Prostok-4-firda*4. PROSES POISSON

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Proses stokastik dikatakan prosesmenghitung (counting process) jikamenyatakan banyaknya kejadian yang terjadiselama waktu t (S.Osaki,1992).Contoh:1. adalah banyaknya bayi yang lahir selamawaktu t. Maka proses menghitung.2.adalah banyaknya orang yang datang keToserba Grya dalam waktuMakaproses menghitung.Definisi :4.1 Proses Menghitung

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Proses menghitungmemenuhi sifat:(i)(ii)(iii) Jikaadalah bilangan bulatmaka(iv) Untukmenyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda* Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan bebas (independent increments) jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling bebas.artinya, banyaknya kejadian yang terjadi pdwaktu t, (yaitu N(t)), bebas dari banyaknyakejadian yang terjadi pd waktu antara t dan t+s,(yaitu N(t+s)-N(t)).

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda* Proses menghitung disebut proses dengan kenaikan stasioner (stationary increments) jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu hanya tergantung pada panjang dari interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut.Artinya, banyaknya kejadian pada interval waktu(yaitumempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya kejadian pada interval waktu (yaituuntuk semua

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Definisi:FungsidikatakanjikaContoh:Untuk interval waktu yang kecil (h >0),(tidak ada kejadian pada interval waktu yg kecil h>0)(peluang ada kejadian pada interval waktuyg kecil h>0)

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda**Definisi 1:Suatu proses menghitung dikatakan proses Poisson dengan laju (parameter)jika memenuhi:(i)(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas stasioner (stationary independent increments)(iii)(iv)(S. Osaki,1992)4.2 Definisi Proses Poisson

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda**Dari definisi ini, untuk berlaku,(menyatakan peluang bahwa ada k kejadian yang terjadipada interval (0,t].Karena proses Poisson stasioner,makahukum peluang total

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda**Definisi 2:Suatu proses menghitungdikatakan proses Poisson dengan laju (parameter)jika memenuhi:(i)(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas (independent increments)(iii) Peluang ada k kejadian dalam interval waktu t:(S. Osaki,1992)

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*rate (laju dari proses)= rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi per waktu t.Maka

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Definisi 1 dan Definisi 2 ekivalenBukti:(a) Definisi 1 Definisi 2Sifat (i), (ii) jelasSelanjutnya, tulis

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*kenaikanbebaskenaikanstasionerSifat (iii),(iv)Untuk k = 0,

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Dari bentuk diperoleh : Dengan syarat awal

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Untuk

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*atau Dari sini diperoleh : Atau ditulis, PDB linear

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Untuk k =1, Dengan induksi matematik diperoleh:Dengan syarat awal P1(0)=0, diperoleh:Hal ini menunjukkan (Sifat (iii) Definisi 2).

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*(b) Definisi 2 Definisi 1 Sifat (i) jelasDari sifat (iii) definisi 2, mempunyai distribusi yang sama dengan Artinya, punya kenaikan stasioner (sifat (ii) definisi 1). Selanjutnya, dari sifat (iii) definisi 2,

Prostok-4-firda

*(memenuhi sifat (iii) definisi 1).Selanjutnya,(memenuhi sifat (iv) definisi 1.

Prostok-4-firda*Contoh:1. Pelanggan tiba di toko mengikuti proses Poissondengan laju 2 orang per jam selama jam kerja dari pukul 10.00 (t=0) sampai pukul 18.00.a. Tentukan peluang bahwa k pelanggan (k = 0,1,2) datang pada pukul 13.00 15.00.b. Tentukan mean dan variansi dari kedatangan pelanggan selama jam kerja.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Jawab:a. waktu: 13.00 15.00 t =2.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*b. Selama jam kerja ( 10.00 18.00 ) t = 82. Panggilan telepon mengikuti proses Poisson denganlaju 10/jam.a. Tentukan peluang bahwa ada 8 panggilan teleponterjadi pada satu jam pertama.b. Tentukan peluang terdapat 3 panggilan telepon pada setengah jam pertama dan 6 panggilan teleponpada setengah jam kedua.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Jawab:a. b.kenaikan bebaskenaikan stasioner

Prostok-4-firda

Waktu antar kedatangan*Berdasarkan proses menghitungN(t) menyatakan banyaknya kejadian sampai waktu t. Perhatikan bahwa kejadian-kejadian tersebut dapat terjadi kapan saja dalam interval (0,t]. Misalkan kejadian pertama terjadi pada saat disini Kejadian kedua terjadi pada saat dan Disini, adalah panjang waktu terjadinya kejadian ke k+1 setelah kejadian ke k.Panjang selang ini disebut dengan waktu antar kedatangan/waktu antar kejadian.

IlustrasiProstok-4-firda*Waktu antar kedatangan

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Definisi:Berdasarkan proses menghitungMisalkan adalah waktu dari kejadian pertama.Untukmisalkanadalah waktu antara kejadian ke (n-1) dan kejadian ke n.Makadisebut barisan waktu antarkedatangan/waktu antar kejadian.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*TeoremaWaktu antar kedatangandari suatu proses Poisson adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter Bukti:Catat bahwa, terjadi jika tidak ada kejadiandari proses Poisson yang terjadi pada interval [0,t].Akan ditunjukkan Ini identik dengan 4.3 Distribusi Waktu Antar Kedatangan0tX1

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*makaJadi Untuk kita dapatkan distribusi bersyarat dengan kejadian pertama terjadi pada waktu s.kenaikan bebaskenaikan stasioner

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Dengan induksi matematika, kita dapatkan,tiap waktu antar kedatangan adalah saling bebas dan berdistribusi eksponensial dengan parameter . (terbukti)

ContohJika kedatangan pasien ke sebuah rumah sakit mengikutiproses Poisson dengan laju 5/jam, tentukan distribusi peluangdari waktu antar kedatangan pasien ke 10 dan ke 11.

Jawab:Berdasarkan teorema, waktu antar kedatangan pasien berdistribusi eksponensial dengan parameter 5/jam.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*SoalToko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan laju 10 orang per jam selama jam kerja. a. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja. b. Tentukan peluang tidak ada pelanggan yang datang dalam waktu setengah jam.2. Toko buka dari pukul 9.00 sampai 18.00. Pelanggan datang mengikuti proses Poisson dengan mean dari waktu antar kedatangan adalah 6 menit. a. Tentukan peluang ada k pelanggan (k=0,1,2) datang dalam waktu setengah jam b. Tentukan mean dan variansi kedatangan pelanggan selama jam kerja.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*3. Banyaknya panggilan telepon di suatu kantor mengikuti proses Poisson dengan laju 2 kali per menit. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 panggilan berturutan tidak lebih dari 4 menit.4. Jika adalah suatu proses Poisson,Tunjukkan bahwauntuk

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Jika adalah waktu tunggu sampai kejadian ke n, makaRealisasi dari waktu antar kedatangan dan waktu tungguWaktu menunggu dan distribusinya Waktu menunggu sampai kejadian ke n adalah :

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Untuk proses Poisson, Perhatikan waktu tunggu, Karena adalah bebas dan maka

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Hubungan antara Hubungan antara

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*TeoremaUntuk proses Poisson dengan lajuyakniEkivalen denganyakni

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*4.4 Distribusi bersyarat waktu antar kedatanganDistribusi bersyarat dari waktu antar kedatangan pertama diberikan ada kejadian pada waktu [0,t],Untuk

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Superposisi proses PoissonMisalkan proses Maka proses Poison dengan laju adalah proses Poisson dengan laju juga merupakan dan danBukti: Cobakan

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*4.5 Proses Poisson NonhomogenDefinisi:Proses menghitung dikatakan proses Poisson Nonhomogen atau nonstasionerdengan fungsi intensitas jika memenuhi:(i) N(0) = 0(ii) Proses mempunyai kenaikan bebas(iii)(iv)

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*Proses Poisson homogen mempunyai parameter Proses Poisson nonhomogen mempunyai parameter Yakni,Maka kita punyai, disebut fungsi intensitas.

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*1. Banyaknya pelanggan yang datang ke suatu toko mengikuti proses Poisson dengan laju 3 orang perjam. a. Tentukan nilai harapan jumlah pelanggan yang datang antara pukul 8.00 dan 10.00 di suatu pagi. b. Tentukan peluang bahwa untuk menunggu datangnya 7 pelanggan dibutuhkan waktu lebih dari 2 jam. 2. Banyaknya kecelakaan pada jalan tol mengikuti proses Poisson dengan laju 13 kali perbulan. a. Tentukan peluang bahwa selang waktu antara 2 kecelakaan berturut-turut tidak lebih dari 2 hari. Soal

Prostok-4-firda

Prostok-4-firda*b. Tentukan nilai harapan jumlah kecelakaan yang terjadi antara bulan Maret 2011 dan bulan Juli 2011. (catat bahwa 1 bulan = 30 hari).3. Supermarket buka dari pukul 10.00 sampai pukul 20.00 Pelanggan datang mengikuti proses Poisson non homogen dengan fungsi intensitas:Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada waktu kerja dari 10.00 20.00.b. Hitung rataan dan variansi dari kedatangan pelanggan pada pukul 16.00 18.00.

Prostok-4-firda

3. Mean 410 variansi 410*