3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw

7/24/2019 3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw

1/39

1

2

2

3

1

3

U3, P3

u3,p3U1, P1

U2, P2

u1,p1u2,p2

u1

u2

u3

=

C1 C2 0

-C2 C1 0

0 0 1

U1

U2

U3

C1 = cos

C2 = sin

TRANSFORMASI SUMBU KOORDINAT

Tujuan Pembelajaran Umum

Mahasiswa mampu menyelesaikan analisa struktur dengan cara Analisa

Struktur Metode Matriks (ASMM)

3.5 Pendahuluan Transformasi Sumbu Koordinat

Tujuan Pembelajaran Khusus

Mahasiswa mampu menyelesaikan struktur statis tak tentu elemen balok dan

portal 2 Dimensi dengan transformasi sumbu koordinat

Koordinat Lokal dan Global


2/39

C S 0

-S C 0

0 0 1

C = cos

S = sin

u1u2u3u4

u5u6

=

0

0

U1U2U3U4

U5U6

[ u ] = [ R ] [ U ]

R = matriks rotasi

P1P2P3P4P5P6

=

0

0

p1p2p3p4p5p6

[ P ] = [ R ]T [ p ]

R = matriks rotasi

K

Atau dapat ditulis : u = U

Dimana :

=

Untuk transformasi sumbu sebuah titik dengan 6 dof dapat ditulis :

Transformasi sumbu juga berlaku untuk gaya :

p = P

P = -1

p -1

= T

P = T p

p = k u ; u = R U

P = RT p P = K U

= RT k u K = R

T k R

= RT k R U


3/39

0 0 - 0 0

0 12 6L 0 -12 6L

0 6L 4L2 0 -6L 2L2

- 0 0 0 0

0 -12 -6L 0 12 -6L

0 6L 2L2 0 -6L 4L

2

Matriks kekakuan elemen untuk 6 dof :

6 x 6

Dimana :

= =

[ K ] = [ R ]T [ k ] [ R ]

k =

2323 L

EI6L

EI12-0L

EI6L

EI120

L

EI2

L

EI6-0

L

EI4

L

EI60

22

2323 L

EI6-

L

EI120

L

EI6

L

EI120 -

L

EI4

L

EI6-0

L

EI2

L

EI60

22

00L

EA-00

L

EA

00L

EA-00

L

EA

k =

L

EI

3 I

LA 2


4/39

C -S 0

S C 0

0 0 1

C -S 0

S C 0

0 0 1

0

0

0 0 - 0 0

0 12 6L 0 -12 6L

0 6L 4L2 0 -6L 2L2

- 0 0 0 0

0 -12 -6L 0 12 -6L

0 6L 2L2 0 -6L 4L2

C S 0

-S C 0

0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

g6

0

0

Dimana :

g1 = ( C2 + 12 S2) g5 = 6 L C

g2 = C S ( - 12 ) g6 = 4 L2

g3 = ( S2 + 12 C

2) g7 = 2 L

2

g4 = -6 L S

K =

K =


5/39

q = 1,68 k/ft

L = 10 ft

M = 14 kft = 168 kin

L = 10 ft

1

2 3

1

2

E = 30.000 ksi

A = 5 in2

I = 50 in4

L = 10 ft

1

2

1

2 3

0

0

3

10

0

2

0

0 Sumbu Global

DOF [ Ks ]3 x 31

2

1

2 3

2

4

54

5

6

13 Sumbu Lokal

DOF [ k ]3 x 3

6

1

3

2

2

1

2

x

x

1

= 270o

1 =

C S 0

-S C 0

0 0 1

=

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

Contoh 7 Sebuah portal seperti gambar, dengan menggunakan transformasi

sumbu hitunglah gaya-gaya dalam yang bekerja.

Matriks transformasi batang :

Batang 1 : = 270o cos 270

o = 0

sin 270o = -1


6/39

2 3

x

x

= 0o

2 =

C S 0

-S C 0

0 0 1

=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

0

0

0 -1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 -1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

C S 0

-S C 0

0 0 1

0

0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

Batang 2 : = 0o cos 0

o = 1

sin 0o = 0

R1 = =

R2 = =

Matriks kekakuan system struktur

Elemen 1 :

1 = 331

12).10(

50.30.000

L

EI= = 0,87

1 =50

12).(10.5

I

LA 22

1 = = 1.440

C = 0 ; S = -1


7/39

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

-g4 g6

0

0

0

1

0

2

g1 -g4 0

-g4 g6 0

0 0 0

1

2

3

10,44 -626,4 0

-626,4 50.112 0

0 0 0

{ T } = { 0 0 0 1 0 2 }T

0 0 0 1 0 2

1 2 3

g1 = ( C2 + 12 S2) = 0,87 [ 0 + 12 (-1)2] = 10,44

g4 = -6 L S = -0,87 . 6 . 120 (-1) = 626,4

g6 = 4 L2

= 0,87 . 4 . 1202 = 50.112

Sehingga :

Elemen 2 :

2 = 331

12).10(

50.30.000

L

EI= = 0,87

2 =50

12).(10.5ILA

22

1 = = 1.440

C = 1 ; S = 0

K1 =

K1 =

K1 =


8/39

g1 g2 g4 -g1 -g2 g4

g3 g5 -g2 -g3 g5

g4 g6 -g4 -g5 g7

g1 g2 -g4

g3 -g5

g4 g7 g6

1

0

2

0

0

3

g1 g4 g4

g4 g6 g7

g4 g7 g6

1

2

3

1.252,8 0 0

0 50.112 25.056

0 25.056 50.112

1.263,24 -626,4 0

-626,4 100.224 25.056

0 25.056 50.112

{ T } = { 1 0 2 0 0 3 }T

1 0 2 0 0 3

1 2 3

g1 = ( C2 + 12 S

2) = 0,87 [ 1.440 . 1

2+ 12 (0)

2] = 1.252,8

g4 = -6 L S = -0,87 . 6 . 120 (0) = 0

g6 = 4 L2

= 0,87 . 4 . 1202 = 50.112

g7 = 2 L2 = 0,87 . 2 . 1202 = 25.056

Sehingga :

K1 =

K1 =

KS =

K1 =


9/39

q = 0,14 k/in

168 kin168 kin168 kin0 0

0

168

0

1.263,24 -626,4 0

-626,4 100.224 25.056

0 25.056 50.112

- 1 0

168

0

0,00095

0,00192

-0,00096

Defleksi horizontal di 2

Rotasi di 2

Rotasi di 3

u11

u12

u13

u14

u15

u16

0

0

0

0,00095

0

0,00192

=

0

0

0

0

0,00095

0,00192

Matriks beban :

8,4 8,4

PS =

{ Ps } = [ Ks ] { Us } { Us } = [ Ks ]-1

{ Ps }

Displasement masing-masing batang (koordinat lokal)

u1 = =

US =

US =

0 -1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 -1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1


10/39

u21

u22

u23

u24

u25

u26

0,00095

0

0,00192

0

0

-0,0096

=

0,00095

0

0,00192

0

0

-0,0096

0

1,193 k

47,512 kin

0

-1,193 k

95,620 kin

0

1,193 k

3,959 kft

0

-1,193 k

7,968 kft

1,19 k

-7,8 k

-95,84 kin

-1,19 k

-9 k

168 kin

1,19 k

-7,8 k

-7,99 kft

-1,19 k

-9 k

14 kft

u2 = =

Gaya akhir batang :

Elemen 1 :

{ P1} = [ k1] { u1} + { 0 }

P1 = =

Elemen 2 :

{ P2} = [ k2] { u2} + { Faksi}

P2 = =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1


11/39

q = 1,68 k/ft 14 kft

7,8 k 9 k

1

21,19 k1,19 k

7,99 kft

1,193 k

1,193 k

0

3,959

7,968 kft

3,959

+

-7,99

7,99

14

+ +

-

Free body diagram :

Bidang M :


12/39

+

+

-

1,193

1,193

7,8

9

- 1,191,19

Bidang D :

Bidang N :


13/39

Aplikasi dengan SAP 2000 V9.0.3 Untuk Contoh 6

1.

Menentukan Sistem Grid

Buka program SAP 2000 dengan mengklik Start >> All program >>

Sap2000 9 >> Sap2000.

Klik menu File >> New Model dan ganti satuan dalam bentukKip,ft,F dan

pilihgrid onlyuntuk membuat model


14/39

Setelah memilih menu grid only, maka akan muncul tampilan untuk mengisikan

jarak dan jumlah grid searah sumbu x, y dan z seperti pada gambar berikut.

Isikan pada Number of Grid Lines, X direction = 2, Ydirection = 1, dan Z

directon = 2

Isikan pada Grid Spacing , X direction =10, Y direction = 1, dan Z direction

=10.

Kemudian klik OK.


15/39

2. Mendefenisikan Property Material

Ubah satuan menjadi Kip,in,F hal ini karena satuan dari E adalah Ksi

KlikDefine >> Materialuntuk mendefinisikan material yang akan digunakan.

Pilih Other kemudian klik Modify/Show Material...

Isikan Modulus of Elasticity= 30000 ksi kemudian klik OK 2 kali


16/39

3.

Mendefenisikan Properti Penampang Batang

Pastikan satuan di pojok kanan bawah adalah Kip,in,F

Pilih menu Define >> Frame Section kemudian akan muncul tampilan dialog

Frame Propertiesbox sebagai berikut.

Di bagian Choose Property Type to Addpilih Add Rectanguler kemudian klik

Add New Property


17/39

Kemudian akan muncul tampilan dialog Rectanguler Sectionbox sebagai berikut.

Isikan data-data untuk penampang :

Section Name = FRAME

Material = Other

Dimension : Depth (t3) = 6in; Width (t2) = 4in

Kemudian klik Set Modifiermaka akan keluar dialog box sepeti di bawah ini.


18/39

Ubah parameter Shear Area in 2 directiondan Shear Area in 3 directionmenjadi

0. Hal ini dilakukan karena kita hanya memperhitungkan pengaruh lentur dari

penampang dan tidak memperhitungkan pengaruh geser dari penampang. Selain itu,

nilai Moment of Inertiajuga harus diubah. Hal ini karena nilai Idi soal adalah 50

in4 sedangkan I penampang SAP2000 = 7264121 3 = in

4 (asumsi penampang

yang digunakan adalah segiempat dengan b = 4 in dan h = 6 in), jadi nilai Moment

of Inertia about 2 axis danMoment of Inertia about 3 axisdi ubah menjadi =72

50

0,694444444.

Klik OK 2 kali sehingga muncul dialog Frame Properties box sebagai berikut.

Pastikan batang yang kita beri nama FRAME sudah terbentuk. Kemudian klik OK.


19/39

4. Merubah definisi Tipe Beban

Klik MenuDefine >> Load Casesuntuk membuka menu Define Load, kemudian

akan muncul tampilan dialog Define Loadsbox seperti berikut.

Karena berat sendiri diabaikan maka parameter Self Weight Multiplierdiganti

0, kemudian klik Modify Loaddan Klik OK.

5.

Menggambar Balok

Tutup jendela 3D dengan mengklik tanda X pada window 3D, kemudian pilih

set XZ Viewpada toolbar.

Sehingga muncul window seperti di bawah ini :


20/39

Klik tombol atau klik Draw >> Draw Frame/Cable/Tendon untuk

menggambar frame

Lalu muncul dialog Properties of Objectdan pada section pilih FRAME

Klik pada nodal dan tarik garis FRAME yang akan dibuat seperti pada

gambar di bawah.


21/39

2

1

1

0

1 2

Ingat:pada proses penggambaran frame, frame yang telah di beri nomor 1 pada

soal harus digambar terlebih dahulu kemudian di gambar frame nomor 2 dan

seterusnya. Arah penggambaran frame sesuai dengan titik nodal di soal. Jadi,

frame nomor 1 diatas di gambar dari koordinat sumbu Z+ ke koordinat 0,0

(berlawanan dengan sumbu Z+) untuk frame nomor 2 di gambar dari sumbu X =

0 ke sumbu X+.

Arah penggambaran

Frame


22/39

Untuk melihat section frame klik menu View >> Set Display Option maka

akan keluar dialog Display Option For Active Windowseperti dibawah ini.

Beri tanda Check pada Section pada Frame/Cables/Tendons. Kemudian

klikOK.

Sehingga section frame terlihat seperti pada gambar berikut.


23/39


24/39

6. Memberi perletakan

Select joint 1 dengan cara mengklik joint 1

Klik Assign >> Joint >> Restraints, kemudian akan muncul dialog box

sebagai berikut :

Klik gambar jepit untuk mendefinisikan perletakan sebagai jepit. Kemudian,

klik OK.

Select joint 2


sebagai berikut :

Klik gambar rol untuk mendefinisikan perletakan sebagai rol. Kemudian, klik

OK.

Select joint 3


sebagai berikut :


25/39

Klik gambar sendi untuk mendefinisikan perletakan sebagai sendi.

Kemudian, klik OK.

Hasilnya adalah sebagai berikut :

Select joint 1

Klik Assign >> Joint >> Local Axes, kemudian akan muncul dialog box

seperti di bawah ini. Ubah parameter Rotation about Y menjadi1800.


26/39

Sehingga Local Axes untuk join 3 berubah seperti gambar berikut.


27/39

7. Memberikan Beban

Ganti satuan menjadi Kip,ft,F

Select frame 2 dengan cara mengklik frame 2

KlikAssign >> Frame /Cable/Tendon Loads >> Distributed

Kemudian akan muncul dialog Frame Distributed Loads seperti gambar di bawah

ini. Pastikan satuan pada units adalah Kip,ft,F. Load Case Name sebagai Dead,

Isikan Uniform Load dengan 1,68 pastikan directionnya adalah gravity kemudian

klik OK.

Sehingga muncul pada gambar seperti dibawah ini .

Select joint 3 dengan cara mengklik joint 3

KlikAssign >> Joint Loads >> Forces

Kemudian akan muncul dialog Joint Forces seperti gambar di bawah ini. Pastikan

satuan pada units adalah Kip,ft,F. Load Case Namesebagai Dead, Isikan Moment

about GlobalY = 14 kemudian klik OK.


28/39

Catatan :

Pemberian beban momen sesuai dengan sumbu putarnya. Jika moment resebut

berputar pada sumbu X maka diberikan beban moment pada Moment about Global

X (Mx), jika momen berputar pada sumbu Y maka di berikan momen pada Moment

about Global Y (My)demikian juga untuk beban momen yang berputar pada sumbu

Z.

Pada soal diatas moment berputar pada sumbu Y maka diberikan moment pada

Moment about Global Y. Bila searah berputarnya jarum jam maka nilai moment

negatif (-) namun bila berlawanan dengan perputaran jarum jam maka nilai moment

positif (+).

Y

X

Z

My

Mz

Mx


29/39

Untuk meyakinkan apakah beban momen sudah masuk maka klik kanan joint 3, akan

muncul dialog Point informationbox, pilih Loads.

Kemudian klik OK


30/39

8. Analisis Model

Klik menu Analyze >> set analysis option, maka akan muncul dialog

Analysis Optionseperti pada gambar di bawah ini. Klik pada Plane Frame

XZ Planekemudian klik OK.

Klik menu Analyze >> Set Analysis Cases to Run, maka akan muncul

dialog Set Analysis Cases to Run seperti pada gambar di bawah ini. Klik

pada Modal kemudian klik Run/Do Not Run Case. Kemudian klik Run

Now

Untuk pekerjaan SAP yang belum disimpan sebelumnya, akan muncul

tampilan untuk menyimpan pekerjaan. Simpan pekerjaan SAP yang telah

dikerjakan dengan memberi nama pada File Name, kemudian tekan Save.


31/39

Kemudian akan muncul hasil Run sebagai berikut :

Pastikan tidak ada pesan Warning/Errorpada proses analysis.

Klik kanan pada joint untuk melihat nilai dari rotasi dan defleksi di titik yang di cari

misalnya joint 3 maka klik kanan joint 3.


32/39

Untuk melihat output joint displacement secara keseluruhan bisa dilakukan dengan

cara klik menu Display >> Show table maka akan keluar dialog Choose Tables for

Display klik Joint output >> Displacements kemudian klikSelect Analysis Cases

pilih Dead kemudian klikOK 2 kali.


33/39

0,00095

0,00192

-0,00096

Defleksi horizontal di 2

Rotasi di 2

Rotasi di 3

Sedangkan hasil dari perhitungan dengan menggunakan ASMM didapatkan hasil

seperti di bawah ini.

Perbandingan nilai rotasi metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3

Joint Metode ASMM Hasil SAP2000 Error (%)

1 0 0 0

2 0,00192 0,001921 0,0521

3 0,00096 0,000961 0,1042

Perbandingan nilai translasi metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3

Joint Metode ASMM Hasil SAP2000 Error (%)

1 0 0 0

2 0,00095 0,000017

3 0 0 0

US =


34/39

9. Menampilkan nilai bidang M (Momen)

Klik menu Display >> Show forces/Stresses >> Frames/Cables maka akan

muncul dialog Member Forces Diagram for Frames seperti gambar berikut.

Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Moment 3-3,

pilih Show values on Diagram, setelah itu klik OK


35/39

10.Menampilkan nilai bidang D (Gaya Lintang)



Pastikan Case/Combo Namesebagai Dead kemudian klik pada Shear 2-2, pilih

Show values on Diagram, setelah itu klik OK.


36/39

11. Menampilkan nilai bidang N (Gaya Normal)



Pastikan Case/Combo Name sebagai Dead kemudian klik pada Axial Force ,

pilih Show values on Diagram, setelah itu klik OK.


37/39

Untuk melihat output gaya dalam Momen, Gaya Lintang dan Gaya Normal secara

keseluruhan bisa dilakukan dengan cara klik menu Display >> Show table maka

akan keluar dialog Choose Tables for Display klik Element Output >> Frame

Output kemudian klikSelect Analysis Casespilih Dead kemudian klikOK

Kemudian klik OK maka akan keluar dialog Element Forces-Frames


38/39

Pada dialog Element Forces - Frames klikfile >> Export current table >> to

Excel

Maka akan dihasilkan table Output Frame dalam format Excel seperti gambar

berikut.


39/39

Perbandingan nilai Momen metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3

Joint Metode ASMM

(Kip-ft)

Hasil SAP2000

(Kip-ft)

Error (%)

1 3,989 3,9926 0,09

2 -7,99 -7,9955 0,069

3 -14 -14 0

Perbandingan nilai Gaya Lintang metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3

Posisi Metode ASMM

(Kip)

Hasil SAP2000

(Kip)

Error (%)

1kr 0 0 0

1kn 1,193 1,199 0,503

2kr 1,193 1,199 0,503

2kn 7,8 7,8 0

3kr 9 9 0

3kn 0 0 0

Perbandingan nilai Gaya Normal metode ASMM dan SAP2000 V9.0.3

Frame Metode ASMM

(Kip)

Hasil SAP2000

(Kip)

Error (%)

1 0 0 0

2 1,19 1,199 0,4737

Documents

3958-Ewahyuni-3 _Transformasi Sumbu Koordinat_psw