4. CONVERSIÓN ANALÓGICA-DIGITAL DE SEÑALES

4.1 Introducción 2

4.2 Muestreo de señales analógicas

4.2.1 Muestreo ideal

4.2.2 Muestreo natural

4.2.3 Muestreo y retención

4.3 Cuantificación

4.3.1 Cuantificación uniforme.

4.3.2 Cuantificación no uniforme.

4.3.2.1 Compansión con Ley A.

4.3.2.2 Compansión con Ley µ.

4.3.2.3 Mejora en la relación señal a ruido de cuantificación.

4.4 Codificación

4.5 Modulación de Pulsos Codificados (PCM)

4.6 Multiplexación por División en el Tiempo (MDT)

4.7 Comunicación por pulsos

4.7.1 Modulación por Amplitud de Pulso (PAM)

4.7.2 Modulación por Anchura de Pulso (PWM)

4.7.3 Modulación por Posición de Pulsos (PPM)

4.8 Conclusiones (Ventajas e inconvenientes)

4.1 Introducción Hasta el momento se han descrito las modulaciones analógicas, tanto la señal moduladora como la señal modulada eran analógicas. Pero supóngase que en lugar de transmitir una señal analógica se desea enviar una señal digital, que va indicando el valor de x(t), aunque sea de forma aproximada. Para esto hay que someter a la señal x(t) al proceso indicado en la figura 4.1. A lo largo del tema se describirá este proceso en detalle.

Figura 4.1

xQ(t) xR(t)

Codificador Cuantificador Muestreo y retención

x(t)

fM

La señal x(t) tiene las características del apartado 2.1 y la forma de la figura 2.3. No es posible indicar los valores en todos los instantes de tiempo de x(t), dado que las velocidades serían infinitas. Esto obliga a muestrear la señal y considerarla solo cada cierto intervalo de tiempo; esto es la operación de muestreo que se expondrán posteriormente. Si se considera el valor de x(t) en un cierto instante este puede tomar uno de un conjunto infinito de valores. Para indicar un conjunto infinito de valores la señal digital debería tendría también un rango infinito de valores, cosa que no es posible. Por esto el valor de la muestra se toma como el más próximo al valor de un conjunto finito de valores (cuantificador). Para generar el valor de la señal digital en la salida es necesario que la muestra este estable hasta el siguiente instante de muestreo (retención), dando tiempo al codificador a generar la señal en la salida. El codificador por cada muestra de la señal genera un valor de la señal digital; y para uno de los posibles valores de la muestra genera un valor distinto de la señal digital. Además el codificar entrega la señal en el formato digital que se precise, por ejemplo como una palabra de valores binarios; es decir, un conjunto finito de dígitos binarios (por ejemplo “10101100”).

4.2 Muestreo de señales analógicas En este apartado se repasará el teorema del muestreo. Inicialmente se muestreará con una señal genérica, para esto se multiplicará la señal x(t) por una señal periódica q(t) de frecuencia fundamental fM Hz, como en la figura 4.2.

2

Figura 4.2

)t(q)t(x)t(xM =Muestreada

q(t) Muestreadora ωM = 2πfM=(2π)/TM

x(t) Señal a muestrear

Problema de muestreo: DBL, … La señal q(t) se puede desarrollar por la serie compleja de Fourier (4-1), y su transformada de Fourier viene dada por 4-2.

∑+∞

−∞=

ω=k

tjkk

Mea)t(q (4-1)

( )∑+∞

−∞=

ω−ωδπ=ωk

Mk ka2)(Q (4-2)

Entonces el espectro de la señal muestreada se puede calcular como en 4-3.

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ...3Xa2XaXa

...3Xa2XaXaXa

kXak)(Xa

ka2)(X21)(Q)(X

21)(X

M3M2M1

M3M2M10

kMk

kMk

kMkM

+ω+ω+ω+ω+ω+ω+

+ω−ω+ω−ω+ω−ω+ω=

=ω−ω=ω−ωδ∗ω=

=ω−ωδπ∗ωπ

=ω∗ωπ

=ω

−−−

∞+

−∞=

∞+

−∞=

+∞

−∞=

∑∑

∑

(4-3)

El espectro de la señal muestreada queda como en la figura 4.3, donde se supone q(t) real y par; entonces los coeficientes ak son reales y ak= a-k. Suponiendo solo que x(t) es real se cumpliría ak= a∗

-k, y el módulo de la señal muetreada tendría la misma forma. En la figura se supone que ωM>2B, por eso no se solapan los espectros.

Figura 4.3 ωM -2ωM B

a0X(ω) a-3X(ω+3ωM) a-2X(ω+2ωM)

a-1X(ω+ωM) a3X(ω-3ωM) a2X(ω-2ωM)

a1X(ω-ωM)

-3ωM -ωM 3ωM 2ωM

. . . . . .

XM(ω)

ω

Con un filtro paso bajo ideal con ancho de banda B rad/s y ganancia unitaria en la banda de paso se puede recuperar la señal (a0X(ω), a0x(t)). Estrictamente el

3

filtro no tendría que ser ideal; debe tener ganancia constante en |ω|<B y nula en |ω|>(ωM-B). Aumentar la frecuencia de muestreo aumenta la separación de los espectros y hace que la pendiente del filtro en la banda de transición no sea tan abrupta. Cuestión. Indique la ganancia que debe tener el filtro paso bajon recuperador en la banda de paso si se quiere obtener x(t). Si ωM=2B los espectros se tocan (figura 4.4) y el filtro de recuperación debe ser ideal.

Figura 4.4

B ωM -3ωM -ωM 3ωM 2ωM

. . . . . .-2ωM

XM(ω)

ω

Si ωM<2B los espectros se solapan (figura 4.5) y el espectro resultante para |ω|<B se obtiene sumando esas componentes espectrales. Hay distorsión y no se puede recuperar la señal x(t) por filtrado. A este fenómeno se le conoce con el nombre de solapamiento o aliasing.

Figura 4.5

.2ωM ωM 2ωM --3ωM

XM(ω)

ω

3ωM -ωM

Luego para poder recuperar la señal la frecuencia d4-4; es decir, la frecuencia de muestreo tiene que sdel ancho de banda de la señal paso bajo que se muse dice que se muestrea a la frecuencia de Nyquist.

B2M ≥ω 4.2.1 Muestreo ideal Se llama de esta forma cuando la señal muestreadoDelta de la forma dada en 4-5. La expresión en el tie

4

. .

. . .

e muestreo tiene que cumplir er mayor o igual que el doble estrea. Cuando ωM=2B rad/s

(4-4)

ra q(t) es un tren de impulsos mpo es 4-6.

Problema: muestreo de un tono

( )∑+∞

−∞=

−δ=k

MkTt)t(q (4-5)

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ...T2t)T2(xTt)T(x

...T2t)T2(xTt)T(xt)0(x

kTt)kT(xkTt)t(x)t(q)t(x)t(x

MMMM

MMMM

kMM

kMM

++δ−++δ−++−δ+−δ+δ=

=−δ=−δ== ∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

(4-6)

La forma en el tiempo en este caso se tiene en la figura 4.6.

Figura 4.6 El coeficiente ak del desarrollo en serie del tren de impulsos es constante y vale 1/TM, entonces el espectro de la señal muestreada está dado por 4-7. Todas las réplicas del espectro tienen la misma amplitud.

( ) ( )∑∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

ω−ω=ω−ω=ωk

MMk

MkM kXT1kXa)(X (4-7)

4.2.2 Muestreo natural El muestreo anterior se llama ideal por la naturaleza de la señal muestreadora, esta señal solo se puede aproximar en el laboratorio o en un sistema de cálculo numérico. Se llama muestreo natural al realizado cuando la señal muestradora es un tren de pulsos cuadrados de la forma dada en 4-8, donde al cociente τ/TM se le llama ciclo de trabajo. La expresión en el tiempo es 4-9.

∑+∞

−∞=

τ−

Π=k

MkTt)t(q (4-8)

t

x(t)

xM(t)

-TM TM 2TM

5

∑+∞

−∞=

τ−

Π==k

MM

kTt)t(x)t(q)t(x)t(x (4-9)

La forma en el tiempo en este caso se tiene en la figura 4.7.

Figura 4.7

τ

TM

xM(t)

x(t)

t

El coeficiente ak del desarrollo en serie del tren de pulsos esta dado por 4-10. El espectro de la señal muestreada es 4-11, su bosquejo coincide con el de la figura 4.3.

ττ=

MMk T

kcsinT

a (4-10)

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ...2XT

2csinT

XT

csinT

...2XT

2csinT

XT

csinT

XT

kXT

kcsinT

kXa)(X

MMM

MMM

MMM

MMMM

kM

MMkMkM

+ω+ω

τ−

τ+ω+ω

τ−

τ+

+ω−ω

ττ+ω−ω

ττ+ω

τ=

=ω−ω

ττ=ω−ω=ω ∑∑

+∞

−∞=

+∞

−∞=

(4-11)

4.2.3 Muestreo y retención El muestreo y retención consiste en tomar la muestra de la señal en un instante dado y mantener el valor hasta el siguiente instante de muestreo (figura 4.8)

6

Figura 4.8

TM

xR(t)

x(t)

t

Cuestión. Estime el ancho de banda estimado por el primer paso por cero de los pulsos de la figura 4.8. Para determinar el espectro de la señal muestreada de esta forma se recurre a un artificio matemático, el sistema que realiza el muestreo y retención obedece al diagrama de bloques de la figura 4.9; es decir un muestreo ideal seguido de un SLIT con la respuesta impulsiva que se indica.

Figura 4.9

( )∑+∞

−∞=

−δ=

kMkTt)t(q

−Π=

MM

T2/Tt)t(h

xM(t)x(t)

xR(t) x(t) Muestreo y retención xR(t)

La función de transferencia del SLIT es 4-12.

[ ] 2Tj

MM

M

MM

e2TcsinT

T2/Tt)t(h)(H

ω

πω

=

−Πℑ=ℑ=ω (4-12)

Entonces el espectro de la señal muestreada y retenida se puede calcular como en 4.13.

( )

( ) 2Tj

M

kM

2Tj

MM

kM

M

2Tj

MMMMR

M

M

M

e2TcsinkX

e2TcsinTkX

T1

e2TcsinT)(X)(H)(X)(X

ω∞+

−∞=

ω∞+

−∞=

ω

πω

ω−ω=

=

πω

ω−ω=

=

πω

ω=ωω=ω

∑

∑ (4-13)

7

La exponencial solo es un retardo en el tiempo, no afecta a las posiciones espectrales, se bosquejará por tanto el módulo (4-14). Las dos componentes de 4-14 se bosquejan en la figura 4.10. Las componentes de alta frecuencia son las responsables de las discontinuidades en la “aproximación en escalera” de x(t).

( )

πω

ω−ω=ω ∑

+∞

−∞= 2TcsinkX)(X M

kMR (4-14)

Figura 4.10 ωM -2ωM B -3ωM -ωM 3ωM 2ωM

. . . . . .

| XR(ω)|

ω

Se observa que si ωM>>B entonces la distorsión en el origen de X(ω) es despreciable. Bajo esta condición se podría recuperar x(t) con mínima distorsión con un filtro paso bajo de ganancia constante en la banda de paso. Cuestión. ¿Cuál sería la señal recuperada en este caso? Cuestión. ¿Cuál sería la función de transferencia del filtro recuperador para elimininar la distorsión? Cuestión. Estudie la señal en el dominio del tiempo y de la frecuencia si la duración de los pulsos es menor que TM (0<τ<TM), por ejemplo τ=TM/2.

4.3 Cuantificación Por los motivos expuestos al principio de este capítulo es necesario realizar la cuantificación de la señal, una vez que se ha completado el proceso de muestreo y retención. 4.3.1 Cuantificación uniforme En la figura 4.11 se observa la señal que se muestrea, x(t); y la señal muestreada y retenida, xR(t). Antes de codificar la señal es preciso cuantificar la señal, xQ(t); en la salida del cuantificador solo son posibles un conjunto finito de valores (en el ejemplo: 0, ±0,2, ±0,4,... ), el valor de la muestra se aproxima en la salida del

8

cuantificador al valor más próximo. A la distancia entre dos niveles adyacentes del cuantificador se le llama intervalo de cuantificación (∆), en el ejemplo vale 0,2. Cuando este valor es constante se dice que el cuantificador es uniforme, como en el ejemplo.

Figura 4.11

∆

TM

xQ(t)

nq(t)

xR(t)

x(t)

t

A la diferencia entre xR(t) y xQ(t) se le llama ruido de cuantificación (4-15); y siempre es menor que la mitad del intervalo de cuantificación (4-16); en el ejemplo: ∆/2=0,1.

)t(x)t(x)t(n QRq −= (4-15)

2)t(nq

∆< (4-16)

El cuanficador uniforme es un sistema no lineal, con una característica entre la entrada (x) y la salida (Q(x)) como la de la figura 4.12, que se muestra a modo de ejemplo. Cuestión. Estime el ancho de banda estimado por el primer paso por cero de los pulsos cuantificados de la figura 4.11.

9

Figura 4.12

∆

∆y-4

y-3

y-2

y4

y-1

y2

y3

y1

-xsc=x-4

x-3 x-2 x-1

xsc=x4 x3 x2 x1 x0

Q(x)

x

Normalmente el número de niveles de salida del cuantificador (L) es potencia de 2, esto se debe a que los niveles se van a direccionar con un número entero de bits. Es decir, si n es el números de bits de codificador (por muestra), se cumple la expresión 4-17. Puede ser 2n>L, pero no es lo habitual, habría códigos que no se usarían y aumentaría la tasa binaria trasnmitida, y por tanto el ancho de banda. Habitualmente la mitad de los valores del cuantificador (L/2) son positivos y la mitad negativos.

n2L = (4-17) En el cuantificador uniforme de la figura se tienen 8 niveles, 4 positivos y 4 negativos, cada nivel se codificará con 3 bits. Cuestión. Debe observarse que los cuantificadores de las figuras 4.11 y 4.12 no son iguales. Se realizan las siguientes definiciones: xsc: es el valor de sobrecarga del cuantificador, se hace coincidir con el valor

máximo de la señal, xk: son los niveles o umbrales de decisión. El subíndice k toma los valores: 0, ±1,

…, ±(L/2), yk: es el valor de representación, para este caso toma los valores ±1, ±2, …,

±(L/2), su valor está dado por la expresión 4-18.

10

<∀∆

+=+

>∀∆

−=+

=+

−

0k2

x2xx

0k2

x2

xx

yk

1kk

kk1k

k (4-18)

También se verifica 4-19.

1nsc

nscsc

1kk 2x

2x2

Lx2xx −− ===−=∆ (4-19)

En la figura 4.13 se representa el error de cuantificación (x-Q(x)) dependiendo de la entrada del cuantificador.

Figura 4.13

Zona de error de sobrecarga

Zona de error de sobrecarga

Zona de error granular

-xSC

xSC

-∆/2

+∆/2

x-Q(x)

x

El ruido de cuantificación se compone de ruido granular más ruido de sobrecarga (4-20), el primero es el que aparece cuando el valor de pico de la señal es menor o igual que el valor de sobrecarga del cuantificador, el segundo aparece cuando la señal es mayor que el valor de sobrecarga del cuantificador. Normalmente el ruido de sobrecarga será nulo, entonces el ruido de cuantificación coincide con el ruido granular (4-21).

)t(n)t(n)t(n scgq −= (4-20)

)t(n)t(n gq = (4-21)

Suponiendo que no hay ruido de sobrecarga, se demuestra por métodos estadísticos que si todos los valores del error granular son igual de probables, entre -∆/2 y ∆/2, entonces la potencia media del rudio de cuantificación está dada por la expresión 4-22.

11

n2

2sc

2

2sc

22

q 23x

L3x

12)t(nN

q ⋅==

∆== W (4-22)

Entonces ya se puede calcula la relación entre la potencia de la señal y la potencia del ruido de cuantificación (4-23 y 4-24).

2sc

2n2

2sc

22

2

2

q

2

q x)t(x23

x)t(xL3)t(x12

N)t(x

NS ⋅

==∆

== (4-23)

( )

+⋅+=

=

++≅

=

2sc

2

2sc

2

q

2

q

x)t(x

log10n68,4

x)t(x

log10Llog208,4N

)t(xlog10dB

NS

(4-24)

Cuestión. Sea un tono de valor de pico 0,8 y un cuantificador uniforme de 8 niveles se pide estimar: - el intervalo de cuantificación, - el ruido de cuantificación, - la relación señal a ruido de cuantificación uniforme, en lineal y en dB. En adelante cuando se tenga un cuantificador uniforme se llamará a la potencia del ruido de cuantificación Nqu, y a la relación señal a ruido S/Nqu. Se define el error absoluto de cuantificación para un valor dado de la señal muestreada como 4-25, que se puede expresar en % (4-26).

)x(Qxqa −= (4-25)

%100)x(Qx(%)qa −= (4-26)

Finalmente el error relativo de cuantificación para un valor dado de la señal muestreada se calcula con 4-27, se puede expresar en % (4-28).

x)x(Qx

xqq a

r−

== (4-27)

%100x

)x(Qx%100xqq a

r−

== (4-28)

12

4.3.2 Cuantificación no uniforme Pero normalmente, por ejemplo en señales de audio, los valores de x(t) no son equiprobables, sino que los valores de pequeño valor son más probables; es decir los más cercanos a cero. Esto hace que cuando la señal se mantiene durante un intervalo de tiempo con pequeña amplitud la S/Nqu sea pequeña. O dicho de otra forma que en esos instantes el error relativo cometido sea grande con el uso del cuantificador uniforme. Se muestra la situación de la figura 4.14 durante un intervalo de timepo en que disminuye la amplitud de x(t). En la figura 4.14 xQ(t) no es una buena aproximación “en escalera” de x(t).

Figura 4.14

xQ(t)

x(t) t

Cuestión. Para la situación de la figura 4.11 calcule qa y qr para los valores muestreados y retenidos de: 0,751 y 0,253. Para mejorar esta situación se recurre a los cuantificadores no uniformes, en ellos los niveles adyacentes están más próximos donde la señal es más probable, en el caso de las señales de audio en torno al origen. Los niveles se separan más donde la señal es menos probable. Esto quiere decir que el intervalo de cuantificación (∆) no es constante, es más pequeño donde los niveles de cuantificación están más próximos y aumenta cuando los niveles se separan. El cuanficador no uniforme es un sistema no lineal, con una característica entre la entrada (x) y la salida (Q(x)) como la de la figura 4.15, que se muestra a modo de ejemplo. Esta característica tiene 8 niveles de cuantificación igual que la característica del cuantificador uniforme que se mostró anteriormente.

13

El cuantificador no uniforme de la figura 4.15 tiene 8 niveles de cuantificación, 4 positivos y 4 negativos, cada nivel se codificará con 3 bits.

Figura 4.15

∆

y-4

y-3

y-2

y4

y-1

y2

y3

y1 -xsc=x-4 x-3 x-2 x-1

xsc=x4 x3 x2 x0

x1

Q(x)

x

El valor de ∆ no es constante y depende del intervalo (4-29).

1kk xx −−=∆ (4-29) Para el cuantificador no uniforme en la figura 4.16 se representa el error de cuantificación (x-Q(x)) dependiendo de la entrada del cuantificador.

Figura 4.16

Zona de error de sobrecarga

Zona de error de sobrecarga

Zona de error granular

-xSC

xSC

x-Q(x)

x

En adelante cuando se tenga un cuantificador no uniforme se llamará a la potencia del ruido de cuantificación Nqnu, y a la relación señal a ruido S/Nqnu.

14

Con el uso del cuantificador no uniforme se mejora la “aproximación en escalera” para valores pequeños de la señal; por el contrario se empeora para niveles altos de señal, por el aumento de escalón de cuantificación. Dicho de otra forma, se consigue que en ambas situaciones no sean tan dispares los valores del error relativo (qr). En la figura 4.17 se muestra la señal de la figura 4.17 cuando se usa un cuantificador no uniforme.

Figura 4.17

xQ(t)x(t) t

La forma en que se diseña un cuantificador no uniforme se indica en la figura 4.18.

Figura 4.18

Compresor Expansor C(x)

x(t) Cuantificador

uniforme

x1(t) x2(t) x2(t) xQ(t) x

TRANSMISOR RECEPTOR

15

Un cuantificador no uniforme se compone de: - un amplificador no lineal llamado compresor, con ganancia elevada para los valores pequeños de señal, sin perdida de generalidad se supone que el valor de pico de la señal de entrada y de salida son iguales; - un cuantificador uniforme; - un amplificador no lineal llamado expansor, que atenua los valores pequeños de señal, sin perdida de generalidad se supone que el valor de pico de la señal de entrada y de salida son iguales. Al proceso de compresión-expansión se le llama compansión. Las caractterísticas del compresor y del expansor son de tal forma que si se disponen en cascada se obtiene la señal sin distorsión, siempre que no se supere el valor de pico. En la figura 4.19 se muestra un ejemplo de las señales obtenidas.

Figura 4.19

x2(t) x1(t)

xQ(t) x(t) t

4.3.2.1 Compansión con Ley A. Los amplificadores de compansión se encuentran normalizados, en Europa se usan los que se conocen con el nombre de Ley A. La expresión del compresor se indica en 4-30.

≤≤+

+

≤≤+

=

1x

xA1)x(sig

LnA1x

xALn1

x

A1

xx

0)x(sigLnA1xA

)x(C

max

maxmax

max

(4-30)

El parámetro A es una constante positiva mayor que 1, normalmente vale 87,6. En la figura 4.20 se muestra esta característica para diferentes valores de A, solo

16

se muestra un cuadrante dada la simetría de la figura. No se muestra el expansor dada la simetría de las curvas de ambos amplificadores.

Figura 4.20

A=1000

A=87,6

A=10

A=1

4.3.2.2 Compansión con Ley µ. En los EEUU se usan los amplificadores que se conocen con el nombre de Ley µ. La expresión del compresor se indica en 4-31.

)x(sig)1(Ln

xx

1Lnx)x(C max

max µ+

µ+

= (4-31)

El parámetro µ es una constante positiva mayor que 0, normalmente vale 255. En la figura 4.21 se muestra esta característica para diferentes valores de µ.

Figura 4.21

µ=1000

µ=255

µ=10

µ=0

17

4.3.2.3 Mejora en la relación señal a ruido de cuantificación Supóngase que inicialmente se tiene un cuantificador uniforme (S/Nqu) y posteriormente se dispone de un cuantificador no uniforme (S/Nqnu) con el mismo número de niveles (L). Se demuestra que la mejora para señales de bajo nivel viene dada por la expresión 4-32, donde Gc es la ganancia del compresor en el origen. En dB se tiene 4-33, debe notarse que mejora o aumento en dB vale 20logGc.

qu

2c

qnu NSG

NS

= (4-32)

dBNSGlog20dB

NS

quc

qnu

+=

(4-33)

Cuestión. Sea un tono de valor de pico 0,8 y un cuantificador no uniforme de 8 niveles que usa Ley A, donde A vale 87,6 se pide estimar: - la ganancia del compresor para señales de bajo nivel, - la relación señal a ruido de cuantificación no uniforme, en lineal y en dB. - la mejora en dB. En la figura 4.19 se muestra la variación de la S/Nqu y S/Nqnu en función de la potencia de la señal x(t) para diferentes número de bits usados.

Figura 4.22

2sc

2

x

)t(xlog10

20logGc

n = 8 (nu)

n = 8 (u)

n = 7 (nu)

n = 7 (u)

n = 6 (nu)

S/Nq (dB)

n = 6 (u)

18