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GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS L'ESPACE 35

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JtJ 2014

Chapitre 4: Gomtrie analytique dans l'espace Prrequis: Gom. vectorielle dans V3 , gom. analytique dans le plan Requis pour: Algbre linaire , examen de maturit.

4.1 quation paramtrique de la droite dans l'espace

Convention

Dans tout ce chapitre de gomtrie analytique dans l'espace, nous travaillerons dans l'espace V3, muni d'un repre orthonorm direct.

Dfinition

quation paramtrique d'une droite dans l'espace

Systme d'quations paramtriques d'une droite dans l'espace

Une droite est dfinie par un de ses points et par un vecteur directeur donnant la direction de la droite. On trouve tous les points de la droite en faisant varier le paramtre k ] - ; + [. Soit la droite d passant par le point A(a1 ; a2 ; a3) et de

vecteur directeur

v =

v1v2v3

. Alors

M(x ; y ; z) d AM = k v k IR

OM =OA + k v k IR

xyz

=

a1a2a3

+ k

v1v2v3

k IR

x = a1 + k v1y = a2 + k v2z = a3 + k v3

k IR

Exemple

Soit la droite (d): x = 3k +1y = 2kz = 5k + 2

Donner deux quations paramtriques diffrentes de cette

droite d.

36 CHAPITRE 4

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2 3Mrenf gomtrie analytique

Exercice 4.1 :

Soit le point A(2 ; 0 ; 3). Donner un systme d'quations paramtriques des droites suivantes:

a) d1 passant par A et B(1 ; 4 ; 5).

b) d2 passant par A et parallle la droite (g): x = 2k 1y = 3kz = 5k + 2

c) d3 passant par A et parallle l'axe Oy.

Exercice 4.2 :

Une droite d est dfinie par un point A(2 ; 4 ; 5) et un

vecteur directeur

v =

142

.

a) Le point P(5 ; -8 ; 12) appartient-il la droite d ?

b) Le point Q(x ; y ; ) appartient d. Complter les 2 premires coordonnes de Q en fonction de .

Exercice 4.3 :

Prciser la position particulire des droites d ci-dessous : a) d passe par A(2 ; 1 ; 3) et B(0 ; -1 ; 3)

b) d passe par A(2 ; 3 ; -1) et de vecteur directeur

v =

301

c) d passe par A(0 ; 0 ; 1) et B(0 ; 1 ; -2)

d) d passe par A(1 ; -2 ; 1) et de vecteur directeur

v =

250

Exemple

Calculer le point dintersection des 2 droites suivantes :

(d):

x

y

z

=

2

1

0

+ k 31

1

et (e):

x

y

z

=

7

3

1

+ n 1

41


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JtJ 2014

Exercice 4.4 :

Calculer le point d'intersection des deux droites scantes suivantes:

a) (d): x =13+ 5ky = 3 2kz = 5 + 3k

(e):

x = ny = 2n + 7z = 1

b) La droite d passant par A(1 ; 2 ; -3) et B(-2 ; 3 ; -1) et la droite e passant par C(-3 ; 0 ; -15) et D(-1 ; -4 ; -31).

c) (d): x = 5 ky = 7kz = 1+ 2k

(e):

x = 4 + ny = 7 3nz = 2 + n

Dfinition

On appelle traces d'une droite les points d'intersection de cette droite avec les plans de rfrence Oxy, Oxz et Oyz. La plupart du temps, la trace est un point, mais cela peut aussi tre une droite.

T ( ; ; 0) , T (0 ; ; ) , T ( ; 0 ; ) Il peut aussi ne pas y avoir de trace sur un plan de rfrence.

Exercice 4.5 :

Dterminer les traces T , T et T des droites suivantes:

a) xyz

=

142

+ k

122

b)

xyz

=

39 /21

+ k

032

c) xyz

=

344

+ k

002

Dans chaque cas, reprsentez la situation dans un systme daxes.

Exercice 4.6 :

Soit la droite d passant par les points A(6 ; 2 ; 1)

et B(-3 ; 8 ; -2).

a) Dterminer les trois traces de d.

b) Reprsenter la situation dans un systme d'axes.

c) Construire sur votre figure les projections de d sur les trois plans.

38 CHAPITRE 4

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4.2 quations cartsiennes de la droite dans l'espace

Dfinition

Dans le cas o les composantes v1, v2 et v3 du vecteur directeur

v sont toutes trois non nulles, la droite d peut tre

caractrise par la double galit :

(d):x a1v1

=y a2v2

=z a3v3

v1 v2 v3 0

Appeles quations cartsiennes de d.

Exemple

Dterminer les quations cartsiennes de la droite: xyz

=

133

+ k

113

Exercice 4.7 :

Dterminer les quations cartsiennes des droites suivantes:

a) x = 4 3ky = 6kz = 8 5k

b)

x = 3+ 2ky = 5 2kz =1+ k

c) x 2y = 13x+ z = 2

d)

3x+ 2y z = 4x y+ z = 2

Exercice 4.8 :

Donner une quation paramtrique de la droite :

x 23

=y17

=z32


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JtJ 2014

Exercice 4.9 :

Montrer que les systmes d'quations suivants dterminent la mme droite.

a) (d): x = 3+ 2ky = 5 2kz =1+ k

(g):

x = 5+ 2ry = 3 2rz = 2+ r

(h):

x = 1+ sy = 9 sz = 1+ 0, 5s

b) (d): 16x 2y11z = 014x y10z = 3

(g):

x 23

=y 52

=z 24

Exercice 4.10 :

Souvenirs, souvenirs de 1re anne :

Dans chacun des cas suivants, les droites AB et CD sont-elles gauches, strictement parallles, confondues ou scantes ? Si elles sont scantes, dterminer leur point dintersection. a) A(6 ; 4 ; -4) B(4 ; 0 ; -2) C(7 ; 0 ; -2) D(11 ; -4 ; 0)

b) A(-4 ; 2 ; 1) B(-1 ; 1 ; 3) C(0 ; 5 ; -2) D(9 ; 2 ; 4)

c) A(8 ; 0 ; 3) B(-2 ; 4 ; 1) C(8 ; 3 ; -2) D(0 ; 0 ; 5)

d) A(2 ; -3 ; 1) B(3 ; -2 ; 3) C(0 ; -5 ; -3) D(5 ; 0 ; 7)

Exercice 4.11 :

On considre la droite d1, passant par le point A(2 ; 1 ; 1), de vecteur directeur

v ainsi que la droite d2 passant par le point

B(-5 ; 2 ; -7), de vecteur w , o

v =

1m

m 1

et

w =

2 m32

, m IR .

tudier, selon les valeurs de m, les positions des droites d1 et d2.

Exercice 4.12 :

On donne deux droites g et h par leur reprsentation paramtrique:

(g) : xyz

=

010

+ k

213

et (h) :

xyz

=

111

+ n

211

.

a) Soit P un point variable de la droite g et Q un point variable de la droite h. Quelle condition les paramtres rels k et n doivent-ils vrifier pour que la droite PQ soit parallle au plan d'quation z = 0.

b) Cette condition tant vrifie, quel est le lieu gomtrique des milieux des segments PQ ?

40 CHAPITRE 4

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Remarques

Question

1) Contrairement ce que l'on a vu dans le cas du plan, la reprsentation en quations cartsiennes d'une droite dans l'espace est moins pratique manipuler que sous sa forme de systmes d'quations paramtriques.

2) L'quation cartsienne d'une droite dans le plan tait donne sous la forme:

ax + by + c = 0

Pourquoi ne peut-on pas gnraliser ceci dans l'espace et obtenir une quation cartsienne sous la forme:

ax + by + cz + d = 0 ? 4.3 quation du plan dans l'espace

Rappel: Un plan peut tre dtermin par:

trois points non aligns deux droites scantes deux droites parallles distinctes une droite et un point n'appartenant pas

cette droite

quations paramtriques d'un plan dans l'espace

Systme d'quations paramtriques d'un plan dans l'espace

Soit le plan passant par le point A(a1 ; a2 ; a3) et de

vecteurs directeurs

u =

u1u2u3

et

v =

v1v2v3

.

M(x ; y ; z) AM = k u + n v k, n IR

OM =OA + k u + n v k, n IR

xyz

=

a1a2a3

+ k

u1u2u3

+ n

v1v2v3

x = a1 + k u1 + n v1y = a2 + k u2 + n v2z = a3 + k u3 + n v3

k, n IR


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JtJ 2014

Exemple:

Dterminer une quation paramtrique du plan passant par les points A(2 ; 3 ; 5), B(1 ; 0 ; 5) et C(6 ; 5 ; 6).

Exercice 4.13 :

Dterminer une quation paramtrique des plans suivants: a) contenant le point A(1 ; 2 ; 5) et la droite d dfinie par

B(6 ; 0 ; 0) et

v =

131

.

b) contenant les deux droites :

d passant par A(2 ; 0 ; 3) de vecteur directeur

v =

111

g passant par B(4 ; 0 ; 0) de vecteur directeur

w =

111

.

Exercice 4.14 :

On donne le plan par son quation paramtrique

xyz

=

315

+ k

213

+ n

143

.

Les points ci-dessous appartiennent-ils au plan ?

a) A(-2 ; 7 ; 8) b) B(4 ; 4 ; 3) c) C(11/6 ; -29/6 ; 15)

Rappels de 1re

3 vecteurs u , v et w sont coplanaires

det( u , v , w ) = 0

Exemple

Les 3 vecteurs

u =

125

,

v =

321

et

w =

1211

sont-ils

coplanaires ?

42 CHAPITRE 4

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Exercice 4.15 :

Montrer que les quatre points A(-4 ; 0 ; 3), B(-2 ; 3 ; 0), C(0 ; 2 ; 1) et D(2 ; 1 ; 2 ) sont coplanaires.

a) En montrant qu'un des points vrifie l'quation du plan form par les trois autres.

b) Par un critre de coplanarit de 3 vecteurs.

Exercice 4.16 :

On donne les points A(1 ; -3 ; -1), B(0 ; 1 ; 1), C(-1 ; -4 ; 0) dfinissant un plan . On considre encore un point M(x ; y ; z) appartenant .

a) Que pouvez-vous affirmer au sujet des vecteurs AM ,

AB et AC .

b) Exprimer le det(AM , AB , AC ) et en dduire une quation du plan .

quation cartsienne d'un plan

Soit le plan passant par le point A(a1 ; a2 ; a3) et de

vecteurs directeurs

u =

u1u2u3

et

v =

v1v2v3

.

M(x ; y ; z) AM , u , v coplanaires

det(AM , u , v ) = 0

x a1 u1 v1y a2 u2 v2z a3 u3 v3

= 0

En dveloppant ce dterminant, on obtient une quation cartsienne du plan du type: ax + by + cz + d = 0 o a, b et c non tous nuls.


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JtJ 2014

Exemple:

Dterminer l'quation cartsienne du plan passant par les points A(2 ; 3 ; 5), B(1 ; 0 ; 5) et C(6 ; 5 ; 6).

44 CHAPITRE 4

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Exercice 4.17 :

Dterminer l'quation cartsienne du plan passant par les points A(a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0) et C(0 ; 0 ; c) avec a, b, c IR*.

Exercice 4.18 :

Dterminer l'quation cartsienne de chacun des plans suivants:

a) xyz

=

253

+ k

140

+ n

026

b) x = 2 + k 3ny = 5 k + 2nz =1+ k n

Exercice 4.19 :

Dterminer l'quation cartsienne du plan passant par le

point P(4 ; 2 ; 1) et contenant la droite d : x = 2 + ky =1 3kz = 3+ k

Exercice 4.20 :

Dterminer l'quation cartsienne des plans et tels que est perpendiculaire au plan Oxy, passe par le point B(2 ; -3 ; 1) et est la droite d'quations paramtriques:

x =1+ 2ky =1 kz =1+ 3k

Exercice 4.21 :

a) Dterminer l'quation cartsienne du plan passant par le point P(2 ; -5 ; 3) et parallle au plan :

xyz

=

224

+ k

112

+ n

311

b) Mme question avec le point P(2 ; 2 ; -2) et le plan

x 2y 3z = 0

Exercice 4.22 :

a) Dterminer un vecteur perpendiculaire au plan form par les points A(2 ; 3 ; 5), B(1 ; 0 ; 5) et C(6 ; -2 ; 5).

Indication : Comment est dfini le produit vectoriel AB AC ?

b) Dterminer

n un vecteur perpendiculaire au plan

2x + 3y z + 3 = 0


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JtJ 2014

Dfinition

On appelle vecteur normal un plan tout vecteur n non

nul orthogonal deux vecteurs directeurs non colinaires de ce plan.

Formule

Le plan d'quation cartsienne ax + by + cz + d = 0 admet

le vecteur

n =

abc

comme vecteur normal.

Preuve : La preuve sera vue plus loin aprs des rappels sur le

produit scalaire.

Le vecteur

n =

213

est normal au plan 2x y + 3z + 5 = 0.

Exemple

Application

Si deux plans sont parallles, alors les vecteurs normaux sont colinaires et donc les coefficients a, b et c de leur quation cartsienne sont proportionnels.

2x+ 3y z+ 4 = 0x 3

2y+ 1

2z 19 = 0

sont deux plans parallles.

Les deux plans seront strictement parallles (et donc non

confondus) si le coefficient d de leur quation cartsienne n'admet pas le mme facteur de proportionnalit que les autres coefficients.

Exemple

Dterminer l'quation cartsienne du plan parallle au plan (): 3x + 5y 2z + 5 = 0 passant par le point P(2 ; 3 ; -1).

46 CHAPITRE 4

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Exercice 4.23 :

Dterminer l'quation cartsienne du plan :

a) passant par P(-2 ; 6 ; 7) et a pour vecteur normal

n =

030

b) passant par P(-6 ; 10 ; 16) et est perpendiculaire la

droite d: xyz

=

640

+ k

848

c) passant par P(3 ; 1 ; 1) et est perpendiculaire la droite AB o A(1 ; 0 ; 5) et B(3 ; -3 ; 2).

Exercice 4.24 :

On donne les six points A(1 ; 4 ; 1), B(-2 ; -8 ; 3), C(-5 ; -11 ; 5), P(3 ; 5 ; -1), Q(3 ; -11 ; -1) et R(0 ; -3 ; 1).

Montrer que les plans ABC et PQR sont parallles.

Exercice 4.25 :

Dterminer lquation cartsienne dun plan parallle au

a) plan 2x 5y + z 3 = 0 et passant par lorigine.

b) plan 2x 5y + z 3 = 0 et passant par A(2 ; -1 ; 4).

Exercice 4.26 :

On donne les quations de deux plans. Dterminer si ces plans sont scants, strictement parallles ou confondus. a) 3x 2y + 5z 4 = 0 et 3x + 2y + 5z 4 = 0

b) 3x 2y + 5z 4 = 0 et 6x 4y + 10z 7 = 0

c) 3x 2y + 5z 4 = 0 et -15x + 10y 25z + 20 = 0

d) 3x 2y + 5z 4 = 0 et x = 4 + 2k + 5ny = 2 + 3kz = 3n

e) 3x 2y + 5z 4 = 0 et x = 2 + k ny =1+ 3k 2nz = k + n

f) x =1+ 3k 2ny =1 k + nz = 3+ k n

et

x = 2 + p+ 5qy = 2 2qz = 2 + 2q


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Exemple

Position dune droite par rapport un plan

Dterminer le point dintersection de la droite d et du plan

(d) : x = 2 + ky = 5 kz =1+ 3k

et () : 3x 2y z = 3

Exercice 4.27 :

On donne une droite d et un plan . La droite d est-elle strictement parallle au plan , incluse dans ou coupe-t-elle ? Le cas chant, calculer les coordonnes du point I dintersection.

a) (d) : x = 3+ 2ky = 5 2kz = 3+ 2k

et () : 2x + y z = 0

b) (d) : x 2y+ z = 4x+ 3y 2z = 0

et () : 3x 2y + 4z = 19

c) (d) :xy

z

=231

+ k

311

et () : 4x + y 11z = 0

d) (d) : x + y3z = 5x y z = 19

et () :

x = 5 k + 2ny =10 + k 3nz = 5 + k n

Exercice 4.28 :

On donne les points A(3 ; 4 ; 0), B(-3 ; 8 ; 1), C(1 ; 2 ; -3), D(11 ; 1 ; 1), E(3 ; 3 ; -1), F(8 ; 3 ; 1), G(0 ; 5 ; -1) P(-5 ; -2 ; -5) et Q(0 ; 4 ; -3).

a) Dterminer les coordonnes du point dintersection de la droite PQ et du plan ABC.

b) Montrer que la droite DE est incluse dans le plan ABC.

c) Montrer que la droite FG est strictement parallle au plan ABC.

48 CHAPITRE 4

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Exercice 4.29 :

Pour quelle valeur du paramtre m la droite

(d) : x+13

= y 2m

= z+ 32 est-elle parallle au plan

() : x 3y + 6z + 7 = 0

Exercice 4.30 :

Dterminer les coordonnes du point dintersection des 3 plans , et : a) () : 3x + 4y z 5 = 0 () : 2x y + 2z 5 = 0 () : x + y 3z + 4 = 0. b) () : x + 2y 3z 6 = 0 () : 2x + 4y z 18 = 0 () : 3x 2y + z 2 = 0.

Exercice 4.31 :

On appelle trace dun plan les droites dintersection de ce plan avec les plans de rfrence Oxy, Oxz et Oyz.

Soit le plan 3x 4y 2z + 12 = 0.

a) Dterminer les quations de ses traces.

b) Calculer l'intersection de ce plan avec chacun des axes de coordonnes.

c) Reprsenter cette situation sur une reprsentation graphique.

Exercice 4.32 :

Montrer que les plans dquations 3x y + 9z + 4 = 0, x + y z = 0 et x + 2y 4z 1 = 0 ont une infinit de points communs.

Dterminer une quation paramtrique de leur droite commune.

Exemple

Droite dintersection de deux plans

Dterminer une quation paramtrique de la droite dintersection de deux plans et :

() : x + y 3z 1 = 0 () : 2x y 9z 2 = 0


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JtJ 2014

Exercice 4.33 :

Dterminer une quation paramtrique de la droite dintersection de deux plans et dans les cas suivants :

a) () : x 3y + 2z + 6 = 0 () : 2x + 5y z 9 = 0

b) () : x = 3+ ky =1+ nz = 2 + n

() :

x = 4y = 2 + 2pz = p+ q

Exercice 4.34 :

Montrer que les plans dquations respectives :

x 2y + 1 = 0 , 7y z 4 = 0 et 7x 2z + 6 = 0

sont parallles une mme droite dont on donnera un vecteur directeur

d .

Exercice 4.35 :

On donne le point P(0 ; -1 ; 2) et deux droites d1 et d2:

(d1) : xyz

=

110

+ k

211

et (d2) :

xyz

=

010

+ n

101

.

a) Dterminer un systme dquations paramtriques de la droite d qui passe par P et qui coupe chacune des deux droites d1 et d2.

b) Dterminer galement les points dintersection de cette droite avec d1 et d2.

50 CHAPITRE 4

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Exercice 4.36 :

Soit les points B(4 ; 3 ; -3), C(1 ; 0 ; 6) et P(-1 ; 7 ; -8), le plan dquation x 10y 3z + 17 = 0 et la droite d donne

par le systme dquations paramtriques x = 2 + ky = 2z = 3+ 2k

Vrifier que les points B et C appartiennent au plan , puis dterminer les sommets non donns du paralllpipde ABCDEFGH sachant que :

le plan est le plan de la face ABCD, le plan de la face EFGH passe par P, le support de la diagonale AG est la droite d.

4.4 Applications du produit scalaire

Rappels

Le produit scalaire dans lespace

Le rsultat dun produit scalaire est un nombre Expression analytique :

u =

u1u2u3

v =

v1v2v3

u v =u1u2u3

v1v2v3

= u1v1 + u2v2 + u3v3

Expression trigonomtrique :

u v =|| u || || v || cos()

Orthogonalit :

u et

v sont orthogonaux

u v = 0

THORME 1

Si u est orthogonal

v et

w , alors

u est orthogonal

toute combinaison linaire de v et

w .

Exercice 4.37 :

a) Reprsenter la situation du thorme sur une figure dtude.

b) Dmontrer ce thorme.

THORME 2

Soit u = AB un vecteur non nul.

Lensemble des points C de lespace tel que AC orthogonal u forme un plan.


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JtJ 2014

Exercice 4.38 :

Dterminer deux vecteurs v , w non nuls orthogonaux au

vecteur

u =

2

13

. En dduire, par le calcul d'un dterminant

lquation cartsienne dun plan passant par lorigine et perpendiculaire

u .

THORME 3

Un plan est entirement dfini par un point A et un vecteur normal

n .

Exercice 4.39 :

On considre le plan () : ax + by + cz + d = 0 (a b c d 0)

Le but de cet exercice sera de montrer que le vecteur

n =

abc

est normal au plan .

a) Que peut-on affirmer au sujet du point A(-d/a ; 0 ; 0).

b) Dterminer deux autres points B et C contenu dans .

c) Calculer AB n et AC

n . Quen dduisez-vous ?

Exercice 4.40 :

Dterminer lquation cartsienne de la droite d passant par A(2 ; 3 ; 5) et au plan () : 3x 2y + z + 5 = 0.

Exercice 4.41 :

Dterminer un vecteur normal n au plan ABC o A(2 ; 1 ; 3)

B(-1 ; 4 ; 2) et C(3 ; -4 ; -2)

a) en utilisant le produit vectoriel (cf. 1re anne)

b) en calculant lquation cartsienne du plan ABC.

Exercice 4.42 :

Dterminer lquation cartsienne du plan passant par le point A(2 ; 3 ; 5) et la droite x 12 =

y3 =

z 53

.

Exercice 4.43 :

Dterminer lquation cartsienne du plan passant par lorigine et par le point A(1 ; 1 ; 1) et au plan : x y+ z+ 2 = 0 .

Exercice 4.44 :

Dterminer une quation paramtrique de la droite n passant par le point P(8 ; -4 ; 4) et perpendiculaire la droite d d'quations paramtriques:

x =1+ ky =1 kz =1+ 2k

52 CHAPITRE 4

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4.5 Projections, distances et angles dans l'espace

Projection d'un point sur une droite et distance

Symtrique d'un point par rapport une droite

Soit P un point et d une droite. On appelle projection orthogonale de P sur d le point dintersection Q de d et du plan perpendiculaire d passant par P.

La norme du vecteur PQ correspond alors (P;d) , distance du point P la droite d.

Le point P' pour lequel Q est le milieu du segment PP'

sappelle le symtrique de P par rapport d.

Exercice 4.45 :

On considre le point P(3 ; 5 ; 10) et la droite d d'quation:

x 76

=y + 46

= z 5

a) Calculer la projection orthogonale Q du point P sur la droite d.

b) Calculer la distance du point P la droite d. c) Calculer les coordonnes du point P', symtrique du

point P par rapport la droite d.

Projection de P sur la droite d

Distance de P la droite d

Symtrique de P par rapport d

Dans votre formulaire, page , on trouve:

On note P un point et d une droite passant par A et de vecteur directeur d

OQ =OA +

AP d

|| d ||2

d

(P;d) = || AP

d ||

|| d ||

OP' = 2 OA OP + 2 AP

d

|| d ||2

d

Exercice 4.46 :

Retrouver les rponses de l'exercice prcdent en appliquant ces dernires formules.

d

P

P'

Q


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JtJ 2014

Construction

la perpendiculaire commune 2 droites gauches

Exercice 4.47 :

On donne deux droites gauches a et b. Dterminer les coordonnes du point A de a et du point B de b tels que la droite AB soit la perpendiculaire commune a et b . En dduire la plus courte distance entre les droites a et b dans les cas suivants:

a) (a) : x = 6 4ky = 4 + kz =1+ k

(b) :

x = 3 6ny = 1+ nz = 4 + 2n

b) (a) : x =1+ ky = kz = 2 + k

(b) :

x = 2 + ny =1+ 2nz = 2 + n

Distance de deux droites

Dans votre formulaire, page , on trouve:

On note d1 une droite passant par A1 et de vecteur directeur d 1 et

d2 une droite passant par A2 et de vecteur directeur d 2

(d1;d2) =

( d 1 d 2) A1A2

|| d 1 d 2 ||

Exercice 4.48 :

Retrouver les distances obtenues de l'exercice prcdent en appliquant cette dernire formule.

Angle entre deux droites de lespace (gauches ou non)

De u v =|| u || || v || cos() , on en dduit que

= cos1

u v

|| u || || v ||

o u et

v sont les vecteurs directeurs de ces droites.

54 CHAPITRE 4

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Exemple :

Dterminer langle aigu entre les droites :

(d) : xyz

=

3816

+ k

162

et (e) :

xyz

=

204

+ k

311

Exercice 4.49 :

a) En reprenant les vecteurs directeurs u et

v de lexemple

prcdent, calculer = sin1

u v

u v

b) Que remarquez-vous ? Et comment lexpliquez-vous ?

Projection de P sur le plan

Distance de P au plan

Symtrique d'un point par rapport un plan

Soit P un point et un plan. On appelle projection orthogonale de P sur le point dintersection Q du plan et de la normale n par P.

La norme du vecteur PQ correspond alors (P ;) , distance du point P au plan .

Le point P' pour lequel Q est le milieu du segment PP' sappelle le symtrique de P par rapport .

Exercice 4.50 :

Trouver les coordonnes de Q, projection orthogonale du point P(3 ; 1 ; -1) sur le plan dquation cartsienne:

x + 2y + 3z 30 = 0.

Exercice 4.51 :

Trouver une reprsentation paramtrique de la projection orthogonale de la droite d dquations paramtriques

x = 3+ ky = 2 + kz = 6 5k

sur le plan d'quation x 2y + z 1 = 0

n

P

P'

Q


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Exercice 4.52 :

Un rayon lumineux issu du point P(4 ; 5 ; -1) se rflchit sur un miroir plan dont lquation est x + 3y 2z 7 = 0. Le rayon rflchi passe par le point Q(-7 ; 8 ; -9).

Trouver les coordonnes du point dincidence M.

Rappel de 2me anne

La distance dun point une droite (dans le plan)

(P,d) = ax0 +by0 + c a2 +b2

o P(x0 ; y0) et d : ax + by + c = 0.

La distance dun point un plan

La distance dun point P un plan est la distance du point P sa projection orthogonale Q sur . Soit le plan dquation ax + by + cz + d = 0, la distance du point P(x0 ; y0 ; z0) au plan est donn par :

(P,) = ax0 +by0 + czo + d a2 +b2 + c2

Preuve : Cf. exercice 4.56

Exemple :

Vrifier dabord que les deux plans dquation (): 3x + 12y 4z = 0 et (): 3x + 12y 4z + 73 = 0 sont parallles, puis calculer leur distance.

Exercice 4.53 :

Montrer que la distance du point P(15 ; -2 ; 5) au plan () : 3x 2y + z = 12 vaut 3 14 .

Exercice 4.54 :

Dterminer les quations cartsiennes des plans et situs une distance 6 du plan dquation 9x + 2y 6z = 0.

56 CHAPITRE 4

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Exercice 4.55 :

On donne le ttradre de sommets A(2 ; 4 ; 6), B(-4 ; -4 ; 4), C(5 ; 0 ; 3) et D(-1 ; 7 ; 5).

a) Calculer la longueur de la hauteur, issue de A de ce ttradre.

b) Rappeler ici la formule vectorielle pour calculer laire dun triangle donn par ses 3 sommets B, C et D.

c) En dduire le volume de ce ttradre. d) Utiliser la formule dun volume dun ttradre

dvelopp en 1re anne.

Exercice 4.56:

Adapter les outils introduits et la preuve de la distance dun point une droite (cf. Chapitre 2) la distance dun point un plan dans l'espace.

Projection de P sur le plan

Symtrique de P par rapport

Dans votre formulaire, page , on trouve en plus:

On note P un point, un plan contenant un point A et n un vecteur normal

OQ =OP AP

n

|| n ||2

n

OP' =OP 2 AP

n

|| n ||2

n

Angle entre deux plans

On appelle angle (aigu ou obtus) de deux plans langle entre les deux vecteurs normaux ces deux plans.

Exercice 4.57 :

Calculer, de 2 manires diffrentes, langle aigu entre les deux plans scants :

() : x + 2y z = 0 et () : 2x 3y + 4z 8 = 0.

Angle entre une droite et un plan

On appelle angle (aigu ou obtus) dune droite d et un plan langle que forme d avec sa projection d sur . Marche suivre :

Exercice 4.58 :

Soit la droite d passant par A(1 ; 2 ; 3) et B(2 ; 1 ; 5). On donne encore le plan () : 3x + 2y 5z = 0.

Calculer langle form par d et .


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Exercice 4.59 :

Soit ABCD un ttradre de sommets A(2 ; 3 ; 1), B(4 ; 1 ; -2), C(6 ; 3 ; 7), D(-5 ; -4 ; 8), calculer :

a) la longueur de la hauteur du ttradre issue de D ;

b) le volume du ttradre ;

c) langle aigu que forment les faces ABC et ABD ;

d) langle aigu que forme larte AD avec la face ABC.

4.6 Plan mdiateur, plan bissecteur

Exercice 4.60 :

On donne les sommets B(5 ; 1 ; -3) et C(-1 ; -3 ; 3) du

triangle isocle ABC de base BC.

Dterminer les coordonnes du sommet A sachant quil

appartient la droite (d) : xyz

=

2110

+ k

131

Dfinition

On appelle plan mdiateur du segment CD, l'ensemble des points M quidistants de C et de D. Le plan mdiateur du segment AB est le plan orthogonal la droite AB et qui passe par le milieu I dudit segment.

Exemple

Dterminer l'quation du plan mdiateur du segment CD o C(1 ; 1 ; 2) et D(0 ; 3 ; 3).

Exercice 4.61 :

On considre les quatre points A(3 ; -1 ; -2), B(-2 ; 0 ; 3), C(1 ; 1 ; 2) et D(0 ; 3 ; 3). Trouver les coordonnes du point M quidistant des points C et D et dont la projection orthogonale sur le plan (ABC) est le centre de gravit du triangle ABC.

58 CHAPITRE 4

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Dfinition

On appelle plans bissecteurs de 2 plans et scants, l'ensemble des points M quidistants aux 2 plans. Les plans scants (): a1x + b1y + c1z + d1 = 0 et (): a2x + b2y + c2z + d2 = 0

ont pour plans bissecteurs les deux plans d'quations:

a1x + b1y + c1z + d1a12 + b1

2 + c12

= a2x + b2y + c2z + d2

a22 + b2

2 + c22

Exercice 4.62 :

Dterminer les quations cartsiennes des plans bissecteurs des plans et dans les cas suivants: a) (): x + 2y 2z 1 = 0 et (): 2x y + 2z + 1 = 0 b) (): 3x + y z + 25 = 0 et (): x 7y 7z + 13 = 0

Exercice 4.63 :

On donne les trois plans , et dquations cartsiennes respectives x 2y + 2z + 4 = 0, 2x + 3y 6z 5 = 0 et 12x + 2y + 5z = 0. Dterminer les coordonnes des points situs sur la perpendiculaire n issue du point P(13 ; 4 ; 9) au plan et quidistants des plans et .

Exercice 4.64 :

Montrer que les droites d1, et d2 donnes ci-dessous sont concourantes en un point P et dterminer des reprsentations paramtriques de leurs bissectrices b1 et b2.

(d1) : x = 2 + ky = 3+ 3kz = 1+ 2k

(d2) :

x = 2ny = 4 nz = 2 3n

Exercice 4.65 :

On considre les points A(5 ; -1 ; -1), B(3 ; -2 ; 1) et C(1 ; 1 ; 7). Dterminer une reprsentation paramtrique de la bissectrice intrieure du triangle ABC issue du sommet B.


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4.7 Sphre

Dfinition

On appelle sphre de centre C( ; ; ) et de rayon r lensemble des points M(x ; y ; z) de lespace situs la distance r du centre C.

On a donc M ||CM || = r

x yz

= r

(x )2 + (y)2 + (z )2 = r

(x )2 + (y)2 + (z )2 = r2

Cette dernire relation sappelle quation cartsienne de la sphre (centre-rayon).

En la dveloppant, on obtient lquation dveloppe :

x2 + y2 + z2 + ax+by+ cz+ d = 0

Exemple

Dterminer le centre et le rayon de la sphre suivante :

() : x2 + y2 + z2 + 4x 10y 2z 51 = 0

Exercice 4.66 :

Donner les quations des sphres suivantes sous la forme dveloppe :

a) sphre centre en O(0 ; 0 ; 0) et passant par M(3 ; 2 ; -1)

b) sphre centre en C(1 ; -2 ; 4) et passant par M(3 ; 2 ; -1)

c) sphre de diamtre AB, o A(-1 ; 0 ; 5) et B(7 ; 4 ; -7)

Exercice 4.67 :

Les quations suivantes reprsentent-elles des sphres ? Si oui, dterminer leur centre et leur rayon.

a) x2 + y2 + z2 + 6x 10y 4z + 22 = 0

b) x2 + y2 + z2 12x 2y + 6z + 56 = 0

c) 2x2 + 2y2 + 2z2 2x + 8y + 2z 87 = 0

Exercice 4.68 :

Dterminer lquation de la sphre passant par les deux points A(4 ; 2 ; -3), B(-1 ; 3 ; 1) et ayant son centre sur la droite CD connaissant C(2 ; 3 ; 7) et D(1 ; 5 ; 9).

M

C

x

z

r

y

60 CHAPITRE 4

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Exercice 4.69 :

Dans lespace, on considre : les points A(-2 ; 1 ; 0), B(0 ; 2 ; 1) et C(3 ; 0 ; -1) ; le plan () : x 4y + z + 9 = 0 ;

la droite (t) : x =1y = 3+z = 2+ 2

Dterminer lquation de la sphre centre sur t et qui est tangente aux plans (ABC) et .

Intersection dune sphre et dun plan

Trois cas possibles :

Attention ! Dans lespace, un cercle na pas dquation cartsienne. On ne peut le dfinir quen prcisant son centre, son rayon et le plan qui le contient.

Quelques remarques pratiques pour les exercices

a) Un plan est tangent une sphre si la distance du centre au plan (cf. formule) est gale au rayon de la sphre

b) P(x ; y ; z) appartient au plan tangent une

sphre dont le point de tangence est T

CT TP = 0

Exemples

a) Dterminer lquation cartsienne de la sphre de centre C(1 ; 0 ; 0) et tangent () : 4y + 3z 25 = 0

b) Dterminer lquation du plan tangent au point T(1 ; 3 ; 4):

CC C

T


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Exercice 4.70 :

Soit la sphre () : (x 1)2 + (y 5)2 + (z + 3)2 = 62. Soit le plan () : 3x 7y + 2z + 100 = 0.

Le plan est-il tangent la sphre .

Exercice 4.71 :

Soit la sphre () : (x 3)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 = 100. Soit le plan () : 2x 2y z + 9 = 0.

a) Prouver que le plan coupe la sphre . b) Lintersection de et est un cercle. Dterminer son

centre et son rayon.

Exercice 4.72 :

Soit la sphre () : x2 + y2 + z2 + 6x 30y 4z + 13 = 0 et le point T(7 ; 4 ; 4).

a) Vrifier que le point T est sur la sphre. b) Dterminer lquation du plan tangent au point T.

Exercice 4.73 :

Soit T un point de la sphre de centre C et de rayon r. Soit le plan tangent au point T. Soit encore P un point de lespace. Dmontrer laffirmation suivante :

P CT CP = r2

Exercice 4.74 :

Soit la sphre () : x2 + y2 + z2 6x 2y 159 = 0. Soit le plan () : 12x + 4y + 3z 12 = 0.

Dterminer les quations des plans parallles au plan et tangents la sphre .

Exercice 4.75 :

Soit les 2 sphres (1) : x2 + y2 + z2 4x 12y + 6z + 45 = 0 et (2) : x2 + y2 + z2 = 81.

a) Montrer que les deux sphres sont tangentes. b) Dterminer lquation du plan tangent aux deux sphres.

Exercice 4.76 :

Soit les 2 sphres (1) : x2 + y2 + z2 2x 8y 2z 57 = 0 et (2) : x2 + y2 + z2 14x + 10y 8z 27 = 0.

Prouver que ces deux sphres se coupent, puis dterminer ensuite leur intersection. Reprsenter la situation sur une bonne figure.

Exercice 4.77 :

On donne la sphre () : x2 + y2 + z2 2x y + z 3 = 0

et la droite (d) : x = 3 + 2ky = 6 2kz = 4 + k

Calculer les coordonnes des points dintersection de et d.

62 CHAPITRE 4

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Exercice 4.78 :

Soit la sphre () : x2 + y2 + z2 + 6x 8y 2z + 17 = 0 et le point A(-2 ; 2 ; 3). a) Vrifier que A est sur la sphre . b) Dterminer lquation dune droite d tangente en A . c) Dterminer lquation dune droite g tangente en A

et coupant laxe Oz.

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