4. turunan

Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XI IPA Semester 2

Penyusun : Tri Rusdiyono, S.Pd.

http://berbagimedia.wordpress.com

D E F I N I S I

Jika diketahui fungsi xfy , maka turunan fungsi xf dilambangkan dengan xf ' , atau

'y , atau xd

yd , atau

xd

fd , didefinisikan sebagai berikut :

h

xfhxfxf

h

0lim'

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi turunan fungsi :

1. 25 xxf 2. 784 2 xxxf

1. 25 xxf dan 25525 hxhxhxf

55

lim25255

limlim'000

h

h

h

xhx

h

xfhxfxf

hhh

Jadi : 5' xf

2. 784 2 xxxf dan 7882224782

4

hxhhxxhxhxhxf

788484 22 hxhhxx

h

xxhxhhxx

h

xfhxfxf

hh

784788484limlim'

222

00

8880.48848lim848

lim848

lim00

2

0

xxhx

h

hxh

h

hhhx

hhh

Jadi : 88' xxf




Tentukan turunan dari fungsi berikut ini dengan menggunakan definisi turunan fungsi :

1. 1412 xxf

2. xxf 36

3. 163 2 xxxf

4. 25216 xxxf

A . TEOREMA-TEOREMA TURUNAN FUNGSI Teorema I :

Jika xf = C , maka xf ' = 0 .

Teorema II :

Jika xf = x , maka xf ' = 1 .

Teorema III :

Jika nxaxf , dengan a dan n bilangan riil , maka 1' nxnaxf

Teorema IV :

Jika xvxuxf , maka xvxuxf '''

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini :

1. 1000xf

2. 83 xxf

3. xxf

4. 56

1

xxf

5. 3

1

xxf

6. 43

2

xxf

7. 123105 24 xxxxf

8. 532 2 xxxf

9. x

xxxf

152

10. 246 xxf




1. 1000xf , 0' xf

2. 83 xxf , 718 248.3' xxxf

3. 2

1

xxxf , x

x

xxxf2

1

2

1

2

1

2

1'

2

12

11

2

1

4. 5

5 6

1

6

1 xx

xf , 6

6

6

5

6

5'

xxxf

5. 3

3

1 xx

xf , 4

413 333'

xxxxf

6. 3

2

3

2 4

1

4

x

xxf ,

4

4

11

4

54

51

4

1

6

1

6

1

6

1

6

1

4

1

3

2'

xxxx

xxxf

7. 123105 24 xxxxf , 3202001.310.25.4' 31214 xxxxxf

8. 151032532 232 xxxxxxf , 01.103.22.3' 1213 xxxf

1066' 2 xxxf

9. 2

1

2

1

4

3

22

12

51515

xxxxxxx

xxxf

xxxx

xxxxxxxf2

1

2

5

4

3

2

1

2

5

4

3

2

15.

2

1

4

3

4

2

3

2

1

4

11

2

11

2

11

4

3

10. 16483646 22 xxxxf , 4872' xxf

Tentukan turunan dari fungsi berikut :

1. 210xxf

2. 3 2xxf

3. 5 36 xxf

4. 5

3

xxf

5. x

xf5

6

6. 6

7

xxf

7. 54

3

xxf

8. 18312 12 xxxf

9. 412610 58 xxxxf

10. 4

4 1

xxxf

11. 212 xxf

12. 134 25 xxxf

13. xxxf 12

14.

xxxxf

11

15. 3

1

x

xxf




Teorema V :

Jika xvxuxf , maka xuxvxvxuxf .'.''

Teorema VI :

Jika xv

xuxf , maka

2

.'.''

xf

xuxvxvxuxf

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut :

1. 5312 43 xxxf

2. 23512 xxxxf

3. 65

32

x

xxf

4. 53

122

x

xxf

1. 5312 43 xxxf

23636263342 301242122430181212536' xxxxxxxxxxxxf

2. 23512 xxxxf

512.32312.1235.2' xxxxxxxf

5102.32346.1101523.2 222 xxxxxxxxx

592.3234610133.2 222 xxxxxxx

33481815276234620266 2222 xxxxxxxxx

3. 65

32

x

xxf

22265

3

65

15101210

65

325652'

xx

xx

x

xxxf

4. 53

122

x

xxf

22

2

53

126532'

x

xxxxf

22

2

22

22

53

166

53

612106

x

x

x

xx

Rumus Praktis :

Jika , maka

Info :





1. 412 xxxf

2. xxxf 86

3. 36 2832 xxxf

4. 2123 24 xxxxf

5. 65312 2 xxxxf

6. 2

10

xxf

7. 84

62

x

xf

8. 12

57

x

xxf

9. 11

532

x

xxf

10. 26

1322

2

xx

xxxf

Teorema VII :

Jika nxuxf , maka xuxunxf n '.' 1


1. 12816 xxf

2. 102 53 xxxf

3. 32 xxf

4. 5104

1

2

xx

xf

1. 12816 xxf

1111281619216.816.12'

xxxf

2. 102 53 xxxf

16531016.53.10'921102

xxxxxxxf

3. 21

22 33 xxxf

3

3

32.32

1'

22

12

2

121

2

12

x

x

x

xxxxxxf

4. 2

12

25104

5104

1

xx

xx

xf

322

32

12

12

5104

54

5104

54108.5104

2

1'

xx

x

xx

xxxxxf





1. 938 xxf

2. 824 xxf

3. 182 15 xxf

4. 162 536 xxxf

5. 5 xxf

6. 3 2 3 xxf

7. 4 2 145 xxxf

8. 957

2

xxf

9. 202 132

3

xx

xf

10. 3 2 438

4

xx

xf

Teorema VIII :

Jika xxf sin , maka xxf cos'

Teorema IX :

Jika xxf cos , maka xxf sin'

Teorema X :

Jika xxf tan , maka xxf 2sec'


1. xxxf cos3

2. xxxf cos.sin 3.

x

xxf

cos1

sin1

4. xxf sin

1. xxxf cos3 , xxxf sin3' 2

2. xxxf cos.sin , xxxxxxxxf 2cossincossin.sincos.cos' 22

3. x

xxf

cos1

sin1

22

22

2cos1

1sincos

cos1

sinsincoscos

cos1

sin1sincos1cos'

x

xx

x

xxxx

x

xxxxxf

4. 2

1

sinsin xxxf , x

xxxfsin2

coscos.2

1

sin2

1'





1. xxxf sin31cos2

2. xxxf 2sin.3cos

3. xx

xxf

cossin

sin

4. xx

xxxf

cossin

cossin

5. xxxf tan.3sin

6. xxf 3cos

7. xxxf cos.sin2

8. 3 2sin xxf

B . TURUNAN KEDUA SUATU FUNGSI Jika diketahui fungsi xfy , dan turunan pertama fungsi xf dilambangkan dengan

xf ' , atau 'y , atau xd

yd , atau

xd

fd , maka turunan kedua fungsi xf dilambangkan

dengan xf '' , atau ''y , atau 2

2

xd

yd , atau

2

2

xd

fd .

Tentukan turunan kedua dari fungsi-fungsi berikut :

1. 1041287 2345 xxxxxxf

2. 84

6

x

xxf

3. 82 12 xxf

4. xxxf 2cos.sin2

1. 1041287 2345 xxxxxxf

42433235' 234 xxxxxf

24696140'' 23 xxxxf

2. 84

6

x

xxf

646416

32

646416

24484

84

6484.1'

222

xxxx

xx

x

xxxf

2222

2

646416

20481024

646416

32.6432646416.0''

xx

x

xx

xxxxf

3. 82 12 xxf

7272 12324.128' xxxxxf

622726272 12896123232.4.1271232'' xxxxxxxxf

3296012896326412896123212 26222622262 xxxxxxxx

4. xxxf 2cos.sin2

xxxxxxxxxf 232 sin.cos4cos2sin2sin.cos2cos.cos2'

xxxxxxxxf cos.sin2.cos4sin.sin4sin.cos3.2'' 22

xxxxxxf sincos8sin4cossin6'' 232




Tentukan turunan kedua dari fungsi berikut :

1. 3 2xxf

2. 14416485 234 xxxxxf

3. xxxxf 12326 2

4. 63

4

xxf

5. 123 97 xxf

6. xxf 3sin

7. xxxf sin12

8. xxxf cos.sin4

9. x

xxxf

sin

cos

10. 12cos 23 xxf




O

PENERAPAN TURUNAN FUNGSI

C . TAFSIRAN GEOMETRIS DARI TURUNAN FUNGSI

Diketahui titik xfxA , dan titik hxfhxB , terletak pada kurva fungsi xf .

Gradien dari garis AB adalah

h

xfhxfmAB

.

Jika nilai h bertambah kecil , maka titik B bergerak mendekati titik A sepanjang kurva fungsi

xf .

Jika nilai h mendekati nol , maka titik B akan berimpit dengan titik A , akibatnya garis AB

menjadi garis singgung pada kurva fungsi xf di titik A , dan gradien garis AB berubah

menjadi gradien garis singgung pada kurva fungsi xf di titik A .

Jadi gradien garis singgung pada kurva fungsi xf adalah :

xf

h

xfhxfm

h'lim

0

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi 10123 4 xxxfy yang

melalui titik ( 1 , 5 )

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva fungsi 32 684 xxxfy di titik

dengan absis 2 3. Tentukan koordinat titik singgung dari garis 492 yx , yang menyinggung kurva

fungsi 1304 xxy

1. 10123 4 xxxfy maka 1212' 3 xym

untuk 1x :

241231.12 m

Persamaan garis singgung melalui titik ( 1 , 5 ) dan bergradien 24 adalah :

1924124511 xyxyxxmyy

2. 32 684 xxxfy maka 21816' xxym

untuk 2x :

4072322.182.16 2 m

12483242.62.842 32 fy jadi titik singgungnya ( 2 , 5 )




Persamaan garis singgung melalui titik ( 1 , 5 ) dan bergradien 24 adalah :

1924124511 xyxyxxmyy

3. Gradien garis 492 yx adalah 2m

Dari 1304 xxy , maka 3034' xym

Jadi 23034' xym , maka 28324 33 xxx

Untuk 2x , 451601612.3024

y

Jadi titik singgungnya adalah ( 2 , 45 ).

1. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi berikut :

a. 2542 23 xxxy , melalui titik ( 2 ,9 )

b. 10812 4 xxy , melalui titik ( 1 , 6 )

c. 1326 23 xxy , melalui titik ( 1 , 5 )

d. 12

18

xy , melalui titik ( 5 , 2 )

e. xy , melalui titik ( 16 , 4 )

2. Tentukan persamaan garis singgung pada fungsi berikut :

a. 864 2 xxy di titik dengan absis 3 .

b. 152 23 xxxy di titik dengan absis 4 .

c. 245 23 xxy di titik dengan absis 1 .

d. 423 xxy di titik dengan absis 2 .

e. 136 234 xxxxy di titik dengan absis 1.

3. Tentukan koordinat titik singgung dari garis pada kurva berikut :

a. 12946 xy pada kurva fungsi 123 xxy

b. 284 xy pada kurva fungsi 4052 23 xxy

c. 10033 xy pada kurva fungsi 103 234 xxxy

d. 16048 xy pada kurva fungsi 43 64 xxy




+ − +

−6 8 x

D . FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

Fungsi xfy naik pada interval bxa

dan dxc . Pada interval tersebut gradien garis

singgung pada kurva bergradien positif, jadi

0' xfm .

Fungsi xfy turun pada interval bxa .

Pada interval tersebut gradien garis singgung pada

kurva bergradien negatif, jadi 0' xfm .

Untuk bx dan cx gradien garis singgung bernilai nol, dikatakan fungsi memiliki nilai

stasioner. Jadi syarat stasioner suatu fungsi adalah 0' xfm

Kesimpulan :

Diketahui fungsi xf :

1. Fungsi xf naik pada suatu interval jika 0' xf pada interval tersebut.

2. Fungsi xf turun pada suatu interval jika 0' xf pada interval tersebut.

3. Fungsi xf mempunyai titik stasioner untuk 0' xf .

Tentukan interval di mana fungsi berikut naik atau turun :

1. 461443 23 xxxxf 2. 8072154 23 xxxxf

1. 461443 23 xxxxf

Syarat stasioner 0' xf

04823

014463014463' 2

22

xx

xxxxxf

6atau806804822 xxxxxx

Untuk 7x : 45144421471447.67.37'2

f

Untuk 0x : 1441440.60.30' 2 f

Untuk 9x : 45144542431449.69.39' 2 f

Kesimpulan :

Fungsi xf naik pada interval 6x dan 8x .

Fungsi xf turun pada interval 86 x .

2. 8072154 23 xxxxf


0723012' 2 xxxf

6

0723012 2

xx

01252 2 xx

0432 xx

4atau2

3 xx

x




− + −

− 4 x

Untuk 2x : 36726048722.302.12'2

xf

Untuk 0x : 72720.300.120' 2 f

Untuk 5x : 7872150300725.305.12' 2 xf

Kesimpulan :

Fungsi xf naik pada interval 42

3 x

Fungsi xf turun pada interval 2

3x dan 4x .

Tentukan interval di mana fungsi berikut naik atau turun :

1. 385 23 xxxxf

2. 5723 xxxxf

3. 133 23 xxxxf

4. 493 23 xxxxf

5. 9156 23 xxxxf

6. 1198 23 xxxxf

7. 6202 23 xxxxf

8. 1164 234 xxxxf

9. 234 882 xxxxf

10. 34 86 xxxf




x

E . TITIK STASIONER DAN JENISNYA Titik stasioner pada fungsi xf diperoleh untuk ax jika 0' af .

Koordinat dari titik stasioner tersebut adalah : afa , .

Jenis dari titik-titik stasioner tersebut ada beberapa macam , yaitu : 1. Titik Balik Maksimum

Fungsi xf mempunyai titik balik maksimum untuk ax jika :

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

Koordinat dari titik balik maksimum tersebut adalah : afa ,

.

2. Titik Balik Minimum

Fungsi xf mempunyai titik balik minimum untuk ax jika :

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

Koordinat dari titik balik minimum tersebut adalah : afa , .

3. Titik Belok

Fungsi xf mempunyai titik belok untuk ax jika :

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

Atau :

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

0' xf , untuk ax

Koordinat dari titik belok tersebut adalah : afa , .

Cara di atas dipakai untuk menentukan jenis titik stasioner dengan menggunakan Uji Turunan Pertama.

x

x




0 3 x

− − +

Selain cara uji turunan pertama , jenis titik stasioner dapat juga ditentukan dengan cara Uji Turunan Kedua sebagai berikut :

Diketahui fungsi xf . Fungsi xf mempunyai titik stasioner di ax ,maka jenisnya adalah :

1. titik balik maksimum , jika 0'' af

2. titik balik minimum , jika 0'' af

3. jika 0'' af , maka jenisnya tidak dapat ditentukan dengan pasti , untuk menentukan

jenisnya kembali dipakai uji turunan pertama. Tetapi jika xf fungsi sukubanyak akan

diperoleh titik belok. 1. Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi berikut ini, dengan uji turunan

pertama :

a. 2010892 23 xxxxf b. 34 123 xxxf

2. Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi 648428 23 xxxxf , dengan

uji turunan kedua !

1 a. 2010892 23 xxxxf


0108186' 2 xxxf

03601836

0108186 22

xxxxxx

3atau6 xx

Untuk 4x : 6010872961084.184.64'2

f

Untuk 0x : 1081080.180.60' 2 f

Untuk 7x : 601081262941087.187.67' 2 f

Jadi , Untuk 3x diperoleh titik balik maksimum .

169203248154203.1083.93.2323

f

Koordinat titik balik maksimumnya adalah : 169,3

Untuk 6x diperoleh titik balik minimum .

56020648324432206.1086.96.26 23 f

Koordinat titik balik minimumnya adalah : 560,6

b. 34 123 xxxf


03612' 23 xxxf

3atau0031203612 223 xxxxxx

Untuk 1x : 4836121.361.121'23

f

Untuk 1x : 2436121.361.121' 23 f

Untuk 4x : 2472961084.184.64' 2 f

−3 6 x

+ − +




Jadi , Untuk 0x diperoleh titik belok .

00.120.30 34 f

Koordinat titik beloknya adalah : 0,0

Untuk 3x diperoleh titik balik minimum .

813242433.123.33 34 f

Koordinat titik balik minimumnya adalah : 81,3

2. 648428 23 xxxxf


0488424' 2 xxxf

0412047212

0488424 22

xxxxxx

4atau2

1 xx

8448'' xxf

Untuk 2

1x : 0108842484

2

1.48

2

1''

f

Jadi , untuk 2

1x diperoleh titik balik minimum .

6244

2116

2

1.48

4

1.42

8

1.86

2

148

2

142

2

18

2

123

f

4

311

4

1517

Koordinat titik balik minimum :

4

311,

2

1

Untuk 4x : 010884192844.484'' f

Jadi , untuk 4x diperoleh titik balik maksimum .

3586192672512644844248423

f

Koordinat titik balik maksimum : 358,4

Tentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya dari fungsi-fungsi berikut :

1. 12159 23 xxxy

2. 2002712 23 xxxy

3. 16453 23 xxxy

4. 2646012 23 xxxy

5. 82114 23 xxxy

6. 30243 23 xxxy

7. 234 108 xxxy

8. 34 4xxy




2 4 x

+ − +

F . MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI ALJABAR

Langkah-langkah menggambar grafik fungsi xfy , adalah sebagai berikut :

1. Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat , yaitu : Koordinat titik potong dengan sumbu x , diperoleh jika y = 0. Koordinat titik potong dengan sumbu y , diperoleh jika x = 0

2. Menentukan letak titik stasioner, dengan syarat 0' xf .

3. Menentukan interval dimana fungsi xfy naik atau turun .

4. Menentukan koordinat titik stasioner dan jenisnya. 5. Menghubungkan titik-titik didapat , sehingga diperoleh suatu kurva mulus. Gambarlah sketsa grafik fungsi berikut :

1. 18249 23 xxxy 2. 34 4xxy

1. 18249 23 xxxy

Titik potong dengan sumbu x jika y = 0 :

018249 23 xxx

0)66)(6( 2 xxx

33atau33atau6 xxx

Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah : ( 6 , 0 ) , )0,33( , dan )0,33(

Titik potong dengan sumbu y jika x = 0 :

18180.240.90 23 y , titik potongnya ( 0 , −18 )


024183' 2 xxy

6

024183 2

xx

0462 xx

042 xx

4atau2 xx

Untuk 0x : 24240.180.3' 2 y

Untuk 3x :

3245427243.183.3' 2 y

Untuk 5x : 9249075245.185.3' 2 y

Jadi fungsi xf naik pada interval 2x atau 4x

fungsi xf turun pada interval 42 x

Koordinat titik stasioner dan jenisnya : Untuk 2x diperoleh titik balik maksimum :

21848368182.242.92 23 y

Koordinat titik balik maksimum ( 2 , 2 ). Untuk 4x diperoleh titik balik minimum :

2189614464184.244.94 23 y

Koordinat titik balik minimum ( 4 , −2 ).

−18

O

y

x

2

−2

4

2




0 3 x

− − +

2. 34 4xxy

Titik potong dengan sumbu x jika y = 0 :

04 34 xx

4atau00404 334 xxxxxx

Titik potong dengan sumbu x adalah ( 0 , 0 ) dan ( 4 , 0 ) Titik potong dengan sumbu y jika x = 0 :

00.40 34 y , titik potongnya ( 0 , 0 )


23 124' xxy

3atau00340124 223 xxxxxx

Untuk 1x : 161241.121.4'23

y

Untuk 1x : 81241.121.4' 23 y

Untuk 4x : 641922564.124.4' 23 y

Jadi fungsi xf naik pada interval 3x

fungsi xf turun pada interval 0x atau 30 x

Koordinat titik stasioner dan jenisnya : Untuk 0x diperoleh titik belok :

00.40 34 y

Koordinat titik belok ( 0 , 0 ). Untuk 3x diperoleh titik balik minimum :

27108813.43 34 y

Koordinat titik balik minimum ( 3 , −27 ).

Gambarlah grafik fungsi berikut :

1. 196 23 xxxy

2. 344 23 xxxy

3. 5126 23 xxxy

4. xxxy 12123 34

5. 34 4xxy

6. 234 64 xxxy

y

x O

3

−27




x

G . NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI DALAM INTERVAL TERTUTUP

Diketahui fungsi xf kontinyu pada interval exa , dengan x .

Perhatikan gambar ! . Di antara nilai af , bf , cf , df , dan ef , yang terbesar adalah nilai

df dan yang terkecil adalah nilai ef . Maka nilai df menjadi nilai maksimum fungsi xf

pada interval exa , dan ef menjadi nilai minimum fungsi xf pada interval exa .

Langkah-langkah untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi xf pada interval

sxr

adalah sebagai berikut :

1. Tentukan letak titik stasioner dari fungsi xf pada interval sxr ( jika ada ).

2. Hitunglah nilai titik stasioner dari fungsi xf pada interval sxr .

3. Hitunglah nilai fungsi pada ujung-ujung interval . 4. Bandingkan nilai fungsi pada titik stasioner dan ujung interval. Pilih yang terbesar menjadi

nilai maksimum , dan yang terkecil menjadi nilai minimum .

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi 21806 23 xxxxf pada interval

1510 x

Diketahui 21806 23 xxxxf pada interval 1510 x

Syarat stasioner 0' xf , 0180123' 2 xxxf

10atau6010606043

0180123 22

xxxxxxxx

Nilai-nilai fungsi pada titik stasioner :

6502108021621626.1806.66623

f

1398218006001000210.18010.61010 23 f

Nilai-nilai fungsi pada ujung-ujung interval :

518210806001000210.18010.6101023

f

6732270013503375215.18015.61515 23 f

Kesimpulan : Nilai maksimum= 650 Nilai minimum = −1398




Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi berikut pada interval yang ditentukan :

1. 435 23 xxxy , pada interval 82 x






7. 34 82 xxy , pada interval 15 x

8. 34 43 xxy , pada interval 62 x

H . SOAL-SOAL NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI Salah satu penerapan dari turunan fungsi adalah untuk menyelesaikan permasalahan yang berhubungan dengan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi pada interval tertutup. Langkah-langkah menentukan penyelesaian dari permasalahan tersebut adalah sebagai berikut : 1. Susun model matematika dari permasalahan. 2. Tentukan penyelesaian model. 3. Interpretasikan hasil dari penyelesaian model pada permasalahan semula. 1. Suatu perusahaan minuman ringan akan memasarkan hasil produksi pabriknya dengan

menggunakan kaleng berbentuk tabung silinder. Volume silinder tersebut adalah 16 dm 3. Untuk menghemat bahan, tentukan panjang jari-jari alas dan tinggi tabung tersebut

sedemikian hingga luas permukaan tabung tersebut minimum ! Hitunglah juga luas minimum yang diperoleh ! 2.

Perhatikan gambar ! Tentukan luas maksimum segiempat yang diarsir, jika diketahui panjang AB = 12 cm dan BC = 8 cm

1. Misal : V = volume silinder L = luas permukaan silinder r = jari-jari alas silinder t = tinggi silinder Hubungan antar variabel :

162 trV …………… 1 )

222 rtrL …………… 2 )

Dari 1 ) 2

16

rt

, substitusikan ke persamaan 2 ) , diperoleh :

2122

2

2 232232

216

222 rrrr

rr

rrtrL

r

t

H

G E

F

x

x

x

x

D C

B A




12 − x

12 − x

8 − x

8 − x

H

G E

F

x

x

x

x

D C

B A

Syarat stasioner 0' L :

0432' 2 rrL

3

33

2

2 283244

320432

rrrr

rrr

Untuk 3

2

r diperoleh

3

3

2

2

3

2

4

4

16

2

1616

rt

Jadi , luas minimum yang diperoleh adalah :

33 23 23 2

2

333

2 242481622

4.

2.222

rtrL dm2 , diperoleh

jika panjang jari-jari lingkaran alas 3

2

r dm dan tinggi tabung

3

4

t dm

2. Luas segiempat yang diarsir adalah : L = LABCD − LAFE − LFBG − LGCH − LHDE

L = xxxxxxxx .2

1128

2

1.

2

1128

2

18.12

= 222222 22020969620969612896 xxxxxxxxxxx

Syarat stasioner 0' L .

50420' xxL

Jadi luas maksimum diperoleh jika 5x cm , luas maksimum tersebut sama dengan :

50501005.25.20220 22 xxL cm 2

1. Jumlah dua buah bilangan adalah 16. Tentukan hasil kali maksimum dari kedua bilangan tersebut ! 2. Tinggi dari sebuah roket ( dalam meter )setelah diluncurkan selama t sekon dapat

dinyatakan dengan fungsi : 20082 2 ttth .

a. Tentukan waktu t pada saat roket mencapai tinggi maksimum ! b. Hitunglah tinggi maksimum yang dapat dicapai oleh roket tersebut ! 3. Perhatikan gambar berikut :

Panjang sisi-sisi dari persegi ABCD samadengan 4 cm. PR = AP = x cm.

Tentukan luas maksimum dari segitiga PBR , dan tentukan juga nilai x yang menghasilkan nilai maksimum tersebut .

E

B A

x

P

C D R x




4. Seorang peternak akan membuat lokasi peternakan domba. Lokasi peternakan tersebut

terletak di samping tembok dan berbentuk empat persegi panjang . Bahan-bahan yang tersedia dapat dipakai untuk membuat pagar sepanjang 100 m. Tentukan ukuran peternakan yang dibuat sehingga diperoleh luas peternakan maksimum.

I . ATURAN L’HOPITAL UNTUK MENGHITUNG LIMIT FUNGSI Aturan L’Hopital adalah suatu cara untuk menghitung nilai limit dari suatu fungsi.

Jika diketahui xg

xf

axlim dan jika

0

0

ag

af , maka

xg

xf

xg

xf

axax '

'limlim

.

Tentukan limit fungsi berikut dengan menggunakan aturan L’Hopital :

1. 20

4013lim

2

2

5

xx

xx

x 2.

x

xx

x cos1

sinlim

3

0

1. 20

4013lim

2

2

5

xx

xx

x

Untuk 5x , 0

0

20525

406525

2055

405.135

2

2

Menggunakan teorema L’Hopital :

3

1

9

3

110

1310

15.2

135.2

12

132lim

20

4013lim

52

2

5

x

x

xx

xx

xx

2. x

xx

x cos1

sinlim

3

0 , Untuk 0x ,

0

0

0cos1

0sin03

Menggunakan teorema L’Hopital :

x

xxxx

x

xx

xx sin

cossin3lim

cos1

sinlim

32

0

3

0

Untuk 0x , 0

0

0sin

0cos00sin0.3 32

Kembali menggunakan teorema L’Hopital :

x

xxxxxxxx

x

xxxx

xx cos

sincos3cos3sin6lim

sin

cossin3lim

322

0

32

0

Untuk 0x , 01

0

0cos

0sin00cos0.30cos0.30sin0.6 322

Jadi : 0cos1

sinlim

3

0

x

xx

x




Tentukan limit-limit fungsi berikut ini, dengan menggunakan aturan L’Hopital :

1. 20

4013lim

2

2

5

xx

xx

x

2. 124

6112lim

2

2

6

xx

xx

x

3. 992

15174lim

2

2

3

xx

xx

x

4. 8676

8182173lim

234

2345

1

xxxx

xxxxx

x

5.

x

xx

x sin

tan1lim

22

0

6. 12

cos1lim

21

xx

x

x

7. xx

xx

x 22

22

0 sin

sinlim

8. 30

sinlim

x

xx

x

9.

xxx sin

11lim

0

10.

xxx 220 tan

11lim

Documents

4. turunan