95

4. Convecção Natural

4.1 O que causa o escoamento por convecção natural

Figura 4.1 Convecção natural junto a uma parede vertical

Em convecção natural, ou convecção livre, o fluido escoa naturalmente (por si

só), quando ele é movido pelo efeito do empuxo. Este efeito é distribuído através do

fluido, e associado com a tendência de fluidos para expandir ( ou, em casos especiais de

contrair), quando aquecido a pressão constante. A camada que sente a parede vertical

quente na Figura 4.1 se torna mais leve do que o resto do fluido. Esta leveza força-a a

escoar para cima, para varrer a parede e coletar calor da parede numa maneira que

lembra a camada limite externa vista anteriormente, entretanto, o escoamento é um jato

vertical paralelo à parede, enquanto o restante do fluido longe da parede está estagnado.

É instrutivo mostrar que princípio da termodinâmica é responsável pelo movimento do

fluido em convecção natural. Considere um pequeno pacote de fluido de massa mΔ

(sistema fechado) em movimento horário. Próximo a parede aquecida, o pacote fluido é

aquecido por difusão térmica da parede. mΔ expande ao atingir altitudes onde a pressão

estática imposta pelo reservatório é mais baixa. A conservação da massa requer que o

escoamento para cima do jato de parede seja complementado por um escoamento para

baixo suficiente do reservatório fluido frio. Assim, o pacote de fluido mΔ ,

eventualmente, retorna para a parede aquecida, pelo escoamento para baixo (muito

vagarosamente) através do reservatório. Por último, o pacote fluido é resfriado e

comprimido enquanto desce para níveis de maior pressão. Pode-se que o processo forma

um ciclo: aquecimento-expansão-resfriamento-compressão (ciclo de produção de

96

potência). O trabalho finito realizado por mΔ é usado para acelerar e aumentar a

energia cinética de mΔ para o ponto onde qualquer trabalho adicional é dissipado

completamente pelo efeito de atrito entre mΔ e outros pacotes de fluido com os quais

ele entra em contato. Olhando para o campo inteiro de escoamento como a soma de

pacotes de fluido do tipo mΔ , vê-se a roda de um motor térmico movido pela diferença

de temperatura ∞−TTw .

4.2. Camada Limite ao longo de uma parede vertical

4.2.1 Equações simplificadas da camada limite

Considere o escoamento ilustrado na Figura 4.2. Na Fig. 4.2 estão ilustrados

também os perfis de temperatura e de velocidade no caso de fluidos com altos números

de Prandtl. O coeficiente de transferência de calor pode ser definido como

( )∞

=

∞ −∂∂

−=−

=TTxTk

TTq

hw

x

w

ywy

0"

, / (4.1)

Figura 4.2 Escoamento laminar sobre uma superfície plana vertical.

As equações governantes do escoamento considerado, sem hipótese de camada

limite, podem ser escritas como a seguir:

97

1) Equação de Continuidade

0=∂∂

+∂∂

yv

xu (4.2)

2) Equações e Quantidade de Movimento em x e y

x: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yu

xu

xp

yuv

xuu μρ ; (4.3)

y: gyv

xv

yp

yvv

xvu ρμρ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

2

2

2

2

(4.4)

2) Conservação de Energia Térmica

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yT

xT

yTv

xTu α (4.5)

As seguintes condições de contorno se aplicam

0)0,(0),(0),0(

==∞=

xuyuyu

0)0,(0),(0),0(

vxvyvyv

==∞=

)()0,(

)(),(),0(

0 xTxuyTyT

TyT w

==∞=

∞ (4.6)

Para obter as equações de camada limite, aquela região em que o efeito viscoso é

predominante e grandes gradientes de temperatura ocorrem, uma análise de ordem de

grandeza dos termos das equações (4.2)-(4.5) pode ser realizada como no caso da

camada limite forçada sobre a placa horizontal. Assumindo que tδ é muito menor do y (

)yt <<δ pode-se desprezar 2

2

y∂∂ em relação a 2

2

x∂∂ . Também se assume que

)()(),( ypypyxp ∞=≅ e gdy

dp∞

∞ −= ρ . As equações de camada limite então se tornam

98

(m) 0=∂∂

+∂∂

yv

xu (4.7)

(M) ( )gxv

yvv

xvu ρρμρ −+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∞2

2

(4.8)

(E) 2

2

xT

yTv

xTu

∂∂

=∂∂

+∂∂ α (4.9)

Tomando a massa específica como uma função da temperatura e pressão

),( pTρρ = , pode demonstrar que

( ) ( )+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+≅ ∞∞ 0ppp

TTT Tp

ρρρρ (4.10)

na qual 0p é uma pressão de referência. Em processos de convecção, geralmente,

)()( 0 ∞−<<− TTpp . Assim, a Eq. (4.10) pode ser escrita como

( )+−−≅ ∞∞∞ TTβρρρ (4.11)

ou

( )+−=− ∞∞∞ TTβρρρ (4.12)

em pT⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−=ρ

ρβ 1 é o coeficiente de expansão volumétrica térmica. Geralmente,

1)( <<− ∞TTβ . A Eq. (4.8) ode, então ser escrita na seguinte forma:

( )[ ] ( )gTTxv

yvv

xvuTT ∞∞∞∞ −+

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−− βρμβρ 2

2

1 ou

( )empuxo

fricçãoinércia

gTTxv

yvv

xvu ∞−+

∂∂

=∂∂

+∂∂ βν 2

2

(4.13)

99

Na equação de momentum têm-se os termos de inércia, de atrito viscoso e de empuxo.

4.2.2 Análise de escala em regime laminar

Em escoamentos em regime laminar, a ordem de grandeza do coeficiente de

transferência de calor e dos termos nas equações são como a seguir:

ty

khδ

≈ (4.14)

(m) yvu

t

≈δ

(4.15)

(M) Tgvyvvvu

tt

Δ≈ βδ

νδ

,, 2 (4.16)

(E) 2,tt

TyTvTu

δα

δΔ

≈ΔΔ (4.17)

Substituindo a Eq. (4.15) nas Eqs. (4.16) e (4.17) resulta

(M) Tgvy

v

t

Δ+≈ βδ

ν 2

2

(4.18)

(E) 2t

TyTv

δα Δ

≈Δ (4.19)

Empuxo balanceado por atrito

Na Eq. (4.18) pode-se ter o empuxo balanceado por atrito ou por inércia. No

caso de empuxo balanceado por atrito Tgv

t

Δ≅ βδ

ν 2 que combinada com as Eqs. (4.15)

e (4.19) leva aos seguintes resultados:

100

4/1yRa

yu α≈ ; 2/1

yRay

v α≈ ; 4/1−≈ yt yRaδ (4.20)

na qual yRa é o número de Rayleigh definido como

ανβ 3)( yTTgRa w

y∞−

= (4.21)

Também pode-se demonstrar que o coeficiente de transferência de calor convectiva é

proporcional a

( ) 4/1yy Ra

ykh ≈ (4.22)

e portanto o número de Nusselt local, definido como kyh

Nu yy = , será proporcional

( ) 4/1yy RaNu ≈ (4.23)

Os resultados acima são válidos quando 2

2

t

vy

vδ

ν< ou para να < ou Pr1< .

Ou seja, para número de Prandtl da ordem de 1 ou maior que 1, 1Pr ≥ . Uma análise

para a camada limite hidrodinâmica levará ao resultado

2/14/1 Pr−≈ yyRaδ ou

1Pr 2/1 >≈tδδ (4.24)

Se 1Pr1 2/14/14/1 >⇒> yy RaRa . Geralmente, escoamentos com convecção natural são

caracterizados por altos Ra.

Empuxo balanceado por inércia

101

No caso de empuxo balanceado por inércia, Tgy

vΔ≅ β

2

e a ordem de grandeza

da espessura de camada limite e das velocidades será:

( ) 4/1PryRay

u α≈ ; ( ) 2/1PryRa

yv α≈ ; ( ) 4/1Pr −≈ yt Rayδ (4.25)

O produto do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definido como número de

Boussinesq

( )2

3

Prα

β yTTgRaBo w

yy∞−

== (4.26)

Neste caso, o número de Nusslet será proporcional

( ) 4/1PryRaNu ≈

Os resultados obtidos quando o empuxo é balanceado por inércia são válidos

para 1Pr ≤ e as camadas limites e os perfis de velocidade e temperatura são ilustrados

na Figura 4.3

Figura 4.3. Camada limite para fluidos com baixos números de Prandtl.

102

A espessura da camada limite hidrodinâmica neste caso será proporcional a

razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl na forma:

4/1

Pr

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈ y

s

Rayδ (4.27)

Pode-se demonstrar, então, que

4/1

Pr

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≈

Raysδ ou

1Pr 2/1 <≈tδδ (4.28)

A razão do número de Rayleigh pelo número de Prandtl é definida com o número de

Grashof, ou seja,

( )2

3

Pr νβ yTTgRa

Gr wyy

∞−== (4.29)

Os resultados no limite de baixo Prandtl são válidos se as camadas limites

hidrodinâmica e térmica são estreitas e longas, isto requer que

1Pr

4/1

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ yRa; ( ) 1Pr 4/1 >yRa (4.30)

4.2.3 Parede isotérmica (escoamento laminar)

A análise por variável de similaridade também pode ser aplicada neste caso de

convecção natural ou livre. Definindo a variável de similaridade e a velocidade

adimensional como

103

( ) 4/1−=yRayxη (4.31)

( ) ( ) 2/1/Pr,

yRayvG

αη = (4.32)

Definindo a função de corrente por

yu

∂∂

=ψ ;

xv

∂∂

−=ψ (4.33)

a função de corrente adimensional pode ser definida como

( ) 4/1Pr,yRa

Fαψη = (4.34)

Daí pode-se demonstrar queηd

dFG −= . Definindo a temperatura adimensional como

∞

∞

−−

=TTTT

w

Pr),(ηθ (4.35)

Nas variáveis de similaridade, as equações de quantidade de movimento e de

energia são:

θ+′′′−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ′′−′ FFFF

43

21

Pr1 2 (4.36)

θθ ′′=′F43 (4.37)

com as seguintes condições de contorno

104

)(;;0)0(;;0

)(;0;1)0(;0;0)0(;0;0

∞=∞→→=∞→→′

======′===

TTvFTT

vFuF

w

ηθη

ηθηη

(4.38)

A solução das equações acima permite obter correlações para o coeficiente de

transferência de energia convectiva. O número de Nusselt pode ser calculado na forma

4/1

0

0

y

x

yy

Radd

xTk

Tky

kyh

Nu

=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−Δ

==

ηηθ

(4.39)

Uma correlação de Nusselt válida em toda faixa de número de Prandtl é da forma:

4/14/1

2/1 492,0Pr986,0PrPr503,0 yy RaNu ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= (4.40)

Nos limites de números de Prandtl muito altos ou muito baixos têm-se as correlações:

4/1503,0 yy RaNu = ; ( )1Pr >> (4.41)

( ) 4/1Pr600,0 yy RaNu = ; ( )1Pr << (4.42)

O número de Nusselt global pode ser definido como

ky

TTq

kyh

uNw

ywyy

∞−

′′== , (4.43)

O fluxo de calor num comprimento y de placa pode ser calculado como

105

∫ =′′=′′

y

y ywyw dyqy

q0 ,,

1 (4.44)

Pode-se definir também, yqq ywyw ,, ′′=′ . Se W e a largura da placa, a taxa de calor pode

ser calculada como

yWqWqq ywywyw ⋅′′=′= ,,, (4.45)

O número de Nusselt global definido como TkquN ywy Δ′= /, , será calculado

pela seguinte correlação

4/14/1

2/1 492,0Pr986,0PrPr671,0 yy RauN ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= (4.46)

No caso de ar ( )72,0Pr = , resulta a correlação:

4/1517,0 yy RauN = (4.47)

Ex.: 4.1. A porta de um forno de cozinha é um retângulo vertical de área 0,5 m de altura

e 0,65 m de largura. A superfície externa da porta do forno está a 40oC, enquanto o ar

do ambiente está a 20oC. Calcule a taxa de transferência de calor da porta par o ar

ambiente.

4.2.4 Transição e Efeito de Turbulência sobre a Transferência de calor

A camada limite permanece laminar se o número de Rayleigh não excede um

determinado valor, ou seja, para baixos valores de y. De acordo com Bejan, a transição

de laminar para turbulento ocorre na posição y onde 910≈yGr . A Figura 4.4 ilustra a

transição de escoamento laminar ara turbulento na parede vertical. Alguns autores

baseiam no em 910≈yRa , independente do número de Prandtl. Mas isso só seria

verdade para 1Pr = . Portanto o critério de transição é adotado como

106

)10Pr10(10 339 ≤≤≈ −yGr (4.48)

Figura 4.4. Seções laminar, transição e turbulenta em convecção natural na parede

vertical

O critério de transição também pode ser baseado no número de Rayleigh,

Pryy GrRa =

)10Pr10(Pr10 339 ≤≤≈ −yRa (4.49)

Desta forma o critério de basear-se em 910≈yRa como critério de transição só é válido

para 1Pr = . Pode-se ver que no caso de metais líquidos ( )23 1010Pr −− −≈ o número de

Rayleigh estaria na faixa 76 1010 − que é bem abaixo de 910≈yRa .

O critério de transição também pode ser baseado no número de Reynolds em

função da espessura da camada limite. Este Reynolds e estimado como

107

Pr/Re 4/12/14/1

yyyt RaRa

yyRav

≈≈≈− α

ννδ

(4.50)

No caso de 1Pr = , obtém-se

)1(PrRe 4/1 =≈ yGr (4.51)

O que leva ao valor de

)1(Pr178)10(Re 4/19 ==≈ (4.52)

na transição.

A correlação para cálculo do coeficiente de transferência de calor na faixa

laminar e transição e turbulenta foi proposta por Churchill e Chu:

[ ]

2

27/816/9

6/1

Pr)/492,0(1

387,0825,0

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++= y

y

RauN (4.53)

Correlação válida para 121 1010 <<−yRa e todos números de Prandtl. Para ar a

correlação (4.53) se reduz a

{ } )72,0(Pr325,0825,0 26/1 =+= yy RauN (4.54)

No faixa laminar, 910<yGr , a correlação que representa os experimentos mais

acuradamente é:

[ ] 9/416/9

4/1

Pr)/492,0(1

67,068,0

++= y

y

RauN (4.55)

A qual no caso do de ar reduz a

)72,0(Pr515,068,0 4/1 =+= yy RauN (4.56)

108

4.2.5 Fluxo de Calor Uniforme na Parede

No caso de fluxo de calor uniforme na parede a temperatura da parede é

desconhecida, então surge um dilema de como definir o número de Rayleigh, uma vez

que ∞−TyTw )( é incógnita também. Para fluidos com altos números de Prandtl foi

demonstrado que ( ) 4/1yy RaNu ≈ , da qual obtém-se

( ) 4/13

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≈ ∞

ανβ yTTg

kyh wy ou

( )( ) 4/13

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −≈

−′′ ∞

∞ ανβ yTTg

ky

TyTq w

w

w (4.57)

da qual se conclui que ∞−TyTw )( é proporcional a 5/1y . Desta forma a Eq. (4.57) pode

ser escrita em função do fluxo de calor na parede como

( )

5/14

)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ′′≈

−′′

∞ kyqg

ky

TyTq w

w

w

ανβ

(4.58)

O lado direito da Eq. (4.58) é definido como um número de Rayleigh modificado, ou

seja,

kyqg

Ra wy αν

β 4* ′′= (4.59)

Para escoamento laminar com alto número de Prandtl, obtém-se a correlação

( ) 5/1*5/1

8,0PrPr616,0 yy RaNu ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

≅ (4.60)

Para fluidos com Prandtl no range ar-água, a transição a turbulência ocorre para 13* 10≈yRa . Neste caso, as seguintes correlações

109

( )( )

13*55/1*

5/1*

1010 laminar, 75,0

6,0<<

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=y

yy

yy RaRauN

RaNu (4.61)

( )( )

16*1322,0*

22,0*

1010 to, turbulen645,0

568,0<<

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=y

yy

yy RaRauN

RaNu (4.62)

Nas correlações (4.61) e (4.62) o Nusselt global é baseado na diferença média de

temperatura, ∞−TyTw )( . Existem várias outras correlações disponíveis na literatura.

Vide Bejan.

4.3 Outras Configurações de Escoamentos Externos

4.3.1 Reservatório Fluido Estratificado Termicamente

Em muitas situações o reservatório que banha a parede aquecida não é

isotérmico. Neste caso define-se um parâmetro de estratificação do fluido como

max

minmax

TTT

bΔ

Δ−Δ= (4.63)

A variação do parâmetro de estratificação é mostrada na Figura 4.5. O caso 0=b

corresponde ao reservatório isotérmico e o caso 1=b corresponde à máxima

estratificação.

110

Figura 4.5 Número de Nusselt global (médio) para escoamento laminar numa parede

isotérmica e fluido estratificado termicamente.

Para escoamento laminar o Nusselt “médio” definido como

ανβ 3

max

max

, ;HTg

RakH

Tq

uN HHw

HΔ

=Δ

′′= (4.64)

é calculado como

4/1Pr),( HH RabfuN = (4.65)

4.3.2 Paredes Inclinadas

Escoamentos por convecção natural sobre paredes inclinadas são ilustrados na

Figura 4.6.

111

Figura 4.6. Transferência de calor por convecção natural em paredes inclinadas.

A seguinte correlação foi proposta para escoamento laminar:

( )[ ] 9/416/9

4/1

Pr/492,01

67,068,0

++= y

y

RauN (4.66)

na qual ( )αν

φβ 3cos yTTgRa w

y∞−

= para parede isotérmica ( )cteTw = e

kyqg

Ra wy αν

φβ 4* cos ′′= para parede com fluxo calor uniforme cteqw =′′ . No caso de

escoamentos turbulentos foi encontrado que as correlações dão melhores resultados com

g no lugar de φcosg . A Tabela 4.1 mostra valores de número de Rayleigh na transição

de escoamento laminar de água para turbulento para fluxo uniforme e parede isotérmica

em função da inclinação da parede.

112

Tabela 4.1. Valores de número de Rayleigh na transição em água ( )5,6Pr ≅ .

cteqw =′′

φ *yRa

0 5x1012 - 1014

30o 3x1010 - 1012

60o 6x107 – 6x109

cteTw =

φ yRa

0 8,7x108

20o 25x108

45o 1,7x107

60o 7,7x105

Dentro deste tópico outras configurações estão também os casos de convecção

natural em paredes horizontais, cilindros horizontais e verticais, esfera e corpos de

outras formas geométricas, cujas correlações podem ser encontradas na literatura. Vide

Bejan (1993).

4.4 Configurações de Escoamentos Internos

4.4.1 Canais Verticais

Agora serão considerados casos em que paredes confinam o fluido em

escoamento por convecção natural. A Figura 4.7 ilustra os casos de escoamentos em

canais largos e estreitos.

113

Figura 4.7 canal vertical com paredes isotérmicas; as extremidades do canal comunicam

com um fluido isotérmico.

No caso do canal largo suficientemente, de modo que, não haja interação das

camadas limites, pode-se usar os resultados do escoamento sobre uma placa. Com os

comprimentos característicos H e L, para 1Pr ≥ , o canal largo pode ser representado

pelos seguintes limites:

4/1−> HRaHL ou 1−> LRa

HL (4.67)

O canal estreito tem interesse especial. Pode-se ver pela Fig. 4.7 que, quando o

canal é estreito, o perfil de velocidade nas paredes interage formando um perfil similar

ao do escoamento num canal de placas paralelas (esc. Hagen-Poiseuille). O perfil de

temperatura tem o comportamento mostrado ao lado do canal estreito, de forma que

pode-se assumir

∞−<− TTyxTT ww ),( (4.68)

O escoamento é puramente vertical e com a hipótese de escoamento

completamente desenvolvido, a equação de quantidade de movimento se reduz a

( )∞−+= TTgdx

vd βν 2

2

0 (4.69)

114

( ) cteTTgdx

vd=−−≅ ∞ν

β2

2

(4.70)

A solução da Eq. (4.70) é similar ao caso de convecção forçada num canal de

placas paralelas e é da forma

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

Δ=

22

2/1

8 LxTLgv

νβ (4.71)

e a vazão mássica por unidade de comprimento pode ser calculada como

νβρρ12

32/

2/

TLgvdxmL

L

Δ==′ ∫− (4.72)

Pela inspeção das Eqs. (4.71) e (4.72), pode-se verificar que a velocidade e

vazão mássica independem da altura do canal H.

A taxa total de transferência de calor extraída pela corrente m′ das duas paredes

verticais é:

( ) ( )ν

βρ12

32 LTcgTTcmq p

wp

Δ=−′=′ ∞ (4.73)

Hqq

2′

=′′ (4.74)

O número de Nusselt “médio” é calculado como

LH RakH

TquN

241

=Δ′′

= (4.75)

Tendo em vista a Eq. (4.68) pode-se concluir que

( ) TTTkLq

w Δ=−<′′

∞ (4.76)

115

Portanto no limite de canal estreito

LHRaL < (4.77)

O escoamento num canal estreito, também denominado de escoamento em

chaminé, em dutos de outras seções, possui hDH RauN / constante, em que hD é o

diâmetro hidráulico. Na Tabela 4.2 apresentam-se alguns resultados

Tabela 4.2. Escoamento em chaminé (canal estreito, h

D DHRa

h< )

Forma da seção do canal hDH RauN /

Placas paralelas 1/192

Circular 1/128

Quadrada 1/113.6

Triângulo equilátero 1/106.4

4.4.2 Cavidades Aquecidas do Lado

Um caso importante de convecção natural interna é o de escoamentos induzidos

em espaços fechados que estão sujeitos a variação de temperatura horizontal. A Figura

4.8 ilustra o caso de um fluido aquecido em uma parede e resfriado na parede oposta.

116

Figura 4.8. Regimes de escoamentos para convecção natural em cavidades aquecidas do

lado para fluidos com 1Pr ≥

Da mesma forma, tem-se neste caso, cavidades largas e cavidades estreitas. A

cavidade é larga quando a espessura da camada limite é menor do que a dimensão

horizontal, Lt <δ o que é equivalente 4/1/ −> HRaHL . As correlações para o número de

Nusselt médio são:

135

09,028,0

10;10Pr;102

Pr2,0Pr22,0

<<<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

H

HH

RaLH

HLRauN

(4.78)

3353

13,029,0

Pr2,0Pr10;10Pr10;21

Pr2,0Pr

18,0

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+<<<<<

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

=

−

−

HLRa

LH

HLRa

uN

H

HH

(4.79)

O Nusselt médio e número de Rayleigh são definidos como TkHquN H Δ′′

=

( )αν

β 3HTTgRa ch

H−

= .

117

No caso oposto de cavidade estreita, 4/1/ −< HRaHL tem-se

LH

TkH

LTk

TkHquN H =

Δ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

=Δ′′

= (4.80)

indicando que neste caso a transferência de calor é puramente por condução ou difusão.

Toda a precedente discussão refere-se a cavidades quadradas ou altas em que

1/ ≥LH . No caso de 1/ <LH pode-se Ter jatos horizontais distintos nas paredes de

topo e fundo. Pode-se encontrar o Nusselt médio em função de Rayleigh em gráficos da

literatura (Bejan, pg 370).

No caso de cavidades aquecidas e resfriadas por fluxos de calor constantes

também é possível se obter correlações para o número de Nusselt. No regime de camada

limite , a temperatura varia linearmente na direção vertical ao longo da parede aquecida,

parede resfriada e no centro, e de acordo com Bejan

cteRaLH

HgyT

H =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∂∂ 9/8*

9/4

40425,0βαν (4.81)

Desde que a temperatura aumenta a mesma taxa em ambas paredes na direção vertical,

em cada nível, cteTyTyT ch =Δ=− )()( . A solução teórica para o Nusselt médio

TkHquN H Δ′′

= na camada limite para fluidos com 1Pr ≥ é

9/1

9/2*34,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

LHRauN HH (4.82)

na qual )/(4* kqHgRaH ανβ ′′= . Se o número de Rayleigh for baseado em TΔ ,

)/(/ 3* ανβ THguNRaRa HHH Δ== . Neste caso, a eq. 4.82 fica na forma

7/17/225,0 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

LHRauN HH (4.83)

118

4.4.3 Cavidades aquecidas por Baixo

Nas cavidades aquecidas do lado, o escoamento acontece tão logo a uma

pequena diferença de temperatura ch TT − seja imposta entre as duas paredes. Já na

cavidade aquecida por baixo, a diferença de temperatura imposta deve exceder um valor

crítico para que o escoamento e transferência de calor sejam detectados. Quando a

cavidade é longa e larga na horizontal, para ( ) 1708)(3 ≥−= ανβ HTTgRa chH formam-

se dois rolos quase quadrados que giram em sentidos opostos, como ilustrado na Figura

4.9. Este tipo de escoamento é conhecido com convecção de Bénard.

Figura 4.9 Camada de fluido horizontal entre duas paredes paralelas e aquecidas por

baixo. Esquerda: 1;1708 =< HH uNRa . Direita: 1;1708 >> HH uNRa

O efeito do escoamento celular é aumentar a transferência de calor na direção

vertical. Neste caso o número de Nusselt médio definido como )/( TkHquN H Δ′′= é

dado pela correlação:

95074,03/1 107103;Pr069,0 xRaxRauN HHH <<= (4.84)

na qual as propriedades físicas para se calcular Pr,, HH RauN são avaliadas na

temperatura média ( ) 2/ch TT + .

4.4.4 Cavidades Inclinadas

As correlações para este caso podem ser encontradas no livro de Adrian Bejan

(1993).

119

4.4.5 Outras Formas de Cavidades: Espaço Anelar entre Cilindros e Esferas Concêntricas

Espaços anelares entre um cilindro ou esfera internos aquecidos e os externos

resfriados, por exemplo, formam cavidades onde podem ocorrer escoamentos ou células

de escoamentos por convecção natural. As correlações de transferência de calor são da

forma:

Cilindro:

( )( )[ ]

4/1

4/55/3 Pr861,0Pr

/1

425,2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−≅′ iD

oi

oiRa

DD

TTkq em W/m (4.85)

na qual ( ) )/(3 ανβ ioiH DTTgRa −= . A Eq. (4.85) é válida quando

)(4/1ioDo DDRaD

o−>− (4.86)

Esfera:

( )( )[ ]

4/1

4/55/7 Pr861,0Pr

/1

325,2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−≅′ iD

oi

oiiRa

DD

TTkDq em W/m (4.87)

Nas correlações acima, o sub-índice i refere-se ao cilindro ou esfera internos e o

sub-índice o aos externos. Nestes casos as propriedades são avaliadas a ( ) 2/oi TT − .

120

4.5 Experimento 03: Convecção Natural em Corpos Submersos

Nesta experiência deseja a) analisar o processo de transferência de calor por

convecção natural; b) obter o coeficiente de transferência por convecção natural para

corpos submersos e c) avaliar a influência do material e das dimensões dos corpos no

valor do c coeficiente de transferência por convecção natural.

Para realização desta experiência, corpos metálicos (alumínio e cobre) de

formato cilíndrico, inicialmente, à temperatura ambiente, são imersos em água quente e

cronometra-se o tempo até que o corpo atinja o equilíbrio térmico com a água. São

feitas leituras de temperatura em intervalos de tempo para se obter a dependência da

temperatura com o tempo. A análise baseia-se no principio da capacitância concentrada.

A essência do método da capacitância concentrada é a hipótese de que a temperatura do

sólido é espacialmente uniforme em qualquer instante durante o processo transiente. Ou

seja, despreza-se o gradiente de temperatura no interior do corpo. Sob determinadas

condições, o modelo de capacitância concentrada pode ser aplicado. Normalmente, um

processo de condução transiente inicia-se pela convecção imposta na superfície do

sólido, mas dependendo do nível de temperatura pode ocorrer transferência radiativa. A

Figura 4.10 ilustra o processo.

Figura 4.10 – Resfriamento de um sólido por imersão num líquido.

Considere uma situação na qual as condições térmicas de um sólido podem ser

alteradas por convecção, radiação e fluxo de calor aplicados à superfície e geração

interna de energia. Assume-se que no instante 0t = a temperatura do sólido seja iT

diferente da temperatura do fluido T∞ e da temperatura da vizinha vizT . Em parte da

121

superfície é imposto um fluxo q′′e a geração interna é gq . Desprezando gradientes de

temperatura no interior do sólido, um balanço de energia fornece

, , ,s h g c s c r s rdTq A q q A q A Vcdt

ρ′′ ′′ ′′+ − − = (4.88)

Substituindo os fluxos de calor convectivo e radiativo na equação (4.88) resulta a

equação

( ) ( )4 4, , ,s h g s c viz s r

dTq A q h T T A T T A Vcdt

εσ ρ∞′′ + − − − − = (4.89)

A equação (4.89) é uma equação diferencial ordinária não linear que pode ser

rearranjada na forma

( )( ) ( )

4 4

, , ,viz

s h g s c s r

T T dTq A q hA A T T VcT T dt

εσ ρ∞∞

⎡ ⎤−′′ ⎢ ⎥+ − + − =

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.90)

ou definindo o excesso de temperatura, T Tθ ∞= − , resulta após algumas manipulações

( ) ,, 0s h ge s c q A qh Addt Vc Vc

θθ θρ ρ

′′ +⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ (4.91)

na qual

( ) ( )( )

4 4,

,

viz s re

s c

T T Ah h

T T Aθ εσ

∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥= +

−⎢ ⎥⎣ ⎦ (4.92)

Definindo

,e s ch Aa

Vcρ= ; ,s h gq A q

bVcρ

′′ += (4.93)

a equação (4.91) pode ser reescrita como

( ) ( ) ( ) ( ) 0d t

a t t b tdtθ

θ+ − = (4.94)

com a condição inicial

( )0 iθ θ= (4.95)

A solução da Eq. (4.94) com condição inicial (4.95) é da forma

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 0 0 0

t t t t

it exp a t dt exp a t dt b t exp a t dt dtθ θ′

′ ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′= − + − −∫ ∫ ∫ ∫ (4.96)

No caso em que se tenha somente convecção no contorno do sólido e nenhuma

geração interna

122

, 0shAa bVcρ

= = (4.97)

Em tal caso, resulta a solução

( ) s

i

T t T hAexp tT T Vcρ

∞

∞

− ⎛ ⎞= −⎜ ⎟− ⎝ ⎠

(4.98)

Uma análise mostra que o modelo de capacitância concentrada é válido quando

o número de Biot que é razão da resistência condutiva pela resistência convectiva for

0 1ci

hLB ,k

= < (4.99)

Aplicando logaritmo natural a ambos os lados da equação (4.98) se obtém

( ) shAln y tVcρ

= − (4.100)

na qual foi definido ( )i

T t Ty

T T∞

∞

−=

−. Graficando a função ( )ln y em função do tempo,

com os demais parâmetros fixos, obtém-se uma reta de coeficiente angular negativo, ou

seja, se α é o ângulo de inclinação da reta,

( ) shAtgVc

αρ−

= (4.101)

A partir dos dados experimentais da temperatura em função do tempo, grafica-se

( )i

T t Tln

T T∞

∞

⎡ ⎤−⎢ ⎥−⎣ ⎦

em função do tempo o obtém-se ( )tg α do gráfico resultante. A partir

desse valor calcula-se

( )s

tg Vch

Aα ρ

= (4.102)

São usados 4 corpos de prova; três de alumínio e um de cobre, cujas dimensões

são:

Dimensões 1(Al) 2(Al) 3(Al) 4(Cu)

D[mm] 50 50 35 50

L[mm] 200 85 200 200

Um esquema do aparato experimental é mostrado na Figura 4.11. As

propriedades do alumínio e do cobre são:

123

Aluminio (Al) c = 903 J/kgK r = 2702 kg/m3

Cobre (Cu) c = 385 J/kgK r = 8933 kg/m3

Figura 4.11 – Aparato experimental para medida de h em convecção natural. (por mvtn)

Os termopares inseridos nos corpos de prova são de cobre-constantan (tipo T) e

tem curvas de calibração na forma

[ ]22,877 3,9395oT C E mV⎡ ⎤ = +⎣ ⎦

As medidas de temperatura em função do tempo podem ser organizadas, por

exemplo, em intervalos de 30 s ou 60 s.

tempo t0 t1 .... tequlibrio ( T=T∞ )

(Al) T1

(Al) T2

(Al) T3

(Cu) T4