-
文化固然不
行的郵票，
媒介，使得
更多閱讀的
數學的起源
五千年前的
一是為了記
自從有文字
目前所知最
食物配給量
在遺留
內容主要是
能已經知道
的邊長不必
專指滿足 a泥板上記載
數，但是當
蘇美泥
劃分出來的
獨立的國中
的總統就職
畢氏三
書寫遺跡「
的粗糙頁面
Mathematic教材。
為了記
算術。至於
每當河水氾
1
本文之初稿
不等於歷史
，敘說數學發
得歷史有機
的樂趣。1
源
的美索不達
記帳；既然書
字以來，就
最老的一批
量 [1]，所以
留的泥板之
是以蘇美人
道畢氏定理
必為正整數2 2 2a b c
載著最大值
當時的蘇美
泥板的郵票
的許多種族
中國：賴索托
職典禮。Ve
三數組不僅
「埃及草紙
面，可在其
cal Papyrus
記帳、發餉和
於幾何測量
氾濫過後，得
稿發表於〈高
4 看史，但我們難
發展的歷史
會跟地理發
達米亞文明創
書寫是為了
就有數字。這
批書寫遺跡。
以說它是帳
之中，有些可
人的數字系統
理，用現代的
數，例如 1、
且最大公因
值超過十萬的
美人應該還不
票是由 Venda族自治邦 (B
托和史瓦濟
enda 原本在
僅出現在美索
」上。草紙
其上書寫。這
s) 的一部分
和稅收，我
量呢，按照目
得按照土地
高中數學學科中
看郵票說
難免要在歷史
史梗概。因為
發生連結，
創造了文字
了記帳，當然
這張郵票呈
。這塊泥板
帳本。
可能是培訓書
統做加、減
的話來說就是
1、 2 亦可
因數為 1 的
的畢氏三數
不知道 [2]
a 南非自治Bantustan) 之濟蘭。史瓦濟
在史瓦濟蘭的
索不達米亞
紙是古埃及人
這張郵票呈
分，內容也是
我們可以理解
目前的推論
地權狀所載
中心電子報〉
說數學大
史中探尋文
為郵票是某
同時也因為
字，而文字最
然就少不了數
呈現一塊蘇美
板可能紀錄著
書記或稅務
、乘法的計
是直角三角
可組成直角
三個正整數
數。現在我們
。既然知道
治邦發行的；
之一，現在
濟蘭是臺灣
的北方。
亞的泥板上，
人用一種像
呈現了史稱萊
是畢式三數
解巴比倫和
論是因為他們
的持分重新
第 128 期，
大歷史（上
文化的脈絡
某地發行的
為郵票有「言
最初的功能
數字。因此
美泥板，那
著某個單位
務官吏的教材
計算，也就是
角形的兩股平
角三角形的三
數 a、b 和 c
們知道一套公
道畢氏定理
它是南非還
在已經合併成
灣的少數邦交
，也寫在第二
像蘆葦的植物
萊因數學草
數組，而用途
和埃及的部分
們都居住在
新規劃；有效
民國 106 年 1
上）
。現在我們
，所以採用
言」簡意賅
能之
此，
那是
位的
材，有些可
是算術；但
平方和等於
三邊長，但
c，例如 (3
公式，可以
，蘇美人想
還在施行種
成一個國家
交國之一，
二批古老的
物壓製而成
草紙 (Rhind 途也可能是
分官吏要學
在大河流域
效治理的政
11 月。
們將要藉著世
用郵票作為展
賅的圖畫，所
可能是他們寫
但這些泥板顯
於斜邊的平
但是所謂畢氏
3,4,5)、(5,1
以產生無窮多
想必也懂一些
種族隔離制度
家：南非，只
其國王曾出
的
成
是
學
，
政
世界各地發
展現歷史的
所以提供了
寫的作業。
顯示當時可
方。三角形
氏三數組則
2,13) 等；
多組畢氏三
些幾何。
度的時候，
只留下兩個
出席馬英九
發
的
了
可
形
則
三
個
九
-
權當然要能
人遺留的金
因為直角三
定理的實際
前面兩
家雖然還說
習之後，帶
第二枚
國被分割成
可以射殺想
西兩德統一
無三不聯合共和國
的聯邦，敘
字自稱了將
UAR 這個名
這枚郵名古埃及的
管理的實際
源於實際的
至於數
埃及草紙記
裡的埃及書
超過工作的
枯燥了。
許多人
後，經常會
擔的農人發
球員用頭頂
了將原子筆
良性的競爭
鍊而生。
我們想
並非工作所
的數學，可
能夠正確而
金字塔，顯示
三角形是測
際應用，所
兩枚郵票的
說「畢氏」定
帶回希臘形
枚郵票的發
成東、西兩
想要翻牆出
一成一個國
不成禮，再
國 (UAR) 是敘利亞在三年
將近十年，
名字就在國
郵票是搭配
的書記官吏
際需要，各個
的需求，而
數學是如何
記載了一些
書記人員，成
的需求，但是
人相信，凡生
會發展沒有實
發展了竹竿
頂持球，籃球
筆旋轉於指
爭就使得它
想像埃及草
所需，而是這
可能都是沿
而令人信服地
示他們的測
測量技術的基
所以它們會出
的蘇美泥板和
定理，但並
形成他的學派
發行國家也不
塊，前述這
去的人；它
國家：德國。
看一枚「不
是衝著以色
年之後就脫
直到換了另
國際社會中消
配埃及的科學
吏正在清點穀
個古文明的
而它們就是形
何突破立即實
些看來沒有實
成天做著大
是在制式的
生而為人者
實用價值的
竿舞，馴養牛
球員用一根
節之間的遊
它脫離實用的
草紙上的不實
這一小群人
這條脈絡發
地重劃土地
測量能力遠高
基礎，畢氏定
出現在古文
和埃及草紙
並不認為它是
派而傳遞下
不存在了：德
這個「民主
它俗稱東德
。
不存在」國家
色列復國而由
脫離了，但埃
另一名政治
消失了。
學計算中心
穀物，而隱喻
的情況應該
形成「數學
實用的需求
實用價值的
大量而冗長的
的工作中並無
者，皆有創造
的延伸，通常
牛馬的牧人發
根手指支起旋
遊戲。當這些
的需要而精
實用問題，就
人的樂趣，甚
發展的：伴隨
地，分配給各
高於劃分土
定理是直角
文明的官吏教
紙都是大英博
是希臘人畢
下來的。
德意志民主
」共和國曾
德。當著名的
家的郵票吧
由埃及和敘
埃及還繼續
強人之後才
心發行的，畫
喻著需要大
都相似，亦
學」的兩大最
求，而發展純
的「難題」，
的計算，他
無發揮的機
造的本能。
常成了遊戲
發展了摔角
旋轉的球，
些遊戲流傳
精益求精。廣
就是熟稔計
甚至可能是
隨著文字誕
各路諸侯。據
土地的需求
角三角形的根
教材上。
博物館的收
畢達哥拉斯發
主共和國。第
曾經在它的邊
的「柏林圍
吧：阿拉伯
敘利亞成立
續以這個名
才結束，而
畫面顯示兩
大量的計算
亦即：數字伴
最古老支系
純理論的呢
引人遐想一
他們的計算能
機會，逐漸地
當人們因為
戲，有時候誕
角，調製雞尾
，就連幾乎每
傳於一群人
廣義而言的
計算的書記
是他們之間名
誕生，從實用
據說這就是
，也顯示他們
根本性質，
收藏。因為這
發現的，而
第二次世界
邊界築起一
圍牆」在 198
。可見算術
伴隨文字而
系。
？這個問題
一種可能的
能力和對於
地，工作就
為工作需求
誕生了藝術
尾酒的酒保
每個中學生
之間，難免
的「藝術」，
官之間的遊
名譽地位的
用發展成遊
是幾何學的濫
們有「量天
畢氏三數組
這些考古證
而是他在中亞
界大戰之後
一道圍牆，駐
89 年倒塌之
術和幾何都出
而生，算術與
題已經無從
的境況。想像
於數與幾何的
就因為不斷重
求而熟稔了一
術。例如中國
保發展了拋瓶
生，也都或多
免相互較量或
也就這樣從
遊戲。解決這
的參照。世界
遊戲或藝術
濫觴。埃及
天」的能力。
組則是畢氏
據，現在大
亞或埃及學
，戰敗的德
駐守的衛兵
之後，東、
出自於社會
與幾何皆起
考據了。但
像上面圖畫
的認識早就
重複而變得
一種技術之
國北方挑扁
瓶特技，足
多或少發展
或挑戰，而
從生活中精
這些問題，
界各支文明
，並逐漸精
及
氏
大
學
德
兵
會
起
但
畫
就
得
之
扁
足
展
而
精
明
精
-
煉出風格各
中國
古文明都會
不該用「後
認為圓面積
明白 3.125
所謂圓
（2r 表示直的固定倍數
圓周率的概
中國可
圓周率的概
計值的程序
頁面，山東
積等於以半
圓面積的數
上可辨識七
以如今我們
劉徽大尼西亞發行
無法顯示的
島上的某些
丁名字 Mic水清澈，觀
像劉徽裡零星地曇
的古文明差
而言，中國
遠颺。
古希臘
前面已經說
氏與印度的
各異但內容
會遭遇計算
後見之明」認
積是半徑平
是圓周率的
圓周率，通
直徑），這句
數」之概念
概念。以上
可能在秦漢
概念穩固，
序，該程序
東人劉徽以
半周與半徑
數值就是圓
七和二十二
們知道劉徽
大約生在曹
行的，他們
的小島所組
些原住民族
cronesia 當觀光客可以
徽這樣重視
曇花乍現，沒
差不多都是
國數學比較不
說過畢氏定
的悉達多（
容相通的數學
算圓面積和圓
認定圓面積
平方的三又八
的估計值而
通常記作 ，句話是有語
念，還得要認
上兩項認知
漢兩代形成了
還以逼近觀
序如今稱為割
以割圓術證明
徑為邊的長方
圓周率，因此
二兩個數字，
徽的估計準到
曹丕篡漢之後
把「劉」的
組成的國家，
族可能是七千
當然也是西方
以從海面直視
視「證明」的
沒有形成主
是這樣，有些
不傾向神秘
定理，想必讀
釋迦牟尼）
學。所謂世
圓周長的問
積和圓周長的
八分之一倍
而非確值。
，是指圓周
語病的，其實
認知圓周率
，並不容易
了圓周率概
觀念，提出
割圓術。右
明了《九章
方形面積 (意
此割圓術又
，它說的是
到百分位。
後，而且他經
的拼音誤植為
領海範圍放
千年前從臺
方人取的，
視二十公尺
的數學風格
主流。人們常
些文化賦予數
秘，而同樣具
讀者都知道
） 和中國的
世界各支文明
問題，也遲早
的關聯在於
倍，並不等於
長對直徑的
實那是圓周
率是一個「不
易達到。
概念，至晚到
出一套可以獲
右圖這枚郵票
章算術》宣告
意即1 (22
r
又是估計圓周
227
。因
經歷了司馬
為 LUI。麥放得下六十
臺灣擴散出去
意思就是微
尺以下的二戰
，在中國是
常說中國的
數學更多的
具有濃厚神
道這位著名的
的孔丘（孔
明，當然包
早要發現這
於圓周率。例
於古巴比倫人
的比值。人
周率的「定義
不確知是多
到了魏晉之
獲得越來越
票便是割圓
告的一個定
)r r )。當半
周率的算法
因為13 3.7
馬炎篡魏的政
麥克羅尼西亞
十五個臺灣，
去的。這個現
微小的島。此
戰沉船跟戰
是個異類。像
的數學注重實
的神秘色彩
神秘色彩的印
的古希臘哲
孔子）幾乎是
包括中國。
兩個問題是
例如，雖然
人具備圓周
們習慣說 2義」。必須具
多少的固定數
之際，不但
越精確之估
圓術的示意
定理：圓面
半徑 1r ，
法。在郵票
.142857 所
政治事件。
亞是太平洋
但是陸地總
現代國家是
此地的觀光
戰鬥機。
像他這種風
實用而輕忽
，讓數學與
印度和希臘
哲人畢達哥拉
是同代人，
是相關的。但
然巴比倫泥板
周率的概念
2 r 是圓周具備「圓周
數」，才能算
這枚郵票是
洋上六百多個
總面積還不
是由西方人
光賣點之一是
風格的人，在
忽理論，其實
與宗教信仰連
臘，後來的發
拉斯 (Pytha他們幾乎在
但是，我們
板顯示他們
，也不見得
長「公式」
周長是直徑
算是發展了
是由麥克羅
個一般地圖
不及彰化縣
建立的，拉
是：因為海
在中國文化
實世界各地
連結。相對
發展也殊途
agoras)。畢在同一時期
們
們
得
」
了
羅
圖
，
拉
海
化
地
對
途
畢
期
-
開創了三支
的分類，他
的小島，而
右邊這枚郵
的禿頂男子
所謂畢直是創立了
高點，把數
地間的一切
階。他們相
運行發出恆
平常聽不到
所以充耳不
上述郵票是
的「山脈」
山人是講英
洲臨大西洋
著沈痛而衝
被英國人解
畢達哥際上開創了
與人世間的
到屬靈的境
的絕對與心
「證明」至
進入心
宇宙有五種
五種正多面
2
一則著名的
支文化傳統
他未必屬於
而他開宗立派
郵票擷取梵
子，就是畫
畢氏「學派
了一個崇拜
數學從管理人
切，例如他們
相信日月星辰
恆定的聲響
到天空傳來
不聞了 [3]
是獅子山共
」，而 Leone英語的非洲
洋首屈一指
衝突的意義
解放的黑奴
哥拉斯的思
了一種文化
的種種關係
境界，不但讓
心靈的純粹
至高的價值
心靈層次的
種生成元素
面體對應生
的傳說：畢氏
統。雖然畢氏
於希臘族裔
派的據點，是
梵諦岡壁畫
畫家拉斐爾想
」也可以視
拜「數」的宗
人間事務的
們也是西方
辰在各自的
響，因此當人
來的聲響呢？
。
共和國發行的
e 是拼錯的洲族裔，所以
指的深水港
義；當初非洲
奴，又被遣回
思想雖然沒有
化。當一個人
係與色相，就
讓數學從實
粹，豈能容許
值。
的數學，擺脫
素，就好像中
生成元素的性
氏學派將無理數
氏被稱為希
。畢氏誕生
是義大利南
「雅典學院
想像的畢達
視為一個「教
宗教2，他把的工具，提升
方樂理的創始
的天球上繞地
人間的樂音也
？那是因為
的，獅子山
西班牙「母
以不承認他們
，現在稱為
洲的原住民
回這個港口
有以宗教的
人以虔敬之心
就算不是畢
實用的束縛
許一絲懷疑
脫了實用的羈
中國文化也
性質。因此
數的發現者視
希臘人，但這
生在非常靠近
南方臨海的一
院」的一隅
達哥拉斯。
教派」，畢達
把數學的神秘
升到屬靈或
始者，用簡
地運行，那
也符合同樣
為，他們說，
山人和我們一
母獅子」(L們拼錯了自
為自由鎮 (F，從這個港
口，變成了新
的形式傳遞下
心對數學懷
氏教派的信
中解脫出來
疑？於是，希
羈絆而成為
也有「金木水
，他就有必
視為叛徒並處
這是文化上
近波斯帝國
一座城市。
，畫面左側
達哥拉斯簡
秘性推上新
或屬神的境界
簡單整數比解
那些球的直徑
樣整數比時
打從娘胎起
一樣吃白米
Leona)：大陸自己國家的名
Freetown)。港口被押上船
新移民。
下來，但是他
懷有信念，相
信徒，也肯定
來，更開啟了
希臘人開創
為仁人智士
水火土」的
必要證明世界
決之，是其宗
上
國
側
簡
新
界。畢氏學
解釋音頻的
徑互相成簡
，我們就感
起我們就聽
米飯和蕃薯葉
陸譯作塞拉
名字。獅子
「自由」就
船賣去美洲
他就像釋迦
相信它可以
定是一名慕
了理性辯證
了數學「證
的純理性創
想像，但是
界上僅有五
宗教性質的一
學派企圖用數
的和諧性，據
簡單整數比
感到和諧。但
聽慣了那恆常
葉。Sierra 是拉利昂。可能
子山共和國的
就像「民主」
洲當奴隸；兩
迦牟尼和孔
以解釋甚至預
慕道者了。把
證上的需求
證明」的形式
創造。譬如古
是柏拉圖 (P五種正多面體
一則旁証。
數學解釋天
據此設計音
，而它們的
但是為什麼
常的天籟，
是西班牙文
能因為獅子
的首府是非
」一樣背負
兩百年後，
子一樣，實
預測自然界
把數學提昇
：事關信仰
式，也賦予
古希臘想像
Plato) 卻用體。而既然
天
音
的
麼
文
子
非
負
實
界
昇
仰
予
像
用
然
-
柏拉圖要用
拉圖的學校
從畢達
巨擘，累積
整理數學知
訣—習題風設—定義—一支數學的
右邊這
物館的雕像
像，包括歐
麥克羅尼西
一」：境內
以數學
立了一套思
哲學。哲學
就是哲學了
人發現了數
學在這些新
們今天對數
哥拉斯畢竟
歐幾里
入羅馬帝國
幾百年。大
古 (Syracu新思維打破
用到當時所
其實是三道
作圖」作繭
立方那兩題
於是阿基米
阿基米
解決了「三
同時考慮圓
用多面體解
校門口刻著
達哥拉斯到
積了許多數學
知識的風格
風格，基本
—定理—證的風格統整
這枚馬爾地
像廳以及牛
歐幾里得，
西亞還要小
土地最高峰
學當作門檻
思想體系，並
學本來就是對
了。為了純心
數學在會計
新領域的成
數學「無用
竟是對的：
里得身後，希
國的版圖，但
大家都知道
use) 之日。破了前代數
所知的所有
道無解的數
繭自縛；阿基
題。又例如，
米德創造了
米德也以圓
三大難題」
圓的內接與
解釋生成元素
著：「不識幾
到歐幾里得 學知識，由
格迥異於《九
本上成為中國
證明風格，則
整了全世界的
地夫發行的郵
牛津大學的自
但是讀者應
小的島國，這
峰僅有海拔
檻的宗教顯然
並且創造了
對不能理解
心靈的理由
計稅捐與土地
成功，使得希
之用」的認
數學真的可
希臘化的世
但是希臘語
道的阿基米德
阿基米德是
數學累積的瓶
有工程與科學
數學命題，而
基米德只是
柏拉圖證明
半正規多面
圓的面積公式
的方圓問題
與外切正多邊
素之間的相
幾何莫入此門
(Euclid) 的歐幾里得採
九章算術》
國文化裡的
則成為希臘
的數學。
郵票，是歐
自然史博物
應該知道那
這個印度洋
拔 2.4 公尺，
然犯了曲高
了新的數學知
解的事物所做
由而累積的數
地丈量以外
希臘文化在
認識。我們甚
可以解釋天
世界逐漸崩解
語文以及文化
德 (Archim是希臘晚期
瓶頸，使得數
學領域。例
而它們之所
是稍稍地違規
明正多面體
面體，打開
式（以圓周
題。阿基米
邊形，所以能
相生互化關係
門」。這些幾
的兩百年，歷
採集統整在
，九章的題
的數學形式
臘文化的特徵
歐幾里得的想
物館裡，陳列
那些全是想像
洋上的蕞爾小
是全世界最
高和寡的大忌
知識。後世
做的解釋，
數學知識，
外的新用途
工程與科學
甚至可以說
天地間的一切
解，希臘式
化，在羅馬
medes) 就是期的數學大師
數學獲得新
例如，所謂
以無解，是
規一下，就
體只有五種，
開了另一扇大
為底半徑為
米德的方法也
能夠估計圓
係，就產生
幾何命題都
歷經柏拉圖
在一部稱為《
題型—公式—，而歐幾里
徵之一。流
想像畫。雖
列了大批希
像的。馬爾
小國倒是有
最矮的國家
忌，難以開枝
世不再關心那
，所以從宗教
，並不因為宗
，特別是在
學（天文地理
說，數學在其
切，雖然不
式的獨立城邦
馬統治下繼續
是死在羅馬攻
師，他以開
新生，而且將
「古希臘三
是因為古人以
就解了三等分
，後人都沒得
大門 [4]。
為高的三角
也是從正六
圓周率的下界
了研究幾何
都沒有直接的
圖和亞里斯多
《Elements》—例題—口
里得開創的公
流傳至今，這
雖然梵諦岡博
希臘哲人的石
爾地夫是個比
有項「世界第
家。
枝散葉，但
那些思想的
教拿掉了戒
宗教意義的
光學、力學
理）有長足
其他領域的
不是按照他當
邦一一落
續延燒了
攻破敘拉
開創性的
將數學應
三大難題」
以「尺規
分角和倍
得玩了；
形面積）和
六邊形出發的
界與上界。
何命題的必
的實用性。
多德 (Aris》的書裡。《
口
公
這
博
石
比
第
但是那些希臘
的宗教初衷
戒律和應許之
的式微而失傳
學以及天文學
足的發展，也
的成功範例
當初設想的
和圓周率的估
的「割圓術
他同樣獲得
要。傳說柏
totle) 兩大Elements》
臘人因此建
，而謂之以
之後，的確
傳，反而讓
學領域。數
也奠定了我
，證實畢達
的形式。
估計，間接
術」，但是他
得227
之
柏
大
建
以
確
讓
數
我
達
接
他
之
-
估計，但是
乎一樣的割
公式：外切
丈量土後來很長的
測量，使得
應用到日月
占卜的推論
所以特別受
埃及行政區
文寫的《天
學的最後一
之後，基本
開始受到哥
希臘藉
所對的弦長
的估計值，
也就是如今
半徑的比值
阿基米
連續兩個爆
例如英語的
洲地圖上小
念而喪命；
另外二十萬
阿拉伯繼往
羅馬帝國擅
方面，他們
的概念；在
學，仍然在
臘。例如托
輩子活在幸
希臘人，把
3
所謂「單位
是他知道137
割圓術呢？
切圓柱體的
土地所需的
的一段時間
得天文學簡
月蝕的預測
論，它們表
受到君王帝
區的托勒密
天文學大成
一座里程碑
本上成為西
哥白尼理論
藉以「量天
長 crd ；這，史稱托勒
今所謂的半
值 crd 可以
米德郵票是
爆破子音的
的 special 就小得像綠豆
；蒲隆地第一
萬人淪為難
往開來
擅於造橋鋪
們就比較少
在帝國或共和
在羅馬的政
托勒密明明
幸福快樂的
把他的成就
位圓」就是以
17
是上界，而
只能說「英
的三分之二。
的數學，可能
間，全世界古
簡直就是數學
測、曆法與節
表現出「君權
后的支持。
密 (Claudius 成》(Almage碑。自從它在
西方的天文聖
論的挑戰。
天」的數學基
這顯然也受到
勒密弦表。這
半度；而其精
以導出正弦比
是西班牙郵政
的發聲，英語
就是西班牙語
豆一樣。二戰
一次民主選
難民。
鋪路、築城建
受到恭維。
和國的架構
治架構下發
就是羅馬公
的羅馬五賢君
就歸屬希臘。
以半徑為單位長
而10371
是下
英雄所見略
。
能在畢達哥
古文明的主
學的同義詞
節氣的吻合
權神授」的
。生活在羅
Ptolemy) 用est) 可以視在大約西元
聖經，直到
基礎，是在
到割圓術傳
這張數值表
精確度是六
比 sin ，但
政局發行的
語的 SP 和語的 especi
戰以後，第三
選舉的後果
建塔，留下壯
。這可能是因
構之下，羅馬
發展著。所以
公民，他出
君盛世期間
。
長的圓，所有
下界 [5]。劉
同」了。而
哥拉斯之前就
主要挑戰，在
詞。天文知識
合、以及星辰
的必要性，
羅馬帝國 用希臘
視為希臘數
元 150 年完成到一千三百年
在單位圓3上計
傳統的影響
表的解析度是
六十進制的一
但是兩者不
的，España 是ST 發音，對ial。托勒密三世界難以
，就是連續
壯觀的工程
因為，相對
馬統治著許
以，帝國的
出生於創造帝
間，可是因為
有的弦長皆以
劉徽在阿基米
而阿基米德
就已經備足
在於天體的
識直接 辰
成 年後才
計算圓心角
。托勒密算
是平角的 36一秒，也就
不該混為一談
是西班牙文
對應到西班
密郵票是蒲隆
以計數的平
續打了十二年
程文明，但是
對於希臘是個
許多種語言與
的功勳歸羅馬
帝國最大疆
為他用希臘文
半徑的倍數表
米德之後五
自認的生涯
足了。 的
角 算出 crd 60 分之一
就是半徑的 3談。
文的「西班牙
班牙語就會在
隆地 (Buru民百姓因為
年的內戰，
是在特別需
個文化的概
與宗教的人
馬，但是文
疆域的圖雷真
文寫作，所
表達。
五百年，怎麼
涯代表作，是
， 3600 分之一
牙」。西班牙
在前面補一
undi) 發行的為「民主自
二十萬人死
需要想像力的
概念，羅馬則
人民，而希臘
文化的精進還
真 (Trajan) 所以我們還是
麼會想到幾
是球的體積
一。弦長對
牙語言沒有
一個母音。
的，它在非
由」這個概
死於戰火，
的文化創作
則是個政治
臘語文和哲
還是給了希
初年，一
是把他當作
幾
積
對
有
非
概
作
治
哲
希
作
-
托勒密駕崩了。電
的，但是那
「職缺」拿
明的發展。
式分裂成東
端，古希臘
向凋零，除
東羅馬馬風格仍然
拉鋸戰，都
年被阿拉伯
斯帝國以及
百年的大致
雖然伊和科學知識
展。因為征
風格與知識
了對於計算
了阿拉伯從
紀念一位阿
花剌子工作，那裡
(Muḥamma的名，代數
位記數系統
拉丁文4Alg二次方程的
的意思，意
一年級的基
按照蘇折些。花剌
角洲，而花
城捱過了成
4
拉丁文是羅礎創造了各國
密死後不久
電影《神鬼戰
那位二十歲
拿出來拍賣
。一神論的天
東、西兩塊之
臘的哲學和數
除了工程上
馬帝國雖然
然是文化的
都不利於知
伯人迅速畫
及東羅馬的
致穩定，讓
伊斯蘭教和
識的譯述，
征戰與經商
識，發展出
算的需求以
從算術到代
阿拉伯學者
子密是波斯
裡是阿拉伯
ad ibn Mūsā數 Algebra 來統的加減乘
gorithm。至的書，書名
意指移項運
基本代數操
蘇聯老大哥
剌子模古國
花剌子密的
成吉思汗和
羅馬人的文字
國文字。英文
久，羅馬最後
戰士》裡被
即位的年輕
的笑話。崩
天主教在動
之前，基督
數學（它們
上實用的數學
然座落在希臘
的主流，更何
識與文化的
畫下句點。新
的埃及行政區
讓草原上多樣
和基督教都是
他們頗為尊
商的接觸，阿
阿拉伯文明
以外，伊斯蘭
代數的發展。
者花剌子密的
斯人，大半輩
帝國的學術
ā al-Khwāri來自他的書
乘除算法。傳
至於 Algebr即指出其解
算，而後者
操作。
哥的宣傳，花
國位在內陸大
的故鄉是當年
和帖木兒的摧
字，曾是羅馬帝
文字母來自拉丁
後一位賢君
被兒子殺害的
輕皇帝確實
崩壞的帝國總
動盪的社會
督教成為羅馬
們原先也是宗
學以外，其
臘舊地，後
何況他們和
的發展。僵
新興的伊斯蘭
區，建立起
樣的民族和
是一神教，
尊重學者，
阿拉伯學者
明的數學（與
蘭教義對於遺
。右邊這枚
的 1200 歲誕
輩子在巴格
術中心。他
izmī)，而他書。他將印度
傳進歐洲之
ra 則是阿拉解法的兩大
者是「平衡
花剌子模是
大河阿姆河
年的都城，
摧殘，卻無
帝國的官方文
丁字母。
君「哲學家皇
的老皇帝，
變成了暴君
總會導致社
中逐漸紮根
馬帝國的國
宗教）當然
其他的全都在
來還將希臘
和波斯的薩珊
僵持不下兩百
蘭教凝聚了
起阿拉伯帝國
和平共處，締
但是阿拉伯
也鼓勵詩歌
者有機會揉合
與天文學）
遺產分配的
（前）蘇聯
誕辰。
格達的智慧宮
他的全名是
他一個人創造
度梵文數字
之後，這套算
拉伯文 al-jab大基本操作
」的意思，
是如今烏茲別
河 (Amu Dar位於土庫曼
無法抵抗阿姆
文字。現在西歐
皇帝」奧里
就是奧里略
君，羅馬從此
社會動盪，而
根，在第四世
國教，連羅馬
然更是異端
在歐洲失傳
臘語定為國
珊帝國 (Sa百年的羅馬
了阿拉伯部落
國（大食）
締造了超越
伯統治者樂
歌文學與建
合希臘、波
。除了商務
的精細規定
聯 1983 年發
宮 (House o「來自花剌
造了兩個英
字改成阿拉伯
算法就稱作
br 的拉丁音：al-jabr 和
意指等量公
別克境內的
rya) 注入鹹曼的老玉龍
姆河改道的
歐各國的語言
里略 (Aureli略；雖然電
此敗壞，甚
而凋敝的民
世紀結束前
馬人自己的
。羅馬治下
傳了。
語，但是基
ssanid) 在歐馬與波斯之爭
落的力量，
。阿拉伯為
越同時期歐洲
樂於支持數學
建築藝術的發
波斯、印度的
務與貿易提高
[6]，也促進發行的郵票
of Wisdom)剌子模的摩西
英文字：演算
伯數字，並
作阿拉伯文 A音譯，出於花
al‐muqāba公理的操作
的基發 (Khiv鹹海 (Aral S
龍傑赤 (Kun的天命，終至
言當時均為方
ius) 也在西電影的弒父情
甚至鬧出禁衛
民生當然阻礙
前，也就是羅
的多神宗教都
下的希臘思想
基督教（東正
歐亞邊界連
爭，在大約
在三十年內
為中亞和北非
洲的文明。
學
發
的
高
進
，
) 西之子穆罕
算法 Algori並發展了搭配
Al-Khwāriz花剌子密討
ala，前者是作；兩者都是
va)，但實情Sea) 之前的nya-Urgench至人去城空
方言，後來以拉
西元 180 年情節是想像
衛軍把皇帝
礙文化和文
羅馬帝國正
都被摒為異
想從式微走
正教）與羅
連年不斷的
約西元 640內鯨吞了波
非維持了六
罕默德」
thm 來自他配這套十進
zmī 對應的討論一次與
是「恢復」
是現在國中
情可能更曲
的河谷與三
h)。這座古空 [7]。鹹海
拉丁字母為基
像
帝
文
正
異
走
羅
波
六
他
進
與
中
曲
三
古
海
基
-
曾經是世界
活水去灌溉
所謂方
中國數學的
以及一元二
子密確有貢
讓代數發展
定理，但如
也在伊斯蘭
而兩弧的夾
伯學者先在
中學習的平
右邊這
剌子模的阿
ibn Aḥmad 在七十五年
後，他先遷
埋骨於斯之
地理之外，
印度學創始
貝魯尼
之間的經度
5
阿拉伯男性冠詞，是 the非地名，是說
界第四大湖
溉沙漠，如
方程就是含
的固有名稱
二次方程，所
貢獻：早期的
展成算術與
如今我們在高
蘭文明有了
夾角就是那
在球面上發
平面版本，
這枚巴基斯
阿拉伯學者
Al-Bīrūnī)5
年的歲月中
遷居東方的
之前，他曾
，還涵蓋占
始人。
尼將三角學
度差（當時
性名字經常有
e 或 of the 或說他來自花剌
湖，幾乎放得
今有九成的
含未知數的等
稱。阿拉伯之
所以花剌子
的方程都是
與幾何之外的
統使
直角
拉伯
之
印度
今天
還多
數概
得的
高中學習的
長足的發展
那兩個大圓所
發現了正弦定
而那已經是
斯坦發行於 1者貝魯尼的千
5。貝魯尼當
，他走過六
的不花剌，再
隨著蘇丹的
星、歷史、
學發展成大地
時地球的「球
有
ibn（伊本）
from the 的意剌子模都城之外
得下兩個臺
的湖面乾涸
等式 (equat之前的文明都
子密的著作不
是算術的附屬
的第三條數
三角比是
使用圓內的
角三角形的
伯學者綜合
圓心角 當度的測量數
天使用的六
多出來一些
概念，這些
雖然托勒
的《Elemen的各種三角恆
展：球面上的
所在的兩平
定理，然後才
是西元十三
1973 年的郵千歲誕辰 (A當真是行千
六千公里的路
再往西穿越
的軍隊踏訪
、藥典、宗教
地測量的工
球」形已經
，那是某人之
意思。貝魯尼
外。但為了向
灣，但因為
涸成了鹽漠
tion with un都有方程的
不算創新，
屬品，他使
數學支脈。
是伊斯蘭文
的弦，也就是
的高對斜邊
合這兩脈傳
當作直角三角
數學，在伊
六個三角比
些東西，例如
些三角比都
勒密已經能
nts》第二卷恆等式，畢
的線段就是
平面夾角。有
才「降級」
三世紀的事了
郵票，慶祝
Abū Rayḥā千里路寫萬卷
路程，寫下
越土庫曼搬到
巴基斯坦和
教、民族誌
工具，他和一
經無庸置疑）
之子的意思；
的全名是「來
向他致敬，那
為「人定勝天
。
nkowns)，「的想法，通常
，而比較像歐
使得方程在阿
明揉合的另
是前面說過
的比值，也
統，把直角
角形的一個
斯蘭文明的
sin、cos、如 versin，如是以線段長
夠運用 crd卷就以「推廣
畢竟都是阿拉
是大圓上的弧
有趣的是，阿
成為我們在
了。
祝另一位出自
n Muḥamm卷書的學者
下一萬三千篇
到德黑蘭，
和北印度。貝
誌和語言學
一位智慧宮的
），並估計歐
也常有 abu，來自城外的阿
那個昔日的城外
天」的廿世
方程」和
常也都包含
歐幾里得那
阿拉伯的學
另一支數學
過的 crd ，也就是今天說
角三角形放
個銳角，而斜
的手裡發展
tan、cot、如左圖所示
長相對於半徑
的和角與廣的畢氏定
拉伯的數學
弧，
阿拉
在高
自花
mad 者，
篇文章。告
然後又東遷
貝魯尼的著
；他學會了
的同儕測量
歐亞大陸的
那是某人之父
阿瑪之子雷罕之
外聚落如今就
世紀工程師引
「元」（未知
含聯立的多元
那樣的統整
學術文化裡獨
學。希臘的天
而印度的傳
天說的正弦比
放進了圓裡：
斜邊即半徑
展了兩百年之
sec、csc 全示。但是當年
徑的倍數來
與差角公式
定理」形式呈
學。球面上的
告別阿姆河邊
遷阿富汗的
著作遍及數學
了梵文，並成
量了巴格達和
的「跨幅」僅
父的意思。常
之父穆罕默德
就叫做貝魯尼
引它的源頭
知數）都是
元一次方程
。但是花剌
獨樹一幟，
天文測量傳
傳統則使用
比 sin 。阿：將單位圓
徑。希臘和
之後，不但
全到齊了，
年還沒有負
來理解的。
，而歐幾里
呈現了餘弦
的三角測量
邊的家鄉之
的 Ghazni；學、天文和
成為西方的
和花剌子模
僅占地球的
常見的 al 是定德」。Biruni 本
：Beruniy。
頭
是
程
剌
傳
用
阿
但
負
里
弦
量
之
和
的
模
的
定
本
-
五分之二。他在印度獲得地球自轉的「瘋狂」想法，苦思之後並無結論，但他至少得以宣稱：
自轉的假設與當時已知的天文現象沒有矛盾。此外，像陀螺那般自轉所隱喻的穩定概念，使得
貝魯尼相信在歐洲以西和亞洲以東的大洋之間，必定存在另一塊大陸。
所謂「文藝復興式」的全方位興趣與才能，彷彿是阿拉伯學
者的標準配備。名傳於世的阿拉伯學者，在性情上都像貝魯尼那
樣的多才多藝。恰好在貝魯尼去世的那一年，德黑蘭東方誕生了
另一位阿拉伯時代的波斯鴻儒：奧瑪珈音 (Abū al-Fatḥ Omar ibn Ibrāhīm Khayyām
Neīshāhpūrī)，又譯奧瑪開儼，或者海亞姆。除了哲學家、數學家、天文學家這些頭銜之外，他更以詩人之名傳
世。他的詩集 Rubaiyat 大約有一千首波斯文絕句，作於西元
1100年前後，又譯為《魯拜集》；他的詩人名望簡直就是波斯的李白。
歷史小說《撒馬爾罕》以海亞姆為主角，雖然沒辦法真的展開他
的學術世界，卻也描寫了這個人和那個時代 [8]。
在花剌子密探索了一次和二次方程之後，數學的興趣自然要發展到三次或更高次方程。另
一方面，三角學的發展，也無可避免地連結到方程求解的問題，例如正弦的三倍角公式，可能
是人類與三次方程的首次遭遇。代數在花剌子密身後 250
年達到阿拉伯文明裡的高峰，代表性的成就便是海亞姆以「數形合一」的理念求解三次方程6，他也發展了利用正弦表求取方程之
近似解的方法。
真正的「數形合一」需要直角坐標作基礎，海亞姆雖然察覺到互相垂直的拋物線對稱軸和
準線可能有用，而他也同時掌握從平面幾何轉銜到坐標幾何的關鍵技術：三角，但是他畢竟沒
有挖開直角坐標系的寶藏。撼動文明的偉大創意，需要社群的激盪和時間的醞釀。阿拉伯文明
養育的學術環境，確實有機會接著海亞姆的思想，走向解析幾何。但是歷史並不會按照人類的
願望發展。
正當天主教和伊斯蘭的宗教戰爭陷於拉鋸膠著之際7，蒙古像一支燃燒的火箭，憤怒地射穿中亞和西亞而直刺波西米亞。蒙古大帝國（或者說「蒙古汗國的大聯邦」）可謂統一了整個
亞洲。在征伐與殺戮的另外一面，大型帝國保障了長距離工藝流通和人員旅行的安全性（史稱
Pax
Mongolica），各種文化與思想也就跟著傳播開來。阿拉伯文化裡求解高次方程的問題意識，或許藉著商旅甚至戰爭的接觸，傳入了華文世界。西元第十三世紀的百年之內，生活在女真的
金朝、蒙古的元朝和漢人的南宋政權之下的愛智之士，運用中國算學的傳統思維方法，此起彼
落地探索高次方程的求解算法8。有人認為，中國自發的數學在這個時期發展到了頂峰；它留
6
海亞姆先將三次方程補一個零根，換成沒有常數項的四次方程，再以未知數代換的技術，將四次方程拆成兩個聯立的二次方程，然後把問題從方程的形式，轉換成兩條對稱軸彼此垂直的拋物線求交點問題
[9]。 7
我們不該順著西方的觀點而稱這些戰爭為「十字軍東征」，就好像土耳其歷史所謂的東進支那，站在中國的立場肯定會說突厥犯西。當時的西歐文明遠遜於西亞，在阿拉伯人看來，所謂十字軍就是一群野蠻的強盜。
8
值得注意的是，阿拉伯學者和接續他們的西歐學者，似乎都相信高次方程有代數解，而試圖用幾何作圖或算術程序（對係數做加減乘除和次方根）得到它，直到十七世紀才開始考慮近似解。但是宋元之際的華文學者，卻似
乎從一開始就不打算求得代數解（若有也是特例），而尋求一套逐步逼近的演算法 [12]。
-
給我們的瑰
雖然在宋元那段時
彼此不知道
絡9，也沒有
史的興趣，
東風西漸
伊斯蘭世界
島的南部。
1000 年之間太人頗為寬
成為歐洲接
右邊這
世 (Pope S被送到加泰
差點因此被
阿拉伯文明
它們是希臘
藝復興」就
演算法，但
時歐洲並沒
馬數字僅作
生活在
授予自治權
學家，卻留
以從基本原
用圖表和嚴
失，因此獲
誰對誰錯，
道是對還是
General
Art 9
這絕不是說文學、史學，
甚至曾是科舉
位浮浮沉沉10 寫到這裡的世代將會關注
瑰寶之一，
在第十二世
時期的中國
道對方的思
有對當代和
，卻沒有進
界不限於西
。信奉伊斯
間的歐洲最
寬容，讓他們
接觸阿拉伯
這枚法國郵
Sylvester II)泰隆尼亞的
被天主教問
明稍稍點亮
臘、羅馬人會
就像這樣涓
但是他並沒
沒有足夠複
作紀錄之用
在加泰隆尼
權10。寫下第
留下一個對數
原理（聖經
嚴謹的操作
獲得不容置
，只要輸入
是錯。他在西
t)
解釋如何
說中國沒有學
可能還有書法
舉的考科，雖
。再後來，算
的時候，加泰
注的國際局勢
是「綜合除
世紀以降的海
國數學一樣，
思想；他們的
和後世的數學
進入文化的脈
西亞，它沿著
斯蘭的摩爾統
最大城，擁有
們維持原本
文明的最前
郵票，紀念第
)，西元 999的修道院學習
罪。但是他
亮了黑暗的中
會用的工具
涓滴成細流。
有大張旗鼓
複雜的科學或
。
尼亞的加泰隆
第一部加泰
數學和計算
的教誨）按
作規則來完成
疑的結論。
入一條敘述
西元 1305 年何製造那樣
學者的社群網絡
法，外加佛教
雖然主要以培訓
算學就逐漸消失
泰隆尼亞剛宣稱
勢之一。
除法」[10]
海亞姆之後
，只有零星的
的著作「只
學觀念發生
脈絡。
著地中海南岸
統治者，把
有最輝煌的
本的信仰，而
前線。
第一位登上教
9—1003 年習，因緣際
他卻機會難
中世紀歐洲
具，但是已經
。雖然 Gerb鼓地提倡這
或商業，古
隆人，被西班
泰隆文學著作
算機科學都影
按照邏輯推論
成。如此機械
。於是他說
，然後按照
年 73 歲的時樣的機械。然
絡，早從漢代
教和道教，總之
訓政府所需的
失於太學和科
稱通過了「脫
。
後，阿拉伯文
的閃爍而沒
只是幸運地僅
生影響。如
岸抵達摩洛
把西班牙南部
的圖書館和學
而且可以辯
教宗寶座的
年在位。當他
際會地習得了
難得地成為羅
洲。例如他重
經在歐洲失
bert 自己精這套系統：可
古早的算盤就
班牙政府承
作的喻以 (影響深遠的
論其對錯，
械式的操作
，將來有一
照規則去操作
時候，出版《
然後他懷著
以來就有了。
之不含數學。
的技術官僚為
科舉的層級了
脫離西班牙而
文明仍有突破
沒有集結成
僅免於埋沒
今看來，這
洛哥，越過直
部的哥多華
學術中心。
辯論彼此的教
的法國人 Ge他還是年輕
了阿拉伯的
羅馬權貴的
重新引進算
失傳六百年了
精通印度—阿可能是因為
就能滿足計
承認為一個獨
(Ramon Llu的思想：他認
而且推論的
作，可以免除
一天，我們再
作（也就是
《終極統術》
著殉教的決心
。但是那些社群
數學（算學）
為目的，仍多少
了 [13]。 而獨立」的公投
破性的數學
氣。那些學
沒而已」[11]這些零星閃爍
直布羅陀海
華 (Cordoba)這個城市對
教義。在那
erbert：思維輕僧徒的時候
的天文與數學
私人家教，
算盤和星象儀
了。所謂的「
阿拉伯數字
時候未到，
計算需求，而
獨立的民族
ull) 不算是認為凡事都
的過程可以
除一切人為
再也不必爭
是計算），就
》(The Ultim心，帶著他
群的學術主題
）雖然在一千
少有學術的發
投法案。後續
學發現，但是
學者沒有連結
]，並沒有形爍的數學成
海峽而蔓延到
) 建設成西對異教的基
那個時期，伊
維二
候，
學，
，讓
儀，
「文
字及
，當
而羅
族而
是數
都可
以藉
為疏
爭辯
就知
mate 他的
題可能僅涵蓋
千年前曾經是官
發展。宋元之際
續的發展，可能
是就像遼金
結成社群，
形成知識網
成就富於歷
到伊比利半
西元 800 至基督徒和猶
伊比利半島
蓋經學、道學、
官學的課程，
際，算學的地
能是我們這個
金
網
歷
半
島
地
個
-
裝備踏上北非的伊斯蘭領地，宣稱要以辯論經文的方式，說服所有伊斯蘭改信天主…；他算是求仁得仁了。
從郵票裡的畫像，看得出來喻以11的確有點瘋狂的樣子。他或許為後來數學家的瘋癲形象，
提供了最初的原型。喻以的「辯論機」思想根源，顯然就是歐幾里得的《Elements》，而其機械化設計，據信是受到伊斯蘭占星羅盤
(Zairja)
的啟發。占星羅盤是阿拉伯算命師的工具，運用一些同心環的轉盤把人的命運跟天空的星象拉上連結；在我們的文化裡，看風水的師父和批
八字的半仙，都有類似的工具。
在中世紀的尾聲，儘管政教合一的形勢仍然嚴峻，但嚴峻管理的另外一面是社會穩定。雖
然不時爆發瘟疫12以及貴族之間的軍事衝突，但是西方世界在西元第二個千年的前九百年裡，
相對地安全而穩定。共同的書面語（拉丁文）和適度的地理尺度，使得學者藉由修道院之間的
切磋管道而建起網絡。在思維二世之後的三百年，儘管表面上的宗教管制依然嚴峻，但阿拉伯
文獻大量在修道院之內被翻譯成拉丁文，並且被抄寫複製、學習與傳播
[14]。像喻以那樣的學者，都能直接閱讀阿拉伯文。包括數學在內的古希臘知識，外加阿拉伯人融合波斯和印度的
發展，緩慢地浸潤了西歐的讀書人。而西方的文藝也就即將「復興」了，且看下回分解。
延伸閱讀或參考文獻
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11
西班牙文和加泰隆文的 LL 都類似「伊」的發音。Llull 的加泰隆語讀音類似「喻以」。他的故鄉是加泰隆尼亞外海的馬約卡島
(Mallorca)。 12 「瘟疫」是個籠統說法，有時候說黑死病，有時候說鼠疫。總之就是致命的大型傳染病。 13
蔡辰理是蔡仁堅先生的筆名，此篇文章經過李國偉教授的審訂與潤飾。
