3DTrigo Colour

The golden proportion

for distinction http://hk.myblog.yahoo.com/vinci_mak

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by Vinci only. [email protected]

三角學三角學三角學三角學三維空間三維空間三維空間三維空間應用應用應用應用(3D application in trigonometry)三小時精讀班三小時精讀班三小時精讀班三小時精讀班

有沒有可能把補習社與私人補習的優點結合，筆記夠精闢夠漂亮，概念清晰，內容針對考試得分方法之餘，又有人可以幫同學改卷，指出做數時應有的技巧及出錯的概念及原因？可以在自己家中也可以上一堂補習社質素的精讀班嗎？

三角學中的三維空間應用題一向是同學的死穴，很多同學做平面三角學的題目時得心應手，但一到三維空間應用就手足無措。什麼是平面與平面間的夾角？什麼因素會令日照影子面積改變？摺紙的題目可以怎樣做？三維空間應用每年考試也會有一條長題目加上最少一條選擇題，在 2010年最後一屆的會考及 2012年新高中課程數學文憑試中，我們又應該如何準備？如果連正四面體也不知為何物，又怎樣去應付試題？

現在機會來了！一堂三小時的課程，針對考試題目類型，出題方向，灌輸正確的解題概念，再加上即時挑戰試題，而課程完結後還有免費網上改卷服務並指出錯誤地方及正確概念！你肯做，我肯改！

課程內容：

1. 快速回顧平面三角學重要公式及其運用重點

2. 配合立體模型教材，了解三維空間內點、線與面間的夾角意義

3. 探討卷一四大類型題目及卷二四大類型題目及其解題技巧

4. 即時挑戰試題，並解釋題目要點及取分策略

5. 附加練習讓同學課後有更進一步的操練

6. 課程完結後免費批改學生試卷並分析箇中技巧

對象：2010年會考同學，或 334新學制中三升中四同學地點：上門到同學家中，或可另議地方時間：三小時費用：港幣五百元正(單人價錢，小組可再議減價) 註：同學須出示學生證以證明學生身份

分析及解答 2009年會考試題，並預測2010年會考出題方向





課程特點：

1. 彩色中英對照筆記彩色中英對照筆記彩色中英對照筆記彩色中英對照筆記

中英對照適合以中文或英文讀數學的同學；顏色方面使用了彩虹色系，除了增加溫習興趣外，也有導向作用學生可按照顏色的編排(例如紅黃藍)而溫習，循序漸進。

2. 直接學習每種題型直接學習每種題型直接學習每種題型直接學習每種題型

筆記編排上使用題型分類，分別分析卷一及卷二在三十年會考內的出題類型，從而歸納出各卷中的四大類型題目，並加以討論，例如卷二裡面其中一種題目類型長方體，課程會教授兩線、線面及兩面間求出夾角的技巧。

3. 立體教材事半功倍立體教材事半功倍立體教材事半功倍立體教材事半功倍

這亦是此課程的最大特點，因一般教科書只有平面文字圖畫，即使是配合電腦動畫，很多時亦未能充分描述三維空間的距離感，而同學亦有可能被平面書本的圖畫所限制，無法真實理解題目所描述的角度或長度。學習三維空間的最佳方法，就是讓同學直接在立體上指出相關角度或長度，而這樣老師才可以真正知道同學不明白的地方或錯誤概念。

4. 課後改卷支援服務課後改卷支援服務課後改卷支援服務課後改卷支援服務

當然三小時的課程不可能讓同學完成所有試題，所以課程完結後同學可把已完成的試題掃瞄並發電郵給導師，導師改卷後會在電郵裡為同學分析錯誤地方及糾正概念，令學習不會受地區所限。





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HKCEE Intensive Notes Series

3D applications of trigonometry (Basic) 會考精讀筆記系列

三角學在三維空間的應用 (基礎)

Basic knowledge 基礎知識基礎知識基礎知識基礎知識

1. Right-angled triangle 直角三角形直角三角形直角三角形直角三角形:

A. Trigonometric relationship 三角關係:

c

a=θsin ,

c

b=θcos ,

b

a=θtan

B. Pythagoras theorem 畢氏定理: 222 cba =+

C. Area of triangle 三角形面積: ab2

1

2. Arbitrary triangle 任意三角形任意三角形任意三角形任意三角形:

A. Sine Formula正弦公式:

C

c

B

b

A

a

sinsinsin== or 或

cbaCBA ::sin:sin:sin =

B. Cosine Formula 餘弦公式:

Abccba cos2222−+=

bc

acbA

2cos

222−+

=

Baccab cos2222−+=

ac

bcaB

2cos

222−+

=

Cabbac cos2222−+=

ab

cbaC

2cos

222−+

=

C. Area of triangle三角形面積:

Given 2 sides with included angle已知兩邊及其夾角

= AbcBacCab sin2

1sin

2

1sin

2

1==

Heron’s formula 希羅公式 (given 3 sides已知三邊):

semi-perimeter 周界之半 2

cbas

++=

Area 面積 = ))()(( csbsass −−−

c a

b

θ

a b

c

A B

C

Conditions in applying Sine and Cosine formula: 正弦及餘弦公式應用之條件正弦及餘弦公式應用之條件正弦及餘弦公式應用之條件正弦及餘弦公式應用之條件:

1. Find the angle 求角度

2. Find the length of side 求邊長

a

?

A

C

Apply Sine Formula 使用正弦公式

a

?

B

C

a ?

c

B

Apply Cosine Formula 使用餘弦公式

a b

c

?

a

c

A

?

Apply Cosine Formula 使用餘弦公式

Apply Sine Formula 使用正弦公式

檢查有否角與邊一對: 有: 正弦公式無: 餘弦公式

大角對長邊小角對短邊





Bearings of two points lying on the same plane 位於同一平面上兩點位於同一平面上兩點位於同一平面上兩點位於同一平面上兩點之間的方位角之間的方位角之間的方位角之間的方位角

A. True bearing 真方位角真方位角真方位角真方位角

- Measured from the North

in Clockwise direction

- 從北按順時針方向量度

- Range from °000 to °360

- 範圍由 °000 至 °360

B. Compass bearing 羅盤方位角羅盤方位角羅盤方位角羅盤方位角

- Measured from

the North or the South

to the East or the West

- 從北或南向東或西量度

- Format 格式 ( 900 << θ ):

N °θ E / N °θ W / S °θ E / S °θ W

Describing direction between 2 points 描述兩點之間的方向描述兩點之間的方向描述兩點之間的方向描述兩點之間的方向:

1. The compass bearing

of A from B is N °40 W. 從 B測得 A的羅盤方位角為 N °40 W.

2. The compass bearing

of B from A is S °40 E. 從 A測得 B的羅盤方位角為 S °40 E.

Point P is due north of Point Q

P點在 Q點的正北方

Point R is due west of Point S

R點在 S點的正西方

Angle of Elevation 仰角仰角仰角仰角

= acute angle between the line of sight and horizontal if

the object is above the observer 如物件在觀察者的上方, 視線與水平之間的銳角為仰角

Angle of elevation of A from B = θ 從 B測得 A的仰角為θ

Angle of depression 俯角俯角俯角俯角

= acute angle between the line of sight and horizontal if

the object is below the observer 如物件在觀察者的下方, 視線與水平之間的銳角為俯角

Angle of depression of P from Q = θ 從 Q測得 P的俯角為θ

N

θ

N

N A

B

S °40 E N °40 W

P

Q

R S

N

A

B θ

Line of sight 視線

P

Q

θ

Line of sight 視線

Slope 斜率斜率斜率斜率

水平距離鉛垂距離斜率 distance horizontal

distance vertical Slope =

Given slope 已知斜率 = 1 : n

=> n

1tan =θ

1

θ

n

N

θ

S

θ

θ θ

E W





Normal of a plane 平面的法線平面的法線平面的法線平面的法線

= a line perpendicular to every line on the plane

= 與平面上任何直線垂直的直線

1. O is a point on plane Π

O為平面Π上的一點

2. OR is the normal to the plane Π

OR為平面Π的法線

3. OR is perpendicular to every line (e.g. 1l and

2l ) on

plane Π . / OR與平面上任何直線(例如 1l 及 2l )垂直

4. OR is the shortest distance between R and Π

OR為 R點及平面Π之間的最短距離

Projection of a point on a plane點在平面上的投影點在平面上的投影點在平面上的投影點在平面上的投影

= foot of perpendicular drawn from the point to the

plane / 為該點在平面上的垂足

Point O is the projection of Point R on plane Π .

O點為 R點在平面Π上的投影

Projection of a st. line on a plane 直線在平面上的投影直線在平面上的投影直線在平面上的投影直線在平面上的投影

Given line AB intersects with plane Π at A 設線段 AB與平面Π相交於 A點

Locate the projection of point B (i.e. Point O) onto plane

Π / 在平面Π上標示出 B點的投影(即 O點)

Line AO is the projection of line AB on the plane Π

AO為 AB在平面Π上的投影

Note 注意: °=∠ 90AOB

Angles between 2 intersecting straight lines兩直線之相交角兩直線之相交角兩直線之相交角兩直線之相交角

θ is the angle of intersection between lines AB and CD.

θ 為直線 AB及 CD之相交角

Only the acute angle is considered. 相交角只考慮銳角

O

R

1l

2l

Π

A

B

O

Π

θ θ

A

B C

D

Angle between a straight line and a plane 直線與平面之相交角直線與平面之相交角直線與平面之相交角直線與平面之相交角

Angle between line AB and plane Π 直線 AB與平面Π之相交角

= Angle between AB and its projection (AO) on plane Π

直線 AB及其在平面Π投影的直線(AO)之相交角

= OAB∠

A

B

O

Π

Shortest distance between a point to a line 點與線之間的最短距離點與線之間的最短距離點與線之間的最短距離點與線之間的最短距離

Locate a point Q on line AB

such that PQ ⊥ AB 在線段 AB上標示出 Q點使 PQ ⊥ AB

PQ is the shortest distance between point P and line AB

PQ為 P點與線段 AB之間的最短距離

A

B

P

Q





Bearings of two points not lying on the same plane 位於不同平面上兩點之間的方位角位於不同平面上兩點之間的方位角位於不同平面上兩點之間的方位角位於不同平面上兩點之間的方位角

P and Q are two points not lying on the horizontal

plane Π and of different heights from Π .

P及 Q為兩點不在水平面Π上, 且它們相對於Π有不同的高度

1. Project points P and Q on the plane Π to get P’ and Q’.

把 P及 Q點投影於平面Π上並得出 P’及 Q’點

2. Join P’ and Q’, as shown in below top view

連結 P’及 Q’, 如下俯視圖所示

The bearing of P from Q / 從 Q測得 P的方位角

= the bearing of P’ from Q’ /從 Q’測得 P’的方位角

Angles between two intersecting planes 兩平面之相交角兩平面之相交角兩平面之相交角兩平面之相交角

1. The line of intersection of planes Σ and Ω is MN. 平面Σ與Ω的相交線為MN

2. Take a point L on line MN

取MN上的其中一點 L

3. On plane Ω , construct line PL such that PL ⊥ MN. 在平面Ω上, 繪畫線段 PL使 PL ⊥ MN

4. On plane Σ , construct line QL such that QL ⊥ MN. 在平面Σ上, 繪畫線段 QL使 QL ⊥ MN

5. Angle between planes Ω and Σ is PLQ∠ . 平面Ω及Σ之相交角為 PLQ∠

Line of greatest slope 最大斜率線段最大斜率線段最大斜率線段最大斜率線段

AO is the line of greatest slope since both AO and BO

are perpendicular to line of intersection PQ. 因 AO及 BO同時與相交線 PQ垂直, 所以 AO為最大斜率線段

Note: CO, DO, EO, FO are not perpendicular to PQ 注意: CO, DO, EO, FO並非與 PQ垂直

Line of intersection 相交線

M

N L

P

Q

Ω

Σ

O

A

B

C

D

E

F

P Q

R S

P

Q

P’

Q’

Π

P’

Q’

Π

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