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GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL

FUNDAMENTOS DE ANLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL

CONTENIDO CAPITULO III

3. MODELADO DE SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

3.1. INTRODUCCIN

3.2. MODELADO DE SISTEMAS DISCRETOS

3.3. MODELADO DEL PROCESADOR DIGITAL Y LOSCONVERSORES

3.4. MODELADO DE SISTEMAS DE DATOSMUESTREADOS

3.5. SISTEMAS DISCRETOS EN REPRESENTACINDE ESTADO

3.6. EJERCICIOS

1

3.1. INTRODUCCIN

GRUPO DE INVESTIGACION EN CONTROL INDUSTRIAL 2

Muestreo

matemtico

FdT

continua

FdT

continua

FdT

continua

FdT

continua

FdT

discreta

3.1. INTRODUCCIN

Un sistema de control digital, aparte de la planta anloga, incluye los

conversores A/D/A y el procesador.

Representacin matemtica:

La planta anloga por su funcin de transferencia o su

representacin de estado continuas.

El conversor A/D mediante una representacin matemtica del

muestreo.

El conversor D/A mediante su funcin de transferencia continua.

El procesador digital implementa la ley de control, ejecutando

ecuaciones en diferencias; la transformada Z, las convierte en

ecuaciones algebraicas, de forma equivalente a la transformada de

Laplace para las ecuaciones diferenciales.

En esta unidad se presentar el modelado de los sistemas discretos y

digitales tanto para la representacin entrada- salida como de estado.


LDICA

Duracin estimada: 30 minutos. Materiales: Cilindro, plano inclinado, regla.

Organcense en grupos de 3-4 estudiantes; distribuyan las actividades entre el equipo:

registro de notas y datos, roles de estudiantes, etc.

1). Un estudiante toma el plano inclinado entre sus manos, en posicin inicial

horizontal y lleva el cilindro desde un extremo hasta el centro. Luego repite lo

anterior, pero otro estudiante le interrumpe peridicamente la visual. Tomen nota del

desempeo logrado en el posicionamiento del cilindro para ambos casos, esto es, que

tan rpido se logra el posicionamiento y con cunta precisin. Qu pueden concluir

acerca del desempeo del sistema de control con respecto a la frecuencia de la

visual?

2) Ahora se lanza el cilindro soltndolo sobre el plano inclinado, apoyado al piso en

un extremo y con el extremo libre, ajustado a una altura dada (inicial de 7cm); se

busca que el cilindro rodando por el piso limpio, alcance una distancia dada (3m);

para ello se ajusta la altura del plano, como la altura anterior ms un veinteavo del

error (diferencia entre la distancia deseada y la lograda por el cilindro). Planteen una

ecuacin que describa este algoritmo de control.

Ver: http://eieela.univalle.edu.co/ Plano inclinado manual


3.2. MODELADO DE SISTEMAS DISCRETOS

La actividad 1) muestra la importancia de considerar en el modelado,

anlisis y desempeo de los sistemas de control, la velocidad con que

se miden y actualizan las seales de realimentacin y control.

La actividad 2) realiza un algoritmo de control discreto, que calcula

la altura del extremo libre del plano (la seal de control), a partir del

error. Los datos del error y la altura del plano, se observan para cada

experimento en forma discreta.


3.3. MODELADO DEL PROCESADOR DIGITAL Y LOS CONVERSORES

3.3.1 Secuencias

En la actividad 2) se toman los valores para cada ensayo k, de la

altura del extremo del plano a(k) y del error e(k). Estas seales

digitales se pueden representar matemticamente mediante

secuencias.

Las secuencias de datos, dan el valor de una seal digital en

instantes infinitesimales, separados por el perodo de muestreo T.

Ejemplo

Serie de datos:

Representacin cerrada:


3.3.2 Representacin de secuencias


3.3.3 Representacin matemtica del muestreo


3.3.4 Ecuaciones de diferencias



Ejemplo

El servidor IBM Lotus administra correos electrnicos y documentos de los

usuarios; los computadores clientes, interactan con el servidor mediante

`llamadas de procedimiento remoto' (RCPs de sus siglas en ingls); el

servidor mide el nmero total de solicitudes y las solicitudes que son

atendidas: RIS (RCPs en el servidor). La carga del servidor se controla con el

parmetro MaxUsers, el cual define el nmero de conexiones del servidor con

los clientes. El servidor se puede representar para operacin alrededor de un

punto nominal, como un sistema dinmico lineal, con MaxUsers como

entrada y RIS como salida, descrito por:

Donde c(k)=(RIS-135) y m(k)=(MaxUsers-165) son las desviaciones de RIS

y MaxUsers con relacin al punto nominal de operacin del sistema. El

perodo de muestreo es del orden del minuto.

3.3.4 Ecuaciones de diferencias

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3.3.5 Transformada Z

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15



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3.3.6 Funcin de transferencia discreta

20



21



22



Igualmente de forma similar al caso continuo, se puede usar el lgebra de los

diagramas de bloques para calcular funciones de transferencia discretas

equivalentes. En el MATLAB, solo basta adicionar el perodo de muestreo en

la definicin de la funcin de transferencia discreta.

Ejemplo

Los comandos MATLAB para definir la funcin de transferencia discreta del

integrador para T=1, con dos retardos por tiempo muerto, son:

>> num1=[1,1]; den1=[2,-2];T=1;

>> G=tf(num1,den1,T, 'InputDelay',2)

Transfer function:

z + 1

z^(-2) * -------

2 z - 2

Sampling time: 1

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3.3.7 Representacin frecuencial del retenedor

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3.3.8 Reconstruccin de seales

1) Tres personas se ubican en fila, una de un extremo gira

el brazo a un ritmo constante, la del medio interrumpe la

visual entre las de los extremos con un objeto; dejar

libre la visual durante un corto momento, rtmicamente

tomando como referencia la posicin del brazo para que

la interrupcin se d en la misma posicin; la persona del

otro extremo debe observar y tomar nota de la posicin

observada del brazo.

2) La persona del medio interrumpe ahora la visual de

forma que deja ver el brazo cerca de la posicin ms baja

y de la ms alta; de nuevo se observa y toma nota de la

posicin observada del brazo.

Qu frecuencias tienen las seales observadas?

Si se desea conocer cul es la frecuencia de giro del

brazo, es posible hacerlo en ambos casos?

Si se desea conocer cmo es la trayectoria del brazo en

su totalidad, es posible hacerlo en ambos casos?

Ver: http://eieela.univalle.edu.co/ Cuerda y masa

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La Ldica anterior considera la situacin de intentar reconstruir una seal

continua original e(t), a partir de su seal muestreada e*(t); en el primer

paso, solo se observa el brazo arriba en una posicin casi constante, la

observacin es que el brazo no se mueve; en el segundo caso al aumentar la

velocidad de muestreo, se observa el brazo en dos posiciones y se puede al

menos concluir que gira y no esta quieto.

Reconstruccin de seales para el caso de filtrar la seal muestreada con un

retenedor de orden cero:

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30

Ver animacin: http://www.jhu.edu/signals/sampling/index.html



coinciden los

valores de las

seales en los

instantes de

muestreo, T=1s.

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x(t) = sen(t)+ sen(3t)

Ws= 3 rad/s.

La seal muestreada x(k)

presenta una frecuencia de

1rad/s y no tiene la

oscilacin con frecuencia

de 3rad/s.

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3.3.9 Transformada Z modificada

Si se discretiza un sistema de tiempo continuo con tiempo muerto Tm que no es

un mltiplo entero del perodo de muestreo T, se tienen d retardos de un

perodo y un retardo fraccional del tiempo muerto:

Los retardos fraccionales se generan tambin si el tiempo de clculo de la ley

de control es una fraccin del perodo de muestreo; tambin se pueden incluir

si se desea analizar el comportamiento de la seal continua entre perodos de

muestreo.

La transformada Z se puede modificar para considerar los retardos

fraccionales; ver detalles en la lectura complementaria.

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3.4 MODELADO DE SISTEMAS DE DATOS MUESTREADOS

El anlisis del sistema de la figura en tiempo discreto es mucho ms simple

que en tiempo continuo, por ello es conveniente poder conocer la funcin

de transferencia entre la seal de control a*(t) y la salida, observada solo en

instantes de muestreo c*(t).

s2: muestreador

ficticio

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3.4.1 Funcin de transferencia de pulsos

seal peridica infinita en frecuencia con

periodicidad s.A(sjn s): A(s) desplazada n perodos.

A*(s jn s) = A*(s).

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G(z): Funcin de transferencia de pulsos

funcin de transferencia entre la entrada muestreada a*(t) y la

salida c(t) en los instantes de muestreo, c*(t).

Con el ROC, la funcin de transferencia de pulsos entre A*(s) y C*(s) es:

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La FDTP del ROC y G(s), es la respuesta

muestreada al aplicar un pulso discreto unitario

(k) a la entrada del retenedor, cuya salida es

un pulso continuo unitario de duracin T.

De ah deriva su nombre, funcin de

transferencia de pulsos.

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FDTP G(z)

38



39



La funcin de transferencia de pulsos se calcula en el MATLAB con el

comando c2d (continous to discret); para el ejemplo anterior:

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3.4.2 Funcin de transferencia de pulsos de elementos en cascada

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A diferencia de los sistemas anlogos o discretos, las funciones de

transferencia de pulsos en cascada dependen de la ubicacin del

muestreador.

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3.4.3 FdT de pulsos de sistemas realimentados

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3.4.3 FdT de pulsos de sistemas realimentados

Para evitar que la variable de inters se pierda como factor, antes de discretizar,

se deben expresar las entradas a los muestreadores y la salida del sistema,

en funcin de las salidas de los muestreadores y/o de la entrada del sistema.

Ejemplo: Calcular C(z) para el sistema de la figura:

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3.5 SISTEMAS DISCRETOS EN REPRESENTACIN DE ESTADO

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Ejemplo

Representacin de estado del sistema descrito por:

y(k + 2) + 5y(k + 1) + 3y(k) = u(k + 1) + 2u(k)

Es el caso de retardos en la entrada, equivalente a las derivadas de entradas

de sistemas continuos, se consideran como variables de estado a:

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con n a calcular



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Para la obtencin de los parmetros del modelo

experimentalmente, ver la lectura complementaria:

Identificacin paramtrica de modelos.

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3.6. MODELADO SCD-EJERCICIOS


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