KALKULUS PROPOSIONAL

PENGERTIAN PROPOSIONALMACAM-MACAM PENGHUBUNGTABEL KEBENARAN

Proposisi

Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0).

Proposisi adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah

Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. Biasanya berbentuk kalimat deklaratif, Kalimat tanya

dan kalimat perintah tidak termasuk pernyataan.

Proposisi Proposisi yang terjadi berdasarkan observasi

disebut proposisi empirikContoh :Air mendidih pada suhu 1000C

Proposisi yang sifat kebenaran atau kesalahannya langsung nampak kepada pikiran dan oleh karenanya harus diterima disebut proposisi mutlakContoh :Matahari terbit dari sebelah timur

Contoh bukan proposisi: oBerapa harga tiket ke Malaysia?oSilakan duduk.

Kalimat-kalimat yang tidak termasuk Pernyataan adalah :

Kalimat PerintahKalimat PertanyaanKalimat KeherananKalimat harapanKalimat ……walaupun…..

Proposisi

Permainan“Gajah lebih besar daripada tikus.”

5

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

BENAR

“520 < 111”

6

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

SALAH

“y > 5”

7

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? TIDAK

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut bergantung pada y, tapi nilainya belum ditentukan.

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai fungsi proposisi atau kalimat terbuka.

“Sekarang tahun 2003 dan 99 < 5.”

8

Apakah ini sebuah pernyataan? YA

Apakah ini sebuah proposisi? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini?

SALAH

“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

9

TIDAK

TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?

“x < y jika dan hanya jika y > x.”

10

Apakah ini pernyataan ? YA

Apakah ini proposisi ? YA

Apakah nilai kebenaran dari proposisi ini ? BENAR

… karena nilai kebenarannya tidak bergantung harga spesifik x maupun y.

Contoh 1. Semua pernyataan di bawah ini adalah proposisi:(a) 13 adalah bilangan ganjil(b) Soekarno adalah alumnus UGM.(c) 1 + 1 = 2(d) 8 akar kuadrat dari 8 + 8(e) Ada monyet di bulan(f)  Hari ini adalah hari Rabu(g) Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka

2n adalah bilangan genap(h) x + y = y + x untuk setiap x dan y bilangan

riil 11

Semua rumah mempunyai atap Semua kendaraan motor beroda dua Semua manusia tidak akan kekal Semua laki-laki menggunakan rok Semua laki-laki menggunakan anting

Contoh 2. Semua pernyataan di bawah ini bukan pernyataan & bukan proposisi

(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir?

(b) Isilah gelas tersebut dengan air! (c) x + 3 = 8 (d) x > 3

Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita

13

Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, ….

Contoh:p : 13 adalah bilangan ganjil.q : Soekarno adalah alumnus UGM.r : 2 + 2 = 4

14

Mengkombinasikan Proposisi Misalkan p dan q adalah proposisi.

1. Konjungsi (conjunction): p dan q Notasi p q

2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p q

3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: p 

15

Mengkombinasikan Proposisi p dan q disebut proposisi atomik Proposisi atomik adalah proposisi yang bukan

merupakan kombinasi proposisi lain Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi

majemuk (compound proposition) Proposisi majemuk adalah proposisi yang disusun

dari proposisi-proposisi atomik

16

Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut:p : Hari ini hujanq : Murid-murid diliburkan dari sekolah

p q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah

p q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah p : Tidak benar hari ini hujan

(atau: Hari ini tidak hujan)  

17

18

Contoh 4. Diketahui proposisi-proposisi berikut:

p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan

Nyatakan dalam bentuk simbolik:

(a) Pemuda itu tinggi dan tampan (b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan (c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan (d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak

tampan (e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan (f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun

tampan

Penyelesaian:

(a) p q (b) p q (c) p q (d) (p q) (e) p (p q)

(f) (p q)

Penghubung/Konektif Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk

proposisi (majemuk) baru (compound proposition) dengan menggunakan konektif

Macam-macam konektif: NOT (negasi) Simbol atau ‾ AND (konjungsi) Simbol ^ Inclusive OR (disjungsi) Simbol v Exclusive OR Simbol Implikasi Simbol Implikasi ganda Simbol

Tabel KebenaranNegasi (NOT)

p p

0 1

1 0

Contoh: p = Jono seorang mahasiswa p = Jono bukan seorang mahasiswa

Tabel KebenaranKonjungsi (AND)

p q p q0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Contoh : p = Harimau adalah binatang

buas q = Malang adalah ibukota Jawa

Timur p ^ q = Harimau adalah

binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur

p ^ q salah. Perhatikan bahwa tidak perlu

ada keterkaitan antara p dan q

Tabel KebenaranDisjungsi (atau)

p Q p v q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Contoh: p = Jono seorang mahasiswa q = Mira seorang sarjana hukum p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira

seorang sarjana hukum

Jointdenial (Not-Or/NOR)p q p v q pq

1 1 1 0

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

Jointdenial adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan dari menegasikan Disjungsi

Dengan Notasi NOR (pq)

Not And (NAND)

p Q p q ~(p q)

1 1 1 0

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

Nand adalah pernyataan gabungan yang dihasilkan dari menegasikan Konjungsi/And

Exclusive Or (EXOR)p Q (p q)

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Xor adalah pernyataan gabungan dimana salah satu p atau q (tidak kedua-duanya) adalah benar

p = Saya akan mendapat nilai A di kuliah iniq = Saya akan drop kuliah inipq = Saya akan mendapat nilai A atau saya akan drop di

kuliah ini (tapi tidak dua-duanya!)

Exclusive NOr (EXNOR)p Q (p q)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

ExNor adalah pernyataan gabungan ingkaran dari EXOR.

Negasikan :• Joko adalah ketua kelas

Konjungsikan• P : Yang sedang bermain musik adalah Ofan• Q : Yang sedang bermain musik adalah Efan

Disjungsi• P : Taufik adalah pemain badminton• Q : Markis kido adalah pemain badminton

IMPLIKASI (1) Notasi: Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka

implikasi pernyataan P Q dapat dibaca sebagai IF P, THEN Q. P dan Q adalah suatu pernyataan conditional. P disebut antecedent dan Q adalah consequent.

Implikasi tidak mempunyai sifat simetri dalam arti bahwa PQ tidak sama dengan QP.

IMPLIKASI (2) Contoh:

P : Langit cerah hari ini. Q: 2+7 >4.PQ : Jika langit cerah hari ini, maka 2+7 >4.

P: Ibu ke pasar. Q: Didi ke sekolah.PQ : Jika ibu ke pasar, maka Didi ke sekolah.

Tulis dalam bentuk simbolis: “Kalau William mengambil Kalkulus atau Harry mengambil Sosiologi, maka Charles akan mengambil Bahasa Inggris.”J: William mengambil Kalkulus.

K: Harry mengambil Sosiologi. L: Charles mengambil Bahasa Inggris.

Hasilnya adalah: (J K) L

IMPLIKASI (3) P Q (ekuivalen dengan) ~P Q.

Buktikan dengan tabel kebenaran! ~(P Q) ~(~P Q) P ~Q. Tabel Kebenaran:

IMPLIKASI (4) Dari suatu implikasi, bisa dibentuk implikasi

yang lain, yaitu: Konvers (Q P) Invers (~P ~Q) Kontraposisi (~Q ~P)

P Q ~Q ~P Buktikan dengan tabel kebenaran!

Jika saya tidak masuk, maka kalian senang.Kn: Jika kalian senang, maka saya tidak masuk.In: Jika saya masuk, maka kalian tidak senang.Kt: Jika kalian tidak senang, maka saya masuk.Ng: Saya tidak masuk dan kalian tidak senang.

BIIMPLIKASI (1) Notasi: Jika P dan Q adalah dua pernyataan, maka

biimplikasi pernyataan P Q (dibaca P jika dan hanya jika Q) mempunyai nilai T bilamana baik P dan Q keduanya mempunyai nilai kebenaran yang sama.

PQ mempunyai sifat simetri yaitu: PQ = QP.

BIIMPLIKASI (2) Contoh:

P=Q jika dan hanya jika PQ dan QP. P Q (PQ) (QP) Tabel Kebenaran:

TAUTOLOGI dan KONTRADIKSI Tautologi adalah pernyataan yang nilainya

selalu benar. Contoh: P ~P (buktikan!) Kontradiksi adalah pernyataan yang nilainya

selalu salah. Contoh: P ~P (buktikan!)