3.AIAA.Goldschmied.1964.SkinDrag

8/3/2019 3.AIAA.Goldschmied.1964.SkinDrag

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AN APPR OAC H TO TURBULENT INCOMPRESSIBLE SEPARATION AND THEDETERMINATION O F SKIN-FRICTION UNDER ADVERSE PR ESSU REGARDIENTSbYFABIO R. GOLDSCHMIEDS p e r r y Ut a h C o m p a n ySalt Lake City , Utah

AIAA PaperNo. 64-465


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A N APPROACH TO TURBIJLENI I!CO?APR5SSIXE SEPARATION AN D THE D5TERMINATION OFSKIN-FRICTION UNDER ADVERSE PRESSllRE GRAnIFNTS

FABIO R. GOLDSCHMIEDS p e r r y U ta h C om Danv. S a l t L a F t v , Utah

SU?.%lARY 2 S k in - f r i c t i o nS k i n - f r i c t i o n @ x1So *A t u r b u l e n t s e p a r a t i o n c r i t e r i o n i s d e v e l o p e d H r 6 P r o f i l e f o r m p a r a m e t e rt h e o r e t i c a l l y , r e l a t i n o t h e maximum p r? s sw r e re - aCfo

c a v e r y -r a t i o a t s e p a ra t i o n t o t h e s k i n - f r i c t i o n co- C f S k i n - f r i c t i o n c o e f f i c i e n te f f i c i e n t a t t h e s t a r t o f t h e a d v e r se g r a d i e n t , i . e .t h e p o i n t o f m i n i m u m p r e s s u r e on h y d r o f o i l o r sob-meroed body. T h i s c r i t e r i o n s h o w s v e r y go od a g r e e -ment w i t h t h e r e s u l t s o f f i v e e x p er i m e n ta l runsf r o m s e v e r a l t e c h n i c a l s o t ~ r c e s . C p, P r e s s u re c o e f f i c i e n t Q x sS k i n - f r i c t i o n c o e f f i c i e n t @ x 1

CP P r e s s u r e c o e f f i c i e n t

Ro= F r i c t i o n e q u i v a l e n t f l a t - p l a t e R e yn ol dse

X.UMA m et ho d of c o m p ut in u t h e s k i n - f r i c t i o n i s a l s oq i v e n a n d i t h a s b ee n a p p l i e d t o t h r e e e x p e r im e n t a l N u m b e rr i ins ; t h e a g r e e n e n t i s g oo d i n t wo c a s e s a n d p o o ri n t h e t h i r d . The p r e s e n t t h e o r y i n d i c a t e s t h a t V F l u i d k i n e m a ti c v i s c o s i t ys e p a r a t i o n w i l l m v e u p s tr ea m w i t h i n c r e a s i n gR e y n o l d s )!umber, t h e r e f o r e a f f e c t i n g s u b s t a n t i a l l yt h e s c a l i n n p r oc e d ,i r e fr om m odel t e s t t o p r o t o t y p e ' s

F l u i d m as s d e n s i t y

INTROnUCTIONThe t h e o r y a l s o i n d i c a t e s t h a t i n v i s c i d p r e s s u r ep r o f i l e s w s t be c o n s i d e r e d i n r e l a t i o n t o t h ed e s i r e d o p e r a t i o n a l R e y n o ld s N um ber, s i n c e t h ee f f e c t i v e p r e s s 'm e q r a d i e n t s an d t h e p r e s s u r e r e -c o v er y r a t i o w i l l c h a nu e . T he p r e s e n t t h e o r y i sb a s e d on t h e a s s 1 m p t i o n s o f d i s s i p a t i v e - r e g i o ns i m i l a r i t y un d er a n y p r e s s u r e g r a d i e n t an d of ac o n s t an t t o ta l - h e ad l i n e a t a f i x e d d i s t a n c e f ro mt h e w a l l un d er a d v e r s e p r e s s u r e g r a d i e n t s . T h i sl a t t e r a s s ' i n p t io n h a s b e en f ou nd t o h o l d o n l y a p-p r o x im a t e 1 y; i t a f f e c t s t h e s k i n - f r i c t i o n c a l c u la t i o nb u t n o t t h e s e p a r a t i o n c r i t e r i o n .

LIST OF SYPaOLSx S t r ea n w i se d i s t a n c e

S t r e a r w i se s e p a r a t i o n d i s t a n c eP o i n t o f m i n i m u m p r e s s ur e an d s t a r t ofa d v e r s e p r e s s u r e g r a d i e n tE q t ii v a le n t r e f e r e n c e l e n g t h

The p ro bl em o f t u r b u l e n t f l o w s e p a r a t i o n h a sbeen and s t i l l r e m a i n s t h e f u n d am e n t a l p r o bl e m o fh y dr o dy n am i cs . T he p r e d i c t i o n o f t u r b u l e n t s e p a-r a t i o n w ould a l l o w t h e c a l c u l a t i o n o f t h e a c t u a lp r e s s u r e d i s t r i b u t i o n a n a h y d r o f o i l or on a sub-m er ge d b od y a nd t h e r e f o r e a l l o w t h e p r e d i c t i o n o fa c t u a l h y d r od y n am i c f o r c e s a n d m om en ts. F u r t h e rm or e, s c a l e e f f e c t s be tw e en m o de ls an d p r o t o t y p e sc a n be a c c u r a t e l y a s s e s s e d o n l y t hr o u g h a n u n de r -s t a n d i n s o f t h e p he no me no n of s e p a r a t i o n .F u r t h e r m o r e , l i t t l e i s known a s y e t a b o u t t h ei n v e r s e p r o b l e m , i.e. t h e p r o b l e m of d e s i g n in g t h em o st s u i t a b l e a d v e r s e p r e s s u r e g r a d i e n t f o r maxim uml i f t / d r a g r a t i o o f h y d r o f o i l s o r f o r m inimum d r a g

o f s u b m e r ge d b o d i e s o f m axim um d i s p l a c e m e n t .T he a d v e r s e p r e s s u r e g r a d i e n t may b e c h o s e n t ob e o f l i n e a r , c o n c a v e o r c on ve x p r o f i l e o r i t ma yb e c h o s e n t o be s t e p w i s e d i s c o n t in u o u s , a s w i t h

J


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I t i s seen t h a t a l l t h e m eth od s f a i l a g a i n s t t h er e s u l t s o f t h e C l au s e r p re g s ur e d i s t r i b u t i o n No 2.T he m e th od o f T r u c k e n b r o d t a p p e a r s t h e m o s t s u i t -a b l e f o r e n g i n e e r i n q u sa g e an d a l s o i t p r o v i d e st h e l e a s t boor a g re e me n t , a mo n g a l l m e t h o d s , w i t ht h e C l a u s e r resu l ts .vH a v i n g a t t a i n e d t h e m o m e n t u m t h i c k n e s s Q afldt h e f o rm p a r a m e r H, i t i s p o s s i b l e t o e m pl oy t h eL u d wie g -T i l lma nf r i c t i o n a nd t o a l s o e s t i m a t e t h e s e p a r a t i o n p o i n tby e x t r a p o l a t i n p t h e c om p ut ed s k i n - f r i c t i o n c u rv et o z e r o (p r o vi d ed , o f c o u r s e , t h a t 'J a n d H v a l u e s

are c o m p u t e d c o r r e c t l y ) .

-i e q u a t i o n t o o b t a i n t h e s k in -

I t w o , , ld be p o s s i b l e t o concliide t h a t t h ea h o v e m e t h o d s w e r e a d e q u a t e i f i t w a s n ' t f o r t h ee v i d e n c e o f t h e s o - c a l l e d ' e q u i l i b r i u B " b o un da ry -l a y e r s o f C l a u s e r and 3. S. S t r a t f o r d , w h e r e Hf l a t t e n s o ii t r a t h e r th a n i n c r e a s i n g s h a rp l y . Thee q u i l i b r i u m b o u n d a r y - l ay e r s , p r o d uc e d b y a p a r t i -c u l a r l y c on ca ve p r e s s l ir e d i s t r i b u t i o n , will r u n, w i t h p r o f i l e s i m i l a r i t y d e s p i t e th e a d v e r s eg r a d i e n t . ' N h et h e r s u c h b o u n d a r y - l a y e r w i l l o r w i l ln o t s e p a r a t e e v e n t , i a l l y , t h e a l l o w a b l e p r e s s u r er e c o v e r y i s f i n i t e b sc a u se o f t h e s h ap e o f t h ep r e s s w e d i s t r i h u t i o n b eco min q as y m p to t ic .

ANALYSISGene pa 1

The p r e s e n t a n a l y s i s i s b a s e d o n t w o p h y s i c a lo b s e r v a t i o n s r e a a r d i n q c o n d i t io n s w i t h i n a n i n -c o m p r e s s i b l e t w o - d i m e n s i o n a l t i i r b i i l e n t b o w nd ar y- -l a y e r ' in de r ad v e r s e p r e s s u r e q r a d i e n t s . B ot ho b s e r v a t i o n s a r e d i r e c t l y v e r i f i e d b y e x p er i m e n ta le v i d e n c e . The c o n c l i i s i o n s c o n c e r n in n p r e d i c t i o no c t h e s d n a r a t i o n p r e ss u r e - r e c o v e ry r a t i o and oft h i s k i n - f r i c t i o n t r e n d a r e v e r i f i e d a g a i n s t f i v ee x p - r i m e n t a l runs.n i s s i o a t i v e 3 eq i an S i m i l a r i t y

-The C i T st o h s s r v a t t o n p e r t a i n s t o t h e so -c a! .l ed d i s s i p a t i v e r e q i o n $ w i th i n t h e b o un d ar y -

s h o ul d a l w ay s be e x p e c t ed o n l y i n t h e d i s s i p a t i v er e g i o n c l o s e t o t h e w a l l , a n d n o t i n t h e res t o ft h e bo u n da r y -l a y er . O n ly i n t h e s p e c i a l c a s e o fe q u i l i b s i u m b o u n d a r y - l a y e r s , a s d e m o n s t r a t e d b yC l a u s e rf o r t h e c o m p l e te b o u n d a r y - la y e r u n d e r a d v e r s ep r e s s u r e - g r a d i e n t s . E x p e r i m e n t a l p r o o f o f d i s -s i p a t i v e - r e g i o n s i m i l a r i t y i s g i v e n b y u d w i e g a n dT i l l m a n 7 a n d b y S c h l r b a u e r a n d K l e b a n o f f . D a t af ro m b o un d ar y -l ay e r p r o f i l e s r a n g i n g f ro m f l a t -p l a t e t o s e p a r a t io n a r e p l o t t e d t o g e t h e r i n t h eK a r m a n l o g a r i t h m i cand shown i n F i g . 1 a n d i n F i g . 2 .

a nd S t r a t fo r d ' c a n s i m i l a r i t y he e x p e c t e d

$.

a n n e r , i . e . u/x* VS. log,. W/ynif t i s s e e n t h a t u p t o U/U* = 2 0 a nd u p t oy u * / ~ = 5 0 0 , a l l d a t a p o i n t f a l l o n o n e u n i v e r s a lc u r v e , r e g a r d l e s s of p r e s s u r e g r a d i e n t , tip t os e p a r a t i o n . I n F i g . 2 t h e v e l o c i t y p r o f i l e b e q i n s

d e v i a t i n g a t yu*/u = 100 f o r t h e x = 2 5 . 0 f t .s t a t i o n . S i n c e s e p a r a t i o n i s o b se r ve d a t x = , 2 5 , 4f t . , t h e p r o f i l e d e v i a t i o n c an w e l l be e x p e ct e d a tx = 2 5 . 0 f t .H ow ev er, e v e n t h i s d e v i a t i o n w i l l n o t a f f e c tt h e a n a l y s i s , a s w i - 1 1 be d i s c u ss e d i n t h e n e x ts e c t i o n , b e c a u s e t h e yu*/u v a l u e s o f i n t e r e s t nears e p a r a t i o n w i l l b e much l e s s t h a n 100 a n d a c t i u a l l yo f t h e o r d e r o f 10. T he v a l u e s o f u* e mp lo y e d i np l o t t j n g ' t h e p r o f i l e s o f F i g . 2 a r e n o t t h e h o t -w i re ex p e r im e t a l s k i n - f r i c t i o n d a t a o f S c h u b a u e r

a n d K l e b a n o f f b u t a r e so m ew h at l o w e r a n d a r e sh o wni n F i g . 10. aAs i t i s g e n e r a l l y a g r ee d , t h e h o t- w i r e d a t aare c o n s i d er a b l y to o h ig h , a t l e a s t by a f a c t o r o f1 .25 . A t t h e 17.5 f t . s t a t i o n ( s t a r t o f p r e s s u r eg r a d i e n t ) t h e h o t- w ir e s k i n - f r i c t i o n v a l u e sh o ul da g r ee w i t h t h e c o e n t i o n a l f l a t - p l a t e f o rm u la e ,s u c h a s F a l k n e r ' s , S c h u l z - G r u n o w ' s l l , e t c . Ane x p e r i m e n t a l m eth od f o r t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h es k i n f r i c t i o n m ay be d e r i v e d f ro m t h e a b o v e co n-

c l u s i o n s ; i t w o u l d be s u f f i c i e n t t o ,m e a su r e t h ev e l o c i t y a t some f i v e p o i n t s ' w i t h i n t h e d i s s i p a t i v er e g i o n a nd t h e n f i n d by t r i a l - a n d - e r r o r t h e v a l u eo f ii * f a r. - r h ic h t h e p o i n t s b e s t f i t t h e u n i v e r s a lc u r v e . A s m a l l w a l l- m o u n t e d f i x e d r a k e i vo ii ld b e a

m


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r e c o g n i z e d t h a t w i t h i n t h e b o u n d a r y - l a y e r a t c om p ar -a t i v e l y l a r g e y d i s t a n c e s f ro m t h e w a l l t h e t o t a lh e a d d e c r e a s e s . I n f a c t , on a f l a t p l a t e w i t h z e r og r a d i e n t s , t h e t o t a l h e a d d ec r e a se s a t a l l y > 0d i s t a n c e s .Ho we v e r , wh a t i s n o t g e n e r a l l y r e c o q n i ze d i s

t h a t u n de r a d ve r s e p r e s s u r e q r a d i e n t s , a t s m al l yd i s t a n c e s f ro m t h e w a l l , t h e t o t a l h ea d d e f i n i t e l yi n c r e a s e s , w h ic h m ea ns t h a t e x c e s s e n e r g y i s b e i n gs , i p p l i e d t o t h e f l u i d l a y e r . H ow ever s t r a n g e t h i sn o t i o n may seem a t f i r s t , i t i s i n a g re e m en t w i t ht h e c o n c e p t o f t h e d i s s i p a t i v e l a y e r r e c e i v i n g t h ee n e r q y f l o w t r a n s f e r r e d down f ro m t h e e n e r g y t r a n s -f e r r e q i a n . Som e e x p e r i m e n t a l e v i d e n c e seems t oi n d i c a t e t h a t s uc h i n c r e a s i n g t o t a l -h e a d l i n e s a r ei n d ep e n d en t o f p r e s s u r e g r a d i e n t , a t l e a s t when t h ea d v e r s e p r es s u r e g r a d i e n t i s n o t t o o h i g h . F i g . 3s h o w s the t o t a l h e a d a h a g a i n s t st r ea m w i s e d i s t a n c ex f o r b ot h a w ea k a nd a s t r o n g p r e s s u r e g r a d i e n t , a sa d i s t a n c e y = 0 . 04 0 " o r Y/& = 0405 ( w h e r e So i s t h ei n i t i a l b o un d ar y -l ay e r t h i c k n e s s ) . I t i s seen t h a tb a t h t r e n d s a r e p r a c t i c a l l y t h e sam e. The a d v e r s ep r e ss u re - g ra d ie n t s t a r t s a t x = 0. F i g . 3 i s p l o t -t e d f r o m s o m e u n p u b l i s h e d NACA d a t a b y G o l d s c h m i e d l 3 .F i g . 4 shows a c o m p le t e p l o t o f h-%/&PUz VS.x a t c o n s t a n t y f r o m t h e d a t a o f S c h u b a u e r a n d K leb-a n o f f 4 . I t i s s e e n t h a t t h e r e a r e l i n e s o f d e c re a s-i n g t o t a l - h e a d p a r a m e t e r f o r y =1.00 ", ys0.50" a n dy=0.40" a nd l i n e s o f i n c r e a s i n q t o t a l - h e a d p ar am e te rf o r y=O an d ~ 0 . 1 0 " . A t y=0.23" t h e r e i s a l i n e of-u b s t a n t i a l l y c o n s t a n t t o t a l - h e a d , b ou nd ed b y t h ei n c r e a s i n g t r e n d s a n d by t h e d e c r e a s i n g t r e n d s .F i g . 5 s ho ws a c o m p a r a b l e p l o t f o r w h a t i t i s c l a i m -e d t o b e t h e e x t re m e p r e s s u r e - g r a d i e n t c a s e , n am e lyt h e z e r o- r i c t i o n e q u i l i b r i u m e x pe r im e n t o fS t r a t ord'. '

I t i s s e e n t h a t t h e r e a r e t r e n d s a t c o n s t a n t yd i s t a n c e w h ic h a r e b o t h d e c r e a s i n g a n d t h e n i n c r e a s -i n g , t h u s i n d i c a t i n g t h a t t h e r e c an n ot be a l i n e o fs u b s t a n t i a l l y c o n s t a n t t o t a l -h e a d , a l th o u g h t h e r ei s a l i n e w i t h t h e same t o t a l h ea d v a l u e a t t h eb e g i n n i n u and a t t h e e n d. I f u s e f u l r e s u l t s c a n bea c h i e v e d , i t i s p e r m i s s i b l e t o make t h e + i m lea s s u m p t i o n , a s s i i o g e s t e d b y G o l ds ch m i ed & a t

D e t e r m i n a t i o n of S k i n - F r i c t i o nA t s o m e d o w n s t r e a m s t a t i o n ( a t y=yc), h=hc andt h e v e l o c i t y u c may be f o u nd a s f o l l o w s :

P + e (ZOU: : ) 2 ' P + iCY:.J

N o t i n q t h a tt h e n

I t c a n be w r i t t e nNow Cp i s know n f r om t h e p r e s s u r e d i s t r j b u t i o n ,o b t a i n e d e x p e r i m e n t a l l y or t h e o r e t i c a l l y .Cp, a nd Pm r e p r e s e n t t h e v e l o c i t y , p r e s s u r e c o -e f f i c i e n t an d p r e s s u r e r e s p e c t i v e l y a t t h e p i n t o f

= ~ 2 0 0 C & , - C pUMI f U,>,

m i n i m u m p r e s s u r e : v 2c p = 1 -(-)Vrv!Ut4w h e r e v = !- vh, = n;;10

a n d Uo i s t h e f r e e - s t r e a m o r f l i g h t v e l o c i t y . T hu swhen u a n d y = y c a r e !mown, t h e s k i n - f r i c t i o n . c o -e f f i c i e n t c f may be f o u n d a s f o l l o w s :T a k e G = g e

K =a n dThenOn t h e o t h e r h an d: K = A + 8 *a n d y./u = 5 0 O / i t o 'From F i g s . 1 a n d 2 : A = 6.67, B = 4.93a n d s u b s t i t u t i n g f o r G, t h e r e f o r e :T he tw o e q u a t i o n s f o r G ma y be s o l v e d g r a p h i c a l l ya n d t h e G v a l u e d e t e r m i n e d f o r e a c h C p a n d f a r aknown i n i t i a l s k i n f r i c t i o n c o e f f i c i e n t Cfs

a n d CJ Cfe 6' $F i g . 6 sh ow s Cf p l o t t e d a g a i n s t Cp f o r s e v e r a l

J= 6.67 t 4.93 log, , [50x1\ l X h / G * 6.67+4.93 loq,, [SOOG]


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v

f ou nd ex p e r i m e n ta l l y t h a t t h e v e l o c i t y p r o f i l e i ss u b s t a n t i a l l y l i n e a r . P e rh a ps t h i s i s so b e c a u s et h e v e l o c i t y g r a d i e n t i n d uc ed b y JP/SX o c c u r s o n l yl o c a l l y a t t h e v e r y w a l l . F ig s . 1 a n d 2 show s i m i -l a r i t y f 3 r a l l p r o f i l e s a t t h e ed ge o f t h e s u b l ay e r .T hu s a t y c = $1 c o r r e s p o n d i n g t o yc U"/v = I1 :F u r t h e r m o r e , i t i s known t h a t t h e s h e a r c o r r e l a t i o nv a n i s h e s n e a r t h e s u b l a y e r , ( - u ' v ' ) i 0 . I tm i s t f o l l o w t h a t J 6H ow ev er, s i n c e t h e i n t e g r a l c a nn o t go t o z e r o be-c a u s e t h e f u n c t i o n is f i n i t e , a t l e a s t a t t h e u p p e rl i m i t , P u b y m u st go t o z e r o . T he f a c t t h a t a u / a yb ec om es z e r o s a t i s f i e s the c o n v e n t i o n a l d e f i n i t i o no f s e p a r a t i o n . S e p a r a t i o n s h o ul d t h e n e n s u e w h e nt h e a ss um ed c o n s t a n t to t a l - h e a d l i n e r e a c h e s thel a m in a r s u b l a y e r .

a/ay (Y a u / a y ) = oaY 0 ax ~ Y = O

I n t h e l a m i n a r s u b - l a y e r , a s s u g g e s t e d b y VonI n the d i s s i p a t i v e r e g i o n :The l i m i t o f t h eKarman: u/u* = yu* /v .U/U* = 6.67 t 4.93 l o g l o yu*/y .l a m i n a r s u b l a y e r i s o b t a i n e d a t t h e i n t e r s e c t i o n o ft h e *NO e a u a t i o n s a t : u/u* = vu*/v = 1 2 . A t t h e

D a t e S e tI -

11. -111. -IV. -v -

A u t h o r : Vo n D o e n h of f a n d T e t e r v i n 3 1943T e s t Run : NACA 6 5 ( 2 1 6 ) 2 2 2 A i r f o i l@d= 10.10A u t h o r : S c h u b a u e r a n d K l e b a n o f f 4 1 9 5 0T e s t Run: M a i n T e s tA u t h o r : S a n d b o r n 1 6 1 9 5 3T e s t R un : 2 5 " 'WG. S u c t i o nA u t h o r : C l a u s e ' r5 1 9 5 4T e s t R un: P r e s s u r e D i s t r i b u t i o n No. 2A u t h o r: S t r a t f o r d ' 1 9 59T e s t R un : Ma in T e s t

I t i s t o be n o te d t h a t t h e s k i n - f r i c t i o n i s g i v e nc o m p l e t e l y o n l y i n I1 a n d 111. F O P t h e e q u i l i b r i ml a y e r s I V a n d V s e p a r a t i o n i s n o t i n d i c a t e d by t h ea u t h o r s , a l t h o ' i q h i t i s m s t p r o b a b l e t h a t i t d i do c c u r s o m ew h e re d o w n s t r e a m ; h o w e v e r , s i n c e s u c hp r e s s u r e d i s t r i b u t i o n s b ecome e v e r f l a t t e r s tr ea m -w i s e , i t i s e a sy t o e s t i m a t e t h e ma x imu m p re s s u re -r e c o v e ry r a t i o a c h i e v a b le .

I , _p o i n t o f m inimum p r e s s u r e ( s t a r t o f t h e a d v e r s eg r a d i e n t ) : YCU& 5 0 0 .T h e r e f o r eS i n c e UO'= urn w ~

D a t a R e d u c t i o nA t t h e p a i n t o f S e p a r a t i o nAs s u g g e s t e d by t h e p r e s e n t t he o r y , t h eCUS*/Y = 12. VUS"/U,* = 1 2 /5 0 0 = 1/41.5 s e v e r a l p re s su r e d i s t r i b u t i o n s w i l l b e p l o t t e d i nt h e f o r m C,+/Cfo VS. x/xO. T he n o r m a l i z i n g l . e n q thxo i s d e f in e d a s t h e e q u i v a l e n t l e n g t h o f f l a t -

p l a t e ru n a t v e l oc i . t y V w h i c h i s r e q u i r e d t op r o d u c e a l o c a l s k i n - f r i c t i o n C o e f f i c i e n t e q u a l t ot h e a c ti .l a l C f o o f t h e t e s t . A t s e p a r a t i o n , C p s / c f os h o ) r l d a l w a y s be i n t h e v i c i n i t y o f 2 00 .D a t a S e t I:A t s t a r t i n g p o i n t 0 , / c = 0 . 5 5%O-', KJee./~1'1.45~10'A i r f o i l R e y n o l d s N um ber R = X = j , @ * 1 0 6

B u tT h e r e f o r e us/Um = l / 3 . 4 5 m = d400 Cf,/z -Cps Y- T he a b o v e e q u a t i o n b e co m e s the s e p a r a t i o n c r i t e r i o n O"= I .GZo g v 'o L 1.15 ( S e p a r a t i o n c l e a r l y i n d i c a t e d )o f t h e p r e s e n t t h eo r y . ~ M % / v = Re' 145x I.G2r:103 = 2 . 3 5 ~O 3T he f o r m p a r a m e t e r Yo = 1.565 a t t h e s t a r t i n gp o i n t . U s in g t h e L u dw i e? -T i ll rn an 7 s k i n - f r i c t i o ne q u a t i on , s i n c e t h i s i s n o t a f l a t - l a t e bo un da ryl a y e r : C#, = 0.246/10~C78H0e

T he , s e p a r a t i o n p r e s s u r e - r e c o v e r y r a t i o will be:Crs=1-w' = l - ~ - I - 0 . 5 0 5 ,. G 1 C p s = 0 . 4 9 5The f i r s t q u e s t io n i s w h e t h e r Cp s b e co m e s e q u a lo r l a r g e r t h an 1. 0 ( p h y s i c a l l y i m p o s s ib l e ) f o r t h eh i g h e s t v a l u e s o f C f , w h i c h i s a c h i e v ab l e f o r t u r -b u l e n t b o u n d a r y - l a y e r s . S. Dhawan14 shows Cf =0 .0 04 4 a s t h e h i q h e s t e x p e r i m e n t a l v a l u e , w h i l e

= 6.00267


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D a t a S e tI

I1I l lI VV

RO CPS xo ,F t XO/Cf o0.0025 9x106 0.528 9.0 ---0.00315 1 x 3 x % 0 6 0.620 6.9 ---0.0040 5x1O5 0 . 8 2 6 1.93 ---0 . 0 0 3 5 1x106 0 .682 3.0 ---0 . 0 0 2 6 7 6 x 1 0 6 0 .4 9 5 --- 1 .4

Number i s v e r y lo w and xo i s s m a l l ; i t i s s e e n h o wt h e p r e s s u r e - r e c o v e r y c a p a b i l i t y 3 f t h e b ou nd ar y-l a y e r i s t a k e n i n t o a cc o un t i n t o t h e s t r e an w i s el e n g t h n o r m a l i z a t i o n .t h e r e i s g o o d a g r e e m e n t f o r a l l f i v e e x p er i m e n ta lr e f e r e n c e s , r a n q i n g f r om C ps = 0.50 t o Cps z.O.826.I t i s w e l l know n t h a t t h e c u s t o m a r y H c r i t e r i o n f o rs e p a r a t i o n Gioiild f a i l f o r b o t h e q u i l i b r i u m c a s e s( I V and V).p r e s e n t t h e o r y p r e d i c t s t h e m aximum p r e s s u r e -r e c ov e r y r a t i o a c h i e v a b l e , n o t a l o c a l p r o f i l e - f o rmp a r am e t e r o r a l o c a l p r e s s u r e - q r a d i e n t p a r a m e t e rf o r s e p a r a ti o n .

F i g . 8 shows C f o VS. Cps ;

.JIt i s t o be r e p ea t e d h e r e t h a t t h e

I n a d d i t i o n , i n F i g . 8 t h e r e a r e p l o t t e d f o u rs u p e r s o n i c p o i n t s a t M ach n u m b er s o f 2 a n d 3, t od e m o n s t r a t e t h e c a s e o f v e r y low p r e s s u r e - r e c o v e r -i e s an d s k i n - f r i c t i o n v a l u e s , t a k e n fro m t h e workof Dona ldson and Lanqe l ' .I t i s t o be n o t ed t h a t t h e s e p a r a t io n c r i t e r -i o n o f t h e p r e s e n t t h e o r y s ee ms t o be w e l l v e r i f i e dby a r a n g e o f e x p e r i m e n t a l d a t a d e s p i t e t h e s i m p li -f i e d a s s u m p ti o n o f a n e x a c t l y c o n s t a n t t o t a l - h e a dl i n e .I t a p p e ar s f ro m t h e s e r e s u l t s t h a t , s i n c e t h em axim um p r e s s u r e - r e c o v e r y d e p e n d s o n l y on t h ei n i t i a l s k i n f r i c t i o n C fo , t h e s t r o n g e s t g r a d i e n tmay he e m pl oy ed t o r e d uc e t h e s t r e a n w i s e l e n o t hr e q u i r e d f o r s u ch p r e s s u r e r e c ov e r y. As a c r u d e

a p p r o x i m a t i o n i t ma y be s a i d , c o n s i d e r i n g C U F V ~ Io f F i g . 7, t h a t a l e n g t h x-x&o =. 0 .4m i n i m u m r e q u i r e d t o p r o d u c e , C p i = 2 0 0 C f o .r u l e c a n a s s i s t t h e h yd ro dy na m ic d e s i g n e r i n s e l e c t -i n g t h e p r e ss u r e d i s t r i b u t i o n s h ap e o f h y d r o f o i l sa n d su b me rq ed b o d i e s f a r an y p a r t i c u l a r R e y n o l d sN um ber o f o p e r a t i o n . I f h o w ev e r l e s s t h a n C p, i sr e q u i r e d , t h e n t h e c u r ve V s h o u l d be f o l l o w e d , u pt o C p/ Cf o rn 130, t o p r o v id e t h e s h o r t e s t s t re a m v i sel e n g t h .

c a n be aT h i s

,JAs a n i l l u s t r a t i o n o f t h i s a p p r o a c h , a 3 : lf i n e n e s s - r a t i o s u b m e r g e d b o d y w i l l b e c o n s i d e r e d ,d e sj .n n ed t o h a v e a G r i f f i t h - t v p e s t e p - p r e s s u r ed i s t r i b u t i o n , w i t h t h e p r e s s u re d i s c o n t i n u i t y a t 8 5%l e n g t h . T he o v e r a l l p r e s s u r e - r e co v e r y r a t i o r e -


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p r e s s u r e g r a d i e n t s a r 8 c o m p l e te l y a i v e n i n Da ta S e t sT I a n d TII, m e a s ur e d b y h o t - w i r e a n d M l - t y p e h e a t -t r a n s f e r i n s t r u m e n t s r e s p e c t i v e l y . The h o t- w ir ed a t a h a v e b e e n r e d u c e d b y 25% so a s t o o b t a i n a g re e -m en t w i t h c o n v e n t i o n a l d a t a a t t h e s t a r t i n g p o i n t .T he i n i t i a l s k i n f r i c t i o n v a lu e s a r e w e l l d e f in e d .o n l y f o r a p a r t i a l t e s t l e n g t h fro m x/xb = 3.65 t o%[io14.4; t h e i n i t i a l s k i n - f r i c t i o n v a l u e i so b t a i ne d f ro m t h e f l a t - p l a t e c u rv e e x t r a p o l a t e d t ox=15", i , /xo = 1. T he i n i t i a l v a l u e Cf, i s j o in e d t ot h e t e s t d a t a by a f a i r e d i n t e r p o l a t i o n .

v F ro m D a t a S e t 111, h ow ev er , t h e r e a r e o b t a i n e d d a t a

F i g . 9 p r e s e n t s t h e d a t a f r om S e t s 11, 111 a n dI V i n t h e n o rm a li ze d f or m C f k f , VS . X / X O . F i g u r e10 shows a p l o t o f Cf VS . x /X3 f r o m S e t 11; i n ad-d i t i o n t o t h e p r e s e n t t h e o r y , ther,e a r e p l o t t e dc u r v e s f o r t h e L u d wi e g- T il lm a n (Ref. 7 ) a n d t h eF a l k n e r ( R e f . 1 0 ) s k i n f r i c t i o n f o rm u la s , u s i n ge x p er i m e n ta l v a l u e s f o r a!4 an d H.t h e o r y i s i h e x c e l l e n t a gr ee m en t w i t h t h e h o t- w i red a t a ( r e d u c e d b y 25%); t h e L u d w i e g -T i l l m a n c u r v e i sa l s o i n g oo d a g re e m en t , p a r t i c u l a r l y w i t h t h e p o i n t sc o r re s p on d i n g t o t h e u* v a l u e s u s ed i n F i g . 2. TheF a l k n e r f l a t - p l a t s f o rm u la , a s e x p ec t e d , p f e d i c t sc o n s i s t e n t l y h i g h s k i n - f r i c t i o n v a l ue s . Thea v e r a g e t r u e s k i n - f r i c . t i o n i s s e e n t o be s u b s t a n t i a l -l y less t h a n t h e f l a t - p l a t e a v er a ge ; t h i s c l e a r l yu n d e r m i n e s t h e c om m o nl y- us ed c o n c e p t o f c o m p u t i n gt o t a l d r a g c o e f f i c i e n t b a se d o n w e t t ed b ody s u r f a ce -area t o be c o mp a re d w i t h f l a t - p l a t e v a l u e s , so a s t od e t e r m i n e by t h e i r d i f f e r e n c e t h e a m ou nt o f p r e s s u r e( f o r m ) d r a g .

I n F i g . 10 t h e L u dw i e g- T il lm a n c u r v e c o lr l d be

T h e p r e s e n t

u s e d t o d e t e r m i n e a p p r o x i m a t e l y s e p a r a t i o n b y, d raw -i n g a t a n ge n t a t t h e p o i n t o f i n f l e c t i o n @ T / Q =1.78. F i g u r e 11 s ho w s a p l o t o f C f VS . x/xo fromS e t 111. I t i s s e e n t h a t t h e p r e s e n t t h e o r y i s i n

u f a i r a g r ee m en t w i t h t h e h e a t - t r a n s f e r d a t a . TheL u d w i e g - T i l l m a n c u r v e i s i n b e t t e r ag r ee m e nt ( u s i n ge x p e r i m e n t a l Re a n d H v a l u e s ) ; a g a i n i t c o u l d beU S O ~ s a bo v e t o d e t e r m i ne a p p r o x i m a t e l y s e p a r a t i o nby d r aw i n g a t a n g e n t t o t h e p o i n t o f i n f l e x i o n a tx / i o = 2.045.

i n c l u a i n g t h e tw o c a s e s o f e q u i l i b r i u m b ou nd ar y-l a y e r s . T h e H c r i t e r i o n o f s e p a r a t i o n h av e be enshown p r e v i o u s l y t o b e i n v a l i d by t h e e q u i l i b r i u mb o un d ar y -l ay e r w i t h f l a t t e n i n g o r d e c r e a s i n g Ht r e n d s . A l s o t h e L ud w ie g- Ti ll m an s k i n - f r i c t i o nf o r m u l a i s show n t o f a i l w i t h t h e e q u i l i b r i u mb o u n d a r y - la y e r e v e n w he n a p p l i e d w i t h e x p e r i m e n t a lv a l u e s , t h u s i t c a n no t b e r e l i e d up on t o d e t e r m i n es e p a r a t i o n by e x t r a p o l a t i o n . The S t r a t f o r d s ep a r a -t i o n e q u a t j o n c an n ot y i e l d a ny i n f o r m a t i on f o r t h ee q u i l i b r iu m p r e s s u r e g r a d i e n t a t z e r o s k i n f r i c t i o nby i t s v e r y d e f i n i t i o n . The s i m p l f f i e d a ss um p ti o no f t h e c o n s t a n t t o t a l - h e a d l i n e d o es no t s eem t oa f f e c t t h e v a l i d i t y o f t h e p r e d i c t i o n of t h e maxi-mum p r e s s u r e -r e c o v e r y r a t i o a s a f u n c t i o n o fi n i t i a l s k i n f r i c t i o n c o e f f i c i e n t .S i n c e t h e s k i n f r i c t i o n w i l l d e c r e a s e w i t hi n c r e a s i n g R e y n o l d s N um be r, t h e maxim um p r e s s u r e -

r e c o v e r y w i l l a l s o d e c r e a s e a nd p r e s s u r e - d r a g loss-e s w i l l i n c r e a s e . T h i s i s t o b e t a k e n i n t o a c c ou n ti n t h e e x t r a p o l a t i o n o f m odel t e s t d a t a t o p r o t o -t y p e v a l u e s t h r o u g h a w i d e R e y n o l d s Num ber r a n g e ,s u c h a s lo7 f o r t h e m od el a n d IO 9 f o r a s u bm a r i n ep r o t o t y p e . As a c o n se q u e n ce o f t h e p r e s e n t s e p a r a -t i o n t h e o r y , h y d r o f o i l s a nd s ub me rg ed b o d i e s m ayno w b e a n a l y z e d a t t h e p r o p e r R e y n o l d s N u m b e r ,t a k i n g i n t o a c co u n t t r a n s i t i o n l o c a t i o n , t h e p a r t i -c u l a r p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n p r o f i l e a nd a l s o h u l lv i b r a t i o n ( a s i t a f f e c t s th e s k i n - f r i c t i o n ) .I t i s t o be n o te d t h a t a c a l c u l a t e d i n v i s c i dp r e s s u r e -d i s t r i b u t i o n p r o f i l e w i l l n o t b e u n i v e r -s a l l y s u i t a b l e f o r a n y R e y n o l ds N um be rs, b e c d u se o ft h e c h a ng e o f t h e maximum p r e s s u r e - r e c o v e r y r a t i o .T h e r e fo r e s u ch p r o f i l e m u st he d e s i g n e d f o r t h ed e s i r e d o b r a t i o n a l c o nd i t io n .T he s k i n - f r i c t i o n c om p ut ed by t h e p r e s e n tt h e o r y a p p e a r s t o b e a f f e c t e d b y t h e S i m p l i f i eda s su m p t io n o f t h e c o n s t a n t t o t a l - h e a d l i n e . Thee x p e r i m e n t a l a g r e e m e n t i s g oo d f o r c o n v e n t i o n a l

l i n e a r g r a d i e n t s b u t p oo r w i t h t h e e q u i l i b r i u mb o u n d a r y - l a y e r s . H o w e ve r , e v e n i n t h e s e c a s e s t h et h e o r e t i c a l t r e n d i s c o r r e c t .


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10.

11.

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F i g . 12 Sk in - f r i c t i on v s normalized streamwisedis tance. Data s e t E7

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3.AIAA.Goldschmied.1964.SkinDrag