1

METODE I TEOREME PENTRU DEZVOLTAREA CIRCUITELOR DE CURENT ALTERNATIV

A. METODA SUPRAPUNERII EFECTELOR A.1. TEOREMA SUPERPOZIIEI

Curentul electric din orice latura a unei reele de curent alternativ, n care exist mai multe generatoare, este suma algebric a curenilor produi de fiecare tensiune electromotoare n parte, dac ar aciona singur n reea. n adevr, dac se rezolv ecuaia lui Kirchhoff prin regula lui Cramer, curentul din latura s va rezulta sub forma:

msm

L

m

s EYI =

=

1

=smY admitana de transfer ntre laturile s i m care ndeplinesc relaia de reciprocitate

mssm YY = .

Relaia se poate exprima sms II = . Unde smI este curentul produs de sursa de

tensiune electromotoare fiind nule.

B. METODE DE TRANSFIGURARE Transfigurarea: nlocuirea unei poriuni de reea printr-o alta, cu structur n general mai

simpl astfel nct schimbarea s nu aduc modificri n repartiia curenilor n restul reelei.

Teorema generatorului de tensiune echivalent (Thevnin-Helmholtz) O reea liniar i activ cu dou borne, A i B fr cuplaje inductive cu exteriorul este echivalent cu un generator ideal de tensiune, avnd tensiunea electromotoare. gE egal cu

tensiunea la bornele reelei la mersul n gol, (0AB

U ), conectat n serie cu o impedan gZ , egal

cu impedana echivalent a reelei pasivizate (0ABZ ).

0ABgUE =

0ABg ZZ =

Curentul ABI debitat n exterior de reea pe o sarcin de impedan Z are deci expresia:

2

g

g

AB ZZE

I+

=

sau

0

0

AB

ABAB ZZ

UI

+=

n relaiile de mai sus, 0AB

U este tensiunea la bornele reelei cnd 0=ABI (mers n gol).

0ABZ impedana echivalent a dipolului constituit de reea dup pasivizare.

Cele dou valori ale curenilor sunt egale numai dac se stabilesc egalitile 0ABg

UE = i

0ABg ZZ = . Teorema se poate demonstra prin teorema superpoziiei. Considerm cele dou

scheme, care prin suprapunere, dau schema prezentat anterior.

Cu aceasta, 0AB

ABABABAB ZZEIIII

+

+=+= . Ultimul termen s-a calculat prin

nlocuirea reelei pasivizate cu impedana ei complex echivalent 2ABO. Se poate alege o

0ABU

0mE

0=ABI A

B 0AB

UE =

0=mE

A

B

ABI

Z

0ABUE =

ABI

Z Z ABU

0mE

ABI 0ABg ZZ =

0ABqUE =

3

valoare a lui E care s anuleze curentul ABI . Teorema lui Joubert aplicat laturii exterioare se

scrie n acest caz:

( ) 0)(1 ==+ ABAB IEUZ Rezult c trebuie s se aleag ( )

00 ABIABUUE

AB==

=

.

Teorema generatorului echivalent de curent O reea liniar i activ, cu dou borne AB de ieire fr cuplaje inductive cu exteriorul este echivalent cu un generator ideal de curent, avnd curentul injectat gI egal cu curentul debitat n reea la mersul n scurcircuit, ( ABscI ) conectat n paralel cu o admitan gY egal cu admitana

interioar a reelei pasivizat (0AB

Y ).

ABOgABSg YIII ==

Tensiunea ABU produs de reea la bornele AB ale impedanei de sarcin YZ 1= are deci

expresia:

q

qAB YY

IU

+=

Dac n relaia anterioar nlocuim sABg II = i 0ABg YY =

se obine:

0AB

ABAB YY

IU s

+=

0mE ABU

ABI

Z

A

B

A

B

Y 0ABgYY =

gAB II s =

4

=sAB

I curentul debitat de reea la legarea bornelor A,B n scurcircuit ( 00 == ZU AB ), calculabil cu ajutorul teoremei lui Thevnin.

00

0

00 ABAB

AB

ABZABAB YUZ

UIII

s===

=

0

0

1AB

AB ZY = este admitana dipolului constituit de reea (fr latura exterioar AB) dup

pasivizare.

La aplicarea teoremei se calculeaz separat curentul de scurtcircuit sABI i admitana

exterioar 0ABY i deducem elementele schemei echivalente sau tensiunea ABU .

TRANSFIGURAREA STEA-TRIUNGHI Cele mai simple reele cu trei borne de acces sunt constituite dint trei laturi conectate n triunghi sau n stea, fr inductiviti mutuale. Astfel de reele se numesc triunghiuri de impedane (admitane), respectiv stele de impedane (admitane). Orice triunghi de impedane 312312 ,, ZZZ admite o schem echivalent unic n stea, ale

crui laturi au impedanele:

312312

31121 ZZZ

ZZZ++

= ; 312312

12232 ZZZ

ZZZ++

= ; 312312

23313 ZZZ

ZZZ++

=

respectiv admitanele 23

213131232312

11

1Y

YYYYYYZ

Y ++== .

2Z 3Z

1Z

)1(

)2( )3(

1I

2I

3I 2Z

3Z

1Z

23Z

12Z 31Z

)1(

)2( )3(

1I

2I 3I

5

Relaiile se deduc unele din altele, prin permutarea indicilor (circular). Considernd borna (1) neconectat n exterior, dipolul a rmas cu bornele (2), (3), trebuie s aib aceeai impedan echivalent de la triunghi i de la stea, adic:

( )32

312312

311223 ZZZZZ

ZZZ+=

++

+

Dac borna (2) nu este conectat, sau borna (3) rezult nc dou relaii analoage, scrise prin permutri circulare:

21312312

312312

13122331

122331

)(

)(

ZZZZZ

ZZZ

ZZZZZ

ZZZ

+=++

+

+=++

+

Facnd semisuma relaiilor, se obine:

321312312

123131232312 ZZZZZZ

ZZZZZZ++=

++

++

Scznd din aceast relaie fiecare din cele trei relaii anterioare, se obin relaiile pentru definiia

321 ,, ZZZ ; i respectiv jk

jk YZ 1= .

TRANSFIGURAREA STEA-TRIUNGHI

Orice stea de admitane 1

11

ZY = ;

22

1Z

Y = ; 3

31

ZY = , admite o schem echivalent n

triunghi, unic, ale crei laturi au admitanele:

321

2112 YYY

YYY++

= ; 321

3223 YYY

YYY++

= ; 321

1331 YYY

YYY++

= i

3

323121

1212

1Z

ZZZZZZY

Z ++==

...23 =Z ; ...31 =Z .

Dac bornele (2) i (3) sunt conectate n scurtcircuit, dipolul a rmas cu borna (1) i (2) reunit cu (3) va avea aceiai admitan echivalent la triunghi i la stea.

321

3213112

)(YYY

YYYYY++

+=+

6

Scriind alte dou relaii analoage prin permutri circulare, fcnd semisuma tuturor i

scznd din ea pe fiecare n parte se obin relaiile de definiie ...12Y

TEOREMA COMPENSAIEI

Orice poriune pasiv de latur necuplat inductiv cu altele, avnd impedana proprie Z ,

i curentul I poate fi nlocuit cu o surs ideal de t.e.m. IZE = cu sens opus curentului, fr

s se schimbe curenii din reea.

METODA CURENILOR DE OCHIURI (MAXWELL) Noile variabile se numesc cureni nchii, fictivi, atribuii cte unul fiecrui ochi

fundamental, cu sensul de referin al ochiului. Se noteaz cu '0''

2'

1 ......; IIII q .

Curentul prin fiecare latur sI este egal cu suma algebric a curenilor de ochiuri care trec

prin latura respectiv.

=

)(qss qII - Suma se extinde asupra tuturor curenilor ochiurilor (q) crora latura (s) le

aparine.

n aceast sum intr cu (+) curenii de ochiuri al cror sens prin latur coincide cu cel al curentului laturii i cu (-) curenii de ochiuri al cror sens nu coincide cu cel al curentului laturii.

I IZE =

3Z 23Y

12Y

)1(

)2( )3(

13Y

2Y 3Y

1Y

Z I

7

;'3'

11 III = '

3'

22 III =

;'13 II = ;'

24 II =

;'2'

15 III += '

36 II =

Relaiile anterioare reprezint o schimbare de variabil, care duce de la L necunoscute vechi, la O necunoscute noi.

Pentru ca aceast reducere s fie posibil, trebuie ca schimbarea de variabila s fie compatibil cu sistemul ecuaiei lui Kirchoff.

nlocuind n ecuaia I a lui Kirchoff scrise la noduri expresiile curenilor, aceaste ecuaii sunt satisfcute identic. Aceasta, deoarece fiecare curent de ochi (nchis) intr o dat i iese o dat din fiecare nod, aducnd o contribuie nul la curentul total prin suprafaa nchis care nconjoar nodul.

'

( ) ( )0q

k p k qI

=

Cele O variabile, vor fi univoc determinate de cele L-(N-S)=0 ochiuri= ecuaii rmase. ecuaiile sunt date de Teorema II Kirchhoff.

TEOREMA CURENILOR DE OCHIURI Vom nlocui n ecuaiile de ochiuri ale lui Kirchhoff, expresiile:

=

)(

'

qsqs II

Se obin relaiile:

1

2

3

4

3I

1I 2I

4I

5I

'

1I '

2I

'

3I

6I

8

=

=

)()( )(

'

1 pmm

pm qsq

L

s

ms EIZ )0...2,1( =p

Se obine o sum multipl de termeni de forma 'qms IZ . n aceast sum pot fi grupai toi

termenii, care conin n factor acelai curent de ochi 'qI . Deci '

qI va apare n factor pentru o

sum de impedane msZ i ntreaga expresie va putea fi ordonat dup curenii de ochiuri,

cptnd forma:

=

=

)(

'

0

1)()( pm

mqq

qspm

ms EIZ

notnd

=

)(

'

pmmp EE suma algebric a tensiunilor electromotoare din laturile ochiului (p) = t.e.m.

de ochi.

Se noteaz msqspm

pq ZZ

=

)()(

'

coeficientul de natura unei impedane al curentului ciclic 'qI

din ecuaia ochiului (p) i se numete impedan de cuplaj ntre ochiurile p i q )( pq respectiv impedana proprie a ochiului p (p=q).

Se obin ecuaii de forma: ''0

1

'

pqq

pq EIZ ==

1, 2...q O= .

care, explicit formeaz sistemul:

'

0'

0'

00'

2'

02'

1'

01

'

2'

0'

20'

2'

22'

1'

21

'

1'

0'

10'

2'

12'

1'

11

...

................................................

...

...

EIZIZIZ

EIZIZIZ

EIZIZIZ

=++

=++

=++

9

Considerm coeficienii diagonali cu qp =

+==

smqspm

ms

qspm pm

mmspp LjZZZ )()(

'

Aceasta este impedana proprie a ochiului p .

Ea este egal cu suma impedanelor proprii mZ ale laturilor m ce aparin ochiului )( p adunat cu suma algebric a impedanelor mutuale dintre laturile m i s, aparinnd ambele

ochiului )( p . Deoarece mms LL = , la scrierea explicit a sumelor, ambele vor intra de dou ori. Semnul este dependent de sensul de asociere a sensului ochiului cu bornele polarizate ale celor dou bobine din laturile m i s, fiecare neconcordan nsemnnd o diferen de semn. Pentru

reeaua din figur, impedanele proprii ale ochiurilor 1 i 2 sunt:

233

3232233

32'

22

122112112211'

11

21)(12)(

LjCjLLjLjLjCjLjLjZ

LjLLjRLjLjLjLjRZ

+++=++++=

++=++=

Coeficienii nediagonali qp .

( )( ) ( )( ) ( )( )

+==

smqspm

ms

qmpm

m

qspm

mspq LjZZZ '

13Lj

3Lj

23Lj 2Lj

2E

12Lj

1Lj x x

1E 2I

3I

C

1R

x

10

ce definete impedana de cuplaj a ochiurilor (p) i (q). Ea este suma algebric a impedanelor proprii ale laturilor comune ochiurilor (p) i (q) cu semnul (+) dac prin latur ochiurile au acelai sens i (-) dac prin latur ochiurile au semne contrare, adunat cu suma impedanelor mutuale dintre o latur s aparinnd ochiului (q) i o latur m aparinnd ochiului (p). Semnul fiecrei inductiviti mutuale depinde de modul cum se asocieaz sensurile ochiurilor (p) i (q) cu bornele polarizate ale celor dou bobine din laturile sipm )( )(qs . Pentru reeaua din figur, impedanele de cuplaj ntre ochiurile (1) i (2) sunt:

1312232'

21

1312232'

12

LjLjLjLjZLjLjLjLjZ

++=

++=

TEOREMA RECIPROCITII Curentul produs ntr-o latur (s) de o surs situat ntr-o latur (m) este egal cu curentul pe care l-ar produce aceeai surs n latura (m), dac ar fi montat n latura (s). Deoarece '' qppq ZZ = , determinantul principal e simetric fa de diagonala principal i

toi minorii '' qppq = .

Rezult relaia '' qppq YY = (admitanele de transfer dintre ochiuri). Relaia este valabil pentru oricare sistem de tensiune electromotoare cu aceeai

coeficien. Dac n reea exist o singur surs ideal de tensiune electromotoare E , conectat

n latura ( )pm i alegem ochiurile fundamentale: numai ochiul (p) s treac prin latura m, i numai (q) prin latura s. n acest caz, ' 0q pE + = EEE mp ==' i 'qs II =

EYEYII qppqpqs''''

===

i deci

EYEYI smmsms ==

smqp YY ='

Dac considerm sursa de tensiune E montat n latura )(qs . Avem ' 0q pE + =

EEE sq =='

i 'pm II .

EYEYII pqqpqpm ==''''

11

dar mspqmssmsm YYEYEYI ==='

i smsmms IIYY ==

METODA POTENIALELOR LA NODURI

Numrul ecuaiilor se reduce la .1 nrN = noduri independente, .L<

Considerm sistemul de ecuaii ale lui Kirchoff, fr inductiviti mutuale:

( )0k

k bI

=

= 1...2,1 = Nb

=

)( )(pm pmmmm EIZ 1.2...p O=

Forma dual a teoremelor lui Kirchhoff n reelele fr inductiviti mutuale, ecuaia lui Kirchoff se pune i sub o alt form n care necunoscutele sunt tensiunile la bornele laturilor (convenia de la receptoare). mmmbm EIZU = Lm ...2,1=

smbmmmmbmmm IUYEYUYI +=+=

m

m ZY 1= i == mmsm EYI curent de scurtcircuit al laturii m.

Ecuaiile lui Kirchoff se pot scrie:

=

)( )()(

bk bkskbkk IUY 1...2,1 = Nb

=

)(0

pmbmU p=1,2...O

i constituie forma dual, considernd corespondena:

sIYU

EZI

nodochi

ochinod

Potenialele la noduri Se consider un nod (N) de referin i tensiunile ntre acesta i celelalte n-1 noduri.

12

Tensiunea bmU se scrie dup regula de la receptoare.

''

dcbm VVU =

i n ecuaia a II-a Kirchhoff:

0)()(

''

pm

dc VV

Fiecare potenial intr de dou ori, o dat cnd latura intr n nod (-) i o dat cnd latura iese (+). Teorema potenialelor la noduri Fie ecuaia nodului (C)

=

)()()(

Cmsm

Cmbmm IUY

nlocuind '' dcbm VVU = , obinem:

( )

=

Cmsm

Cmdcm IVVY )(

)(

''

Dac se ordoneaz suma din stnga dup potenialele nodurilor care apar n ea, fiecare potenial apare factor comun pe lng o sum de admitane de laturi: potenialul nodului (C) pentru care e scris ecuaia apare factor comun pe lng suma admitanelor laturilor legate la nodul (C), numit admitan proprie a nodului (C).

bmU mE

m

m ZY 1=

mI C

D

13

=

)(

'

Cmmcc YY

Potenialul nodului d apare factor comun pe lng suma cu semn schimbat a admitanelor ce leag nodul d cu C, numit admitan de cuplaj a nodurilor c i d.

=

)()(

'

dmCm

mcd YY

Termenul din dreapta reprezint suma curenilor de scurt circuit ai alturilor legate la

nodul (C), pozitivi dac intr n nod. Suma este curent de scurtcircuit injectat n nodul (C).

' ( )sc smm C

I I

= Semnul (-) a schimbat convenia.

nlocuind aceast relaie n relaia iniial, se obine: ''

1

1

'

scd

N

dCd IVY =

=

Observaie:

Din punct de vedere al acestor ecuaii, totul se petrece ca i cum reeaua ar fi pasivizat

iar n noduri s-ar injecta cureni din exterior; Admitanele de cuplaj au semne schimbate fa de admitanele laturilor respective; Dac o latur are impedana proprie nul, =Y i ecuaiile i pierd sensul. n acest caz,

' '

mbm c dU V V E= =

Sistemul are N-1 ec 1)1( = NL