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TALLER DE LECTURA EN ÁREAS O MATERIAS Unidad Didáctica: “El Número Real”. ETAPA: SECUNDARIA CURSO: 4º OPCIÖN B MATERIA: MATEMÁTICAS

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TTAALLLLEERR DDEE LLEECCTTUURRAA EENN ÁÁRREEAASS OO MMAATTEERRIIAASS

Unidad Didáctica: “El Número Real”.

ETAPA: SECUNDARIA

CURSO: 4º OPCIÖN B

MATERIA: MATEMÁTICAS

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Leemos en Matemáticas:

Temporalización: doce sesiones

Lectura de textos con formatos continuos: Capítulos 4 y 12 de: El diablo de los números de Hans Magnus Enzensberger. Fragmento del libro: Dios creó los números de Stephen Hawking. Artículos, citas y textos sacados de diversos documentos, libros y páginas web

Lectura de texto con formatos discontinuos: Fotografías, reproducciones de obras de arte, grabados y documentos antiguos, diagramas, interface de programas informáticos.

Educación en valores: Esfuerzo, cooperación y trabajo en equipo, coeducación.

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1. Introducción (justificación de su elección).

La materia

Las matemáticas constituye una de las materias que presenta más dificultad a la hora de integrar el Plan de Lectura. Con demasiada frecuencia desligamos las habilidades lectoras y de expresión oral y escrita de los alumnos con su rendimiento en matemáticas. Sin embargo, la mayoría de profesores/as de matemáticas está de acuerdo en que el principal obstáculo con el que se encuentran los alumnos está en la resolución de problemas donde la comprensión lectora, tanto de formatos continuos como discontinuos es la base para poder desarrollar las estrategias necesarias para resolver problemas.

El alumnado

Por otra parte, en muchas ocasiones, los alumnos tienen grandes dificultades en expresar con palabras (y mucho más con lenguaje matemático) los conceptos con los que está trabajando en clase aunque sean capaces de realizar los ejercicios que se les propone. Como consecuencia de esto, muchos alumnos tienen una visión de la materia como algo ajeno al mundo que les rodea y al resto de las áreas del currículo. La introducción de los objetivos del Plan de Lectura en el área de matemáticas puede contribuir en gran medida a paliar estas limitaciones.

El plan de Lectura

Tampoco se puede perder de vista que la introducción del plan de lectura en la clase de matemáticas ofrece la posibilidad de usar nuevas metodologías que sean motivadoras y den una visión distinta de este área. El acceso a la información que tienen hoy día nuestros alumnos de secundaria a través de medios de comunicación, medios informáticos (Internet, software específico), bibliotecas públicas, centros de ocio etc., ofrece muchas posibilidades a la hora de hacer que el alumno sea el protagonista de su propio aprendizaje.

La Unidad Didáctica

Los alumnos de 4º de E.S.O. terminan con este curso la secundaria obligatoria. Algunos de ellos continuarán estudiando bachillerato o un ciclo de formación profesional. Otros sin embargo, accederán al mundo laboral. En cualquier caso, es quizá más importante en este curso que se incluyan los objetivos del plan de lectura en el área de matemáticas desde el principio. Por eso se ha escogido esta unidad didáctica: Los números reales que es, habitualmente la primera en la programación del área. Por otra parte, los números están presentes en buena parte de las actividades de nuestra vida cotidiana, aunque en este nivel los conceptos sobre números

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que se estudian están más enfocados al campo científico ya que, de las dos opciones que se ofrecen como alternativa en 4º de E.S.O. se ha escogido la opción B donde se da una visión más rigurosa de la materia.

El equipo interdisciplinar del Centro ha hecho un esfuerzo por trasladar a los distintos departamentos la necesidad de incluir los objetivos del plan de lectura entre los objetivos de las distintas áreas. Al mismo tiempo que se intentan coordinar actividades que impliquen a varios departamentos y que incluyan la lectura de formatos continuos o discontinuos.

2. Elementos básicos: Objetivos, contenidos y criterios de evaluación de la Unidad Didáctica.

Cuando concluya la Unidad Didáctica los alumnos y alumnas serán competentes para: 1) Clasificar un conjunto de números reales en números racionales e irracionales, indicando el conjunto

numérico más pequeño al que pertenecen. 2) Representar gráficamente en la recta real los números racionales e irracionales. 3) Representar en la recta real intervalos y semirrectas que se definen mediante alguna relación algebraica. 4) Utilizar adecuadamente aproximaciones por defecto y exceso de números reales, acotando el error

absoluto o relativo, en un contexto de resolución de problemas. 5) Utilizar adecuadamente la notación científica y operar con números expresados en notación científica. 6) Operar con potencias de exponente entero y racional. 7) Operar con expresiones radicales incluyendo, en su caso, la racionalización de las mismas. 8) Comprender distintos tipos de textos y utilizar la lectura comprensiva como herramienta para obtener

información de distintas fuentes. 9) Utilizar las herramientas y recursos de la Biblioteca Escolar y las tecnologías de la información y la

comunicación como fuente de consulta y como medios de expresión. 10) Mejorar su expresión oral y escrita a través de la elaboración y exposición de sus trabajos. 11) Desarrollar habilidades de lectura crítica e interpretativa.

3. La organización de la secuencia de enseñanza-aprendizaje.

La unidad didáctica elegida es la que está programada en primer lugar. Tiene mucho contenido y se han previsto numerosas actividades para su desarrollo por lo que se van a emplear bastantes sesiones. El número de periodos lectivos correspondientes al área de matemáticas en 4º de E.S.O. es de cuatro semanales. Para el desarrollo de la unidad didáctica se emplearán 12 sesiones que coinciden con las tres primeras semanas de curso.

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Algunas de las actividades propuestas se harán en clase y otras en casa contando con la supervisión del profesor o profesora. En algunas actividades será necesario el uso del ordenador y el acceso a Internet por lo que se hará una previsión de tiempos y espacios que lo permitan. Para la realización de algunas actividades los alumnos deberán buscar información a través de libros o de Internet. Esta búsqueda no siempre se va a realizar en clase, por lo que el alumno tendrá que hacer uso de la biblioteca del centro, de la biblioteca municipal y de los recursos de los que disponga en su propia casa: material bibliográfico, acceso a Internet etc. En este caso se requerirá el apoyo de los padres. Alguna de las actividades propuestas está planteada en grupo, por lo que habrá que adaptar la distribución del espacio adecuadamente. Otras actividades están planteadas con la participación de los departamentos de Tecnología y Física y Química. Habrá que coordinarse, por tanto, con los/las profesores/as correspondientes teniendo en cuenta que ambas son materias optativas en 4º de E.S.O. y no todos los alumnos las cursan. La secuencia de la unidad didáctica incluye las siguientes fases:

1. Fase inicial: actividades de introducción y motivación junto a los procesos de comprensión y expresión. (Una sesión)

2. Fase de desarrollo y búsqueda. (Ocho sesiones) 3. Fase de síntesis, presentación y evaluación. (Dos sesiones) 4. Fase de generalización: sugerencia sobre nuevas lecturas, actividades de refuerzo y

enriquecimiento. (Una sesión)

3.1 Fase inicial: actividades de introducción y motivación junto a los procesos de comprensión y expresión. En esta primera fase se van a repasar los conjuntos numéricos con los que se ha trabajado en cursos anteriores:

Números naturales:

Números enteros: Z

Números racionales: Y se va a introducir un nuevo conjunto de números: los números irracionales que junto con los números anteriores formarán el conjunto de los números reales . Lo vamos a hacer realizando la siguiente actividad:

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Actividad 1: IIInnntttrrroooddduuucccccciiióóónnn aaalll cccooonnnccceeeppptttooo dddeee nnnúúúmmmeeerrrooo rrreeeaaalll Se lee en clase el capítulo 4: La cuarta noche del libro “El diablo de los números” de Hans Magnus Enzensberger. Después los alumnos deben contestar las cuestiones y realizar los ejercicios que aparecen a continuación: 1) ¿Qué tipo de número aparece cuando se teclea uno entre tres en la calculadora?. ¿Recuerdas cómo se

daba el paso inverso, es decir, cómo se pasa de decimal a fracción un número de igual tipo que 0’33333333….? Para recordarlo mejor pasa de decimal al fracción los siguientes números: a) 3’44444…. b) 21’454545…. c) 3’789789789… d) 98'35

2) En el texto que hemos leído Robert no cree que el número 0’9999999…. sea igual a 1. ¿Podrías demostrarlo tú?

3) Demuestra que entre 0 y 1 se pueden encontrar infinitas “serpientes interminables” (números racionales),

utilizando un razonamiento distinto al que hace Robert en el libro.

4) Cuando el protagonista teclea en la calculadora 6/7 aparece en la pantalla: 0’857142857142857…. ¿qué otro tipo de números es este?. Pon algunos ejemplos más y recuerda como se puede pasar este tipo de números a fracción. Para ello pasa a fracción los siguientes decimales infinitos: a) 2’4353535…. b) 12’234444…. c) 7 '31476

5) En el libro, cuando Robert teclea en la calculadora 2 aparece un número decimal infinito que el diablo de los números llama “irrazonable”. Utiliza tu calculadora y busca más números “irrazonables” utilizando la tecla

6) Ahora lee atentamente el razonamiento por el que el diablo de los números demuestra que la diagonal de

un cuadrado de lado 1 es precisamente 2 y trata de describirlo con tus palabras. Demuéstralo también utilizando el teorema de Pitágoras.

3.2 Fase de desarrollo y búsqueda El desarrollo de la unidad se hará a través de las siguientes actividades que están clasificadas en distintos apartados atendiendo a los contenidos de la unidad. Parte de las actividades se realizarán en clase y otra parte en casa o en la biblioteca. En total emplearemos ocho sesiones.

II.. LLOOSS NNÚÚMMEERROOSS IIRRRRAACCIIOONNAALLEESS Empezamos el estudio de los números irracionales recopilando información sobre la historia del descubrimiento de estos números. Realizaremos la siguiente actividad:

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Actividad 2: UUUnnn pppooocccooo dddeee hhhiiissstttooorrriiiaaa Se divide la clase en 4 grupos que van a recoger información sobre las cuestiones indicadas a continuación. Pueden hacerlo usando Internet, en el aula althia, usando documentos que previamente hemos colocado en los ordenadores y recursos bibliográficos de la biblioteca del centro. Una vez recogida la información cada grupo debe exponerla en clase al resto de compañeros, para hacerlo elaborarán un mural que ilustre y a la vez les sirva de guía en su exposición. Se advierte a los alumnos que pongan especial cuidado en la elaboración de los murales porque al final de la unidad se van a trasladar fuera del aula para que los puedan ver y leer el resto de compañeros, profesores y padres. En esta actividad se fomentan los valores de trabajo en equipo y cooperación. Los temas sobre los que se va a trabajar son: 1) Los pitagóricos. El descubrimiento de los irracionales: La crisis de los inconmensurables en la

antigua Grecia. La espiral de Teodoro de Cirene. Libro: Historia de la matemática autor: Carl B. Boyer http://www.epsilones.com/paginas/a-bestiario.html#bestiario-irracionales http://centros5.pntic.mec.es/~marque12/matem/teodoro.html http://fisicarecreativa.net/matematicalife/capitulo02.html http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Pitagoras14.asp http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/perlasmatematicas/irracionalidadraizcuadradados.htm http://roble.cnice.mecd.es/~tvirgos/matematicas/irracionales.htm

2) Mujeres matemáticas de la época:

Theano de Trotona Hipatia de Alejandría

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4t.htm Mujeres Matemáticas y Astrónomas en la antigüedad (Fundación Canaria Orotava de

Historia de la Ciencia) http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/mujeresmat

.pdf http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/43-1-b-Hypatia.html Libro: “Matemática es nombre de mujer” de Susana Mataix, el primer capítulo dedicado a

Hipatia de Alejandría Libro: “Mujeres, manzanas y matemáticas. Entretejidas”

De: Xaro Nomdedeu Moreno. Colección: La matemática en sus personajes. (n° 7) Editorial: Nivola Libros Ediciones. Páginas transcritas: 99 – 107 en la web:

http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate1p.htm El trabajo sobre mujeres matemáticas toca de lleno el tema de la coeducación

3) El número π: historia y curiosidades http://www.epsilones.com/paginas/a-bestiario.html#bestiario-pi http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm http://www.xtec.es/~fgonzal2/curio_irrac.html http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/perlasmatematicas/pi.htm http://ciencianet.com/pi.html Poesía sobre el número π (documento interno)

4) El número de oro

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http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/belleza/canonraizdos.htm http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/belleza/canonaureo.htm http://www.epsilones.com/paginas/a-bestiario.html#bestiario-razonaurea http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/numero/marco_nume

ro.htm http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/Expode/Dali/Archivos/dali18.pdf http://thales.cica.es/files/glinex/practicas-glinex05/matematicas/oro/El_nzmero_de_oro.pdf

Actividad 3: LLLaaa iiirrrrrraaaccciiiooonnnaaallliiidddaaaddd dddeee 2 En esta actividad se va a “leer” una demostración matemática y a tratar de comprender el razonamiento.

1) Lee la demostración en el documento: raiz de dos.pdf hasta que la comprendas y después trata de escribirla en tu cuaderno 2) De la wikipedia se ha sacado este documento sobre demostraciones en matemáticas: demostración matemática . Leelo y busca en la wikipedia qué es la demostración por contraposición y la demostración por inducción en matemáticas. ´

IIII.. LLOOSS NNÚÚMMEERROOSS RREEAALLEESS Para trabajar con el conjunto de números reales planteamos dos actividades, la primera consiste en una lectura de un artículo donde, en clave literaria, se habla de las sucesivas ampliaciones del campo numérico. La segunda actividad es la más habitual de clasificar un grupo de números en los distintos conjuntos numéricos aunque para ello utilizaremos un diagrama. Actividad 4: LLLaaasss sssuuuccceeesssiiivvvaaasss aaammmpppllliiiaaaccciiiooonnneeesss dddeeelll cccaaammmpppooo nnnuuummmééérrriiicccooo Con esta actividad se pretende que los alumnos descubran el porqué de las sucesivas ampliaciones del campo numérico.

Lee el documento: conjuntos numéricos y responde ¿cuáles son los conjuntos numéricos que aparecen en el texto? ¿cón que símbolo se representan cada uno de los conjuntos? ¿por qué ha sido necesario ampliar cada uno de los conjuntos numéricos? Actividad 5: CCClllaaasssiiifffiiicccaaaccciiióóónnn dddeee nnnúúúmmmeeerrrooosss Con esta actividad se pretende que los alumnos aprendan a identificar los conjuntos numéricos.

Fíjate en como están colocados los números en el diagrama y clasifica los siguientes números según el menor conjunto numérico al que pertenecen. Colócalos en el sector correspondiente del diagrama de conjuntos numéricos.

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1024; 13

; 3'35 ; 3’353353335....; 32 ; π ; 9 ; 7

14 ; 0 '37 ; 2 2⋅ ; 2π ; 3− ; 203

; 2,52; 16/4;

13− ; 0,25; -14/3; 2,2131313… ; 45’112123123412345….. ; 2e

IIIIII.. LLAA RREECCTTAA RREEAALL Con las dos siguientes actividades trabajaremos por una parte la representación de números enteros, racionales e irracionales en la recta real y por otra parte el concepto de densidad de los números reales. Actividad 6: RRReeeppprrreeessseeennntttaaaccciiióóónnn eeennn lllaaa rrreeeccctttaaa rrreeeaaalll Las actividades que se van a realizar aquí están sacadas de http://descartes.cnice.mecd.es/ donde hay una completa colección de unidades didácticas con actividades hechas con el applet Descartes. Las actividades propuestas en Descartes tienen la ventaja de que obligan al alumno a leer una parte de teoría, a comprender el funcionamiento de la actividad que van a realizar para que, por último, puedan utilizar el applet que se les propone. Para realizar estas actividades llevaremos a los alumnos al aula althia donde los alumnos pueden acceder a las actividades a través de Internet en las direcciones:

Representación de números racionales: http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Numeros1.htm http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Numeros2.htm

Representación de números irracionales: http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Numeros3.htm

Si se prefiere se puede descargar previamente la unidad didáctica en el índice http://descartes.cnice.mecd.es/indice_ud.php.htm#4b_eso Se adjunta un archivo pdf donde se pueden leer las actividades propuestas Representación.pdf Actividad 7: UUUnnn rrreeecccooorrrrrriiidddooo iiimmmpppooosssiiibbbllleee Para explicar que, tanto el conjunto de los racionales como el de los reales, es un conjunto denso, se realiza la siguiente actividad que es una versión de la Paradoja de Zenón. Lee el texto: Un recorrido imposible y responde a la pregunta que en él se plantea. Además responde a las siguientes preguntas:

1. Piensa en dos números racionales cualesquiera y escribe 5 números racionales y 5 irracionales que estén entre ellos

2. Piensa en dos números racionales que se diferencien en menos de una centésima ¿cuántos números puedes encontrar entre ellos?

3. ¿Cuál es el número racional más próximo al cero? ¿y el irracional? ¿existen? Esta actividad está sacada de la página web: http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/paradojas.htm)

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IIVV.. IINNTTEERRVVAALLOOSS YY SSEEMMIIRRRREECCTTAASS EENN LLAA RREECCTTAA RREEAALL Para trabajar el concepto de intervalo y semirrecta se proponen las siguientes actividades. Actividad 8: UUUtttiiilll iiizzzaaaccciiióóónnn DDDeeelll LLLeeennnggguuuaaajjjeee MMMaaattteeemmmááátttiiicccooo Con esta actividad se introducen algunos símbolos matemáticos que nos sirven para denotar los intervalos numéricos de la recta real.

Lee el siguiente documento y resuelve las cuestiones que se plantean en el mismo: Definción de intervalo

Actividad 9: OOOrrriiigggeeennn dddeee lllooosss sssííígggnnnooosss mmmaaattteeemmmááátttiiicccooosss Después de realizar la actividad anterior se investiga un poco sobre el origen de algunos de los símbolos matemáticos que se usan habitualmente. Lee el documento “signos matemáticos” y contesta a las siguientes preguntas:

1. ¿Cuánto tiempo se tardó en dar un símbolo al cero con respecto a los otros números? 2. ¿Quién invento el signo = ? 3. Utiliza el signo ⊂ para relacionar los conjuntos numéricos , , , 4. ¿De qué curva sale el símbolo para el infinito? 5. ¿De dónde sale el símbolo ∈?

Actividad 10: IIInnnttteeerrrvvvaaalllooosss eeennn lllaaa rrreeeccctttaaa rrreeeaaalll En esta actividad se práctica el concepto de intervalo escogiendo la respuesta adecuada a cada una de las

preguntas propuestas.

Realiza las actividades propuestas en el documento: Ejercicios con intervalos

VV.. AAPPRROOXXIIMMAACCIIOONN YY EERRRROORR Actividad 11: RRReeedddooonnndddeeeooo dddeee nnnúúúmmmeeerrrooosss dddeeeccciiimmmaaallleeesss La actividad está copiada en este documento redondeo.pdf con ella se pretende fundamentalmente que los alumnos apliquen el redondeo de forma intuitiva y deduzcan la regla para hacerlo. Esta actividad está sacada de la web: http://www.comenius.usach.cl/webmat2/programa/unidad1.htm Con la actividad anterior se ha trabajado el concepto de redondeo de un número, lo cual nos va a servir para introducir el concepto de Error absoluto y Error relativo.

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El concepto de Error aparece siempre que se realiza una medición. En las áreas de Física y Química y Tecnología se maneja constantemente, por lo que en las siguientes actividades nos coordinaremos con los/las profesores/as de estas áreas para el desarrollo de las actividades. Actividad 12: EEErrrrrrooorrr aaabbbsssooollluuutttooo yyy rrreeelllaaatttiiivvvooo Se entrega a los alumnos el documento: instrumentos digitales para que lo lean y lo entiendan. Sobre este documento les haremos en clase de matemáticas una serie de preguntas para ver si han captado las ideas fundamentales. Como pueden ser las siguientes:

1. ¿A qué se llama instrumento analógico? ¿Cómo sabemos la imprecisión para las medidas obtenidas en un instrumento analógico?

2. En un voltímetro de “clase 2” en el que el fabricante nos asegura una precisión porcentual absoluta del 2% en la escala de rango 0-250 V, ¿cuál es el error absoluto y relativo cometido en las siguientes mediciones: 100V; 220V; 15V; 150V? ¿En cuál de las medidas es mayor el error relativo?

3. En la balanza digital que aparece en el documento, se indica la medida del error según el intervalo en el que se encuentre la medición realizada. Calcula el error relativo que se cometería en esa balanza para las siguientes mediciones: 5g; 25; 70g; 100g

4. Intenta describir con tus palabras el proceso que se pone como ejemplo de un aparato que realiza una secuencia de medidas de temperatura de un fluido. Observa las pantallas de las fotografía y explica lo que se ve. ¿Qué medida te parece la más adecuada para tomarla como representante de toda la secuencia?

En colaboración con el/la profesor/a de tecnología y/o de Física y Química, se propone a los alumnos que busquen en los aparatos de medida que se encuentran en las aulas de tecnología, y en los laboratorios de Física y de Química, la medida del error en la medición que se indica en cada uno de ellos. Se organizará una práctica en estos laboratorios o en el aula de tecnología, donde los alumnos tengan que hacer una serie de mediciones, tal y como se explica en el ejemplo del documento, hallando el error absoluto de cada una de ellas y hallen un representante de todas esas medidas (la media x ) y su imprecisión absoluta. Si los/las profesores/as de estas otras áreas lo consideran oportuno, pueden ahondar en el tema visitando la página web de la que se ha sacado el documento: http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_indice.htm Actividad 13: CCCááálllcccuuulllooo dddeeelll eeerrrrrrooorrr aaabbbsssooollluuutttooo yyy rrreeelllaaatttiiivvvooo Esta actividad se va a realizar en coordinación con el departamento de Física y Química. Será necesario realizarla con ordenadores y conexión a Internet por lo que llevaremos a los alumnos al aula de informática. La actividad consiste en dos prácticas consistentes en medir el tiempo que tarda un péndulo, que está simulado con un applet, en realizar un número de oscilaciones dadas para estimar su periodo. En una segunda práctica se hallan los errores absolutos y relativos cometidos en una serie de mediciones que el alumno deberá realizar utilizando también un applet. Esta actividad se encuentra en la dirección web: http://usuarios.lycos.es/pefeco/pendulo2/pendulo2.htm Una actividad similar se puede planificar en el laboratorio de física con un péndulo y un cronómetro. Nota: se acompaña un documento pdf donde se puede leer el contenido de la página pero no aparecen los applets. Éstos hay que verlos en la página web. Medida experimental del péndulo

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VVII.. NNOOTTAACCIIÓÓNN CCIIEENNTTÍÍFFIICCAA Actividad 14: EEElll aaarrreeennnaaarrriiiooo En esta actividad se propone a los alumnos la lectura de un fragmento del libro: “Dios creó los números” de Stephen W. Hawking donde aparece un fragmento del libro El Arenario de Arquímedes. En este libro, Arquímedes, se propone estimar la cantidad de granos de arena que existen en el mundo usando un embrión de lo que hoy llamamos notación científica o exponencial para denotar números muy grandes.

Lee el siguiente documento y realiza las actividades correspondientes: El arenario Actividad 15: NNNoootttaaaccciiióóónnn ccciiieeennntttííífffiiicccaaa En el documento adjunto, extraído de la página web que se indica más abajo, se combinan textos explicativos y actividades sobre notación científica.

Lee el documento: Notación científica y realiza las actividades que contiene. Sacada de la página web http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/matematicas.htm

VVIIII.. OOPPEERRAACCIIOONNEESS CCOONN RRAADDIICCAALLEESS Actividad 16: RRRaaadddiiicccaaallleeesss En el apartado de operaciones con radicales las actividades que se plantean están hechas con el programa jclic por lo que deben realizarse en el aula de informática donde previamente se ha instalado el programa. Las actividades se pueden descargar en la web: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2206 El programa jclic es gratuito y se puede descargar en la web: http://clic.xtec.net/es/clic3/download.htm En este documento raíces.pdf se pueden ver las distintas pantallas de la aplicación. 3.3 Fase de síntesis, presentación y evaluación Dos sesiones. En este apartado vamos a hacer un resumen de lo aprendido y al mismo tiempo se evaluarán las competencias adquiridas por los alumnos.

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Actividad 17: RRReeesssuuummmeeennn dddeee lllaaa uuunnniiidddaaaddd En esta actividad los alumnos deben elaborar un resumen de lo aprendido. Pueden hacerlo en papel o en soporte informático con una presentación power point por ejemplo. El resumen debe contener un mapa conceptual y un breve desarrollo de los apartados. Actividad 18: LLLaaasss aaaccctttiiivvviiidddaaadddeeesss dddeee lllooosss aaallluuummmnnnooosss Los alumnos deben buscar o inventar una actividad diferente a las propuestas por cada uno de los apartados siguientes:

Clasificación de números. Conjunto numérico al que pertenecen Representación en la recta real de números racionales e irracionales Escritura y representación de intervalos en la recta real Aproximación y cálculo de errores Notación científica Operaciones con radicales

Se deben presentar por una parte las actividades propuestas y por otra parte las soluciones a las actividades. El profesor o profesora recoge las actividades propuestas por los alumnos y las reparte por parejas de manera que cada alumno del par tenga las actividades del compañero. Si es necesario ubicamos a los alumnos de manera diferente para facilitar la actividad. Cada alumno debe resolver las actividades que le han tocado y una vez hecho se repartirán las soluciones, cada uno las que les corresponda para comprobar si coinciden los resultados. Podría ocurrir que el alumno que plantea las actividades y el alumno que las resuelve posteriormente no den la misma solución para determinada actividad, en ese caso los dos deben trabajar conjuntamente para ver donde está el error y recurrir al profesor para que supervise la solución propuesta por los dos. (Cooperación y trabajo en equipo) Actividad 19: LLLaaa llleeeccctttuuurrraaa dddeee lllooosss aaallluuummmnnnooosss Trabajo para casa (fuera del horario lectivo). Se propone a los alumnos que busquen una lectura corta (dos folios como mucho) que podrá incluir texto e ilustraciones, esquemas etc, relacionada con los contenidos que se han trabajado en esta unidad. Para ello podrán documentarse en la biblioteca del Centro, la biblioteca de su pueblo o ciudad, con los recursos que tengan en su propia casa (intervención de los padres) y los motores de búsqueda en Internet a los que pueden acceder desde el Centro, desde su casa o también en la biblioteca municipal. Los alumnos deberán transcribir a papel dicha lectura y presentarla al profesor que las supervisará y archivará como “documentos de clase” de manera que otros alumnos puedan acceder a ellos y leerlos. 4. Fase de generalización: sugerencia sobre nuevas lecturas, actividades de refuerzo y enriquecimiento

Una sesión. Actividad 20: EEElll mmmuuurrraaalll dddeee hhhiiissstttooorrriiiaaa El mural que elaboraron los alumnos en la actividad 2 se va a trasladar fuera del aula para que pueda ser visitado por el resto de alumnos del centro, los profesores y los padres.

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Actividad 21 LLLaaa ddduuuooodddéééccciiimmmaaa nnnoooccchhheee Para finalizar la unidad se lee en clase el último capítulo de “El diablo de los número”. Recordemos que la primera actividad estaba basada también en un capítulo de este libro. En este capítulo, La duodécima noche se hace referencia a los matemáticos más importantes de la historia desde sus inicios más remotos. Todos los que han sido diablos de los números. Merece la pena plantear esta actividad como una simple lectura en clase que haga reflexionar a los alumnos sobre la evolución de las matemáticas y la genialidad de algunos de sus protagonistas. Después de la lectura se abre un debate sobre lo que les sugiere el texto y las conclusiones que han sacado de él y de las actividades que se han realizado a lo largo de la unidad. Se proponen además estas otras actividades de refuerzo y enriquecimiento sobre los contenidos trabajados. Actividad 22: LLLaaa aaaggguuujjjaaa dddeee bbbuuuffffffooonnn Con esta actividad se pretende hacer una aproximación del número π mediante el método de la aguja de Buffon. Se entrega a los alumnos el siguiente documento: La aguja de Bufón en el que viene detallado el desarrollo de la actividad.

Actividad 23: EEElll nnnúúúmmmeeerrrooo eee... En general, los alumnos de 4º de la E.S.O. aún no conocen el concepto de logaritmo que sería necesario para definir convenientemente al número e, dado que la unidad de números reales se suele programar en primer lugar. Por lo que la actividad que plantearemos consistirá en leer un texto en el que se dan nociones de algunas aplicaciones del número e y contestar a una serie de cuestiones sobre el mismo.

Lee atentamente el texto numero e.pdf y contexta a las siguientes preguntas: 1) ¿Quién publicó por primera vez el valor del número e? ¿Quién lo “bautizó”? 2) Enumera cuatro aplicaciones prácticas del número e 3) Busca en alguna enciclopedia o en Internet la palabra catenaria y haz un breve resumen de su

significado Por ejemplo en la web: http://www.epsilones.com/paginas/i-curvas.html

Actividad 24: GGGoooooogggooolll Se trata de una curiosidad matemática sobre el significado de googol Es un texto sacado de la Wikipedia y pasado a formato pdf. En él se ven muchos otros enlaces que el alumno puede explorar cuando esté conectado a Internet.

¿Sabes a quién debe su nombre el famoso buscador Google? Lee el siguiente documento: Googol

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Números Racionales Números Irracionales

Números Reales

Clasificación de números

Representación en la recta real

Aproximación y Error Operaciones

Intervalos y semirrectas

Notación Científica

Redondeo Radicales

Anexo I. Mapa conceptual de contenidos

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Anexo II. Bibliografía

LIBROS “El diablo de los números” de Hans Magnus Enzensberger.

Historia de la matemática autor: Carl B. Boyer Matemáticas: Colección científica Life-time. De David Bergamini Mujeres Matemáticas y Astrónomas en la antigüedad (Fundación Canaria Orotava de Historia de la

Ciencia “Matemática es nombre de mujer” de Susana Mataix, “Mujeres, manzanas y matemáticas. Entretejidas” De: Xaro Nomdedeu Moreno. “Dios creó los números” de Stephen W. Hawking donde aparece un fragmento del libro El Arenario de

Arquímedes.

WEB http://es.wikipedia.org/wiki/Portada http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/anecdotas/mate4t.htm http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Biografias/43-1-b-Hypatia.html http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/mate1p.htm http://www.epsilones.com/paginas/a-bestiario.html#bestiario-pi http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm http://www.xtec.es/~fgonzal2/curio_irrac.html http://olmo.pntic.mec.es/~dmas0008/perlasmatematicas/pi.htm http://ciencianet.com/pi.html http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/belleza/canonraizdos.htm http://descartes.cnice.mecd.es/Geometria/belleza/canonaureo.htm http://www.epsilones.com/paginas/a-bestiario.html#bestiario-razonaurea http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/actividades/actividades/numero/marco_numero.htm http://www.divulgamat.net/weborriak/Exposiciones/Expode/Dali/Archivos/dali18.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Portada http://descartes.cnice.mecd.es/ http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/lugares/paradojas.htm)

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/programa/unidad1.htm http://teleformacion.edu.aytolacoruna.es/FISICA/document/fisicaInteractiva/medidas/medidas_indice.htm

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http://usuarios.lycos.es/pefeco/pendulo2/pendulo2.htm http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/matematicas.htm http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=2206 http://www.epsilones.com/paginas/i-curvas.html

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ANEXO III : ANEXO DOCUMENTAL La siguiente relación corresponde a todos los documentos que acompañan la unidad didáctica. La cuarta noche

Poesía sobre el número π

raiz de dos demostración matemática conjuntos numéricos diagrama Representación.pdf Un recorrido imposible Definción de intervalo signos matemáticos Ejercicios con intervalos redondeo instrumentos digitales Medida experimental del péndulo El arenario Notación científica raíces La duodécima noche La aguja de Bufón numero e.pdf Googol

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La cuarta noche

-¡Me arrastras a toda clase de lugares! Un día es una cueva que no tiene salida, otro aterrizo en un bosque de unos en el que las setas son grandes como sillones, ¿y hoy? ¿Dónde estoy? -Junto al mar. Ya lo ves. Robert miró a su alrededor. A lo largo y a lo ancho no había más que arena blanca, y detrás de un bote de remos, volcado, en el que se sentaba el diablo de los números, el rompiente. ¡Un rincón bastante abandonado! -Has vuelto a olvidarte la calculadora.

-Oye -dijo Robert-, ¿cuántas veces tengo que decírtelo? Cuando me duermo no puedo traer conmigo todos mis trastos. ¿O es que tú sabes la noche anterior con qué vas a soñar? -Naturalmente que no -respondió el anciano-. Pero, si sueñas conmigo, podrías soñar también con tu calculadora. ¡Pero no! Yo tengo que sacártelo todo por arte de magia. ¡Siempre yo! Y encima luego todavía me dicen: la calculadora me resulta demasiado blanda, o demasiado verde, o demasiado pastosa. -Es mejor que nada -dijo Robert. El diablo de los números alzó su bastón, y ante los ojos de Robert apareció una nueva calculadora. No era tan ranujienta como la anterior, pero a cambio era gigantesca: un mueble acolchado y peludo, tan largo como una cama o un sofá. A un costado había una tablita con muchas teclas acolchadas, y el campo en el que se podían ver las luminosas cifras llenaba todo el respaldo del extraño aparato. -Bueno, teclea uno entre tres -ordenó el anciano.

-dijo Robert, pulsando las teclas. En la interminable ventanita apareció la solución, en letras verde claro:

-¿Es que no termina nunca? -preguntó Robert. -Sí -dijo el diablo de los números-. Termina donde termina la calculadora. -¿Y luego qué? -Luego sigue. Sólo que no puedes leerlo. -Pero siempre sale lo mismo, un tres tras otro.

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¡Es como un tobogán! -En eso tienes razón. -Bah -murmuró Robert-. ¡Es demasiado tonto! Para eso yo escribo simplemente un tercio. Así:

Y me quedo tan tranquilo. -Muy bien -dijo el anciano-. Pero entonces tienes que calcular en quebrados, y creo que no puedes soportar los quebrados: «Si 1/3 de 33 panaderos hacen 89 trenzas en 2 1/2 horas, ¿cuántas trenzas harán 5 3/4 panaderos en 1 1/2 horas?». -¡Por el amor de Dios, no! Me resulta demasiado Bockel. Prefiero la calculadora y los decimales, aunque no se acaben nunca. Sólo me gustaría saber de dónde salen todos esos treses. -Es así: el primer tres que hay detrás de la coma son tres décimas. Luego viene el segundo tres, que hace tres centésimas; el tercero, tres milésimas, etc. Puedes sumarlo todo:

»¿Comprendido? ¿Sí? Entonces intenta todo el tiempo multiplicar por tres: el primer tres, es decir las tres décimas, luego las tres centésimas, etc. -No hay problema -dijo Robert-. Puedo hacerlo incluso de cabeza:

Bueno, etcétera. -Bien. Y si sumas todos los nueves otra vez, ¿qué ocurre?

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-¡Un momento! 0,9 más 0,09 son 0,99; más 0,009, 0,999. Cada vez más nueves. Parece seguir eternamente así. -Parece. Pero, si lo piensas bien, verás que no es cierto. Si sumas los tres tercios, tendría que salir 1, ¿no? Porque un tercio por tres da un entero. Eso está claro. ¿Entonces? -Ni idea -dijo Robert-. Falta algo. 0,999 es casi uno, pero no del todo. -Eso es. Por eso, tienes que continuar con los nueves y no puedes parar nunca. -¿Y cómo voy a hacer eso? -¡No es problema para un diablo de los números! El anciano rió maliciosamente, levantó su bastón, lo esgrimió en el aire, y en un abrir y cerrar de ojos todo el cielo se llenó de una larga, larguísima serpiente de nueves que ascendía más y más hacia lo alto. -Basta -exclamó Robert-. ¡Se marea uno! -Sólo chasquear los dedos, y habrán desaparecido. Pero sólo si admites que esta serpiente de nueves detrás del cero, si sigue y sigue creciendo, es exactamente igual a uno. Mientras hablaba, la serpiente seguía creciendo. Lentamente, iba oscureciendo el cielo. Aunque Robert se estaba mareando, no quería ceder. -Jamás! -dijo-. No importa cuánto sigas con tu serpiente, siempre faltará algo: el último nueve. -¡No hay un último nueve! -gritó el diablo de los números. Robert ya no se encogía cuando al viejo le daba uno de sus ataques de furia. Sabía que siempre que ocurría se trataba de un punto interesante, de una cuestión a la que no era tan fácil responder. Pero la interminable serpiente danzaba peligrosamente cerca de la nariz de Robert, y también se enredaba en torno al diablo de los números, tan apretada que ya no se le veía apenas. -Está bien -dijo Robert-. Me rindo. Pero sólo si nos quitas de encima esta serpiente de números. -Eso está mejor. Trabajosamente, el anciano alzó su bastón, que ya estaba cubierto de nueves, murmuró en voz baja algo incomprensible... y el mundo estuvo libre de la culebra.

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-¡Uf! -exclamó Robert-. ¿Esto ocurre sólo con los treses y los nueves? ¿O también los otros números forman esas repugnantes serpientes? -Hay tantas serpientes interminables como arena a la orilla del mar, querido. ¡Piensa cuántas habrá sólo entre 0,0 y 1,0! Robert reflexionó, reconcentrado. Luego dijo:

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-Infinitas. Una cantidad terrible. Tantas como entre el uno y el aburrimiento. -No está mal. Muy bien -dijo el diablo de los números-. Pero ¿puedes demostrarlo? -Claro que puedo. -Estoy impaciente por verlo. -Simplemente escribo un cero y una coma –dijo Robert-. Detrás de la coma escribo un uno: 0,1. Luego un dos. Etcétera. Si sigo así, todos los números que existen estarán detrás de la coma antes de haber llegado a 0,2. -Todos los números enteros. -Naturalmente. Todos los números enteros. Para cada número entre el uno y el infinito hay uno con un cero y una coma antes, y todos son más pequeños que uno. -Fabuloso, Robert. Estoy orgulloso de ti. Estaba claro que se sentía muy contento. Pero, como no podía ser de otra manera, se le ocurrió una nueva idea. -Pero algunas de tus cifras detrás de la coma se comportan de forma muy peculiar. ¿Quieres que te enseñe cómo? -¡Claro! Siempre que no llenes toda la playa de esas asquerosas serpientes. -Tranquilo. Tu gran calculadora lo hará. Sólo tienes que pulsar: siete entre once. No hizo falta que se lo repitieran.

-¡Qué está pasando! -exclamó-. Siempre 63, y 63 y otra vez 63. Es probable que continúe así para siempre. -Sin duda; pero esto aún no es nada. ¡Prueba con seis entre siete! Robert tecleó:

-¡Siempre vuelven a aparecer las mismas cifras! -exclamó-: 857 142, y vuelta a empezar. ¡El número gira en círculos! -Sí, son unas criaturas fantásticas, los números. ¿Sabes?, en el fondo no hay números normales. Cada uno de ellos tiene sus propios rasgos, sus propios secretos. Nunca acaba uno de conocerlos. La serpiente de nueves tras el cero y la coma, por ejemplo, que no termina nunca y sin embargo es prácticamente lo mismo que un simple uno. Además, hay otros muchos que se portan de forma mucho más testaruda y se vuelven completamente locos detrás de su coma. Son los números irrazonables. Se llaman así porque no se atienen a las reglas del juego. Si te apetece y tienes aún un momento te enseñaré cómo lo hacen. Cada vez que el diablo de los números era tan sospechosamente cortés, es que volvía a tener en la manga una terrible novedad. Robert había llegado a saberlo, pero sentía demasiada curiosidad como para renunciar. -Está bien -dijo. -¿Recuerdas lo que pasaba con los saltos? ¿Lo que hacíamos con el dos y con el diez? Diez por diez por diez igual a mil, y para abreviar:

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Y lo mismo con el dos. -Claro. Si hago saltar el dos, resulta:

etcétera, hasta el aburrimiento, como pasa siempre en tus jueguecitos. -Entonces -dijo el anciano-, ¿dos elevado a cuatro? -Dieciséis -exclamó Robert-. ¡Ya te lo he dicho! -Impecable. Ahora haremos lo mismo, pero al revés. Saltaremos hacia atrás, por así decirlo. Yo digo dieciséis, y tú saltas uno hacia atrás. -¡Ocho! -¿Y si digo ocho? -Cuatro -dijo Robert-. Es evidente. -Ahora tienes que tomar nota de cómo se llama este truco. No se dice: saltar hacia atrás, se dice: sacar un rábano. Como cuando sacas una raíz del suelo.

»Entonces: el rábano de cien es diez, el rábano de diez mil es cien. ¿Y cuál es el rábano de veinticinco? -Veinticinco -dijo Robert- es cinco por cinco. Así que cinco es el rábano de veinticinco. -Si sigues así, Robert, un día serás mi aprendiz de brujo. ¿Rábano de cuatro? -El rábano de cuatro es dos. -¿Rábano de 5929? -¡Estás loco! -gritó Robert. Ahora era él quien perdía la compostura-. ¿Cómo quieres que la calcule?

Tú mismo has dicho que calcular es cosa de idiotas. Con eso ya me atormentan en el colegio, no necesito soñarlo además. -Mantén siempre la calma -dijo el diablo de los números-. Para esos pequeños problemas tenemos nuestra calculadora de bolsillo. -Tiene gracia lo de calculadora de bolsillo –dijo Robert-. Esa cosa es tan grande como un sofá. -En cualquier caso, tiene una tecla en la que pone:

»Seguro que enseguida te das cuenta de lo que significa. -Rábano -exclamó Robert. -Correcto. Así que prueba:

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Robert probó, y enseguida apareció la solución en el respaldo del sofá:

-Magnífico. ¡Pero ahora viene lo bueno! Pulsa 2 , ¡pero agárrate bien! Robert pulsó y leyó:

-Espantoso -dijo-. No tiene ningún sentido. Una auténtica ensalada de números. No me oriento en ella. -Nadie se orienta en ella, mi querido Robert. De eso se trata. El rábano de dos es precisamente un número irrazonable. -¿Y cómo voy a saber qué sigue detrás de las últimas tres cifras? Porque ya me sospecho que sigue siempre. -Cierto. Pero, por desgracia, tampoco yo puedo ayudarte en eso. Sólo averiguarás las próximas cifras matándote a calcular hasta que tu calculadora se ponga en huelga. -¡Qué absurdo! -dijo Robert, completamente enloquecido-. Y eso que ese monstruo parece tan sencillo cuando se escribe así:

-Y lo es. Con un bastón puedes dibujar cómodamente v2 en la arena. Trazó unas cuantas figuras en la arena con su bastón. -Mira:

»Y ahora cuenta los casilleros. ¿Notas algo? -Naturalmente. Son cifras que han saltado:

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-Sí -dijo el diablo de los números-, y seguro que también ves cómo funcionan. Sólo tienes que contar cuántos casilleros tiene cada lado de un cuadrado, y tendrás la cifra por la que hay que saltar. Y viceversa. Si sabes cuántos casilleros hay en todo el cuadrado, digamos por ejemplo que 36, y sacas el rábano de ese número, volverás al número de casilleros que hay en un lado:

-O. K. -dijo Robert-, pero ¿qué tiene eso que ver con los números irrazonables? -Mmmm. Los cuadrados se las traen, ¿sabes? ¡No confíes nunca en un cuadrado! Parecen buenos, pero pueden ser muy malvados. ¡Mira éste de aquí, por ejemplo! Trazó en la arena un cuadrado vacío, totalmente normal. Luego sacó una regla roja del bolsillo y la puso en diagonal sobre él:

-Y si ahora cada lado mide uno de largo... -¿Qué significa uno? ¿Un centímetro, un metro o qué? -Eso da igual -dijo impaciente el diablo de los números-. Puedes escoger lo que quieras. Por mí llámalo cuing, o cuang, como quieras. Y ahora te pregunto: ¿cuánto mide la regla roja que hay dentro? -¿Cómo voy a saberlo? -Rábano de dos -gritó triunfante el anciano. Sonreía diabólicamente. -¿Por qué? -Robert volvía a sentirse desbordado. -No te enfades -dijo el diablo de los números-. ¡Enseguida lo sabremos! Simplemente añadimos un cuadrado, así, torcido encima. Sacó otras cinco reglas rojas y las dejó en la arena. Ahora, la figura tenía este aspecto:

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-Ahora adivina el tamaño del cuadrado rojo, el inclinado. -Ni idea. -Exactamente el doble del tamaño del negro. Sólo tienes que desplazar la mitad inferior del negro a uno de los cuatro ángulos del rojo y verás por qué:

Parece uno de los juegos a los que jugábamos siempre cuando éramos pequeños, pensó Robert. Se dobla un papel que por dentro se ha pintado de negro y rojo. Los colores significan el cielo y el infierno, y al que al abrirlo le toca el rojo va al infierno. -¿Admites, pues, que el rojo es el doble de grande que el negro? -Lo admito -dijo Robert. -Bien. Si el negro mide un cuang (nos hemos puesto de acuerdo en eso), podemos escribirlo así: 12 ; ¿cómo de grande tendrá que ser el rojo? -El doble -dijo Robert. -O sea dos cuangs -dijo el diablo de los números-. Y entonces ¿cuánto debe medir cada lado del cuadrado rojo? ¡Para eso tienes que saltar hacia atrás! ¡Extraer el rábano! -Sí, sí, sí -dijo Robert. De pronto se dio cuenta-. ¡Rábano! -exclamó-. ¡Rábano de dos! -Y volvemos a estar con nuestro número irrazonable, totalmente loco: 1,414213...

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-Por favor, no sigas hablando -dijo Robert con rapidez-, o me volveré loco. -No es para tanto -le tranquilizó el anciano-. No hace falta que calcules la cifra. Basta con que la dibujes en la arena, servirá. Pero no vayas a creer que estos números irrazonables aparecen con poca frecuencia. Al contrario. Hay tantos como arena junto al mar. Entre nosotros: son incluso más frecuentes que los que no lo son. -Creo que hay infinitos de los normales. Tú mismo lo has dicho. ¡Lo dices continuamente! -Y también es cierto. ¡Palabra de honor! Pero, como te he dicho, aún hay más, muchos más, de irrazonables. -¿Más que qué? ¿Más que infinitos? -Exactamente. -Ahora estás yendo demasiado lejos -dijo Robert con mucha decisión-. Por ahí no paso. No hay más que infinitos. Eso es una chorrada con patatas fritas. -¿Quieres que te lo demuestre? -preguntó el diablo de los números-. ¿Quieres que los conjure? ¿A todos los números irrazonables de una vez? -¡Mejor no! Me bastó con la serpiente de nueves. Además: conjurar no quiere decir demostrar. -¡Rayos y truenos! ¡Es cierto! Esta vez me has ganado. En esta ocasión, el diablo de los números no parecía furioso. Frunció el ceño y pensó esforzadamente. -Aun así -dijo al fin- quizá se me ocurra la prueba. Podría intentarlo. Pero sólo si insistes. -No, gracias, por hoy tengo bastante. Estoy cansadísimo. Tengo que dormir, o mañana volveré a tener bronca en el colegio. Creo que me echaré un rato, si a ti no te importa. Este mueble tiene aspecto de ser muy cómodo. Y se tumbó en la acolchada y peluda calculadora, grande como un sofá. -Por mí -dijo el anciano-, duérmete. Durmiendo es como mejor se aprende. Esta vez, el diablo de los números se alejó de puntillas, porque no quería despertar a Robert. Quizá no sea tan malo, pensó Robert antes de dormirse. En el fondo es incluso muy simpático. Y, así, se quedó dormido, sin perturbaciones y sin soñar, hasta bien entrada la mañana. Se había olvidado por completo de que era sábado, y los sábados no hay clase.

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EL NÚMERO PI http://centros5.pntic.mec.es/ies.juan.de.mairena/el_pi.htm

1 de 1 16/12/2006 15:15

E L N Ú M E R O P I El número Pi es digno de admiracióntres coma uno cuatro unotodas sus cifras siguientes también son inicialescinco nueve dos, porque nunca se termina.No permite abarcarlo con la mirada seis cinco tres cincocon un cálculo ocho nuevecon la imaginación siete nueveo en broma tres dos tres, es decir, por comparacióncuatro seis con cualquier otra cosados seis cuatro tres en el mundo.La más larga serpiente después de varios metros se interrumpeIgualmente, aunque un poco más tarde, hacen las serpientes fabulosas.El cortejo de cifras que forman el número Pino se detiene en el margen de un folio, es capaz de prolongarse por la mesa, a través del aire,a través del muro, de una hoja, del nido de un pájaro,de las nubes, directamente al cieloa través de la total hinchazón e inmensidad del cielo.¡Oh qué corta es la cola del cometa, como la de un ratón!¡Qué frágil el rayo de la estrella que se encorva en cualquier espacio!Pero aquí dos tres quince trescientos noventami número de teléfono la talla de tu camisaaño mil novecientos setenta y tres sexto pisonúmero de habitantes sesenta y cinco décimosla medida de la cadera dos dedos la charada y el códigoen la que mi ruiseñor vuela y cantay pide un comportamiento tranquilotambién transcurren la tierra y el cielo

pero no el número Pi, éste no,él es todavía un buen cincono es un ocho cualquierani el último sietemetiendo prisa, oh, metiendo prisa a la perezosa eternidadpara la permanencia.

Wislawa Szymborska ( Premio Nobel de Literatura 1996)

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Teorema.- El número 2 es irracional.

Demostración.-

Vamos a ver una prueba aplicando el método de reducción al absurdo, que consiste en suponer cierto lo contrario de lo que afirmamos en el teorema para llegar a una contradicción, es decir que este supuesto no es posible.

Supongamos entonces que 2 no es un número irracional, es decir que es racional y por tanto habrá una fracción irreducible (que no se puede simplificar más), de modo que:

2 pq

=

con p y q números enteros y entonces: 2p q= ⋅

y si elevamos al cuadrado los dos miembros queda: 2 22p q= ⋅

y por lo tanto es un número par, lo cual implica que también lo es, pues el cuadrado de un número impar es impar y el cuadrado de un número par es par.

2p p

Por tanto, al ser p un número par es múltiplo de 2, es decir será del tipo , con m un número entero. Si ahora sustituimos en la igualdad

anterior y operamos: 2p = m

2q

n

( )2 2 2 2 22 2 4 2 2m q m q m= ⇒ = ⇒ =

con lo que es par y q también, es decir 2q 2q = con n un número entero, luego la fracción irreducible inicial queda:

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p m mq n n= =

y se ha podido reducir, en contra de lo que habíamos supuesto al principio. Concluimos que 2 no puede ser una fracción, no puede ser racional.

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Demostración matemática

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión). El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:

• Demostración por contraposición • Demostración por reducción al absurdo • Inducción matemática

Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclideana.

Demostración por reducción al absurdo Del latín Reductio ad absurdum, a menudo usado por Aristóteles como un argumento lógico en el que asumimos una hipótesis y obtenemos un resultado absurdo, por lo que concluimos que la hipótesis de partida ha de ser falsa. Este método es también conocido como prueba por contradicción o prueba ad absurdum. Parte de la base del cumplimiento de la ley de exclusión de intermedios: una afirmación que no puede ser falsa, ha de ser consecuentemente verdadera.

En matemáticasSupongamos que se desea demostrar la proposición P. El procedimiento consiste en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea, P negada) conduce a una contradicción lógica. Esta P no puede ser falsa, por lo que ha de ser verdadera.

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FRAGMENTO LITERARIO A PIE DE PÁGINA

Números de buena familia Jorge Wagensberg 28/01/2006

Cuento ovejas, pero no es insomnio. Acabo de sentarme a la mesa con mi amigo Claudi Alsina, matemático. La conversación arranca con un crianza y unas picardías, aceitunas y láminas de alcachofa.

Acto primero. El pastor conoce a todas sus ovejas desde el día en que nacieron y ahora, a la hora de la revista, las reconoce por su aspecto, andares y gestos. Una por una. ¿Cómo saber si no cuántas se come el lobo? Identificar y recordar. Pero la vida sigue y el rebaño ha crecido demasiado. Imposible identificar y recordar ¡Hay que contar! Sea la familia de los números naturales. Los naturales cuentan y ordenan: uno, dos, tres...

Acto segundo. Pero la vida sigue y los números naturales no bastan cuando, por ejemplo, se necesita contar desde una referencia. Es cuando

interesa marcar un punto del espacio o un instante del tiempo, el kilómetro de un camino o el año en el que vivimos. Contar y ordenar ya no es suficiente. Hay que pactar desde donde y desde cuando se cuenta ¡Sea el número cero! Nuestro calendario, por cierto, no tiene año cero y de ahí la monumental confusión que se organiza cada vez que cambiamos de siglo o de milenio (el último milenio cambió la noche del 31 de diciembre de 2000 al 1 de enero de 2001, justo un año después de la inmensa mayoría de las fiestas que en el planeta celebraban su llegada). Sea la familia de los números cardinales, los naturales más el cero. Los cardinales cuentan y ordenan a un lado de una referencia: cero, uno, dos, tres

...

Acto tercero. Pero la vida sigue y los números cardinales no bastan cuando, por ejemplo, se necesita contar a ambos lados de una referencia. El ascensor tiene su referencia en la planta baja (que es por donde los ciudadanos acceden al edificio). ¿Cómo dar cuenta de los niveles subterráneos? ¿Cómo dar cuenta de las temperaturas por debajo de cero grados? ¿Cómo contar cuando debemos más de lo que tenemos? ¡La historia no empieza donde empieza a contar nuestro calendario! ¡Hay que contar al otro lado de la referencia! Sea la familia de los números enteros, los cardinales más los naturales negativos. Los enteros cuentan y ordenan a ambos lados de una referencia: ...menos tres, menos dos, menos uno, cero, uno, dos, tres...

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Acto cuarto. Pero la vida sigue y los números enteros no bastan cuando, por ejemplo, se trata de repartir. Un reparto, expresado con un número entero, puede ser injusto. ¿Cómo repartir dos ovejas entre tres beneficiarios? Los enteros tampoco dan la talla a la hora medir. Para medir se necesita comparar un trozo de realidad con una unidad patrón (un metro, un segundo, un kilo)... Y pocas veces, en rigor nunca, la medida coincide con un número entero de tales unidades. ¿Cómo repartir regulando excesos y defectos? ¿Cómo medir con la finura deseada? Entre dos enteros consecutivos caben infinitos números. Pero son números de otra familia, cada uno de los cuales se puede representar, a su vez, como un par ordenado de números enteros (su cociente). Sea la familia de los números racionales. Los números racionales reparten y comparan: un medio, un tercio, un cuarto, ..., dos tercios...

Acto quinto. Pero la vida sigue y los números racionales no bastan cuando, por ejemplo, se necesita calcular el lado de un cuadrado a partir de su superficie o la superficie de un círculo a partir de su radio. La raíz cuadrada de un número racional no tiene por qué ser otro número racional. La superficie de una esfera de radio uno es un número que no pertenece a la familia de los racionales. Es cuatro veces pi, un número que no se puede expresar como el cociente de dos enteros, sino con la suma de infinitos números cada vez más pequeños. Sea la familia de los números reales. Los números reales calculan: es la raíz cuadrada de dos, el número pi o la proporción áurea entre dos segmentos...

Acto sexto. Pero la vida sigue y los números reales no bastan cuando, por ejemplo, se trata de buscar un número real que multiplicado por sí mismo sea igual a un número negativo. Además, un número real sitúa un punto sobre una línea, sí, pero no puede escapar de ella. Para situar un punto sobre una superficie no basta un número real ¡se necesitan dos! Sea la familia de los números complejos, donde un número complejo es un par ordenado de números reales. Es el caso del par de números formado por el cero y el uno, la unidad imaginaria, el número i, la raíz cuadrada de menos uno. Una ecuación de segundo grado puede no tener soluciones reales pero siempre tiene soluciones complejas. Los números complejos resuelven.

La tarde se nos echa encima y no hay tiempo para postres. Resumimos las conclusiones entre sorbos de un excelente café amargo.

Los naturales cuentan, los enteros sitúan, los racionales miden, los reales calculan, los complejos resuelven...

La familia de los naturales está dentro de la de los cardinales que está dentro de la de los enteros que está dentro de la de los racionales que está dentro de la de los reales que está dentro de la de los complejos... Nos despedimos: sí, detrás de cada buena familia de números hay una buena intuición científica, un buen uso para la vida de cada día y, sobre todo, una buena conversación.

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Clasifica los siguientes números según el menor conjunto numérico al que pertenecen y represéntalos en el diagrama tal y como aparecen en el ejemplo del margen izquierdo

1024; 13

; 3'35 ;

3’353353335....; 32 ; π ; 9 ;

714 ; 0 '37 ; 2 2⋅ ; 2π ; ;3−

203

;

2,52; 16/4; 13− ; 0,25; -14/3; 2,2131313… ; 45’112123123412345….. ; 2e

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Representación gráfica de los números enteros. http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Nu...

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Representación gráfica de los números: Númerosenteros.

4º E.S.O. B

Representación de los números enteros.

Los números enteros se pueden representar en una recta de la siguiente forma:

- Elige un punto cualquiera de la recta. Asígnale el valor 0.

- Elige otro punto cualquiera a la derecha del 0 y asígnale el valor 1. La distancia entre ambospuntos será la unidad de medida de longitud. Si marcas esa unidad de medida a la derechadel 1, el punto representado es el 2. Haciendo lo mismo a la derecha del 2, obtienes el 3. Yasí sucesivamente representas todos los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, .....

- Si marcas la unidad de medida a la izquierda del 0, obtienes los números negativos -1, -2,-3, -4, -5, -6, ......

1. En la siguiente escena están representados algunos números enteros y aparece marcadoen rojo el punto P. ¿Sabes qué numeros representa? Escríbelo en la línea inferior de laescena. El valor que escribas aparecerá en verde y sabrás si has acertado. Si no aciertas, elpunto rojo cambia a gris. Inténtalo hasta haber acertado tres números consecutivos.Disminuye entonces el valor de la escala y sigue jugando hasta llegar al valor mínimo de laescala, 10.

Si pulsas el botónderecho del ratónse limpia laescena de losrastrosanteriores.

Ordenación de los números.

Un número es mayor que otro si su representación en la recta está más a la derecha; porejemplo 4 es mayor que 1 (se representa 4 > 1). Un número es menor que otro si surepresentación en la recta está más a la izquierda; por ejemplo, 2 es menor que 5 (se

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representa 2 < 5).

2. En la siguiente escena aparecerán dos números al azar representados en la recta.Compara ambos números y escríbelos en tu cuaderno relacionados con el símbolo de <(menor) o = (igual). Por ejemplo, si los números son -2 y 3 escibirás:

-2 < 3

Pulsa el botónlimpiar o inicio paraque aparezca otrapareja de números.Repite el procesodiez veces condistintas escalas.

Representación de los números decimales.

Para representar el número decimal 0,7 observamos que es un número comprendido entre 0y 1- Dividimos el segmento unidad entre los números 0 y 1 en 10 partes iguales. Tomamos 7de esas partes contando a la derecha (pues 0,7 es un número positivo) desde el 0.

Para representar el número -0,3 que está comprendido entre 0 y -1 dividimos el segmentoentre los números -1 y 0 en diez partes iguales y tomamos 3 de esas partes contando a laizquierda desde el 0.

Para representar el número 2,5 que es un número comprendido entre 2 y 3, dividimos elsegmento entre los números 2 y 3 en 10 partes iguales. Tomamos 5 de esas partes contandoa la derecha desde el 2.

Para representar el número -3,4 que está comprendido entre -3 y -4 dividimos el segmentoentre los números -4 y -3 en diez partes iguales y tomamos 4 de esas partes contando a laizquierda desde el -3.

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3. Repite el juego del principio pero ahora debes acertar números decimales comprendidosentre 0 y 1.

Fíjate que con lamayor escala queusamos antes casino se distinguen lospuntos. Deberásaumentar la escalaal máximo parajugar sin dificultad.

Fernando Arias Fernández-Pérez

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Representación gráfica de los números: Números fraccionarios.

4º E.S.O. B

Representación de los números fraccionarios.

Una fracción positiva se llama propia si el numerador es menor que el denominador. Sucociente es un número comprendido entre 0 y 1.

Por ejemplo, 2/3 y 3/4 son fracciones propias.

Una fracción positiva es impropia si, por el contrario, el numerador es mayor o igual que eldenominador. Su cociente es mayor o igual que 1.

Por ejemplo, 5/3 y 9/4 son fracciones impropias.

Si queremos representar el número 3/4, por ser una fracción propia, su representante en larecta será un punto comprendido entre 0 y 1. Dividimos el segmento unidad en cuatro partesy tomamos 3, contando desde el 0.

4. Representa el número 3/4 en tu cuaderno. Para dividir el segmento unidad en cuatropartes iguales realiza las siguientes operaciones con el cartabón, la escuadra y el compás:

Dibuja un segmento horizontal. Señala el extremo izquierdo con el número 0 y el

derecho con el 1. Ese será nuestro segmento unidad.

Traza desde el 0 una semirrecta cualquiera que no sea horizontal.

Con el compás, marcamos en esa semirrecta, desde el 0, cuatro medidas iguales.

Con una regla trazamos el segmento que une la última marca del compás en la

semirrecta con el punto 1.

Utilizando el cartabón y la escuadra, trazamos paralelas a ese segmento que pasen por

las otras tres marcas del compás.

Los puntos de corte de esos segmentos en el segmento unidad dividen al mismo en cuatropartes iguales.

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Modifica con lasflechitas los valores del numerador y deldenominador.

Observa en la escenael dibujo tal como debe quedarte en elcuaderno.

Repite el ejercicio ydibuja los números4/5, 5/6 y 2/7.

Comprueba en laescena que tu dibujo es correcto.

Si la fracción es impropia, siempre se puede descomponer en suma de un número entero másuna fracción propia.

Por ejemplo,

13/5 = 2 + 3/5,

donde 2 es el cociente entero de la división de 13 entre 5 y 3, el resto.

Así, el número 13/5 será un punto comprendido entre el 2 y el 3. Para representar el número13/5 deberemos representar el número 3/5 en el segmento [2,3], es decir, dividir elsegmento [2,3] en 5 partes y tomar 3 desde el punto 2.

5. Representa en tu cuaderno el número 13/5 siguiendo las indicaciones anteriores.Comprueba luego tu dibujo comparándolo con la escena siguiente.

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Modifica con lasflechitas los valores del numerador y deldenominador.

Observa en la escenael dibujo tal como debe quedarte en elcuaderno.

Representa tambienlos números 10/3,13/2, 17/5 y 9/4.

Comprueba tusresultados en la escena adjunta.

Fernando Arias Fernández-Pérez

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Representación gráfica de los números irracionales. http://descartes.cnice.mecd.es/4b_eso/Representacion_en_la_recta/Nu...

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Representación gráfica de los números: Números irracionales.

4º E.S.O. B

Representación de los números irracionales.

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.

Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número √2 realiza los siguientes pasos:

Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1.Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide √2.

Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arcodel compás sobre la recta representa el número √2.

Fíjate en la siguiente figura y dibújala en tu cuaderno.

6. De manera similar , construyendo cuadrados o rectángulos de distintas dimensiones sepuede construir la raíz cuadrada de muchos números enteros. Dibuja en tu cuaderno unrectángulo de lados 3 y 2. Su diagonal medirá la raíz cuadrada de 13.

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Modifica con lasflechitas losvalores de la basey de la altura.

Observa en la escenael dibujo tal comodebe quedarte en elcuaderno.

Realiza también larepresentación de lossiguientes números:√5, √10, √20 y √34.

Comprueba en laescena que tu dibujoes correcto.

Fernando Arias Fernández-Pérez

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Un recorrido imposible file:///C:/Documents%20and%20Settings/All%20Users/Documentos/u...

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Un recorrido imposible

.

.

.

Vamos a empezar analizando una tarea que hacemos todos los días: trasladarnos. Cuando

queremos llegar a de un lugar a otro, generalmente hacemos una planeación del recorrido parasaber por dónde irnos, qué calles tomar, dónde dar vuelta, etcétera. Cuando nos lo proponemos y notenemos ningún contratiempo, podemos llegar a dónde queramos. ¿Cierto? ¿Alguna vez haspensado que trasladarse pudiera ser imposible o que el movimiento es una ilusión?

Tal vez te suene extraño, pero piensa en esta situación. Tienes que llegar desde tu casa hasta la

tienda que está a 100 metros de distancia. Para poder llegar ahí, antes tienes

que pasar por el punto que está a la mitad: a 50 metros de tu casa.

Pero antes de poder llegar al punto que está a los 50 m es necesario que pases por el punto que

está a la mitad entre éstos dos: el que está a los 25 metros.

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Un recorrido imposible file:///C:/Documents%20and%20Settings/All%20Users/Documentos/u...

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Otra vez, antes de poder llegar al punto de los 25 metros hay que llegar al punto que eOtra vez,

antes de poder llegar al punto de los 25 metros hay que llegar al punto que está a 12.5 metros de

tu casa. stá a 12.5 metros de tu casa.

Y así podríamos seguirnos porque podemos seguir sacando mitades a las mitades tantas veces

como queramos. Considerando que podemos hacerlo una infinidad de veces, la tarea se complicaporque antes de llegar a la tienda tenemos que pasar por una infinidad de puntos, ¿cómo podemospasar por una infinidad de puntos sin tardarnos una eternidad? Además, siempre que pensamos enun punto, nos damos cuenta de que hay un punto por el que hay que pasar primero, entonces

¿cómo sabemos cuál es el primer punto al que tenemos que llegar? ¿Por dónde tendríamos queempezar el recorrido?

La primera versión de este problema la propuso un filósofo griego del siglo VI

a.C. llamado Zenón de Elea. Su intención al plantearlo era tratar de demostrar que las nociones delespacio y del tiempo comunes en su época eran erróneas. Zenón quería atacar la noción de muchosfilósofos contemporáneos suyos de que el espacio se podía dividir indefinidamente y en partesarbitrariamente pequeñas.

Este problema se conoce como paradoja de Zenón . Muchos quedaron confundidos durante siglos

porque el argumento parece razonable, pero también es cierto que todos los días nos movemos ynos trasladamos de un lugar a otro.

Durante muchos años los matemáticos han planteado y tratado de resolver preguntas como ésta.

Aunque muchas parecen preguntas que sólo sirven para quitarnos el tiempo, las paradojas en lasmatemáticas no son sólo juegos. Muchos de los grandes avances de las matemáticas se han debidoa los intentos por resolver paradojas.

¿Cómo harías tú para rebatir el argumento de Zenón?

.

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Para representar un conjunto cuyo contenido conocemos o podemos describir, se utilizan en matemáticas diferentes símbolos. Las “llaves” { } Cuando en matemáticas se abre una llave { quiere decir que estamos hablando de un conjunto. Entre los símbolos { } se escriben los elementos que forman parte del conjunto (si se puede) Por ejemplo: {1, 2, 3, 4} es el conjunto formado por los números 1, 2, 3 y 4 {1, 2, 3, 4, 5, …..} aquí hemos escrito puntos suspensivos con esto estamos queriendo indicar que la sucesión de números sigue. En este conjunto están contenidos todos los números naturales. Escribiríamos = {1, 2, 3, 4….. } Si no se pueden escribir los elementos que componen el conjunto uno a uno como en los ejemplos anteriores, entonces dentro de las llaves hay que poner una descripción que nos permita identificar los elementos del conjunto. Si el conjunto al que nos referimos está formado por números se suele utilizar una que por ejemplo para números naturales suele ser n y para números reales x. Cuando queremos escribir un conjunto de números reales que cumplen una determinada condición, lo primero que hacemos es poner que el conjunto que vamos a describir está formado por números reales. Escribiremos: { }x∈ …

como ves se han introducido el símbolo ∈ que significa pertenece y el

símbolo que representa el conjunto de los números reales. Luego x∈ quiere decir que el número x es un número real. Después de la expresión x∈ se escribe “ / “ en este contexto la barra inclinada se lee tal que e indica que después de / se escribirá la condición que debe cumplir x para pertenecer al conjunto. Por ejemplo: Si queremos expresar con lenguaje matemático: a) el conjunto de todos los números reales mayores que 5 escribiremos:

{ }/ 5x x∈ >

b) el conjunto de todos los números reales que se encuentran entre el -1 y el 8, incluyendo ambos, escribiremos: { }/ 1 8x x∈ − ≤ ≤ Ejercicio 1 Expresa con lenguaje matemático los siguientes conjuntos

a. Números reales menores o iguales que 4 b. Números reales entre 0 y 1, incluidos el 0 y el 1 c. Números reales entre -2 y 2 excluidos -2 y 2 d. Números reales entre 5 y 95 incluido 5 y excluido el 95

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Este tipo de conjuntos que se han utilizado en los ejemplos y en el ejercicio son lo que llamamos Intervalos y Semirrectas. Su representación gráfica es, para los intervalos un segmento en la recta real y una semirrecta en el otro caso. Ejercicio 2 Completa la tabla siguiente fijándote en las filas que están completas

NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN

Intervalo abierto ( ),a b

{ }/x a x b∈ < <Nº comprendidos entre a y b

Excluidos a y b

Intervalo cerrado [ ],a b

{ }/x a x b∈ ≤ ≤ Nº comprendidos entra a y b

Incluidos a y b

( ],a b Intervalo

semiabierto { }/x a x b∈ ≤ <

( ),a−∞ { }/x x a∈ <

Nº menores que a

( ],a−∞

( ),b +∞

Semirrecta

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Epsilones: Signos matemáticos

Origen de los signos matemáticos -

• Epsilones: Inicio Novedades Bestiario Mapa Hemeroteca ?

A Euler le parecía que sus símbolos y fórmulas se encargaban de pensar por él . Incluso dijo algo parecido de su lápiz. Y es que en ocasiones parece que los símbolos nos devuelven más de lo que pusimos en ellos, como si fueran más sabios que sus creadores. Por eso vamos a investigar su génesis.

Índice de signos

● Base del logaritmo natural. ● Cero. ● Cociente entre la circunferencia y el diámetro (π). ● Conjunción copulativa (lógica). ● Conjunción disyuntiva (lógica). ● Conjunto de los números enteros. ● Conjunto vacío. ● División. ● e. ● Exponente de una potencia. ● Exponente de una potencia en programas de ordenador. ● Función de x. ● Gradiente (nabla). ● i. ● Igual. ● Imaginaria, unidad. ● Inclusión. ● Incógnita. ● Infinito matemático. ● Integral. ● Nabla. ● Número e. ● Número i. ● Operador hamiltoniano (nabla). ● Pertenencia. ● π. ● Producto. ● Producto continuo. ● Raíz. ● Resta. ● Sección áurea (φ). ● Sección áurea (τ). ● Suma. ● Sumatorio. ● Unidad imaginaria.

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Epsilones: Signos matemáticos

e Base del logaritmo natural

Su uso se debe a Euler (1727 o 1728). No está muy claro su origen: quizá venga de exponencial, pero también puede ser que fuese la primera letra que encontrase libre en aquel momento.

Algunos defienden que se trata de la inicial de su propio apellido, pero parece improbable.

En 1859 Benjamin Peirce propuso dos nuevos signos para e y para π, pero aquello no prosperó: los impresores se negaron.

Bestiario: número e.

e: The Story of a Number, p.156; Matemáticas e imaginación, p.104; A History of mathematical Notations, #400.

0 Cero

Este signo para el cero fue utilizado por primera vez en la India, aunque posiblemente sea de influencia griega a

través de la palabra ουδεν, "nada". Incluso pudiera ser que su origen estuviese en Alejandría, y que de allí pasase a la India.

Un hecho sorprendente es que este signo apareció, según los registros encontrados hasta este momento, casi dos siglos después que el resto de los signos numerales.

No fue este sin embargo el primer signo dedicado al cero. A comienzos de nuestra, siglos antes de que en la India se inventase el que usamos en la actualidad, los mayas ya utilizaban en su sistema de numeración vigesimal un

signo para el cero: . Unos dicen que se trata de un caracol. Otros, de un ojo semicerrado.

Cero maya: propuesta de Juan José Zárate.

Struik, p.67; Boyer, p.277; A History of mathematical Notations, #68; web: www.astro-digital.com/1/mayas.html.

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Epsilones: Signos matemáticos

π Cociente entre la circunferencia y el diámetro

En 1652, William Oughtred utilizó para referirse al cociente entre la circunferencia y el diámetro, usando sin

duda la letra griega π (pi) para indicar la circunferencia o periferia y la letra δ (delta) para indicar el diámetro.

Sin embargo, el primero que usó la letra π en solitario para simbolizar 3,14159... fue otro Guillermo, William Jones, que lo introdujo en un texto de 1706.

De todas maneras, π no se impondría en los círculos matemáticos hasta que uno de los grandes, Euler, empezase a usarlo treinta años después, sin que se sepa si lo tomó de la obra de Jones o no.

A History of mathematical Notations, #395 y ss.

Conjunción copulativa (lógica)

Este símbolo es utilizado en lógica para indicar la conjunción copulativa 'y'. Es decir: A B quiere decir 'A y B'. De otro modo: A B es verdad si A es verdad y B es verdad.

Desconozco su origen, aunque supongo que se eligió por inversión del signo utilizado para la disyunción. También es de señalar que Peano, en su Formulaire de mathématiques (1895), usaba el signo .

El primer uso del que tengo noticia está en la Introducción a la lógica (1940) de Alfred Tarski.

Un signo parecido se utiliza en los programas de informática para indicar los exponentes de las potencias.

• Conjunción disyuntiva

Consulta de Max (9-3-2004)

A History of mathematical Notations, #688 y ss; Introducción a la lógica, p.63.

Conjunción disyuntiva (lógica)

Este símbolo es utilizado en lógica para indicar la conjunción disyuntiva 'o'. Es decir: A B quiere decir 'A o B'. De otro modo: A B es verdad si A lo es, o B lo es, o ambas.

Se usa por ser 'v' la inicial de la conjunción disyuntiva latina vel.

El primer uso del que tengo noticia está en los Principia mathematica (1910) de Whitehead y Russell, aunque es de señalar que Peano, en su Formulaire de mathématiques (1895), usaba el signo .

• Conjunción copulativa

Consulta de Max (9-3-2004)

A History of mathematical Notations, #688 y ss; web: Mathworld.

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Epsilones: Signos matemáticos

Ø Conjunto vacío

Aunque lo parezca, no tiene nada que ver con la letra griega phi. Es la combinación de un cero y una barra "/". Sirve para representar conjuntos que no tienen elementos.

Ian Stewart pone un ejemplo interesante: "Sea U el conjunto de los unicornios de Bexhill. Entonces B = Ø nos dice que no hay unicornios en Bexhill".

Es decir: que el que podamos hablar de algo no quiere decir que exista.

Conceptos de matemática moderna, p.65.

/

:

División

Son varios los signos que tenemos para indicar la división:

La barra horizontal, de origen árabe, ya era usada por Fibonacci en el s. XIII, aunque no se generalizó hasta el siglo XVI. Es, desde luego, la forma más satisfactoria, pues no solo indica la operación sino que en el caso de que sean varias las operaciones a realizar establece el orden de prioridad entre ellas (digamos que además de signo es paréntesis). La barra oblicua, /, variante de la anterior para escribir en una sola línea, fue introducida por De Morgan en 1845.

En 1659 el suizo Johann Heinrich Rahn inventó para la división el signo , que resulta bastante gráfico una vez que la barra de fracción es norma general. No tuvo mucho éxito en su país, Suiza, pero sí en Gran Bretaña y los Estados Unidos, aunque no tanto en la Europa continental.

Los dos puntos se deben a Leibniz (1684), que los aconsejaba para aquellos casos en los que se quisiese escribir la división en una sola línea y la notación con raya de fracción no fuese por tanto adecuada. Este signo mantiene el parentesco de la división con la multiplicación, para la que Leibniz usaba un punto.

En cuanto al gnomon o ángulo que utilizamos para separar dividendo, divisor y cociente en la división larga no se dispone de una información precisa. Boyer, en su Historia de la matemática, p.282, dice:

"Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de sus artificios aritméticos de los hindúes, y por tanto es muy probable que también provenga de la India el método de "división larga" conocido como el "método de la galera", por su semejanza con un barco con las velas desplegadas."

Pues bien: en dicho "método de la galera" se utilizaba un ángulo parecido al que se usa en la actualidad para separar el divisor de los otros números. Esta es la referencia más antigua que he encontrado. ¿Alguien sabe algo más?

Víctor Valle Prez preguntó el 4-12-2002 sobre el gnomon de la división.

A History of mathematical Notations, pp.270-271; Boyer, pp.282,328.

Z Enteros, conjunto de números

Es, simplemente, la inicial de Zahlen, que en alemán quiere decir precisamente "números". Supongo que su uso vendrá de la época en la que el concepto de conjunto se desarrolló allá por tierras centroeuropeas.

Experiencia matemática, p.119.

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Epsilones: Signos matemáticos

xn Exponente de una potencia

El primero que colocó el exponente en una posición elevada con respecto a la línea base fue Chuquet en el siglo XV. Sin embargo, se lo colocaba directamente al coeficiente, de modo que 5x2, lo escribía como 52.

En 1636 James Hume publicó una edición del álgebra de Viète en la que que utilizó una notación prácticamente

igual a la actual, salvo en el detalle de utilizar números romanos. Así, 5x2 lo escribía como 5xii.

Sería Descartes quien sustituyó en su obra Geometrie los incómodos numerales romanos por los indoarábigos. No deja de ser curioso, sin embargo, que para la potencia cuadrada no utilizase la notación elevada, sino que siguiese escribiendo, como muchos hasta entonces, x2 como xx.

• Exponente de una potencia en programas de ordenador

A History of mathematical Notations, #294, #297, #298, Geometrie, passim.

x^n Exponente de una potencia en programas de ordenador

En la mayoría de programas de ordenador, para indicar una potencia evitando los superíndices se utiliza la notación que se ve a la izquierda. En realidad, en un principio se utilizaba, lo cual parece más apropiado, una flecha hacia arriba, de modo que x↑n quería decir xn. Después, seguramente por la inexistencia de una tecla para la flecha, se quedó solo la cabeza de esta en forma de acento circunflejo.

• Exponente de una potencia

The Book of Numbers, p.59.

f(x) Función de x

Fue uno de los Bernoulli, Johann, quien a finales del siglo XVII empezó a utilizar símbolos especiales para representar funciones. En una carta a Leibniz le comentaría que prefería utilizar las letras mayúsculas correspondientes a los nombres de las varibles para así liberar a la memoria de tener que recordar de qué variable es cada función.

Más tarde, en 1718, simplificaría las cosas utilizando la letra griega φ (léase "fi"), precursora de nuestra "f", de modo que si φ era una función de x escribía φx.

Sería Euler, una vez más, quien en sus Commentari de San Petersburgo de 1734 dejaría las cosas tal y como están hoy al utilizar como nombre genérico para las funciones la letra "f" e indicar la variable entre paréntesis.

A History of mathematical Notations, #642 y #643; Boyer, p.557.

Nabla (operador hamiltoniano; operador gradiente)

El símbolo nabla fue introducido por William Rowan Hamilton en 1853 en su libro Lectures on Quaternions.

Parece ser que en principio lo utilizó como un símbolo de propósito general para cualquier operador que utilizase en un momento determinado, pero que acabó fijándolo para el operador gradiente.

Se le ha llamado de varias maneras: "del", "nabla" o "atled" (delta escrito al revés).

No hay acuerdo sobre quién le puso el nombre de nabla: además del propio Hamilton (teoría apoyada por tratarse de un experto en multitud de lenguas), otros candidatos son: James Clerk Maxwell, de quien se dice que lo propuso humorísticamente; Tullio Levi-Civita y Heaviside.

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Epsilones: Signos matemáticos

El término nabla parece ser de origen fenicio, lengua de la que pasó al griego y al hebreo. Hace referencia a un antiguo instrumento semejante a la lira pero de forma triangular.

Sugerencia de Álvaro Corvalán.

A History of mathematical Notations, #507; web: History of Nabla; web: Earliest Uses of Symbols of Calculus.

= Igual

Este signo se debe a Robert Recorde, que empezó a utilizarlo en 1557. Explicó su elección diciendo: "Pondré, como hago a menudo en el curso de mi trabajo, un par de paralelas o líneas gemelas de una misma longitud, así: ======, porque no hay dos cosas que puedan ser más iguales". Posteriormente, la rutina se encargó de acortar las paralelas.

Boyer, p.347.

Inclusión

Este signo es una variante del signo < ("menor que") introducida por Ernst Schröder en 1890 para ser usada únicamente entre conjuntos y no entre números. El conjunto que se escribe a su izquierda se dice que "está incluido (o contenido) en" el conjunto que se escribe a su derecha.

• Pertenencia

Conceptos de matemática moderna, p.66; A History of mathematical Notations, p.294 (vol 2).

x Incógnita

Los árabes, para representar la incógnita, utilizaban el término shay, que quiere decir "cosa". En los textos españoles se escribió xay, que con el tiempo se quedó en x.

Los egipcios le llamaban aha, literalmente "montón". Durante los siglos XV y XVI se le llamó res en latín, chose en francés, cosa en italiano o coss en alemán.

Samarcanda, p.49; Boyer, pp.37,355.

Infinito matemático

Lo inventó el matemático inglés John Wallis allá por 1655. Tiene la forma de una curva llamada lemniscata de Bernoulli, aunque no se sabe de dónde sacó Wallis la idea. Unos dicen que es una variante de uno de los símbolos romanos para mil. Otros sugieren una variación sobre la omega minúscula. Aunque se parezca tremendamente a ciertas proyecciones planas de la cinta de Moebius, no tienen nada que ver, aunque opino que es una afortunada coincidencia.

Boyer, p.480; e: The Story of a Number, p.120; A History of mathematical Notations, 2º vol. p.44.

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Epsilones: Signos matemáticos

Integral

Se trata de una "s" alargada, inicial de la palabra latina summa, lo cual hace referencia al hecho de que la integral, en principio, es la suma de las áreas de un conjunto de rectángulos cuyas alturas vienen dadas por los valores de una función y cuyas bases tienen longitudes infinitesimales. Se debe a Leibniz, coinventor independiente del cálculo.

Boyer, p.506; Struik, p.111.

Pertenencia

Se trata de una letra griega épsilon estilizada y fue utilizada por primera vez, que yo sepa, por Peano en 1895. Lo de escoger la épsilon es por ser la "e" la inicial de la palabra elemento. El elemento que se escribe a su izquierda se dice que "pertenece" al conjunto que se escribe a su derecha.

Su parecido con el símbolo del euro es porque este último también proviene de la épsilon griega.

• Inclusión

Conceptos de matemática moderna, p.61; A History of mathematical Notations, p.299 (vol 2).

·

Producto

Muchos algoritmos para obtener productos y proporciones hacían uso, en los viejos tiempos de la aritmética, de la cruz de San Andrés (el aspa). Quizá por ello Oughtred, allá por 1631, la eligió como símbolo para sus multiplicaciones y pronto otros autores siguieron su ejemplo.

Pero no todos: Leibniz, en 1698, le escribió a John Bernoulli: "no me gusta como símbolo para la mutiplicación, pues se confunde demasiado fácilmente con x; ... a menudo relaciono dos cantidades con un punto interpuesto, e indico la multiplicación mediante ZC·LM". Es decir, que Leibniz, para evitar confusiones, señalaba de la misma manera proporciones y productos, con un sencillo punto.

Me pregunto si habrá alguna razón para que nos empeñemos en enseñar a los niños a utilizar el aspa y después, cuando ya están acostumbrados, les digamos que se olviden y que utilicen el punto. ¿Quizá es otro caso de recapitulación embriológica?

Otra posibilidad (*) para indicar el producto es no poner nada en absoluto entre los factores, como cuando escribimos xy para indicar 'x por y'. Descartes, cuando en la página 7 de su Geometrie fija la notación que va a utilizar, dice: "Et ab, pour les multiplier l'vne par l'autre". Lo que no sé es si fue el primero en utilizar esta notación.

(*) Propuesta de Franklin Juarez, 21-2-2005

A History of mathematical Notations, pp.265-268.

Π Producto continuo

La letra pi minúscula fue utilizada por Ruffini para indicar factoriales. Con el tiempo, este uso pasó a la pi mayúscula (Π).

Así, Gauss escribía Π(n) para indicar "n factorial". Pero además, en 1812, inició el uso de la mayúscula Π para indicar productos continuos, por razones obvias.

The Joy of π, p.78; History of mathematical Notations, #451.

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Epsilones: Signos matemáticos

φ Razón o sección áurea

Es la letra griega phi (se lee fi), inicial del nombre del escultor Fidias, quien utilizó con frecuencia la sección áurea en sus obras. El uso de esta letra se propuso a principios del siglo XX.

• τ

Survival of the Prettiest, p.141; The Divine Proportion, p.25.

τ Razón o sección áurea

Es la letra griega tau, inicial de το••, "corte" o "sección" en griego (como en tomografía o en micrótomo), lo que la hace particularmente adecuada según Rouse Ball para referirse a la sección áurea.

• φ

Mathematical Recreations and Essays, p.57.

Raíz

Este signo lo introdujo el matemático alemán Christoph Rudolff en 1525.

El mismísimo Euler conjeturó en 1775 que se trataba de una forma estilizada de la letra r, inicial del término latino radix, "radical".

Otra teoría, sin embargo, dice que el signo actual evolucionó a partir de un punto (signo que en ocasiones se utilizó delante de las expresiones para indicar la extracción de la raíz cuadrada) al que posteriormente se le añadió un trazo oblicuo en la dirección del radicando (gracias, Raquel).

Cualquiera sabe: incluso puede que las dos explicaciones sean correctas.

Boyer, p.360; Ifrah, p.1452; A History of mathematical Notations, p.366 y ss.

Suma y resta

Estamos en el siglo XV y poco a poco se van imponiendo abreviaturas para indicar algunas operaciones matemáticas. Por ejemplo, los italianos utilizaban una p y una m para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latín). Sin embargo, acabó imponiéndose la abreviatura alemana + y -. Estos signos se utilizaban originariamente para indicar exceso y defecto en la medida de las mercancias en los almacenes. De hecho, el texto más antiguo que se conoce en el que aparecen estos signos con el sentido de suma y resta es un libro de aritmética comercial del alemán Johann Widman publicado en 1489.

Pese a su uso por los alemanes, parece ser que el signo + tiene origen latino por ser una contracción medieval de la palabra et (la conjunción copulativa "y").

Boyer, pp.358,360; Experiencia matemática, p.98.

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Epsilones: Signos matemáticos

Σ Sumatorio

El uso de la sigma griega mayúscula se debe a Euler, que empezó a usarla en 1755 con estas palabras "summam

indicabimus signo Σ".

Parece claro que el ser sigma la letra griega equivalente a la 's' de suma está en el origen de su elección.

History of mathematical Notations, #438; Boyer, p.557.

i Unidad imaginaria

Descartes, en 1637, llamó imaginarias a las expresiones en las que aparecían raíces cuadradas de números negativos.

Por su parte, también en el siglo XVII, Leibniz dijo: “EL Espíritu Divino encontró un sublime salida en esa maravilla del análisis, ese portento ideal que significa estar entre el ser y el no ser que nosotros llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”.

Sin embargo, fue Euler quien utilizó en 1777 por primera vez el símbolo i para la unidad imaginaria, aunque sería Gauss quien iniciaría su uso sistemático unos años más tarde.

Sugerencia de Álvaro Corvalán.

De aquí al infinito, p.160; Men of mathematics, pp.15-16; A History of mathematical Notations, #498.

• inicio de la página

Epsilones Revista electrónica, aperiódica y levemente matemática.

Alberto Rodríguez Santos Correo

En la red desde el 4-7-2002 Última actualización: 11-10-2006.

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EEJJEERRCCIICCIIOOSS CCOONN IINNTTEERRVVAALLOOSS

EEssccooggee llaa rreessppuueessttaa ccoorrrreeccttaa ppaarraa ccaaddaa pprreegguunnttaa

111... ¿¿CCóómmoo ssee llllaammaa uunn iinntteerrvvaalloo ddee llaa ffoorrmmaa [[aa,,bb)) aa.. SSeemmiiaabbiieerrttoo oo sseemmiicceerrrraaddoo bb.. EEnnttoorrnnoo cc.. CCeerrrraaddoo dd.. AAbbiieerrttoo

222... ¿¿EEnn ccuuááll ddee llooss ssiigguuiieenntteess iinntteerrvvaallooss eessttáánn iinncclluuiiddooss llooss ddooss eexxttrreemmooss??

aa.. [[11,,33]] bb.. [[11,,33)) cc.. ((11,,33)) dd.. ((11,,33]]

333... ¿¿CCuuááll ddee llooss ssiigguuiieenntteess iinntteerrvvaallooss eess eell ccoorrrreessppoonnddiieennttee aa llaa

ddeessiigguuaallddaadd:: 00<<xx<<33?? aa.. [[00,,33]] bb.. [[00,,33)) cc.. ((00,,33)) dd.. ((00,,33]]

444... LLaa iigguuaallddaadd ||xx|| << 33 eess vveerrddaaddeerraa ppaarraa ttooddoo nnúúmmeerroo xx::

aa.. mmeennoorr qquuee 33 bb.. PPoossiittiivvoo yy mmeennoorr qquuee 33 cc.. ccoommpprreennddiiddoo eennttrree --33 yy 33

555... EEll nnúúmmeerroo rraacciioonnaall 55//66 ppeerrtteenneeccee aall iinntteerrvvaalloo::

aa.. ((11//33,,22//33)) bb.. ((11//33,,33//22)) cc.. ((--11//33,,11//33))

666... EEnn eell iinntteerrvvaalloo ddee llaa rreeccttaa rreeaall [[--22,,55]]

aa.. HHaayy iinnffiinniittooss nnúúmmeerrooss rreeaalleess ttaannttoo ppoossiittiivvooss ccoommoo nneeggaattiivvooss.. bb.. SSóólloo hhaayy 88 nnúúmmeerrooss qquuee ssoonn:: --22,, --11,, 00,, 11,, 22,, 33,, 44 yy 55.. cc.. NNoo eessttáá eell nnúúmmeerroo 55 -- 22..6611//22

777... ¿¿CCuuááll ddee llooss ssiigguuiieenntteess iinntteerrvvaallooss eess aabbiieerrttoo??

aa.. ((44,,77)) bb.. ((44,,77]] cc.. [[44,,77)) dd.. [[44,,77]]

888... LLooss nnúúmmeerrooss xx ttaalleess qquuee 22,,99 << xx << 22,,9911 ppeerrtteenneecceenn aall iinntteerrvvaalloo::

aa.. [[22,,99 ;; 22,,9911)) bb.. ((22,,99 ;; 22,,9911)) cc.. [[22,,99 ;; 22,,9911]]

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unidad1_actividades

Unidad 1 : Números > ACTIVIDADES >

ACCIONES:

1. Forme grupos de trabajo y plantee el siguiente enunciado: ( extraído de programa de estudios de Matemática, Pág. 20)

“ Si supones que tardas 1/5 segundos en escribir un 0 y 0,1 segundos en escribir un 1, ¿en la escritura de cuál de los siguientes números ocuparás más tiempo: 0,1100; 10100;0,1-100?

a. Solicite a los alumnos que calculen los segundos en que tardan en escribir los números señalados anteriormente, probando con exponentes de 1 hasta 5 respectivamente usando sólo lápiz y papel. La siguiente tabla muestra en la fila superior los exponentes señalados, luego en la celdas ubicadas a continuación, se deberán completar con los segundos que el alumno obtenga para cada situación:

X=1 X=2 X=3 X=4 X=5

0,1x

10x

0,1-x

b. Una vez completa la tabla, solicitar a los alumnos que hagan sus conjeturas y así respondan la pregunta, apoyados por los valores obtenidos y la intuición.

c. Para comprobar la veracidad de sus respuestas, indicar a los grupos que utilicen una hoja de cálculo. En ella se ha de utilizar una fórmula para cada caso, la cual permitirá obtener el valor de la potencia ingresando un valor cualquiera para el exponente. Por ejemplo como se muestra en la figura:

● Finalmente, se solicita la respuesta correcta a la situación plateada.

2. Permita que los alumnos utilicen el sentido común para comprender la regla que permite redondear decimales, luego proceda a formalizar dicha regla. Para tal propósito realice una actividad con el número áureo y algunas celdas de una hoja de cálculo.

● Solicitar a los alumnos, que seleccionen una celda en una hoja de cálculo. ● Luego, configurar ésta para que muestre 10 decimales. Si es una hoja de cálculo de Excel, se puede hacer de la siguiente forma:

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unidad1_actividades

● Del Menú Formato, activar Celdas.

● En la etiqueta Número, seleccionar la categoría Número.

● En Posiciones decimales ingresar o seleccionar el valor 10.

● Finalmente Aceptar.

● Posteriormente, seleccionar una celda para ingresar el numerador y otra para el denominador.

● Ingresar en la celda configurada para mostrar cierto número de decimales la fracción en formato de fórmula.

La razón áurea es la siguiente expresión:

● Ingresar el numerador ( ) y denominador ( 2) en las celdas escogidas para tal efecto. Si se utiliza Excel ingresar en la celda del numerador la expresión =1+RAIZ(5) para .

● Solicitar a los alumnos que usen la opción de la hoja de cálculo que permite disminuir o aumentar paulatinamente los decimales de una celda. En este caso la celda que contiene la fórmula que representa al número áureo.

Excel permite disminuir o aumentar decimales con los siguientes botones:

permite aumentar decimales de

un número. permite disminuir

decimales de un número.

● La idea es que observen y comprendan el comportamiento de los dígitos del número en cuestión a medida que vayan disminuyendo los dígitos del decimal y, posteriormente, solicitar que diseñen una regla que permita explicar el redondeo de decimales.

● Una vez que los grupos hayan diseñado la regla, ésta deberá ser comparada con la siguiente:

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unidad1_actividades

Paso 1: Localizar el lugar donde se redondeará el número.

Paso 2: Observar el siguiente digito a la derecha del lugar al que se redondeará el número. Paso 3A: Si ese dígito es menor que 5, eliminar todos los dígitos a la derecha del lugar al que se redondeará el número. No cambiar el digito del lugar donde se efectuará el redondeo.

Paso 3B: Si ese dígito es 5 o mayor, eliminar todos los dígitos a la derecha del lugar al que se redondeará el número. Sume uno al digito del lugar donde se efectuará el redondeo.

● Efectuar comparaciones entre las reglas diseñadas por los grupos y la anterior. Ver similitudes y diferencias.

● Comprobar la regla que permite redondear decimales de un número con el número áureo y chequear con la fórmula diseñada en la hoja de cálculo para tal efecto. Comprobar con otros números que contengan decimales con las mismas características.

● Generalizar y formalizar la regla que permite redondear decimales.

3. Plantear la siguiente situación a los grupos de trabajo.

Una pajarera con canarios puede albergar 6 nidos. ¿Cuántas pajareras serán necesarias para albergar 92 nidos?

● ¿Qué tipo de aproximación es la más apropiada? y ¿por qué?.

4. En las pruebas de campo en atletismo son varios los recores que han hecho noticia. El Lanzamiento de bala femenino, Natalia Venedictovna ostenta la mejor marca con 22,63 metros (1987) mientras en varones Erick Randolph tiene el record con 23,12 metros (1990).

● ¿Es conveniente que los jurados de la competencia realicen algún tipo de aproximación con respecto a los metros en las respectivas marcas?. ¿Porqué?.

5. En un casino escolar se reparte leche a 89 alumnos cada día de Lunes a Viernes. La encargada abastece la despensa cada semana.¿Cuántos litros de leche debe comprar para que todos los alumnos tengan su ración?.

● ¿Que aproximación en conveniente? y ¿por qué?.

¿Es siempre oportuno aproximar decimales para resolver problemas de la vida diaria en donde este involucrado este tipo de número?.¿Por qué?.

¿Siempre se debe aceptar las aproximaciones que entregue la hoja de cálculo?. ¿Por qué?.

RECOMENDACIONES METODOLÓGICAS:

1. Reforzar el trabajo con números, por medio de las actividades presentadas en la sección REGULARIDADES NUMÉRICAS Y GEOMÉTRICAS del sitio del proyecto Descartes. http://

www.pntic.mec.es/Descartes/3_eso/Regularidades_numericas_geometricas/Regularidades_00.htm

2. Para realizar la actividad es necesario que los estudiantes manejen apropiadamente el trabajo con fórmulas en una hoja de cálculo. Por tanto, es recomendable reforzar dichas competencias

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unidad1_actividades

3. Para finalizar la actividad, haga una última reflexión sobre la utilidad de la aproximación y redondeo de decimales.

4. Explicar la importancia del número áureo en la naturaleza y en le arte. Señalar la forma en que este se construye. Mostrar un ejemplo:

Un rectángulo áureo se define como un rectángulo cuyas dimensiones satisfacen la ecuación:

Esta proporción si se cumple, permite obtener el número

5. Promueva entre sus alumnos el uso del modelo de Polya para encarar situaciones problemáticas en el área matemática.

● COMPRENDER EL PROBLEMA ● CREAR UN PLAN ● PONERLO EN PRACTICA, y ● EXAMINAR LO HECHO

MATERIAL DE REFERENCIA

● Matemática: Razonamientos y Aplicaciones.

Charles Miller – Vern E. Heeren – E.John Hornsby, Jr. Addison Wesley Longman de México s.a México, 1999 ISBN: 968-444-374-9

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Instrumentos digitales file:///C:/Documents%20and%20Settings/Encarna/Mis%20documento...

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MEDIDAS DIRECTAS (Instrumentos

digitales)

En los instrumentos digitales el número que representa el valor de la medida aparece

representado por una cifra directamente en la pantalla. Son medidas directas.

Recuerda que:

La imprecisión para las medidas que obtenemos con instrumentos analógicos (aquellos

en los que una aguja recorre una escala y puede pasar por todos los valores), es la

menor división de la escala.

La precisón de un aparato analógico electrónico (voltímetro, etc) la indica el fabricante

para cada rango de medida.

La precisión define la "clase del instrumento" y esta indicada en error relativo absoluto

(porcentual absoluto) referido al valor máximo de la escala y especificado para cada

rango o escala. El error absoluto máximo de una medida en esa escala se se halla

aplicando el error relativo al fondo de escala

Ejemplo: Para un Voltimetro "clase 2" en la escala de rango 0-250 V. El fabricante

asegura una Precisión porcentual absoluta 2%.

Por lo tanto el Error absoluto en esa esacala será=2%.250=± 5V.

En una medida de 230 V tendremos una imprecisión de ± 5V. El mismo que tendremos

en una medida de 20 V en esa escala (o sea, ±5V)

Por lo tanto el error relativo (porcentual relativo) es mucho mayor en la parte baja de la

escala: 5 / 20, frente a 5 / 230 en la alta.

En este caso la sensibilidad del aparato en esa escala 0-250 es 5V, ver figura arriba, y

coincide con la precisón.

Normalmente el valor de la resolucion y el de la precisión no coinciden . Ejemplos:

Sonda para medir presionnes: Resolution: 2 hPa; Accurancy: 2% ± 4 hPa

Sonda amperimetro: Resolution: 1mA; Accurancy: 1% ± 3 mA

Ejemplo de la forma de proceder con INSTRUMENTOS DIGITALES

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Instrumentos digitales file:///C:/Documents%20and%20Settings/Encarna/Mis%20documento...

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La imprecisión de los instrumentos de medida digitales la indica el fabricante.

En la balanza de la figura se indica la cota máxima, o peso máximo, que puede medir y la

imprecisión (d). Para pesadas entre 0 y 50 g la imprecisión es de 0,1 g, pero entre 50 y

100 g el fabricante sólo asegura 0,2 g.

Por lo tanto, si medimos 6,1 g la expresión correcta será 6,1 ± 0,1 g

Pero para una medida de 65,2 g la expresión correcta será: 65,5 ± 0,2 g

Error relativo a fondo de escala (porcentual absoluto)=0,2/100=0,2%

El error relativo para valores menores es mayor.

Todo valor que aparece en la pantalla del instrumento debe expresarse acompañado de

su imprecisión

Todas las demás consideraciones sobre número de medidas y representación de ellas

son iguales a lo que hemos visto en medidas directas con instrumentos analógicos.

Existen instrumentos digitales que captan secuencias de medidas, las guardan en tablas

y también pueden mostrarlas en gráficos. La sofisticación de estos aparatos puede

inducirnos a pensar que dan medidas totalmente precisas, lo cual no es correcto, ya que

siempre debemos tener en cuenta (aunque el aparato las muestre sin imprecisión) la

imprecisón del aparato indicada por el fabricante.

Es necesario calibrar previamente los aparatos.

Todo instrumento tiene una imprecisión aunque esté perfectamente calibrado.

En el siguiente ejemplo vamos a ver la toma de datos y su representación en una

práctica de calentamiento del agua mediante un calentador eléctrico (resistencia

eléctrica protegida y sumergida en el agua).

Todos los valores que vemos en las tablas y los puntos de las gráficas vienen

acompañados de un error.

Preparamos el aparato y nos fijamos en sus características:

1º.- Calibramos el aparato después de comprarlo. Para ello ponemos el sensor en agua y

hielo y ajustamos el tornillo hasta ver el 0º . Después lo metemos en agua hirviendo y

ajustamos con otro tornillo hasta ver el valor 100º en la pantalla.

2º.- Nos fijamos en la escala entre la que podemos medir (ver instrucciones). Con esta

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Instrumentos digitales file:///C:/Documents%20and%20Settings/Encarna/Mis%20documento...

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sonda podemos medir entre - 20º y 120 ºC.

3º.- Nos fijamos en la temperatura máxima a que podemos exponer la sonda (130 ºC).

Vaso con calentador y sensor

4º Miramos la precisón de la sonda que nos da el fabricante para cada escala. Lo da en

error relativo para una escala y a veces acompañado del error absoluto en dicha escala.

Ej Amperímetro: 1%, ± 2 mA

Una sonda de un termopar puede indicar el error absoluto máximo para cada rango.

Ejemplo: Error absoluto (máximo) T<=400º ± 4 º C ; T > 400 º ± 1 ºC

5º Tiempo de respuesta. Es, por ejemplo, el tiempo que debemos esperar para que la

sonda esté a la temperatura del medio

Efectuamos el montaje y conectamos la sonda. Lanzamos el grabador interno para la

captura de datos.

Analizamos los datos obtenidos. Estos valores deben ir acompañados de la sensibilidad

(imprecisión o resolución) que indica el fabricante y de las unidades de medida.

Si relizamos varias medidas, por ejemplo para estudiar la temperatura donde se produce

el cambio de estado de una mezcla, debemos calcular la representante de todas ellas y

su imprecisión absoluta (Ea).

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En el texto que aparece a continuación, los fragmentos en color (azul y rojo) corresponden a transcripciones literales del libro de Arquímedes. Debajo de cada fragmento aparecen las aclaraciones y comentarios que el autor Stephen Hawking hace del texto. El fragmento que aparece en letra de color rojo es, quizá algo enrevesado, no te desanimes lee las aclaraciones del autor y te resultará mucho más fácil. Cuando hallas leído el texto contesta a las cuestiones que se plantean al final.

EL ARENARIO

Arquímedes

Creen algunos, ¡oh rey Gelón!,2 que el numero de granos de arena es infinito; mas no ya el de los que rodean a Siracusa y cubren las distintas playas de Tinacria,3 sino el de las que puede haber en todas las regiones habitadas y desiertas, está lejos de serlo. Hay otros que juzgan no ser infinito su número, pero dicen que es imposible asignarle ninguno determinado que lo exprese. ¿Qué juzgarían los que tal opinan, al considerar semejante masa de arenas, si imaginaran que la Tierra entera, levantada hasta la cumbre de los más altos montes, con los mares y todas sus

cavidades, se hallase repleta de ellas, y todavía pusieran la consideración en el conjunto de una multitud de moldes iguales a la supuesta? Ciertamente que no vacilarían en afirmar que el número de granos de arena contenidos en dicho conjunto habría de exceder con mucho, y en gran manera, a todo número. Mas comprenderás que entre los números dados por mí y consignados en las cartas que escribí a Zeusippo, hay algunos que no sólo exceden al de los granos de arena que contendría toda la Tierra, sino también al de los que pudiera contener el Mundo entero. Y no ignoras que muchos astrónomos dan el nombre de Mundo a la esfera que, con el centro en el de la Tierra, tiene por radio la distancia de ésta al Sol. Aristarco de Samos4 publicó ciertas hipótesis de cuyos fundamentos resulta que el Universo sería mucho mayor porque supone que las estrellas fijas y el Sol están inmóviles, y que la Tierra gira alrededor de éste como centro ………………………………………………………………………………………..

1. Este escrito es el más precioso documento que poseemos de la numeración helénica. Los griegos tenían invencible horror a considerar números grandes, como si, fuera de sus necesidades de orden práctico, no tuviesen realidad objetiva. En Geometría llegaron a las más altas cumbres de la abstracción; pero se quedaron rezagados en Aritmética hasta que el genio desinteresado de Arquímedes dedicó a este tema una obra especial: 'Αρχαι, Principios, perdida, en la que parece que definía los confines entre la numeración y la Aritmética propiamente dicha; pero el pensamiento arquimediano no se ha perdido porque nos queda El Arenario en forma de carta enderezada al rey Gelón.

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2. Tirano de Siracusa, que murió el año 214 a.C. 3. Nombre primitivo de Sicilia. 4. Geómetra griego del siglo III a.C. Las palabras de Arquímedes tienen, además, gran importancia histórica por su alusión al sistema heliocéntrico de Aristarco, que, lo mismo que a Galileo dos mil años después, le valió la acusación de violador de la religión ante los paganos ortodoxos. Verdadero precursor de Copérnico, el astrónomo griego tuvo la audacia de decir que la Tierra giraba alrededor del Sol en una obra, perdida, lo que da extraordinario interés a la referencia de Arquímedes, quien, sin compartir las ideas de Aristarco, acepta el Universo de éste por ser inmensamente mayor que el que concebían sus contemporáneos y poder demostrar que, lleno de arena, contiene un número finito de granos.

Decimos, pues, que si tuviéramos una esfera de arena tan grande como la de las estrellas fijas que supone Aristarco, se podría demostrar que entre los números citados en el libro de los Principios6 hay algunos que superan el de granos de arena contenidos en .dicha esfera. Supongamos ahora que el contorno de la Tierra tenga trescientas miríadas de estadios,7 ………………………………………………………………………….

7. Miríada quiere decir «diezmillar», y como el estadio ático tenía 125 pasos geométricos, equivalentes a 177,7 metros, resulta que las 300 miríadas = 3 millones de estadios que Arquímedes asigna a la circunferencia terrestre son 533 millones de metros, número deliberadamente exagerado para matizar mejor el problema que trata de resolver.

………………………………………………………………………………………….. Suponiendo ahora que un grano de arena es menor que una semilla de amapola, que ésta no contiene más de una miríada de granos de arena, y que el diámetro de la semilla no sea menor que la cuarentava parte de un dedo,20 coloqué semillas de amapola en fila sobre una regla de modo que se tocaran mutuamente y, al observar que veinticinco semillas ocupaban una longitud mayor que lo ancho de un dedo supuse que el diámetro de la semilla era más pequeño aún: solo la cuarentava parte de un dedo para que no hubiese contradicciones en lo que me había propuesto. Tales son las hipótesis que hago y creo que es el momento de exponer los nombres de los números, porque si no dijera nada en este escrito, temería que quienes no hayan leído el que envié a Zeusippo,21 pudieran caer en un error.

20. 1 dedo = 0,0001 estadio. 21. El de los Principios.

Se han dado nombres a los números hasta una miríada y también son conocidos los mayores puesto que lo que se hace es repetirlos hasta una miríada de miríadas.22

A todos estos números hasta una miríada de miríadas los llamo primeros;23 la miríada de miríadas de números primeros se llamará unidad de números segundos y contaremos las unidades, decenas, centenas, millares y miríadas de estas mismas unidades hasta una miríada de miríadas de números segundos que se llamará unidad de números terceros, y contaremos las unidades, decenas, centenas, millares y miríadas de estas mismas unidades hasta una miríada de miríadas de números terceros, que se llamará unidad de números cuartos, cuya miríada de miríadas se llamará unidad de números quintos, y así continuaremos dando nombres a los números siguientes hasta las

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miríadas de miríadas de los números formados por miríadas de miríadas de números terceros. Aunque esta gran cantidad de números es más que suficiente, se puede ir más lejos aún. En efecto, llamaremos números del primer período a los números de que acabamos de hablar,24 al último de los cuales diremos unidad de los números primeros del segundo período; la miríada de los números primeros del segundo período será la unidad de los números segundos del segundo período; la miríada de miríadas de los números segundos del segundo período se llamará unidad de los números terceros del segundo período y continuaremos dando nombres a los números siguientes hasta un número del segundo período que sea igual a las miríadas de miríadas de números formados por miríadas de miríadas, y el último del segundo período será la unidad de números primeros del tercer período y seguiremos dando nombres hasta las miríadas de miríadas del período formado por una miríada de miríadas de números de miríadas de miríadas. Si partiendo ahora de la unidad colocamos los números unos a continuación de los otros y el más próximo a la unidad es una decena, los ocho primeros números, incluida la unidad, serán los llamados primeros; los ocho siguientes, los segundos, y del mismo modo se designan los demás números según la distancia de su octada a la octada de los números primeros. De aquí resulta que el octavo número de la primera octada tendrá mil miríadas; el primero de la segunda octada, que es la unidad de los números segundos, será una miríada de miríada por ser décuple del que le precede; el octavo de la segunda octada será el millar de miríadas de los números segundos, y, finalmente, el primer número de la tercera octada, que es la unidad de los números terceros, será una miríada de miríadas de números segundos por ser decuple del anterior, y es de miríadas de números segundos por ser décuple del anterior, y es evidente que de este modo se tendrán tantas octadas como se quiera.25

. 22. Como se ve, Arquímedes supone conocidos los nombres de los números hasta la miríada por haberlos divulgado en sus Principios, siendo fácil distinguirlos hasta una miríada de miríadas, es decir: 10.000 x 10.000 = I08 = 100 millones. Los nombres de los diez primeros números eran: 1. eis 6, ex 2. dúo 7 epta 3. treis 8, octo 4. tessares 9, ennea 5.pente 10, deca. Los de la segunda decena se formaban con el de las unidades y la terminación deca hasta el 20. interpolando a veces la partícula και, equivalente a nuestro adverbio más, como, por ejemplo, 12, dodeca; 19 enneacaideca. y de un modo análogo se nombraban los de las decenas siguientes cuyos nombres se formaban con los de las unidades y la terminación conta, excepto el 20, que se decía eicosi; así: 30, triaconta: 40, tessaraconta, etc.; 100 era ecaton; 1.000, kilioi, y 10.000, miríada, y no necesitaban más nombres para designar los números hasta 108 - 1 = 99.999.999. En cuanto a la numeración escrita, los veinticuatro primeros números se representaban por las letras del alfabeto jónico en su orden natural, procedimiento cuya rigidez era inadecuada para el cálculo, por lo cual los antiguos griegos recurrieron al expediente de agregar a las letras tres signos especiales de origen oriental.

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Indicaban los millares por las mismas letras que las unidades simples, y para distinguirlos de éstas afectaban las letras que representaban millares de un acento colocado en su parte inferior. La letra M correspondía a una decena de millar que, como hemos dicho, era la miríada, cuyo límite se tardó mucho tiempo en sobrepasar, porque bastaba para todos los fines prácticos, ya que la Logística ocupaba un lugar subalterno en la jerarquía de las disciplinas matemáticas asumiendo un carácter ancillar respecto de la Aritmética propiamente dicha; y es preciso esperar a Arquímedes para que los griegos se fijasen en los grandes números al quedar destruida la creencia de que eran infinitos los granos de arena de la Tierra. 23. πρωτοι 24. Es decir, los comprendidos entre 1 y 108, que es la base de su sistema de numeración. 25. Este sistema de numeración se funda en los mismos principios que el nuestro. Arquímedes toma como base 108 porque los griegos solo podían expresar oralmente los números comprendidos entre 1 y 108, es decir, desde la unidad hasta la miríada de miríadas, los cuales son los números primeros. La miríada de miríadas es la unidad de números segundos, cuyo valor es 108 • 108=102⋅8=1016

contando esta nueva unidad por decenas, centenas, millares y miríadas hasta la miríada de números segundos, se tiene la unidad de números terceros, o sea: 108 • 102'8 = 103⋅8=1024, y así se llega a la miríada de miríadas de los números cienmillonésimos, es decir, hasta

88 1010 ⋅, número que, en nuestro sistema, está representado por la unidad seguida de ochenta

millones de ceros. Las unidades que considera Arquímedes son, pues:

88 2 8 81010 ;10 ; ;10 ;⋅ ⋅… …

habiéndose detenido en el 2 88 1010⋅⋅

que en nuestro sistema de numeración sería la unidad seguida de ochenta mil billones de ceros, número monstruoso superior a toda comprensión, ni aún recurriendo a artificios tales como el tiempo que se tardaría en escribirlo, longitud que tendría, etc., debiendo advertirse que la palabra billón tiene en España, Italia, Inglaterra, Alemania e Hispanoamérica la significación de un millón de millones, mientras que en Francia y Estados Unidos equivale a mil millones. En español, dicha palabra aparece empleada en el siglo xv.

.............................................................................................................................................................................................

Establecidas estas cosas, unas supuestas y otras demostradas, expongamos lo que nos hemos propuesto. Puesto que una semilla de amapola no es menor que la cuarentava parte de un dedo, es evidente que una esfera cuyo diámetro sea un dedo no es mayor que lo necesario para contener seis miríadas y cuatro mil semillas de amapola,29 …………………………………………………………. Una esfera de cien dedos de diámetro es igual a cien miríadas de veces otra de un dedo de diámetro, puesto que la razón de las esferas es la triplicada de la de sus diámetros; ……………………………………………………. ………………………………………………………………………………. luego el número de granos de arena contenidos en una esfera de cien dedos de diámetro es menor que mil miríadas de números segundos.30

…………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………... Comprendo, ¡oh rey Gelón!, que estas cosas parecerán increíbles a muchas personas no versadas en las ciencias matemáticas, pero serán demostradas por quienes las cultivan y se aplican a conocer las distancias y magnitudes de la Tierra, del Sol, de la Luna y del Universo entero, por lo cual creo que será conveniente que otros las consideren de nuevo.

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29. 14.000 semillas. 30. Análogamente calcula el numero de granos de arena que caben en una esfera de un diámetro igual a una miríada de dedos, o sea, un estadio, cien estadios, una miríada de estadios, cien miríadas de estadios —que es el diámetro de la Tierra que adopta Arquímedes—, una miríada de miríadas de estadios, cien miríadas de miríadas de estadios —el diámetro del Universo según los astrónomos ortodoxos— y, finalmente, cien miríadas de unidades del primer orden de su sistema de.octadas —que es el diámetro del Universo de Aristarco—, llegando así a un número que, con nuestra notación decimal, sería la unidad seguida de sesenta y ocho ceros. Con El arenario, Arquímedes demostró que los grandes números son también entes matemáticos y, como dice GINO LORIA: Storia dalle Matematiche, tomo I, pág. 186, Turín, 1929, «atrajo la atención hacia el infinitamente grande aritmético como en sus memorables aplicaciones del método de exhaución venció la repugnancia por el infinitamente pequeño geométrico».

Responde a las siguientes cuestiones:

1. ¿Cuántos metros mide un estadio, no de fútbol, sino un estadio de los que habla Arquímedes?

2. ¿Cuánto es una miríada? 3. Según aparece en El Arenario ¿cómo concibe Aristarco de Samos el

universo?¿qué otros astrónomos fueron los precursores de este modelo de universo?

4. Si 1 estadio = 177,7 metros ¿Cuántos metros son exactamente 300 miríadas de estadios?

5. ¿Cuál es el mayor número que los griegos de la época podían expresar oralmente antes de que Arquímedes propusiera este nuevo sistema de numeración?

6. ¿Cuál es el número mayor al que hace referencia Arquímedes? 7. ¿En qué consiste el método de exhaución? Busca en enciclopedias,

libros de historia de las matemáticas o en internet

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Notación científica. Orden de magnitud. Comparaciones

Notación científica

Si efectúas el producto 23651240 · 42118120, obtienes 996145764468800 como valor real .

En la calculadora se obtiene como resultado:

que quiere indicar: 9.961457645 · 1014 = 996.145.764.500.000, que es un redondeo a la centena de millarde su valor real.

De la misma forma, si efectuamos:

=

=

Esta forma de expresar números se denomina notación científica.

Un número está expresado en notación científica si tiene la forma a' bcd... · 10n , siendo a un número natural entre 1 y 9.

Actividades

Escribe en notación científica:

42.000 / 750.000 /8.000.000 /500 /

Hay una galaxia espiral en la constelación de la Osa Mayor cuya distancia a la Tierra esaproximadamente: 66.000.000.000.000.000.000.000 Km. Exprésalo en notación científica.

¿Cómo podemos introducir la notación científica en la calculadora?

Para efectuar la operación con la calculadora, no disponemos de suficiente espacio para introducir

los datos en la pantalla. La calculadora permite guardar este tipo de números con la tecla .

Así, el número anterior lo guardaremos tecleando sucesivamente ,

que en pantalla aparece

En las siguientes actividades tendrás necesidad de usar números en notación científica.

Orden de magnitud

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8'4 millones se escribe en notación científica como . La potencia de 10 más próxima a este número es (¿por qué no es ). Diremos que 7 es el orden de magnitud de 8'4 millones.

230 millones se escribe en notación científica . La potencia de 10 más cercana a dicho número es .Diremos que 8 es el orden de magnitud de 230 millones.

El orden de magnitud de un número se define como el exponente de la potencia de 10 más próxima adicho número. Para obtener el orden de magnitud de un número, resulta cómodo escribirlo en notacióncientífica: a' bcd... · 10n

Entonces: Si a'bcd... es menor que 5 el orden de magnitud es n.

Si a'bcd... es mayor que 5 el orden de magnitud es n

Actividades

¿Cuál es el orden de magnitud de 29.500.000? ¿Y de 530?

¿Cuántos metros son un año luz? ¿Cuál es su orden de magnitud?. Comprueba que 1 U.A.~ 8 minutos-luz.

La galaxia más próxima a la nuestra es Andrómeda, a 1022 metros. La galaxia más lejana está a 1026

metros. (Todas las demás galaxias se encuentran entre estas dos distancias).

Aparte de nuestro Sol existen otras muchas estrellas en el Universo. En latabla tienes alguna de ellas con su distancia aproximada a la Tierra, expresada en parsec (1 pársec . 2'26 años luz). Complétala.

Granos de arroz: En 10 cm3 caben unos 350 granos de arroz. Indica el orden de magnitud de la cantidad

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de granos que cabrían en un volumen como el de la esfera terrestre. ( , Radio - Tierra = 6370 Km.)

En 1973 se detectó un objeto que se encontraba a una distancia de doce mil millones de años-luz. Halla ladistancia en Km. del objeto e indica el orden de magnitud.

Curiosidades

L El número de moléculas que aproximadamente tiene un litro de aire es de30.000.000.000.000.000.000.000.

L Numerazos. Completa la siguiente tabla:

L Una sardina pone alrededor de 6.000 huevos cada seis meses. Si por cualquier circunstancia anómalatodos estos huevos dieran lugar a adultos que pudieran seguir reproduciéndose en las mismas condiciones,llegaría un momento en que rebosarían los mares. La relativa sorpresa está en la prontitud con que estehecho se produciría: Una sardina adulta ocupa un volumen de 10 cm3. En el 1º semestre ya tenemos 6.000sardinas que ocuparán un volumen de 60.000 cm3. En el segundo semestre, ocupan un volumen de (60.000)2 cm3, y así sucesivamente: en el semestre x ocupan un volumen de (60.000)x cm3. Como el volumen de agua de mar es de cm3., resulta que en 6 semestres ( 3 años), las sardinas ocupan unmayor volumen que el agua de mar: .

L Vivimos rodeados de campos eléctricos y magnéticos de baja energía creados por las líneas de alta tensióny sus destinatarios, tanto aparatos convencionales como instrumentos electrónicos. Ahí tienes algunos datos.

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Notación científica y números pequeños

En el mundo microscópico, en farmacología, en la electricidad, etc., abundan cantidadesexpresadas mediante números muy pequeños. Así, se sabe que la longitud de la Entamoeba histolytica (la más patógena de las amebas que vive en el intestino humano y que produce ladisentería amebiana) tiene una longitud estimada entre 12 y 40 micras (una micra es 10-6 m); Los valores normales de plomo en sangre son de 0'50 µg/dl (microgramos por decilitro), los devitamina B12 en el varón están comprendidos entre 200 y 800 pg/ml (picogramos por mililitro),los de testosterona en varones entre 400 y 1.200 ng/dl (nanogramos por decilitro); En elprospecto de un polivitamínico, se nos indica que, entre otros componentes, contiene 300 µg deZinc, 2 µg de vitamina B12, 2 mg de vitamina B1, 10 µg de Potasio, etc.

La notación científica nos permite escribir estas cantidades y operar con ellas de una manerasimple y reducida. 800 picogramos, en notación científica, se escribe 8 · 10-10 g.

0'0000726 en notación científica se escribe .

Actividades

Escribe como potencia de 10: Una décima, una mil millonésima, una centésima, una diez-milésima.

Expresa en forma decimal los siguientes números: , , , , .

Escribe en notación científica :

0'0065, 0'000013, 0'00007, 0'043, 0'006, 0'0037, 0'00000000093, 0'083, 0'00000981.

Curiosidades:

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El radio del universo observable es, aproximadamente, de 1'89 · 1026 m. Como el radio del electrón clásicoes, aproximadamente, de 2'6 · 10-15 m, para llegar de un extremo al otro del universo habría que alinear,aproximadamente, 72.690.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 electrones.

L La masa más pequeña posible es la del electrón en reposo (9·10-28 g). La masa de laTierra es 5'98·1024 kg. Si pusiéramos en una balanza la Tierra, ¿cuántos electronestendríamos que poner para que quedara en equilibrio?

L El corazón de un horno microondas no es otra cosa que un tubo de vacío (llamado magnetrón), semejante al de un televisor. Un haz de electrones en ese tubo oscila cerca de dos trillones y mediode veces por segundo para producir microondas de una longitud de onda que es lacincomilésima parte de 2'5 cm. Cuando alguien introduce en el campo de acción delmagnetrón cualquier alimento, esa radiación en forma de violentas vibracionesimperceptibles a la vista, es absorbida por las moléculas de agua: la energía de la radiaciónes convertida en energía molecular; el movimiento calienta la comida y no el plato, que, por no tener agua,no se calienta sino después de absorber el calor que irradia la propia comida. La aplicación más importante ymenos conocida de las microondas está en los teléfonos celulares y en las emisiones de televisión víasatélite.(ABC de la Ciencia)

Escribe en notación científica la longitud de onda, expresada en metros.

Potencias de 10 y sistema métrico decimal

Desde sus orígenes todos los pueblos han inventado unidades de medida. Los rebaños o los días puedencontarse, pero para expresar una cantidad de aceite, de harina o de tierra cultivada o la distancia entre ellugar de caza y la aldea, es necesario adoptar unidades de medida. Dependiendo del lugar, de la época y dela naturaleza del objeto a medir las unidades variaban .

Hasta inicios del siglo XIX se podía decir perfectamente que cada pueblo o aldea utilizaba sus propiasunidades.

Gracias a su simplicidad, el conjunto de unidades denominado sistema métrico decimal que fue instituido enFrancia en 1795, se expandió por toda Europa. En 1875, la convención del metro firmada por 18 paísesexpresó la adhesión de éstos al sistema métrico, aunque se mantenía el uso de las unidades tradicionales decada país (esto hoy ocurre fundamentalmente en países anglosajones). La I Conferencia general de pesas y medidas (1889) adoptó los nuevos patrones del metro y del Kilogramo. En 1960, la XI Conferencia generalde pesas y medidas cambió el nombre al sistema métrico dándole el nombre de Sistema Internacional deunidades, sistema SI. En la actualidad el SI cuenta con 7 unidades fundamentales que son metro, kilogramo, segundo, amperio, kelvin, candela y mol. Es también la conferencia de pesas y medidas la queadopta los nombres de estas unidades y sus símbolos respectivos, así como los prefijos que sirven paraformar los nombres de sus múltiplos o submúltiplos decimales.

MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DECIMALES

Nombre Abreviatura Nombre Abreviatura

era E 1018 unidades deci d 10-1unidades

peta P 1015 unidades centi c 10-2

unidades

tera T 1012unidades mili m 10-3

unidades

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giga G 109unidades micro 10-6

unidades

mega M 106unidades nano n 10-9

unidades

kilo k 103unidades pico p 10-12

unidades

hecto h 102unidades femto f 10-15

unidades

deca da 101unidades ato a 10-18

unidades

Por ejemplo:

Múltiplos del metro

1 Decámetro =1 dam = 10 m = 101 m

1 Hectómetro =1 hm = 100 m = 102 m

1 Kilómetro = 1 km = 1000 m = 103 m

1 Megámetro = 1 Mm = 1.000.000 m = 106 m

1 Gigámetro = 1 Gm = 1.000.000.000 m = 109 m

1 Terámetro = 1 Tm = 1000.000.000.000 m = 1012 m

Submúltiplos del gramo:

1 decigramo = 0.1 g = 10-1 g

1 centigramo = 1cg = 0'01 g = 10-2 g

1 miligramo = 1 mg = 0'001 g = 10-3 g

1 microgramo = 1mug = 10-6 g

1 nanogramo = 1 ng = 0.000.000.001 g = 10-9 g

1 picogramo = 0.000.000.000.001 g = 10-12 g

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Notación científica. Orden de magnitud. Comparaciones

Expresa en notación científica las siguientes cantidades e indica su orden de magnitud.

235'74; 1985; 12 billones; 320 millones; 37.800.000.000; 220.000.

1.

La desaparición de los dinosaurios ocurrió hace 65 millones de años, aproximadamente 108 años.Por ello hemos situado la D debajo de la potencia correspondiente:

2.

Hace...años 1010 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100

D

El nacimiento del Universo (U) ocurrió hace 15 mil millones de años . Sitúa U en la casilla que lecorresponde. Haz lo mismo con:

El califato cordobés de Abderramán (A): aproximadamente 800 años.

El control, del fuego (F): hace 600.000 años.

Aparición del hombre de Cromagnon (C): 30.000 años.

El nacimiento de la Tierra: (T): 4.5 mil millones de años.

El primer paso del hombre en la Luna (L): hace una veintena de años.

El primer paso del hombre en la Tierra (H): tres millones de años

La invención de la imprenta por Gutenberg (G): hace 550 años.

La nebulosa "Triangulum" está a 1'4·1022 metros de la Tierra. Escribe esta distancia en formaordinaria.

3.

Observa la tabla.4.

¿ Cuál de estas estrellas es la más próxima a la Tierra? ¿ Cuál es la más lejana ? ¿ Cuántas veces,aproximadamente, es más lejana que la más próxima?

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Esta tabla muestra alguna información sobre nuestro sistema solar:5.

a. ¿Cuál es el planeta de menor radio? Halla el orden de la magnitud del radio para los distintosplanetas.

b. Compara el radio de Mercurio con el de Júpiter.

c. ¿Cuál es el planeta que está 10 veces más lejano que la Tierra al Sol?

d. ¿Es Plutón casi 10, 100, 1.000 o 10.000 veces de lejano que el sol de Mercurio?

e. Compara la distancia del Sol a Saturno con la del Sol a Plutón.

¿Cuánto tiempo necesita una nave con velocidad de 100 Km/seg para alcanzar a la estrella máspróxima, a 4'3 años-luz?

6.

Calcular el volumen y la superficie de estos astros: Tierra(12.756 Km de diámetro); Júpiter (14.104

Km) y el Sol (139.104 Km).

a. ¿Cuantos planetas Tierra cabrían en Júpiter?

b. ¿Y cuántos Júpiter en el Sol?

c. ¿Cuántas "Españas" necesitaríamos para recubrir Júpiter si la superficie de España es de505.000 Km2?

7.

Utiliza la fórmula E = h·v para calcular la energía (expresada en julios) de un fotón de luz roja,

sabiendo que , donde c es la velocidad de la luz, (longitud de onda del fotón) = 7·10-7 metros

y h (cte de Planck) = 6'6·10-34 julios · seg.

8.

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Observa el diagrama y averigua la distancia que separa a la Tierra de Neptuno cuando estos tresastros están alineados.

9.

Odisea del VOYAGER: La sonda VOYAGER 2 nos ha enviado fotos de muchos planetas. Lanzadael 20 de agosto de 1977, salió del Sistema Solar en 1989. Algunos datos del viaje:

10.

Duración del viaje entre dos planetas(en días) 690 1610 1100

Distancia entre planetas (en km) 6·108 8·108 1'5·109

Velocidad media (en km/h) 4'3·104 4'2·104

a. Completa la tabla anterior (en notación científica) b. Neptuno está situado a 4.109 Km de la Tierra. ¿Cuánto tiempo se necesita para recibir lasseñales emitidas por Voyager cuando sobrevuela Neptuno ? (Una señal recorre 300.000 Km porsegundo).

La distancia de la Tierra al Sol es de 1'5·108 Km y la de Júpiter al Sol de 7'8·108 Km.11.

Cuando estos tres cuerpos estén alineados, como muestra el diagrama, ¿cuál es la distancia entre laTierra y Júpiter? (El dibujo no está a escala).

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Completa la tabla siguiente sabiendo que se representa la distancia Tierra-Sol por 100 metros.

Distancia Tierra - Sol

DistanciaTierra - Luna

Diámetro del Sol

Diámetro de la Tierra

Masa de la

Tierra

Masa del Sol

Realidad 150·106 km

3

·105 km140·104 km 13·103 km 6·1024 km

2

·1030 km

Reducido 100 m

12.

¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalente a 0'000.000.375?13.

, , ,

Notación científica. Orden de magnitudCompleta:14.

a. b. c. d.

Escribe las siguientes cantidades en notación científica:15.

a. El tiempo de vida de una partícula omega es de 0'000.000.000.11 seg.b. La masa de la Tierra, en Kg, es de 5.967.000.000.000.000.000.000.000c. La distancia media de Urano al Sol es de 2.869.000.000 Km.d. Una naranja contiene 0'016 gramos de vitamina C.

Escribe en notación científica16.

52'34, 0'124, 0'007, 50.000, ,

Con números pequeños

Ubicar cada letra en la potencia más cercana:17.

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Altura de un hombre (H): alrededor de 1.70 m

Espesor de una hoja de papel (P): mm.

El diámetro de una moneda de 1 euro. (D): 23 mm.

El juego de un cilindro de motor (M): mm.

La dimensión de un virus (V): 0.53 micrómetros

El espesor de un cristal (C): 4'9 mm.

Altura de una mesa (A): 40 cm.

Los glóbulos rojos tienen la forma de un cilindro de 7µm de diámetro y de 3µm de altura. a) (1 µm= 10-6 m). 1mm3 de sangre contiene 5 millones de hematíes y un hombre normal tiene 6 litros desangre.¿Cuántos hematíes hay en la sangre humana?a. Si colocáramos los glóbulos rojos uno encima de otro obtendríamos una columna, ¿de quéaltura?c. Calcula el área de un glóbulo rojo, y después el área total de glóbulos rojos.

18.

La industria eléctrica utiliza anualmente 4'5 millones de toneladas de cobre en forma de hiloeléctrico.a. ¿Qué volumen tendrá sabiendo que 1 m3de cobre pesa 8'96 Tm? b. ¿Qué longitud tendría un hilo de 5 mm de diámetro fabricado con todo este cobre?¿Cuántasveces representa esta longitud la distancia Tierra-Luna si ésta está estimada en 3.105 Km.?

19.

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La duodécima noche

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Robert ya no soñaba. No había peces gigantes que quisieran tragárselo, ni hormigas que treparan por sus piernas, incluso el señor Bockel y sus mu- chos, muchos gemelos le dejaban en paz. No resba- laba, no era encerrado en ningún sótano, no se he- laba de frío. En una palabra, dormía como no había dormido nunca.

Eso estaba bien, pero a la larga resultaba tam- bién un poquito aburrido. ¿Qué pasaba con el diablo de los números? ¿Quizá había tenido una buena idea y no podía demostrarla? O se había enredado en sus superficies polípicas (o como se llamaran esas cosas de las que había hablado la úl- tima vez).

¿Se habría simplemente olvidado de Robert? ¡Adiós a los sueños!, habría significado eso. Y

ésa era una idea que a Robert no le gustaba nada. Su madre estaba asombrada, porque pasaba horas en el jardín dibujando nudos y redes en un papel para averiguar la forma más sencilla de visitar uno tras otro a todos esos amigos de América que no tenía.

-Es mejor que hagas tus deberes -decía enton- ces.

En una ocasión, el señor Bockel le pilló escon-

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diendo una hoja bajo el pupitre durante la clase de Matemáticas.

-¿Qué tienes ahí, Robert? ¡Enséñamelo! Pero Robert ya había hecho una bola con el pa-

pel con el gran triángulo de números de colores y le había tirado la pelota a su amigo Charlie. Char- lie era de confianza. Él se encargaría de que el se- ñor Bockel no llegara a saber lo que Robert se traía entre manos.

Una noche, volvió a dormirse tan profunda- mente y sin soñar que ni siquiera se dio cuenta de que alguien estaba llamando a golpes a su puerta.

-¡Robert! ¡Robert! Pasó un rato largo hasta que despertó. Se levan-

tó de la cama y abrió. Era el diablo de los núme- ros.

-Aquí estás al fin -dijo Robert-. Ya te echaba de menos.

-Rápido -dijo el anciano-. ¡Ven! Tengo una in- vitación para ti. ¡Toma!

Sacó de su bolsillo una tarjeta impresa con los bordes dorados y las letras en relieve. Robert leyó:

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La firma era un garabato ilegible, con aspecto

de ser persa o árabe. Robert se vistió tan rápido como pudo. -¿Así que te llamas Teplotaxl? ¿Por qué no me

lo habías dicho nunca? -Sólo los iniciados pueden saber cómo se llama

un diablo de los números -respondió el anciano. -¿Entonces ahora soy uno de ellos? -Casi. De lo contrario no habrías recibido invi-

tación. -¡Qué curioso! -murmuró Robert-. ¿Qué sig-

nifica esto de: «en el infierno de los números / cie- lo de los números»? O es una cosa u otra.

-Oh, ¿sabes?, paraíso de los números, infierno de los números, cielo de los números... en el fon- do es todo lo mismo -dijo el anciano.

Estaba al lado de la ventana, y la abrió de par en par.

-Ya lo verás. ¿Estás listo?

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-Sí -dijo Robert, aunque todo el asunto le re- sultaba un poco inquietante.

-Entonces súbete a mis hombros. Robert temía resultar demasiado pesado al en-

juto diablo de los números, porque sabe Dios que no era ningún gigante. Pero no quiso contradecir- le. Y... mira tú por dónde, apenas estuvo sentado en los hombros del anciano, el maestro dio un fuerte salto y salió volando con Robert.

Una cosa así sólo puede pasar en sueños, pensó Robert.

Pero ¿por qué no? Un viaje por los aires sin motor, sin abrocharse los cinturones, sin la tonta azafata que siempre le ofrece a uno juguetes de plástico y cuadernos para colorear, como si uno tuviera tres años... ¡era un bonito cambio! Tras un silencioso vuelo, el diablo de los números acabó aterrizando con suavidad en una gran terraza.

-Aquí estamos -dijo, y bajó a Robert. Se encontraban delante de un palacio alargado,

espléndido y luminoso. -¿Dónde está mi invitación? -preguntó Ro-

bert-. Creo que me la he dejado en casa. -No importa -le tranquilizó el anciano-. Aquí

entra todo el que realmente quiere. ¡Pero quién sabe dónde está el paraíso de los números! Por eso son los menos quienes lo encuentran.

De hecho, los altos batientes de la puerta esta- ban abiertos, y nadie se preocupó de los visitantes.

Entraron y llegaron a un pasillo de inaudita lon-

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Apenas estuvo sentado en los hombros del anciano, el diablo de los números salió vo- lando con Robert. Una cosa así sólo puede pasar en los sueños, pensó Robert.

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gitud, con muchas, muchas puertas. La mayoría estaban entornadas, o totalmente abiertas.

Robert echó una mirada curiosa al primer cuar- to. Teplotaxl se llevó el índice a los labios y dijo:

-¡Psss! Dentro había un hombre viejísimo, de cabellos

blanquísimos y enooorme nariz. Hablaba consigo mismo:

-Todos los ingleses son mentirosos. Pero ¿qué significa que yo diga eso? Al fin y al cabo yo tam- bién soy inglés. Así que también miento. Pero en- tonces lo que acabo de afirmar, que todos los in- gleses mienten, no puede ser cierto. Pero, si dicen la verdad, entonces también lo que he dicho antes tiene que ser verdad. ¡Así que mentimos! -mien- tras murmuraba de este modo, el hombre no cesa- ba de caminar en círculos.

El diablo de los números hizo una seña a Ro- bert, y siguieron adelante.

-Ese es el pobre Lord Russell -explicó el guía a su invitado-. Ya sabes, el que demostró que 1 + 1 = 2.

-¿No está un poco chiflado? Tampoco sería sorprendente. Al fin y al cabo es viejísimo.

-¡No creas! Este tipo es muy inteligente. Ade- más, ¿qué significa viejo aquí? Lord Russell es uno de los más jóvenes de la casa. Todavía no lle- va a las espaldas ni 150 años.

-¿Tenéis otros aún más viejos aquí en el pala- cio?

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-Enseguida lo verás -dijo Teplotaxl-. En el in- fierno de los números, es decir, en el cielo de los números, nadie muere.

Llegaron a otra puerta, que estaba abierta de par en par. En la habitación había un hombre tan diminuto que Robert sólo lo descubrió tras larga búsqueda. El cuarto estaba lleno de objetos curio- sos. Unos cuantos de ellos eran grandes trenzas de cristal. Al señor Bockel le gustarían, pensó Ro- bert, aunque no se pueden comer y tienen extra- ñas formas. Estaban enredados de manera curiosa y tenían muchos huecos. Y también había una bo- tella de cristal verde.

-Mírala atentamente -le dijo al oído el diablo de los números a Robert-. En esa botella no se sa- be qué está dentro y qué fuera.

Robert pensó: ¡No es posible! Una botella así sólo existe en los sueños.

-Imagina que quisieras pintarla de azul por

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dentro y de rojo por fuera. No se puede. No tie- ne borde en ningún sitio. Nunca sabrías dónde termina la parte roja y dónde empieza la azul.

-¿Y la inventó ese señor diminuto de ahí? Ca- bría cómodamente en su propia botella.

-¡No tan alto! ¿Sabes cómo se llama? ¡Señor Klein! En alemán su nombre significa pequeño. Ven, tenemos que seguir.

Pasaron por delante de muchas otras puertas. A menudo colgaba en ellas un cartel que decía: Se ruega no molestar. Se detuvieron ante otra puerta abierta. Las paredes y muebles de la habitación es- taban cubiertos de un fino polvo.

-Esto no es polvo normal -dijo Teplotaxl-. Tie- ne más granitos de los que es posible contar. Y lo más estupendo es que, si coges tanto polvo como cabe en la punta de una aguja, en ese poquito de polvo está contenido todo el polvo que hay en es- te cuarto. Éste es el profesor Cantor, que inventó este polvo. En latín, Cantor quiere decir cantante.

Realmente, se oía cantar en voz baja al habitan- te del cuarto, un señor pálido con perilla y ojos penetrantes:

-¡Infinito por infinito es igual a infinito! -y mientras lo decía bailoteaba nervioso en círculos. Superinfinito por infinito es igual a superinfinito.

Sigamos rápido, pensó Robert. Su amigo llamó educadamente a una de las si-

guientes puertas, y una voz amigable dijo: -Adelante.

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Teplotaxl tenía razón, todos los habitantes del palacio eran tan viejos que el diablo de los núme- ros, comparado con ellos, parecía un muchacho. Pero los dos ancianos que encontraron ahora da- ban una impresión muy vivaz. Uno de ellos tenía los ojos muy grandes y llevaba una peluca.

-Por favor, adelante, caballeros. Mi nombre es Euler, y éste es el profesor Gauss.

El último tenía un aspecto severo, y apenas le- vantaba la vista de sus papeles. Robert tuvo la sen- sación de que la visita no le era especialmente bienvenida.

-Precisamente estábamos charlando acerca de los números de primera -dijo el amigable-. Segu- ro que sabe usted que se trata de un tema intere- santísimo.

-Oh, sí -dijo Robert-. Nunca se sabe cómo tra- tar con ellos.

-En eso tiene razón. Pero con ayuda de mis co- legas sigo esperando aún hallar su pista.

-¿Y qué está haciendo el profesor Gauss, si me permite la pregunta?

Pero éste no quiso revelar en qué estaba pen- sando.

-El señor Gauss ha hecho un descubrimiento muy sorprendente. Se dedica a una clase de núme- ros enteramente nueva. ¿Cómo la ha llamado, querido amigo?

-i -dijo el señor de mirada severa, y eso fue to- do lo que dijo.

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-Se trata de los números imaginados -explicó Teplotaxl-. Por favor, caballeros, disculpen la mo- lestia.

Y así siguieron. Se asomaron un momento a ver a Bonatschi, cuyo cuarto hervía de liebres. Luego pasaron por delante de habitaciones en las que trabajaban, charlaban y dormían indios, árabes, persas e hindúes, y cuanto más avanzaban más viejos parecían los ocupantes.

-Ése de ahí, que parece un marajá -dijo Teplo- taxl-, tiene por lo menos dos mil años.

Las habitaciones ante las que pasaban se iban haciendo cada vez más grandes y espléndidas, hasta que al fin el anciano se encontró junto a Ro- bert delante de una especie de templo.

-Ahí no podemos entrar -dijo el diablo de los números-. Ese hombre vestido de blanco es tan importante que un pequeño diablo como yo ni si- quiera puede dirigirse a él. Viene de Grecia, y lo que ha inventado supera todo lo demás. ¿Ves los azulejos del suelo? Estrellas de cinco puntas y pentágonos. Quería cubrir todo el suelo con ellos, sin que quedara ni una ranura, y cuando no pudo descubrió los números irrazonables. El rábano de cinco y el rábano de dos. ¿Te acuerdas de lo enre- vesados que son esos números?

-Claro que sí -aseguró Robert. -Se llama Pitágoras -le susurró el diablo de los

números-. ¿Y sabes qué otra cosa inventó? La pa- labra Matemática. Bueno, estamos llegando.

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La sala en la que entraron era la más grande que Robert había visto nunca, más grande que una ca- tedral y más grande que un polideportivo, y mu- cho, mucho más hermosa. Las paredes estaban de- coradas con mosaicos de cambiantes diseños. Una gran escalera exenta llevaba hacia arriba, tan alto que no se veía su final. En un rellano había un tro- no dorado, pero estaba vacío.

Robert se asombró. No se había imaginado tan lujosa la vivienda del diablo de los números.

-¡Qué infierno ni qué demonios! -dijo-. ¡Un paraíso es lo que es esto!

-No digas eso. ¿Sabes?, no me puedo quejar, pe- ro a veces, por las noches, cuando no avanzo con mis problemas, ¡es para volverse loco! Sólo se está a un paso de la solución, y de pronto uno se topa con un muro... ¡eso es el infierno!

Robert guardó silencio, diplomáticamente, y miró a su alrededor. Sólo ahora veía una mesa ca- si interminable, puesta en medio de la sala. Alinea- dos contra la pared había criados, y justo al lado de la entrada vio a un tipo alto como un árbol, con un mazo en la mano. El hombre tomó impulso y golpeó el mazo contra un gran gong que resonó en todo el palacio.

-Ven -dijo Teplotaxl-, nos buscaremos un sitio allí al final.

Mientras tomaban asiento al final de la mesa, entraron los diablos de los números más impor- tantes. Robert reconoció a Euler y al profesor

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Gauss, y también a Bonatschi, que llevaba una lie- bre en el hombro. Pero a la mayoría de esos caba- lleros no los había visto nunca. Había entre ellos egipcios que avanzaban solemnemente, hindúes con puntos rojos en la frente, árabes con chilaba, monjes con cogulla y también negros e indios, tur- cos con sables curvos y americanos vestidos con vaqueros.

Robert estaba asombrado de cuántos diablos de los números había y qué pocas mujeres había en- tre ellos. Vio como máximo seis o siete figuras fe- meninas, y al parecer tampoco se les tomaba espe- cialmente en serio.

-¿Dónde están las mujeres? ¿No pueden entrar aquí? -preguntó.

-Antes no querían saber nada de ellas. Las Ma- temáticas, se decía en el palacio, son cosa de hom- bres. Pero creo que eso va a cambiar.

Los miles de invitados se acercaron a sus sillas musitando saludos. Entonces, el hombre enorme de la entrada golpeó una vez más en el gong, y se

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hizo el silencio. En la gran escalera apareció un chino con ropas de seda y tomó asiento en el tro- no dorado.

-¿Quién es? -preguntó Robert. -Es el inventor del cero -susurró Teplotaxl. -¿El es el más grande? -El segundo más grande -dijo el diablo de los

números-. El más grande de todos vive allí arriba, donde termina la escalera, en las nubes.

-¿El también es un chino? -¡Si yo lo supiera! No lo hemos visto ni una so-

la vez. Pero todos lo respetamos. Él es el jefe de todos los diablos de los números, porque inventó el uno. Quién sabe, quizá ni siquiera sea un hom- bre. ¡Quizá sea una mujer!

Robert estaba tan impresionado que mantuvo la boca cerrada durante largo tiempo. Entre tanto, los criados habían empezado a servir la cena.

-Son tartas -exclamó Robert. -¡Psss! No tan alto, muchacho. Aquí sólo co-

memos tartas, porque las tartas son redondas y el círculo es la más perfecta de todas las figuras. Prueba.

Robert nunca había comido algo tan sabroso. -Si quieres saber lo grande que es una tarta,

¿cómo lo harás? -No lo sé. Tú no me lo has contado, y en el co-

legio aún estamos con las trenzas. -Para eso te hace falta un número irrazonable,

el más importante de todos. Ese caballero sentado

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a la cabecera de la mesa lo descubrió hace más de dos mil años. Uno de los griegos. Si no lo tuviéra- mos, es posible que hoy siguiésemos sin saber con exactitud lo grande que es una tarta, o nuestras ruedas, nuestros anillos y nuestros tanques de ga- solina. Sencillamente, todo lo que es redondo. In- cluso la Luna y nuestra Tierra. Sin el número pi no hay nada que hacer.

Mientras, se oía un zumbar y un bullir en la sa- la, de lo animadamente que charlaban los diablos de los números. La mayoría comía con apetito, sólo algunos miraban al cielo perdidos en sus pen- samientos y hacían bolitas de masa de tarta. Tam- bién había bebida de sobra, por suerte servida en vasos de cristal pentagonales, y no en la loca bote- lla del señor Klein.

Cuando terminó la cena resonó el gong, el in- ventor del cero se levantó de su trono y desapare- ció en las alturas. Poco a poco también se levanta- ron los demás diablos de los números, empezando naturalmente por los más importantes, y volvie- ron a sus estudios. Al final sólo siguieron senta- dos Robert y su protector.

Un señor de brillante uniforme, en el que Ro- bert no se había fijado, se acercó a ellos. Seguro que es el secretario general, pensó Robert, el hom- bre que firmaba mi invitación.

-Bueno -dijo el dignatario con gesto severo-, ¿así que éste es su aprendiz? Bastante joven, ¿no cree? ¿Es capaz de hacer ya un poquito de magia?

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-Aún no -respondió el amigo de Robert-, pero si sigue así seguro que empezará pronto.

-¿Y qué pasa con los números de primera? ¿Sa- be cuántos hay?

-Exactamente los mismos que de los normales, los impares y los saltarines -dijo Robert con rapi- dez.

-Muy bien, entonces le dispensaremos de más pruebas. ¿Cómo se llama?

-Robert. -Levántate, Robert. Por la presente te admito

en el rango inferior de aprendiz de los números, y en señal de tu dignidad te concedo la orden pi- tagórica de los números de quinta clase.

Con estas palabras le colgó al cuello una pesada cadena, de la que pendía una estrella de oro de cinco puntas.

-Muchas gracias -dijo Robert. -Naturalmente, esta distinción tiene que per-

manecer secreta -añadió el secretario general, y sin dedicar ni una mirada a Robert giró sobre sus talones y desapareció.

-Bueno, eso estuvo bien -dijo el amigo y maes- tro de Robert-. Ahora me voy. Desde este mo- mento tendrás que ver cómo te las arreglas solo.

-¿Cómo? ¡No puedes dejarme en la estacada, Teplotaxl! -gritó Robert.

-Lo siento, pero tengo que volver al trabajo -respondió el anciano.

Robert vio que estaba conmovido, y él también

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tenía ganas de llorar. No se había dado cuenta de cuánto quería a su diablo de los números. Pero, naturalmente, ni el uno ni el otro querían que se les notara, así que Teplotaxl se limitó a decir:

-Que te vaya bien, Robert. -Ciao -dijo Robert.

Y su amigo ya había desaparecido. Ahora Ro- bert estaba sentado, completamente solo, en la gi- gantesca sala, ante la mesa vacía. ¿Cómo demo- nios voy a volver a casa ahora?, pensó. Tenía la sensación de que la cadena que llevaba al cuello se hacía más pesada a cada minuto. Además, tenía la fantástica tarta clavada en el estómago. ¿Habría bebido una copa de más? En cualquier caso, apo- yó la cabeza en su silla y pronto se quedó tan pro- fundamente dormido como si nunca hubiera salido volando por la ventana a hombros de su maestro.

Cuando despertó estaba, naturalmente, en su cama, como siempre, y su madre lo sacudía y le decía:

-Ya es hora, Robert. Si no te levantas enseguida llegarás tarde al colegio.

Ag, se dijo Robert, siempre lo mismo. En sue- ños le dan a uno las mejores tartas, y si se tiene

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suerte incluso le cuelgan a uno al cuello una estre- lla de oro, pero apenas despiertas se acabó todo.

Mientras, en pijama, se limpiaba los dientes al- go le hizo cosquillas en el pecho, y al mirar en- contró una diminuta estrella de cinco puntas col- gando de una fina cadenita de oro.

Apenas podía creerlo. ¡Esta vez el sueño le ha- bía traído algo real!

Al vestirse, se quitó la cadenita con la estrella y se la metió en el bolsillo del pantalón, para que su madre no pudiera hacerle preguntas tontas. ¿De dónde has sacado esa estrella?, preguntaría ense- guida. ¡Un chico como es debido no lleva joyas!

Era imposible para Robert explicarle que era una orden secreta.

En el colegio las cosas fueron como siempre, sólo que el señor Bockel daba la impresión de es- tar muy cansado. Se parapetaba tras su periódico. Al parecer, quería zamparse sus trenzas sin ser molestado. Por eso había ideado unos deberes que, estaba seguro, la clase necesitaría el resto de la hora para resolverlos.

-¿Cuántos alumnos tiene vuestra clase? -había preguntado. Enseguida, la aplicada Doris se había levantado y había dicho:

-Treinta y ocho. -Bien, Doris. Ahora, escuchad bien. Al primer

alumno de delante, ¿cómo se llama?, Albert, sí, Albert, le daremos una trenza. Tú, Bettina, que eres la segunda, recibirás dos trenzas, Charlie tres,

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Doris cuatro, y así sucesivamente hasta el treinta y ocho. Ahora, por favor, calculad cuántas trenzas necesitaremos para que de este modo toda la clase tenga las que les corresponden.

¡Otra vez unos deberes típicamente embocke- lados! ¡Que se vaya al diablo!, pensó Robert. Pe- ro no dejó que se le notara nada.

El señor Bockel empezó a leer el periódico con toda tranquilidad, y los alumnos se inclinaron so- bre sus cuadernos de cuentas.

Naturalmente, a Robert no le apetecía hacer esos estúpidos deberes. Se quedó allí sentado mi- rando las musarañas.

-¿Qué pasa, Robert? Vuelves a soñar -gritó el se- ñor Bockel. Así que no quitaba ojo a sus alumnos.

-Estoy en ello -dijo Robert, y empezó a escri- bir en su cuaderno:

¡Dios mío, qué aburrido! Ya al llegar al once se trabucó. ¡Tenía que pasarle a él, el portador de la orden pitagórica de los números, aunque sólo fue- ra de quinta clase! Entonces se dio cuenta de que ni siquiera llevaba su estrella. Se la había olvidado en el bolsillo del pantalón.

Con cuidado, la sacó y se colgó la cadenita, sin que el señor Bockel se diera cuenta, al cuello: don- de tenía que estar. En el mismo instante, supo có-

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mo podía resolver el asunto de manera elegante. No en vano se sabía los números triangulares. ¿Cómo era eso? Escribió en su cuaderno:

¡Si eso funcionaba con los números que iban del uno al doce, también tenía que hacerlo con los que iban del uno al treinta y ocho!

Bajo el pupitre, sacó con cuidado su calculado- ra de la cartera y tecleó:

-¡Ya lo tengo! -gritó-. ¡Es un juego de niños!

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-¿Cómo? -dijo el señor Bockel, dejando caer su periódico.

-741 -dijo Robert muy bajito. Se hizo un absoluto silencio en la clase. -¿Cómo lo sabes? -preguntó el señor Bockel. -¡Ooooh! -respondió Robert-, se calcula solo. Y tocó la estrellita bajo su camiseta y pensó

agradecido en su diablo de los números.

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.

.

.

Una manera que conocemos para calcular el valor de es trazando un círculo y dividiendo lo que mide su circunferencia entre lo que mide su diámetro. Sin embargo, desde que hace cientos de años, los matemáticos han desarrollado otras maneras para llegar al número . Una de ellas es el experimento propuesto por el Conde de Buffon en 1777.

Te invitamos a repetir el experimento. Necesitamos un palillo y una hoja blanca. En realidad no T

necesitamos la hoja entera, sólo la mitad. Para poder cortar la hoja por la mitad hay que doblarla de manera que la orilla AB quede exactamente sobre la orilla CD, el punto A sobre el C y el punto B sobre el D; así:

Marca muy bien el doblez y corta la hoja. Es importante que lo hagas con cuidado para que los dobleces que haremos luego no queden mal.

Ahora sí, toma tu mitad de hoja y… a doblar. Vamos a marcar siete dobleces en la hoja. Empieza por

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doblar por la mitad. Recuerda que lo puedes hacer procurando que la orilla coincida con la . Este

doblez nos genera una nueva línea a la que llamaremos .

Ahora, desdobla y vuelve a doblar de manera que las orillas y queden sobre la .

Deja la hoja doblada y, otra vez, haz que ambas orillas coincidan con la línea de en medio. Recuerda marcar con cuidado los dobleces. Si desdoblas la hoja verás que ya habrás trazado los siete dobleces.

Lo que hicimos con todo este doblar fue trazar en la hoja líneas paralelas entre sí. Para que las puedas

ver mejor, puedes remarcar las líneas con una regla y un lápiz . Ya que sacaste la regla,

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fíjate que la distancia entre las líneas siempre es la misma.

Corta el palillo de manera que su longitud sea exactamente igual a la distancia entre las líneas. Es

importante que lo cortes de este tamaño, de lo contrario no te va a salir el experimento. Listo, ya podemos empezar…

La siguiente parte de la actividad simplemente consiste en dejar caer el palillo sobre la hoja muchas veces. Cada vez que lanzamos el palillo puede ocurrir una de dos cosas: que cruce alguna de las líneas o que no cruce ninguna de las líneas. ¿Podrías decir por qué el palillo no podría cruzar dos líneas al mismo tiempo?

Número de lanzamientos L

Número de cruces C

Cada vez que lances el palillo anota una rayita en la casilla marcada como Número de lanzamientos ( L ) y cada vez que el palillo cruce una de las líneas, anota una rayita en la casilla Número de cruces ( C ) . Por ejemplo, cuando lances el palillo y éste cruza una línea anota una rayita en la casilla L y otra rayita en la casilla C. Si, en cambio, arrojas el palillo y no cruza ninguna línea, anota una rayita en la L y no anotes nada en la C.

Comienza a lanzar el palillo sobre la hoja. Procura hacerlo el mayor número de veces posible. Si puedes hacerlo cien veces o más, mucho mejor.

Ahora vamos a hacer un pequeño cálculo. Toma la cantidad de veces que tiraste el palillo (el número de rayitas que hay en la casilla L) y multiplícala por dos. A lo que te quedó, divídelo entre el número de cruces (el número de rayitas que hay en la casilla C). ¿Tu resultado se parece a 3.141592…?

Si no se parece, seguro que no lanzaste el palillo el número suficiente de veces. Sigue lanzando y verás que en algún momento el resultado que obtengas sí se parecerá mucho al valor de .

Igual de sorprendido quedó el Conde de Buffon hace más de doscientos años cuando descubrió que se puede obtener una muy buena aproximación de lanzando palillos sobre una hoja llena de rayas.

La fórmula para obtener una aproximación de queda entonces así:

=

Recuerda que L es el número de veces que lanzas el palillo (lanzamientos), que C es el número de veces que el palillo cruza alguna de las líneas (cruces) y que cuanto más veces dejes caer el palillo sobre la hoja, más se parecerá tu resultado a .

El experimento se llama la Aguja de Buffon porque el Conde de Buffon utilizó una aguja cuando lo diseñó.

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http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/imagina/aguja/pi_buffon.htm

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El desarrollo de una colonia de bacterias, las encuestas de población, la prueba del carbono 14 para datar restos orgánicos, e incluso la probabilidad de sacar 70 veces un número par al lanzar un dado un centenar de veces tienen algo en común: un extraño número comprendido entre 2 y 3, con infinitas cifras decimales y llamado e, o número de Euler (e = 2.71828 18284 59045 23536 028747135...). Aunque las primeras referencias a este número datan de 1618, fecha en la que John Napier publicó su valor junto a otros logaritmos, fue el matemático suizo Leonhard Euler quién empleó por primera vez la letra e en 1727 para nombrarlo. Este genio, del que se decía que "calculaba sin aparente esfuerzo, como los hombres respiran o las águilas se sostienen en el aire", mostró que el número e podía ser la base más "natural" para los logaritmos, que en aquella época eran de gran ayuda para realizar operaciones aritméticas. Además, ideó una fórmula bautizada como identidad de Euler y considera por muchos como la más bella e importante de las matemáticas:

En ella se aúnan, de forma escueta, varios conceptos claves de esta ciencia: π, el número más importante de la geometría. e, el número mas importante del análisis. i, el número mas importante del álgebra. Del bosque a la mesa forense Más allá de su belleza matemática, el número e tiene importantes implicaciones en el mundo que conocemos. En biología, por ejemplo, una de sus principales aplicaciones es el crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento, como ocurre en ciertas poblaciones de bacterias, o en la recuperación de una superficie boscosa después de un incendio. Para este tipo de crecimiento se aplica la siguiente fórmula: N = No · et

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Esto nos permite adivinar cual será la población (N) en un determinado tiempo (t) a partir de la población inicial (No). A la hora de datar un fósil, la constante de Euler también está presente. A mediados del siglo XX, un químico llamado Libby descubrió el carbono-14, un isótopo radiactivo del carbono que desaparece lentamente. El C14 reacciona con el oxígeno en las capas altas de la atmósfera dando dióxido de carbono radiactivo, el cual entra en la superficie de la Tierra, en la que se desarrolla la vida. Mientras un ser está vivo, va reponiendo el C14 que pierde, pero cuando ese ser muere, sólo se producirá en él una pérdida continua y lenta de C14. Una vez que los químicos consiguieron llegar a medir la cantidad de C14 contenida en un ser no vivo, como se conocía la velocidad de desintegración del C14, se lanzaron a buscar una ecuación que les diera como solución el tiempo necesario para que en ese ser quedara tan solo esa cantidad de C14. Y se encontraron con la sorpresa de que la fórmula contenía al número e. Los forenses, como los paleontólogos, también deben tener este número en cuenta. Y es que e permite determinar en un asesinato el momento de la muerte. Para ello es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno. Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que pierde temperatura muy rápidamente. Por el contrario, cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja. Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC. Pero, una vez muertos, nuestro organismo deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton, que se aplica con la fórmula matemática siguiente: T = Taire + (Tcos - Taire) / ek·t En ella T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante. De nuevo e está presente. Hay más. Esta constante también está ligada a la razón áurea y a la espiral logarítmica. Cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se relaciona con el número e: la catenaria . Incluso en algo tan mundano como el cálculo de los intereses bancarios es necesario recurrir a la constante de Euler.

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1 gúgol = 10100 = 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

El término fue acuñado en 1938 por Milton Sirotta, un niño de nueve años, sobrino del matemático estadounidense Edward Kasner. Kasner anunció el concepto en su libro Las matemáticas y la imaginación. Isaac Asimov dijo en una ocasión al respecto: "Tendremos que padecer eternamente un número inventado por un bebé".

Un gúgol es aproximadamente igual al factorial de 70[1], y sus factores primos son 2 y 5. En el sistema binario ocuparía 333 bits.

El gúgol no es de particular importancia en las matemáticas y tampoco tiene usos prácticos. Kasner lo creó para ilustrar la diferencia entre un número inimaginablemente grande y el infinito, y a veces es usado de este manera en la enseñanza de las matemáticas.

[editar] El encogimiento del gúgol

Cuando fue nombrado en 1938, el gúgol era indudablemente grande, y desde un punto de vista físico, un gúgol es mayor que el número de átomos en el Universo. Sin embargo, con la invención de computadoras y algoritmos rápidos, el cálculo de números del tamaño de un gúgol se ha convertido en rutina. Por ejemplo, incluso el difícil problema de la factorización en números primos es ahora sencillo para 100 cifras.

El número más grande que puede ser representado en la mayoría de calculadoras de bolsillo o científicas es poco menos que un

gúgol: 9,9999999 E+99 = 9,9999999 1099 = 0,99999999 gúgol. Sin embargo, algunos modelos de calculadora permiten exponentes mayores que 99.

[editar] Curiosidades

● Googol fue la respuesta para la pregunta del millón de libras en Who Wants to Be a Millionaire cuando Charles Ingram trató de estafar al programa de preguntas el 10 de septiembre de 2001.

● Si se dibuja un polígono regular con un gúgol de lados que fuera 1027 veces el tamaño del Universo conocido, aún así parecería circular, incluso en la escala de Planck.

● Se considera que, sin contar con la materia oscura, hay alrededor de 1072 hasta 1087 átomos en el universo. Vemos que

podemos escribir fácilmente un gúgol en notación decimal, pero si tratásemos de contarlo del modo 1, 2, 3, ..., 10100, ni siquiera usando un átomo para contar cada uno podríamos hacerlo, ya que la cantidad que representa un gúgol es mayor que el número de estas partículas en el universo conocido.

● Un gúgolplex, o googolplex, es un 1 seguido de un gúgol de ceros, esto es, 10 elevado a la gugolésima potencia:

1 googolplex = 10googol = = 1010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000. Una hoja de papel lo suficientemente grande para poder escribir en ella explícitamente todos los ceros de un gúgolplex no se podría meter dentro del universo (por suerte, la notación científica simplifica esto). Un gúgolplex no deja de ser finito, y por lo tanto, un gúgol y un gúgolplex están a la misma distancia del infinito que 1.

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Googol - Wikipedia, la enciclopedia libre

● La figura geométrica regular con un gúgol de caras se llama gugoledro o googoledro. Esta figura sería prácticamente una esfera, debido al ingente número de caras. Hay que observar que es igualmente imposible construirlo, ya que no existen suficientes partículas en La Tierra.

● El motor de búsqueda Google fue llamado así debido a este número. Los fundadores originales iban a llamarlo Googol, pero terminaron con Google debido a un error de ortografía. Larry Page

1. ↑ El factorial de 70 tiene 101 cifras.

70! = 1197857166996989179607278372168909873645893814254642585755536286462800958278

9845319680000000000000000

[editar] Referencias

● Kasner, Edward & Newman, James Roy Mathematics and the Imagination (Las matemáticas y la imaginación) (London: Penguin, 1940; Nueva York: Simon and Schuster, 1967; Dover Pubns, abril 2001, ISBN 0486417034).

● 'Searching for the birth of the googol' (en inglés) ● 'An evening with Googles Marissa Mayer' (en inglés) ● 'Google and Larry Page' (en inglés)

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Googol"

Categoría: Números

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