1OR - LP – STIKI

TEKNIK PEMECAHAN MODEL PROGRAMA LINIERPada dasarnya untuk mencari solusi dari beberapa alternatif solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas shg diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.

Ada dua cara :

- Cara grafis

- Metode simpleks

2 variabel, titik ekstrem

Banyak variabel, aljabar matrik

2OR - LP – STIKI

Solusi GrafisKita lihat dua contoh : -persoalan maksimasi -persoalan minimasi

- Persoalan Maksimasi :

Perhatikan kembali persoalan PT Indah Gelas

3OR - LP – STIKI

Contoh ilustrasi 2 :PT. Indah Gelas adalah suatu perusahaan yang memproduksi kaca berkualitas tinggi untuk digunakan sebagai jendela dan pintu. Perusahaan ini mempunyai tiga buah pabrik, yaitu :

Pabrik 1 ; membuat bingkai aluminiumPabrik 2 ; membuat bingkai kayuPabrik 3 ; memproduksi kaca dan merakit produk

Perusahaan mendapat pesanan 2 macam produk baru yang potensial, yaitu :-pintu kaca setinggi 8 kaki dg bingkai aluminium (produk 1)-jendela kaca 4 x 6 kaki dg bingkai kayu (produk 2)

Kepala bagian pemasaran telah menyimpulkan bahwa perusahaan harus dapat menjual kedua produk tsb sebanyak-banyaknya, yaitu sejumlah yang dibuat sesuai dengan kapasitas yg ada.Berapa banyak masing-masing produk harus dibuat sehingga diperoleh keuntungan terbaik?

4OR - LP – STIKI

Untuk menyelesaika persoalan diatas, terlebih dahulu dicari data mengenai :1. Persentase kapasitas produksi masing-masing pabrik yg

dapat digunakan untuk kedua macam produk tsb.2. Prosentase kapasitas yang diperlukan oleh masing-masing

produk untuk setiap unit yang diproduksi per menit.3. Keuntungan per unit untuk masing-masing produk.

Karena kapasitas yg telah digunakan oleh suatu produk di pabrik 3 menyebabkan produk lain tidak dpt menggunakannya, persoalan ini dikenal sebagai persoalan programa linier dengan tipe campuran produk atau product mix

Pabrik

Kapasitas yg digunakan per unit ukuran produksi Kapasitas yang dapat

digunakanproduk 1 produk 2

1 1 0 42 0 2 123 3 2 18

Keuntungan per unit $3 $5

5OR - LP – STIKI

Sebagai kesimpulan persoalan diatas dinyatakan secara matematis :

Z = 3 x1 + 5 x2

3x1 + 2x2 ≤ 18

2x2 ≤ 12

x1 ≤ 4

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

dan

Maksimumkan :

Berdasarkan :

x1

x2

x1 = 4

x2 = 6

3x1 + 2x2 = 18x1 = 0

x2 = 0A

B C

D

E

Daerah ABCDE adalah daerah fisibel

6OR - LP – STIKI

Z = 3 x1 + 5 x2

x1

x2

x1 = 4

x2 = 6

3x1 + 2x2 = 18x1 = 0

x2 = 0A

B C

D

E

Koefisien arah :

tg a = -x2/x1 = -3/5

Titik C adalah titik optimum

3x1 + 2x2 = 18

3x1 + 2.6 = 18

x1 = 2

C(2,6)

Z = 3 x1 + 5 x2

Z = 3. 2 + 5. 6Z = 36

7OR - LP – STIKI

A(0,0)

B(0,6)

C(2,6)

D(4,3)

E(4,0)

Z = 3 x1 + 5 x2

Z = 3. 0 + 5. 0Z = 0

Z = 3 x1 + 5 x2

Z = 3. 0 + 5. 6Z = 30

Z = 3 x1 + 5 x2

Z = 3. 2 + 5. 6Z = 36

Z = 3 x1 + 5 x2

Z = 3. 4 + 5. 3Z = 27

Z = 3 x1 + 5 x2

Z = 3. 4 + 5. 0Z = 12

x1

x2

x1 = 4

x2 = 6

3x1 + 2x2 = 18

x1 = 0

A

B C

D

E

Coba cek Z titiik di daerah fisibel

8OR - LP – STIKI

Contoh ilustrasi :

PT.Sayang Anak memproduksi dua jenis mainan yang terbuat dari kayu, berupa boneka dan kereta api. Pengerjaan Boneka dan Kereta Api memerlukandua kelompok tenaga kerja (tukang kayu dan tukang poles), ada 100 jam poles/minggu dan 80 jam pek kayu/minggu.

Boneka -dijual dengan harga Rp.27000/lusin-Biaya material Rp 10000/lusin, biaya tenaga kerja Rp.14000/lusin-2 jam poles dan 1 jam pek kayu/lusin-kebutuhan tidak lebih 40 lusin/minggu

Kereta Api -dijual dengan harga Rp.21000/lusin-Biaya material Rp 9000/lusin, biaya tenaga kerja Rp.10000/lusin-1 jam poles dan 1 jam pek kayu/lusin-kebutuhan kereta api tak terbatas

Berapa lusin jenis mainan masing-masing dibuat untuk mendapatka keuntungan yang maksimum ?

9OR - LP – STIKI

Dengan demikian, formulasi lengkap dari persoalan PT Sayang Anak adalah :

2 x1 + x2 ≤ 100

x1 + x2 ≤ 80

X1 ≤ 40

Maksimumkan : Z = 3 x1 + 2 x2

Berdasarkan :

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

10OR - LP – STIKI

Solusi GrafisKita lihat dua contoh : -persoalan maksimasi -persoalan minimasi

- Persoalan Minimasi :

Perhatikan persoalan PT Auto Indah, sbb :

11OR - LP – STIKI

Persoalan minimasi :PT Auto Indah memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untuk dapat meraih konsumen berpenghasilan tinggi, perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua acara TV, yaitu pada acara hiburan dan acara olah raga.

Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria, sedangkan pada acara olah raga disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria.

Biaya promorsi pada acara hiburan adalah 5 juta rupiah/menit, sedangkan pada acara olah raga adalah 10 juta/menit.

Jika perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya oleh 28 juta pemirsa wanita dan sedikitnya 24 juta pemirsa pria, bagaimana strategi promosi itu sebaiknya?

12OR - LP – STIKI

Formulasi lengkap dari persoalan PT Auto Indah :

7 x1 + 2 x2 ≥ 28

2 x1 + 12 x2 ≥ 24

Minimumkan : Z = 5 x1 + 10 x2

Berdasarkan :

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Variabel keputusan :x1 = lamanya promosi dalam acara hiburan.x2 = lamanya promosi pada acara olah raga.

13OR - LP – STIKI

Sebagai kesimpulan persoalan diatas dinyatakan secara matematis :

Z = 5 x1 + 10 x2

7x1 + 2x2 ≥ 28

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

dan

Minimumkan :

Berdasarkan :

x1

x2

7x1+2x2 = 28

2x1 + 12x2 = 24x1 = 0

x2 = 0

A

B

C

D E

2x1 + 12x2 ≥ 24

daerah fisibel tidak terbatas(unbounded)

daerah fisibel

Z=5x1 + 10x2

Titik optimum adalah titik E

x1 = 3,6 dan x2 = 1,4

z = 5. 3,6 + 10. 1,4 = 32

14OR - LP – STIKI

Formulasi matematis suatu programa linier adalah sebagai berikut :

7 x1 + 3 x2 ≥ 210

6 x1 + 12 x2 ≥ 180

Minimumkan : Z = 6 x1 + 7,5 x2

Berdasarkan :

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Latihan :

Cari harga x1 dan x2