II

a

Obr. 60

26. Na obrázku 60 je trojúhelník ABC a čtverec CDEF. Určete obvodtrojúhelníku ABC, jestliže strana čtverce a = 12 cm.

~Ze dvou podobných trojúhelníků májeden obvod 100 cm, druhý má~strany postupně o 8 cm, 14 cm, 18 cm větší než první. Vypočítejte

délky jejich stran.;;;1trany trojúhelníku ABC mají délky 4 cm, 5 cm, 7 cm. SestrojteV,rojúhelník A' B'C' podobný trojúhelníku ABC, který má obvod

12cm.29. Narýsujte libovolný trojúhelník a libovolný čtyřúhelník. Trojúhel-

ník zvětšete nebo zmenšete tak, aby se jeho obvod rovnal obvodučtyřúhelníku.

30. Stín 2 metry vysoké tyče je 3 metry dlouhý. Jak vysoká je věž, je-lijejí stín ve stejnou dobu 28 m dlouhý? .

/3i.\Délky stran trojúhelníku jsou v poměru 2 : 5 : 4. Určete délky\:/stran jemu podobného trojúhelníku, jehož obvod je 55 cm.

32. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu proti základněúhel stejné velikosti. Jeden z nich má rameno délky 17 cm a zá-kladnu 10 cm. Druhý má délku základny 8 cm. Určete délku jehoramene.

33. Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte trojúhelník A' B'C', pro kterýplatí 6A' B' C' '" 6ABC a jeho obvod je 12 cm.

168

1. Dokažte, že dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže se shodují vedvou stranách a výšce příslušné k jedné z nich.

3r•. Narýsujte čtverec ABC D, jestliže jeho vrchol A má souřadnice[-2; -2] a průsečík úhlopříček je v počátku soustavy souřadnic.Určete souřadnice vrcholů B, C, D.

36. V soustavě souřadnic narýsuj te rovnoběžník ABC D tak, aby pla-tilo A[2; 2], B[l; -3] a průsečík úhlopříček ležel ve středu soustavysouřadnic.

37. Sestrojte, pokud existuje, střed souměrnostia) úsečky, b) polopřímky, c) dvou různoběžek, d) trojúhelníku,e) rovnoběžníku.

a·b38. Sestrojte úsečku délky x = -- (tzv. čtvrtou geometrickou úměr-

cnou), jestliže platí

a) a = 3cm, b = 7cm, c = 4,5cm,b) a = 8 cm, b = 3 cm, C = 2 cm.

2

• 39. Sestrojte úsečku délky x = ab

,jestliže a = 5 cm, b = 8 cm.

40.· Sestrojte trojúhelník ABC, jestliže platí a : b = 1 : 2, I = 350,

C = 6cm.(Návod: Sestrojte nejdříve libovolný trojúhelník A' B'C' podobnýtrojúhelníku ABC.)

41. Sestrojte obraz trojúhelníku ABC (c = 4,2 cm, o: = 350, b =

= 6 cm) ve středové souměrnosti se středem S = T, kde T jetěžiště trojúhelníku ABC.

42. Určete, ve kterém zobrazení jsou si přiřazeny obrazce na obr. 61.

• 43. Dokažte, že každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.

44. Vypočítejte skutečné rozměry pozemku, jestliže na mapě s měřít-kem 1 : 25000 má tvar obdélníku se stranami 15,4 mm a 4,5 mm.

~ Dva rovnoramenné trojúhelníky mají při vrcholu úhel stejné veli-kosti. Jeden z nich má základnu délky 10 cm a rameno délky 25 cm.Druhý má základnu délky 12 cm. Určete délku jeho ramene.

169

o 2. estrojte grafy lineárních funkcí:

a) y=2x+3 b) y=-2x+lc) y = 2x d) 2x + y = 1e) 2x - 3y = 6 f) 3x + 4y + 2 = O

O ev Určete průsečíky grafů daných lineárních funkcí s osami x a y.

@y=-~x+3

b) y = -1,4x - 3,5c) y = 2,lx + 1,7

O Gurčete, které z bodů A[2; 1], B[-I; 7], C[-2; 2], D[-I; 1] leží nagrafech funkcí:

a) y=x+3 b) y=-4x+3

@ y = ~x + ~ d) y = -2x + 5

3O á. yberte z daných funkcí y = -x + 5, y = 2x, y = -4x, y = 5,

y = O, 2x + 5y - 1 = O, 3x + y = 2a) funkce rostoucí,b) funkce klesající.

O 6. Do jednoho obrázku sestrojte grafy funkcí:1

a) y = z , y = 2x, y = "2x

1b) y = -x, y = -2x, y = -"2x

O (9zapište rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází bodem A[-I; 1]a současně platí:a) a = 2 b) a = -2 c) a = O

O 8. Určete průsečíky grafů funkcí:

a) y = 2x - 1

y = -x + 2

1b) u= "2x+2

y=x-5

O 9. Z daných funkcí vyberte ty, jejichž grafem je přímka rovnoběžnás osou x (konstantní funkce):

a) y = 3x + 2c) y = x2

- X + 2e) y = -2x

b) y=-3,5d) y = O· x + 2f) y = v'2

O 10. Řešte graficky soustavy rovnic:

a) x + y = 1 b) 3x - 5y = 11x - y = 1 6x - 10y = 22

c) x - y = 12x - 2y = 3

176

O 11. Řešte graficky soustavy rovnic:

a) 4x + 3y = 6 b) x + 15y = 332x + y = 4 3x + y = 27

O 12. rčete rovnice lineárních funkcí, jejichž grafy jsou na obr. 65.

y

o

2

x

y

3 25

,........0 1 2 3

Obr. 65

O 13. Řešte graficky soustavy rovnic:

a) x - y = 2 b) 3x - 6y = 13x + y = 4 5x - y = 2

c) x + 2y = 3 d) 2x - y = 43x + 6y = 1 1

x - "2Y = 2

*0 ~V rovnici y = ax - 2 určete a tak, aby graf funkce dané toutoty(s:~;\icí procházel~ bodem [1; 4],

177

b) bodem [3; -2].O 15. Vyberte z daných funkcí ty, jejichž grafy jsou rovnoběžné. Svoji

volbu ověřte sestrojením grafů.

a)1

b)1v= --x+5 y = 2x + 52

c) d)1

y = -2x + 1 y=--x-32

O 16. Z daných lineárních funkcí vyberte všechny klesající a sestrojtejejich grafy:

a) y=-3x b) y=l-xc) Y = 2x - 6 d) y = -5e) y=-2+x f) y=-x-2

*0 17. Je dána lineární funkce y = 3x + 1. Určete rovnici lineární funkce,jejíž graf je souměrný s grafem dané funkce v souměrnosti

a) podle osy y,b) podle osy x,c) podle grafu funkce y = x.

~te rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body:~A[O; 3], B[-2; -3]

b) E[-1,5; 8], F[-l; -1]c) 0[0; O], K[-2; 6]

*0 19. Pro které hodnoty proměnné x bude mít funkce y = -~x + 3

a) kladné hodnoty,b) záporné hodnoty?

*0 20. Rychlík jede průměrnou rychlostí 72 km za hodinu z místa A domísta B.

a) Sestrojte graf závislosti dráhy na čase.b) Určete, jaká je vzdálenost míst A, B, jestliže do místa B dojel

rychlík za 1 hodinu 25 minut.

O 21. Cyklista projížděl při závodě trať dlouhou 210 km rychlostí 35 kmza hodinu. Napište rovnici funkce vyjadřující závislost vzdálenostiy od cíle na čase x a sestrojte její graf.

178 •

2~")Nádrž na vodu rnó Oh.l"111HO 1111()1,'vr('lIím přívodu přibývá G.d m''7za čtvrt hodiny. NIlJlI I, II,VIIIII funkce, která vyjadřuje závislost

množství vody 11 v kr ,Itlo Ih ItICt.re h na čase x v hodinách,jestliže při otevření JlI IItllI II Idr:t.I'

a) byla nádrž príl:t.dll I,

b) byla nádrž již 1I11J11111'1II ~()()hl vody.

Prázdná plechová Iltídl:t.k I II I ht'Il:t.!1Imá hmotnost 3,5 kg. Jedenlitr benzínu má hmol.nn I, 0, k Zapište rovnici funkce, která vy-jadřuje závislo t hlllOI.II111.1IIlidr:t.ky plněné benzínem na množstvíbenzínu v litrech. Nnr liJi" /1,1 II' t.,~t.ofunkce.

*0 24. Letadlo startoval H"~" oholl '2000 litrů benzínu. Na 100 kmspotřebuje osminu t.oholo IIIIIO:t.t.ví. Zapište rovnici funkce, kterávyjadřuje úbyt k :t.tlHohyp IIIVi ua p čtu kilometrů, které letadlouletělo, a sestrojt jej! /1,1'111',« :rllf Iwstrojte na milimetrový papír.)

*0 25. Dva motocykly vyjdy II 1.(ho:t. III!Htlistejným směrem po téže silnici.

Průměrná rychlost prvn ho IIIOI,O('yklllbyla 45 k; a do cíle dojel za

4 hodiny. Druhý m tor kl vyjel ( hodinu později rychlostí 60 k;.

a) Sestrojte grafy zfÍvislosU dráhy ujeté každým z motocyklů načase.

b) Určete, kdy do tihr« druhý motocykl první.

(Grafy sestrojte na milinu-t rový papír.]

*0 26. V 6 h 45 min vyj I z I řfstavu parník průměrnou rychlostí 12 k;.

V 10 hodin vyj I za níru III t, rový člun, který plul průměrnou

rychlostí 42 k;. V klik h din dohoní člun parník? Řešte graficky.

(Grafy sestrojte na milirnc trový papír.)

O 27. Kamión jede po dálnici z Prahy do Bratislavy průměrnou rychlostí

72 k; . V okamjiiku, kdy j vzdálen od Prahy 54 km, vyjíždí z Pra-

hy osobní auto, které jede rovněž do Bratislavy a jehož průměrná

179

2 2 1 2b) y = -X ,y = -2x , y = -2"X

O 29. Určete průsečíky grafů funkcí:

a) y=x2 b) y=_x2 c) y=x2

8 y = 5x - 6 y = 2x - 3 y = 3O 30. Určete neznámou souřadnici bodů A[-l; y], B[x; 1], které leží na

0,1grafu funkce y = -.

x

O 31. Sestrojte grafy funkcí y = .!. a y = - 1 do jednoho obrázku. Podlex x

které osy jsou souměrné?

fo;;) Které z bodů A[l; 5], B[-2; 20], C[2; 8], D[-6; -180] leží na grafu'-::..J funkce y = 5x2?

033 Které z bodů All j=-I] B[-l'~] C[-l'-~]' D[-3'-~] leží. ", 2 ' '2 ' '2 '

k1,5

na grafu fun ce y = -?x

~ Určete konstantu a v rovnici kvadratické funkce y = ax2, prochá-zí- . graf této funkce bodem:

a) [3; 18] b) [-1; 1] @-2; -8]

*0 35. Rešte graficky rovnice:1

a) 2x2 = 5 b) 3x2 = X + 4 c) _x2 = -2x + 1

(Návod: Sestrojte průsečíky grafů funkcí a) y = 2x2 a y = 5, b)1

y = _x2 a y = x + 4, c) y = _x2 a y = -2x + 1.)3O 36. Pro která x jsou dané funkce rostoucí?

1a) y = x2 b) y = _x2 *c) y = 2"x2 *d) y = _2x2

*0 37. Sestrojte graffunkce, který je obrazem grafu funkce y = 3x2 V sou-měrnosti

a) podle osy x,

182

b) podle přímky, která je grafem funkce y = x.

O 38. Sestrojte graf závislosti obsahu čtverce na dél,ce jeho strany.

O 39. Auto projede 100 m za t sekund. Za předpokladu, že se pohybujerovnoměrně, vyjádřete závislost jeho rychlosti na čase a sestrojtegraf této funkce.

O 40. Graf funkce y = ~ prochází bodem [-2; 2]. Určete konstantu k.x

O 41. Určete souřadnice průsečíků grafů funkcí:

3a) y= -,y=3x

x

1b) y = -, y = x + 1

x-1

c) y = -, y = - 2xx

*0 42. Řešte graficky rovnice:1

a) - = x + 1x

2b) - = x-I

x

3 1c) - = -x

x 3

uO 43. Na reostatu působí stálé napětí 6 V. Jak se mění proud I = R

v reostatu při plynulé změně odporu od 1 n do 24 n? Sestrojtegraf. Z grafu přečtěte hodnoty odporu pro hodnoty proudu 5 A,2A,1,2A.

O Příklad 5

Vypočítejte objem kužele, jehož úhel při hlavním vrcholu osového řezumá velikost 600a strana kužele má délku 15 cm (obr. 68).

183