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群環体
実験数学 3(大阪大学理学部数学科 3年・4年)
第 4回: 有限体
鈴木 譲
大阪大学
2013年 5月 9日
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 4 回: 有限体
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群環体
群 (G , ◦)
集合 G が演算 ◦で閉じていて、
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1 結合法則: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), a, b, c ∈ G
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2 単位元 e ∈ G が存在: a ◦ e = e ◦ a = a, a ∈ G
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3 各 a ∈ G について、逆元が存在: a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e
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(G , ◦)が可換群
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演算 ◦について、交換法則: a ◦ b = b ◦ a, a, b ∈ G
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 4 回: 有限体
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群環体
環 (R ,+, ·)
集合 R が演算+, ·で閉じていて、
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1 (R,+)が可換群: a+ b = b + a, a, b ∈ R
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2 演算 ·について結合法則: (a · b) · c = a · (b · c), a, b, c ∈ R
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3 演算 (+, ·)について分配法則:
a · (b + c) = a · b + a · c , a, b, c ∈ R
(a+ b) · c = a · c + b · c , a, b, c ∈ R
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群環体
環の例
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1 Z
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2 実数 Rを係数とする 1変数 x の多項式の集合 R[x ]
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3 2× 2の実数成分の行列の集合
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 4 回: 有限体
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群環体
体 (K ,+, ·)
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1 (K ,+, ·)が環
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2 演算 ·の単位元 1が存在: a · 1 = 1 · a = a, a ∈ K
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3 演算 +の単位元 0以外の各要素に、演算 ·の逆元が存在:0 = a ∈ K =⇒ ∃a−1 s.t. a · a−1 = 1
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群環体
体の例
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1 Q, R, C
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2 Q+Q√2
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群環体
有限体 Fp
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体 K が有限体
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K が有限個の元をもつ
Fp := {0, 1, · · · , p − 1}
+, ·として、mod pの加法、乗法
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pが素数⇐⇒ Fp は体
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1 (a, p) = 1 ⇐⇒ a · a−1 + pk = 1なる (a−1, k)が存在⇐⇒ a · a−1 ≡ 1 mod pなる a−1 が存在
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2 pが素数⇐⇒ (a, p) = 1, a ∈ {1, · · · , p − 1}
p: 素数
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 4 回: 有限体
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群環体
Fpでない有限体の例
F2 = {0, 1} ⇒ 0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 · 1 = 1x2 + x + 1 = 0の根を αとして、α2 + α+ 1 = 0の根を αとすると、α ∈ F2 (1+1=0)の拡大 F22 = {0, 1, α, α+ 1}は、体になる
+ 0 1 α α+ 1
0 0 1 α α+ 11 1 0 α+ 1 αα α α+ 1 0 1
α+ 1 α+ 1 α 1 0
· 1 α α+ 1
1 1 α α+ 1α α α+ 1 1
α+ 1 α+ 1 1 α
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群環体
参考
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1 Fq が体 ⇐⇒ q = pm となる素数 pと正整数 mが存在
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2 すべての体は、以下のいずれかを拡大したものになる
Qを拡大したもの (標数 0)p を素数として、Fp を拡大したもの (標数 p)
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群環体
Mobius関数 µ : Z+ → {0, 1,−1}
µ(n) = 0 (nが平方数で割り切れるとき)µ(n) = (−1)k (nが相異なる k 個の素因数に分解されるとき)
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f , g : Z+ → ZのDirechlet積 f ◦ g
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f ◦ g(n) :=∑
d1d2=n f (d1)g(d2)
結合法則:
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h =∑
d1d2d3=n
f (d1)g(d2)h(d3)
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Mobius変換
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f : Z+ → Z,F (n) =∑
d |n f (d) =⇒ f (n) =∑
d |n µ(d)F (n/d)
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群環体
I (1) := 1, I (n) := 0 (n ≥ 2), J(n) := 1 (n ≥ 1)とおくと、
F (n) = J ◦ f (n) = f ◦ J(n) =∑d |n
f (d) (1)
f ◦ I (n) = f (n) (2)
他方、J ◦ µ(1) = µ(1)J(1) = 1。n =∏r
i=1 peii ≥ 2 (ei ≥ 1)では、
J ◦ µ(n) =∑d |n
µ(d) =∑
(e1,··· ,er )∈{0,1}rµ(pe11 · · · perr )
= 1− r +
(r2
)−
(r3
)+ · · ·+ (−1)r = (1− 1)r = 0
より、J ◦ µ = I。これと、(1)(2)および結合法則より、
F ◦ µ = (f ◦ J) ◦ µ = f ◦ (J ◦ µ) = f ◦ I = f
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群環体
f (x) ∈ K [x ]の次数が nであれば、体K の解が高々n個
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1 n = 1であれば、自明。
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2 n − 1次で正しいとする。
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1 次数 nの fn が解をもたなければ、証明終わり。
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2 fn(α) = 0, α ∈ K のとき、fn(x) = fn−1(x)(x − α)とおくと、他の任意の解は、fn−1(x) = 0の解。
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3 次数 n − 1の fn−1 は高々n − 1個の解しかもたなかった (n − 1次での仮定)ので、fn は高々n個の解しかもたない
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群環体
d |p − 1のとき、xd − 1 ≡ 0 (mod p)は d 個の解
dd ′ = p − 1であれば、
xp−1 − 1
xd − 1=
(xd)d′ − 1
xd − 1= (xd)d
′−1+(xd)d′−2+· · ·+xd+1 = g(x)
xp−1 − 1 = (xd − 1)g(x)
Fp[x ]の元と見ても、この因数分解は可能 (係数が±1, 0のみ)。
Fermatの小定理より、xp−1 ≡ 1(mod p)は x = 1, · · · , p − 1(modp)の p − 1個の異なる解をもつので、xd − 1 = 0の解はすべて異なっていなければならない。
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群環体
n =∑
d |n ϕ(d)
1
n,2
n, · · · , n − 1
n,n
nを約分
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1 分母が d の分子 (互いに素)が ϕ(d)個
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2 分母は、nの約数
例:
{ 1
12,2
12,3
12,4
12,5
12,6
12,7
12,8
12,9
12,10
12,11
12,12
12}
= { 1
12,1
6,1
4,1
3,5
12,1
2,7
12,2
3,3
4,5
6,11
12, 1}
= { 1
12,5
12,7
12,11
12} ∪ {1
6,5
6} ∪ {1
4,3
4} ∪ {1
3,2
3} ∪ {1
2} ∪ {1}
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群環体
F∗pに位数 p − 1の元 (原始元)が存在
d |p − 1のとき、xd − 1 = 0(mod p)の d 個の元の集合は、群をなす
Mobius変換より、ψ(d)を位数 d の元の個数として、
n =∑d|n
ϕ(d) =⇒ ϕ(n) =∑d|n
µ(d)n
d
n =∑d|n
ψ(d) =⇒ ψ(n) =∑d|n
µ(d)n
d
一般に ψ(n) = ϕ(n)。特に、p > 2で、ψ(p − 1) = ϕ(p − 1) > 1。
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実験数学 3, (大阪大学理学部数学科 3 年・4 年), 第 4 回: 有限体 .
