Fsica Geral e Experimental I

Trabalho e Energia Cintica

Prof. Hebert Monteiro1

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A unidade de Trablaho no S.I. o Joule. Sendo a unidade da fora o Newton (N) e a unidade do deslocamento o metro (m), concluimos que: 1 joule = (1 newton) (1 metro) ou 1J = 1 N.m3

Quando a fora aplicada est na direo do movimento temos o trabalho representado pela equao W = F.d, porm, se ao empurrar um carro por exemplo, a fora aplicada formar um ngulo com o seu deslocamento? Nesse caso F possui uma componente na direo do deslocamento FII = F.cos e uma componente na direo perpendicular ao movimento F _|_ = F. sen . Neste caso somente a componente FII importante pra ns, pois, atuante no movimento, tornando a equao do trabalho: W = F.d.cos

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Exerccio1) Esteban exerce uma fora uniforme de 210N sobre o carro enguiado na figuraanterior, conforme o desloca por uma distncia de 18m. O carro tambm est com um pneu furado, de modo que para manter o movimento retilneo Esteban deve empurr-lo a um ngulo de 30 em relao direo do movimento. a) Quanto trabalho ele realiza? b) Disposto a cooperar mais, Esteban empurra outro carro enguiado com uma fora uniforme F = (160N)i (40N)j. O deslocamento do carro d = (14m)i + (11m)j. Quanto trabalho ele realiza neste caso?

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Trabalho: positivo, negativo ou nulo.

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Exemplo de trabalho nulo

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Exemplo de trabalho negativo

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Trabalho realizado por diversas forasO fazendeiro engata o tren carregado de madeira ao seu trator e o puxa at uma distncia de 20m ao longo de um terreno horizontal. O peso total do tren carregado igual a 14700 N. O trator exerce uma fora constante de 5000N, formando um ngulo de 36,9, acima da horizontal, como visto na figura. Existe uma fora de atrito de 3500N que se ope ao movimento. Calculemos o trabalho que cada fora realiza sobre o tren e o trabalho total realizado por todas as foras.9

Soluo1) Passo: Identificar os ngulos entre cada fora e o deslocamento. Wp = 0 (direo perpendicular ao deslocamento), pela mesma razo: Wn = 0, logo Wn = Wp = 0.Falta considerar a fora exercida pelo trator Ft e a fora de atrito f. Pela equao, o trabalho realizado por Ft : Wt = Ft.d.cos => Wt = (5000N) . (20m) . 0,800 => Wt = 80000 N.m = 80Kj A fora de atrito possui sentido contrrio ao deslocamento de modo que = 180. Wf = f.d.cos180 = (3500N) . (20m) . (-1) => Wf = (-70Kj)

Wtot = Wp + Wn + Wt + Wf = 0 + 0 + 80Kj + (-70Kj) => Wtot = 10Kj

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Energia cintica e o teorema do trabalho-energia.O trabalho total realizado pelas foras externas sobre um corpo relacionado com o deslocamento do corpo. Contudo o trabalho total tambm relacionado com a velocidade do corpo.

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Imaginem um objeto de massa m movimentando-se na horizontal da esquerda para direita. Imaginem tambm que em um determinado momento da sua trajetria uma fora aplicada na mesma direo do movimento, realizando um trabalho positivo sobre ele e assim aumentando a velocidade do objeto, que passa de vo para vf, indo do ponto xo ao ponto xf, realizando assim um deslocamento d = xf xo. Podemos dizer ento que: Vf = Vo + 2.a.dPela segunda lei de Newton: F = m . a Isolando a acelerao na primeira frmula, temos: a = Vf Vo 2.d Substituindo na equao da segunda lei de Newton, temos:2 2 2 2

F = m . Vf Vo F.d = m . Vf - m . Vo 2.d 2 2

2

2

2

2

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O produto F.d o trabalho W realizado pela fora resultante F e, portanto o trabalho total Wtot realizado por todas as foras que atuam sobre a partcula. A grandeza m . V denominada energia cintica K do objeto: 2 K=m.V 22 2

A energia cintica uma grandeza tambm escalar e s depende da massa e da velocidade do objeto, sendo indiferente o sentido e a direo do movimento.

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Voltando equao: F.d = m . Vf - m . Vo , podemos interpret-la em termos 2 2 do trabalho e da energia cintica. Se o primeiro menbro Kf = m . Vf e o segundo membro Ko = m . Vo , a dife2 2 rena entre os dois termos a variao da energia cintica. Logo, dizemos:O trabalho realizado pela fora resultante sobre a partcula fornece a variao da energia cintica da partcula:2 2

2

2

W tot = Kf Ko = K Este resultado conhecido como o Teorema do Trabalho-energia.

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Quando o W tot positivo, a energia cintica aumenta (a energia final K2 maior que a energia inicial K1) e a velocidade final da partcula maior que a velocidade incial.Quando Wtot negativo, a energia cintica diminui (K2, menor do que K1) e a velocidade final da partcula menor do que a velocidade incial.

Quanto W tot = 0, a energia cintica constante (K1 = K2) e a velocidade no se altera.A energia cintica e o trabalho possuem as mesmas unidades de medida, ou seja o Joule (J).

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Exerccios 1) Vamos utilizar como objeto o tren carregado de madeira do exemplo anterior. Suponha que a velocidade inicial v1 2,0 m/s. Qual a velocidade escalar no tren aps um deslocamento de 20m ? Calcular utilizando o teorema do trabalho-energia. (W tot = K2 K1). Obs: m = p/g (Massa o quociente entre peso e gravidade).

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2) Em um bate estaca, um martelo de ao de 200 kg elevado at uma altura de 3,0m acima do topo de uma viga I vertical que deve ser cravada no solo como mostra a figura. A seguir, o martelo solto, enterrando mais 7,4cm a viga I. Os trilhos verticais que guiam a cabea do martelo exercem sobre ele uma fora de atrito constante igual a 60N. Use o teorema do trabalhoenergia para achar: a) a velocidade da cabea do martelo no momento em que atinge a viga I. b) a fora mdia exercida pela cabea do martelo sobre a mesma viga. Despreze os efeitos do ar.

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3) Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador exerce uma for;a constante de 1,80 x 106N. , uma a 14 na direo noroeste e outra a 19 na direo nordeste, sendo o petroleiro puxado 0,75 km. Qual o trabalho total realizado sobre o petroleiro? 4) Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes problemas: a) Um galho cai do topo de uma arvore de 95,0 m de altura, partindo do repouso. Qual a sua velocidade ao atingir o solo? b) Um vulco ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525m no ar. Qual a velocidade da rocha no instante em que saiu do vulco? c) Uma esquiadora que se move a 5,0 m/s encontra um longo trecho horizontal aspero de neve com coeficiente de atrito cintico com 0,220 com seu esqui. Qual distncia ela percorre desse trecho antes de parar? (d) Suponha que o trecho spero tivesse apenas 2,90 m de comprimento. Qual seria sua velocidade no final do trecho?

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Para acelerar uma partcula de massa m a partir do repouso (energia cintica zero) at uma velocidade v, o trabalho realizado sobre ela deve ser 2 igual variao da energia cintica desde zero at K = m. v 2 Wtot = K 0 = k Wtot = kPortanto, quando em repouso, a energia cintica de uma partcula igual ao trabalho total realizado para aceler-la a partir do repouso at sua velocidade presente.

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Trabalho e energia com foras variveis

At o momento consideramos apenas foras constantes e movimentos retilneos, porm podemos imaginar diversas situaes em que as foras aplicadas variam em mdulo, direo e sentido e o corpo se desloca em trajetria curva por exemplo. Exemplo de fora varivel: Quando comprimimos uma mola. Quanto mais comprimimos a mola, maior a fora que temos que aplicar sobre ela, de modo que a fora ento no constante.

O teorema do trabalho-energia tambm verdadeiro para essas situaes e com ele analisaremos os vrios movimentos.

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x2

x1

F dxx

Trabalho realizado por uma fora varivel em movimento retilneoImaginem por exemplo dirigir um carro em estrada retilnea com sinais de parada onde o motorista precisa alternar entre pisar no freio e no acelerador. Agora visualizem no primeiro grfico uma partcula que possui uma determinada fora na poso x1 e outra fora na posiao x2. Abaixo verifiquem o grfico da fora em funao da distncia. Wtot = Fax xa + Fbx xb + x2

W=

x1

F dxx

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Aplicando o conhecimento em deformaes de molasPara esticarmos uma mola uma distncia x alm de sua posio no deformada, devemos aplicar uma fora de mdulo F em cada uma de suas extremidades. O mdulo da fora F diretamente proporcional ao mdulo do deslocamento x: Fx = K.x Constante da mola.

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Kx.dx Kx.dxx 0 0

x

O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor mximo X dado por:= 1 KX 2 0 0 Quando temos uma mola sendo alongada x1 e depois de x1 sendo alongada x2, o trabalho realizado para estic-la at um alongamento final x2 dado por:x2

W=

Fx

x

.dx =

Kx.dx

x

2

W=

Fx.dx

x2

=

x1

x1

Kx.dx

= 1 Kx2 - 1 Kx1 2 2

2

2

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Exerccio

Uma mulher pesando 60N est em p sobre uma balana de mola contendo uma mola rgida como na figura abaixo. No equilbrio, a mola est comprimida 1,0 cm sob a ao do seu peso. Calcule a constante da mola e o trabalho total realizado pela fora de compresso sobre a mola.

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Teorema do trabalho-energia para um movimento retilneo com fora varivelComo sabemos a intensidade da fora diretamente proporcional velocidade do movimento descrito pelo objeto. Assim, quando temos uma situao onde a fora varia durante o movimento retilneo, teremos tambm a velocidade do objeto variando durante o deslocamento. A equao que representa tal situao :

v2

Wtot =

m.v .dvx

x2

v1

A integral de Vxdvx simplesmente igual a vx . Substituindo os limites da 2 integral, achamos finalmente: Wtot = mv2 mv1 2 22 2

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Exerccio

Um cavaleiro com 0,100Kg de massa est ligado extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja constante 20 N/m. Inicialmente a mola no est esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a 1,5 m/s da esquerda para a direita. Encontre a distncia mxima d que o cavaleiro pode se mover para a direita. a) Supondo que o ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezvel. b) Supondo que o ar no esteja passando pelo trilho e o coeficiente de atrito cintico seja c = 0,47.26

Potncia

Muitas vezes precisamos saber quanto tempo demoramos para realizar um trabalho. Isso pode ser descrito pela potncia. Na linguagem comum potncia confundido com energia ou fora. Na fsica, temos uma definio muito mais precisa, onde potncia a taxa temporal da realizao de um trabalho. Trata-se de uma grandeza escalar cuja unidade de medida o Watt (W). 1W = 1J/s

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No sistema ingls a unidade de medida de potncia o horsepower (hp) que quer dizer potncia de cavalo) 1 hp = 746 W

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Em mecnica podemos escrever a potncia em funo da fora e da velocidade, sendo:P = F.v Exerccio: 1) Cada um dos dois motores a jato de um avio Boeing 767 desenvolve uma propulso (fora que acelera o avio) iagual a 197000N. Quando o avio est voando a 250m/s (900 km/h), qual a potncia instantnea que cada motor desenvolve? Em W e hp.

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2) Uma velocista de Chicago com massa de 50,0 Kg sobe correndo as escadas da Torre Sears em Chicago, o edifcio mais alto dos Estados Unidos, altura de 443 m. Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos, qual deve ser a sua potncia mdia em watts? E em quilowatts? E em horsepower?

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