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LE MEDIE

Elementi di Statistica

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Introduzione

Si è visto che per effettuare lo studio di un fenomeno statistico è spesso opportuno raggruppare in classi le diverse unità statistiche in modo da ottenere delle distribuzioni da analizzare, da rappresentare graficamente, confrontare.

Tale operazione è spesso laboriosa e il risultato non è sempre molto sintetico.

4 - Le medie a.a. 200910 3

Introduzione

Una domanda del tutto legittima è allora la seguente: come evidenziare, partendo dai dati o dalla loro riorganizzazione in distribuzione di frequenza, rapidamente e sinteticamente, le caratteristiche fondamentali di una variabile statistica?

4 - Le medie a.a. 200910 4

Introduzione Per rispondere a questa domanda bisogna prima

chiedersi quali sono le caratteristiche fondamentali che descrivono sinteticamente un qualsivoglia fenomeno statistico.

In questa sede ne individueremo sopratutto due: la centralità e la dispersione.

Le misure di centralità (o di tendenza centrale) esprimono sinteticamente il centro della distribuzione, vale a dire il valore intorno al quale sono disposti i dati.

Le misure di dispersione (o di variabilità) forniscono informazioni per capire se i dati sono più o meno dispersi attorno al centro

4 - Le medie a.a. 200910 5

Le misure di tendenza centrale informano sul centro della distribuzione

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Le misure di variabilità sulla dispersione

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INDICI STATISTICI UNIDIMENSIONALI

Per gli indici statistici unidimensionali, si ha la seguente classificazione:

1) Medie.

2) Misure di variabilità (chiamate anche

indici di variabilità).

3) Indici della forma di distribuzione.

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LE MEDIE

Poiché i fenomeni sono molto disparati e le distribuzioni possono presentare forme molto diverse, non è possibile definire un’unica misura di tendenza centrale.

Infatti, sovente la definizione di centro ideale della distribuzione è strettamente connessa al tipo di fenomeno studiato.

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CATEGORIE DI MEDIE:

Convenzionalmente si suddividono in due grandi categorie: medie analitiche o algebriche; medie di posizione. Le medie analitiche vengono calcolate attraverso

operazioni algebriche sui valori della variabile, che dovrà essere perciò necessariamente di tipo quantitativo.

Le medie di posizione si possono calcolare, a determinate condizioni, anche per fenomeni qualitativi, poiché il loro calcolo coinvolge direttamente le sole frequenze, e indirettamente, solo particolari elementi della distribuzione.

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LE MEDIE ANALITICHE: la media aritmetica

Una media d’una variabile quantitativa è un numero

che si ritiene idoneo ad esprimere il cosiddetto

“ordine di grandezza” o

“tendenza centrale”

dell’insieme dei dati rilevati.

4 - Le medie a.a. 200910 12

CARATTERISTICHE DELLA MEDIA

E’ sempre compresa tra il più piccolo ed il

più grande dei valori osservati ed il suo

scopo è quello di sintetizzare le

informazioni, sostituendo alla pluralità

dei valori originari (pari ad n) un unico

numero.

4 - Le medie a.a. 200910 13

DEFINIZIONE: MEDIA ARITMETICA

Si dice media aritmetica di n

valori xi (i = 1, …, n) d’una

variabile quantitativa X, e

si indica con M, la somma

di tali valori divisa per n:

n

xM

n

ii

1

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1a PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA

La media aritmetica è il numero che

sostituito ai singoli valori xi osservati

(diversi tra loro) ne lascia invariata la

somma:

nMxn

ii

1

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2a PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA

La media aritmetica rende nulla la somma

algebrica delle differenze (anche

chiamate “scostamenti” o “scarti”) tra i

singoli xi e la media stessa:0)(

1

n

ii Mx

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OSSERVAZIONE

La media aritmetica attua quindi una

perfetta compensazione tra i valori

minori e quelli maggiori di essa.

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Proprietà della media aritmetica: Trasformazione lineare: Y = a + bX

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La media aritmetica: difetti

La media aritmetica è un valore caratteristico intorno al quale si posizionano i valori della distribuzione. Tuttavia il maggior difetto della media aritmetica è che risente fortemente dei valori estremi, cosicché può accadere che il suo valore non sia ben rappresentativo dell’insieme dei valori osservati.

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La trimmed mean

Un modo che consente di diminuire l’effetto dei valori estremi nel calcolo della media è quello è quello di effettuare il calcolo solo sui valori centrali.

La media così ottenuta viene detta trimmed mean

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Le medie di posizione: LA MEDIANA

Si dice mediana di n numeri, e si indica con Me, il valore che occupa la posizione centrale nella successione dei numeri ordinati in senso non decrescente e precisamente:

se n è dispari, il termine che occupa la posizione (n +1)/2;

se n è pari, per convenzione, la semisomma dei termini che occupano le posizioni n/2 e (n/2 + 1)

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Esempio:calcolo della media aritmetica

9,471.4 700.92,371.8 368.5

508,994.1 2952.62,486.1 215.2

967.5 256.610,735.4 654.221,024.0 1632.46,239.5 94.8

141,254.5 675.98,829.1 1755.01,525.1 307.8

16,709.1 3810.84,604.0 288.21,479.4 346.5

42,674.0 328.658,648.1 414.619,495.0 1174.91,055.5 169.0

18,560.7 5522.4877,124.246,164.49,471.4 700.9

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Esempio:calcolo della media trimmed Consideriamo il GDP dei 19 paesi fortemente indebitati da noi

considerati in precedenza. Se calcoliamo la media solo sul’80% dei valori centrali (escludiamo il 20%) si ottiene un GDP medio pari a 21,597.80 milioni di US$ contro il 46,164,4 milioni di US$ ottenuto considerando tutti i valori.

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ESEMPIO 1 (n dispari)

Consideriamo il GDP dei 19 paesi fortemente indebitati da noi considerati in precedenza ordiniamo i valori :

967,5 1.055,5 1.479,4 1.525,1 2.371,8 2.486,1 4.604,0 6.239,5 8.829,1 9.471,4 10.735,4 16.709,1 18.560,7 19.495,0 21.024,0 42.674,0 58.648,1 141.254,5 508.994,1

Essendo n=19 dispari, il termine centrale è il decimo, al quale corrisponde il valore 9.741,4 milioni di US$ (che è il GDP dell’Angola) e risulta molto minore del valore della media aritmetica (46.164,4 di milioni di US$).

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Dati Esempio 1

GDP (millionUS $)

967.5 Central African Republic 11,055.5 Tajikistan 21,479.4 Moldova 31,525.1 Kyrgyz Republic 42,371.8 Benin 52,486.1 Burkina Faso 64,604.0 Madagascar 76,239.5 Ethiopia 88,829.1 Jordan 99,471.4 Angola 10

10,735.4 Cote d'Ivoire 1116,709.1 Lebanon 1218,560.7 Uruguay 1319,495.0 Syrian Arab Republic 1421,024.0 Ecuador 1542,674.0 Nigeria 1658,648.1 Pakistan 17

141,254.5 Indonesia 18508,994.1 Brazil 19

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ESEMPIO 2

Consideriamo il GDP dei primi 10 paesi fortemente indebitati da noi considerati in precedenza

ordiniamo i valori :967,5 2.371,8 2.486,1 6.239,5 8.829,1 9.471,4

10.735, 4 21.024,0 141.254,5 508.994,1

Essendo n=10 pari, i due termini centrali sono il quinto ed il sesto, ai quali corrispondono rispettivamente i valori 8.829,1 e 9471,4, per cui la mediana risulta:

Me = (8.829,1 + 9.471,4)/2 = 9150,3 milioni di US$.

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OSSERVAZIONE

Si parla d’ordinamento non decrescente

dei termini – anziché di ordinamento

crescente – poiché vi possono essere

valori uguali della variabile.

4 - Le medie a.a. 200910 27

1a PROPRIETA’ DELLA MEDIANA

E’ applicabile anche a variabili espresse su

scala ordinale, poiché la sua

definizione richiede semplicemente che

i termini siano ordinabili.

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Esempio

Paese gruppo di appartenenza

Burkina Fasu Low Income

Sierra LeoneLow Income

Bolivia Lower Middle Income

Jordan Lower Middle Income

Chile Upper Middle Income

CostaRIca Upper Middle Income

Germany High Income

Slovenia High Income

Spain High Income

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ESEMPIO

Consideriamo l’ Income Group di appartenenza di 9 Paesi (secondo il 2003 GNI per capita, determinato utilizzando il World Bank Atlas method.

La mediana, che corrisponde al quinto termine della successione ordinata, è “Upper Middle Income”.

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2a PROPRIETA’ DELLA MEDIANALa mediana rimane invariata se si

sostituiscono i termini minori (maggiori) di essa con altri diversi, ma comunque minori (maggiori) di Me.

A differenza della media aritmetica, la mediana non risulta quindi influenzata dall’eventuale presenza di valori anomali (valori eccessivamente grandi o particolarmente piccoli rispetto all’insieme degli altri termini).

4 - Le medie a.a. 200910 31

I PERCENTILI

Come generalizzazione della mediana si

possono considerare i valori che

suddividono l’insieme dei termini (o delle

modalità ordinali) in due parti, con quote

percentuali prefissate.

4 - Le medie a.a. 200910 32

DEFINIZIONE: PERCENTILE

Si dice percentile di ordine z e si indica con xz

(0 < z < 100%)

il numero che suddivide la successione dei

valori ordinati in senso non decrescente in

due parti, tali che i valori minori o uguali a xz

siano una percentuale uguale a z.

4 - Le medie a.a. 200910 33

PERCENTILI DI PARTICOLARE INTERESSE

La mediana è il percentile di ordine z = 50%.

I quartili dividono la distribuzione in quattro

parti uguali: x25%, x50%, x75%.

I decili, definiti come x10%, x20%, x30%, x40%,

x50%, x60%, x70%, x80%, x90%.

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Percentili (Quantili)

Quartili

I quartili dividono la distribuzione in quattro parti uguali

25% 25% 25% 25%

(minimo) (massimo)(mediana)

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Percentili (Quantili)

10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%

I decili dividono la distribuzione in dieci parti uguali

Decili

4 - Le medie a.a. 200910 36

Esempio: calcolo dei quartiliCountry GDP

(millionUS $)

GDPper capita

GDPper capita ordinato

posto nella graduatoria non decrec.

Angola 9.471,4 700,9 94,8 Ethiopia 1Benin 2.371,8 368,5 169,0 Tajikistan 2Brazil 508.994,1 2952,6 215,2 Burkina Faso 3Burkina Faso 2.486,1 215,2 256,6 Central African Republic 4Central African Republic967,5 256,6 288,2 Madagascar 5Cote d'Ivoire 10.735,4 654,2 307,8 Kyrgyz Republic 6Ecuador 21.024,0 1632,4 328,6 Nigeria 7Ethiopia 6.239,5 94,8 346,5 Moldova 8Indonesia 141.254,5 675,9 368,5 Benin 9Jordan 8.829,1 1755,0 414,6 Pakistan 10Kyrgyz Republic1.525,1 307,8 654,2 Cote d'Ivoire 11Lebanon 16.709,1 3810,8 675,9 Indonesia 12Madagascar 4.604,0 288,2 700,9 Angola 13Moldova 1.479,4 346,5 1174,9 Syrian Arab Republic 14Nigeria 42.674,0 328,6 1632,4 Ecuador 15Pakistan 58.648,1 414,6 1755,0 Jordan 16Syrian Arab Republic19.495,0 1174,9 2952,6 Brazil 17Tajikistan 1.055,5 169,0 3810,8 Lebanon 18Uruguay 18.560,7 5522,4 5522,4 Uruguay 19

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INTERPRETAZIONE

Il nono decile, x90%, ad esempio, è il valore

che suddivide la distribuzione in due

parti tali che le unità statistiche con valori

della variabile minori o uguali ad x90%

siano il 90% del totale e le unità con

valori maggiori siano il restante 10%.

4 - Le medie a.a. 200910 38

ESEMPIO: Decili dei redditi delle famiglie italiane

Decimi di famiglie

Reddito (in migliaia di lire)

Reddito (in euro)

1° decile 14.873 7.681 2° decile 21.433 11.069 3° decile 27.200 14.048 4° decile 33.046 17.067 5° decile 39.252 20.272 6° decile 47.092 24.321 7° decile 55.752 28.794 8°decile 67.288 34.751 9° decile 86.800 44.828

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INTERPRETAZIONE

Il 10% delle famiglie più povere ha un reddito

annuo sino a 7.681 euro. Il valore che

discrimina il 20% delle famiglie più povere

dalle restanti è uguale a 11.069 euro; …;

l’ultimo 10% delle famiglie più ricche (nono

decile, x90%) ha un reddito annuo maggiore

di 44.828 euro.

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INTERPRETAZIONE DELLA MEDIANA

La mediana, che coincide con il quinto

decile, x50%, è uguale a 20.272 euro ed è

il valore del reddito annuo che divide il

primo 50% delle famiglie più povere dal

restante 50% delle famiglie più ricche.

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CONFRONTO CON LA MEDIA ARITMETICA

Il valore medio del reddito annuo delle famiglie italiane, è uguale 24.945 euro.

La media aritmetica dei redditi è alquanto superiore alla mediana poiché alla determinazione del valore della media aritmetica concorrono anche i redditi più elevati, che invece non influenzano il calcolo della mediana.

4 - Le medie a.a. 200910 42

LA MODA: DEFINIZIONE

Si dice moda d’una variabile discreta,

quantitativa o qualitativa, e si indica con

Mo, il numero o la modalità che presenta

la massima frequenza.

4 - Le medie a.a. 200910 43

ESERCITAZIONE 2

Riprendiamo l’esempio analizzato nella ESERCITAZIONE 1 relativo ai tre modi per produrre.

4 - Le medie a.a. 200910 44

ESERCITAZIONE 2

Le distribuzioni dei pezzi prodotti differiscono, come visto, sopratutto per la diversa “posizione”.

Una domanda che sembra naturale è di quanto?.. Ad esempio, “Nuova 2” sembra con i dati a disposizione

migliore di “Vecchia”. Ma quanto migliore?Una possibile maniera per rispondere a questo tipo di domande si

concretizza nel: 1. Sintetizzare le singole distribuzioni in un unico numero che,

in una qualche senso, indichi dove la distribuzione stessa è “posizionata”. Ovvero, calcolare per ogni distribuzione una misura (o parametro o indice) di posizione;

2. Rispondere confrontando gli indici calcolati al punto precedente. I parametri di posizione che vengono di solito utilizzati sono: la media aritmetica, la mediana e i quantili.

4 - Le medie a.a. 200910 45

Media e mediana: il caso delle tre riorganizzazioni del lavoro

Vecchia Nuova 1 Nuova 2

media 705,5 700,8 719,2

mediana 706 699 718,5

Come si vede risulta confermato i risultati

precedenti. Indicano che nuova 2 potrebbe far aumentare la produzione di circa un 2%.

4 - Le medie a.a. 200910 46

Istogramma nuova2

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

674 679 684 689 694 699 704 709 714 719 724 729 734 739 744 749 754 759

Classe

Fre

qu

enza

0.00%

20.00%

40.00%

60.00%

80.00%

100.00%

120.00%

Frequenza

% cumulativa

M =719,2Me= 718,5

50%

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ESEMPIO

Consideriamo l’incom group di 10 paesi fortemente indebitati ed ordiniamo i valori dal più piccolo al più grande:

Low, Low, Lower – middle, Low, Low, Low, Lower – middle, Low, Low, Lower - middle

La moda è uguale a Low (frequenza pari a 7 contro le altre frequenze pari ad 3).

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PROPRIETA’ DELLA MODA

La moda è l’unica media calcolabile per

una carattere qualitativo nominale

Essa rende minimo il numero di valori (o

delle modalità) diversi da essa.

4 - Le medie a.a. 200910 49

SCELTA DELLA MEDIA Dipende dagli scopi di sintesi. In molti casi

l’impiego congiunto di tutte le medie è utile per fornire un’informazione più completa sul fenomeno

Se il fenomeno è qualitativo ordinale, si possono calcolare la mediana e la moda. Se il fenomeno è qualitativo nominale l’unico criterio di sintesi possibile è la moda.

Se vi sono outliers è preferibile la mediana alla moda.

4 - Le medie a.a. 200910 50

INDICI PONDERATI IN GENERALE

Se le unità statistiche hanno una diversa dimensione o un’importanza differente, si attribuisce a ciascuna di esse un opportuno “peso”.

Per il calcolo della media e di indici di variabilità si utilizzano delle formule ponderate.

4 - Le medie a.a. 200910 51

FORMULE PONDERATE

n

ii

n

iii

w

wx

M

1

1

dove W è la variabile peso e wi è il valore del peso per la unità i-esima.

4 - Le medie a.a. 200910 52

FORMULE PONDERATE

Caso particolare: wi = 1/n → media aritmetica semplice Confronto con media ponderata in

distribuzione di frequenze

4 - Le medie a.a. 200910 53

FORMULE PONDERATE

MEDIA ARITMETICA PONDERATA (distribuzione di frequenze)

SIMBOLOGIA

dove: il numeratore individua l’ammontare complessivo del

fenomeno. Il denominatore la somma delle frequenze

r

ii

r

iii

n

nxM

1

1

4 - Le medie a.a. 200910 54

OSSERVAZIONE

Solitamente la ponderazione si applica nel

calcolo di indici statistici in presenza di

matrici dei dati derivati, in cui le variabili

sono dei rapporti statistici.

4 - Le medie a.a. 200910 55

ESEMPIO: INDICATORI STRUTTURALI

Per il rapporto:

Il peso è la popolazione in ciascun paese

Con questo criterio di ponderazione il GDP/popolazione medio risulta uguale a quello che si ottiene dividendo il totale dei GDP nazionali per il totale delle popolazioni nazionali.

EPOPOLAZION

GDP

4 - Le medie a.a. 200910 56

ESEMPIO

Country export of goods (million US $)

GDP (millionUS $)

Population (million) mid-year

Surface area (thsnd KM squares)

GDPper capita

population per KM squares

Export of goods and services (% of GDP)

Angola 7.103,60 9.471,40 13,5 1.247,00 700,9 10,8 75

Benin 355,8 2.371,80 6,4 113 368,5 57 15

Brazil 66.169,20 508.994,10 172,4 8.547,00 2952,6 20,2 13

Burkina Faso 248,6 2.486,10 11,6 274 215,2 42,2 10

Central African Republic 116,1 967,5 3,8 623 256,6 6,1 12

Cote d'Ivoire 4.079,40 10.735,40 16,4 322 654,2 51 38,0

Ecuador 5.676,50 21.024,00 12,9 284 1632,4 45,3 27,0

Ethiopia 935,9 6.239,50 65,8 1.104,00 94,8 59,6 15,0

Indonesia 59.326,90 141.254,50 209 1.905,00 675,9 109,7 42,0

Jordan 3.884,80 8.829,10 5 89 1755 56,5 44,0

Kyrgyz Republic 564,3 1.525,10 5 200 307,8 24,8 37,0

Lebanon 2.339,30 16.709,10 4,4 10 3810,8 438,5 14,0

Madagascar 1.335,20 4.604,00 16 587 288,2 27,2 29,0

Moldova 739,7 1.479,40 4,3 34 346,5 125,6 50,0

Nigeria 18.776,50 42.674,00 129,9 924 328,6 140,6 44,0

Pakistan 10.556,70 58.648,10 141,5 796 414,6 177,7 18,0

Syrian Arab Republic 7.408,10 19.495,00 16,6 185 1174,9 89,7 38,0

Tajikistan 675,5 1.055,50 6,2 143 169 43,7 64,0

Uruguay 3.526,50 18.560,70 3,4 176 5522,4 19,1 19,0

totale 193.818,60 877.124,20 843,9 17.563,00 21.668,90 1.545,10 604,0

media arit 10200,98 46164,43 44,42 924,37 1140,47 81,32 31,8

media rapp fra somme 1039,4 48 22,1

4 - Le medie a.a. 200910 57

Scelta della media

4 - Le medie a.a. 200910 58

I bilanci delle famiglie italiane nell’anno 2000

4 - Le medie a.a. 200910 59

I bilanci delle famiglie italiane nell’anno 2000

4 - Le medie a.a. 200910 60

ESAME DI STATISTICA ECONOMICA PROVA SCRITTA DEL 29 giugno 2007

3) Che informazione forniscono i quintili della distribuzione di redditi famigliari?

la quantità di reddito ricevuta dai gruppi di 500 famiglie

il numero di famiglie che ricevono un quinto di reddito totale

la quantità di reddito ricevuta da un quinto delle famiglie