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Polinomios de Interpolacin de
Lagrange
Mara P. Trujillo y Deisy Chaves Edificio 331 Oficina 2108
Atencin a estudiantes:
Martes y Jueves 14:00 a 16:00
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Contenido
Introduccin
Polinomios de Interpolacin en la forma de
Newton
Estimacin del error
Polinomios de Interpolacin en la forma de
Lagrange
Estimacin del error
Comentarios finales: Splines
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Interpolacin
Una funcin de interpolacin es aquella que
pasa a travs de puntos
La interpolacin puede hacerse por medio de
polinomios, funciones spline, funciones
racionales o serie de Fourier
Interpolacin polinomial es ampliamente
usada en mtodos numricos, por ejemplo en
modelos de integracin numrica, modelos de
diferenciacin numrica, etc.
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Problema de Interpolacin
Dada una funcin tabulada en n+1 puntos,
(xi, yi) (0in)
Se busca un polinomio p, del menor grado
posible, que pase por todos los puntos tal que
p(xi)=yi, para todo i, (0in)
i 0 1 2 3 ... k ... n
xi x0 x1 x2 x3 ... xk ... xn
f(xi)=yi y0 y1 y2 y3 ... yk ... yn
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Polinomio de Interpolacin en la forma de
Newton (Continuacin)
En forma comprimida tenemos,
Donde:
1
00
0);()(i
j
j
k
i
ik nkxxcxp
nkxxxxxx
xpyc
kkkk
kkkk
1;))....()((
)(
110
1
)( 01
011
00
xx
yyc
yc
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Polinomios de Interpolacin de la forma de
Newton
La interpolacin de
Newton no tiene
limitaciones de
reutilizacin de
clculos previos
Esta basada en una
tabla de diferencias
i1k
1i
1k
i
k
i
2
1i
2
i
3
i1ii
2
i1ii
1
ii
0
fff
....
fff
fff
fff
ff
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Es una diferencia dividida de orden N+1, ya
que esta dada por los coeficiente principales
de orden N dividida entre la distancia entre
los puntos mas extremos
Las diferencias divididas se calculan entonces
con base en esta idea
01
),...,1,0()1,...,2,1()1,,...,1,0(
1
xx
fff
N
NN
NN
NNN
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Diferencias Divididas Finitas
)(
)()(),(
1
1
00
1
1
ii
iiii
xx
xfxfxxf
)(
),(),(),,(
2
21
1
1
1
21
2
ii
iiiiiii
xx
xxfxxfxxxf
ii
0 y)x(f
)(
),,(),,(),,,(
3
321
2
21
2
321
3
ii
iiiiiiiiii
xx
xxxfxxxfxxxxf
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Tabla de Diferencias Divididas
xi f 0 f1 f2 f3 f4
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Polinomios de Interpolacin de Newton con
Diferencias Divididas
Tenamos que
El polinomio de Interpolacin de Newton con
diferencias divididas se define como
1
00
0);()(i
j
j
k
i
ik nkxxcxp
1
00
0);()(i
j
j
k
i
ik nkxxbxp
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Polinomios de Interpolacin de Newton con
Diferencias Divididas
xi b0
Los coeficientes del polinomio corresponden en la
tabla de diferencias divididas a:
b1 b2 b3 b4
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Ejercicio
Obtenga el polinomio de Newton y evalu x = 4
x 1 3 5 7
y -2 1 2 -3
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Error de Interpolacin
El error de interpolacin esta dado por la
diferencia entre la funcin f(x) y el polinomio
p(x)
Usando una modificacin del teorema del
desarrollo de series de Taylor
)()()( xpxfxR n
n
i
ix
n
nn xxfn
xpxfxR0
)1( )()!1(
1)()()(
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Error de interpolacin usando diferencias
En este caso la derivada se aproxima con la
diferencia para tener una aproximacin del
error
Ejemplo
Para los datos
el error de interpolacin de p2(x) esta dado por
n
i
ixxxnnn xxfxpxpxR nn0
,....,,1 )()()()( 01
)1)(2(25.0)2(24)(2 xxxxp
)2)(1)(2(3.0)(2 xxxxR
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Error de interpolacin usando diferencias
)1)(2(25.0)2(24)(2 xxxxp
)2)(1)(2(3.0)(2 xxxxR
b0 b1 b2
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Polinomios de Lagrange
Se construyen los polinomios li de grado n
que asumen el valor 1 en el punto xi y que
tiene races en los puntos x k , ki
)(...)()()( 110 xlyxlyxlyxp nno
00)(1)(;)( 00000 kxlyxlyxp k
10)(1)(;)( 11111 kxlyxlyxp k
nkxlyxlyxp nknnnn 0)(1)(;)(
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Polinomios de Lagrange
En forma comprimida tenemos,
donde
k
ij0j ji
j
ixx
xx)x(L
nk0;xfxL)x(pk
0i
ik
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Ejemplo
x 1 3 5 7
y -2 1 2 -3
)(3)(2)()(2)( 3210 xlxlxlxlxp
)6)(4)(2(
)7)(5)(3()(0
xxxxl
)4)(2)(2(
)7)(5)(1()(1
xxxxl
)2)(2)(4(
)7)(3)(1()(2
xxxxl )2)(4)(6(
)5)(3)(1()(3
xxxxl
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Ejemplo
x 1 3 5 7
y -2 1 2 -3
)(3)(2)()(2)( 3210 xlxlxlxlxp
)6)(4)(2(
)7)(5)(3()(0
xxxxl
)4)(2)(2(
)7)(5)(1()(1
xxxxl
)2)(2)(4(
)7)(3)(1()(2
xxxxl )2)(4)(6(
)5)(3)(1()(3
xxxxl
Evalu x = 4 ?
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Ejercicio
Calcular el polinomio de Lagrange
x -2 0 2 4
y 1 -1 3 -2
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Estimacin del error
Se estima en forma anloga usando
Para un intervalo pequeo el error es
proporcional a la derivada en el punto medio
n
i
ix
n
nn xxfn
xpxfxR0
)1( )()!1(
1)()()(
)()()()( )1( xLxfxpxfxR mn
nn
!1...10
n
xxxxxxxL n
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Ejercicio
Interpole la funcin tabulada f, para calcular
f(1.3)
Utilice polinomios de interpolacin de
Lagrange de Grado 1,2 y 3
x 0 0.6 1 1.7 2 2.5
y=f(x) 0.54 0.28 -0.08 -0.52 -0.92 -0.94
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Splines
Un spline esta formado por varios polinomios, cada uno definido
en un intervalo que se unen entre si bajo ciertas condiciones de
continuidad
Dada nuestra tabla de datos, donde suponemos que
y dado k un nmero entero positivo, una funcin de interpolacin
spline de grado k, para la tabla de datos, es una funcin s(x) tal
que :
1. , para toda .
2. s(x) es un polinomio de grado k en cada subintervalo .
3. s(x) tiene derivada continua hasta de orden k-1 en
nxxx 10
ii yxs )( ni ,,1,0
ii xx ,1
nxx ,0
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Splines
Los splines han demostrado poseer una gran
finura, y son usados para el diseo por
computadora, por ejemplo, de tipos de letra
La idea central es que en vez de usar un solo
polinomio para interpolar los datos, podemos
usar segmentos de polinomios y unirlos
adecuadamente para formar la funcin de
interpolacin
Las splines cbicas han resultado ser las ms
adecuadas en la mayora de los casos
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Lecturas Complementarias
Mtodos Numricos para Ingenieros, Steven C.
Chapra y Raymond P. Canale
Capitulo 18: Interpolacin
