1

4. Automi temporizzati

Il comportamento dei sistemi ad eventi temporizzati non è definito semplicemente da una sequenza di eventi o di valori dello stato, ma a questi bisogna associare una temporizzazione.

Esistono diversi formalismi:

• automi temporizzati

• catene di Markov

• reti di code

• reti di Petri temporizzate

• algebra max-plus

• simulazione ad eventi discreti

2

Automi: modello logico

Definizione: Un automa finito deterministico (AFD) è una 5-upla G=(X,E,,x0,Xm) dove:

• X è un insieme finito di stati;

• E è un insieme finito di eventi (alfabeto);

• : X E X è la funzione di transizione;

• x0 X è lo stato iniziale;

• Xm X è l’insieme di stati finali.

(x,e) è lo stato raggiunto quando si verifica l’evento e a partire dallo stato x.

3

Esempio:

x0 x1 x2

a

d

b

d

c

a b c dx0 x1

x1 x2 x0

x2 x2 x0

x0: m. spenta

x1: m. accesa

x2: in avviamento

a: accensione

b: predisposizione

c: lavorazione

d: spegnimentoPossibile evoluzione:

2

c

2

c

2

b

1

a

0 x x x x x w = abcc parola

x0: stato iniziale e finale

4

• Ad ogni AFD è possibile associare un linguaggio generato e un linguaggio

accettato (o marcato)

• Le proprietà fondamentali degli automi sono:

la raggiungibilità

la reversibilità

la vivezza• Esiste poi un altro modello di SED che può essere visto come una

generalizzazione degli AFD, ossia gli automi finiti non deterministici (AFN)

5

Esempio di AFN:

x0

x1

x2

x3 x4

a

aa

a

abb b

b

Vi sono:

• transizioni etichettate con la parola vuota

• più transizioni uscenti dallo stesso nodo e aventi la stessa etichetta

6

Automi temporizzati

Quando si studiano i sistemi temporizzati non si specifica più l’insieme degli stati finali Xm.

Un automa viene definito come una 4-upla G=(X,E,,x0)

È necessario definire una struttura di temporizzazionePer ogni evento si specifica il ritardo di attivazione (intervallo di tempo in cui l’evento deve rimanere abilitato prima di potersi verificare). Questo può essere deterministico o stocastico.

deterministici stocastici

automi temporizzati

7

Automi temporizzati deterministici

Ad ogni evento e è associato:

• un insieme ordinato di numeri reali non negativi e = {e,1, e,2, … } dove e,k rappresenta il k-esimo

ritardo di attivazione di e;

• un contatore di attivazione e che indica il numero di volte in cui e è stato attivato e che permette di individuare in maniera univoca il ritardo di attivazione attuale del generico evento e.

In ogni istante di tempo t possiamo scrivere la seguente relazione

8

e(t) + oe(t) = e

• e(t): tempo di attivazione di e

• oe(t): orologio o tempo residuo

• e: ritardo di attivazione attuale di e

tk tk+1t

e(t) oe(t)

e

istante di tempo in cui e è stato abilitato l’ultima volta

istante in cui è previsto il prossimo accadimento di e

9

Definizione formale: Un automa temporizzato deterministico è una 5-upla Gd=(X,E,,x0,) dove G=(X,E,,x0) è definito come visto prima e è la struttura deterministica di orologio.

L’evoluzione temporale di un automa deterministico temporizzato dipende dalla particolare politica di aggiornamento dell’orologio

memoria di abilitazione

memoria totale

10

Memoria di abilitazione: l’orologio associato ad un evento viene aggiornato ogni volta che esso viene abilitato una nuova volta.

Non si distingue il fatto che un evento sia stato disabilitato perché si è verificato, dal caso in cui è divenuto tale da non potersi verificare.

Nel sistema rimane traccia solo del numero di volte in cui ogni evento è stato abilitato.

11

Memoria totale: prevede che ogni volta che un evento viene disabilitato senza essersi verificato, si tenga comunque traccia del tempo in cui è rimasto abilitato.

Nel sistema rimane traccia sia del numero di volte in cui ogni evento è stato abilitato sia di quanto tempo tale evento è rimasto abilitato.

12

Esempio: supponiamo che il generico evento e rappresenti l’esecuzione di una certa lavorazione da parte di un robot.

Il ritardo ad esso associato rappresenta quindi il tempo richiesto per tale lavorazione.

Nel caso di memoria di abilitazione stiamo implicitamente supponendo che la lavorazione può venire completata solo se eseguita consecutivamente per un tempo pari al ritardo di attivazione attuale.

Nel caso di abilitazione totale stiamo invece ammettendo che la lavorazione possa essere eseguita in intervalli di tempo disgiunti, purché complessivamente duri un tempo pari al suo ritardo attuale di abilitazione.

13

1. All’istante iniziale si assuma:

e = 1, oe= e,1 se e A(x0);

e = 0 e oe indefinito se e A(x0);

dove A(x) indica in generale l’insieme degli eventi abilitati dallo stato x.

2. Si determini a quale evento, tra quelli abilitati corrisponde il tempo residuo

inferiore:

Sia

Evoluzione temporale (memoria di abilitazione)

eA(x)e

ominarge'

eA(x)e

omino

*

14

3. Una volta trascorso un tempo pari a o*, si verifica l’evento e’ portando il sistema in un

nuovo stato x’ :

4. Si aggiornano i valori degli orologi e dei ritardi di attivazione come segue:

)e'δ(x,x'

altrimentio

)A(x'eA(x),eoe'eseθ)A(x'eA(x),eee'eseoo

o

e

1eυ e,

*e

e '

altrimentiυ)A(x'eA(x),eoeese1υυ

e

ee

''

5. Si torni al passo 2. Si pone x=x’.

15

Evoluzione temporale (memoria totale)

L’algoritmo per il calcolo dell’evoluzione temporale differisce da quello relativo alla politica di abilitazione per il solo aggiornamento del valore di orologio al passo 4 :

altrimentio

e'eseθA(x)eee'eseoo

o

e

1eυ e,

*e

e '

16

Osservazione: Ovviamente può succedere che

non sia unico. Perché l’evoluzione sia deterministica è necessario definire una priorità tra gli eventi.

Esempio

Si veda l’esercitazione n2.

eA(x)e

ominarg

17

Automi temporizzati stocastici

Gli orologi non sono noti come sequenze di numeri reali, ma sono variabili aleatorie di cui si conoscono le funzioni di distribuzione.

Definizione: La struttura di orologio stocastica associata all’insieme degli eventi E è l’insieme di funzioni di distribuzione = {e : eE} dove e è la funzione di distribuzione di probabilità da cui vengono estratti i valori delle v.a. che costituiscono i ritardi di attivazione e,k.

Definizione: Un automa temporizzato stocastico è una 5-upla Gs=(X,E,,x0,) dove G=(X,E,,x0) è definito come visto prima e = {e : eE} è la struttura stocastica di orologio.

18

Proprietà: nel caso in cui i ritardi di attivazione degli eventi sono v.a. a distribuzione esponenziale, la sequenza degli stati che si ottiene dall’evoluzione del corrispondente automa stocastico è un processo stocastico markoviano.

Proprietà: la sequenza di stati che si ottiene dall’evoluzione di un automa stocastico è un processo processo semi- markoviano generalizzato (PSMG)