4 Limes Niza Limes Monotonih Geometrijski Red Limes Funkcija

Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:

- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED

Razred:IV

1

RIJEENI ZADACI I TEORIJA

IZ

LIMES NIZOVA

LIMES MONOTONIH NIZOVA

GEOMETRIJSKOG REDA

LIMES FUNKCIJA



Razred:IV

2

2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA

2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza

2.4.1.1 Rijeeni zadaci

2.4.2 Teoremi o limesima-operacije sa limesima

2.4.3 Neki znaajni limesi


2.4.4 Limes geometrijskog niza

2.4.4.1 Zadaci

2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA

2.5.1 Monotoni nizovi


2.5.2 Omeeni nizovi


2.5.3 Limes monotonih nizova


2.5.4 Baza prirodnog logaritma broj e

2.6. GEOMETRIJSKI RED

2.6.1 Definicija reda

2.6.2 Geometrijski red



Razred:IV

3

2.4.1. DEFINICIJA LIMESA I KONVERGENTNOG NIZA

Limes je temelj matematike analize.

Za niz brojeva a1, a2, a3, , an, kaemo da konvergira ili tei

prema realnom broju a ako i samo ako za svaki lan (ma kako

malen) pozitivni broj ( > 0) postoji prirodan broj n0 = N = N (

tako da za svaki

n > n0 ili n > N vrijedi:

Broj a zove se tada limes ili granica (broja) niza (an)-

DEFINICIJA LIMESA NIZA:

Broj a nazivamo limes niza a1, a2,,an, :i piemo

ako je svaki postoji takoer broj N = N ( da je

N ovisi o unaprijed po volji zadanom malom pozitivnom broju

Ako niz konvergira prema nekom odreenom broju a, kaemo

da je KONVERGENTAN1, a u svakom drugom sluaju je

DIVERGENTAN.

1 Latinski: konvergen-lat. teiti prema neemu



Razred:IV

4


Primjer 1:

Niz:

Kako dobiti trei lan n=3?

n=3

Kako dobiti ?

Oduzeti drugi lan od prvog ili trei lan od drugog.

Niz konvergira prema broju 2 jer je limes toga niza

broj 2.

n1

n1

2n1

22n1

2

Sl.

Ako je pozitivan broj (n = 10) tada za

moemo uzeti broj 1 jer je

,

za svaki

Ako je pozitivan broj (n= 100) tada za

moemo uzeti broj 101 jer je

,



Razred:IV

5

za svaki

OPENITO:

Ako je ma kako malen zadan pozitivan broj.

Nejednakost

vrijedi za svaki ,

gdje je bilo koji prirodan broj vei od ( ).

to je manji, to je vei !

Primjer 2: Pokaimo da je:

Prema definiciji:

Uvrtavanjem vrijednosti za an i a dobivamo:



Razred:IV

6

Ocijenivi tu diferenciju prema apsolutnoj vrijednosti dobivamo:

(2)

Prema tome, za svaki pozitivni broj postoji takav broj

da za n>N vrijedi nejednadba (2). Iz toga slijedi da je broj 2 limes niza

, a zadana formula (1) je ispravna.



Razred:IV

7

2.4.2 TEOREMI O LIMESIMA-OPERACIJE SA LIMESIMA

Neka su zadana dva konvergentna niza an i bn s limesima a i b tada

vrijedi:

A) TEOREM O LIMESU ZBROJA (RAZLIKE)

ZBROJ (RAZLIKA) LIMESA I KONSTANTE

(KONSTANTNI NIZ svi lanovi niza jednaki istom realnom

broju c)

B) TEOREM O LIMESU UMNOKA



Razred:IV

8

UMNOAK KONSTANTE I LIMESA

(KONSTANTNI NIZ-svi lanovi niza jednaki istom realnom

broju c)

EOREM O LIMESU KVOCIJENTA

C) TEOREM O LIMESU POTENCIJE

Ako je

onda je:

LIMES m-tog KORIJENA



Razred:IV

9

D) TEOREM MONOTONOST LIMESA

Ako je ili za svaki n, onda je:

2.4.3. NEKI ZNAAJNI LIMESI

1) Nul niza je onda i samo onda kada niz apsolutnih

vrijednosti tei nuli. Apsolutna vrijednost lana niza je

udaljenost koja po volji moe biti malena

Primjeri nul-nizova: , ,

Ako je

onda vrijedi



Razred:IV

10

Openito:

2)

3)

4) Broj e-baza sistema prirodnog logaritma



Razred:IV

11

Broj C-Eulerova konstanta (niz minus funkcija)


Vjebe:

1) Zadan je sloeni niz limes nije jednostavno

izraunati po definiciji nego koristimo teoreme o limesima i nul

niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,B i D).



Razred:IV

12



Razred:IV

13

3) Sloeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza.

Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima

(pod A,C).

za brojnik:

za nazivnik:



Razred:IV

14

4) Sloeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza.

Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima

(pod A,C).

I nain:



Razred:IV

15

II nain:



Razred:IV

16

5)



Razred:IV

17

6)

7)



Razred:IV

18



Razred:IV

19

8)



Razred:IV

20

Zadaci:

1. Odredi limes niza iji je opi lan:

1)

2)

3)

4)

5)

6)



Razred:IV

21

7)

8)

9)

10)

2. Odredi:

a)

b) Ako a = b, onda je limes jednak a.



Razred:IV

22

c) Ako je a > b, onda je , u tom sluaju brojnik i

nazivnik podijeliti sa . Limes je a.

d) Ako je a < b, brojnik i nazivnik podijeliti sa .

Limes je b.



Razred:IV

23

b)

c)

d)

e)



Razred:IV

24

f)



Razred:IV

25

3. Odredite limese nizova:

1.

a)

R: 0

b)

R: 1

c)

Uputa:

R: 2

d)

R:



Razred:IV

26

2.

R: 1

3.

R: 1

4.

R:

5.

R: 8



Razred:IV

27

2.4.4 LIMES GEOMETRIJSKOG NIZA

e) za q > 1

f) za q = 1

g) za -1 < q < 1

h) za q



Razred:IV

28

2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA



2.5.6 Omeeni nizovi








2.6.3 Rijeeni zadaci



Razred:IV

29


Niz realnih brojeva-beskonaan.

oznaka za sam niz

oznaka za opi ili n-ti lan niza

Monotoni nizovi su jedini nizovi koji su:

rastui

ili

padajui

Niz je monotono rastui ili uzlazan ako za svaki n vrijedi:

Niz je monotono padajui ili silazan:

Kako dokazati da je zadani niz monoton?

1. Ispitati da li je niz rastui ili padajui

Slijedei lan niza je vei ili manji od prethodnog.



Razred:IV

30

Primjer 1: Ispitajte nizove:

a)

1, 2, 3, , n,

Niz je monotono rastui .

Provjera:

1, 2, 3, , n,




Razred:IV

31

b)


Provjera:




Razred:IV

32

c)

Niz je monotono padajui ili silazan

Provjera:



Razred:IV

33

Niz je monotono padajui ili silazan.

d)


Provjera:




Razred:IV

34

e)

Niz je monotono padajui ili silazan.

Provjera:

Niz je monotono padajui .



Razred:IV

35

f)

Niz je monotono padajui jer je .

Niz je monotono padajui jer je .



Razred:IV

36

g)

Svi lanovi niza monotono ne padaju niti monotono ne rastu prva

dva lana rastu, a druga dva padaju (ponavlja se).

Zakljuujemo da niz nije monoton.

Provjera:



Razred:IV

37

Niz nije monoton .

h)

Zakljuak: Niz nije monoton.

Zato?



Razred:IV

38

Niz nije monoton.

i)

Zakljuak: Niz nije monoton.

Zato?



Razred:IV

39

Niz nije monotono.



Razred:IV

40

Primjer 2: Dokaite da je niz (an), padajui.

Niz je monotono padajui ili silazan:



Razred:IV

41

Niz (an), je padajui kada je n 1.



Razred:IV

42

Zadci 2.5 :

2. Je li niz monoton?

Monoton niz jedini je od nizova rastui ili padajui.

1. Da li od prve moemo uoiti da li je niz rastui ili

padajui?

Da, ali moramo prvo srediti zadani n-ti lan niza.

U n-tom lanu niza uoavamo minus i n u nazivniku pa je

, a niz je monotono rastui.

2. Koji je najmanji lan niza?

za n = 1 vrijedi:



Razred:IV

43

5. Koji su od sljedeih nizova monotoni:

1)

Rjeenje:

1. Da li od prve moemo uoiti da li je niz rastui ili

padajui?

Da, niz je monoton odnosno monotono rastui .

Provjera za n = 1:

Za n=2:



Razred:IV

44

0 < .

1)

Rjeenje:

Da, niz je monoton odnosno monotono rastui .

Provjera za n = 1:

Za n=2

1.5 < 2.25



Razred:IV

45

5)

Rjeenje:

Da, niz je monoton odnosno monotono padajui .

Provjera za n = 1:

Za n=2:



Razred:IV

46

1 > 0.5

6)

Rjeenje:

Niz nije monoton jer je u brojniku potencija od negativnog broja.

Napravite provjeru:



Razred:IV

47

1. Od kojeg je lan niza , ispunjena

nejednakost ?

Rjeenje:

Rijeite samostalno!

Kako ste zakljuili da je nejednakost ispunjena od lana ?

Provjera:

Za :

Za

Za

Za

Za

Za



Razred:IV

48

Za



Razred:IV

49

2.5.2 Omeeni nizovi

Kod omeenih nizova postoji donja i gornja mea granica odnosno realan broj m i M tako da za svaki lan niza n vrijedi:

donja mea ili dolje ograen

donja mea ili dolje ograen

Primjer 1: Dokai da je niz

omeen i odredite donju i gornju meu.

Rjeenje:

U brojniku n-u pribrajamo jedinicu (n+1),a nakon provedenog

mnoenja broja 2 s svakim lanom u zagradi dobivamo:

S kojim brojem moramo izraz 2n + 2 u brojniku na desnoj strani

zbrojiti ili oduzeti kako bi odgovarao brojniku na lijevoj strani?



Razred:IV

50

Za svaki prirodni n vrijedi:

1. Odreivanje gornje mee M=?:

M = 2 gornja mea zadanog niza

2. Odreivanje donje mee m=?:

Za vrijedi:



Razred:IV

51

donja mea zadanog niza

Zadaci 2.5.

25. Koji su od sljedeih nizova omeeni? Za svaki omeeni

niz navedi interval unutar kojeg se nalaze svi lanovi niza

1)

Opi lan niza:

Za svaki prirodni n vrijedi:

1. Odreivanje gornje mee M=?:

M = 1 gornja mea zadanog niza

1. Odreivanje donje mee m=?:

Za vrijedi:



Razred:IV

52

donja mea zadanog niza

Interval unutar kojeg se nalaze svi lanovi niza je:

[0, 1

3)

Rjeenje: Nije omeen.

4)

Rjeenje: Da omeen je i svi se lanovi niza nalaze unutar

intervala:



Razred:IV

53

6)

Rjeenje: Nije monoton ali je odreen.



Razred:IV

54


Monotoni nizovi2 ponaaju se na dva nain:

1. Kada niz NIJE OMEEN tada neogranieno raste ili pada vrijedi:

2. Kada je niz OMEEN postoji gornja M i donja mea m koje ne

moe prei nijedan lan niza. Svi lanovi niza tee nekom broju.

Kada je niz rastui tei najmanjoj gornjoj mei L odnosno

supremum niza (broju), a kada je niz padajui tei najmanjoj

donjoj mei odnosno infimumu niza.

Limes rastueg monotonog niza jednak je supremumu skupa

Limes padajueg monotonog niza jednak je infimumu skupa

Za bilo koji L je najmanja gornja mea.

Broj L nije gornja mea skupa S.

Postoji lan niza a koje vrijedi:

2 Jedini nizovi koji su rastui i padajui.



Razred:IV

55

an - L = L - an < L - an0 <

anan0

-okolina

najmanjagornjamea-limes

L M

Gornjemee

slika 1

Iz dviju injenica da je niz rastui za svaki i

omeen, a gornja granica je L pa je za svaki n i izvodimo

zakljuak da se za svaki lanovi niza nalaze se unutar

(uklopnjeni) su izmeu i L za koje vrijedi:

Poto svaki lan OMEENOG MONOTONOG niza tei nekom

odreenom broju3 niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (an) (vidimo

iz slike 1).

3 Za niz brojeva a1, a2, a3, , an, kaemo da konvergira ili tei prema realnom broju a ako i

samo ako za svaki lan (ma kako malen) pozitivni broj ( > 0) postoji prirodan broj n0 = N = N (

tako da za svaki n > n0 ili n > N vrijedi:



Razred:IV

56

Zadci 2.5 :

9. Nai najmanji i najvei lan niza .

Za n = 1 vrijedi:

1. Do kada niz pada i zato?

Niz pada sve dok je u opem lanu

3n - 19 = 0

3n = 19

2. Koji je to lan niza i koliko iznosi?

esti lan niza .



Razred:IV

57

1. to se zbiva s nizom kada je

2. Koliko iznosi prvi vei lan koji zadovoljava gornji uvjet

n > 6 i ispitajte da li niz dalje pada?

3. Koliko iznose slijedei lanovi niza kada je n > 6 i prema

emu tei zadani niz?

Poto je nazivnik pozitivan niz dalje pada i tei prema 1.

Najmanji lan niza je:



Razred:IV

58

Najvei lan niza je:

15. Niz je monoton i omeen. Dokai to!

Odredi prirodni broj takav da je za sve

, ako 1) 2) 3)

Rjeenje: 1) 2) 3)

17. Dokai da je niz omeen ako je:

Rjeenje:

Niz je monotono padajui.

Rjeenje:

Uputa: Prvo treba provesti racionalizaciju.

Rjeenja:



Razred:IV

59



Razred:IV

60


Niz ima iroku primjenu u razliitim primjenama.

Niz je rastui4, omeen5. i konvergira6.

Limes niza definira bazu prirodnog logaritma broja e.

e- iracionalni broj ija je vrijednost

Za svaki realni broj a vrijedi:

4 monotono rastui .

5 Kada je niz OMEEN postoji gornja M i donja mea m koje ne moe prei nijedan lan

niza. Svi lanovi niza tee nekom broju. Kada je niz rastui tei najmanjoj gornjoj mei L

odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajui tei najmanjoj donjoj mei odnosno

infimumu niza.

6 Poto svaki lan OMEENOG MONOTONOG niza tei nekom odreenom broju niz je

KONVERGENTAN, a L je limes niza (an)



Razred:IV

61



Red nastaje zbrajanjem lanova niza odnosno red je niz

parcijalnih suma - zbrajanje se nastavlja u beskonanosti.

Oznaava se:

Kako nastaje red (postupak)?

Zbrajanjem lanova niza dobivamo niz parcijalnih suma

Postupak zbrajanja nastavlja se u beskonanosti:

n-ta parcijalna suma:

Red je KONVERGENTAN kada je niz parcijalnih suma konvergentan.

Limes niza parcijalnih suma je SUMA KONVERGENTNOG REDA.



Razred:IV

62


Geometrijski red ima oblik:

zadani realni brojevi razliiti su od nule.

Kolinik ili kvocijent geometrijskog niza

Opi lan geometrijskog niza

n-ta parcijalna SUMA GEOMETRIJSKOG NIZA:

Limes geometrijskog niza

ne postoji limes niza jer geometrijski niz

ne konvergira-nego je divergentan nije omeen.

Limes niza:



Razred:IV

63

2. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konaan- red

divergira, zapisujemo ga u obliku:

Limes niza ne postoji.

3. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konaan-red

divergira, a red zapisujemo u obliku:

Limes niza ne postoji.

Niz parcijalnih suma konstantnog geometrijskog niza:

4.

Postoji limes niza koji je jednak nuli.

Limes niza:



Razred:IV

64

Zadaci 2.6.:

1. Odredi zbroj lanova beskonanog niza:

1)

Kolinik ili kvocijent geometrijskog niza:

ili

Suma geometrijskog niza:



Razred:IV

65

5)




Razred:IV

66

Suma geometrijskog niza:



Razred:IV

67

4. Zapii u obliku razlomka:

1)

Beskonani decimalni prikaz racionalnog broja pomou geometrijskog

reda pretvaramo u standardni prikaz u obliku razlomka.

Dobili smo geometrijski red :

prvi lan je

kvocijent je .

Suma konvergentnog geometrijskog reda:



Razred:IV

68

Dobili smo geometrijski red

prvi lan je

kvocijent je

Suma geometrijskog reda:

3)

Rjeenje: 2



Razred:IV

69

21. Nad polovinom dijagonale kvadrata kao stranicom

konstruiran je kvadrat, nad polovinom dijagonale ovoga

ponovno se konstruira kvadrat itd. Koliki je zbroj povrina svih

tako konstruiranih kvadrata ako je stranica prvog kvadrata

duljine a?


Suma geometrijskog reda:

Dalje samostalno rijeite!

Rjeenje:

Documents

4 Limes Niza Limes Monotonih Geometrijski Red Limes Funkcija