Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
4. Gaia:SAREEN ANALISIA
4.0 HELBURUAK.
4.1 EBAZPEN METODOAK.
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA.
4.2.1 ITURRI ERREALEN ERALDAKETA.
4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA.
4.3 ADARRAREN DEFINIZIO EKUAZIOA.
4.4 METODO ZIRKULARRAK.
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA.
4.4.2 SAREEN METODOA.
4.5 METODO NODALAK.
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA-TALDEEN METODOA.
4.5.2 KORAPILOEN METODOA.
4.6 LOTURA MAGNETIKOAK DAUZKATEN ZIRKUITUAK.
4.7 MENDEKO ITURRIAK DAUZKATEN ZIRKUITUAK.
4.8 BIBLIOGRAFIA.
• “Zirkuituaren adar orokorraren” modeloa ezagutzea.• Adar orokorraren definizio ekuazioa lortzen jakitea.• Sareen analisirako metodo orokor ezberdinak ezagutzea. • Analisi-metodo egokiena aukeratzen ikastea.• Dimentsio txikiagoko sistema bat lortzeko metodo zirkularren eta metodo
nodalen artean hautatzen jakitea. • Zirkuitu konduktibo eta zirkuitu induktiboen arteko aldeak ulertzea. • Iturri errealen eraldakuntzak zirkuituen ebazpena erraztu dezakeela
ikusi.
4.0 HELBURUAK
4.1 EBAZPEN METODOAK
Korronte iturriak
Ez, erreferentziako korapiloaren aukeraketa
(n-1)x (n-1)Korapiloen tentsioak U k
Korapiloen
metodoa
Korronte iturriak
Bai(n-1)x (n-1)Oinarrizko ebakidura taldeetako tentsioak U oet
Oinarrizko
ebakidura
taldeen
metodoa.
Metodo
nodalak
K1L –anOinarrituak
Tentsio iturriak
Ez(r-n+1)x(r-n+1)Sareetako korronteakI s
Sareen
metodoa
Tentsio iturriak
Bai(r-n+1)x(r-n+1)Oinarrizko eraztunetako korronteak I oe
Oinarrizko
eraztunen
metodoa
Metodo
zirkularrak
K2L –anOinarrituak
Zirkuituko iturriak
Zuhaitza definitu
behar da?
Koefizienteen matrizearen dimentsioak
EzezagunakEkuazioa
n: Zirkuituko korapilo kopuruar: Zirkuituko adar kopurua
( )( ) ( )sss · EgIZ =
( )( ) ( )kIgUY =kk ·
( )( ) ( )oeoeoe · EgIZ =
( )( ) ( )oetoetoet · IgUY =
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (1)4.2.1 ITURRI ERREALEN ERALDAKETA
)()()()(
1)(
)()·()()(
1)(
tigDZtigDY
teg
tegDYtegDZ
tig
⋅==
==
)(
1)(
DYDZ =
)()(
1)(
)(
1)(
)()·()()(
tuDZ
tegDZ
ti
tiDZtegtu
−=
−=
)()(
1)(
)(
1)(
)()·()()(
tiDY
tigDY
tu
tuDYtigti
−=
−=
Bi iturriak baliokideak izan daitezen (borneen artean tentsio u(t) eta korronte i(t) bera eduki
dezaten), derrigorrez honako adierazpenak bete beharko dira:
(a)
(b.1)
(b.2)
Z(D) i(t)
eg(t)u(t)
+
i(t)
Y(D)
i1(t)
u(t)ig(t)
Baliokideak diren bi iturri edozein zirkuituan konektatuz gero, zirkuituak berdinak izango balira
bezala ikusiko ditu, baina beren barne-jokabidea ez da berdina izango.
Horrela, baliokideak diren bi iturriren errendimendua ezberdina da. Jarraian adibide batean
ikus daitekeen bezala:
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (2)4.2.1 ITURRI ERREALEN ERALDAKETA
84%6
5
300
250
·
·
sortua
iaerabilgarr≈=====η
E
U
IE
IU
P
P
=⋅−=
=→⋅=
V250105300)(
A10)()(30300
tu
titi
A502505
1)()D()(
S 5
1
)D(
1)D(
A605
300
)D(
)()()(
1 =⋅=⋅=
==
====
tuYti
ZY
Z
tegtigti
17%6
1
60
10
·
·
sortua
iaerabilgarr≈=====η
gg I
I
UI
UI
P
P≠
25Ω=
5Ω i(t)
300V u(t)+ i(t)=10A
Y(D)
i1(t)
ig(t) 25Ωu(t)=250V
ITURRI IDEALAK ERALDATZEKO, LEHENENGO, ZIRKUITUAREN GEOMETRIA
ERALDATU BEHARKO DA.
Korronte-iturri ideala
Iturriarekiko paraleloan
inpedantziak ager daitezen zirkuituaren geometria eraldatu
beharko da, kontuan hartuz gainera, gainontzeko zirkuitua
ez duela eraldaketaren berri
izan behar.
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (3)4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA
CD
AB
ig(t)
ig(t)ig(t)
CD
A B
2Ω1Ω
10A
6V
12V
3Ω
3Ω
+
+
2Ω1Ω
10A
6V
12V
3Ω
3Ω
10A
+
+ 3Ω
2Ω1Ω
6V
12V3Ω
10V 20V
+
+ +
+
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (4)4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA
Tentsio-iturri ideala:
Iturriarekiko seriean
inpedantziak ager daitezen zirkuituaren geometria eraldatu
beharko da, baina egindako
eraldaketaz gainontzeko zirkuitua ez da jabetuko.
eg(t)
AB
C
D
i1
i2
i3
+
eg(t)
A
B’
C
D
i1’
i2
i3
+
eg(t)
+ i1”
B”
2Ω1Ω
10A
12V
3Ω
3Ω
B
+
A
2Ω1Ω
10A
12V3Ω
3Ω
B’
12V
B’’
++
A
2Ω1Ω
10A
3Ω3Ω
4A 4A
A
Zirkuituko korronteak kalkulatzeko, korronte iturri ideal batekiko seriean
dagoen edozein elementu aktibo zein pasibo zirkuitutik ezaba daiteke.
Behin zirkuitua ebatzi denean, elementua berreskuratu beharko da
iturriaren borneen arteko tentsioa kalkulatu ahal izateko.
⋅=
=+
22
32
)()(
)()()(
Rtitu
tigtiti
1)()()( Rtigtutug ⋅−=u(t), i2(t) eta i3(t) ezagunak
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (5)4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA
R1
u(t)ig(t)
C3
R2R3
i2
i3R1
u(t)ig(t)
C3
R2R3
ug(t)
ig(t)·R1
u(t)ig(t)
Tentsioak kalkulatzeko, tentsio iturri ideal batekiko paraleloan dagoen
edozein elementu aktibo zein pasibo ezaba daiteke. Behin zirkuitua ebatzi denean, elementua berreskuratu beharko da korronteak
kalkulatzeko.
1
1
R
tegti
)()( = eta
Baina, kontuz!
)()()( tititig21
+=
4.2 ITURRIEN ERALDAKETA (6)4.2.2 ITURRI IDEALEN ERALDAKETA
R1
ig(t)
eg(t)
R2
R3
i1(t)
i2(t)
+
322
)()(
RR
tegti
+=
eg(t)
R2
R3
i2(t)
++
4.3 ADARRAREN DEFINIZIO EKUAZIOA
+=
=
−=
)()()(
)(•)()(
)()()(
tigtiti
DZtitu
tegtutu
Z
ZZ
Z
[ ][ ] )()()()()(
)()()()()(
tigtegtuDYti
tegtigtiDZtu
−+=
−+=
ADARRAREN DEFINIZIO
EKUAZIOAK
Adarraren eskema orokorretik eta bere definizio ekuazioetatik adarren konfigurazio bereziak erator daitezke. Hartu adibidetzat:
ADARRAREN EZEZAGUNAK BI DIRA: ADARREKO TENTSIOA u(t) ETA ADARREKO KORRONTEA i(t)
ZIRKUITUKO ADAR OROKORRA: Bere baitan egon daitezkeen elementu mota guztiak dituen adarra. Eskema ondoko irudian agertzen dena da; adarraren definizio ekuazioak eskeman Kirchhoff-en legeak aplikatuz lortuko dira.
TENTSIO-ITURRI
ERREALA
ig(t)=0 bada eg(t)=0 bada ig(t)=eg(t)=0
KORRONTE-ITURRI
ERREALA
ADAR PASIBOA
i(t)ig(t)
Z(D)iz(t)
u(t)
uz(t)
Y(D)
Z(D) iz(t)=i(t)
uz(t)=u(t)
Y(D)
Z(D)
iz(t)=i(t)
eg(t)
+
u(t)
i(t)
Y(D)
ig(t)
Z(D)
iz(t)
eg(t)
u(t)
uz(t)
+
Tentsio iturriak
Ez(r-n+1)x(r-n+1)Sareetako korronteakI s
Sareen
metodoa
Tentsio iturriak
Bai(r-n+1)x(r-n+1)Oinarrizko eraztunetako korronteak I oe
Oinarrizko
eraztunen
metodoa
Metodo
zirkularrak
K2L-an Oinarrituak
Zirkuituko iturriak
Zuhaitza definitu
behar da?
Koefizienteen matrizearen dimentsioak
EzezagunakEkuazioa
4.4 METODO ZIRKULARRAK
( )( ) ( )sss · EgIZ =
( )( ) ( )oeoeoe · EgIZ =
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (1)
JARRAITU BEHARREKO URRATSAK:
Korronte-iturriak beren tentsio-iturri baliokidetan eraldatu. Zirkuituko zuhaitza aukeratu ( n-1 adar, irekia eta lotua). Oinarrizko eraztunak irudikatu. Oinarrizko eraztun bakoitzari eraztuneko korronte bat esleitu (katebegiko korrontearen noranzko berekoa). Matrize-sistema eraiki. Matrize-sistema ebatzi: i oe korronteak lortu. Adarretako korronteak ir lortu, adarretako korronteak eta
oinarrizko eraztunetako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz.
Adarretako tentsioak, u r, lortu, adarren definizio-ekuazioak erabiliz.
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (2)
Z4(D)
eg2(t)
ig3(t)
C A B
D
+
r3
r5
r1 r2
r6
r4
+
Z2(D)
Z6(D)
Z5(D)
eg4(t)
Z3(D)
Z1(D)
C A B
Di3
i5
i1 i2
i6
i4
iB
iA
iC
Z4(D)
eg2(t)
eg3(t)= ig3(t)·Z3(D)
C A B
D
+
r3r5
r1 r2
r6
r4
+
Z2(D)
Z6(D)
Z5(D)
eg4(t)
Z3(D)
Z1(D)
+
Korronte-iturriak tentsio-iturri bihurtu:
Zuhaitza (urdina), oinarrizko eraztunak (arrosa) eta eraztunetako korronteak: iA, iB, iC aukeratu:
n=4; r=6;
r-n+1=6-4+1=3 oinarrizko eraztun kopurua
n-1=3 zuhaitzaren adar kopurua
Oharrak:
• Oinarrizko eraztun bakoitzak, katebegi bakarra du ( ko-zuhaitzekoa).
• Eraztuneko korronteak katebegiko korrontearekin bat dator.
• Zuhaitzaren aukeraketa: Zenbait adar zehatzen korronteak ezagutu nahi badugu, utzi adar horiek katebegi bezala; hautatu zuhaitzeko adar bezala tentsio iturri idealak dauzkatenak, zeroak ager daitezen inpedantzien matrizean, diagonal nagusitik kanpo, sistemaren ebazpena erraztuz.
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (3)
++−−−
−+++
−−++++
)D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D()D()D(
463664
662565
64654651
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZZZ
+−−
+
)D()·()()(
)(
)()(
3324
4
42
Ztigtegteg
teg
tegteg
( )( ) ( )oeEgIZ =oeoe ·
Matrize-sistemaren eraikuntza:
•Dimentsioa: (r-n+1)x(r-n+1)=3x3
•Itxura:
Diagonal nagusiko elementuak, Zii(D), eraztun bakoitzeko adarren inpedantzien batura dira.Diagonal nagusitik kanpoko elementuak, Zij (D), i eta j eraztun bietan dauden adarretako inpedantzien batura dira. Osagaiak positiboak izango dira eraztunetako korronte biak polaritate berekoak badira elementutik igarotzean, eta negatiboak, aurkatu polaritatea badute. Matrizea simetrikoa da.
Bektoreko osagai bakoitza, eraztun bakoitzeko tentsio-iturrien balioak batuz lotuko dugu. Zeinua positiboa izango da, eraztuneko korrontea iturriaren polaritatearekin bat datorrenean eta negatiboa ez badator bat.
Inpedantzien matrizea:
Tentsio-iturrien bektorea:
Z4(D)
eg2(t)
+
C A B
D
eg4(t)
i3
i5
i1 i2
i6
i4
iB
iA
IC
Z1(D)
Z2(D)
Z5(D)
Z6(D)Z3(D)
+
+
ig3(t)·Z3(D)
Ezezagunen bektorea:
Eraztunetako korronteak dira.
C
B
A
i
i
i
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (4)
Matrize sistema ebaztean, eraztunetako korronteak lortuko dira. Adarretako korronteak aldiz, adarretako korronteak eta eraztunetako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz lortuko dira, adibide honetarako, honakoak dira:
C A B
Di3
i5
i1 i2
i6
i4
iB
iA
iC
−+=
+=
−=
=
=
=
CBA
BA
CA
C
B
A
iiii
iii
iii
iI
ii
ii
6
5
4
3
2
1
Matrize-sistema:
++−−−
−+++
−−++++
)D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D()D()D(
463664
662565
64654651
ZZZZZZ
ZZZZZZ
ZZZZZZZZ
+−−
+
)D()·()()(
)(
)()(
3324
4
42
Ztigtegteg
teg
tegteg
C
B
A
i
i
i
· =
Adarraren korrontea adar hori bere baitan duten eraztunen korronteen batura edo kendura bezala lortuko da. Eraztuneko korrontea adarreko korrontearen polaritate berekoa bada, zeinu positiboa du ekuazioan, ez bada orduan zeinu negatiboa.
Katebegietako (zuhaitzekoak ez diren adarrak) korronteak matrize sistema ebaztean zuzenean lortzen dira; eraztunetako korronteak katebegietako korronteekin bat baitatoz.
Behin adar guztietako korronteak zehaztu direnean, adarretako tentsioak lortzeko adarren definizio ekuazioetara jo beharko dugu.
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (5)
2Ω
3Ω
1 Ω
4Ω
1Ω
E2=16V
C A B
D
+
E4=28V
I3
I5
I1 I2
I6
I4
+
5Ω
+
E3=65V
2Ω
3Ω
1 Ω
4Ω
1Ω
E2=16V
C A B
D
+
E4=28V
r3
r5
r1 r2
r6
r4
+
5ΩJ3=13A
C A B
DI3
I5
I1 I2
I6
I4
IB
IA
IC
n=4; r=6;
r-n+1=6-4+1=3 oinarrizko eraztun kopurua.
n-1=3 zuhaitzeko adar kopurua. CBA
BA
CA
C
B
A
IIII
III
III
II
II
II
−+=
+=
−=
=
=
=
6
5
4
3
2
1
Adibidea: Adibide moduan lehengo zirkuituko topologia bera duen zirkuitu bat erabiliko dugu, baina korronte zuzeneko iturriekin.
4.4.1 OINARRIZKO ERAZTUNEN METODOA (6)
2Ω
3Ω
1 Ω
4Ω
1Ω
E2=16V
5Ω
65V
C A B
D
E4=28V
I3
I5
I1 I2
I6
I4
IB
IA
IC
=
−−
+
=
−−
−
−
21
28
44
281665
28
1628
·
813
162
327
C
B
A
I
I
I
CRAMER erabiliz ebatziko dugu; eraztunetako korronteak lortuz.:
255
813
162
327
=
−−
−
−
=∆R
A8255
8121
1628
3244
1 =−
−
−
== IIA
A8255
2113
2862
4427
3 =−−
== IICA3
255
8213
1282
3447
2 =−
−
−
== IIB
5ΩJ3=13A
I3=Ic=6AI8= 13A
C
D
I7=7A
35V
A5
A11
A2
A6
A3
A8
=+=
=+=
==
==
==
==
6
5
4
3
2
1
CBA
BA
CA
C
B
A
IIII
III
III
II
II
II
Adarretako korronteak lortu:
Intentsitate iturriaren eraldaketa desegin: Adarretako tentsioak lortu:
=−=
==
=−=
=−=
==
==
V235·128
V1111·1
V122·216
V356·565
V124·3
V248·3
6
5
4
3
2
1
U
U
U
U
U
U
4.4.2 SAREEN METODOA (1)
JARRAITU BEHARREKO URRATSAK:
Korronte-iturriak tentsio-iturri bihurtu. Sareak irudikatu (bere barnean beste bat ez duten eraztunak).
Sare kopurua=r-n+1 Sare bakoitzari sareko korrontea esleitu. Bi aukera daude:
Sareko korronteei kanpo-adarren korronteen polaritatea ematea, edo sareko korronte guztiei noranzko bera ematea. Azkenekoa eginez gero, inpedantzien matrizeko diagonal nagusitik kanpoko elementu denak negatiboak izango dira.
Matrize-sistema eraiki. Matrize-sistema ebatzi: i s korronteak lortu. Adarretako korronteak lortu: i r,adarretako korronteak eta
sareetako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz. Adarretako tentsioak lortu; u r adarren definizio ekuazioekin.
Korronte iturriak tentsio iturri bihurtu
Sareak hautatu; bere barnean beste eraztunik ez duten eraztunak dira sareak. Zirkuituko leihatilekin bat datoz, eta beren kopurua hauxe da: r-n+1=6-4+1=3
eg1(t)
r2
ig5(t)·Z5(D)= eg5(t)
eg3(t)
r1 r3
r4
r5
Z4(D)
Z2(D)
Z1(D) Z5(D)
++
+
r6
eg1(t)
r2
ig5(t)eg3(t)
r1 r3
r4
r5
Z4(D)
Z2(D)
Z1(D)
Z5(D)+
+
r6
Sareetako korronteak zirkuituko kanpo-adarren korronteekin bat datoz. Sareko korrontearen polaritatea sarea definitzen duen adarraren korrontearen polaritate berarekin hautatzen dugu.
Sareen metodoa egokia da zirkuituko kanpo-adarren korronteak ezagutu nahi direnerako. Izan ere, zuzenean lortzen baitira matrize-sistema ebaztean.
eg5(t)
eg3(t)eg1(t)
i1
iAiB
i4
i2
i5
i3
iC
Z2(D)
Z1(D)
Z4(D)
Z5(D)
++
+
i6
4.4.2 SAREEN METODOA (2)
Matrize sistemaren eraikuntza:
•Dimentsioa: (r-n+1)x(r-n+1)=3x3
•Itxura: ( )( ) ( )sss · EgIZ =
eg5(t)= ig5(t)·Z5(D)
eg3(t)eg1(t)
i1
iAiB
i4
i2
i5
i3
iC
Z2(D)
Z1(D)
Z4(D)
Z5(D)
++
+
i6
Inpedantzien matrizea:
−
−++
+
)D()D(0
)D()D()D()D()D(
0)D()D()D(
55
55244
441
ZZ
ZZZZZ
ZZZ
− )D()·()(
)D()·(
)(
553
55
1
Ztigteg
Ztig
teg
Diagonal nagusiko elementuak, Zii(D), sare bakoitzaren adarren inpedantzien batura da.Diagonal nagusitik kanpoko elementuak Zij (D) i eta j sare bietan dauden adarren inpedantzien batura dira. Gaiak positiboak izango dira sareko korronte biak polaritate berekoak badira inpedantziatik igarotzean, eta negatiboak aurkako kasuan. Sareko korronte denak noranzko berean hautatuz gero, diagonal nagusitik kanpoko elementu denak negatiboak izango dira. Matrizea simetrikoa da.Sareek adarrak ez badituzte partekatzen, diagonal nagusitik kanpo zeroak agertuko dira, beraz metodo ona da adibidean bezalako eskailera formako zirkuituak ebazteko, non A eta C sareek adarrak ez dituzten partekatzen.
Bektorearen osagaiak, sare bakoitzaren tentsio-iturrien batura eginez lortzen dira. Zeinua positiboa izango dute sareko korrontea iturriaren polaritatearekin bat badator, eta negatiboa, bat ez badatoz.
Tentsio-iturrien bektorea:
Ezezagunen bektorea:
Sareko korronteak dira.
C
B
A
i
i
i
4.4.2 SAREEN METODOA (3)
Matrize-sistema ebaztean, sareetako korronteak lortzen dira. Adarretako korronteak lortzeko sareen korronteak eta adarretako korronteak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliko dira, adibide honetarako hauek dira ekuazio horiek:
Matrize-sistema:
Adarretako korronteak zehaztu direnean, adarretako tentsioak zehaztu daitezke, adarretako ekuazioak erabiliz.
−
−++
+
)D()D(0
)D()D()D()D()D(
0)D()D()D(
55
55244
441
ZZ
ZZZZZ
ZZZ
· =
− )D()·()(
)D()·(
)(
553
55
1
Ztigteg
Ztig
teg
C
B
A
i
i
i
eg5(t)
eg3(t)eg1(t)
i1
iAiB
i4
i2
i5
i3
iC
Z2(D)
Z1(D)
Z4(D)
Z5(D)
++
+
i6
==
−=
+=
=
=
=
B
BC
BA
C
B
A
iii
iii
iii
ii
ii
ii
26
5
4
3
2
1
4.4.2 SAREEN METODOA (4)
Adarraren korrontea adar hori bere baitan duten sareen korronteen batura edo kendura eginez lortuko da. Sareko korrontea adarreko korrontearen polaritate berekoa bada, zeinu positiboa du ekuazioan, eta ez bada zeinu negatiboa dauka.
Sareak hautatu, sare kopurua:
r-n+1=6-4+1=3 Sareetako korronteak zirkuituko kanpo adarren korronteekin bat datoz:
I3=IC, I1=IA,IB=I2
=
−
=
−
−
96
24
110
24120
24
110
·
12120
12227
075,7
C
B
A
I
I
I
4.4.2 SAREEN METODOA (5)
Korronte-iturria tentsio-iturri bihurtu:
E1=110V
I2
3Ω
3Ω
4Ω
12Ω
E3=120V
I1 I3
I4
I50,5Ω
J2 =2A
+ +
3Ω
3Ω
4Ω 12Ω
E2=24V
E3=120VE1=110V
I1
IAIB
I4
I2
I5
I3
IC
0,5Ω
+ +
+
E1=110V
I2
3Ω
3Ω
4Ω 12Ω
E2=24V
E3=120V
I1 I3
I4I5
0,5Ω
+ +
+
Adibidea: Adibide moduan lehengo zirkuituko topologia bera duen zirkuitu bat erabiliko dugu, baina korronte zuzeneko iturriekin.
A5
12120
12227
075,7
12960
12247
01105,7
2 =
−
−
−
== IIB
=
−
=
−
−
96
24
110
24120
24
110
·
12120
12227
075,7
C
B
A
I
I
IA10
5,7
5·7110110·75,7 =
−=→=+⋅ ABA III
A1312
5·129696·1212 =
+=→=+⋅− CCB III
CRAMER erabiliz IB ebatziko dugu:
Beste korronte biak matrize-sistemaren lehen eta hirugarren lerroak garatuz, erraz lor daitezke:
Adarretako korronteak sareen korronteak erabiliz lortuko ditugu:
===
=−=
=+=
==
==
==
A8
5A1
3A1
A5
0A1
A526
5
4
3
2
1
B
BC
BA
C
B
A
III
III
III
II
II
II
4.4.2 SAREEN METODOA (6)
=
−=−==
===
=
==
=−=
V0
V12012·1224
V10515·7
V120
V155·3
V1055,0·10110
6
35
14
3
2
1
U
UU
UU
U
U
U
Adarretako tentsioak adarren definizio ekuazioetatik lortzen dira.
E1=110V
I2
3Ω
3Ω
4Ω 12Ω
E2=24V
E3=120V
I1 I3
I4 I5
0,5Ω
U1=U4
U2
U3=U5
++
+
4.5 METODO NODALAK
Korronte iturriak
Ez, erreferentziako
korapiloaren aukeraketa
(n-1)x (n-1)Korapiloen
tentsioak U k
Korapiloen
metodoa
Korronte iturriak
Bai(n-1)x (n-1)
Oinarrizko ebakidura taldeetako
tentsioak U oet
Oinarrizko
ebakidura
taldeen
metodoa.
Metodo
nodalak
K1L –anOinarrituak
Zirkuituko iturriak
Zuhaitza definitu behar
da?
Koefizienteen matrizearen dimentsioak
EzezagunakEkuazioa
( )( ) ( )kIgUY =kk ·
( )( ) ( )oetoetoet · IgUY =
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (1)
JARRAITU BEHARREKO URRATSAK:
• Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu.• Zuhaitza hautatu ( n-1 adarrekin, irekia eta lotua).• Hautatutako zuhaitzarekiko oinarrizko ebakidura-taldeak irudikatu:
Zuhaitzeko adar bakarra mozten duten ebakidura taldeak dira, mozten dituzten gainontzeko adarrak katebegiak direlarik.
• Oinarrizko ebakidura talde bakoitzari ebakidura-taldeko tentsioaesleitu (noranzkoa: zuhaitzeko adarraren tentsioaren berdina)
• Matrize-sistema eraiki.• Matrize-sistema ebatzi: uoet tentsioak lortu.• Adarretako tentsioak lortu: ur oinarrizko ebakidura-taldeen tentsioak
eta adarretako tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz. • Adarretako korronteak ir lortu; adarren definizio-ekuazioak erabiliz.
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (2)
eg1(t)
Y3(D)
ig2(t)
r1
r3
r2
r4
r6
r5
+
Y5(D)Y1(D)
Y6(D)
Y2(D)
Y4(D)
Y3(D)
ig2(t)
r1
r3
r2
r4
r6
r5
Y5(D)Y1(D)
Y6(D)ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D)
Y4(D)
Iturrien eraldaketa: tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu.
Zuhaitza (urdina) eta oinarrizko ebakidura taldeak (arrosa) hautatu, eta ondoren, ebakidura taldeen tentsioak: uA, uB y uC
n=4; r=6;
n-1=3= zuhaitzaren adar kopurua=oinarrizko ebakidura- talde kopurua
Oharrak:
• Oinarrizko ebakidura talde bakoitzak zuhaitzeko adar bakarra moztuko du.
• Ebakidura-taldeko tentsioa mozten duen zuhaitzeko adarraren tentsioarekin bat dator.
• Zuhaitzaren hautaketa: Zenbait adarren tentsioak ezagutu nahi baditugu hautatu horiek zuhaitzeko adarrak bezala; Ko-zuhaitzekoadarrak korronte-iturri idealak bakarrik dauzkatenak hautatuz gero, admitantzien matrizean zeroak lortzen dira diagonal nagusitik kanpo.
CBA
D UC
UBUA
OET3OET2OET1
i1
i3
i2
i4
i6
i5
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (3)
( )( ) ( )oetoetoet · IgUY =
Matrize-sistemaren eraikuntza:
•Dimentsioa: (n-1)x(n-1)=3x3
•Itxura:
Admitantzien matrizearen idazketa:Diagonal nagusiko elementuak Yii(D) OET bakoitzak, mozten dituen adarren admitantzien batura izango da.Diagonal nagusitik kanpoko Yij (D) elementuak, i eta j OET-ek aldi berean mozten dituzten adarren admitantzien batura da. Admitantziaren zeinua positiboa da, admitantziaren gainean adarra mozten duten bi OET-en hautazko tentsioen polaritate beraz (sarkorrak edo irtenkorrak), marraztutako bi gezien noranzkoak bat datozenean. Eta negatiboak bi gezi horiek bat ez badatoz.
+++−−+
−−++−
+−++
)D()D()D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D(
36414113
414511
131213
YYYYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
CBA
D
UC
UB
UA
OET3
OET2OET1
Y3(D)
ig2(t)
Y5(D)
Y1(D)
Y4(D)
ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D) Y6(D)
ig2(t)
UB
IrtenkorraUA
Irtenkorra
Y1(D)
ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) negatiboa
B-tik irtenkorra
A-tik irtenkorra
Y12(D)=Y21(D)Gaia
C
UC
Sarkorra
UA
Irtenkorra
Y3(D)
Y5(D)
Y1(D)
Positiboa
C-ra sarkorra
A-tik irtenkorra
C-ra sarkorra
A-tik irtenkorra
Y13(D)=Y31(D) Gaia
C
UB
Irtenkorra
Y3(D)
Y1(D)
Y4(D)
C-ra
sarko
rra
B-tik
irten
korra
B-tik irtenkorra
C-ra sarkorra
negatiboaUC
Sarkorra
Y23(D)=Y32(D) Gaia
Admitantzien matrizea:
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (4)
−
)(
0
(D))·(
2
21
tig
Yteg
CBA
D
UC
UB
UA
OET3
OET2OET1
Y3(D)
ig2(t)
Y5(D)
Y1(D)
Y4(D)
ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D) Y6(D)
Korronte-iturrien bektorea:
OET bakoitzak moztutako adarretan dauden korronte iturrien batura eginez lortzen dira bektorearen osagaiak. Iturriaren zeinua positiboa izango da, iturriaren korrontea ebakidura taldearen erreferentzia-tentsioarekin bat datorrenean ( irtenkorra edo sarkorra OET-rekiko)
UA
Irtenkorra
A
OET1
ig1(t)=eg1(t)·Y2(D) Y2(D)
Sa
rko
rra
OET-en tentsioen bektorea:
C
B
A
u
u
u
−
=
+++−−+
−−++−
+−++
(t)ig
Yteg
u
u
u
YYYYYYYY
YYYYYY
YYYYYY
C
B
A
2
21
36414113
414511
131213
0
(D))·(
·
)D()D()D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D(
)D()D()D()D()D()D(
Matrize-sistema:
C
B
CB
AC
A
CAB
uu
uu
uuu
uuu
uu
uuuu
=
=
+−=
−−=
=
−−=
6
5
4
3
2
1
Adarretako tentsioak eta oinarrizko ebakidura taldeen tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak horrela lortzen dira: Adarraren tentsioa adarra mozten duten oinarrizko ebakidura-taldeen tentsioen batura eta kendura da. Adarraren tentsio eta ebakidurataldearen tentsioa noranzko bera badute ebakidura taldearekiko, zeinu positiboa jarri behar zaio oinarrizko ebakidura taldearen tentsioari, bestela, negatiboa. Adibidez, bat adarraren tentsiorako. Adar hori 1, 2 eta 3 ebakidura taldeek mozten dute,beraz, adar horren tentsioa honako hiru tentsioen konbinazioa izango da:UA,UB,UC; U1 sarkorra da OET1-ekiko, baina ebakidura taldearen tentsioa , UA, irtenkorra da beraz, UA-k zeinu negatiboa edukiko du; U1 OET2-rekiko irtenkorra da, ebakidura taldeko UB tentsio bezala, beraz UB-k zeinu positiboa du; Azkenik, U1 irtenkorra da OET3-rekiko, honek tentsioa (UC)sarkorra duelarik, beraz UC-k zeinu negatibo darama.
Eta U1 tentsioaren ekuazioa honakoa izango da: U1=-UA+UB-UC;
Era horretan eraikiko dira adarretako tentsioak eta ebakidura taldeetako tentsioak erlazionatuko dituzten ekuazioak.
OET1
CBA
UC
U5=UBUA
OET3OET2
I1
I3
I2
I4
I6
I5
U6=UC
U3
U1
U2=UA
U4
Behin sistema ebatzita, OET-en tentsioak ezagunak izango dira. Adarretako tentsioak lortzeko adarren tentsioak eta oinarrizko ebakidura-taldeen tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabili beharko dira.
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (5)
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (6)
1Ω
E1=9V
1Ω
2Ω
4Ω
5Ω J2=4A2Ω
r1
r3
r2
r4
r6
r5
+
1Ω
2Ω
4Ω
2Ω
r1
r3
r2
r4
r6
r5
5Ω J2=4AJ1=9A1Ω
CBA
D UC
UBUA
OET3OET2OET1
I1
I3
I2
I4
I6
I5
Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtzen dira:
n-1=4-1=3 adar edukiko dituen zuhaitza aukeratzen da. Jarraian eta zuhaitzarekiko oinarrizko ebakidura taldeak hautatzen dira, gogoan hartu zuhaitzeko adar bakarra moztuko dutela. Amaitzeko, ebakidura talde bakoitzari tentsio bat esleitzen zaio, orokorrean, mozten duen zuhaitzeko adarraren polaritate berekoa. Matrize-sistema ebaztean lortzen diren tentsioak zuhaitzeko adarraren tentsioak dira, hain zuzen ere.
Adibidea: Adibide moduan lehengo zirkuituko topologia bera duen zirkuitu bat erabiliko dugu, baina korronte zuzeneko iturriekin.
Matrize-sistemaren eraikuntza:
−
=
−
−−
−
→
4
0
9
·
2,25,15,1
5,175,11
5,115,2
C
B
A
U
U
U
( )
( )
−
=
++++−+
+−++−
+−++
4
0
9
·
111
111
1111
51
21
21
21
21
21
21
41
21
21
C
B
A
U
U
U
S3625,2
2,25,15,1
5,175,11
5,115,2
=
−
−−
−
=∆Y
V83625,2
18,9-2,25,14
5,175,10
5,119
−==∆
−
−
−−
=Y
UA
Ebazten da, demagun CRAMER erabiliz ebazten dela:
V43625,2
9,452,245,1
5,101
5,195,2
==∆
−−
−
=Y
UB V103625,2
23,62545,15,1
075,11
915,2
==∆
−
−
−−
=Y
UC
1Ω
2Ω
4Ω
2Ω
CBA
D
UC
UB
UA
OET3
OET2OET1
5Ω J2=4AJ1=9A1Ω
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (7)
Oinarrizko ebakidura-taldeetako tentsioetatik adarretako tentsioak lortzen dira:
10V
4V
V6104
V2810
8V
V21084
6
5
4
3
2
1
==
==
=+−=+−=
−=+−=−−=
−==
=−+=−−=
C
B
CB
AC
A
CAB
UU
UU
UUU
UUU
UU
UUUUOET1
CBA
D=0 UC
U5=UBUA
OET3OET2
I1
I3
I2
I4
I6
I5
U6=UC
U3
U1
U2=UA
U4
Azkenik, adarretako korronteak zehazteko, adarretako ekuazioetara jotzen dugu:
4.5.1 OINARRIZKO EBAKIDURA TALDEEN METODOA (8)
( ) ( )
−=−=−=−=
===
===
−=−==
=+−=+=
===
A24·104·
1A4·0,2525,0·
A35,0·65,0·
A15,0·25,0·
1A·1981·
A21·21·
51
51
6276
55
44
33
122
11
UJII
UI
UI
UI
EUI
UI
I1
I3
I2
I4
I6
I51Ω
2Ω
4Ω
2Ω
I7
5Ω J2=4A
1Ω
E1=9V
+
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (1)
JARRAITU BEHARREKO URRATSAK:
• Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu.
• Erreferentzia-korapilo bat hautatu.
• Korapiloetako tentsioak marraztu: erreferentziako korapiloa eta
gainontzeko beste korapiloen arteko tentsioak dira. Erreferentzia korapiloarekiko denak sarkorrak edo denak irtenkorrak marraztea,
erabilgarriena izango da.
• Matrize-sistema eraiki.
• Matrize-sistema ebatzi: uk korapiloen tentsioak lortu.
• Adarretako tentsioak lortu: u r korapiloetako tentsioak eta adarretako
tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioak erabiliz.
• Adarretako korronteak lortu: i r, adarretako definizio-ekuazioak erabiliz.
Iturrien eraldaketa: Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtu
Erreferentzia korapilo hautatu (urdina), jarraian korapiloetako tentsioak (arrosa) irudikatzen dira, erreferentzia korapiloa eta gainontzekoen artean, korapiloetako tentsioen kopurua: n-1=4-1=3 izango da eta uA, uB eta uC izenez, izendatuko ditugu.
Oharrak:
•Korapiloetako tentsioak, erreferentzia korapiloa eta gainontzekokorapiloen artean dauden tentsioak izango dira. Matrize-sistema ebaztean lortzen diren tentsioak izango dira. Eta beraz, ezagutu nahi ditugun tentsioak zuzenean lortzeko, korapiloa behar bezala hautatzea baino ez dugu.
•Tentsioen noranzkoak hautatzeko bi ebazpide ditugu: Adarren tentsioen polaritateekin bat etor arazi, edo, denak sarkorrak edo irtenkorrak irudikatu erreferentzia korapiloarekiko. Denak noranzko berekoak hautatuz, admitantzien matrizearen eraikuntza sinplifikatu egingo da diagonal nagusitik kanpoko gai guztiak negatiboak izango direlako.
A B C
D=0
UAUB
UC
I4
I6
I1
I2I3
I5
ig2(t)=eg2(t)·Y3(D)
Y6(D)
r1r3
r2
r4
r6
r5
Y5(D)
Y1(D) Y2(D)
Ig1(t)
A B C
D
Y3(D)
Y6(D)
r1r3
r2
r4
r6
r5
Y5(D)
Y1(D) Y2(D)
eg2(t)
Ig1(t)
A B C
D
+
Y3(D)
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (2)
ig2(t)=eg2(t)·Y3(D)
Y6(D)
Y5(D)
Y1(D) Y2(D)
Ig1(t)
A B C
Y3(D)
D=0
UA
UBUC
Matrize-sistemaren eraikuntza:
•Dimentsioa: (n-1)x(n-1)=3x3
•Itxura: ( )( ) ( )kIgUY =kk ·
Admitantzien matrizea:
++−−
−+
−+
)D()D()D()D()D(
)D()D()D(0
)D(0)D()D(
35656
552
661
YYYYY
YYY
YYY
Diagonal nagusiko elementuak Yii(D) korapilora heltzen diren adarren admitantzien batura da.
ij eta ji posiziotako elementuak, Yij(D) i eta j bi korapiloen arteko adarretako admitanzien batura dira.
Admitantziaren zeinua positiboa da, admitantziaren gainean adarraren bi korapiloen korapiloetako tentsioen polaritate beraz (sarkorrak edo irtenkorrak) marraztutako bi geziren noranzkoak bat datozenean. Eta negatiboak bi gezi horiek bat ez badatoz.Baina korapiloetako tentsio denak erreferentzia korapiloarekiko sarkorrak edo irtenkorrak marrazten badira, Yij(D) admitantzia denak negatiboak izango dira eta ez da zeinuaren azterketa egin beharko.
UA
Sarkorra
Y6(D)
Y5(D)Ig1(t)
A B C
UC
Sarkorra
negatiboaY13(D)=Y31(D)
Gaia
C-rekiko Sarkorra
A-rekiko Sarkorra
Y5(D)B C
UB
Sarkorra
UC
Sarkorra
Y23(D)=Y32(D)
Gaia
B-rekiko Sarkorra
C-rekiko Sarkorra
negatiboa
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (3)
)D()·(
0
)(
32
1
Yteg
tig
Korronte-iturrien bektorea:
Bektorearen osagaiak, korapilora heltzen diren adarren korronte iturrien batura eginez lortzen dira. Iturriaren korrontearen zeinua positiboa da, iturriaren korrontea korapiloaren tentsioa bezalakoa bada (sarkorra edo irtenkorra korapiloarekiko).
Korapiloetako Tentsioen bektorea:
C
B
A
u
u
u
Positiboa
A-ra sarkorra
ig2(t)=eg2(t)·Y3(D)
Y6(D)
Y5(D)
Y1(D) Y2(D)
Ig1(t)
A B C
Y3(D)
D=0
UA
UBUC
C-ra
sa
rko
rra
Positiboa
Matrize-sistema:
=
++−−
−+
−+
)D()·(
0
)(
·
)D()D()D()D()D(
)D()D()D(0
)D(0)D()D(
32
1
35656
552
661
Yteg
tig
u
u
u
YYYYY
YYY
YYY
C
B
A
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (4)
Behin matrize sistema ebatzi denean, korapiloetako tentsioak ezagunak izango dira. Adarretako tentsioak lortzeko adarretako tentsioak eta korapiloetako tentsioak erlazionatzen dituzten ekuazioetara jo beharko dugu. Ekuazio horiek lortzeko Kirchhoff-en bigarren legea aplikatzea baino ez dugu, zirkuituko hainbat bide itxietan zehar.
A B C
D=0
UAUB
UC
I4
I6
I1
I2I3
I5
U6
U4 U5
AC
CB
BA
UUU
UUU
UUU
−=
−=
−=
6
5
4
Adarretako korronteak lortzeko adarren definizio ekuazioetara jotzea baino ez dugu.
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (5)
10Ω
6Ω
4Ω
8Ω
10Ω
E2=260V
J1 =12A
A B C
D
UB +
Tentsio-iturriak korronte-iturri bihurtuko ditugu:
10Ω
6Ω
4Ω
8ΩJ1 =12A
A B C
D
10Ω J2=26A
10Ω
6Ω
8ΩJ1=12A
A B C
D=0
UAUB
UC
J2=26A4Ω10Ω
Erreferentzia-korapiloa hautatzen da. Jarraian erreferentzia-korapiloa eta gainontzeko korapiloen arteko
n-1=4-1=3 korapiloko tentsio zehazten dira. Denak noranzko berekoak hautatuz ( sarkorrak edo
irtenkorrak erreferentzia korapiloarekiko), admitantzien matrizearen eraikuntza sinplifikatu egingo da diagonal nagusitik kanpoko gai guztiak negatiboak izango direlako. Adibidean denak irtenkorrakhautatuak dira:
−=
++−−
−+
−+
26
12
12
·
10
1
6
1
8
1
8
1
6
18
1
8
1
4
10
6
10
6
1
10
1
C
B
A
U
U
U
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (6)
Adibidea: Adibide moduan lehengo zirkuituko topologia bera duen zirkuitu bat erabiliko dugu, baina korronte zuzeneko iturriekin.
Matrize-sistemaren ebazpena CRAMER erabiliz:
V120
7200
177240
94
8
126
8
1
8
312
6
1012
=
−
−−
−
=AU V8
7200
177
240
9426
6
18
1120
6
112
30
8
=
−
−−
−
=BU V120
7200
177
268
1
6
1
128
30
12030
8
=
−−
−
=CU
7200
177
240
94
8
1
6
18
1
8
30
6
10
30
8
10
1
6
1
8
1
8
1
6
1
8
1
8
1
4
10
6
10
6
1
10
1
=
−−
−
−
=
++−−
−
+
−
+
==∆ YY
Korapiloetako tentsioen balioetatik adarretako tentsioak lortu dira. Kirchhoff-enbigarren legea erabiliz.
V1121208
V0120120
V1128120
−=−=−=
=−=−=
=−=−=
CBBC
ACCA
BAAB
UUU
UUU
UUU
Adarren definizio ekuazioak erabiliz adarretako korronteak lortuko ditugu:
10Ω
6Ω
8ΩJ1 =12A
A B C
D=0
UAUB
UC
J2=26A4Ω10Ω
I4
I6
I1
I2I3
I5
I7
==
−=−==
==
−=+−=+−=
=−==
===
A0·
A14·112·
A12
A14120·2626
A2·8·
A1210
1·120·
61
6
81
81
5
24
101
73
41
41
2
101
1
AC
BC
B
A
UI
UI
JI
II
UI
UI
4.5.2 KORAPILOEN METODOA (7)
4.6 LOTURA MAGNETIKOAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (1)
Metodo zirkularrak erabiliz ebazten dira. Zirkuitua ebazteko eman beharko diren urratsak, sareen metodoan edo oinarrizko eraztunen metodoan ikusi ditugun berdinak dira. Ala ere, zirkuituaren inpedantzien matrizea idazterako orduan hainbat berezitasun eduki beharko ditugu kontuan. Berezitasun horiek guztiak honako adibidearen bidez azalduko ditugu.
eg2(t)
eg1(t)
R1
R2
R3
L1D L2D
L3D
ia(t)ib(t)
ic(t)
M13D
M12D
M23D
+
+
Inpedantzien matrizearen idazketa:Mij(D)-ren itxurako gaiak agertzen dira. Magnetikoki lotuta dauden harilak dauzkaten i eta j adarren arteko lotura magnetikoa adierazten dutenak.i eta j adarretako tentsioek honako itxura dute:
)(D)(D)(
)(D)(D)(
tiLtiMtU
tiMtiLtU
jjij
jiii
+±=
±=
Non ±MijD gaiek loturaren elkarrekiko inpedantzia operazionala adierazten duten.• Gaiak + dira, korronteak ( sarekoak edo eraztunekoak) bi hariletara elkarrekiko puntuetatik sartzen badira ( puntu homologoak), edo bi hariletatik elkarrekiko puntuetatik irteten badira.• Gaiak - dira, korronteetako bat puntu homologotik sartzen bada eta bestea irten.
=
⋅
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)D()D()D(
)D()D()D(
)D()D()D(
c
b
a
cccbca
bcbbba
acabaa
teg
teg
teg
ti
ti
ti
ZZZ
ZZZ
ZZZ
c
b
a
Sareko inpedantziak:
++=
−++=
++=
D(D)Z
)D(2DD)D(
D)D(
321cc
23323
131
LRR
MLLRZ
RRLZ
bb
aa
Sareek elkarbanatutako inpedantziak:
)D()D()D( 13123 MMRZab −+−= M12 positiboa da sareko korronteak bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen direlako.
M13 negatiboa da sareko
korronteak ez direlako bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen.
)D()D( 131 MRZac +−= M13 positiboa da sareko korronteak bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen direlako.
)D(D)D( 233 MLZbc +−= M23 positiboa da sareko korronteak bi hariletan elkarrekiko puntuetatik sartzen direlako.
Matrize-sistema:
=
⋅
+++−+−
+−−++−+−
+−−+−++
)(
0
)(
DDDD
DDD2DDDD
DDDD
2
1
321233131
2332332313123
13113123131
teg
teg
i
i
i
LRRMLMR
MLMLLRMMR
MRMMRRRL
c
b
a
eg2(t)
eg1(t)
R1
R2
R3
L1D L2D
L3D
ia(t)ib(t)
ic(t)
M13D
M12D
M23D
+
+
4.6 LOTURA MAGNETIKOAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (2)
4.7 MENDEKO ITURRIAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (1)
Ikusitako edozein metodoren bidez ebatzi daitezke. Jarraian matrize-ekuazioaren eraldaketa egingo dugularik:
KORRONTEAREN MENDEKOA DEN TENTSIO-ITURRIA (r =TRANSERRESISTENTZIA)
ib
R1 R3
i2(t)
+
- r·i1(t)
R5R4 i4(t) i5(t)
R2
R6i6(t)
eg3(t)ia
ic
eg2(t)
eg1(t)
⋅+
⋅−
=
⋅
++−−
−++−
−−++
)(
)()(
)()(
6
13
11
65454
55322
42421
teg
tirteg
tirteg
i
i
i
RRRRR
RRRRR
RRRRR
c
b
a
⋅
−−
=
⋅−
⋅
−
=
⋅+
⋅−
c
b
a
a
a
i
i
i
r
r
teg
teg
teg
tir
tir
teg
teg
teg
teg
tirteg
tirteg
000
00
00
)(
)(
)(
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()(
)()(
6
3
1
6
3
1
6
13
11
=
⋅
−+
⋅
++−−
−++−
−−++
c
b
a
c
b
a
i
i
i
r
r
i
i
i
RRRRR
RRRRR
RRRRR
000
00
00
65454
55322
42421
)(
)(
)(
6
3
1
teg
teg
teg
=
⋅
++−−
−++−−
−−+++
c
b
a
i
i
i
RRRRR
RRRRrR
RRrRRR
65454
55322
42421
)(
)(
)(
6
3
1
teg
teg
teg
Tentsioen bektorea eraldatuko dugu:
Aldaketa horiek matrize-ekuaziora eramanez:
Bigarren atala lehen atalera igaroz:
Korronteen bektorea biderkatzaile komuna bezala ateraz:
=
⋅
++−−
−++−
−−++
c
b
a
i
i
i
RRRRR
RRRRR
RRRRR
65454
55322
42421
⋅
−−
c
b
a
i
i
i
r
r
teg
teg
teg
000
00
00
)(
)(
)(
6
3
1
4.7 MENDEKO ITURRIAK DITUZTEN ZIRKUITUAK (2)
TENTSIO BATEN MENDEKO DEN TENTSIO-ITURRIAREN KASURAKO (µ : proportzionaltasun
konstantea)
Tentsioen bektoreak hartuko duen itxura:
Ekuazio sistemara eramanez eta 2. ataleko batugai negatiboa, 1. atalera ekarriz:
Korronteen bektorea biderkatzaile komuna bezala ateraz:
eg6(t)
eg1(t) ib
R1 R3
i2(t)
+- µ·Ua(t)
R5R4 i4(t) i5(t)
R2
R6i6(t)
eg3(t)ia
ic
Ua(t)
⋅+
⋅−
=
⋅
++−−
−++−
−−++
)(
)()(
)()(
6
3
1
65454
55322
42421
teg
tUteg
tUteg
i
i
i
RRRRR
RRRRR
RRRRR
a
a
c
b
a
µ
µ
)()()( 441 tiRtegtUa ⋅+=
ca iiti +−=)(4
caa iRtiRtegtU ⋅+⋅−= 441 )()()(
caa iRtiRtegtU ⋅⋅+⋅⋅−⋅=⋅ 441 )()()( µµµµ
Eta:
⋅
⋅−⋅
⋅⋅−
−
⋅+
⋅−
=
⋅⋅+⋅⋅−⋅+
⋅⋅−⋅⋅+⋅−
c
b
a
ca
ca
i
i
i
RR
RR
teg
tegteg
tegteg
teg
iRiRtegteg
iRiRtegteg
000
0
0
)(
)()(
)()(
)(
)()(
)()(
44
44
6
13
11
6
4413
4411
µµ
µµ
µ
µ
µµµ
µµµ
=
⋅
⋅−⋅
⋅⋅−
+
⋅
++−−
−++−
−−++
c
b
a
c
b
a
i
i
i
RR
RR
i
i
i
RRRRR
RRRRR
RRRRR
000
0
0
44
44
65454
55322
42421
µµ
µµ
⋅+
⋅−
)(
)()(
)()(
6
13
11
teg
tegteg
tegteg
µ
µ
=
⋅
++−−
⋅−−++⋅+−
⋅+−−⋅−++
c
b
a
i
i
i
RRRRR
RRRRRRR
RRRRRRR
65454
4553242
4424421
µµ
µµ
⋅+
⋅−
)(
)()(
)()(
6
13
11
teg
tegteg
tegteg
µ
µ
4.7 BIBLIOGRAFIA
• V.M. Parra Prieto eta beste hainbat, Teoría de Circuitos, Universidad Nacional de
Educación a Distancia. Madril 1990. VII.Gaia• E. Alfaro Segovia, Teoría de Circuitos y Electrometría. El autor, Madrid 1970.
IV. Kapitulua, 8, 9, eta 10 ikasgaiak.
• R.L. Boylestad, Análisis Introductorio de Circuitos, Prentice Hall 1995.
9.Gaia• A. Bruce Carlson, Teoría de Circuitos, Thomson, Madril 2002. 4.Kapitulua
• A. Gómez, J.A. Olivera, Problemas resueltos de Teoría de Circuitos, Paraninfo, Madril
1990. 2. Kapitulua
• J.A. Edminister, M. Nahvi, Circuitos Eléctricos (Problemas resueltos) McGraw Hill, Madril1997. 4.Kapitulua
• UNE 21302-131 Vocabulario Electrotécnico. 131. atala: Teoría de Circuitos.