4. técnicas de reconto

MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas

TÉCNICAS DE RECONTO

UNIDADE 4UNIDADE 4

ÍNDICEÍNDICE

IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

ConceptosConceptos

1. Variacións sen repetición.2. Variacións con repetición.3. Permutacións sen repetición. Factorial dun

número.4. Permutacións con repetición.5. Combinacións sen repetición.6. Combinacións con repetición.7. Números combinatorios. Propiedades.8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.


Diagramas de árbore:Diagramas de árbore:

Antes de comezar co tema propiamente dito, convén evidenciar a utilidade dos diagramas de árbore na resolución de moitos tipos de problemas matemáticos; en particular, de moitos dos que presentamos nesta unidade .

Ver exemplos

http://www.kalipedia.com/matematicas-estadistica/tema/estadistica-descriptiva/ejemplo-metodo-programa-arbol.html?x1=20070926klpmateyp_48.Kes&x=20070926klpmateyp_49.Kes


1. Variacións ordinarias ou sen repetición:1. Variacións ordinarias ou sen repetición:

Chámanse variacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que se poden formar cos m elementos , de xeito que:

Cada grupo contén n elementos distintos.Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún elemento ou na orde de colocación destes.

O número de variacións ordinarias de m elementos tomados n a n representase por Vm,no Vm

n.


1. Variacións sen repetición. 1. Variacións sen repetición.

Exemplo:A bandeira dun país está formada por tres franxas horizontais da mesma anchura e distinta cor . Cantas bandeiras distintas podes formar coas cores vermella, amarela, verde, azul, violeta?.


1. Variacións sen repetición.1. Variacións sen repetición.

1ª franxa

2ª franxa

3ª franxa


1. Variacións sen repetición.1. Variacións sen repetición.

Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores) .Unha vez elixida esta, dita cor tes que descartala para a segunda franxa; quedan catro posibilidades (catro cores). Finalmente ó decidir a terceira franxa hai dúas cores xa descartadas por usadas e tes só tres posibilidades.Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles é:

Nº bandeiras = V53= 5 . 4 . 3

En xeral, concluímos que Vmn= m.(m-1).(m-2).….(m-n+1)


2. Variacións con repetición.2. Variacións con repetición.

Chámanse variacións con repetición de m elementos tomados n a n ós distintos grupos que se poden formar cos m elementos , de xeito que:

Cada grupo contén n elementos repetidos ou non. Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún elemento ou na orde de colocación destes.

O número de variacións con repetición de m elementos tomados n a n represéntase por VRm,nou VRm

n.



Exemplo:A bandeira dun país está formada por tres franxas horizontais da mesma anchura. Cantas bandeiras distintas podes formar coas cores vermella, amarela, verde, azul, violeta?. (Como podedes observar a única diferenza co exemplo anterior é que as cores poden repetirse, pode haber unha franxa dobre da mesma cor, ou ser a bandeira dunha soa cor por ter tres franxas iguais)



1ª franxa2ª franxa3ª franxa



Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores ). Unha vez elixida esta, dita cor non tes que descartala, polo que para a segunda franxa segues a ter as mesmas posibilidades (cinco cores). E o mesmo ocorre coa terceira franxa.Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles é:

Nº bandeiras = VR53= 5 . 5 . 5= 53

En xeral, concluímos que VRmn= m.m.n..m = mn


3. Permutacións sen repetición. Factorial dun 3. Permutacións sen repetición. Factorial dun número.número.

Chámanse permutacións ordinarias de n elementos ós distintos grupos que se poden formar de xeito que:

Cada grupo contén os n elementos.Dous grupos diferéncianse na orde de colocación dos elementos.

O número de permutacións ordinarias de n elementos represéntase por Pn


3. Permutacións sen repetición3. Permutacións sen repetición

Exemplo:Cantos números de 3 cifras se poden formar cos díxitos 6,7,8?.



6 7 8

7 8 6 76 8

8 7 8 6 7 6

678 687 768 786 867 876



Como podes ver, para as centenas temos 3 posibilidades, para as decenas xa só nos quedan dúas e para as unidades unha.

Podemos concluír que podemos atopar :P3= 3.2.1 =6 números de tres cifras.

En xeral, podemos concluír:Pn=n.(n-1).(n-2)…3.2.1

Observa que Pn =V33



Factorial dun número.Chámase factorial dun número natural n maior co 1 ó produto dos n primeiros números naturais.

n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1

Se n = 1, defínese 1!=1Se n = 0, defínese 0!=1

Polo tanto, é evidente que Pn=n!Por outra banda, Vm

n=m.(m-1).(m-2)…(m-n+1)=m!/(m-n)!No noso exemplo P3=3!=3.2.1=6


4. Permutacións con repetición:4. Permutacións con repetición:

Chámanse permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último k veces (a+b+…+k=n), os distintos grupos que podemos formar de tal xeito que:

Nun grupo o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces, e así ata o último que se repite k veces.A diferenza entre dous grupos está na orde de colocación dos seus elementos.

O número de permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último k veces ,represéntase por Pn

a,b,…,k


4. Permutacións con repetición4. Permutacións con repetición

Exemplo:Un xogador de xadrez trata de ordenar nunha fila, de tódalas formas posibles, tres peóns brancos e dous negros. Cantas maneiras atopará?





Se tódolos peóns fosen de distintas cores , trataríase de permutacións ordinarias de 5 elementos e o seu número sería:

P5 = 5! =5.4.3.2.1 = 120

Pero temos tres peóns da mesma cor branca, polo que certo número destas permutacións van ser iguais.

Dividimos polo tanto as 120 permutacións iniciais entre P3=3!=3.2.1=6 , pois por cada P3 permutacións de tres peóns de distinta cor temos unha cos tres ditos peóns brancos.

Polo mesmo motivo dividiremos o resultado por P2 = 2!=2.1=2.Temos dous peóns negros; por cada P2 permutacións de dous peóns de distinta cor temos unha cos dous peóns negros.



No noso problema concluímos, polo tanto, que:

En xeral, razoando da mesma maneira concluiremos:

1026

120

!2!3

!5

23

52,35 =

⋅=

⋅=

⋅=

PP

PP

!...!!

!

...,...,,

kba

n

PPP

PP

kba

nkban ⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=


5. Combinacións sen repetición.5. Combinacións sen repetición.

Chámanse combinacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos formar cós m elementos de xeito que:

Cada grupo contén n elementos distintos.Dous grupos son diferentes se teñen elementos distintos, pero non se están colocados en distinta orde.

O número de combinacións de m elementos tomados n a n represéntase por Cm,n ou Cm

n


5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición

Exemplo:No instituto decídese organizar un torneo de baloncesto. Preséntanse catro equipos. Se na primeira fase deben enfrontarse de tódalas maneiras posibles na mesma cancha, de cantos partidos debe constar dita fase?.





Representemos cada equipo por unha letra:A , B , C e D

Tendo en conta que o partido que enfronta A con B, e o mesmo que enfronta B con A (non hai local nin visitante), os emparellamentos posibles serán 6. Haberá polo tanto 6 partidos, 6 combinacións :

AD

BDACCDBCAB



Podes observar no exemplo anterior que permutando cada unha das combinacións obtés as variacións dos catro equipos tomados 2a 2 (torneos onde hai partido de ida e partido de volta):

AB BA BC CB CD DCAC CA BD DBAD DA

Podemos concluír que C42.P2=V4

2



Exemplo2:Como resposta a un anuncio de traballo, preséntanse 6 persoas para cubrir 3 postos de caixeira de supermercado. Cantas posibilidades de contratación ten a empresa?.



Representemos cada unha das persoas que se presentaron por unha letra: A, B ,C , D, E, F .Tendo en conta que contratados A, B e C os seus postos

de traballo son idénticos, polo que a orde de contratación non inflúe en absoluto, as ternas que a empresa podería contratar son 20, 20 combinacións:

ABF

BCFACFABE

CDFBDFBCEADFACEABD

DEFCEFCDEBEFBDEBCDAEFADEACDABC



Podes observar, como no exemplo 1, que se tomas cada unha das combinacións e as permutas o que obtés son as variacións de 6 elementos tomados 3 a 3. Serían as posibilidades de contratación que tería a empresa se a orde importara o tratarse de postos de distinta categoría.

A partir de ABC obtésABC ACB BCA BAC CAB CBA

A partir de ABD obtésABD ADB BAD BDA DAB DBA

E así sucesivamente.Concluímos que C6

3.P3=V63



En xeral, podemos concluír:

Cmn.Pn=Vm

n

De onde podemos obter:( ) ( ) ( )( ) !!

!

!

1...21

nnm

m

n

nmmmm

P

VC

n

nmn

m ⋅−=+−⋅⋅−⋅−⋅==


6. Combinacións con repetición.6. Combinacións con repetición.

Chámanse combinacións con repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos formar cos m elementos de xeito que:

Cada grupo contén n elementos distintos ou non.Dous grupos son diferentes se teñen elementos distintos ou en distinto número, pero non se están colocados en distinta orde.

O número de combinacións con repetición de m elementos tomados n a n represéntase por CRm,n ou CRm

n


6. Combinacións con repetición.6. Combinacións con repetición.

Exemplo:Cantas fichas ten o xogo do dominó?


6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición



Unha ficha de dominó é un rectángulo con dúas partes; en cada parte unha serie de puntos indica unha puntuación dende 0 (en branco) a 6. Polo tanto, as fichas de dominó son parellas de números elixidas entre os números do 0 ó 6, podéndose repetir ditos números (fichas dobres), e non importando a orde pois a ficha de dominó (4,5) é a mesma que a ficha (5,4).

Temos as seguintes posibilidades...



(6,6)

(0.6)

(1,6)(0,5)

(2,6)(1,5)(0,4)

(3,6)(2,5)(1,4)(0,3)

(4,6)(3,5)(2,4)(1,3)(0,2)

(5,6)(4,5)(3,4)(2,3)(1,2)(0,1)

(5,5)(4,4)(3,3)(2,2)(1,1)(0,0)



Nesta táboa observamos que o número de fichas de dominó é de 28.

Tamén podemos observar que se nas fichas dobres sustituímos o segundo nº polo nº 7, por exemplo, obteriamos:



(6,7)

(0.6)

(1,6)(0,5)

(2,6)(1,5)(0,4)

(3,6)(2,5)(1,4)(0,3)

(4,6)(3,5)(2,4)(1,3)(0,2)

(5,6)(4,5)(3,4)(2,3)(1,2)(0,1)

(5,7)(4,7)(3,7)(2,7)(1,7)(0,7)



Esta táboa corresponde a combinacións sen repetición de 8 elementos (0,1,2,…,7) tomados 2 a 2.É dicir:

En xeral:

28

27 CCR =

−+== −+ n

nmCCR n

nmnm

11


Non

Combinacións sen repeticiónSi

Combinacións sen repetición

Permutacións con repetición

Variacións sen repetición

Variacións sen repeticiónSi

Si

Non

Non

Pódense repetir elementos?

Pódense repetir elementos?

Variacións

CombinaciónsNon

Permutacións sen repeticiónNonPódense

repetir elementos?

PermutaciónsSiInterveñen tódolos elementos?

Si

É importante a orde?


7. Números combinatorios. Propiedades.7. Números combinatorios. Propiedades.

O número Cmn recibe tamén o nome de número

combinatorio, represéntase por , e lese m sobre n.

n

m

( )

=

⋅−=

n

m

nnm

mC nm !!

!


7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.

Propiedades dos números combinatorios:

1. e

2. Dous números combinatorios co índice superior igual e a suma dos índices inferiores igual ó índice superior, son iguais.

10

=

m1=

m

m

−

=

nm

m

n

m



3. A suma de dous números combinatorios cos índices superiores iguais e os índices inferiores tales que difiren nunha unidade, e igual a outro nº combinatorio cuxo índice inferior é o maior dos índices inferiores, e o índice superior é maior nunha unidade ó índice superior dos sumandos.

++

=

+

+

1

1

1 n

m

n

m

n

m



Triángulo de Tartaglia ou de Pascal:O triángulo de Tartaglia, foi popularizado por Pascal quen atopou a súa relación cos números combinatorios. Dito triángulo coñecíase tamén nas matemáticas orientais como triángulo de Yang Hui.(Se queredes saber máis sobre este tema podedes ir á páxina web: www.estatísticaparatodos.es)

http://www.estadisticaparatodos.es/taller/triangulo/triangulo.html



Este triángulo xérase comezando por colocar o número 1 no seu extremo superior e, a partir de aquí, as sucesivas filas constrúense colocando un 1 en cada esquina, o resto de casas é igual á suma dos dous números que teñen xusto enriba, nunha infinita serie de uns laterais e de sumas de casas que producen un incesante aumento dos números que o compoñen.

Esta figura, que podería parecer un simple entretemento de cálculo, esconde unha diversidade de propiedades e curiosidades tan grande que o converten nun pequeno universo matemático en si mesmo e unha ferramenta de grande utilidade no campo numérico.





1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 9

1 8 28 56 70 56 28 8 1 8 1 7 21 35 35 21 7 1 7 1 6 15 20 15 6 1 6 1 5 10 10 5 1 5

1 4 6 4 1 4 1 3 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 0

n





O curioso é que os números que compoñen dito triángulo corresponden exactamente cos números combinatorios.



Coñecendo esta relación, as propiedades dos números combinatorios resultan evidentes.


8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.

Coñecemos fórmulas para potencias pequenas dun binomio:

( )( )( ) 32233

222

1

33

2

babbaaba

bababa

baba

+++=+

++=+

+=+


8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton

Podemos calcular algunha potencia máis :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322345

43223445

432234

322334

510105

464

464

33

babbababaa

bababbabaabababa

babbabaa

bababbaabababa

+++++==+⋅++++=+⋅+=+

++++=

=+⋅+++=+⋅+=+



Podemos observar:

1. O desenvolvemento dunha potencia de orde n está formado por n+1 sumandos.Exemplo:

A potencia cúbica ten 4 sumandosA potencia de orde catro ten 5 sumandos

2. Os coeficientes do desenvolvemento dunha potencia de orde n corresponden cos elementos da fila n do triángulo de Tartaglia

Exemplo:Os coeficientes da potencia cúbica son 1 3 3 1, fila 3 do triángulo de Tartaglia. Os coeficientes da potencia quinta son 1 5 10 10 5 1, fila 5 do triángulo de Tartaglia.



3. As potencias de a e de b que compoñen cada sumando do desenvolvemento da potencia de orde n actúan do seguinte xeito:

As potencias de a diminúen dende an ata a0=1.As potencias de b aumentan dende b0=1 ata bn.

Exemplo: Orde 3: a3 a2b ab2 b3

Orde 4: a4 a3b a2b2 ab3 b4



Conclusión:

Tendo en conta a relación entre os elementos do triángulo de Tartaglia e os números combinatorios, chegamos á expresión coñecida como binomio de Newton:

Analogamente:

( ) nnnnnnn bn

nab

n

nba

n

nba

nba

na

nba

+

−

+

−

++

+

+

=+ −−−− 122221

12.....

210

( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnnnnnn bn

nab

n

nba

n

nba

nba

na

nba

−+

−

−+

−

−+−

+

−

=− −−−−−− 1

11

21.....

21011222221

Documents

4. técnicas de reconto