3_Integracion en el campo complejo.pdf

8/17/2019 3_Integracion en el campo complejo.pdf

1/221

1

3Integración en el Campo

Complejo


2/221

2

3.1 Integral compleja de línea

.cuando0donde

)(lim:)(1

n z

z z f dz z f k n

k

k n

B

A

),(),()( y xiv y xu z f

yi x z k k k

Observa que la integral NO es el área bajo la curva.

El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”.

Los Δz actúan como vectores, no como longitudes.

Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?

1 x

1 z A

B

1 z

2 z

n z

x

y

2 z

n zn y


3/221

3

Conexión entre integrales de línea reales

y complejas

C C

C C

C C

dx y xvdy y xui

dy y xvdx y xu

idydx y xiv y xudz z f

),(),(

),(),(

])][,(),([)(

Con C indicamos el camino de la integral de línea.


4/221

4

)(

)(

)(

)(

)](')(')[(

)()(

Bt

At

Bt

At C

dt t iyt xt f

dt dt

dz t z f dz z f

Integración de funciones complejas

parametrizadas

Arco suave C de A a B: )()()( t iyt xt z

Parametrización continua con t(A) t t(B) y con derivadasx’(t) e y’(t) continuas.

dt

t dyi

dt

t dx

dt

t dz )()()(


5/2215

.41,,3 pordadoestádonde

:Evalúa

2

t t yt xC

dz z C

idt t idt t t

dt it it t dz z

it t it t t z f

it t z it t t z

C

651953)92(

)23)(3( que,modoDe

33))((

23)(',3)(

4

1

24

1

3

4

1

2

22

2

Ejemplo 1

Solución


6/2216

Evaluar , donde C es el contorno de la figura C dz iy x )( 22

C 1 está definida por y = x = t , entonces z (t ) = t + it , con 0 t 1,

z ’(t ) = 1 + i, f ( z (t )) = t 2 + it 2 :

21

)()()( 222222C C C

dz iy xdz iy xdz iy x

idt t idt iit t dz iy xC 3

2)1()1)(()(1

0

221

0

2222

1

La curva C 2 está definida por x = 1, y = t con 1 y 2. Entonces:

z (t ) = 1 + it , z ’(t ) = i, f ( z (t )) = 1 + it 2:

iiidz iy x

idt idt t idt it dz iy x

C

C

3

5

3

7)

3

7(

3

2)(

3

7)1()(

22

2

1

2

12

2

1222

2

Ejemplo 2

Solución


7/2217

Calcular la integral Donde C es el arco de

circunferencia , orientado positivamente. C dz z z z

2

))arg(0( ,1 z z

3

8

3

1

1

1

0

3

0 0

322

ii

iiii

C

i

ee

d eeid eiedz z z z

e z z

Ejemplo 3

Solución


8/221

8

Camino o contorno simple cerrado

Es un contorno que

genera dos

dominios:

uno acotado

(interior)

y otro no acotado(exterior). Ambos

dominios tienen al

contorno como

frontera.

Camino o contorno

no simple cerrado


9/221

9

Se dice que la integración se lleva a cabo en sentido

positivo alrededor del contorno C cuando el interior

queda a la izquierda del sentido de circulación.

C C dz z f dz z f )()(Para no recargar con símbolos

La integración se lleva a cabo en

sentido negativo si ocurre lo contrario. C C dz z f dz z f )()(

C C dz z f dz z f )()(Se cumple que:


10/221

10

Propiedades de las integrales de contorno

constante ,)()( k z d z f k z d z f k C C C C C z d z g z d z f z d z g z f )()()]()([

,)()()(21

C C C z d z f z d z f z d z f

,)()( C C dz z f dz z f


11/221

11

Integrar la función

a lo largo de la circunferencia: | z| = r

z z f /1)(

Ejemplo 4

Introducimos un parámetro t

variando entre 20 t

idt i

dt erire

dt dt

dz t z f dz z f

t i

t i

C

2

1

)()(

2

0

2

0

2

0

t i

ret z C )(:

Nota: podríamos haber usado

t it r t z C sincos)(:

y

xr

C

Ejercicio: repetir con esta forma.

i z dz

C 2

Solución


12/221

12


a lo largo del cuadrado

z z f /1)(

Ejemplo 5

Introducir un parámetro t

variando entre 11 t

y

x

i1

i1

i1

i1

1C

3C

2C

4C

1

1

2424

1

1

2323

1

1

2222

1

1

2121

1,

1

1)(,1,)(:

1,

1

1

1

1)(,,1)(:

1,

1

1)(,1,)(:

1,

1

1

1

1)(,,1)(:

dt t

it I

t

it

it t z f

dt

dz it t z C

dt t

it I

t

it

it t z f i

dt

dz tit z C

dt t

it I

t

it

it t z f

dt

dz it t z C

dt t

it I

t

it

it t z f i

dt

dz tit z C

1

1)()( dt dt

dz

t z f dz z f C

Solución


13/221

13

y

x

i1

i1

i1

i1

1C

3C

2C

4C

i

i

t i

dt t

idt t

t

dt

t

it dz z f

C

2

4/4/4

arctan4

1

1

14

1

4)(

1

1

1

1

2

1

1

2

1

1

2

i z

dz

C 2

0 (integrando impar en

intervalo de integración par)


14/221

14

z z f /1)(

Ejemplo 6: Repitamos trasladando el circuito de integración.

11 t

1

1

2424

1

1

2323

1

1

2222

1

1

2121

)2(1

)2(,

)2(1

2

2

1)(,1,2)(:

9

3,

9

3

3

1)(,,3)(:

)2(1

)2(,

)2(1

2

2

1)(,1,2)(:

1,

1

1

1

1)(,,1)(:

dt t

it I

t

it

it t z f

dt

dz it t z C

dt t

it I

t

it

it t z f i

dt

dz it t z C

dt t

it I

t

it

it t z f

dt

dz it t z C

dt t

it I

t

it

it t z f i

dt

dz it t z C

1

1)()( dt dt

dz

t z f dz z f C

x

i1

i1

i 3

i 3

1C 3C

2C

4C

y


a lo largo del cuadrado

Introducir un parámetro t

variando entre

Solución


15/221

15

Usando las relaciones22

22

22

)(ln)(

)(

arctan1

)(

t bat ba

dt t b

a

bt

at ba

dt

obtenemos

0C

z

dz

x

i1

i1

i 3

i 3

1C

3C

2C

4C

y

Donde C ahora es el “cuadradounitario” anterior desplazado

a la izquierda 2 unidades.


16/221

16

0C

z

dz C

i z dz

C

2C

0C

z

dz C

0C

z dz

C

0C

z dz

C

0C

z dz

C

Observa que:


17/221

17

0C

z

dz C 0

C z

dz

C

i z

dz

C

2

0

C z dz C

0C

z

dz

0

C z dz

C C

C


18/221

18

C dz z f 0)(C

3.2 Teorema integral de Cauchy

Si f ( z ) es analítica con derivada

continua en todos los puntos dentro ysobre un contorno cerrado C, entonces:

0C z

dz

C

f ( z ) es analítica en todo punto

excepto en z = 0

0C

zdze


C

Ejemplos:


19/221

19

Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el

Teorema de Green1 (1828)

y

Q

x

Q

y

P

x

P

y xQ y x P

y,,),,(),,(Sean

continuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:

dxdy y

P

x

Qdy y xQdx y x P

C DC

),(),(

1George Green (1793-1841) Resultado de sus trabajos en electromagnetismo.

Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la

figura.

0 x 1 x

1 y

0 y1C

2C

3C

4C

.),(),(

),(),(

),(),(

31

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

10

01

C C

x

x

x

x

x

x

R

x

x

y

y

dx y x P dx y x P

dx y x P dx y x P

dx y x P y x P

dxdy y

P dxdy

y

P


20/221

20

cC C

C C R

dx y x P dx y x P dx y x P

dx y x P dx y x P dxdy y

P

),(),(),(

),(),(

42

31

Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3

y C1no tienen variación en y, obtendremos:

c R

dy y xQdxdy y

Q),(

Y eso completa la demostración para un contorno rectangularrecorrido en sentido positivo.

Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:

0),(;0),(42 C C

dx y x P dx y x P


21/221

21

...)()()(21

C C C Qdy PdxQdy PdxQdy Pdx

Podemos usar infinitos rectángulos

para recubrir “exáctamente” el área de R.

1C

2C

Recorriéndolos como indica la

figura superior, se compensan

las integrales en los caminos

“horizontales”...


22/221

22

Demostración del teorema integral de Cauchy:

C C C C

C

dy y xuidx y xvidy y xvdx y xu

dz z f

),(),(),(),(

)(

),(:),(

),(:),(

y xv y xQ

y xu y x P

),(:),(

),(:),(

y xu y xQ

y xv y x P

0

dxdy y

v

x

uidxdy

y

u

x

v D D

0

(Como f(z) es analítica cumple las ECR)

Como suponemos u(x,y), v(x,y) y sus derivadas parciales

continuas en todos los puntos dentro y sobre C:


23/221

23

3.3 Primitivas (integrales indefinidas)

Sea f(z) una función continua en un dominio D. Una primitiva de

f(z) es una función F(z) tal que F’(z) = f(z) en todo z de D.

Nótese que la primitiva es necesariamente una función analítica.

Además la primitiva de una función f dada es única salvo por una

constante aditiva compleja.

Teorema. Sea f(z) una función cotinua en un dominio D. Lassiguientes propiedades son equivalentes entre sí:

i. f(z) tiene una primitiva F(z) en D.

ii. Las integrales de f(z) sobre caminos contenidos en D, con punto

inicial z1 y punto final z2 tienen todas el mismo valor.

iii. Las integrales de f(z) sobre caminos cerrados contenidos en Dtienen todas valor cero.


24/221

24

Ejemplo 1.

Calcular

Solución

La función es continua en todo el plano complejo y admite

la primitiva en todo el plano. Por lo tanto:3/)( 3 z z F

2)( z z f

)1(3

2

0

1

3|

1

0

32 i

i z

dz z

i

i

dz z

1

0

2


25/221

25

Ejemplo 2.

Calcular , con c:

Solución

La función es continua en todo el plano complejo excepto

en el origen, tiene primitiva a en el dominio |x| > 0 (todo el

plano salvo el origen). En consecuencia

02 c z dz ,2 ie z

2/1)( z z f

z z F /1)(

02

c z

dz


26/221

26

C dz z f 0)(

3.4 Teorema integral de Cauchy-Goursat

Si f ( z ) es analítica en todos los puntos dentro y sobre uncamino cerrado simple C, entonces:

Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy.

Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la

restricción alguna sobre la derivada de f(z).

Ejemplos


27/221

27

?cos

1

2

C

dz z

f ( z ) es no analítica en z = /2, 3/2, ...

03

sin3

1

C

z

dz z

z e

0cos

1

1

C

dz z

f ( z ) es no analíticaen z = 3

?3

sin3

2

C

z

dz z

z e

Ejemplos

2C

1C 1C

2C

0)sin(

1 dz z

C

No es analítica en los

puntosz = 0, 1, 2,... 0 1 2-1-2

C2i


28/221

28

Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la

desigualdad ML :

MLdz z f C

)(longitud

de C

cualquier número tal que

sobre C M z f )(Demostración:

n z

z z f dz z f k

n

k

k n

C

cuando0donde

)(lim)(1

Cotas para integrales

de línea.


29/221

29

C.delongitudlaesLdonde;lim1

L z dz n

k

k n

C

Observemos que si |f(z)|=1, entonces:

Por la desigualdad triangular, tenemos:

C

k

n

k

k n

k

n

k

k n

C

dz z f z z f z z f dz z f )()(lim)(lim)(11

C C

dz z f dz z f )()(


30/221

30

Supongamos que: si z es un punto de C.

Entonces:

ML z M z z f

z z f dz z f

n

k

k n

k

n

k

k n

k

n

k

k n

C

11

1

lim)(lim

)(lim)(

MLdz z f C

)(

M z f )(

Desigualdad ML


31/221

31

Ejemplo:

Encuentra una cota superior para el valor absoluto de:

donde C es el círculo | z | = 4.

zd z

eC

z

1

Puesto que | z +1| | z | − 1 = 3, entonces:

Además, |e z | = e x , con |z| = 4, y tenemos

que el máximo valor de x es 4. Así:31

4e

z

e z

3

8

1

4e z d

z

eC

z

3

||

1||

||

1

z z z e

z

e

z

e

R L

M z f

2

)(


32/221

32

Demostrar la siguiente desigualdad:

4 Log

2

zdz

Im(z)

1

Re(z)

Respuesta.

L: longitud del arco:

M: max |Log z|Γ

ML zdz Log

2

L

2

20 ,Log

arglnLog

M

i z

z i z z

4 Log

2 zdz


33/221

33

A

4

32

1

BC

DE

F

Demostración del teorema de

Cauchy-Goursat para camino

triangular cualquiera:

Sea el camino triangular ABCA.

Trazamos un triángulo auxiliar

EFD a partir de los puntos medios

de los lados del triángulo ABC.

Entonces:

E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2

dz z f dz z f dz z f dz z f dz z f

ABCA

4321

)()()()()(


34/221

34

dz z f dz z f dz z f dz z f dz z f ABCA

4321)()()()()(

Aplicando la desigualdad triangular:

dz z f dz z f ABCA 1

)(4)(

Sea},,,max{: 4321

1

Entonces:

Repitiendo el proceso con el triángulo 1

dz z f dz z f ABCA

2

)(4)( 2


35/221

35

Después de n pasos, tendremos:

dz z f dz z f n

n

ABCA

)(4)(

Hemos construido una sucesión de triángulos encajados:

n

ABC ,...,,,, 321

gracias al principio de Cantor de compactos encajados:

existe un punto z0 que pertenece a todos ellos.

Y puesto que z0 está dentro o sobre ABC , y como por el enunciado f(z) es analítica en z 0. Entonces:

))(())(()()( 0000 z z z z z z f z f z f recordemos que (z) depende de z y que (z) 0 cuando z z 0; es

decir, que para todo podemos encontrar un tal que (z)siempre que z - z 0.

1

0}{n

n z


36/221

36

1)( z g 0)( z z z g

Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadascontinuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.

nn

dz z z z dz z f ))(()( 0

nnnn

dz z z z dz z z z f dz z f dz z f ))(()()()()( 0

0

00

0

0


37/221

37

Si P es el perímetro de ABC , entonces el perímetro n será:

nn P P 2

n z

0 z

nn

P P z z

2|| 0

L

n

M

n

P P dz z z dz z f

nn 22)()( 0

Usando la desigualdad ML:

n

P dz z f

n 4)(

2


38/221

38

Teníamos:

dz z f dz z f n

n

ABCA

)(4)(

22

44)( P

P

dz z f nn

ABCA

0)( ABCA

dz z f

Y como se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:


39/221

39

Puesto que todo polígono cerrado se

puede triangular, aplicando elteorema de Couchy-Goursat a cada

triángulo podemos demostrar el

teorema para un polígono cerrado

arbitrario.

A

B

C D

E

n z z 0

1 z

2 z1n z

Intentaremos aproximar una curva

arbitraria a través de un polígono

cerrado P de vértices z0, z1, z2, ...

zn-1, zn= z0, tal y como hicimos

para definir la integral de líneacompleja.


40/221

40

nS

k

n

k k

nC z z f dz z f )(lim)( 1

Recordemos que:

Para n finito, estamos

aproximando la curva cerradacon un polígono P cerrado de n

lados y de perímetro S n.

nC nC S S dz z f dz z f )()(

Obviamente:

n

C n

C S S dz z f dz z f

)()(

Usando la desigualdad triangular:

1 2

Acotaremos y1 2


41/221

41

C nS dz z f )(

Comencemos con 1

C nn dz z f S )(:lim

Entonces, dado cualquier > 0 existe un número N() tal que para n > N():

2)( C nS dz z f


42/221

42

0)}()()({

...)}()()({

)}()()({

)(...)()(

0)(

1

2

1

1

0

1

2

1

1

0

22

11

n

n

n

n

z

z nn

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

P

dz z f z f z f

dz z f z f z f

dz z f z f z f

dz z f dz z f dz z f

dz z f

nS Sigamos con acotemos:2


43/221

43

n

n

n

n

n

z

z

z n

z

z n

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

dz z f dz z f z f

dz z f dz z f z f

dz z f dz z f z f

11

2

1

2

2

1

1

1

0

1

0

)()}()({

...)()}()({

)()}()({0

22

11

0)}()({

...)}()({)}()({

1

2

1

1

0

21

n

z

z n

z

z

z

z

S dz z f z f

dz z f z f dz z f z f

n

n


44/221

44

n

n

z

z n

z

z

z

z n

dz z f z f

dz z f z f dz z f z f S

1

2

1

1

0

)}()({

...)}()({)}()({ 21

n

n

z

z n

z

z

z

z n

dz z f z f


1

2

1

1

0

)}()({

...)}()({)}()({ 21

Utilizando la desigualdad triangular:

Multiplicando por – 1 y cambiando el signo de los integrandos:


45/221

45

k

k

z

z k dz z f z f

1

)}()({Para cada una de las k integrales

(k=1,2, ..., n) usaremos la

desigualdad ML.Observemos que la “longitud” de cada integral es:

11

k k

z

z z z dz

k

k

Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemostomar el N() de lo suficientemente grande como para que conn > N() la distancia entre f(zk ) y f(z) esté por debajo de /2P, paratodo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos

acotar todos los integrandos:

P z f z f k

2)()(

1


46/221

46

De modo que:

n

n

z

z n

z

z

z

z n

dz z f z f


1

2

1

1

0

)}()({

...)}()({)}()({ 21

Teníamos:

2

...

2

11201

P

nnn z z z z z z

P

S


47/221

47

22)()( nC nC S S dz z f dz z f

Recopilando:

Puesto que es arbitrario, entonces:

0)( C dz z f


48/221

48

Ejercicio


49/221

49

3.5 Dominios simplemente y multiplemente conexos

Un dominio D se dice que es simplemente conexo si todo camino

cerrado simple contenido en él encierra sólo puntos de D. Cuando

un dominio no es simplemente conexo, se dice que es

multiplemente conexo.

El disco: |z-1| < 2, es simplemene conexo, mientras el anillo:

1


50/221

50

Principio de deformación de contornos

(Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo).

21

)()(C C

dz z f dz z f

Supongamos que f ( z ) es analítica en un dominio doblemente

conexo D así como en las curvas que lo limitan.

Entonces:

D

1C 2C

Sentido negativo

p

entonces para todo camino C contenido en D, se cumple

0)(

C

dz z f


51/221

51

0)(

21

BAC ABC

dz z f

BAC

ABC

dz z f dz z f

dz z f dz z f

)()(

)()(

2

1

BA AB

dz z f dz z f )()(Como:

0)()(

21

C C

dz z f dz z f

0)(21 C C C

dz z f

1C 2C

A

B

Sentido positivo

Nota: Observa que los sentidos en que se

recorren los circuitos en este dibujo y el

anterior, no son los mismos...


52/221

52

21 C

z

C

z dz edz eEjemplo 1:

1C 2C

D

(¡obvio!)

21

11

C C

dz z

dz z Ejemplo 2:

(no tan obvio)

Otra demostración


53/221

53

0)(,0)(***

ccdz z f dz z f

Otra demostración

Introduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen

los dos contornos.

Sean C * y C ** los dos nuevos contornos

cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4)

y (5-6-7-8), respectivamente.

Ahora f ( z ) es analítica sobre y dentro

de C * y C ** . Por el teorema Integral de Cauchy:

1 L

2 L

**C

*C

1 23

45

6

7

8

Inicio

y

x

Integramos alrededor del dominio D, 1 L y


54/221

54

a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así:

21

***

)()(

)()(

)()()(

8,63,1

87654321

C C

C C

dz z f dz z f

dz z f dz z f


Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulan

Pero como las integrales a lo largo de C * y C ** son cero,

entonces:

0)()(21

C C dz z f dz z f con lo que se demuestra el enunciado.

2 L

**C

*C 1 2

3

45

6

7

8

Inicioy

x

¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?


55/221

55

¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?

Si uno de los contornos puede

transformarse en el otro mediante

una deformación continua y sin

cruzar ninguna singularidad de

f(z), entonces:

21

)()(C C

dz z f dz z f

y

x

i1

i1

i1

i1

1C

3C

2C

4C

i z

dz

C 2

Recordemos:

Ejemplo


56/221

56

Así que como la integral de f ( z ) = 1/ z a lo

largo de un círculo de radio r es 2i:

A partir del teorema integral de Cauchy para dominios

doblemente conexos vemos que la integral de f ( z ) = 1/ z

a lo largo de cualquier camino que contenga este círculoes también 2i.

idz

z C

21

1

z

1 es analíticaaquí

1C

2C

r

Ejemplo


57/221

57

C

dz z z dz

)9( 22

Evaluar la integral

f ( z ) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuerade la región sombreada como muestra la figura. Así:

donde C es un círculo de radio 2, centrado en

0, descrito en sentido positivo y un círculo de

radio 1, centrado en 0, descrito en sentidonegativo.

0)9( 22

C

dz z z

dz

Ejemplo

C

0

3i

-3i

1 2

Teorema de Cauchy-Goursat para dominios


58/221

58

Teorema de Cauchy Goursat para dominios

múltiplemente conexos

C

n

k C k

z d z f dz z f 1

)()(

Supongamos que C , C 1, …, C n son curvascerradas simples con orientación positiva,

tales que C 1, C 2, …, C n son interiores a C

pero las regiones interiores a cada C k , k = 1,

2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es

analítica dentro y sobre el contorno C, sin el

interior de todos los C k , k = 1, 2, …, n,

entonces:

No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir


59/221

59

No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir

que formen anillos. Por ejemplo:

Imaginemos que f(z) es analítica

en todos los puntos del dominio

D de la figura. Tanto C2 como

C3 forman anillos con C1.

Por deformación de

contornos:

2C

1C

D

3C

31

21

)()(

)()(

C C

C C

dz z f dz z f

dz z f dz z f

32 )()( C C dz z f dz z f

Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo


60/221

60

Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo

el plano complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que

3,2,1 ,)( k adz z f k C k

siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo.

Calcular, siendo Γi cada uno de los siguientes contornos

orientados positivamente:

(1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1

i dz z f )(

Respuesta:

Por el teorema de Cauchy-

Goursat en dominiosmúltiplemente conexos:

32

21

321

3

2

1

)(

)(

)(

aadz z f

aadz z f

aaadz z f

Independencia del camino de integración


61/221

61

Integremos la función a lo largo de

la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i.

z z f )(

(1) Representar C en la forma z (t ):

10)( t t it t z

12)(

)1)(()()(

1

0

2

1

0

1

0

1

0

1

0

t tdt dt t it t it

dt it it dt dt

dz t z f dz z f

C

(2) Integramos: idt

dz 1

y

x

C

i1

0

Independencia del camino de integración

Ejemplo 1


62/221

62

z z f )(

10)( t t t z

21102211

0

1

0

)1)((

)()(

t dt t

dt dt

dz t z f dz z f

C

A lo largo de C 2: 101)( t t it z

it it dt it dt it i

dt dt

dz t z f dz z f

C

21

1

0

2

21

1

0

1

0

1

0

)())(1(

)()(

Integrar la función a largo del camino C = C 1 + C 2que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura:

A lo largo de C 1: y

x

i1

0

2C 1C

1


63/221

63

1C

dz z

iidz z C

12

1

2

1

¿El valor de la integral entre

dos puntos depende siempre

del camino?

y

x

i1

0


64/221

64

Repitamos pero con a lo largo de

la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i.

z z f )(

(1) Representar C en la forma z (t ):

10)( t t it t z

iit tdt i

dt it it dt dt

dz t z f dz z f

C

1

0

2

1

0

1

0

1

0

2

)1)(()()(

(2) Integramos:

y

x

C

i1

0

Ejemplo 2


65/221

65

z z f )(

10)( t t t z

21102211

0

1

0

)1)((

)()(

t dt t

dt dt

dz t z f dz z f

C

A lo largo de C 2: 101)( t t it z

it it dt it dt it i

dt dt

dz

t z f dz z f C

21

1

0

2

21

1

0

1

0

1

0

)())(1(

)()(

Repitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo

del camino C = C 1 + C 2 que une los puntos 0 y 1+ i:

A lo largo de C 1: y

x

i1

0

2C

1C

1


66/221

66

i zdz C

ii zdz C

2

121

Ahora el valor de la integral no

depende del camino.

¿Qué diferencias hayentre f(z) = z y f(z)= ?

y

x

i1

0

z

Ejemplo 3


67/221

67

Integrar la función a lo largo del camino C

uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura

2)( z z f

1022)( t it t t z

)219(3

1

)3/8(1)21(

)84()443()21(

)21()22(

)()(

1

0

22

1

0

2

1

0

i

ii

dt t t it t i

dt itit

dt dt

dz t z f dz z f

C

y

x

i21

0

C

2

Ejemplo 4


68/221

68

Integrar la función a lo largo del camino C = C 1+ C 2uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura

2)( z z f

202)( t t t z

3

8)44(

)1()2()(

2

0

2

2

0

2

dt t t

dt t dz z f

C

y

x

i21

0 21C

2C

A lo largo de C 1:

102)( t tit t z A lo largo de C 2:

idt t i

dt itit dz z f C

3

2

3

11)211(

)21()2()(

1

0

2

1

0

2

3/)219(2 idzz


69/221

69

3/)219( idz z C

3/)219(2

idz z C

El valor de la integral

a lo largo de los dos

caminos es el mismo.

y

x

i21

0 2

¿Coincidencia?

Independencia del camino

S f ( ) líti


70/221

70

1 z

2 z

1C

2C

0)()(

21

C C

dz z f dz z f

Supongamos que f ( z ) es analítica en

un dominio simplemente conexo D D

(por el teorema integral de Cauchy)

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

delargoloadelargoloa



)()(

)()(

0)()(

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

dz z f dz z f

dz z f dz z f

dz z f dz z f

Recuerda el potencial gravitatorio:


71/221

71

p g

La energía potencial gravitatoria = m g h

es independiente del camino...

masa m

altura h

Ejemplo: f(z)=|z|2


72/221

72

101:

100:

10:

2

1

0

t t y x L

t yt x L

t t yt x L

3

4

3)1(|1|:

3

1||:

3

)1(2)1(|1|)1(||:

1

0

2

1

0

2

22

1

0

2

1

0

2

11

1

0

22

1

0

2

00

iiiidt t idt it I L

dt t dt t I L

idt t iidt iit t I L

2||)( z z f

x1

i 1+iL0

L1

L2

y

Observa que L0 L1+L2

Ejemplo: f(z)=z2


73/221

73

101:

100:

10:

2

1

0

t t y x L

t yt x L

t t yt x L

3

32)21()1(:

3

1:

3

22)1()1()(:

1

0

2

1

0

2

22

1

0

2

11

1

0

23

1

0

2

00

iidt t it idt it I L

dt t I L

idt t idt iit t I L

2)( z z f

x1

i

1+i

L0

L1

L2

y

Observa que L0=L1+L2

Ejemplo: calcular dz z

i

11


74/221

74

144 y x

z 1A lo largo del camino C

1

:

Como f(z) = 1/z es analítica en

todo el plano complejo excepto

en z = 0. Podemos utilizar un

camino más sencillo C2 (|z| = 1).

2

1

)()()(

2/

0

2/

021

id ei

e

d d


i

i

C C

y

x0 1

i

2C 1C

Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo


75/221

75

1 z

2 z 1C

2C

para cada bucle, utilizando como puntos intermedios

los puntos de intersección.

Si f es analítica en D entonces:


76/221

76

f

0)()(1

C C z d z f z d z f

1

)()(C C

z d z f z d z f

Independencia del camino

z

0 z


77/221

77

Consideremos la integral dz z f

z

z

1

0

)(

Si F ( z ) es analítica en un dominio simplemente conexo D, con

derivada dF/dz = f(z) y, z 0 y z 1 están en D, entonces la integral

de f(z) entre z 0

y z 1

es independiente del camino en D.

)()()( 01

1

0

z F z F dz z f

z

z

donde )( z f dz dF

1 z

)219(3

1

332

3

21

321

2

2 i z z

dz z

z i z

i

p.ej.

De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en

variable real:

Ejemplos


78/221

78

(1)

i

ii

z dz z i

i

i

i

097.23

sinh2)sin(2

sincos

todo el plano

complejo

C

(2) ?

1

0

dz z

i

( f ( z ) es no analítica en todo punto -depende del camino)

(3) i

z

dz

z

i

i

i

i

211

2

f ( z ) analítica eneste dominio

(ambas 1/ z 2 y 1/ z son no analíticas en z = 0

- el camino de integración C debe eludir el punto)

. sobreconstanteserá)(entoncesanalítica)es)((y

,dominiounen0)('Si

D z f z f

D z f

P b


79/221

79

Diy xba y x f

Diy xb y xva y xu

vuvu

vuvu

vuivu z f

y y x x

x y y x

x x x x

)(i),(

)(),(y),(

0

y

0y000)('

:Prueba

constante.unasalvoúnicaes)(dedaantiderivao primitivaLa z f

.)()( .)()( quemodoDe

).(-)(diferenciasueslotambién,definición por

analíticasson)(y)(quePuesto0.G(z)-F(z)

).(dediferentes primitivasdos)(y)(Sean

:Prueba

Cte z G z F Cte z G z F

z G z F

z G z F dz

d

z f z G z F


80/221

80

y

iC deidz i

011


81/221

81

x0 1

1C

1

x0

1

2C

1

y

id i

d eie

dz z i

C

0

1

id i

d eie

dz z

i

i

C

0

011

2

¿Por qué en este caso la integral depende del camino?

Intentemos definir F(z) = Ln z

como primitiva En este caso

y

iC


82/221

82

iiii

z dz z

dz z

C

)0()1arg(|1|log)1arg(|1|log

log11 1

1

1

11

como primitiva. En este caso

una posible primitiva es:

x0 1

1C

1

CortePunto de

ramificación2/3arg2/-con

arg||loglog

z

z i z z

CortePunto de

ifi ióIntentemos definir una


83/221

83

x0 1

2C

1

y

ramificación

ii

ii

z dz z

dz z

C

)2(

)1arg(|1|log)1arg(|1|log

log11 1

1

1

12

2/5arg2/con

arg||loglog

z

z i z z

primitiva para este caso.

Observe que NO puede ser

la misma que en el caso anterior:

Y tomemos los

cortes como los

tomemos, siempre

obtendremos este

resultado.


84/221

84


85/221

85

Más sobre integración en contornos cerrados...

Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar

funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:


86/221

86

funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:

(a) analíticas, o

(b) analíticas en ciertas regionesPor ejemplo,

0C z dz f ( z ) es analítica en todo punto

excepto en z = 0

C

Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?

?C

z

dz C La respuesta en el

siguiente resultado

3.6 Fórmula Integral de Cauchy


87/221

87

)(2)( 00

z f idz z z z f

C

Sea f ( z ) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para

cualquier punto z 0 en D y cualquier contorno cerrado C en D queincluya z 0:

D

0 z

C

EjemploIlustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de

f (z) = 1 y z0 = 0


88/221

88

f ( z ) 1 y z 0 0

00 z

C DLa fórmula integral de Cauchy

iidz z

C

2121 f ( z ) es una función constante,

es entera, así que C puede ser cualquier

contorno cerrado en el plano complejo

conteniendo z = 0.

)(2)(

0

0

z f idz

z z

z f

C

se convierte en

Ejemplo 1

d z 2

E l l i l d d C 21


89/221

89

C

dz z 2

Evaluar la integral donde C es

z = 2 es un punto singular en el interior a C.

se convierte en:

21 z

)(2

)(0

0 z f idz z z

z f

C

La fórmula integral de Cauchy

8422

2

iidz z

z

C

20 z

f ( z ) es analítica en todo punto de

modo que C puede ser cualquier

contorno en el plano complejo

conteniendo el punto z = 2.

Demostración no rigurosa de

la fórmula integral de Cauchy:


90/221

90

0C

C 0 z

z i

er 0 Por el principio de deformaciónde contornos:

0

00

)()(

C C

dz z z

z f dz

z z

z f

d er z f id eir er

er z f dz

z z

z f ii

C

i

i

2

0 000

2

00

00

0

)()()(

0

ii eir

d dz er z z 000 ; Cambio devariable:

Hemos tomado un r 0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente


91/221

91

pequeño:

)(2)(

)()(lim

0

2

00

2

0 0

2

0 00

00

z if d z if

d z f id er z f i ir

)(2)(

0

0

z f idz z z

z f

C

¿Qué no es riguroso aquí?

Demostración de la fórmula


92/221

92

0C

C 0 z

z ier 0

Demostración de la fórmula

integral de Cauchy. Por el

principio de deformación decontornos:

0 00

)()(

C C

dz z z

z f dz

z z

z f

2

0

1

0

0

0

0

0

0

0

00

0

)()(1)(

)()()()(

I

C

I

C

C C

dz z z

z f z f dz z z z f

dz z z

z f z f z f dz

z z

z f

2

00

2

000

1 211

id id eir er

dz zz

I i

C

i


93/221

93

000

er z z C

00

02

)()(C

dz z z

z f z f I Vamos a encontrar una cota ML para

02 r L

M

z z

z f z f

z z

z f z f

0

0

0

0 )()()()(

Tenemos:

Y necesitamos M tal que:

Para todo z en C0 : 00 r z z Como f(z) es continua en z0: 00 )()( z z si z f z f

Si tomamos )()(00

z f z f r

para todo z sobre C0.

02 r L M rr

z f z f

zz

z f z f

00 )()()()(


94/221

94

22)()(

0

00

02

0

r r

MLdz z z

z f z f I

C

Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para

r r z z 000

Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho

reducirlo es reducir el radio r 0. Así que: 00 22 I I

)(2)()(1

)()(

0

0

0

0

2

0

0

0

2

0

1

0

z if dz

z z

z f z f dz

z z

z f dz

z z

z f

I

C

i I

C C

Ejemplo 2

Evaluar la integral:

C


95/221

95

)(2)(

0

0

z f idz

z z

z f

C

C

i z dz donde C es el círculo | z |=2

i z 0

1)( z f

f ( z ) es analítica en D y C incluye z 0

1)( 0 z f

C i

D

ii z

dz

C

2

C

z

dz

12donde C es el círculo | z+i |=1

Ejemplo 3

Evaluar


96/221

96

)(2)( 00

z f idz z z z f

C

C

Necesitamos un término en la forma 1/( z- z 0) así que rescribimos la

integral como:

En primer lugar, notemos que 1/( z 2+1) presenta

puntos singulares en z = i.

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.

Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula

dz i z

i z

i z i z

dz

z

dz

C C C

1

))((12

C i

i

D

dz iz

i z

iziz

dz

z

dz

1

))((12


97/221

97

C z dz

12

)(2)(

0

0

z f idz z z

z f

C

i z 0i z

z f

1)( 2/)(0 i z f

i z i z i z z C C C

))((1

C i

i

D

Evaluar z d z

z C 92

Ejemplo 4


98/221

98

donde C es el círculo | z – 2i | = 4.

Solución

Solo z = 3i está dentro de C , y

i z

i z

z

z

z

3

3

92

z 9

:entonces ,3

)(Seai z

z z f

ii

iii f i z d

i z i z

z z d

z

z C C

63

2)3(233

92

z

de donde C es cualquier contorno cerrado

Ejemplo 5


99/221

99

)(2)(

0

0

z f idz z z

z f

C

Fórmula integral de Cauchy:

se convierte en

i

C

z

iedz

i z

e

2

i z 0

C D

C

dz

i z

eEvaluar

donde C es cualquier contorno cerrado

conteniendo z = -i


C

z

dz

14

iTenemos que

donde C es el círculo | z+i |=1Evaluar

Ejemplo 6


100/221

100

C

i

i

1 1

Tenemos que

C C i z i z z z dz

z dz

))()(1)(1(14

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.

Ese es nuestro punto z 0 en la fórmula

C C

dz i z

z f z

dz )(14 ))(1)(1(

1)(i z z z

z f

donde

4)2)(1)(1(

1)()( 0

i

iiii f z f

Ahora

2)(2

)(

1 0

0

4

z f idz z z

z f

z

dz

C C

C

z

dz z

1

tan2

donde C es el círculo | z |=3/2

Ejemplo 7

Evaluar


101/221

101

tan z es no analítica en /2, 3/2, , pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de

integración

C incluye dos puntos singulares, z = 1.Para poder usar la fórmula integral de Cauchy,

debemos tener sólo un punto singular z 0

dentro de C .

C

112/3 2/

Usaremos fracciones parciales:

)1)(1(

)1()1(

111

12

z z

z B z A

z

B

z

A

z

2/1,2/11

0)(

B A

B A

z B A

C C C

dz z

z dz

z

z dz

z

z

1

tan

2

1

1

tan

2

1

1

tan2

1


102/221

102

C

1

1 2/

1tan)(

tan)(

1

0

0

z f

z z f

z

)1tan()(

tan)(

1

0

0

z f

z z f

z

iidz

z

z

C

785.9)1tan()1tan(

2

12

1

tan2

Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z 0,

con la fórmula:

3.7 Derivadas de funciones analíticas


103/221

103

0

!

2)(1

0 z

n

n

C

n dz

f d

n

idz z z

z f

Por ejemplo,

con la fórmula:

Nota: cuando n=0 tenemos la

Fórmula Integral de Cauchy: 0)(2

)(

0 z

C

z f idz z z

z f

Esto es una generalización de la fórmula integral de Cauchy

C z z C dz

z d idz

z

z

dz

z z d idz

z

z z

2

2

2

3

1

2

2

2

00

cos

2

cos,

32

1

3

f analítica en y dentrode C , z 0 dentro de C

Esta fórmula también es conocida como la “formula para las

derivadas de una función analítica.”

Partiendo de la fórmula integral de Cauchy: dz z f

z f 0)(

2

1)(

Demostración


104/221

104

0

!

2)(1

0 z

n

n

C

n dz

f d

n

i

dz z z

z f

Tomando f(z 0 ) como una función de variable z0. Derivando

con respecto a z 0 y aplicando la regla de Leibnitz:

g y C

z z if

0

02

)(

C

C

C

dz z z

z f

i

dz z z dz

d z f

i

dz

z z

z f

idz

d z f

dz

d

2

0

00

00

0

0

)(

2

1

1)(

2

1

)(

2

1)(

por inducción:

La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo

excepcional:


105/221

105

Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee

derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas

derivadas son a su vez también analíticas en el dominio.

Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si

f(z)no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que

dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica

y

por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz

existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) seríaanalítica en z0: una contradicción.

Ejemplo 1

Evaluar la integral z

dz e

2

donde C es el círculo | z |=2


106/221

106

)(2

)(

)(02

0

z f idz

z z

z f

C

C z

2

00 z z e z f )(

f ( z ) es analítica en D, y C incluye z 0

0

0 )(

)(

e z f

e z f z

C

D

i z

dz e

C

z 2

2 2

Ejemplo 2

Evaluar la integral

dz z

3

2

donde C es el círculo | z |=2


107/221

107

)(2

2

)(

)(03

0

z f i

dz z z

z f

C

C

i z 3

i z 02)( z z f

f ( z ) es analítica in D, y C incluye z 0

2)(

2)(

0

z f

z f

C

D

ii z

dz z

C

2)( 3

2

Calcular donde C es la circunferencia C

z

dzi z

e3

23 z

Ejemplo 3


108/221

108

i

C

z i

i z

C

nn

C

z

ie I i

I dz i z

e

ie

e z f e z f i z

siendo

dz z z

z f

i

n z f

dz i z

e I

2

3

2

2

00

1

0

0)(

3

22

!2

)()(;2

:

,)(

2

!

2


109/221

109


110/221

110


111/221

111

Dada una sucesión {zn}, una serie infinita o serie se puede formar a partir de una suma infinita:

3.8 Series en el Campo Complejo


112/221

112

La sucesión de sumas:s1 = z1s2 = z1 + z2s3 = z1 + z2 + z3........sn = z1 + z2 +....zn

es la sucesión de sumas parciales de la serie infinita.

Los z1, z2, ..... son denominados términos de la serie.

...3211

z z z z n

n

Series convergentes

Una serie convergente es aquella tal que la sucesión de sumas parciales

converge, donde s es la suma o valor de la serie y se

expresa:

s snn

lim


113/221

113

expresa:

Una serie divergente es aquella que no converge.

Llamaremos resto R nde la serie a:

Si la serie converge y suma s, entonces

...211

z z z sn

n

321 nnnn z z z R

0limyó

nn

nnnn R s s R R s s

Serie geométrica

Para la serie geométrica:


114/221

114

el término enésimo de la sucesión de sumas parciales es:

12

1

1 n

k

k az az az aaz

z

z aaz az az aS

nn

n

1

)1(...

12

Observa que z n 0 cuando n para | z | < 1, en cuyocasi Sn converge a a/(1 – z ). La serie diverge para | z | 1.

Ejemplo:

...5

)21(

5

)21(

5

)21(

5

)21(3

3

2

2

1

iiii

kk

k


115/221

115

es una serie geométrica con a = (1 + 2i)/5 y

z = (1 + 2i)/5. Puesto que | z | < 1, tenemos que:

55551k

2

5

211

5

21

5

)21(

1

i

i

ii

k k

k

Teorema de Cauchy para series

Una serie z1+ z2 +.... es convergente sii dado cualquier >0 podemos hallar un N tal que |zn+1+zn+2+...+zn+p| < para todon > N y p =1 2


116/221

116

n > N y p 1, 2...

Convergencia absoluta.

Una serie z1+ z2 +... es absolutamente convergente si la serie de

los valores absolutos de sus términos

|zm| = |z1| + |z2| + ......m=1es convergente. Si z1+ z2 +... converge pero |z1|+ |z2| +.... diverge,

la serie z1+z2.... es condicionalmente convergente.

Ejemplo: La serie 1- 1/2+ 1/3- ¼ +... converge condicionalmente.

Si una serie es absolutamente convergente es convergente

¿Es la serie convergente?

k i

Ejemplo


117/221

117

¿Es la serie convergente?

Es absolutamente convergente, puesto que

|ik /k 2| = 1/k 2 y la serie real

es convergente.

De modo que la serie original es convergente.

12k k

12

1

k k

Comparación de series:

Si dada una serie dada z1+ z2+ ... , podemos hallar una serie

convergente b1+ b2+ ... con términos reales no negativos tal que


118/221

118

g 1 2 g q

|zn| bn para todo n = 1, 2, ...entonces la serie dada converge,

incluso absolutamente.

Criterio del cociente:Si una serie z1+ z2+ .... con zn0 (n = 1, 2, ...) cumple que

|zn+1/zn| q < 1 ( n > N, con un q dado para cualquier N)la serie converge absolutamente. En cambio si

|zn+1/zn| 1 ( n > N) la serie diverge.

Si tenemos una serie z1+ z2 +.... con z n 0 (n = 1, 2, ..) tal que

Entonces se cumple que:Llim 1

n

n z

z


119/221

119

p q

a) Si L < 1 la serie converge absolutamente. b) Si L > 1 diverge.c) Si L = 1 “no sabe, no contesta”.

n

n z

0

2

!2

)75100()75100(1

!

)75100(

ii

n

iS

n

Dado

¿Es S convergente o divergente?

01

125lim175100lim

!75100!175100limlim

1

1

nni

nini

z z

nnn

n

nn

n

n

Converge.

Criterio de la raíz:

Si una serie z1+ z2 + ... cumple que para todo n > N

(n < N)1|| q z n

n


120/221

120

( )

donde q N

entonces:

a) Si L < 1 la serie converge absolutamente

b) Si L > 1 divergec) Si L = 1 no podemos extraer conclusiones

1|| q z n n

L z n nn

||lim

Dado

2

02

)4(19

1)4(

7

1

4

14

32

)1(iiiS

n

n

n

Ejemplo


121/221

121

¿Es S convergente?

Como el límite es mayor que 1, la serie diverge.

4

17

34

17lim

34

)4(lim

32

)4(lim

2

n nnn nnn

n

n

n

ii

La serie geométrica

converge con suma 1/(1-q) si |q| < 1 y diverge para otros valores.

0

21m

m qqq

Ejercicio: demostrar que

Serie de potencias

)( o z z Una serie de potencias en es:


122/221

122

02

21 )()()(n

ooon

on z z a z z aa z z a

coeficientes complejoscentro dedesarrollo

0

2

)(2

1

)(1)(!

1

n

n

i z i z i z n P.ej.

Convergencia de series de potencias

Las series de potencias en general convergen para algunos

valores de z , y para otros.


123/221

123

Por ejemplo la serie

0

321n

n z z z z

converge para | z |


124/221

124

0

32 !3!21!

n

n z z z z n

La serie diverge para todo z (excepto z = 0)

0 !3!2!n n La serie converge para todo z

Radio de convergencia cero;R = 0

0

2

21 )()()(n

ooo

n

on z z a z z aa z z a


125/221

125

: converge

(1) La serie de potencias siempre converge para z = z o

o z

(2) Hay un radio de convergencia R para el cual:

R z z o

: diverge R z z o

R z z o Los valores z tq. pueden converger o no

El radio de convergencia R puede ser:

En resumen:


126/221

126

(i) cero (converge solo en z = z 0).

(ii) un número finito R (converge en todos los puntos del círculo

| z − z 0|


127/221

127

Raa

n

nn

1lim 1 La fórmula de Cauchy-Hadamard :

(i) R = 1/ L.

(ii) R es .

(iii) R = 0.

,0lim

1

La

a

n

n

n

0lim 1

n

n

a

a

n

n

n

a

a

n

1

lim

Ejemplo:


128/221

128

0

2

2 )3(6)3(21)3(

)!()!2(

n

n i z i z i z n

n

Rn

nn

n

n

n

n

a

a

nnn

n

n

14

)1(

)12)(22(lim

)!2(

)!(

)!1(

!)1(2limlim

2

2

2

1

4

1 R

0

2

2 )3(6)3(21)3(

)!(

)!2(

n

n i z i z i z n

n


129/221

129

: converge

i z o 3

4/13 i z

: diverge4/13 i z

Ejemplo:

0

2)4()4(1)4(n

n i z i z i z


130/221

130

Ra

a

nn

n

n

11

1

1limlim 1

1 R

: converge

i z o 4

14 i z

: diverge14 i z

Ejemplo:

0

22 )1(2)1()1(n

nn z e z e z ne

)(


131/221

131

Re

n

ne

ne

en

a

ann

n

nn

n

n

11lim

)1(limlim

11

e R /1

: converge

e z /11

: divergee z /11 1o z

1 !

)1()1(

k

k k

k

i z Otro ejemplo:


132/221

132

0

1

1lim

!)1(

)!1(

)1(

lim ,

!

)1(1

2

1

nn

n

n

ann

n

n

n

n

El radio de convergencia es .

Recuerda además que todo lo dicho para series, evidentemente funciona

para series de potencias.

Por ejemplo:

(1) Si l i di1li


133/221

133

(1) Si la serie diverge.


(3) Comparar:


1lim n

nn

z

0

0limn

nnn

z z

convergeysi converge00

n

nnn

n

n bb z z

1lim 1

n

n

n z

z

Resumen y varios comentarios interesantes:


134/221

134

(Observa que para nosotros era:

En el punto iv se resuelve el enigma)

1

1lim

n

n

n a

a R


135/221

135


136/221

136


137/221

137

Series de potencias y funciones analíticas

Cualquier función analítica f ( z ) puede ser representada por una serie

de potencias con radio de convergencia R 0 La función

3.8 Series de Taylor


138/221

138

de potencias con radio de convergencia R 0. La funciónrepresentada por la serie es analítica en todo punto dentro del radio de

convergencia.

Ejemplo:

0

32

1n

n

z z z z la serie converge para | z |≤ 1

Radio de convergencia R = 1

z z f

1

1

)(

A las series de potencias que representan funciones

analíticas f ( z ) se les llama ser ies de Taylor .

¿Cómo encontrar la serie de potencias de una función

analítica determinada?


139/221

139

0

)( )(!

1,)()(

n

o

n

n

n

on z f n

a z z a z f

(Cauchy, 1831)

Vienen dadas por la fórmula:

Desarrollar f(z)=sin z alrededor de z0=0 (serie de Mclaurin):

f

z z f z z f

z z f z z f

i)(

cos)(cos)(

sin)(sin)(

)2(

)5()1(

)4()0(

1)0(1)0(

0)0(0)0()5()1(

)4()0(

ff

f f


140/221

140

z z f

z z f

cos)(

sin)()3(

)2(

1)0(

0)0(1)0(1)0(

)3(

)2(

f

f f f

k k

k

f

f

)1()0(

0)0()12(

)2(

0

12

0

12)12(

0

2)2(

0

)(

)!12()1(sin

)!12(

)0(

)!2(

)0(

!

)0(sin

k

k k

k

k k

k

k k

n

k

n

z k

z

z k

f z

k

f z

n

f z

Demostración del teorema de Taylor:

z

y

1r

Por la fórmula integral de Cauchy:

)(1)( dfzf


141/221

141

0 z

x

0C 1C 0r

1r

1

)(21)(

C

d z

f i

z f

Vamos a desarrollar el integrando:

0

0

0

01

0

0

0

0

0

0

0000

1...1

1

1

11

)()(

11

z

z z

z

z z

z

z z

z

z z

z

z

z z z z z z z

N

N

N

N N

N z z

z z f z z

z

f z z

z

f

z

f

z

f

))((

))(()(

)(

)(...)(

)(

)()()(

0

01

0

0

02

00

1

)(

2

1)(

C

d z

f

i z f


142/221

142

Utilizando la fórmula generalizada de Cauchy:

C nn d

z f

in z f

1

0

0)( )(

2!)(

1))((

))(()(

)(

)(...)(

)(

)()(

2

1

0

01

0

0

02

00C

N

N N

N d

z z

z z f z z

z

f z z

z

f

z

f

i

)()()!1(

)(...))((')()( 100

)1(

000 z R z z N

z f z z z f z f z f N N

N

Donde hemos definido el residuo R n:

1

))((

))((

2

1)(

0

0

C

N

N

N d z z

z z f

i z R

Observemos que:


143/221

143

Observemos que:

r r z z z z r r z r z z 100100 ||||||;||;||

Si M es el valor máximo que puede alcanzar

sobre C1:

)( f

N

N

N

N r

r

r r

Mr

r r r

r M r z R

11

1

11

1

)()(

2

2)(

Y puesto que r/r 1 < 1, el límite cuando N tiende a infinito

del residuo es cero. De modo que para cada z interior a C0,la serie de Taylor converge a f(z).

Ejemplo1

z z f

1

1)(

432

1

!3)(,

1

2)(,

1

1)(,

1

1)(

z

z f

z

z f

z

z f

z

z f

Encontrar la serie de Taylor para


144/221

144

32

0

0

)(

0

1

!

)0(

1

1

z z z

z

z n

f

z a z

n

n

n

nn

n

n

n

(1) Tomemos centro z = 0 :

!3)0(

2)0(

1)0(

1)0(

f

f

f

f

1111 z z z z

punto singular

1 z 0o z

centro

1 R

(2) Tomemos centro z =1/2 :

1 2)(f

432 1!3

)(,1

2)(,

1

1)(,

1

1)(

z z f

z z f

z z f

z z f


145/221

145

3

212

21

21

0

211

0

212

1)(

0

21

16842

2

!

)(

1

1

z z z

z

z n

f

z a z

n

nn

n

nn

n

n

n

4

2

1

3

21

2

21

21

2!3)(

2.2)(

2)(

2)(

f

f

f

Documents

3_Integracion en el campo complejo.pdf