3. Partikularen zinematika

1. Sarrera Zinematika: partikula baten higiduraren deskribapen matematikoa.

Partikula gorputz hain txikia puntualtzat hartzen dugula

txikia zeren arabera? Sistemako beste neurri eta distantzien aurrean

dimentsio gabea

Partikula bat mugitzen denean erreferentzia sistema batekiko egiten du.

Partikularen posizioa t-rekiko aldatzen da (t-ren menpekoa da).- t-rekiko deribatuz v- t-rekiko deribatuz a

Posizioa, abiadura eta azelerazioa erreferentzia sistemarekiko erlatiboak dira.

2. Erreferentzia-sistemakPartikula baten higidura deskribatzeko bere posizioa definitu behar da aldiune bakoitzean.

E.S. batekiko koordenatuakHigidura motaren arabera: 1, 2 edo 3 koordenatu beharko ditugu.

KOORDENATUEN TRANSFORMAZIOA: E.S.-en arteko higidura erlatiboa ezagutu behar da.

Zein higidura mota egon daiteke bi sistemen artean?

Translazioa

S S S’

S S’

S’

Errotazioa Translazioa + Errotazioa

3. Higidura kurbilineoa, kontzeptu orokorrak: posizioa, abiadura eta azelerazioa

Partikula baten higiduraren deskripzioa S-rekiko:

P

P'

Q

O

SP'

P

Q

( )v tr

( )v t t+ ∆r

( )r t t+ ∆r

( )r tr

r∆r

Posizio bektorea: )t(rrrr = r)t(r)tt(r'PP

rrr ∆∆ =−+=

0limt

r drv r

t dt∆ →

∆= = =∆

r rr r&

0limt

v dva v r

t dt∆ →

∆= = = =∆

r rr r r& &&

Desplazamendu netoa:m

Aldiuneko abiadura:

Aldiuneko azelerazioa:

Batez besteko abiadura: m/s

Batez besteko azelerazioa:

m/s2

Partikula geldiunean ez badago t-ren menpekoa da Igarotako denbora tartea

(abiadura aldaketa netoa)

3. Higidura kurbilineoa, kontzeptu orokorrak: posizioa, abiadura eta azelerazioa

3.1. Posizio, abiadura eta azalerazio-bektoreen osagai kartesiarrak

)z,y,x(k)t(zj)t(yi)t(x)t(r =++=r

)z,y,x()dt

dz,

dt

dy,

dt

dx(k

dt

)t(dzj

dt

)t(dyi

dt

)t(dx

dt

)t(rd)t(v &&&

rr ==++==

)z,y,x()dt

zd,

dt

yd,

dt

xd(k

dt

)t(zdj

dt

)t(ydi

dt

)t(xd

dt

)t(vd)t(a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

&&&&&&r

r ==++==

3.2. Higidura ekuazioa eta hasierako baldintzak

Batzuetan r ezagutu beharrean v edo a ezagutu.

deribatuz

integratuz

Higidura ekuazioa:

3. Higidura kurbilineoa, kontzeptu orokorrak: posizioa, abiadura eta azelerazioa

dt

vda

= dt avd

=⇒ ( )0 0

v t

v t

dv a t dt=∫ ∫

⇒ ( )

0

0( )t

t

v t v a t dt= + ∫

⇒

hasierako aldiuneko abiadura v(to)

Era berean…

dt

rdv

= dtvrd

=⇒ ( )0 0

r t

r t

dr v t dt=∫ ∫

⇒ ( )

0

0( )t

t

r t r v t dt= + ∫

⇒

hasierako aldiuneko posizioa r(to)

Ekuazio bektorial hauetariko bakoitzak hiru ekuazio eskalar adierazi (bat koordenatu bakoitzean (x, y, z):

2. ARIKETA

4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintsekoak

dt: denbora tarte oso laburra

S

dt)(t r +

(t) r

(t) r - dt)(t r (t) rd +=

(t) rd

ibilbidearekiko tangentea

ibilbidea

Aldiuneko abiadura ibilbidearekiko tangentea da beti, hau da osagai tangentziala baino ez dauka.

A KASUA: Abiadura-bektorearen modulua baino ez da aldatzen

Hau da; v-ren norabidea = kte ⇒ Higidura zuzena

Higidura guztia x ardatzean

ˆ ˆv (t) v (t) i v (t) i= ≡

i dt

dv(t)

dt

) (t) v ( d a ==

Azelerazioa ibilbidearekiko tangentziala

deitu ohi zaio ibilbidearekiko normala baita!!

4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintseko

B KASUA: Abiaduraren norabidea baino ez da aldatzen

Hau da; = kte

dt

vd a

=(t)vd

dt)(t v +

(t) v

Modulu berdina, norabide ezberdina

Azelerazioa ibilbidearekiko

normala da!

- Kasu partikularra: Higidura zirkularra

R

RP1

P2ds

O

dϕdϕ

O

p1

p2

dt)(t v +

dt)(t v +

(t) v

(t) v OP1P2 eta Op1p2 berdinak dira!

Beraz;

R

ds

v

vd =

⇒ ds

R

v vd =

R

v

dt

ds

R

v

dt

vd a

2

===

4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintseko

ρ1

ρ2

ρ3

3

2

3

2

2

2

1

2

1

v ) P ( a

v ) P ( a

v ) P ( a

ρ

ρ

ρ

=

=

=

)(P a 3

)(P a 2

)(P a 1

Orokortuz…

Aurreko emaitza baliagarria da den edozein ibilbide kurbilineotan.

Edozein espazioko kurba ρ1, ρ2, ρ3,… kurbadura erradioko zirkunferentzia arkuen batuketa moduan deskonposa baitaiteke.

4. Abiaduraren eta azelerazioaren osagai intrintseko

C KASUA: Higidura orokorra

bektoreak osagai tangentziala eta normala: osagai intrinsekoak

dt

v(t) d

dt

(t)v d aT ==

ρ

v a

2

N =

TANGENTZIALA (v-ren norabidea ktea denean |v|-ren aldaketen informazioa ematen digu)

NORMALA (|v|= ktea denean v-ren norabidearen aldaketen informazioa

ematen digu)ibilbidearen kurbatura erradioa

Beraz; eta nola NT a a a += NT a a

⊥ 2N

2T

2 a a a +=

a

Na

Ta

ρ

v

Na

Taa

5. Kasu bereziak

aN = 0 Zuzena ρ = ∞aT = 0 v = kte Higidura Zuzen Uniformea (HZU)

aT ≠ 0 aT = kte Higidura Zuzen Uniformeki Azeleratua (HZUA)

aT ≠ kte Higidura aldakorra

1

2aN ≠ 0Ibilbide kurbatua ρ ≠ ∞

ρ = kte Zirkularra

ρ ≠ kte Kurbilineoa

aT = 0 Uniformea

aT ≠ 0 aT = cte (aN ≠kte) Unif. azeleratua

aT ≠ cte (aN ≠kte) Aldakorra

aT = 0 Uniformea

aT ≠ 0 aT = kte (aN ≠ kte) Unif. azeleratua

aT ≠ kte (aN ≠ kte) Aldakorra

5. Kasu bereziak

1 Higidura zuzena aN = 0

Higidura dimentsio bakarrean zuzen batean zehar orokorrean X ardatza erabili Ekuazio eskalarrak

a) Higidura zuzen uniformeki azeleratua (HZUA)

aN = 0aT = kte

⇒ a = kte Hasierako baldintzak:t = t0 , x = x0 eta v = v0

⇒ ⇒

⇒ ⇒

⇒

(1)

(2)

(1)

(2)

5. Kasu bereziak

HZUA-ren adibide tipikoa gorputz baten erorketa edo jaurtiketa bertikala, non a = - g den.

b) Higidura zuzen uniformea (HZU)

aN = 0aT = 0

⇒ a = 0 ⇒⇒

⇒

⇒

1. ARIKETA

5. Kasu bereziak

2 Higidura zirkularra aN ≠ 0 eta ρ = kte

s

R

ϕ

O

ϕRs = zirkunferentziaren arkua

ω : abiadura angeluarra sasi-bektorea definituko dugu

dt

dϕω =

ˆ ˆn nω ω ϕ= =&

dt denbora tarte batean ekortutako angelua

rad/s

r

ω

v

dt

ds

dt

rdv ==

( )d d

v R R Rdt dt

ϕϕ ω= = =ϕRs =nola

Nola -ren norabidea eta noranzkoa ibilbidearen planoarekiko perpendikularra eta positiboa:

rv ×= ω

ω

Era berean…

: azelerazio angeluarra ere definitu α

dt

dωα = ˆ ˆ n nα ω ω ϕ= = = & & && rad/s2

-rekiko paraleloaω

αω RRdt

dvaT === &

RR

R

R

va 2

222

N ωω ===

5. Kasu bereziak

a) Higidura zuzen uniformeki azeleratua (HZUA)

b) Higidura zuzen uniformea (HZU)

aN ≠ 0 ρ ≠ 0 aT = kte α = kte

Era berean…

aN ≠ 0 ρ ≠ 0 aT = 0 α = 0

Higidura periodikoa

Periodoa (buelta osoa emateko denbora):

buelta osoa

6. Higidura erlatibodun erreferentzia-sistemak

Aldagai zinematikoen balioa E.S.-aren araberakoak dira.

rr

vr

ar

Jakin behar dugu nola transformatu gure aldagaiak E.S. batetik bestera.

Kasurik sinpleena: TRANSLAZIOKO HIGIDURA ERLATIBOA

Helburua: S eta S’ sistemetan P partikularen aldagai zinematikoak erlazionatzea (S-k S’-rekiko duen higidura ezaguna izanik).

O

S

P

r

r´

R O’

S’

S’-ren jatorriaren posizio, abiadura eta azelerazio bektoreak S-rekiko.

6. Higidura erlatibodun erreferentzia-sistemak

Beraz, bektore hauek elkarrekin erlazionatzen dituzten ekuazioak:

Gogoratu! Bakarrik translazioa dagoenean errotaziorik ez!

KASU BEREZIA: TRANSLAZIO UNIFORMEA. GALILEOREN TRANSFORMAZIOA.

Translazio abiadura ktea denean:

Oso erabilgarria, E.S. inertzial ezberdinetan egindako neurketak

erlazionatzen baititu.