24
= !" ! ! " #$! % & ( ) &*+’ ) & Δ , - - - - & + + + + Δ & & Δ % & ( ) &*+’ ) & Δ , - - - - & + + + + Δ & & Δ # $

4 1 derivadas-parciales_vv

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Los mejores!

Citation preview

Page 1: 4 1 derivadas-parciales_vv

������������ ��� �� ����������� ��������������������

������������� ����������������� ������ ���� �

����������������������� ���������������������������������� ����� �� ��������������

�� ����������� ���� ��� � � �� �� � ����� ������ �� �������������� ������������� ����

����� ��� � = � � �� �� � ����������� ������������ �������� ������������������ ������������ ����!�"���!���

�� ����������� ����������������

�������� ��!�"�� ���#$ !�

�������������

�������������� ���

%��������������� ���� & '� �� � ������������� ������� ������������(

���)��

��&*�+'�)� �

→ → → → & '∆∆∆∆ � ,

− − − − & '� � + + + + � ∆∆∆∆ � � & '� �� �

& '∆∆∆∆ �

����%��������������� ���� & '� �� � �������������� ������� ������������(��

���)��

��&*�+'�)� �

→ → → → & '∆∆∆∆ � ,

− − − − & '� �� + + + + � ∆∆∆∆ � & '� �� �

& '∆∆∆∆ �

�#����$

Page 2: 4 1 derivadas-parciales_vv

���������������������������������������������������������������������!������-��������������

����������� �!�������������� ������������!������������� ��� ����������������!���� ��� ���!��

���� ������!���%���� �!������ �������� ������&�� �!�������!��������� ���!!� �������� �������

�&!��������������������!������ ���� ��������!��!������� �����������!�������������� �������������

���� ���������� ��� ������� �� ����&!��������������&�����'������������� ����� ���!�����

(��������)���!����� ���!�������!�����������!������������&������ �� ����

�.�/#% ��(��> restart: f:=(x,y)->x^4-3*x^2*y+3*y-y^3; print(`DERIVADAS PARCIALES`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f);

�*+�� → � ��� � − + − �,

- �.� - � �

-

������� ������

�*+��� → � ��� � − , �-

/ � �

�*+��� → � ��� � − + − - �.

- - �.

0�������������� �!���!���� �� ��� ���������)���!���!��� ���#�+���$���1$��

> fx_p:=D[1](f)(1,-1); fy_p:=D[2](f)(1,-1);

�*+����� $2

�*+����� 1-

�.�/#% �0(�> restart: f:=(x,y)->exp(x-y)+sin(x+2*y); print(`DERIVADAS PARCIALES y su valor en (0,0)`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fx_p:=D[1](f)(0,0); fy_p:=D[2](f)(0,0);

�*+�� → � ��� � + �� � − � �� ��� + � . �

������� ��������������������������

�*+��� → � ��� � + �� � − � �� ���� + � . �

�*+��� → � ��� � − + �� � − � �. � ���� + � . �

�*+����� .

�*+����� $#����.

Page 3: 4 1 derivadas-parciales_vv

�.�/#% �1(����������������3�� �������� ��� ���������� ����&!���������)���!���������

> restart: f:=(x,y,z)->x^2*z-2*z^2*y+x^2*y^3; print(`DERIVADAS PARCIALES y su valor en (1,2,3)`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fz:=D[3](f); fx_p:=D[1](f)(1,2,3); fy_p:=D[2](f)(1,2,3); fz_p:=D[3](f)(1,2,3);

�*+�� → � �� �� � � − + �.� . �

.� �

.�-

������� ������������������������ �!�

�*+��� → � �� �� � � + . � � . � �-

�*+��� → � �� �� � � − + . �.

- �.�.

�*+��� → � �� �� � � − �.

, � �

�*+����� ..

�*+����� 1/

�*+����� 1.-

�.�2���� ����

�� �� ��� ����������������������� & '� �� � �) − − − − �0� �

0������������ ���������+���������

������ ��3�� �������� �������&�����'�> restart: f:=(x,y)->x^2*y-y^2*x; fx:=Limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0); fy:=Limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0); fx_p:=subs(x=1,y=1,fx); fy_p:=subs(x=1,y=1,fy);

�*+�� → � ��� � − �.� �

.�

�*+��� = !�� → " 2

− − + � � + � ".� �

.� � + � " �

.� �

.�

"� � � − . � �

�*+��� = !�� → " 2

− − + �.� � + � " � � + � "

.� �

.� �

.�

"� � � − � . �

�*+����� = !�� → " 2

− − � � + $ ".

$ "

"$

�*+����� = !�� → " 2

− + " � � + $ ".

$

"1$

�����������������!������� ������ � ��� �� � %��� � ��� �� � ��� � �� ����� ��� ���������� ����&!�������#����-

Page 4: 4 1 derivadas-parciales_vv

!!�������������������������������� ���

�.�2���� �0(���������� ���� ����-���������*������������+��������-����*����� ����������������� ������ & '� �� � ����� �������> restart: f:=(x,y)->PIECEWISE([m*(abs(x)+abs(y))/sqrt(x^2+y^2),(x,y)<>(0,0)],[n,(x,y)=(0,0)]);

�*+�� → � ��� �

������

# � � + � �

+ �.

�.

≠ � ��� � � ��2 2

� = � ��� � � ��2 2

��+� !�� → ∆ � 2

− � �� � + � ∆ � � � �� �� �

∆ ��+4����2�2��+�� !��

→ ∆ � 2

− � �� � + 2 ∆ � 2 � �� �2 2

∆ ���������+

!�� → ∆ � 2

− # ∆ �

∆ �.

∆ ���+� !��

→ ∆ � 2

− # �

∆ ����+4�

���+�2������ = # �������� = �� ∞����� ≠ # �����5�������� !��������������!�����������������3���� �!���

���� �����������!���� ��!������ �������� ���� ����&������ = # ��������������!� �!������!������� �����

������!�����&�������� ����

0����&�������!��!������� �����������!������������!���"��!���� ��� ������ ��������'���� ���

����� �������� ���������!���!�������������!��������������������������'����� �������

��������������������������� ����������������� ���

����� ��� ����� �������������������)���!������ ���� ��� ��������� ��!��� �����������������

����!�"����� ��!�������!����������������3�!�������������������� ���� ��� ��� �� ����������� ���&!��

� ������������� �����!������&�!������!��������������� ������������� *�� & '� �� � �)��

− − − − − − − − 4 & ' − − − − � 0 0 & ' − − − − � 1 0

> restart: with(plots): with(plottools):

> f:=(x,y)->6-((x-2)^2+(y-3)^2);

�*+�� → � ��� � − − / � � − � ..

� � − � -.

%������������������������������#����� �����������!���&�)�����&������ �� ��������!��������� ����� ������'��'��� ��!����� ���1.�6�3�

6�7%��1.�6���6�/��!��������� ����������!������ ��������!��������������������������!�����������������

&�����!����� ����� ������������������ ������� ��!��

> Superficie:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-2..5,y=-2..6, grid=[30,30],shading=ZHUE, axes=none,linestyle=2, #����,

Page 5: 4 1 derivadas-parciales_vv

orientation=[60,80]): display(Superficie);

'����!��������� ����� �!��'�������� �������� ���!���������� ������������"��������!��������������

!������ ������������ �������������8���!8�����!!���

����������������������������������������������������#�������� �'����� ������!���&�)������ ���!������ ��!���� �!� ����

> Superficie:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-1..5,y=-sqrt(9-(x-2)^2)+3..sqrt(9-(x-2)^2)+3, grid=[40,40],shading=ZHUE, axes=normal,linestyle=2,color=aquamarine, orientation=[-45,80]): Vista_1:=display(Superficie): display(Vista_1);

#����7

Page 6: 4 1 derivadas-parciales_vv

9��������&�!���������������!���!�����!������������������������� ����!��������������������� ��!�

����!����$%"��&�'(��������� ��!��8 � ��)�8���� ��������� � �� ���������� ����������&���!�������������

> Otramanera:=view=[-1..5,0..6,0..12],axes=none,labels=[x,y,z], tickmarks=[5,5,5], orientation=[-45,80]: Superficie:=plot3d([x,y,f(x,y)],x=-1..5,y=-sqrt(9-(x-2)^2)+3..sqrt(9-(x-2)^2)+3, grid=[40,40], style=PATCHNOGRID): display(Superficie,Otramanera,axes=normal);

#����/

Page 7: 4 1 derivadas-parciales_vv

��&���������!�������� �������������� ����� ��� �� ������ ����������&�)����&���!������������������������ ����������������� ������������

�� ����������� ��� ������!�������������������)���!���!��� ����+��-�.�,���� ���������������������

��!��!��������"����!��!� ���� �� �����!��������������������'���� �����

�������5'������������������ ����������������������� �����������������������(������������

���"������!��!� ����������� ��������!��� ���#����!�������������������� ��� ������!�!���!��!� �� = � 2�

����'���!� ������� = � .��

> PX:=plot3d([x,2,z],x=-1..5,z=0..9,linestyle=2,style=wireframe,color=blue):Etiqueta1:=textplot3d([5,2,0,` plano Y = constante`],color =black): display({Superficie,PX,Hx,Etiqueta1},Otramanera,axes=normal); Curva_x:=[x,2,f(x,2)]: Etiqueta:=textplot3d([3,2,4,` A`],color =black): Tra_x:=spacecurve(Curva_x,x=-1..5,axes=none,thickness=2,color=orange,axes=normal): Hx:=spacecurve([x,2,0],x=-2..6,thickness=2,color=red,axes=normal): display({Superficie,Tra_x,Hx,Etiqueta},Otramanera);

#����:

Page 8: 4 1 derivadas-parciales_vv

������ ��� ����������������������&����!��!� �� = � .������!���� ���!��������� ��� ��������� �� ���� �

���'���!� �������"� ���!����� ��� ��!������!����!����������!��� ���������� �!����� ���;���

����� ��������"���!���������� �� ������!����� ���������'���� ���

> plot([x,f(x,2),x=-1..5],view=[-1..5,0..6],labels=[x,z],color=red);

#����<

Page 9: 4 1 derivadas-parciales_vv

> diff(Curva_x,x); Vector_directorx:=subs(x=3,%); Recta_tangente_x:=[3,2,f(3,2)]+t*Vector_directorx; Tangente_x:=spacecurve(evalm(Recta_tangente_x),t=-5..5,axes=normal,thickness=2,color=navy): display({Tra_x,Hx,Tangente_x},Otramanera,Etiqueta,axes=normal);

= >� �$ 2 − + . � ,

�*+��%$���('��%$��� = >� �$ 2 1.

�*+���%$��$��&��$��� + = >� �- . , $ = >� �$ 2 1.

#����?

Page 10: 4 1 derivadas-parciales_vv

�����������������������������������(� − − − − � �,

���)��

− − − − � �,

,��)�

− − − − � �,

��& '��, �,

������������ ��������-���

������������� �������6�������������������7*�)�&������,�������

�&�,��,�'�'���7�����������8�����

> display({Superficie,Tra_x,Hx,Tangente_x,Etiqueta},Otramanera);

� ��%9!�:���(�#����$2

Page 11: 4 1 derivadas-parciales_vv

������&6'���� �������������� ������������������� ���������������� �������6; � ��, �, �,�<������ ��

������������������� ���������������� �� �������)��,

"���=������������������� �����������3�������������������������� ��������������������� ������� ��*�

������

���������������05'����������������� ����������������������� ������������������������(������������

���"������!��!� ���������� ��������!��� �������!���������������������� ��� ������!�!���!��!� ��

= � 2�����'���!� �������!��3�+�-��

> Curva_y:=[3,y,f(3,y)]: Etiqueta1:=textplot3d([3,2,4+1,` A`],color =black): Tra_y:=spacecurve(Curva_y,y=-0..6,axes=none,thickness=2,color=orange): Hy:=spacecurve([3,y,0],y=0..6,axes=none,thickness=2,color=khaki): display({Superficie,Tra_y,Hy},Otramanera,Etiqueta1); diff(Curva_y,y): Vector_directory:=subs(y=2,%): Eq_tangent_y:=[3,2,f(3,2)]+s*Vector_directory: Tangente_y:=spacecurve(evalm(Eq_tangent_y),s=-5..5,axes=none,thickness=2,color=navy): display({Tra_y,Hy,Tangente_y},Otramanera,Etiqueta1); display({Superficie,Tra_y,Hy,Tangente_y,Etiqueta1},Otramanera);

#����$$

Page 12: 4 1 derivadas-parciales_vv

#����$.

Page 13: 4 1 derivadas-parciales_vv

� ��%9!�:��0(�

������&6'���� �������������� ������������������� ���������������� �������6; � ��, �, �,�<������� ��

������������������� ���������������� �� ������)��,

"���=������������������� �����������3�������������������������� ��������������������� ������� ��+�

�����������������������������������(� − − − − � �,

,��)��

− − − − � �,

���)�

− − − − � �,

��& '��, �,

��+����� ��������-���

������������� �������6����������������������)��&�,������������

�&�,��,�'�'���

@ �� �������������

> display({Superficie,Tra_x,Hx,Tangente_x,Tra_y,Hy,Tangente_y,Etiqueta1},Otramanera);

#����$-

Page 14: 4 1 derivadas-parciales_vv

�������0�

� �� ��������������� ���������������� �������6&� � ��, �, �,�'����� �� ����-�����������������=������������������� �������������A�B3��B��C%�������������� �� ����(�

�()���� ��������� = = = = ����

����

��������������������

����

− − − − � �, − − − − � �, − − − − � �,

� , & '���

, � & '���

,

�-���������� �������������������������(���� − − − − � �,�)�� + + + + & '�

�� & ' − − − − � �, & '�

�� & ' − − − − � �,

���������������

�� ����������� ������������� �� ��� ������������������������������������

���� ������������ !"#��� �����������!�������������� !"#���$���� ����� �����$������

���%�������&�'����������������������� �����$�������!������ ��������� �� ��� ����

�����������������������%���������&

�������������� ����� ������������������������ �����$�������"��������������������

������� �����$��&

#����$,

Page 15: 4 1 derivadas-parciales_vv

�� ��!���!��

> Plano_Tangente:=[3,2,f(3,2)]+alpha*Vector_directorx+beta*Vector_directory;

�*+� �����)��&��$� + + = >� �- . , α = >� �$ 2 1. β = >� �2 $ .

B����������"����!��!� ���� �� �����!������������������!��� ������ ��������)���!��

> Plan_tangent:=plot3d(evalm(Plano_Tangente),alpha=-1.15..1.15,beta=-1.15..1.15, style=wireframe,shading=none,grid=[15,15],axes=none, color=black,shading=none,thickness=1): display({Superficie,Tra_x,Hx,Tra_y,Hy,Plan_tangent},Otramanera,orientation=[-19,96]);

�!��!� ���� �� ������&� ���������������&����!������� ����� ��������� ���!*�3�D�E��D���"�D�5�+�2�

> N:=linalg[crossprod](Vector_directorx,Vector_directory); Plano_TANGENTE:=linalg[dotprod](N,[x-3,y-2,z-f(3,2)],'orthogonal')=0;

�*+�* = >� �. 1. $

�*+� �����)*+�*)� = − − + . � / . � � 2

9��� ����� �����������

> pi:=sort(Plano_TANGENTE,[x,y,z]);

�*+�π = − + − . � . � � / 2#����$7

Page 16: 4 1 derivadas-parciales_vv

�������1��

%�������������� ��� ���������������� �������6&� � ��, �, �,�'���� ���������-��������������=��������+���������������������������� ������������� ��� ���������������6�(���

������� ������������� (���7��)����

����

����

����������������

����

� � �

� , & '���

, � & '���

(������!���� ���!��

> Vec_normal:= arrow([3,2,f(3,2)],[3/4,-6/4,3/4],N,.4, 1.8, .3,color=navy):

> display({Superficie,Tra_x,Hx,Tra_y,Plan_tangent,Vec_normal}, Otramanera, orientation=[-19,96]);

#���� ��!����������� ����!�����'���������&!����!����!������!���� ����� ���

> display({Superficie,Tra_x,Hx,Tra_y,Plan_tangent,Vec_normal}, Otramanera, orientation=[25,100], scaling=constrained);

#����$/

Page 17: 4 1 derivadas-parciales_vv

'����'��������)���!�����&���!���3�!������

�8��������

���������� ����������� �� ��������������� �����������3�)�� + + + + 0 �0 � � �0������ �������#�)�

&������'�

> restart:with(linalg): f:=(x,y)->2*x^2*y +x*y^2; print(`DERIVADAS PARCIALES y su valor en (-1,1)`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fx_p:=D[1](f)(-1,1); fy_p:=D[2](f)(-1,1); P_T:=matrix([[X+1,Y-1,Z-1],[1,0,fx_p],[0,1,fy_p]]); print("PLANO TANGENTE por P: ",det(P_T), " = 0");

Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

�*+�� → � ��� � + . �.� � �

.

������� ����������������������,����

�*+��� → � ��� � + , � � �.

�*+��� → � ��� � + . �.

. � �

�*+����� 1-#����$:

Page 18: 4 1 derivadas-parciales_vv

�*+����� 2

�*+� �)

����

+ - $ − . $ − / $

$ 2 1-

2 $ 2

� �8#�;9��;F�;�������#*���8 + + - - . / 8�+��28

�8������0�

���������� ������������ ������������� ��� �����������3�)� − − − − + + + + + + + + �1 1 �0 � 1 � �0 �

1������ �������#�)&������4'�

> restart:with(linalg): f:=(x,y)->x^3-3*x^2*y+3*x*y^2+y^3; print(`DERIVADAS PARCIALES y su valor en (-1,1)`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fx_p:=D[1](f)(-1,1); fy_p:=D[2](f)(-1,1); V_N:=matrix([[i,j,k],[1,0,fx_p],[0,1,fy_p]]); print("Vector normal por P: ",det(V_N)); print("La recta normal es la que pasa por (-1,1,-6) y tiene la dirección: ",det(V_N));

Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

�*+�� → � ��� � − + + �-

- �.� - � �

.�-

������� ����������������������,����

�*+��� → � ��� � − + - �.

/ � � - �.

�*+��� → � ��� � − + + - �.

/ � � - �.

�*+����� $.

�*+����� 1/

�*+��*

����

' 0 1

$ 2 $.

2 $ 1/

�8B������ ����!�����#*���8 − + + $. ' / 0 1

�8��������� ����!����!����������������1$�$�1/�������� ��!���������� *�8 − + + $. ' / 0 1

���������&����������*� + - $

−$.�+�

− . $

/�+�

− / .

$�

#����$<

Page 19: 4 1 derivadas-parciales_vv

�8������1�

���������� ������������� ������������3�)� + + + + − − − − − − − − − − − − �0�0� � � � 0 ������� ���-���� �� ����

�����������(

6�'���#��� � ��� �� �����*��+�>�3��)���

?�'���@��3���� �

> restart:with(linalg): f:=(x,y)->x^2+y^2-x*y-4*x-2*y ; print(`DERIVADAS PARCIALES y su valor en (a,b)`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fx_p:=D[1](f)(a,b); fy_p:=D[2](f)(a,b); V_N:=matrix([[i,j,k],[1,0,fx_p],[0,1,fy_p]]); print("Vector normal por P: ",det(V_N));

Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

�*+�� → � ��� � + − − − �.

�.

� � , � . �

������� ������������������������2�

�*+��� → � ��� � − − . � � ,

�*+��� → � ��� � − − . � � .

�*+����� − − . � 2 ,

�*+����� − − . 2 � .

�*+��*

����

' 0 1

$ 2 − − . � 2 ,

2 $ − − . 2 � .

�8B������ ����!�����#*���8 − + − + + + , ' . ' � ' 2 . 0 2 0 � . 0 1

�!� ������ ����!���!������������������ ��� ����� ����������2����*���B �+�� − + , . � 2���� + − . � . 2��$�

��

��������&����������!�!���!��!� ���3�1���D"��+��$����B ���&����������!�!����B�+���$���1$��$�� ������ ����!�

��������!� �������+4��

− + , . � 2

$�+�

+ − . � . 2

−$�+��

$

$����6+4���− + . � 2�+�1-���� − � . 2�+�1-����������������� ��������!���� �

�+�-����&�+�1��-��������� �!��������� ����������������!��� ��

�#�+�� �- −-���� �- -������������!��� �����������!��!����� ����� �����!���������

#����$?

Page 20: 4 1 derivadas-parciales_vv

&�������'������&������'���"� ��!����������!�!���!��!� �� = � 2���!�������&�������!��*��− + . � 2�+�1,���

= − � . 2 −.��+4���+�$2

-������&�+�

<

-���+4�

G�+�� � �$2

-

<

-

���� �

$2

-

<

-���

�8��������

�� �� ���� ��� ������ ����������������� ������ ��������� = = = = & '� �� � � � ����� �������6)&��,'�> restart: f:=(x,y)->x*abs(y); fx:=Limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0); fy:=Limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0); fx_p:=subs(x=1,y=0,fx); fy_p:=Limit(abs(h)/h,h=0);

�*+�� → � ��� � � �

�*+��� = !�� → " 2

− � � + � " � � �

"�

�*+��� = !�� → " 2

− � + � " � �

"��(��'��(

�*+����� = !�� → " 2

− � � + $ " 2 2

"2

�*+����� !�� → " 2

"

"

����&��� ������!������ ���������������3��3������� �!��2�� ��!��� ������ ����&���!������ ����

������������� ���3�����������������!�!������ �!��1$�����!���"����������D$�����!�������'��

�8������A�

�� �� ���� ��� ������ ����������������� ������ = = = = & '� �� � & ' + + + + �0�0

����

����

����

������������

1

0���������������� -�����

��������� �������+����� ����������������������> f:=(x,y)->(x^2+y^2)^(3/2) ; print(`DERIVADAS PARCIALES y su valor en (a,b) distinto del origen.`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fx_p:=D[1](f)(a,b); fy_p:=D[2](f)(a,b);

#����.2

Page 21: 4 1 derivadas-parciales_vv

�*+�� → � ��� � � � + �.

�.

� � / - .

������� ������������������������2��('�$'�$��(�����'&��3

�*+��� → � ��� � - + �.

�.�

�*+��� → � ��� � - + �.

�.�

�*+����� - + �.

2.�

�*+����� - + �.

2.2

> Fx:=Limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0); Fy:=Limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0); Fx_p:=subs(x=0,y=0,Fx); Fy_p:=subs(x=0,y=0,Fy);

�*+�4� = !�� → " 2

− � � + � � + � ".

�.

� � / - .

� � + �.

�.

� � / - .

"- + �

.�.�

�*+�4� = !�� → " 2

− � � + �.

� � + � ".

� � / - .

� � + �.

�.

� � / - .

"- + �

.�.�

�*+�4��� = !�� → " 2

� �".

� � / - .

"2

�*+�4��� = !�� → " 2

� �".

� � / - .

"2

�8������4�

�� �� ���� �� ���������������� ����������� = = = = � + + + + �0�0 ������#�)�&��,'�

@���!������ ���� ��������!��!���!������� �����������!����

> f:=(x,y)->sqrt(x^2+y^2); fx:=Limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x+h,y)-f(x,y))/h,h=0); fy:=Limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0)=limit((f(x,y+h)-f(x,y))/h,h=0); fx_p:=subs(x=1,y=0,fx); fy_p:=subs(x=1,y=0,fy);

�*+�� → � ��� � + �.

�.

�*+��� = !�� → " 2

− + + + �.

. � " ".

�. + �

.�.

"

+ �.

�.

#����.$

Page 22: 4 1 derivadas-parciales_vv

�*+��� = !�� → " 2

− + + + �.

�.

. � " ". + �

.�.

"

+ �.

�.

�*+����� = !�� → " 2

− + + $ . " ".

$

"$

�*+����� = !�� → " 2

− + $ ".

$

"2

> z0:=subs(x=1,y=0,f(x,y)); Z-z0=1*(X-1)+0*(Y-0); X=Z;

�*+��� $

= − / $ − - $

= - /

� ���!���� ��� �!��� $6��/# 2$6�$�������� ���������*

��������������-������ ����8��� ������� ���-���=���������� �� ������ �� �������������� �������������������������������������� ���+����� �������� �������������=� �������� ���� ���������������������������������� ��8��� �������������������������� ���������%���������-������������������� ������ ���������������� �������� -������������������� �&,�,'�+����� �����������&,��'�� �� ��������������*����+����� ��� �� �������������&,�,'�� ����������������� ������������� ����������������-������������� ��������������������������������������� ������������� ������� ��

�8������B�

�� �� ��� ������������� ������������������� ���������������������� �������������

= = = = & '� �� � + + + + �0�0�C�� = = = = & '� �� � + + + + � � �

0������ �������#�&����0'�> restart:with(linalg): f:=(x,y)->x^2+y^2 ; g:=(x,y)->1+y*x^2 ; print(`DERIVADAS PARCIALESde f , su valor en P y plano tangente en P`); fx:=D[1](f); fy:=D[2](f); fx_p:=D[1](f)(1,1); fy_p:=D[2](f)(1,1); z-2=fx_p*(x-1)+fy_p*(y-1); print(`DERIVADAS PARCIALESde g y su valor en P y plano tangente por P`); gx:=D[1](g); gy:=D[2](g); gx_p:=D[1](g)(1,1); gy_p:=D[2](g)(1,1); z-2=gx_p*(x-1)+gy_p*(y-1);

#����..

Page 23: 4 1 derivadas-parciales_vv

Warning, new definition for normWarning, new definition for trace

�*+�� → � ��� � + �.

�.

�*+�& → � ��� � + $ � �.

������� ������(������������������ ���������$��&��$�����

�*+��� → � ��� � . �

�*+��� → � ��� � . �

�*+����� .

�*+����� .

= − � . − + . � , . �

������� ������(��&��������������� ���������$��&��$������

�*+�&� → � ��� � . � �

�*+�&� → � ��� � �.

�*+�&��� .

�*+�&��� $

= − � . − + . � - �

�����!� ����� �� ������ *����#���*�� = + − . � . � � .%���#���*� = + − . � � � $��������������!��������

��!����������� �� �����!����� ��� ��������� ����!����������������!������� �����&��������� ���&���

�!� ����� �� ����!�������� �����������������&�������!� ������������ �!���!��� �������� ����!������

!���������!� ����� �� ���*

> V_N:=matrix([[i,j,k],[2,2,-1],[2,1,-1]]); print("Vector direccion de la recta buscada ",det(V_N)), " por P(1,1,2)";

�*+��*

����

' 0 1

. . 1$

. $ 1$

�8B�������������� ����!��������&����������8 − − ' . 1

8�����#�$�$�.�8

���������&����������*�� − � $

−$��+�

− � $

2�+��

− � .

−.

����������+��������������� ���

%���*���������� ����������������� ������������3�� ��������������� ���������

�� �����!���� �� ����������� �����!������������ ������!���� ��� �� �������!����� ������!�

� ��� ���!������� �����������!�����!������ �� ���!������������ ������!���� ��� �� �����

�������� ����� ������������!���� ����������&!������!���� ��� ��� ������� �����������!���� ��� ����

�� ��� �������� �� ����

#����8��� ��!���� ��� �*#����.-

Page 24: 4 1 derivadas-parciales_vv

= � �� �� $������ ≠ � � 2

����3��+$����� = � � 2

�!����� ��� ������� �� ���� ��2�2������ ���&�����!������� �����������!����3���� *� = � ��� �2 2 2��%��

= � ��� �2 2 2�

������ ������������� ��-������������ ����������������������������� ���

H�;

#����.,