4 Limes Niza Limes Monotonih Geometrijski Red Limes Funkcija

Nastavna cjelina: 2. Nizovi Nastavne jedinice:

- LIMES NIZA. TEOREMI O LIMESIMA -LIMES MONOTONIH NIZOVA I GEOMETRIJSKI RED

Razred:IV

1

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA

IZ

LIMES NIZOVA

LIMES MONOTONIH NIZOVA

GEOMETRIJSKOG REDA

LIMES FUNKCIJA



Razred:IV

2

2.4. LIMES NIZA I TEOREMI O LIMESIMA

2.4.1. Definicija limesa i konvergentnog niza

2.4.1.1 Riješeni zadaci

2.4.2 Teoremi o limesima-operacije sa limesima

2.4.3 Neki značajni limesi


2.4.4 Limes geometrijskog niza

2.4.4.1 Zadaci

2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA

2.5.1 Monotoni nizovi


2.5.2 Omeđeni nizovi


2.5.3 Limes monotonih nizova


2.5.4 Baza prirodnog logaritma – broj e

2.6. GEOMETRIJSKI RED

2.6.1 Definicija reda

2.6.2 Geometrijski red



Razred:IV

3

2.4.1. DEFINICIJA LIMESA I KONVERGENTNOG NIZA

Limes je temelj matematičke analize.

Za niz brojeva a1, a2, a3, …, an, … kažemo da konvergira ili teži

prema realnom broju a ako i samo ako za svaki član (ma kako

malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n0 = N = N (

tako da za svaki

n > n0 ili n > N vrijedi:

Broj a zove se tada limes ili granica (broja) niza (an)-

DEFINICIJA LIMESA NIZA:

Broj a nazivamo limes niza a1, a2,…,an, …:i pišemo

ako je svaki postoji također broj N = N ( da je

N ovisi o unaprijed po volji zadanom malom pozitivnom broju

Ako niz konvergira prema nekom određenom broju a, kažemo

da je KONVERGENTAN1, a u svakom drugom slučaju je

DIVERGENTAN.

1 Latinski: konvergen-lat. težiti prema nečemu



Razred:IV

4


Primjer 1:

Niz:

Kako dobiti treći član n=3?

n=3

Kako dobiti ?

Oduzeti drugi član od prvog ili treći član od drugog.

Niz konvergira prema broju 2 jer je limes toga niza

broj 2.

εn1

n1

2n1

22n1

2

Sl.

Ako je pozitivan broj (n = 10) tada za

možemo uzeti broj 1 jer je

,

za svaki

Ako je pozitivan broj (n= 100) tada za

možemo uzeti broj 101 jer je

,



Razred:IV

5

za svaki

OPĆENITO:

Ako je ma kako malen zadan pozitivan broj.

Nejednakost

vrijedi za svaki ,

gdje je bilo koji prirodan broj veći od ( ).

Što je manji, to je veći !

Primjer 2: Pokažimo da je:

Prema definiciji:

Uvrštavanjem vrijednosti za an i a dobivamo:



Razred:IV

6

Ocijenivši tu diferenciju prema apsolutnoj vrijednosti dobivamo:

(2)

Prema tome, za svaki pozitivni broj postoji takav broj

da za n>N vrijedi nejednadžba (2). Iz toga slijedi da je broj 2 limes niza

, a zadana formula (1) je ispravna.



Razred:IV

7

2.4.2 TEOREMI O LIMESIMA-OPERACIJE SA LIMESIMA

Neka su zadana dva konvergentna niza an i bn s limesima a i b tada

vrijedi:

A) TEOREM O LIMESU ZBROJA (RAZLIKE)

ZBROJ (RAZLIKA) LIMESA I KONSTANTE

(KONSTANTNI NIZ svi članovi niza jednaki istom realnom

broju c)

B) TEOREM O LIMESU UMNOŠKA



Razred:IV

8

UMNOŽAK KONSTANTE I LIMESA

(KONSTANTNI NIZ-svi članovi niza jednaki istom realnom

broju c)

EOREM O LIMESU KVOCIJENTA

C) TEOREM O LIMESU POTENCIJE

Ako je

onda je:

LIMES m-tog KORIJENA



Razred:IV

9

D) TEOREM MONOTONOST LIMESA

Ako je ili za svaki n, onda je:

2.4.3. NEKI ZNAČAJNI LIMESI

1) Nul niza je onda i samo onda kada niz apsolutnih

vrijednosti teži nuli. Apsolutna vrijednost člana niza je

udaljenost koja po volji može biti malena

Primjeri nul-nizova: , ,

Ako je

onda vrijedi



Razred:IV

10

Općenito:

2)

3)

4) Broj e-baza sistema prirodnog logaritma



Razred:IV

11

Broj C-Eulerova konstanta (niz minus funkcija)


Vježbe:

1) Zadan je složeni niz limes nije jednostavno

izračunati po definiciji nego koristimo teoreme o limesima i nul

niza. Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima (pod A,B i D).



Razred:IV

12



Razred:IV

13

3) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza.

Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima

(pod A,C).

za brojnik:

za nazivnik:



Razred:IV

14

4) Složeni niz koristimo teoreme o limesima i formulu za nul niza.

Koristimo dvije formulu iz teorema o limesima

(pod A,C).

I način:



Razred:IV

15

II način:



Razred:IV

16

5)



Razred:IV

17

6)

7)



Razred:IV

18



Razred:IV

19

8)



Razred:IV

20

Zadaci:

1. Odredi limes niza čiji je opći član:

1)

2)

3)

4)

5)

6)



Razred:IV

21

7)

8)

9)

10)

2. Odredi:

a)

b) Ako a = b, onda je limes jednak a.



Razred:IV

22

c) Ako je a > b, onda je , u tom slučaju brojnik i

nazivnik podijeliti sa . Limes je a.

d) Ako je a < b, brojnik i nazivnik podijeliti sa .

Limes je b.



Razred:IV

23

b)

c)

d)

e)



Razred:IV

24

f)



Razred:IV

25

3. Odredite limese nizova:

1.

a)

R: 0

b)

R: 1

c)

Uputa:

R: 2

d)

R:



Razred:IV

26

2.

R: 1

3.

R: 1

4.

R:

5.

R: 8



Razred:IV

27

2.4.4 LIMES GEOMETRIJSKOG NIZA

e) za q > 1

f) za q = 1

g) za -1 < q < 1

h) za q



Razred:IV

28

2.5. LIMES MONOTONIH NIZOVA











2.6.3 Riješeni zadaci



Razred:IV

29


Niz realnih brojeva-beskonačan.

… oznaka za sam niz

… oznaka za opći ili n-ti član niza

Monotoni nizovi su jedini nizovi koji su:

rastući

ili

padajući

Niz je monotono rastući ili uzlazan ako za svaki n vrijedi:

Niz je monotono padajući ili silazan:

Kako dokazati da je zadani niz monoton?

1. Ispitati da li je niz rastući ili padajući

Slijedeći član niza je veći ili manji od prethodnog.



Razred:IV

30

Primjer 1: Ispitajte nizove:

a)

1, 2, 3, …, n, …

Niz je monotono rastući .

Provjera:

1, 2, 3, …, n, …




Razred:IV

31

b)


Provjera:




Razred:IV

32

c)

Niz je monotono padajući ili silazan

Provjera:



Razred:IV

33

Niz je monotono padajući ili silazan.

d)


Provjera:




Razred:IV

34

e)

Niz je monotono padajući ili silazan.

Provjera:

Niz je monotono padajući .



Razred:IV

35

f)

Niz je monotono padajući jer je .

Niz je monotono padajući jer je .



Razred:IV

36

g)

Svi članovi niza monotono ne padaju niti monotono ne rastu prva

dva člana rastu, a druga dva padaju (ponavlja se).

Zaključujemo da niz nije monoton.

Provjera:



Razred:IV

37

Niz nije monoton .

h)

Zaključak: Niz nije monoton.

Zašto?



Razred:IV

38

Niz nije monoton.

i)

Zaključak: Niz nije monoton.

Zašto?



Razred:IV

39

Niz nije monotono.



Razred:IV

40

Primjer 2: Dokažite da je niz (an), padajući.

Niz je monotono padajući ili silazan:



Razred:IV

41

Niz (an), je padajući kada je n ≥ 1.



Razred:IV

42

Zadci 2.5 :

2. Je li niz monoton?

Monoton niz jedini je od nizova rastući ili padajući.

1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili

padajući?

Da, ali moramo prvo srediti zadani n-ti član niza.

U n-tom članu niza uočavamo minus i n u nazivniku pa je

, a niz je monotono rastući.

2. Koji je najmanji član niza?

za n = 1 vrijedi:



Razred:IV

43

5. Koji su od sljedećih nizova monotoni:

1)

Rješenje:

1. Da li od prve možemo uočiti da li je niz rastući ili

padajući?

Da, niz je monoton odnosno monotono rastući .

Provjera za n = 1:

Za n=2:



Razred:IV

44

0 < .

1)

Rješenje:

Da, niz je monoton odnosno monotono rastući .

Provjera za n = 1:

Za n=2

1.5 < 2.25



Razred:IV

45

5)

Rješenje:

Da, niz je monoton odnosno monotono padajući .

Provjera za n = 1:

Za n=2:



Razred:IV

46

1 > 0.5

6)

Rješenje:

Niz nije monoton jer je u brojniku potencija od negativnog broja.

Napravite provjeru:



Razred:IV

47

1. Od kojeg je član niza , ispunjena

nejednakost ?

Rješenje:

Riješite samostalno!

Kako ste zaključili da je nejednakost ispunjena od člana ?

Provjera:

Za :

Za

Za

Za

Za

Za



Razred:IV

48

Za



Razred:IV

49


Kod omeđenih nizova postoji donja i gornja međa granica odnosno

realan broj m i M tako da za svaki član niza n vrijedi:

donja međa ili dolje ograđen

donja međa ili dolje ograđen

Primjer 1: Dokaži da je niz

omeđen i odredite donju i gornju među.

Rješenje:

U brojniku n-u pribrajamo jedinicu (n+1),a nakon provedenog

množenja broja 2 s svakim članom u zagradi dobivamo:

S kojim brojem moramo izraz 2n + 2 u brojniku na desnoj strani

zbrojiti ili oduzeti kako bi odgovarao brojniku na lijevoj strani?



Razred:IV

50

Za svaki prirodni n vrijedi:

1. Određivanje gornje međe M=?:

M = 2 gornja međa zadanog niza

2. Određivanje donje međe m=?:

Za vrijedi:



Razred:IV

51

donja međa zadanog niza

Zadaci 2.5.

25. Koji su od sljedećih nizova omeđeni? Za svaki omeđeni

niz navedi interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza

1)

Opći član niza:

Za svaki prirodni n vrijedi:

1. Određivanje gornje međe M=?:

M = 1 gornja međa zadanog niza

1. Određivanje donje međe m=?:

Za vrijedi:



Razred:IV

52

donja međa zadanog niza

Interval unutar kojeg se nalaze svi članovi niza je:

[0, 1›

3)

Rješenje: Nije omeđen.

4)

Rješenje: Da omeđen je i svi se članovi niza nalaze unutar

intervala:



Razred:IV

53

6)

Rješenje: Nije monoton ali je određen.



Razred:IV

54


Monotoni nizovi2 ponašaju se na dva način:

1. Kada niz NIJE OMEĐEN tada neograničeno raste ili pada vrijedi:

2. Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne

može preči nijedan član niza. Svi članovi niza teže nekom broju.

Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L odnosno

supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj

donjoj međi odnosno infimumu niza.

Limes rastućeg monotonog niza jednak je supremumu skupa

Limes padajućeg monotonog niza jednak je infimumu skupa

Za bilo koji L je najmanja gornja međa.

Broj L – nije gornja međa skupa S.

Postoji član niza a koje vrijedi:

2 Jedini nizovi koji su rastući i padajući.



Razred:IV

55

an - L = L - an < L - an0 <

anan0

-okolina

najmanjagornjameđa-limes

L M

Gornjemeđe

slika 1

Iz dviju činjenica da je niz rastući za svaki i

omeđen, a gornja granica je L pa je za svaki n i izvodimo

zaključak da se za svaki članovi niza nalaze se unutar

(uklopnjeni) su između i L za koje vrijedi:

Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom

određenom broju3 niz je KONVERGENTAN, a L je limes niza (an) (vidimo

iz slike 1).

3 Za niz brojeva a1, a2, a3, …, an, … kažemo da konvergira ili teži prema realnom broju a ako i

samo ako za svaki član (ma kako malen) pozitivni broj ɛ (ɛ > 0) postoji prirodan broj n0 = N = N (

tako da za svaki n > n0 ili n > N vrijedi:



Razred:IV

56

Zadci 2.5 :

9. Nađi najmanji i najveći član niza .

Za n = 1 vrijedi:

1. Do kada niz pada i zašto?

Niz pada sve dok je u općem članu

3n - 19 = 0

3n = 19 →

2. Koji je to član niza i koliko iznosi?

Šesti član niza .



Razred:IV

57

1. Što se zbiva s nizom kada je

2. Koliko iznosi prvi veći član koji zadovoljava gornji uvjet

n > 6 i ispitajte da li niz dalje pada?

3. Koliko iznose slijedeći članovi niza kada je n > 6 i prema

čemu teži zadani niz?

Pošto je nazivnik pozitivan niz dalje pada i teži prema 1.

Najmanji član niza je:



Razred:IV

58

Najveći član niza je:

15. Niz je monoton i omeđen. Dokaži to!

Odredi prirodni broj takav da je za sve

, ako 1) 2) 3)

Rješenje: 1) 2) 3)

17. Dokaži da je niz omeđen ako je:

Rješenje:

Niz je monotono padajući.

Rješenje:

Uputa: Prvo treba provesti racionalizaciju.

Rješenja:



Razred:IV

59



Razred:IV

60


Niz ima široku primjenu u različitim primjenama.

Niz je rastući4, omeđen

5. i konvergira

6.

Limes niza definira bazu prirodnog logaritma broja e.

e- iracionalni broj čija je vrijednost

Za svaki realni broj a vrijedi:

4 monotono rastući .

5 Kada je niz OMEĐEN postoji gornja M i donja međa m koje ne može preči nijedan član

niza. Svi članovi niza teže nekom broju. Kada je niz rastući teži najmanjoj gornjoj međi L

odnosno supremum niza (broju), a kada je niz padajući teži najmanjoj donjoj međi odnosno

infimumu niza.

6 Pošto svaki član OMEĐENOG MONOTONOG niza teži nekom određenom broju niz je

KONVERGENTAN, a L je limes niza (an)



Razred:IV

61



Red nastaje zbrajanjem članova niza odnosno red je niz

parcijalnih suma - zbrajanje se nastavlja u beskonačnosti.

Označava se:

Kako nastaje red (postupak)?

Zbrajanjem članova niza dobivamo niz parcijalnih suma

Postupak zbrajanja nastavlja se u beskonačnosti:

n-ta parcijalna suma:

Red je KONVERGENTAN kada je niz parcijalnih suma konvergentan.

Limes niza parcijalnih suma je SUMA KONVERGENTNOG REDA.



Razred:IV

62


Geometrijski red ima oblik:

… zadani realni brojevi različiti su od nule.

Količnik ili kvocijent geometrijskog niza

Opći član geometrijskog niza

n-ta parcijalna SUMA GEOMETRIJSKOG NIZA:

Limes geometrijskog niza

ne postoji limes niza jer geometrijski niz

ne konvergira-nego je divergentan nije omeđen.

Limes niza:



Razred:IV

63

2. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan- red

divergira, zapisujemo ga u obliku:

Limes niza ne postoji.

3. geometrijski niz je konstantan, jer zbroj nije konačan-red

divergira, a red zapisujemo u obliku:

Limes niza ne postoji.

Niz parcijalnih suma konstantnog geometrijskog niza:

4.

Postoji limes niza koji je jednak nuli.

Limes niza:



Razred:IV

64

Zadaci 2.6.:

1. Odredi zbroj članova beskonačnog niza:

1)

Količnik ili kvocijent geometrijskog niza:

ili

Suma geometrijskog niza:



Razred:IV

65

5)




Razred:IV

66

Suma geometrijskog niza:



Razred:IV

67

4. Zapiši u obliku razlomka:

1)

Beskonačni decimalni prikaz racionalnog broja pomoću geometrijskog

reda pretvaramo u standardni prikaz u obliku razlomka.

Dobili smo geometrijski red :

prvi član je

kvocijent je .

Suma konvergentnog geometrijskog reda:



Razred:IV

68

Dobili smo geometrijski red

prvi član je

kvocijent je

Suma geometrijskog reda:

3)

Rješenje: 2



Razred:IV

69

21. Nad polovinom dijagonale kvadrata kao stranicom

konstruiran je kvadrat, nad polovinom dijagonale ovoga

ponovno se konstruira kvadrat itd. Koliki je zbroj površina svih

tako konstruiranih kvadrata ako je stranica prvog kvadrata

duljine a?


Suma geometrijskog reda:

Dalje samostalno riješite!

Rješenje:

Documents

4 Limes Niza Limes Monotonih Geometrijski Red Limes Funkcija