1

MODEL MATEMATIKA SISTEM PERMUKAAN ZAT CAIR

PENGANTAR

Pada bagian ini kita akan menurunkan model matematika sistem permukaan zat cair.

Dengan memperkenalkan prinsip resistansi dan kapasitansi untuk sistem permukaan zat

cair, memungkinkan kita untuk menggambarkan karakteristik dinamika sistem dalam

bentuk sederhana.

MODEL MATEMATIKA SISTEM PERMUKAAN ZAT CAIR

Dalam analisa sistem aliran zat cair, aliran zat cair dibedakan berdasarkan bilangan

Reynoldnya yaitu aliran laminar dan aliran turbulen. Bila bilangan Reynoldnya lebih besar

dari 3000 4000 maka sistem aliran zat cair termasuk aliran turbulen. Sistem aliran

turbulen biasanya dinyatakan dengan persamaan differensial tak linier. Aliran dikatakan

laminar bila bilangan Reynoldnya lebih kecil dari 2000. Dalam kasus laminar, aliran zat

cair terjadi sacara streamlines tanpa turbulensi. Sistem aliran laminar biasanya

dinyatakan dengan persamaan differensial linier.

Resistansi untuk aliran zat cair dalam pipa yang dihubungkan pada dua tangki

didefinisikan sebagai perubahan dalam perbedaan tinggi (perbedaan permukaan zat cair

dalam dua tangki) yang diperlukan untuk membuat satu satuan perubahan laju aliran, yang

dapat dirumuskan :

det/,,

3maliranlajuperubahanmpermukaanperbedaanperubahanR =

Karena hubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran laminar dan

aliran turbulen, maka besarnya resistansi akan kita tinjau untuk kedua keadaan aliran ini.

Untuk sistem permukaan zat cair dengan aliran laminar, maka hubungan antara laju

aliran pada keadaan tunak dan tinggi permukaan pada keadaan tunak diberikan oleh

persamaan berikut :

HKQ =

2

Dimana Q adalah laju aliran zat cair, m3/det, K adalah koefisien m2/det, dan H adalah

permukaan zat cair pada keadaan tunak.

Perhatikan bahwa hukum untuk aliran laminar analog dengan hukum Coloumb yang

menyatakan bahwa arus berbanding lurus dengan beda potensial

Untuk aliran laminar, besarnya resistansi Rl adalah

QH

dQdHRl ==

Resistansi aliran laminar adalah konstan dan analog dengan resistansi listrik.

Untuk sistem permukaan zat cair dengan aliran turbulen, besarnya laju aliran pada keadaan

tunak adalah :

HKQ =

Sedangkan besarnya resistansi turbulen adalah :

QH

dQdHRt

2==

Tampak bahwa nilai resistansi Rt aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan permukaan

zat cair. Nilai Rt yang kecil dapat dikatakan konstan bila perubahan permukaan zat cair dan

laju aliran kecil.

Dengan menggunakan resistansi aliran turbulen, maka hubungan antara Q dan H adalah

tR

HQ 2=

Dalam beberapa kasus, nilai koefisien K yang tergantung pada koefisien aliran dan daerah

penghambat tidak diketahui. Maka resistansi dapat diketahui dengan membuat kurva laju

aliran versus permukaan zat cair yang didasarkan dari data percobaan dan mengukur

kemiringan kurva pada keadaan operasi.

Gambar (1) menunjukkan kurva laju aliran versus permukaan zat cair. Titik P pada gambar

adalah titik operasi keadaan tunak. Garing miring kurva di titik P memotong ordinat pada

( )0,H . Jadi kurva memiliki kemiringan QH2 .

3

Kemiringan = 2H hQ q

=

Kecepatan aliran

H

H

0

Head

h

q

P

Q

Tan -1R f

Tinjau keadaan operasi sekitar titik P. Anggap penyimpangan kecil permukaan zat cair

pada keadaan tunak sebagai h dan perubahan kecil pada laju aliran sebagai q, maka :

tRQH

qhPtitikpadakurvaKemiringan === 2

Pendekatan linier ini didasarkan pada kenyataan bahwa kurva sesungguhnya tidak berbeda

jauh dari tangen garis jika variasi keadaan operasi tidak terlalu besar.

Kapasitansi C dari tangki didefinisikan sebagai besar perubahan cairan yang diperlukan

untuk membuat perubahan potensial sebesar satu satuan. (Potensial adalah besaran yang

menunjukkan tingkat tenaga sistem)

Besarnya kapasitansi C dirumuskan sebagai berikut :

mpotensialperubahan

mdisimpanyangcairanperubahanC,

, 3=

4

Katup pengontrol

Q + q1

Katup beban

ResistansiKapasitansi

Q + q0H + h

C R

Tinjau sistem permukaan zat cair berikut ini :

dimana,

Q = laju keadaan tunak (sebelum ada perubahan), m3/det

qi = penyimpangan kecil laju aliran masuk pada keadaan tunak, m3/det

qo = penyimpangan kecil laju aliran keluar pada keadaan tunak, m3/det

H = tinggi permukaan zat cair (sebelum terjadi perubahan), m

h = penyimpangan kecil permukaan zat cair pada keadaan tunak, m

Jika kita asumsikan bahwa sistem linier atau dilinierkan , maka persamaan differensial

sistem dapat diperoleh sebagai berikut :

Karena aliran masuk dikurangi aliran keluar selama selang waktu dt kecil sama dengan

jumlah tambahan air dalam tangki, maka :

( )dtqqdhC oi = Dari definisi resistansi, hubungan antara qo dan h adalah

Rhqo =

Sehingga persamaan differensial untuk sistem ini pada nilai R konstan menjadi

iRqhdtdhRC =+

Dengan menggunakan transformasi Laplace didapatkan

5

( ) ( ) ( )sRQsHRCs i=+1 l Jika qi dipandang sebagai masukan dan h adalah keluaran untuk sistem permukaan zat cait,

maka fungsi alih sistem adalah

( )( ) 1+= RCsR

sQsH

i

Sedangkan, jika yang dipandang sebagai keluaran sistem adalah qo dan sebagai masukan

adalah qi maka fungsi alih sistem adalah

( )( ) 1

1+

=RCssQ

sQ

i

o

Contoh :

Tinjau sistem permukaan zat cair berikut ini. Sistem terdiri dari dua buah tangki yang

berinteraksi.

Persamaan dinamik sistem dalam bentuk persamaan differensial dapat diturunkan sebagai

berikut :

Persamaan untuk tangki 1 :

11

21 qR

hh=

(1)

111 qqdtdh

C = (2)

Q + q

Tangki 1

H + h1

Tangki 2

R1 R2

q1

Q + q2

C1 C2

H + h2

6

Persamaan untuk tangki 2 :

22

2 qRh

= (3)

2122 qqdtdhC = (4)

Transformasi Laplace dan diagram blok dari persamaan (1) (4) adalah sebagai berikut :

Transformasi Laplace untuk persamaan (1) :

)()()( 11

21 sQR

sHsH=

Transformasi Laplace untuk persamaan (2) :

)()()( 111 sQsQssHC =

Transformasi Laplace untuk persamaan (3) :

)()( 22

2 sQR

sH=

Transformasi Laplace untuk persamaan (4) :

)()()( 2122 sQsQssHC = Dengan menghubungkan sinyal-sinyal sebagaimana mestinya, maka diagram blok total

sistem adalah sebagai berikut

Q2(s) 2

1R

H2(s)

+ -H1(s) Q1(s)

1

1R

Q2(s)

+ -Q(s) H1(s) sC1

1

Q1(s)

+ -Q1(s) H2(s) sC2

1

Q2(s)

+ - Q(s)

sC1

1 +- Q2(s)

1

1R

+ - sC2

1 2

1R

7

Dengan reduksi diagram blok, diagram blok total sistem ini dapat disederhanakan menjadi :

Dengan fungsi alih sistem adalah :

( ) 1

1)()(

1222112

2211

2

++++=

sCRCRCRsCRCRsQsQ

LATIHAN 1. Tinjau sistem tingkat cairan berikut :

Pada kedudukan seimbang, laju aliran masuk dan laju aliran keluar keduanya sama dengan

Q dan laju aliran antara tangki-tangki adalah nol. Permukaan zat cair dari tangki-tangki 1

dan 2 keduanya sama dengan H . Pada t = 0 laju aliran masuk diubah diubah dari Q

menjadi qQ + , dimana q merupakan perubahan kecil laju aliran masuk. Hasil perubahan v

permukaan zat cair (h1 dan h2) dan aliran masuk (q1 dan q2) dianggap kecil. Kapasitansi

tangki 1 dan 2 masing-masing adalah C1 dan C2. Resistansi katup diantara tangki-tangki

adalah R1 dan diantara katup alira keluar adalah R2.

Turunkan model matemtika untuk sistem ini dalam bentuk fungsi alih, jika q adalah

masukan dan h2 keluaran.

( ) 11

1222112

2211 ++++ sCRCRCRsCRCR Q(s) Q2(s)

Q + q

Tangki 1

H + h1

Tangki 2

R1 R2

q1

Q + q2

C1 C2

H + h2