a la Tierra.
Primero, debemos hablar de la propagación de las ondas electromagnéticas en general, y luego
tratar los casos particulares de nuestro proyecto.
Propagación de Ondas Electromagnéticas.
En una onda electromagnética, un campo eléctrico cambiante produce un campo magnético
cambiante, el cual en cambio produce o genera a su vez un campo eléctrico inducido, y así
sucesivamente, resultando en una propagación de energía. Esto es exactamente lo que pasa
cuando se libera una CME desde es Sol: se libera masa coronal cargada por partículas eléctricas en
movimiento, las cuales producen un campo magnético que a su vez crea un campo eléctrico hasta
que finalmente se produce una propagación de energía con una posible trayectoria hacia el
planeta Tierra.
Figura 1. [25]
En este proyecto, solo documentamos la propagación de las ondas en el espacio (como sucede en
nuestro caso).
27 | P a g e
Ondas en el Espacio
Para una onda plana en el espacio, las líneas de campo eléctrico y magnético, E y H, son
perpendiculares a cada uno, y ambos perpendiculares a la dirección o propagación de la onda,
como esta:
Figura 2. La dirección de la propagación con velocidad v[26]
Una onda de este tipo es llamada Onda Electromagnética Transversal o TEM; esta tiene la
siguiente ecuación de onda:
Existen otras formas de llegar a esta fórmula, pero en general, se puede resolver por el método del
producto solución E(t) = X(t) T(t) de esta Ecuación Diferencial Parcial Hiperbólica.
Desde las Ecuaciones de Maxwell, a la Ecuación de Onda
Usando el operador laplaciano, esta es la forma de Maxwell para obtener la ecuación de onda EM
por separado, para el campo eléctrico y el campo magnético:
28 | P a g e
Luego,
Luego,
Nota: E y B son vectores.
Calculando la Impedancia de los componentes de la onda
Se puede calcular la impedancia (magnitud dada por el cociente entre la tensión y la intensidad de
la corriente), de dos maneras diferentes; la primera, obteniendo a I desde Maxwell, y luego a Zo
La otra alternativa, es sabiendo que la razón entre Ey a Hz es una impedancia de Zo dada por:
Para el aire o en el vacío, Zo está dado por:
Esta es la impedancia intrínseca del espacio.
El producto entre Ey y Hz (campo eléctrico y magnético respectivamente) poseen dimensiones de
Potencia por unidad de área, y es llamada vector de Poynting. Por lo tanto,
29 | P a g e
Con esta fórmula se puede determinar la potencia con la cual golpearía una onda EM a los
sistemas satelitales o la Tierra misma.
Para calcular la velocidad de la onda EM, tomaremos un ejemplo:
El campo eléctrico Ey de una onda TEM es de 7000 V/m rms (root-mean-square)[24]: La velocidad
y la magnitud del vector de Poynting |P V|, están dados así:
La velocidad de la luz o c.
Donde µ0 es la permeabilidad en el vacío, y ε0 es la permisividad en el vacío.
Ahora, para calcular la magnitud de la Potencia de la onda EM, tenemos que:
Esa es la potencia eléctrica total que afectaría a los sistemas electrónicos de la tierra. Esta sería
una potencia que produciría graves daños a los sistemas satelitales y puede causar daños a los
sistemas eléctricos en la Tierra.
Modelos Discretos de Predicciones del Clima Solar
Se realizaron algunos modelos para entender mejor el proyecto de investigación. Estos modelos
están en Mathematica.
30 | P a g e
Figura 1. CMEs
(* Modelo de un CME luego de que el campo magnetico del Sol
ha alcanzado la fuerza suficiente para provocar la expulsion
de masa coronal. *)
Manipulate[Graphics3D[
{GrayLevel[cme], Specularity[White, magnet], Sphere[{0,0,0}]},
Lighting → {{"Directional", RGBColor[2, .7, .1], {{1,5,2},
{5,5,0}}}}] , {cme, 0.1, 1}, {magnet, 1, 20}]
31 | P a g e
Figura 2. Núcleo del Sol emitiendo el campo Eléctrico
32 | P a g e
Figura 3. El campo magnético del Sol.
Figura 4. El flujo de campos EM en la Corona del Sol.
33 | P a g e
Figura 5. Algunos de los cálculos expuestos en el proyecto.
34 | P a g e
Figura 6. Computación del Campo Eléctrico en una zona cambiante del sol.
35 | P a g e
Figura 7. Computando la potencia de una onda EM de 7000 V/m
36 | P a g e
Esta imagen, presenta una relación grafica, entre la tierra un CME, y el Sol.
37 | P a g e
Conclusión
Las Ecuaciones de Maxwell permiten a los investigadores de Clima Solar, adaptar estas ecuaciones
para pronosticar futuras emisiones de ondas electromagnéticas, emitidas por los fenómenos
ocurridos en el Sol; esto permite informar a los habitantes de la Tierra sobre los posibles daños a
los sistemas eléctricos, las telecomunicaciones entre otros sistemas de los cuales depende la vida
en nuestro planeta.
Este trabajo de investigación es solo el comienzo a muchos aspectos considerados como temas
recientes de investigación realizados especialmente por los miembros de la NASA y otras
organizaciones espaciales.
Se introdujeron muchos de los conceptos necesarios para comprender el problema; se
presentaron formulas y/o ecuaciones que permiten estudiar los campos eléctricos y magnéticos
producidos en el Sol por el choque constante de los átomos de hidrogeno, helio, oxigeno, carbono
y otros elementos involucrados en la fusión nuclear dada en el núcleo del sol. Se introdujeron
ecuaciones sobre el flujo eléctrico y magnético, la fuerza gravitacional en el Sol, la Fuerza que
produce el movimiento y aumento brusco de las partículas, así como la energía producida por la
fusión en el núcleo del Sol.
También se trataron las ecuaciones sobre el movimiento de los campos EM liberados en los CMEs,
los ritmos de cambio de los campos magnéticos con respecto al tiempo, la velocidad y potencias
de las ondas electromagnéticas liberadas hacia la Tierra.
Finalmente, se presentaron modelos discretos que describen algunas de las ecuaciones
presentadas en nuestro trabajo.
La intensión de esta investigación, es crear la base para futuras investigaciones sobre el tema de
Clima solar, así como las Ecuaciones de Predicción de estos fenómenos.
38 | P a g e
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http://sdo.gsfc.nasa.gov/mission/science/magnetism.php
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12. Aplicaciones de las Ecuaciones de Maxwell
http://www.sfu.ca/physics/associate/emeriti/cochran/MAX.pdf
13. Propagation Tutorial - Maxwell's Equations in free space -
http://www.mike-willis.com/Tutorial/PF2.htm
14. Maxwell Equations Tutorial | TutorVista -
http://www.tutorvista.com/topic/maxwell-equations-tutorial
15. Ecuaciones de Maxwell - Wikipedia
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwell
16. Expulsiones Caníbales de Masa Coronal
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39 | P a g e
17. Todo sobre el Sol
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18. La Velocidad de la Luz
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19. Campos Eléctricos dentro y fuera de la esfera
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elesph.html
20. El paper sobre el ciclo solar y modelos motores del Sol
http://solarphysics.livingreviews.org/Articles/lrsp-2005-2/
21. Dinamo y Plasma solar: Campos magnéticos Toroidal y Radial
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22. Simmons George F., Calculus Gems, The Mathematical Association of America. Páginas 246-248.
23. Theory of Relativity of Albert Einstein
http://en.wikipedia.org/wiki/Mass-energy_equivalence
24. Kraus, John D.; Fleisch, Daniel A., Electromagnetics with Applications, 5ta. Edición. 1999.
25. Discusión de Física sobre electromagnetismo
http://www.physics.ucsb.edu/~androo/academics/TAing/phys24/week2/
26. MySite Edu
http://mysite.du.edu/~lconyers/SERDP/Figure5.htm
27. Tesis sobre NDT
http://web.onetel.net.uk/~gdsexyboy/thesis_NDT_basics.htm
28. Sobre algunos simples modelos en Mathematica
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/SphericalPlot3D.html
http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Sphere.html
http://teachers.sduhsd.k12.ca.us/abrown/Resources/HelpfulFiles/Mathematica/Surface%20Curves.pdf
