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Física Geral e Experimental I

Trabalho e Energia Cinética

Prof. Hebert Monteiro

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Definição

Normalmente consideramos um trabalho árduo puxar um sofá pesado ao longo da sala, levantar uma pilha de enciclopédias do chão até uma estante elevada ou empurrar um automóvel enguiçado. Na verdade todos esses exemplos estão vinculados com a definição cotidiana de trabalho que é: qualquer atividade que demande esforço físico ou intelectual para que ela aconteça.

Na física, porém, a definição de trabalho é um pouco mais precisa. Quando um corpo se move, uma força com módulo constante F atua sobre ele na mesma direção e no mesmo sentido de seu deslocamento d. Definimos o trabalho W realizado pela força constante nessas condições como produto da força de módulo F e o deslocamento de módulo d:

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A unidade de Trabalho no S.I. é o Joule. Sendo a unidade da força o Newton (N) e a unidade do deslocamento o metro (m), concluímos que:

1 joule = (1 Newton) (1 metro) ou 1J = 1 N.m

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Quando a força aplicada está na direção do movimento temos o trabalho representado pela equação W = F.d, porém, se ao empurrar um carro por exemplo, a força aplicada formar um ângulo Ф com o seu deslocamento? Nesse caso F possui uma componente na direção do deslocamento FII = F.cosФ e uma componente na direção perpendicular ao movimento F _|_ = F. sen Ф. Neste caso somente a componente FII é importante pra nós, pois, é atuante no movimento, tornando a equação do trabalho:

W = F.d.cos Ф

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Exercício1) Esteban exerce uma força uniforme de 210N sobre o carro enguiçado na figura

anterior, conforme o desloca por uma distância de 18m. O carro também está com um pneu furado, de modo que para manter o movimento retilíneo Esteban deve empurrá-lo a um ângulo de 30° em relação a direção do movimento. a) Quanto trabalho ele realiza? b) Disposto a cooperar mais, Esteban empurra outro carro enguiçado com uma força uniforme F = (160N)i – (40N)j. O deslocamento do carro é d = (14m)i + (11m)j. Quanto trabalho ele realiza neste caso?

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Trabalho: positivo, negativo ou nulo.

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Exemplo de trabalho nulo

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Exemplo de trabalho negativo

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Trabalho realizado por diversas forças

O fazendeiro engata o trenó carregado de madeira ao seu trator e o puxa até uma distância de 20m ao longo de um terreno horizontal. O peso total do trenó carregado é igual a 14700 N. O trator exerce uma força constante de 5000N, formando um ângulo de 36,9°, acima da horizontal, como visto na figura. Existe uma força de atrito de 3500N que se opõe ao movimento. Calculemos o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total realizado por todas as forças.

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Solução1°) Passo: Identificar os ângulos entre cada força e o deslocamento.

Wp = 0 (direção perpendicular ao deslocamento), pela mesma razão:

Wn = 0, logo Wn = Wp = 0.

Falta considerar a força exercida pelo trator Ft e a força de atrito f. Pela equação, o trabalho realizado por Ft é:

Wt = Ft.d.cosФ => Wt = (5000N) . (20m) . 0,800 => Wt = 80000 N.m = 80Kj

A força de atrito possui sentido contrário ao deslocamento de modo que Ф = 180°.

Wf = f.d.cos180° = (3500N) . (20m) . (-1) => Wf = (-70Kj)

Wtot = Wp + Wn + Wt + Wf = 0 + 0 + 80Kj + (-70Kj) => Wtot = 10Kj

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Energia cinética e o teorema do trabalho-energia.O trabalho total realizado pelas forças externas sobre um corpo é relacionado com o

deslocamento do corpo. Contudo o trabalho total também é relacionado com a velocidade do corpo.

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Imaginem um objeto de massa m movimentando-se na horizontal da esquerda para direita. Imaginem também que em um determinado momento da sua trajetória uma força é aplicada na mesma direção do movimento, realizando um trabalho positivo sobre ele e assim aumentando a velocidade do objeto, que passa de vo para vf, indo do ponto xo ao ponto xf, realizando assim um deslocamento d = xf –xo. Podemos dizer então que:

Vf2 = Vo

2 + 2.a.d

Pela segunda lei de Newton: F = m . a

Isolando a aceleração na primeira fórmula, temos:

a = Vf2 – Vo

2

2.d

Substituindo na equação da segunda lei de Newton, temos:

F = m . Vf2 – Vo

2 F.d = m . Vf

2 - m . Vo

2

2.d 2 2

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O produto F.d é o trabalho W realizado pela força resultante F e, portanto é o trabalho total Wtot realizado por todas as forças que atuam sobre a partícula.

A grandeza m . V2 é denominada energia cinética K do objeto:

2

K = m . V2

2

A energia cinética é uma grandeza também escalar e só depende da massa e da velocidade do objeto, sendo indiferente o sentido e a direção do movimento.

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Voltando à equação: F.d = m . Vf2 - m . Vo

2 , podemos interpretá-la em termos

2 2

do trabalho e da energia cinética.

Se o primeiro membro Kf = m . Vf2 e o segundo membro Ko = m . Vo

2 , a dife-

2 2

rença entre os dois termos é a variação da energia cinética. Logo, dizemos:

O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula fornece a variação da energia cinética da partícula:

Wtot = Kf – Ko = ΔK

Este resultado é conhecido como o Teorema do Trabalho-energia.

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Quando o Wtot é positivo, a energia cinética aumenta (a energia final K2 é maior que a energia inicial K1) e a velocidade final da partícula é maior que a velocidade incial.

Quando Wtot é negativo, a energia cinética diminui (K2, é menor do que K1) e a velocidade final da partícula é menor do que a velocidade inicial.

Quanto Wtot = 0, a energia cinética é constante (K1 = K2) e a velocidade não se altera.

A energia cinética e o trabalho possuem as mesmas unidades de medida, ou seja o Joule (J).

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Exercícios

1) Vamos utilizar como objeto o trenó carregado de madeira do exemplo anterior. Suponha que a velocidade inicial v1 é 2,0 m/s. Qual a velocidade escalar no trenó após um deslocamento de 20m ? Calcular utilizando o teorema do trabalho-energia. (Wtot = K2 – K1). Obs: m = p/g (Massa é o quociente entre peso e gravidade).

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2) Em um bate estaca, um martelo de aço de 200 kg é elevado até uma altura de 3,0m acima do topo de uma viga I vertical que deve ser cravada no solo como mostra a figura. A seguir, o martelo é solto, enterrando mais 7,4cm a viga I. Os trilhos verticais que guiam a cabeça do martelo exercem sobre ele uma força de atrito constante igual a 60N. Use o teorema do trabalho-energia para achar: a) a velocidade da cabeça do martelo no momento em que atinge a viga I. b) a força média exercida pela cabeça do martelo sobre a mesma viga. Despreze os efeitos do ar.

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3) Dois rebocadores puxam um navio petroleiro. Cada rebocador exerce uma força constante de 1,80 x 106N. , uma a 14º na direção noroeste e outra a 19° na direção nordeste, sendo o petroleiro puxado 0,75 km. Qual o trabalho total realizado sobre o petroleiro?

4) Use o teorema do trabalho-energia para resolver os seguintes problemas: a) Um galho cai do topo de uma arvore de 95,0 m de altura, partindo do repouso. Qual a sua velocidade ao atingir o solo? b) Um vulcão ejeta uma rocha diretamente de baixo para cima a 525m no ar. Qual a velocidade da rocha no instante em que saiu do vulcão? c) Uma esquiadora que se move a 5,0 m/s encontra um longo trecho horizontal áspero de neve com coeficiente de atrito cinético com 0,220 com seu esqui. Qual distância ela percorre desse trecho antes de parar? (d) Suponha que o trecho áspero tivesse apenas 2,90 m de comprimento. Qual seria sua velocidade no final do trecho?

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Para acelerar uma partícula de massa m a partir do repouso (energia cinética zero) até uma velocidade v, o trabalho realizado sobre ela deve ser igual à variação da energia cinética desde zero até K = m. v

2

2

Wtot = K – 0 = k

Wtot = k

Portanto, quando em repouso, a energia cinética de uma partícula é igual ao trabalho total realizado para acelerá-la a partir do repouso até sua

velocidade presente.

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Trabalho e energia com forças variáveis

Até o momento consideramos apenas forças constantes e movimentos retilíneos, porém podemos imaginar diversas situações em que as forças aplicadas variam em módulo, direção e sentido e o corpo se desloca em trajetória curva por exemplo.

Exemplo de força variável: Quando comprimimos uma mola. Quanto mais comprimimos a mola, maior é a força que temos que aplicar sobre ela, de modo que a força então não é constante.

O teorema do trabalho-energia também é verdadeiro para essas situações e com ele analisaremos os vários movimentos.

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Trabalho realizado por uma força variável em movimento retilíneo

Imaginem por exemplo dirigir um carro em estrada retilínea com sinais de parada onde o motorista precisa alternar entre pisar no freio e no acelerador.

Agora visualizem no primeiro gráfico uma partícula que possui uma determinada força na posição x1 e outra força na posição x2. Abaixo verifiquem o gráfico da força em função da distância.

Wtot = Fax Δxa + Fbx Δxb + …

W =

2

1

x

x

dxFx

2

1

x

x

dxFx

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Aplicando o conhecimento em deformações de molas

Para esticarmos uma mola à uma distância x além de sua posição não deformada, devemos aplicar uma força de módulo F em cada uma de suas extremidades. O módulo da força F é diretamente proporcional ao módulo do deslocamento x:

Fx = K.x

Constante da mola.

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O trabalho realizado por F quando o alongamento varia de zero a um valor máximo X é dado por:

W = .dx = = 1 KX2

2

Quando temos uma mola sendo alongada x1 e depois de x1 sendo alongada x2, o trabalho realizado para esticá-la até um alongamento final x2 é dado por:

W = = = 1 Kx22 - 1 Kx1

2

2 2

x

Kx0x

Kx0x

Kx0

x

xF0

x

dxKx0

.x

dxKx0

.

x

dxKx0

.

2

1

.x

x

x dxF 2

1

.x

x

dxKx

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Exercício

Uma mulher pesando 60N está em pé sobre uma balança de mola contendo uma mola rígida como na figura abaixo. No equilíbrio, a mola está comprimida 1,0 cm sob a ação do seu peso. Calcule a constante da mola e o trabalho total realizado pela força de compressão sobre a mola.

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Teorema do trabalho-energia para um movimento retilíneo com força variável

Como sabemos a intensidade da força é diretamente proporcional à velocidade do movimento descrito pelo objeto. Assim, quando temos uma situação onde a força varia durante o movimento retilíneo, teremos também a velocidade do objeto variando durante o deslocamento. A equação que representa tal situação é:

Wtot =

A integral de Vxdvx é simplesmente igual a vx2. Substituindo os limites da

2integral, achamos finalmente:

Wtot = mv2

2 – mv1

2

2

2

2

1

..v

v

xdvvm x

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Exercício

Um cavaleiro com 0,100Kg de massa está ligado à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola cuja constante é 20 N/m. Inicialmente a mola não está esticada e o cavaleiro se move com velocidade igual a 1,5 m/s da esquerda para a direita. Encontre a distância máxima d que o cavaleiro pode se mover para a direita. a) Supondo que o ar esteja passando no trilho e o atrito seja desprezível. b) Supondo que o ar não esteja passando pelo trilho e o coeficiente de atrito cinético seja μc = 0,47.

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Potência

Muitas vezes precisamos saber quanto tempo demoramos para realizar um trabalho. Isso pode ser descrito pela potência. Na linguagem comum potência é confundido com energia ou força. Na física, temos uma definição muito mais precisa, onde potência é a taxa temporal da realização de um trabalho. Trata-se de uma grandeza escalar cuja unidade de medida é o Watt (W). 1W = 1J/s

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No sistema inglês a unidade de medida de potência é o horsepower (hp) que quer dizer potência de cavalo)

1 hp = 746 W

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Em mecânica podemos escrever a potência em função da força e da velocidade, sendo:

P = F.v

Exercício:

1) Cada um dos dois motores a jato de um avião Boeing 767 desenvolve uma propulsão (força que acelera o avião) iagual a 197000N. Quando o avião está voando a 250m/s (900 km/h), qual a potência instantânea que cada motor desenvolve? Em W e hp.

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2) Uma velocista de Chicago com massa de 50,0 Kg sobe correndo as escadas da Torre Sears em Chicago, o edifício mais alto dos Estados Unidos, altura de 443 m. Para que ela atinja o topo em 15,0 minutos, qual deve ser a sua potência média em watts? E em quilowatts? E em horse-power?