３次元固有値問題 UkV

戸瀬　信之AhPa1 S_PC1*h

oy8 kyky年 Ry月 Rk-Rj日 �i >* 7Q` 経済数学入門，経済数学

戸瀬　信之 ３次元固有値問題 UkV

具体例 URVě固有方程式が重根をもつ場合

j次正方行列� =

0

@R k kR k �R�R R 9

1

A URV

の固有値と固有ベクトルを求めます．

戸瀬　信之 ３次元固有値問題 UkV

一

具体例 UkVě固有方程式

��(�) =

������

�� R �k �k�R �� k RR �R �� 9

������=

������

�� R �k �ky �� j �� jR �R �� 9

������= (�� j)

������

�� R �k �ky R RR �R �� 9

������

= (�� j)

������

�� R y yy R RR �R �� 9

������= (�� R)(�� j)

������

R y yy R RR �R �� 9

������

= (�� R)(�� j)����

R R�R �� 9

���� = (�� R)(�� j)k

から �の固有値は � = R, j（重根）であることが分かります．

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.

E3 では まずい

が塋で蠲、漏藇 -_-」が

O.い-62痝たの?ただ

具体例 UjVě固有ベクトルUBV � = Rのとき行列式の計算における行基本変形を用いると

�

0

@tvx

1

A =

0

@tvx

1

A ,

0

@y y yy R RR y �k

1

A

0

@tvx

1

A = ~y UORV

であることが分かりますから(#R) , t = kx, v = �x

となります．これから固有ベクトルは0

@tvx

1

A =

0

@kx�xx

1

A = x

0

@k�RR

1

A (x 6= y)

であることが分かります．戸瀬　信之 ３次元固有値問題 UkV

nnn

いいした脂一

一幾°節熖・

こん へん

AA = が

~ がた)

具体例 UjVě固有ベクトルUBBV � = jのとき 上の行列式の計算の行基本変形を用いて

�

0

@tvx

1

A = j

0

@tvx

1

A ,

0

@k �k �ky y yR �R �R

1

A

0

@tvx

1

A = ~y , t � v � x = y UOkV

となります．これから固有ベクトルは0

@tvx

1

A =

0

@v + x

vx

1

A = v

0

@RRy

1

A+ x

0

@RyR

1

A (v 6= y P_ x 6= y)

であることが分かります．

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nauk GI3- A ) = 1 .

ne is ( も。 )(ニ)

ま Zやお A)したが

つく = y t Z .

p = G○

iii.側近 帳に「

尃 ::!!な.TT

部分空間とその直和 URV

o ,q ⇢ EMが部分空間とします．このときo + q := {~p + ~r 2 EM; ~p 2 o , ~r 2 q }

も部分空間となります．部分空間の和 o + q が直和であるとは~p 2 o , ~r 2 q ,~p + ~r = ~y ) ~p = ~r = ~y

が成立するときで o � q と記します．

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TEE U -) X t µで、 EV.tt o に ついて 閉じ ている。

心 ~ ~

renren.netも知ら

-

vtwedhy 、いい

V W

籩で + T = 8⇒ が、

ここでvnw = { o}で燕だ ?で品駅

で t で = が

鼹:籤囍シ晶に橤酢

部分空間とその直和 UkV

M次正方行列 � 2 JM(E)- ↵ 2 Eに対してo (↵) := {~p 2 EM; �~p = ↵~p}

と定めます．h?2Q`2K↵,� 2 Eが ↵ 6= � を満たすならば

o (↵)� o (�)

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1k = R,E

.

ness

ftp.tにい A) で =?= ha(a In- A ) 部分空間 。

○、断

B :

mxn.hu( 13) = { EE 心 ; 13 で ー?) や と か について閉と じ ている

。

でも → B で、 = 13で

、沼 (部分空間 )

13 ( x で 十mで) 末 XBT ve BE = をGti糸が恥生 、

=8

へ) a で、 teで EheCB)

13 の 解 空間、

13 の 木を、

Gene of B .

部分空間とその直和 UjV

~pR 2 o (↵)- ~pk 2 o (�) が~pR + ~pk = ~y UkV

を満たすとします．この両辺に (� � �AM)を掛けると(↵� �)~pR = ~y 従って ~pR = y

となります．これを UkVに代入して ~pk = ~y も従います．

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→ だ?

-0キロ_

⇐

(A - P In )G + I ) = CA -f IST t CA -P Inst= の で

、一が、

=が が、_

具体例 U9Vě対角化ここでさらに

~TR =

0

@k�RR

1

A , ~Tk =

0

@RRy

1

A , ~Tj =

0

@yRR

1

A , S = (~TR ~Tk ~Tj)

と定めます．一般論によってo (R)� o (j)

が成立しますから，+R~TR + +k~Tk + +j~Tj = ~y とすると+R~TR = ~y, +k~Tk + +j~Tj = ~y

となります．~TR 6= ~yから +R = yであることが分かります．+k~Tk + +j~Tj =

0

@+k + +j

+k+j

1

A = ~y

から +k = +j = yが従います．よって S は正則となります．戸瀬　信之 ３次元固有値問題 UkV

u.,0

)

- Pat!!だ からの日、

- て驗簽

.

TEB Bee ) くにいた。

-

具体例 U8Vě対角化

�S = (�~TR �~Tk �~Tj) = (R · ~TR j · ~Tk j · ~Tj)

= (~TR ~Tk ~Tj)

0

@R y yy j yy y j

1

A = S

0

@R y yy j yy y j

1

A

からS�R�S =

0

@R y yy j yy y j

1

A

と �が対角化されます．戸瀬　信之 ３次元固有値問題 UkV

r. 。皜

」

固有空間 URV

� 2 JM(E)- ↵R, · · · ,↵` 2 E

o (↵B) := {~p 2 EM; �~p = ↵~p}

定理 ↵B 6= ↵D (B 6= D)~pB 2 o (↵B) (B = R, · · · , `)

~pR + · · ·+ ~p` = ~yならば

~pR = · · · = ~p` = ~y証明は `の帰納法を用いる。

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IR 部宅内 の 和、 直和.IR

nervefor CA - の i In ) 部分 室内や と o につい

○nis

、鍵慥einer

l= 2は示している。

vいい . . V

Cape= 2 ⇒ e= 3 を 示す

。 身体 。王パッも o ⇒ Vai) =18 3. Koopa . 体

、

固有空間 UkV

前ページの定理を ` = jの場合に示します．h?2Q`2K� 2 JM(E)- ↵,� � 2 Eが

↵ 6= �, � 6= �, � 6= ↵

を満たすとします．このとき~pR 2 o (↵), ~pk 2 o (�), ~pj 2 o (�), ~pR + ~pk + ~pj = ~y

ならば ~pR = ~pk = ~pj = ~y が従います．

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mere( 一音

、と し te 意にま は分かる )↳

いの V ( Ver ) 国 空内分配 の 一塾

固有空間 UjV

~pR + ~pk + ~pj = ~y UjVの両辺に (� � �AM)を掛けると

(↵� �)~pR + (� � �)~pk = ~y

となります．これから(↵� �)~pR = (� � �)~pk = ~y

さらに~pR = ~pk = ~y

となります．これを UjVに代入すると ~pj = ~y も従います．

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s ら EUは)→ (A -るるいた沼、、

○、がないが

2=バーが

いる 日 ・

二 Caer)が

再巫 いの仮定○を-_-

部分空間の和と直和oB ⇢ EMが部分空間とする (B = R, · · · , `)。このとき

oR + · · ·+ o` := {~pR + · · ·+ ~p`; ~pB 2 oB (B = R, · · · , `)}

はEMの部分空間である。~pB 2 oB(B = R, · · · , `), ~pR + · · ·+ ~p` = ~y ) ~pR = · · · = ~p` = ~y

が成立するとき、oR + · · ·+ o`は直和といいoR � · · ·� o`

と記す。

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mnnn

p_ く ど.

eee訵、 e= 2

,3 の 場合 確認

.ws

固有空間分解 UyVě準備

� 2 Jj(E)- ↵ 2 E とします．��(�) = (�� ↵);(�), ;(↵) 6= y

ならばdimo (↵) = R

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スペが分解。-87

心中.

genre

( 心 で も ok.AE Mulk)でも)in

Tha(a)= 0

d -一 の は 単糸も松 、

ヨが、キ8 f EUは) -) d 、いいの) 3 1

.

di- Vは) = 1 .

den U は ) 3 2 と する 矛盾 .TT かが、 でもで

同、

1で EUが、かなか

. A が = の か がnnr AT = ので も

、Team で/-無い?だ が 線型独立 とでも 3

. 4,

闇しん

がくか が、 もう 正則 De

AQ = ( AT AT AID) = (何 のものが型鯊」=何 か な ) は新 = の (獫) 3

が AQ = で の副王が" なが" = ドるーのさ剡nr

t.ca - a 」 (小のいーち )

⑧d = の が 五月 (かの

単純杞に 矛盾

Q : 3 × S

T I, F

1 Q に o も) Q 正 目り で は 糸

L 0 1 . 最後 の 見体 は1 .

A = ( た) きがに いい いい いい

a が ない し、2 固有値

は っ

→ vいい KG)、いいに lk ( う )

、V した 1KG )" BP = (がた ぼ ) は 正則

=

ピコ V い ) @ U ( い U に )G 。E た がで.

で = PS = p.pt で 二 で~ ~

L = GT +Cafe S で E V HDV(い

たり してい たの いとい

いい = V い ) VCl ) Vに)

① Uが E v心の A による 固有値分解

( スペクトル分解で = で

、t でやる ( A が対角化では明

e U いい,I EV (い

,TEVに) と 書けるな ・ u

② 一意性.

で い

た が9Tt.fi +でおかい-) が = で

、だが、お = お く-is nome)

したが t 心-I) tぼー で ) =

入 ニ - 1,1,2

J( て) = 1

節 迪無啜 払に。

V して) JCI ) = 0

で こう け ー

ー

ち ) が一 批に※ジ、

二 方 (かい) で-1 )小射影行が

固有空間分解 URV

� 2 Jj(E)に対して、固有値 ↵,�, � 2 E が単純としよう。↵ 6= �, � 6= �, � 6= ↵

このときEj = o (↵)� o (�)� o (�)

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int

globeスペクトル分解、

いいの

Tたがじ とすると 品の k。 主で

PE = pがお = でLI

= c、かいだいら

EUは) VP) VCO)

固有空間分解 UkV

~p 2 Ejに対して~p = ~pR + ~pk + ~pj

~pR 2 o (↵), ~pk 2 o (�), ~pj 2 o (�)

とすると ~pR,~pk,~pjを ~p で表せるか。

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w

Thieme The

固有空間分解 UjV

そのアイデア URV 7 (�) 2 E[�]- ~p 2 o (↵) に対して7 (�)~p = 7 (↵)~p

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AE = の で、→ Ah たがで

A2 で = A ので

nne 二 の Aでいてい」

JCA ) = 9mがt.it aqdt ao→JCA) で 二 (au がt -_- +9

、 At 9。I3 ) v

= anがで t.it a、 ので t a 。が

二 (au が t.ia.at a。) で = fいた 。

そのアイデア UkV

(�� �)(�� �)

(↵� �)(↵� �)+

(�� ↵)(�� �)

(� � ↵)(� � �)+

(�� ↵)(�� �)

(� � ↵)(� � �)= R

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「

口側

-

t.cn こと が新淂 すば_

」 だが興5.CA) が 二 t.CA)感

,

t.CA )で tf.CA)で、

こ 稿が話で 5話が二_

| ないか =で、 JTA) ら=が