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4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 63
4 Técnicas de localización basadas en
medidas de rango
Podemos asumir, de forma general, que un sistema de localización se compone de una
serie de dispositivos que emiten una señal al medio (luz, ultrasonidos, radio) y de otros
dispositivos electrónicos que reciben esa misma señal tras su propagación a través de dicho
medio.
En los receptores o sensores se miden una serie de características de la señal captada
(rangos, energías, tiempos de vuelo, etc.) y a partir de ellos, mediante diferentes técnicas, se
estima la posición de cada uno de los elementos cuya posición es desconocida en base a las
posiciones conocidas de una serie de nodos y de los parámetros medidos relativos a dichos
nodos.
Existen multitud de sistemas de localización y navegación, clasificados según diferentes
criterios [3]
que se han ido desarrollando en las últimas décadas, en ocasiones impulsados
por necesidades militares y de seguridad:
Tipo de entorno. Existen sistemas solo válidos para exteriores (GPS, Loran - Long
Range Navigation) y otros que por limitaciones de alcance están destinados a su
uso en interiores (UWB, WLAN, Bluetooth, etc.).
Tipo de variable medida. Medida de rangos por tiempos de vuelo (ToA - Time of
Arrival), medida de la diferencia de tiempos de llegada (TDoA – Time Difference of
Arrival) medida de ángulos (AoA - Angle of Arrival), medida aproximada de rangos
por intensidad de la señal recibida (RSSI – Received Signal Strength Intensity),
medida de proximidad, etc.
64
Tipo de algoritmo de estimación de posición. Los algoritmos de cálculo de posición
se utilizan para estimar las coordenadas físicas del objetivo, utilizando como
entradas las variables medidas del tipo concreto. Cuando partimos de tiempos de
llegada o diferencias de tiempo de llegada, se utilizan algoritmos de multilateración.
Estos algoritmos pueden resolver el problema encontrando la solución de un
sistema de ecuaciones por varios métodos, entre ellos, métodos algebraicos,
pseudoinversa, aproximación de Taylor, técnicas de optimización iterativas, o
mediante multilateración atómica y colaborativa.
Cuando las variables disponibles son los ángulos de llegada se utiliza la técnica
conocida como triangulación.
En el caso de detectar la proximidad, la estrategia más sencilla es asignar al nodo
desconocido la posición del nodo por el que ha sido detectado. En redes de
sensores inalámbricos, donde sólo hay un número muy pequeño de nodos en
posiciones conocidas, existen múltiples estrategias que se dividen en las que
requieren un procesamiento central y las que hacen el cálculo estimativo de manera
local percibiendo las variables (rango, ángulos,...) a otros nodos en el entorno más
próximo.
Precisión. Existen sistemas de precisión centimétrica como es común en las técnicas
ultrasónicas y UWB (UltraWide Band), o por el contrario pueden ser de precisiones
métricas (entre 1 y 50 metros) como en el caso de la navegación por satélite GPS o
la localización por telefonía móvil GSM, Bluetooth, WLAN.
Existencia de sincronismo. Si existe sincronismo entre las balizas fijas y las
unidades móviles que se desea localizar, se dice que el sistema puede operar por
multilateración esférica. Si no hay sincronismo se utiliza multilateración hiperbólica.
El nombre viene del tipo de hipersuperficies utilizadas al resolver los sistemas de
ecuaciones en busca de las coordenadas incógnita.
Coordenadas de localización. Podemos localizar respecto a un sistema de
referencia general (localización absoluta), u obtener la posición relativa a varios de
los nodos que forman parte del sistema sensorial.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 65
Granularidad. Los sistemas pueden proporcionar un conjunto de coordenadas
bidimensionales o tridimensionales (de localización física), o pueden dar como
resultado localizaciones simbólicas, indicando si el objeto a localizar está o no
dentro de un área concreta, pero sin especificar su posición exacta.
Necesidad de desarrollo de Hardware a medida. Algunas de las técnicas de
posicionamiento requieren implementar unos dispositivos electrónicos con
capacidad de transducción y procesamiento, y otras no requieren desarrollo de
hardware alguno, ya que se basan en la infraestructura ya existente (GSM, WLAN).
En este caso la labor fundamental consiste en desarrollar aplicaciones software.
Movilidad de nodos. Parte de los nodos pueden ser estáticos y estar situados en
posiciones fijas (balizas), o pueden ser totalmente reubicables sin dejar por ello de
pertenecer a la red sensorial.
Lugar de cálculo de la posición. Normalmente cuando las señales se trasmiten del
dispositivo móvil a localizar hacia una serie de nodos en su entorno, estos pasan su
información a un sistema central de proceso donde se realiza el cómputo de la
posición del nodo de posición desconocida. Se llama a este método centralizado.
Por otro lado, el método distribuido es aquel en el que el nodo a localizar recibe la
señal de diferentes nodos de su vecindario y por tanto tiene la información
necesaria para calcular por sí mismo su posición (método utilizado por el GPS).
Tipo de energía utilizada. Las soluciones ultrasónicas son aquellas con las que se
obtiene mayor precisión (del orden de 1-2 cm). Existen también soluciones
acústicas con propiedades similares pero con la ventaja añadida del mayor alcance
del sonido audible (500-18000 Hz) frente a las soluciones ultrasónicas a 40 Khz que
suelen llegar hasta los 8 metros. Las soluciones basadas en radio son las más
variadas hoy en día ya que hacen uso de muchos de los dispositivos creados para
comunicaciones inalámbricas. Hablamos de telefonía móvil (GSM, GPRS, UMTS), de
redes inalámbricas locales o WLAN (WiFi), redes personales (Bluetooth, UltraWide
Band), redes de radiodifusión. Otras alternativas son las señales ópticas (diodos
infrarrojos, láser) y la visión artificial usando cámaras para detectar el movimiento
de los objetos en el entorno.
66 4.1. MULTILATERACIÓN
4.1 Multilateración
La multilateración[4]
es una técnica de navegación basada en la medida de la diferencia
en la distancia entre dos o más estaciones situadas en posiciones conocidas, que emiten
señales en instantes de tiempo también conocidos.
A diferencia de medidas absolutas de distancia o ángulo, la medida de la diferencia da
como resultado un número infinito de localizaciones que satisfacen las condiciones.
Cuando se trazan estas posibles localizaciones, se encuentra que forman una curva
hiperbólica. Para situar la localización exacta a lo largo de la curva, se toma una segunda
medida de un par de estaciones diferentes para producir una segunda curva, que ha de
intersecar la primera. Al comparar ambas, se recuperan un número reducido de posibles
localizaciones, produciéndose un ajuste.
La multilateración es una técnica común en sistemas de navegación radio, donde se la
conoce como “Navegación hiperbólica”.
Imagen 4-1. Hiperboloide de dos hojas
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 67
Estos sistemas son relativamente fáciles de construir, además de no necesitar un reloj
común, y la diferencia en el tiempo de las dos señales puede obtenerse visualmente en un
osciloscopio.
La introducción de los microprocesadores simplificó en gran medida la operación,
incrementado considerablemente la popularidad de estos sistemas durante la década de los
80. El sistema de navegación hiperbólica más popular fue el LORAN-C, que fue usado en todo
el mundo hasta que cesó en 2010. Hoy en día se siguen utilizando otros sistemas, pero el uso
de sistemas de navegación por satélite como el GPS, hacen estos sistemas redundantes.
No debe confundirse la multilateración con la trilateración, que usa distancias o medidas
absolutas del tiempo de vuelo desde tres o más sitios, o con la triangulación, que usa la
medida de ángulos absolutos. Estos dos sistemas se usan conjuntamente con los sistemas de
navegación radio, de hecho, la trilateración es la base del GPS.
4.1.1 Principio de operación
La multilateración se utiliza comúnmente en aplicaciones de vigilancia civil y militar para
localizar con precisión un avión, un vehículo o un emisor estacionario, mediante la medida
de la diferencia de tiempos de llegada ("Time Difference of Arrival" (TDoA)) de una señal
procedente de un emisor en tres o más localizaciones receptoras.
En el caso de un pulso emitido desde una plataforma, éste llegará en momentos
ligeramente diferentes a dos receptores separados en el espacio, de manera que el TDoA [5],
[6], [7] se debe a las diferentes distancias de cada receptor de la plataforma.
De hecho, para localizaciones dadas de dos receptores, todo un conjunto de
localizaciones darán como resultado la misma medida de TDoA. Dados dos localizaciones de
receptor y un TDoA conocido, el lugar geométrico de los posibles emisores es la mitad de un
hiperboloide de dos hojas.
En términos simples, con dos receptores en posiciones conocidas, un emisor puede
localizarse sobre un hiperboloide. Nótese que los receptores no necesitan conocer el tiempo
absoluto en el cual fue transmitido el pulso –sólo se necesita la diferencia.
Considérese ahora un tercer receptor en una tercera localización. Éste proporcionará
una segunda medida de TDoA y por tanto una localización del emisor sobre un segundo
68 4.1. MULTILATERACIÓN
hiperboloide. La intersección de ambos hiperboloides describe la curva donde se encuentra
el emisor.
Si se incluye un cuarto receptor en el sistema, se tiene disponible una tercera medida de
TDoA. La intersección del hiperboloide resultante con la curva ya encontrada con los otros
tres receptores, da como resultado un único punto en el espacio. Por tanto se obtiene la
localización exacta del receptor en 3D.
En la práctica, los errores en la medida del tiempo de llegada de los pulsos implican que
se puede obtener una mayor precisión con más de cuatro receptores.
En general, N receptores producen N-1 hiperboloides. Cuando tenemos 4N
receptores, los 1N hiperboloides deberían, suponiendo un modelo y unas medidas
perfectas, cortarse en un sólo punto. En la realidad, debido a varios errores, las superficies
rara vez se cortan.
En este caso, puede verse el problema como uno de optimización, y resolverse
utilizando por ejemplo un método de mínimo cuadrados (como se expondrá más adelante) o
un filtro de Kalman extendido.
Además, el TDoA de múltiples pulsos transmitidos desde un mismo emisor pueden
promediarse para mejorar la precisión.
La multilateración puede utilizarse también con un sólo receptor para localizar su propia
posición, mediante la medida de los TDoA de diferentes señales emitidas desde tres o más
transmisores sincronizados en localizaciones conocidas, es decir, el caso recíproco al
anterior.
Esto puede usarse por los sistemas de navegación, como por ejemplo el sistema Decca
desarrollado por Gran Bretaña durante la segunda guerra mundial, que utilizaba la diferencia
de fase de dos transmisores en lugar del TDoA de un pulso, para definir los hiperboloides.
Esto permitía a los transmisores emitir una forma de onda continua. Tanta la diferencia de
fase como la diferencia de tiempos pueden considerarse de igual forma para transmisores
de banda estrecha.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 69
4.1.1.1 Geometría TDoA
Considérese un emisor caracterizado por un vector de posición desconocido
( , , )E x y z que se quiere localizar.
La fuente está dentro del rango de 1N receptores en localizaciones conocidas
0 1, ,.., ,...,m NP P P P
El subíndice m hace referencia a cualquiera de los receptores:
( , , )
0
m m m mP x y z
m N
La distancia ( )R del emisor a uno de los receptores en términos de coordenadas es
2 2 2( ) ( ) ( )m m m m mR P E x x y y z z (1)
Se puede simplificar el cálculo si se coloca el origen en uno de los receptores 0( )P , lo
cual hace su distancia al emisor:
2 2 2
0R x y z (2)
4.1.1.2 Medida de la diferencia de tiempos en un sistema TDoA
El problema de la estimación de la posición a través de la diferencia en el tiempo de
llegada (TDoA) se produce en multitud de aplicaciones, desde la redes de comunicación
wireless hasta el posicionamiento electrónico militar. El análisis de correlación de la señal
transmitida da lugar a una única curva hiperbólica. Con más de dos receptores, podemos
calcular más funciones hiperbólicas que idealmente se intersecan en un único punto. Debido
a la incertidumbre inherente a la medida de TDoA, hacemos frente a un problema de
estimación no lineal.
70 4.1. MULTILATERACIÓN
La distancia mR en la ecuación (1) es la velocidad de la onda multiplicada por el
tiempo de tránsito ( )mT . Un sistema TDoA mide la diferencia en la que un frente de onda
llega a cada receptor ( )m . La ecuación TDoA para los receptores m y 0 es
0m mT T (3)
0m mR R (4)
La función correlación cruzada 1 0( * )P P realiza una convolución en el tiempo de una
curva sobre otra y devuelve el valor máximo cuando las dos curvas coinciden. El máximo en
el tiempo es una medida de la diferencia de tiempos entre las formas de onda grabadas, que
es también el valor que se requiere en las ecuaciones (3) y (4).
La función de correlación cruzada muestra la importancia que tiene la elección de la
geometría del receptor. Al representar gráficamente la función, se observa que existen
máximos en cada período de la señal. Para obtener una solución única de la medida de la
diferencia de tiempos, el espacio entre cualesquiera dos receptores debe ser menor que la
longitud de onda de la señal que se emite.
Algunos sistemas, como el LORAN-C y Decca usan distancias mayores que una longitud
de onda e incluyen equipos, como detectores de fase, para contar el número de ciclos de
señal transcurridos a medida que el emisor se mueve. Esto sólo funciona para formas de
onda continuas y de banda estrecha, debido a la relación entre la fase ( ) , la frecuencia ( )f
y el tiempo ( )T 2 f T .
El detector de fase verá las variaciones de frecuencia como ruido en la fase, que será
una incertidumbre que se propaga en la localización calculada. Si el ruido de fase es
suficientemente grande, el detector de fase puede volverse inestable.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 71
4.1.1.3 Solución 3D
Las ecuaciones (3) y (4) dan lugar al hiperboloide descrito en la sección anterior, donde
cuatro receptores 0 3m dan lugar a tres ecuaciones no lineales con tres incógnitas
( , , )x y z .
El objetivo a partir de este punto es resolver la posición del emisor en tiempo real.
Algunos sistemas de multilateración para el control del tráfico aéreo civil utilizan la
respuesta del transpondedor de Modo C SSR para hallar la altitud ( )z .
Tres o más receptores en localizaciones conocidas se utilizan para determinar las otras
dos dimensiones ( , )x y .
Intentar mejorar la precisión con un gran número de receptores puede ser un problema
para dispositivos con procesadores de baja capacidad instalados, debido al tiempo que se
requiere para resolver varias ecuaciones no lineales. El problema TDoA puede transformarse
en un sistema lineal cuando se incluyen en el sistema cinco o más receptores, lo que puede
reducir el tiempo de cálculo.
Comenzando con la ecuación (3), se resuelve para mR , elevando al cuadrado ambos
términos, reagrupando términos y dividiendo todo por m :
2 2
0
2 2 2
0 0
2 2 2
0 0
2 2
0
0
( )
( ) 2
0 ( ) 2
0 ( ) 22
m m
m m m
m m m
m
m
m
R R
R R R
R R R
R RR
(5)
Si se elimina el término 02R se eliminarán todos los términos en raíz cuadrada. Esto se
hace substrayendo la ecuación TDoA del receptor 1m de cada uno de los restantes
(2 )m N .
72 4.1. MULTILATERACIÓN
2 2
0
0
2 2
0 1
1 0
1
2 2 2 2
0 0 1
1
1
0 ( ) 22
0 22
02 2
m
m
m
m
m
m
R RR
R RR
R R R R
(6)
Fijémonos un momento en la ecuación (1). Si se eleva al cuadrado mR , se agrupan
términos similares y se usa la ecuación (2) para sustituir algunos términos con 0R .
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
0
2 2 2 2 2
0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
m m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m m
R x y z x x y y z z x y z
x y z x x y y z z R
R R x y z x x y y z z
(7)
Combinando las ecuaciones (6) y (7), se obtiene un conjunto de ecuaciones lineales para
las coordenadas del emisor ( , , )x y z .
1
1
1
1
1
1
2 2 2 2 2 2
1 1 11
1
0
2 2
2 2
2 2
m m m m
mm
m
mm
m
mm
m
m m mm m
m
xA yB zC D
x xA
y yB
z zC
x y z x y zD
(8)
Usando la ecuación (8) se generan las cuatro constantes , , ,m m m mA B C D de las distancias
medidas y el tiempo para cada receptor 2 m N . Esto dará como resultado N ecuaciones
lineales homogéneas.
Hay muchos métodos algebraicos robustos para la resolución de los valores ( , , )x y z ,
como la descomposición de único valor o la Eliminación Gaussiana.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 73
4.1.1.4 Solución 2D
Para averiguar la posición de un emisor en una geometría bidimensional puede usarse
cualquiera de los métodos utilizados para una geometría 3-D.
El sistema de coordenadas se define normalmente para hacer la dimensión z cero o
constante.
A continuación se detalla un estudio para un sistema 2D donde se comparan diferentes
técnicas y algoritmos.
De lo anteriormente expuesto inferimos que dos receptores cooperantes pueden
calcular una diferencia de caminos dada la diferencia en el tiempo de llegada, y el hecho de
que esta diferencia de caminos corresponde a una función hiperbólica.
Las medidas de TDoA se calculan como sigue:
El emisor transmite una señal ( )s t que se retrasa en el tiempo un valor i hasta llegar al
receptor i de acuerdo con la distancia a cada receptor.
El análisis de correlación proporciona un retraso i j correspondiente a la diferencia
de caminos entre los receptores ,i j .
Las señales del receptor son:
( ) ( ) ( )
1,2,...
i i i iy t a s t e t
i n
(9)
Donde el receptor i está localizado en ,i ix y ,y el transmisor está en ( ,x y ) posición
desconocida.
Conocida la referencia ( )s t y con una perfecta sincronización, podemos estimar
directamente i (ToA) y estimar ( ,x y ) usando una estructura no lineal de mínimos
cuadrados, similar al GPS.
Si no se tiene referencia conocida, la idea más simple es comparar por parejas las
señales recibidas. Supongamos una función de correlación que por parejas calcula una
estimación de:
74 4.1. MULTILATERACIÓN
, ( ),
1
i j i jd
i j n
(10)
Donde es la velocidad del sonido, la luz o las vibraciones de agua. Aquí n es el
número de receptores y ( , )i j es una enumeración de todos los K pares recibidos, donde
K =2
n
(11)
Cada ,i jd corresponde a posiciones ( , )x y sobre una hipérbola.
En primer lugar suponemos que los receptores están localizados en el eje x en / 2x D
y / 2x D , respectivamente. La función hiperbólica puede pues expresarse como,
2 2
2
2 2
1
2 1
2 2 2 2
( / 2) ,
( / 2) ,
( , , )
( / 2) ( / 2) ,
d y x D
d y x D
d d d h x y D
y x D y x D
(12)
Tras una serie de simplificaciones, estas ecuaciones pueden escribirse de forma más
compacta como:
2 2 2 2
2 2 21
/ 4 / 4 / 4
x y x y
a b d D d
(13)
La solución a esta ecuación tiene asíntotas a lo largo de las líneas:
2 2
2
/ 4 / 4
/ 4
b D dy x x
a d
(14)
Que define el ángulo de llegada para transmisores lejanos.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 75
Imagen 4-2. TDoA constante usando dos receptores
La
Imagen 4-2 ilustra la función hiperbólica en el sistema de coordenadas locales ( , )x y
Para una posición del receptor arbitraria, simplemente trasladamos la función
hiperbólica (13) en coordenadas locales ( , )x y a coordenadas globales ( , )X Y usando:
0
0
cos sin
sin cos
XX x
YY y
(15)
Donde 0 0( ) / 2, ( ) / 2i j i jX X X Y Y Y localiza el punto central del par receptor.
Entonces, la función hiperbólica en coordenadas globales viene dada por , ( , , )i jd h x y D
en (13), con
76 4.1. MULTILATERACIÓN
2 2
0
0
( ) ( )
cos sin
sin cos
arctan
i j i j
i j
i j
D Y Y X X
X Xx
Y Yy
Y Y
X X
(16)
Tenemos por tanto una forma funcional apropiada para representar la incertidumbre en
la medida de TDoA, que implica un área hiperbólica incierta en lugar de una línea. Esto se
ilustra en la Imagen 4-3. Cuanto más alejados a lo largo de la asíntota, mayor es la
incertidumbre en la posición.
Imagen 4-3. TDoA con ruido utilizando dos receptores.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 77
4.1.1.5 El problema no lineal de los mínimos cuadrados
El problema general es solucionar el (posiblemente sobre-determinado) sistema no
lineal de K ecuaciones
, ( , ; , ; , ), 1i j i i j jd h X Y X Y X Y i j n (17)
Para la posición del transmisor ( , )X Y , dadas las posiciones del receptor ,i iX Y Ahora,
la estimación no lineal de ( , )X Y mínimos cuadrados viene dada por
2
,( , )
ˆ ˆ, arg min ( , ; , ; , )i j i i j jX Y
i j
X Y d h X Y X Y X Y
(18)
Para simplificar la notación, usamos ( , )P x y para la posición. Entonces, escribimos el
problema de minimización en notación vectorial usando un criterio de mínimos cuadrados
ponderado (con pesos).
1ˆ arg min( ( )) ( ( ))T
PP d h P R d h P
(19)
Donde 1,2 1,( ,... )T
n nd d d y ( )R Cov d y es la matriz de covarianza para las
medidas de TDoA. Su solución define la mínima varianza estimada. Asumiendo que el ruido
en el TDoA es gaussiano, esto coincide con la estimación de máxima verosimilitud.
Usando la suposición de que 0( )d h P e , donde 0P es la verdadera posición y el ruido
de TDoA tiene covarianza ( )Cov e R , un desarrollo de Taylor alrededor del valor verdadero
da 0 0 0( ) ( ) ( )( )Ph P h P h P P P . En este caso la teoría de mínimos cuadrados da como
resultado:
0 0ˆ( ) ( ( )) (( ( )) )T
P PCov P h P R h P (20)
78 4.1. MULTILATERACIÓN
A condición de que P̂ esté suficientemente cerca de la verdadera posición. Para ruido
gaussiano e, esta expresión también define el límite inferior de Cramér-Rao. Esto es, ningún
estimador dará un mejor resultado que éste límite, dado que hemos encontrado una zona
suficientemente cerca de la posición real.
De (20) podemos obtener directrices para obtener un 0P favorable, o cómo colocar los
receptores de la mejor manera posible.
Algoritmos
Se han comparado tres aproximaciones diferentes
Cálculo del punto de intersección de cada par de funciones hiperbólicas. Hay
22
2
nK
(21)
pares de funciones hiperbólicas. La posición puede por tanto estimarse como el
promedio (ponderado) de las posiciones encontradas.
Dado que cada par puede tener ninguna, una, o dos intersecciones, la lógica para
encontrar la correcta no es trivial. Es más, también resultado complicado encontrar los pesos
adecuados para la media ponderada.
Aplicar el algoritmo de gradiente estocástico al problema no linear de mínimos
cuadrados.
Usar técnicas basadas en Monte Carlo para resolver el problema no lineal de mínimos
cuadrados y obtener una aproximación numérica. A este método se le conoce como filtro de
partículas (PF).
La primera aproximación ha demostrado dar peor resultado que las dos restantes. Las
opciones 2 y 3 se describen a continuación:
El algoritmo de gradiente normalizado puede escribirse como sigue.
Algoritmo de gradiente estocástico
( 1) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ( ))m m m m m
PP P h P d h P (22)
Un tamaño de paso adecuado puede calcularse con técnicas de bisección, línea de
búsqueda o, como en las simulaciones, como el tamaño de paso del LMS (Least Mean
Squares) normalizado.
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 79
( )
( ) ( )( ( )) ( )
m
m T m
P Ph P h P
(23)
El filtro de partículas es una versión estática del algoritmo SIR (Sequential Importance
Resampling).
Filtro estático de partículas
Aleatorizar N “partículas” (aquí son posiciones posibles) tP .
Elegir constantes de jittering RC y QC y la covarianza de posición aleatoria 2/QQ C k y
el ruido de jittering de la medida 2/RR R C k Lo que se persigue con el ruido de jittering
es explorar un área cada vez más pequeña y más precisa alrededor de la posición.
Iterar para 1,2...k hasta ˆ( )P k haya convergido.
Calcular el peso de las partículas iw usando la similitud
y normalizar:
1exp(( ( )) ( ( )))i i T iw d h P R d h P
/ ( )i i iw w w
Calcular el ( )P k estimado ˆ( ) i i
iP k w P
Volver a muestrear con reemplazo de las partículas, donde la probabilidad de elegir una
partícula es proporcional a su peso. Tras el muestreo, los pesos se resetean a valor 1/iw N
Extender las partículas como i iP P w , donde (0, ).w N Q
El paso de remuestreo es la clave para obtener un algoritmo de trabajo. En el filtro
estándar de partículas, k denota el tiempo y existe un paso donde se actualiza el tiempo y
las partículas se mueven de acuerdo a una medida de velocidad y a un ruido de movimiento
w , por lo demás los algoritmos son bastante similares.
Tras una simulación utilizando los algoritmos descritos se observa que al añadir ruido
gaussiano a la función hiperbólica, las curvas ya no se cortan en un punto claro. De ahí la
necesidad de hacer trabajar algoritmos iterativos que incluyan una fase de training (o
aprendizaje) para ajustar el resultado a la posición real.
80 4.1. MULTILATERACIÓN
Aunque se ha probado que la primera aproximación (calcular el punto de corte de cada
par de hipérbolas) da peores resultados que las siguientes dos (algoritmo estocástico de
gradiente y filtro de partículas), la elección de un método para la resolución del problema de
mínimos cuadrados depende de la complejidad y geometría del sistema, siendo los
expuestos sólo un ejemplo de cómo abordar el problema.
Ejemplos de sistemas de multilateración 2-D son las comunicaciones de larga distancia
con ondas de radio cortas a través de la atmósfera terrestre, la propagación de ondas
acústicas y el sistema de navegación LORAN C.
4.1.1.6 Precisión
Para la trilateración o la multilateración, el cálculo se hace en base a distancias, lo que
requiere el cómputo de la frecuencia y la forma de onda de una transmisión recibida. Para la
triangulación o la multiangulación, el cálculo se hace en base a ángulos, lo que requiere
también el conocimiento de la fase recibida.
Comparando la lateración con la angulación, el problema matemático es similar, pero el
problema técnico es mayor en el caso de obtener la medida de los ángulos, dado que los
ángulos requieren dos medidas por posición cuando se utilizan medios ópticos o electrónicos
para la medida de las diferencias de fase en lugar de contar ciclos de onda.
En general, la triangulación consiste en realizar cálculos con triángulos de
distancias/tamaños conocidos, lo que constituye un sistema matemáticamente muy sólido.
En un triángulo, los ángulos pueden derivarse si se conoce la longitud de todos los lados,
pero la longitud de todos los lados no puede derivarse conocidos los ángulos, no sin conocer
al menos la longitud de un lado (un base).
En 3D, cuando cuatro o más ángulos están en juego, las localizaciones pueden calcularse
de 1 4n ángulos medidos más una base conocida o simplemente de 1 4n lados
medidos.
La multilateración es, en general, mucho más precisa a la hora de localizar un objeto,
que otras aproximaciones más escasas como la trilateración, donde sólo son conocidas y
4. TÉCNICAS DE LOCALIZACIÓN BASADAS EN MEDIDAS DE RANGO 81
calculadas tres distancias en problemas en un plano. La multilateración se usa para varios
aspectos:
Sobre-determinación de un problema cuadrático de n variables con ( 1)n m
ecuaciones cuadráticas.
Errores estocásticos que prohíban un enfoque determinista a la solución de las
ecuaciones.
Agrupaciones que se necesitan para segregar miembros de varios clústers que
contribuyen a varios modelos de resolución, por ejemplo: localizaciones fijas,
localizaciones oscilantes y localizaciones en movimiento.
La precisión de la multilateración es una función de varias variables, entre ellas:
o La geometría del sensor o antena del receptor y el transmisor para
transmisiones electrónicas u ópticas.
o La precisión en el tiempo del sistema receptor, es decir, la estabilidad con
la temperatura de los osciladores del reloj.
o La precisión de la sincronización en frecuencia de los osciladores del
receptor con los osciladores del transmisor.
o La sincronización en fase de la señal transmitida con la señal recibida,
como efectos de propagación, por ejemplo difracciones o reflexiones que
cambian la fase de la señal indicando desviaciones de la línea de vista, es
decir, reflexiones multicamino.
o El ancho de banda de los pulsos emitidos y por tanto, el tiempo de subida
de los pulsos con codificación de pulso en la transmisión.
o Falta de precisión en la localización del transmisor o receptor que se
utiliza como localización conocida.
La precisión puede calcularse usando el límite de Cramér-Rao y teniendo en
cuenta el resto de factores para su formulación.
4.1.2 Ejemplos y aplicaciones
Sound ranging – Se usa el sonido para localizar fuego de artillería.
82 4.1. MULTILATERACIÓN
Sistema de Navegación Decca – Un sistema utilizado desde la segunda guerra mundial
hasta el año 2000, que emplea la diferencia en fase de múltiples transmisores para la
localización sobre hiperboloides.
Sistema de navegación OMEGA – Sistema similar a Decca utilizado en todo el mundo
hasta 1997.
GEE – Técnica británica para la localización de aviones durante la segunda guerra
mundial, que usa transmisores de referencia precisos.
LORAN-C – Sistema de navegación que utiliza el TDoA de señales provenientes de
múltiples transmisores sincronizados.
Sistemas de multilateración pasiva ESM – localización de un transmisor utilizando
múltiples receptores.
Seguimiento de teléfonos móviles – Usando muchas estaciones base de telefonía para
estimar la localización del teléfono móvil (a través del propio teléfono, o de la red a la que
pertenece).
Monitorización de Separación Vertical Mínima Reducida (RVSM) usando Radar
Secundario de Vigilancia – El modo transpondedor C/S responde para calcular la posición de
una aeronave.
4.1.3 Simplificación
En aplicaciones donde no se necesita la determinación de coordenadas absolutas, es
ventajosa la implementación de soluciones más simples. La otra opción, frente al concepto
de localización nítida inherente a la multilateración, se deriva del concepto de localización
difusa (fuzzy locating), donde se obtiene la relación entre el detector y el objeto detectado
con una sola distancia. Sin embargo, este tipo de unilateración nunca da como resultado la
posición angular referenciada al detector.
Hoy en día existen muchas soluciones disponibles, como la estimación de la posición
basada en la combinación de varias lateraciones. Esta aproximación no suele ser estable
cuando el ambiente wireless está afectado por metales o masas de agua.
