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Procesos Estocásticos
Un Proceso Estocástico 𝑋 𝑡 : 𝑡 𝜖 𝑇 es una colección de variables
aleatorias. Es decir, para cada valor de la variable t1 (generalmente
es el tiempo) existe una variable aleatoria X(t1).
Se utilizan para describir la evolución de todo tipo de fenómenos.
Un proceso estocástico puede ser Discreto o Continuo tanto en la
variable t como en la imagen de X(t).
Ejemplos:
Cantidad de productos vendida en un día.
Temperatura en °C en Santiago.
Cantidad de clientes en un banco en un instante t.
Procesos Estocásticos La distribución de probabilidades de un proceso estocástico cambia
a medida que evoluciona en el tiempo.
Se dice que el proceso estocástico alcanza un estado de régimen
cuando la distribución de X(t1) es igual a la de X(t2) ∀t1, t2 > t*.
Que se llegue a un estado de régimen no implica que X(t) deje de
ser aleatorio.
Procesos Estocásticos
Un proceso estocástico N(t), se denomina un proceso de Conteo si
corresponde al número de eventos ocurridos en [0,t). Entonces
𝑁 𝑡 ∈ ℕ
𝑠 < 𝑡 ⇒ 𝑁(𝑠) ≤ 𝑁(𝑡)
𝑠 < 𝑡 ⇒ 𝑁 𝑡 − 𝑁 𝑠 es el número de eventos que ocurren en (s,t]
Un proceso de conteo N(t) tiene incrementos independientes si
N(t+s) - N(s) es independiente de N(u) para todo u < s.
𝑃 𝑁 𝑡 + 𝑠 − 𝑁 𝑠 = 𝑛 𝑁 𝑢 = 𝑘 = 𝑃 𝑁 𝑡 + 𝑠 − 𝑁 𝑠 = 𝑛 , ∀𝑢 <s
Un proceso de conteo N(t) tiene incrementos estacionarios si
N(t+s) – N(s) depende de t pero no de s.
𝑃 𝑁 𝑡 + 𝑠 − 𝑁 𝑠 = 𝑛 = 𝑃 𝑁 𝑡 = 𝑛 , ∀𝑠
Procesos de Conteo
Definición: Una función f es o(h) si:
limℎ→0
𝑓 ℎ
ℎ= 0
Un proceso de conteo N(t) tiene la propiedad de orden si:
𝑃 𝑁(ℎ) = 1 = 𝜆ℎ + 𝑜 ℎ , 𝜆𝜖ℝ+
𝑃 𝑁(ℎ) ≥ 2 = 𝑜 ℎ
Tipos de Procesos
Proceso de Poisson
Demostración
Tiempo entre eventos
Demostración
Proceso de Poisson
Finalmente es posible hacer una definición alternativa del proceso
de Poisson:
Definición 3: Un proceso de conteo cuyos tiempos entre eventos
distribuye exponencial a tasa λ es un proceso de Poisson a tasa λ y
viceversa.
Distribución exponencial → propiedad de orden
Falta de memoria → incrementos independientes y estacionarios.
Como conclusión existen 3 maneras de definir un proceso de
poisson, basta demostrar una sola.
Paradoja de la inspección
Suponga que se desea determinar la vida media de una ampolleta
que es reemplazada inmediatamente cuando falla. El tiempo hasta
que la ampolleta falla es exponencial a tasa l y es independiente de
una ampolleta a otra.
El método que se propone para determinar esto es que se observe
una ampolleta en un instante cualquiera t y se registre el tiempo de
vida de esa ampolleta como estimación de la vida media. ¿ Es esto
correcto ?
Paradoja de la Inspección
Suponga que las ampolletas fallan cada 10 minutos en promedio y
sabemos que el tiempo entre llegadas distribuye exponencial. Un
individuo llega a revisar la ampolleta aleatoriamente, ¿Cuánto debe
esperar el individuo hasta que la ampolleta falla?
La respuesta es sencilla; gracias a la propiedad de falta de memoria
de la distribución exponencial, el individuo deberá esperar un
tiempo aleatorio de distribución exponencial con media de 10
minutos.
¿Cómo distribuye Z? Es decir, el tiempo que la ampolleta actual
lleva funcionando.
Demostración
Paradoja de la Inspección
Entonces, si se “visita” un proceso de Poisson en el largo plazo se
observará:
Un tiempo de “exceso” denominado Y que distribuye exponencia(l)
Un tiempo de “edad” denominado Z que también distribuye exponencia(l)
Parece que llegamos a una contradicción del modelo ya que un
tiempo entre eventos de un proceso de Poisson(lt) distribuye
Gamma(2 l) →←
Lo que sucede es que es más probable que se “visite” un tiempo
entre eventos más largo ya que éstos ocupan una mayor proporción
del eje del tiempo.
Esto origina que si inspeccionamos aleatoriamente un proceso de
Poisson nos encontremos con que esos tiempos entre eventos
tengan un promedio sobre lo normal.
Paradoja de la Inspección
Tiempo esperado de espera en un paradero con intervalos cuya
duración es una v.a. con distribución f y pasajeros llegando uniforme
H
t T
2
2
2
1
2
2
2 2
E T E E T H h
E T H h g h dh
hf hhdh
E H
h dhE H
E H
E H
E H Var H
E H
Distribución condicional de los
Tiempos entre eventos Ya vimos que los instantes de llegada (Sn) de un proceso de
Poisson distribuyen Gamma (n,l), ¿Afecta esta distribución el
hecho de conocer cuantos eventos ocurrieron entre [0,t]?
Intuitivamente se puede decir que ya no distribuyen Gamma (n,l)
por el sólo hecho de que ninguno de éstos instantes puede ser
mayor que t.
También que son dependientes unos de otros.
Distribución condicional de los
Tiempos entre eventos Caso n=1:
Por incrementos estacionarios “el” evento puede ocurrir en cualquier instante por
lo que se puede decir que tiene una distribución uniforme.
Demostración
Caso General
Obtendremos la distribución de los instantes de llegada en el caso en que no
nos interese el orden de los eventos.
En el ejemplo de motivación, no nos interesa que pasajero llega ni en que orden
llegan sino que sólo el instante en que llegan.
Distribución condicional de los
Tiempos entre eventos Si se toman los instantes de llegada de los eventos en forma
desordenada, éstos instantes distribuyen de manera uniforme.
Calculemos la distribución conjunta de los eventos Ui
Cada evento ocurre en [ ti,ti+dsi ]
Ningún evento en el resto del intervalo [0,T]
Esta distribución se puede entender como n v.a. ~ U(0,T)
ordenadas de todas las formas posibles
Demostración
11
!n n
ii i i i
ii
dSP t S t dS N T n n
T
Distribución condicional de los
Tiempos entre eventos Esto no quiere decir que sea trivial calcular las distribuciones de
tiempo considerando orden, e.g.
Demostración
La diferencia es como, sabiendo que a las 10:00 había dos personas.
Probabilidad de que Juan haya entrado antes de 9:00 y Pedro antes de
las 9:30 vs. Probabilidad de que el primero que haya entrado fue antes
de las 9:00 y el segundo antes de las 9:30
1
1 2 2 12 2
0 0
2
1 2 2 12 2
0
1, 2 , 0 ,
2! 2, 2 , 0
yx
yx
S
xyP U x U y N t dU dU x y t
t t
xy xP S x S y N t dS dS x y t
t t
Descomposición de Procesos
de Poisson Considere un proceso de Poisson N(t) de llegada hacia una
bifurcación en una autopista. Suponga que cada vehículo tiene una
probabilidad p de tomar la autopista hacia la izquierda y (1-p) de
tomar hacia la derecha.
¿Son los procesos N1(t) y N2(t) de Poisson?
Demostración
Descomposición de Procesos
de Poisson Finalmente N1(t) distribuye Poisson a tasa lp. Análogamente, N2(t)
también distribuye Poisson pero a tasa l(1-p).
Hemos demostrado que éstos procesos distribuyen Poisson pero, ¿
son N1(t) y N2(t) procesos de Poisson?
Se tienen que verificar las propiedades de incrementos estacionarios e
independientes.
Dado que N(t) es un proceso de Poisson se verifican estas propiedades
Suponga ahora que se observan 100 autos en un intervalo de
tiempo que toman la pista izquierda. Además se estimó que la
probabilidad de que un auto tome la pista izquierda es de 50%. ¿ se
puede decir que 100 autos tomaron la pista derecha?
NO, ambos procesos son independientes entre sí. Sin embargo sí
dependen del proceso N(t).
Demostración
Suma de Procesos de Poisson
Sean N1(t) y N2(t) dos procesos de Poisson con tasas l1 y l2
respectivamente.
El proceso N(t) = N1(t) + N2(t) es también un proceso de Poisson
pero con tasa (l1 + l2).
Demostración
En general la suma de varios procesos de Poisson resultan en otro
proceso de Poisson con tasa igual a la suma de las respectivas
tasas.
Aplicación
Un peatón desea cruzar una calle con tráfico en un solo sentido. El
flujo de vehículos por la calle se comporta como un proceso de
Poisson a tasa l. Suponga que el peatón necesita de T unidades de
tiempo para cruzar la calle, y que él puede estimar exactamente los
tiempos entre pasadas sucesivas de automóviles. Sea Z el tiempo
que debe esperar el peatón hasta que pueda empezar a cruzar.
Obtenga una expresión para E(Z).
Suponga que l = 2 autos/min. y que T = 30 segundos. Calcule E(Z).
Suponga ahora que la persona que va a cruzar la calle es una persona mayor,
que requiere de 60 segundos para cruzar la calle. Calcule por cuantas veces se
multiplica E(Z) respecto al caso anterior.
Aplicación
Suponga que el sistema de transporte colectivo desde Plaza Italia a
la Facultad de Ingeniería consta de dos líneas de buses: buses
expresos y buses ordinarios. Los buses expresos llegan al paradero
de acuerdo a Poisson a tasa le y los buses ordinarios de acuerdo a
Poisson a tasa lo. Ambos procesos son independientes. El tiempo
de viaje de los buses expresos es te y el de los ordinarios es to y el
costo del pasaje es ce y co respectivamente. El costo de cada
unidad de tiempo del pasajero es c. Obtenga una expresión para el
costo esperado total para las siguientes políticas:
Utilizar solo buses ordinarios
Utilizar solo buses expresos
Tomar el primer bus que pase
Proceso de Poisson No Homogéneo
Suponga que se está diseñando una sucursal de un banco y debe
modelar la llegada de clientes para determinar el número de cajas
que se deben construir. Usted asume que la llegada es de Poisson
y se le pide determinar la tasa de llegada.
Al realizar el estudio usted se encuentra con los siguientes
resultados:
Intervalo de
Tiempo
Tiempo entre
llegadas (min)
Desviación
Estándar
9:00 – 14:00 5 4
9:00 – 10:00 2 0.5
10:00 – 13:00 7 2
13:00 – 14:00 1 0.3
Proceso de Poisson No Homogéneo
Se deduce de los resultados que en este caso es mejor considerar
3 procesos con distintas tasas.
Si se considera un proceso de este tipo en que la tasa varía en el
tiempo este proceso no es de Poisson
El proceso de conteo N(t) se dice que es un proceso de Poisson No
Homogéneo si cumple con:
N(0)=0
Incrementos independientes
Propiedad de Orden: i) 𝑃 𝑁 𝑡 + ℎ − 𝑁 𝑡 = 1 = 𝜆 𝑡 ℎ + 𝑜 ℎ , 𝜆𝜖ℝ+
ii) 𝑃 𝑁 𝑡 + ℎ − 𝑁 𝑡 ≥ 2 = 𝑜 ℎ
Es posible demostrar que:
Demostración
Los tiempos entre eventos ya no son v.a. iid exponenciales.
Con la transformación, se puede transformar en un
proceso de Poisson de Poisson Homogéneo Y(u) de tasa 1.
Demostración
!
t s
t
nt s
t dtt
t dt
P N t s N t n en
ll
Proceso de Poisson No Homogéneo
0
t
u t dtl
