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4 Zeitreihenanalyse
4.1 Einführung
ZeitreiheZeitlich geordnete Folge x1, x2, . . . , xn
von Beobachtungen eines Merkmals X
Üblicherweise ist der Zeitabstand zwischen zwei auf-einanderfolgenden Messwerten konstant.
Grafische Darstellung: Zeitreihenpolygon;
• Darstellung der Werte xt in Abhängigkeit von t =
1, 2, . . . gefolgt von einer linearen Interpolation
• Alternativ: Darstellung von xt in Abhängigkeitvom Datum der t-ten Messung, t = 1, 2, . . . , n,gefolgt von einer linearen Interpolation
Beispiel 1: Quartalsdaten über den mittleren Ge-samtkonsum in Großbritannien von 1987-1990 (Ein-heit: Pfund pro Woche, in Preisen von 1967)
Quartal
Jahr 1 2 3 4
1987 18,4 (x1) 19,9 (x2) 18,1 (x3) 21,3 (x4)
1988 18,9 (x5) 19,3 (x6) 19,7 (x7) 21,4 (x8)
1989 19,7 (x9) 19,6 (x10) 20,1 (x11) 22,7 (x12)
1990 20,6 (x13) 20,5 (x14) 19,3 (x15) 21,8 (x16)
87 88 89 90 91
Zeitraum
18
19
20
21
22
23
Kons
um
Ziele der univariaten Zeitreihenanalyse
• Deskription, d.h. Beschreibung von Zeitreihen.Man interessiert sich für ökonomisch interpretier-bare Charakteristika und Regelmäßigkeiten derZeitreihe.
• Modellierung der einer beobachteten Zeitreihezugrunde liegenden Gesetzmäßigkeiten.
• Prognose, d.h. Vorhersage zukünftiger Werte derZeitreihe.
Anmerkung: Man spricht von multivariater Zeitrei-henanalyse, wenn die Wechselwirkungen zwischen meh-reren Zeitreihen mitanalysiert werden.
4.2 Komponenten von Zeitreihen
1. Trendkomponente (glatte Komponen-te)Als „Trend“ bezeichnet man eine langfristige systema-tische Veränderung des mittleren Niveaus der Zeitrei-he.
2. Saisonkomponente (zyklische Kompo-nente)Oft findet man in Zeitreihen zyklische Schwankungen,die sich relativ unverändert in regelmäßigen Abstän-den wiederholen.
Ökonomische Zeitreihen: Häufig gibt es ausgeprägtezyklische Schwankungen mit Jahresperiode.
• Vierteljährliche Messungen (Quartalsdaten) ⇒ Häu-fig Saisonkomponente mit Periode l = 4
• monatliche Messungen ⇒ Häufig Saisonkompo-nente mit Periode l = 12
3. Restkomponente („stationäre“ Kom-ponente)Durch Trend- und Saisonkomponente nicht erfassterTeil der Zeitreihe; keine systematischen Veränderungenim Gesamtbild.
Additives Komponentenmodell
xt = gt︸︷︷︸Trend
+ st︸︷︷︸Saison
+ zt︸︷︷︸Rest
• xt − gt - trendbereinigte Zeitreihe
• xt − st - saisonbereinigte Zeitreihe
0 10 20 30 40
t
0
10
20
30
40
50x
t
Zeitreihe x t
0 10 20 30 40
t
10
20
30
40
gt
Trendkomponente g t
0 10 20 30 40
t
-6
-2
2
6
st
Saisonkomponente s t
0 10 20 30 40
t
-4
-2
0
2
Restkomponente
Beispiel 2: Bevölkerung der USA 1790, 1800, 1810, . . . ,1990
1800 1850 1900 1950 2000
Jahr
0
50000000
100000000
150000000
200000000
250000000
Ein
woh
ner
Bevoelkerung der USA
Beispiel 3: Saisonbereinigte Zeitreihen des mittleren mo-natlichen Gesamtkonsums und des mittleren monatlichenEinkommens in den USA (in Preisen von 1960: Januar1960 bis März 1992)
year
1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
8000
1000
012
000
1400
0
Beispiel 4: Wasserstand des Sees Huron (jährliche Durch-schnitte; 1875 - 1972)
o
o
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o
oo
Jahr
Wasse
rstand
1880 1900 1920 1940 1960
67
89
1011
12
Beispiel 5: Unfalltote in den USA; monatliche Daten,Januar 1973 bis Dezember 1978
1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979
Jahr
7000
8000
9000
10000
11000
Unf
allto
te
Beispiel 6: Monatliche Verkaufsmengen von australischemRotwein (Januar 1980 bis Oktober 1991)
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
0
1000
2000
3000
4000
5000
Men
ge
Verkaufte Menge australischen Rotweins
Multiplikatives Komponentenmodell
xt = gt︸︷︷︸Trend
· st︸︷︷︸Saison
· zt︸︷︷︸Rest
Logarithmierung führt zurück auf ein additives Kom-ponentenmodell:
lnxt︸︷︷︸x∗t
= ln gt︸︷︷︸g∗t
+ ln st︸︷︷︸s∗t
+ ln zt︸︷︷︸z∗t
Beispiel 6 (Fortsetzung): Australischer Rotwein, loga-rithmierte Zeitreihe x∗
t = lnxt
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
lnM
enge
Australischer Rotwein: Logarithmierte Zeitreihe
[email protected] 4–10
4.3 Schätzung von Trendkomponenten
4.3.1 Linearer Trend
Modell:gt = β0 + β1 · t
⇒ xt = β0 + β1 · t+ st + zt
Schätzung der bestmöglichen Parameter durch dieKleinste-Quadrate-Methode: β0 und β1 minimieren
n∑t=1
(xt − β0 − β1 · t)2
Lösungen:
β1 =
∑nt=1(xt − x)(t− t)∑n
t=1(t− t)2
β0 = x− β1t
Geschätzte Trendfunktion: gt = β0 + β1 · t
R2 =
∑nt=1(xt − gt)
2∑nt=1(xt − x)2
[email protected] 4–11
Vereinfachte Berechnungsformeln:
β1 =12 ·
∑nt=1 xt · t
n(n2 − 1)− 6x
n− 1
β0 = x− β1n+ 1
2
R2 =β21n(n
2 − 1)
12∑n
t=1(xt − x)2
Geschätzte Trendfunktion:
gt = β0 + β1t
Interpretation von β1: Von einer Periode zur näch-sten wächst die Zeitreihe durchschnittlich um den Be-trag β1
xt+1 − xt = gt+1 − gt︸ ︷︷ ︸β1
+Schwankungen︸ ︷︷ ︸Saison, Rest
[email protected] 4–12
Beispiel 4 (Fortsetzung): Wasserstand des Sees Huron
Ansatz: Linearer Trend gt = β0 + β1 · t
o
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o
o
oo
Jahr
Wasse
rstan
d
1880 1900 1920 1940 1960
67
89
1011
12
Angepasste Trendfunktion:
gt = 55, 6− 0, 024 · t
[email protected] 4–13
4.3.2 Exponentieller Trend
Viele ökonomische Zeitreihen ändern sich um einen an-nähernd konstanten Prozentsatz pro Periode (undnicht um einen konstanten Betrag). Dies wird typi-scherweise durch ein multiplikatives Komponentenmo-dell modelliert.
Ansatz: Exponentieller Trend
gt = β0 · βt1 = β0e
ln β1·t
Hieraus folgt gt+1
gt= β1 bzw. gt+1 = β1 · gt, d.h. die
Zeireihe wächst/fällt pro Periode durchschnittlich umden Faktor β1 (Wachstumsrate≡ β1 − 1)
Logarithmierung:
lnxt︸︷︷︸x∗t
≈ ln gt︸︷︷︸g∗t
= lnβ0︸︷︷︸β∗0
+ lnβ1︸︷︷︸β∗1
·t
Bestimmung der bestmöglichen Parameter durch dieKleinste-Quadrate Methode: β∗
0 und β∗1 minimieren
n∑t=1
(x∗t − β∗
0 − β∗1 · t)2
[email protected] 4–14
Damit ergibt sich:
β∗1 =
12 ·∑n
t=1 x∗t · t
n(n2 − 1)− 6x∗
n− 1
β∗0 = x∗ − β∗
1
n+ 1
2
Geschätzte Trendkurve g∗t der logarithmierten Zeitrei-he x∗
t :⇒ g∗t = β∗
0 + β∗1 · t
Da g∗t = ln gt und daher gt = eg∗t , erhält man als
geschätzte Trendkurve der Originalzeitreihe xt =
ex∗t :
gt = eg∗t = eβ
∗0+β∗
1 ·t
und somit
gt = β0 · βt1 mit β0 = eβ
∗0 , β1 = eβ
∗1
[email protected] 4–15
Beispiel 6 (Fortsetzung): Australischer Rotwein
Logarithmierte Zeitreihe: g∗t = 6, 96 + 0, 0099 · t
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
Originalzeitreihe: gt = 1053, 6 · e0,0099t
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
0
1000
2000
3000
4000
5000
[email protected] 4–16
4.3.3 Weitere Trendmodelle
Quadratischer Trend:
gt = β0 + β1t+ β2t2
Polynomialer Trend:
gt = β0 + β1t+ β2t2 + · · ·+ βpt
p
Logistische Sättigungskurve: gt = β0
β1+e−β2t
-3 -1 1 3
t
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Die Bestimmung der unbekannten Parameter erfolgtnach der Kleinste-Quadrate-Methode, d.h. man be-rechnet β0, β1, . . . , so daß
n∑t=1
(xt − gt)2
minimal wird.
[email protected] 4–17
4.4 Schätzung von Saisonkomponenten
Zur Vereinfachung wird angenommen, dass keine Trend-komponente vorliegt, oder dass die Zeitreihe durchSubtraktion einer geschätzten Trendkomponente trend-bereinigt wurde.
Wir betrachten nur den einfachsten Fall einer kon-stanten Saisonfigur mit fester Periodizität l.
• Quartalsdaten für m verschiedene Jahre ⇒ esexistiert üblicherweise eine Saisonkomponente derPeriodizität l = 4.
• monatliche Daten für m verschiedene Jahre ⇒es existiert üblicherweise eine Saisonkomponenteder Periodizität l = 12.
Anmerkung: Zur Vereinfachung wird im Folgenden vor-ausgesetzt, dass sowohl im ersten Jahr als auch im m-tenJahr alle Quartale bzw Monate erfasst wurden, so dass ins-gesamt n = 4m (Quartalsdaten)bzw. n = 12m (Monatsda-ten) Beobachtungen vorliegen. In der Praxis ist dies nichtimmer der Fall, so dass evtl. für manche Quartale bzw. Mo-nate nur m − 1 Daten verfügbar sind. Die nachfolgendenFormeln sind dann entsprechend anzupassen (arithmeti-sches Mittel über m− 1 anstatt m Beobachtungen).
[email protected] 4–18
Für j ∈ {1, . . . , l} sind xj , xl+j , x2l+j , . . . , xml+j
jeweils die Beobachtung zum j-ten Quartal (Monat)
Konstante Saisonfigur: Es wird angenommen, dass füralle j ∈ {1, . . . , l}
sj = sl+j = s2l+j = · · · = s(m−1)l+j
Additives Komponentenmodell: Schätzung von sj ,j = 1, . . . , l, durch Bildung des arithmetischen Mit-tels
sj =1
m
m−1∑k=0
(xkl+j − gkl+j)
⇒ geschätzte Saisonkomponente:
st =
s1 falls t = 1, l + 1, 2l + 1, . . . , (m− 1)l + 1
s2 falls t = 2, l + 2, 2l + 2, . . . , (m− 1)l + 2...
...
sl falls t = l, l + l, 2l + l, . . . , (m− 1)l + l
Bei einem multiplikativen Komponentenmodell wirddurch analoge Berechnungen zunächst die Saisonkom-ponente s∗t der logarithmierten Zeitreihe x∗
t geschätzt.Die Trendkomponente der Originalzeitreihe ergibt sichdann durch st = es
∗t .
[email protected] 4–19
Beispiel 1 (Fortsetzung) Quartalsdaten über den mitt-leren Gesamtkonsum in GB
Geschätzte Trendfunktion: gt = 18, 9 + 0, 137 · t
Trendbereinigte Zeitreihe xt − gt
Quartal
Jahr 1 2 3 4
1987 -0,64 0,69 -1,26 1,81
1988 -0,69 -0,41 -0,19 1,41
1989 -0,47 -0,72 -0,30 2,20
1990 -0,06 -0,34 -1,68 0,71
Mittel -0,47(s1) -0,20 (s2) -0,86 (s3) 1,53 (s4)
[email protected] 4–20
Beispiel 6 (Fortsetzung): Australischer Rotwein
trendbereinigte (logarithmierte) Zeitreihe: x∗t − g∗t
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
-1.0
-0.5
0.0
0.5
x*t-g
* t
Geschätzte Saisonkomponente s∗t :
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
s t
[email protected] 4–21
Beispiel 6 (Fortsetzung): Australischer Rotwein
Log. Zeitreihe x∗t x∗
t = g∗t + s∗t
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
lnM
eng
e
Australischer Rotwein: Logarithmierte Zeitreihe
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
Originalzeitreihe xt xt = ex∗t
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
0
1000
2000
3000
4000
5000
Me
ng
e
Verkaufte Menge australischen Rotweins
1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992
Jahr
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
[email protected] 4–22
4.5 Prognose
Unter Vernachlässigung der Restkomponente könnenaus geschätzten Trend- und Saisonkomponenten Pro-gnosen für zukünftige Werte der Zeitreihe gewonnenwerden.
Beobachtete Zeitreihe x1, . . . , xn
Prognose des Wertes xn+h, h ≥ 1:
• Additives Komponentenmodell
xn+h = gn+h + sn+h
• Multiplikatives Komponentenmodell
x∗n+h = g∗n+h + s∗n+h
xn+h = gn+h · sn+h = ex∗n+h
[email protected] 4–23
Beispiel 6 (Fortsetzung): Australischer Rotwein
n = 142, xn - verk. Menge im Oktober 1991
Geschätzte Saisonkomponenten: s∗1 = −0, 53 (Janu-ar); s∗2 = −0, 24 (Februar), . . .
Prognose für Januar 1992:
x∗n+3 = g∗n+3+s∗n+3 = 6, 96+0, 0099·145−0, 53 = 7, 87
⇒ xn+3 = ex∗n+3 = e7,87 = 2617, 6
Prognose für Februar 1992:
x∗n+4 = g∗n+4+s∗n+4 = 6, 96+0, 0099·146−0, 24 = 8, 17
⇒ xn+4 = ex∗n+4 = e8,17 = 3533, 3
[email protected] 4–24
4.6 Hinweise auf weitergehende Verfah-ren
1) Allgemeines Vorgehen zur Schätzung von Trend-und Saisonkomponenten: Ein einfaches Verfahren be-steht darin, in einem ersten Schritt die Trendkomponentezu schätzen, und dann in einem zweiten Schritt die Sai-sonkomponente aus der trendbereinigten Zeitreihe zu be-stimmen. Außer den in 4.3 und 4.4 genannten Verfahrenwerden oft auch sogenannte lokale Methoden (gleitendeMittel, Spline Schätzungen) verwendet.Eine weitere Möglichkeit ist die gleichzeitige Anpassungvon Trend- und Saisonkomponente mittels der Kleinste-Quadrate Methode.
2) Analyse der stationären Komponente zt: Ein Schwer-punkt der modernen Zeitreihenanalyse ist die Analyse derstationären Komponente zt. Im Vordergrund steht die Mo-dellierung der Abhängigkeiten (”Autokorrelationen”) zwi-schen den Werten zt, zt+1, zt+2, . . . der Komponente inverschiedenen Perioden. Das Verständnis solcher Abhän-gigkeiten ist oft auch ein zentraler Punkt ökonomischerModellbildung insbesondere in der Makroökonomie. DasVerständnis der relevanten Modellansätze, wie z.B. dersogenannten ARMA-Modelle, setzt jedoch die Kenntnisgrundlegender Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie undder schließenden Statistik voraus.
[email protected] 4–25
5 Indexzahlen
5.1 Grundlagen
Ob eine ökonomische oder statistische Größe als großoder klein zu interpretieren ist, lässt sich oft nur durcheinen Vergleich mit anderen geeigneten Größen beant-worten. Für sachliche, räumliche oder zeitliche Ver-gleiche betrachtet man daher sehr oft Verhältniszah-len, d.h. Zahlen, die als Quotient zweier interessie-render Größen entstehen.
Von besonderem Interesse sind:
• Gliederungszahlen
• Beziehungszahlen
• Messzahlen (einfache Indexzahlen)
• Zusammengesetzte Indexzahlen
Gliederungszahlen��
��Gliederungszahlen entstehen, wenn man eine Teil-
größe auf eine zugehörige Gesamtgröße bezieht.
Beispiele:
Frauenquote (in der Stat1-Vorlesung)
= Anzahl der Studentinnen in der Stat1-Vorl.Gesamtzahl der Studierenden in der Stat1-Vorl.
Erwerbsquote =Zahl der Erwerbspersonen
Gesamtzahl der Bevölkerung
Die Erwerbsquote wird vom Statistischen Bundesamtaus den jährlichen Daten des Mikrozensus ermitteltund veröffentlicht. Hierbei sind Erwerbspersonen dieGesamtheit aller Erwerbstätigen und Erwerbslosen.
Arbeitslosenquote =Zahl der Arbeitslosen
Zahl aller Erwerbspersonen
Die Arbeitslosenquote wird von der Bundesanstalt fürArbeit aus den Statistiken der Arbeitsämter ermitteltund veröffentlicht. Hier sind Erwerbspersonen die Ge-samtheit aller Erwerbstätigen und Arbeitslosen. (Be-achte: Erwerbslose = Arbeitslose.)
Alle relativen Häufigkeiten sind Gliederungszahlen.
Beziehungszahlen��
��
Beziehungszahlen entstehen, wenn man zwei ver-schiedene Größen, die in einem inhaltlichen Zusam-menhang stehen, miteinander ins Verhältnis setzt.
Beispiele:
Bevölkerungsdichte =Einwohnerzahl
Fläche
Kraftfahrzeugdichte =PKW-BestandEinwohnerzahl
Geschwindigkeit =Strecke
Zeit
Messzahlen�
�
�
�Messzahlen entstehen, wenn zwei inhaltlich glei-che Größen, die sich nur in zeitlicher oder räumli-cher/sachlicher Hinsicht voneinander unterscheiden,aufeinander bezogen werden.
Beispiele:
Preis für ein Gut A in 2002Preis für ein Gut A in 2001
Anzahl der Insolvenzen in 2000Anzahl der Insolvenzen in 1990
Umsatz des Unternehmens Audi in 2002Umsatz des Unternehmens Audi in 2000
Umsatz des Unternehmens Audi in 2002Umsatz des Unternehmens BMW in 2002
Bierkonsum in Deutschland in 2002Bierkonsum in Belgien in 2002
Messzahlen der obigen Art, die sich auf eine konkrete,klar definierte ökonomische Größe beziehen, werdenauch als einfache Indexzahlen bezeichnet.
Von besonderer Bedeutung sind Messzahlen, die diezeitliche Entwicklung einer Größe erfassen. Sie sindoft von der Form
vtv0
odervtv0
· 100,
wobei v0, vt die jeweiligen Werte der interessierendenGröße in der Basisperiode ”0” und der Berichtspe-riode t bezeichnen.
Im Beispiel Insolvenzen:Basisperiode = 1990, Berichtsperiode = 2000
Im Beispiel Umsatz von Audi:Basisperiode = 2000, Berichtsperiode = 2002
Diese Messzahlen werden häufig als dynamische ein-fache Indexzahlen bezeichnet.
Diejenigen Messzahlen, die nur räumlich/sachliche Un-terschiede gleicher Merkmale widerspiegeln, bezeich-net man auch als statische einfache Indexzahlen.
IndexzahlenBei Indexzahlen unterscheidet man zwischen einfa-chen und zusammengesetzten Indexzahlen.
Interessiert man sich für die zeitliche oder räumli-che/sachliche Entwicklung einer einzigen ökonomi-schen Größe, kann man diese durch eine dynamischeoder statische einfache Indexzahl beschreiben (sie-he oben).
Möchte man einen Überblick über die Entwicklungmehrerer, sachlich zusammengehöriger Größen durcheine einzige Indexzahl erhalten, verwendet man soge-nannte zusammengesetzte Indexzahlen.
Diese werden oft als ein gewichtetes Mittel einfacherIndexzahlen angesetzt.
Die zusammengesetzten Indexzahlen werden i.Allg. un-terschieden in:
• Preisindizes
• Mengenindezes
• Wertindizes
5.2 Preisindizes
Die Bestimmung von zusammengesetzten Preisindizessetzt die Festlegung eines Warenkorbs voraus.
Unter einem Warenkorb versteht man eine Menge sach-lich zusammengehörender Güter, deren gemeinsamePreisentwicklung durch einen geeigneten Preisindexbeschrieben werden soll.
Der Begriff „Güter“ ist hier sehr allgemein zu interpre-tieren. Es kann sich je nach Kontext um verschiedeneWaren, Dienstleistungen, etc. handeln.
Die Güter eines Warenkorbs werden i.Allg. in sehr un-terschiedlichem Ausmaß konsumiert bzw. in Anspruchgenommen. Es ist daher sinnvoll, bei der Berechnungvon zusammengesetzten Preisindizes die Preise der ein-zelnen Güter unterschiedlich zu gewichten.
Formale Beschreibung eines Warenkorbs bestehendaus m Gütern: Für i = 1, 2, . . . ,m bezeichnet
• p0,i den Preis von Gut i in der Basisperiode 0
• q0,i die Menge von Gut i in der Basisperiode 0
• pt,i den Preis von Gut i in der Berichtsperiode t
• qt,i die Menge von Gut i in der Berichtsperiode t
Im Folgenden werden die gebräuchlichsten zusammen-gesetzten Indexzahlen zur Messung der Preisentwick-lung dargestellt. Sie beziehen sich auf die Güter einesfesten Warenkorbes.�
�
�
�
Preisindex nach Laspeyres
PL0t =
m∑i=1
ptip0i
gL0 (i) mit gL0 (i) =p0iq0i
m∑j=1
p0jq0j
�
�
�
�
Preisindex nach Paasche
PP0t =
m∑i=1
ptip0i
gPt (i) mit gPt (i) =p0iqti
m∑j=1
p0jqtj
Dies ist jeweils die sogenannte Mittelwertform desPreisindexes von Laspeyres bzw. Paasche.
Die Preisindizes von Laspeyres und Paasche unter-scheiden sich nur in der Gewichtung. Die Grundideezur Konstruktion der Gewichte besteht darin, denAusgabenanteil von Gut i auf den Wert des gesamtenWarenkorbs zu beziehen. Die Gewichte beider Indizesbenutzen die Preise der Basisperiode. Der Index vonLaspeyres verwendet auch die Gütermengen der Ba-sisperiode, hingegen beruht der Paasche-Index auf den
Gütermengen der Berichteperiode.
Kürzt man jeweils um p0i, erhält man die sogenannteAggregatform der Preisindizes nach Laspeyres undPaasche.�
�
�
�
Preisindex nach Laspeyres
PL0t =
m∑i=1
ptiq0i
m∑i=1
p0iq0i
�
�
�
�
Preisindex nach Paasche
PP0t =
m∑i=1
ptiqti
m∑i=1
p0iqti
Anmerkung: In der Praxis werden Indizes üblicher-weise als Prozentzahlen dargestellt(⇔ Multiplikation der jeweiligen Indexwerte mit 100).
Beipiel 1: Wir betrachten einen sehr kleinen Wa-renkorb bestehend aus Zigaretten, Bier und Kaffee(m = 3). In den Jahren 1950 bis 1952 werden für denJahresverbrauch pro Einwohner und die Preise folgen-de Daten zugrunde gelegt.
1950 (”0”) 1951 (”1”) 1952 (”2”)
Gut q0i p0i q1i p1i q2i p2i
Zig. (Stück) 476 0.1 553 0.1 598 0.08
Bier (l) 37 0.3 47 0.4 52 0.4
Kaffee (kg) 0.6 12 0.7 11 0.9 11
PL01 = 1.047 (= 104.7%), PL
02 = 0.903 (= 90.3%)
PP01 = 1.051 (= 105, 1%), PP
02 = 0.911 (= 91.1%)
[email protected] 5–10
• Die Indizes nach Paasche und nach Laspeyres können-je nach Art der Veränderung von Preisen und Men-gen der Güter - die Preisveränderungen des Wa-renkorbs sehr unterschiedlich anzeigen.
• Mathematisch lässt sich zeigen, dass PP0t < PL
0t
genau dann gilt, wenn für den gegebenen Wa-renkorb die Preismesszahlen pt1
p01, . . . , ptm
p0mund die
Mengenmesszahlen qt1q01
, . . . , qtmq0m
negativ korre-liert sind, d.h. wenn den Preissteigerungen über-wiegend Mengenreduktionen entsprechen und denPreisreduktionen überwiegend Mengensteigerun-gen.
In der amtlichen Statistik wird hauptsächlich das Sche-ma nach Laspeyres zur Berechnung von Preisindizesbenutzt.
• Bei dem Index nach Laspeyres bleibt das Gewich-tungschema über die Zeit konstant. Indexzahlenspiegeln die Auswirkungen der reinen Preisände-rungen wider, was die Vergleichbarkeit über dieZeit erleichtert.
• In den Berichtsperioden sind nach Laspeyres nurdie Preise, nicht jedoch die Mengen der einzelnenGüter zu erheben.⇒ Geringerer Aufwand im Vergleich zu Paasche
[email protected] 5–11
5.3 Mengenindizes
Vertauscht man bei den Indizes nach Laspeyres oderPaasche die Rolle von p und q, d.h. fragt man jetztnach der durchschnittlichen reinen Entwicklung derGütermengen, dann handelt es sich jetzt um Mengen-oder Volumenindizes.�
�
�
�
Mengenindex nach Laspeyres
QL0t =
m∑i=1
qtip0i
m∑i=1
q0ip0i
�
�
�
�
Mengenindex nach Paasche
QP0t =
m∑i=1
qtipti
m∑i=1
q0ipti
Beispiel 1 (Fortsetzung):
QL01 = 1.181 (= 118.1%) QL
02 = 1.308 (= 130.8%)
QP01 = 1.186 (= 118.6%) QP
02 = 1.320 (= 132.0%)
[email protected] 5–12
5.4 Wertindizes
Will man jetzt gleichzeitig die Preis- und Mengenent-wicklung über die Zeit oder räumlich durch einen ein-zigen Index fassen, so benutzt man den sogenanntenWertindex.
Ein Wertindex kann auch als Umsatz- oder Ausga-benindex berechnet werden.�
�
�
�
Wertindex
W0t =
m∑i=1
qtipti
m∑i=1
q0ip0i
Beispiel 1 (Fortsetzung, hier als Umsatzindex):
W01 = 1.241 (= 124.1%) W02 = 1.192 (= 119.2%)
[email protected] 5–13
5.5 Indexprobleme
Offensichtliche Probleme der gebräuchlichen Indexkon-struktionen sind:
• Wahl des Indextyps; in der Praxis der amtlichenStatistik werden überwiegend Indizes nach Las-peyres berechnet
• Wahl der Basisperiode
• Wahl der Art und Zahl der Güter im Warenkorb;im allgemeinen ist es nicht möglich, bei Indexrech-nungen alle Güter und Dienste des zu indizieren-den Sachverhalts zu berücksichtigen. ⇒ reprä-sentative Auswahl
In der Praxis ist zu beachten, dass ein in einer be-stimmten Basisperiode gewählter Warenkorb im Laufeder Zeit veraltet (neue Güter, etc). Daher sind in ge-wissen Abständen Aktualisierungen des Warenkorbserforderlich.
[email protected] 5–14
Eine solche Aktualisierung ist üblicherweise mit einemWechsel der Basisperiode verbunden.⇒ Problem der Vergleichbarkeit der Indizes vor undnach dem Wechsel
Beispiel 2: Monatlicher Preisindex für Bier und mo-natlicher Gesamtpreisindex für private Lebenshaltungin Großbritannien.
Januar 1974 - Januar 1987 : Indizes bzgl. BasisperiodeJanuar 1974 (in Prozent)
Wechsel im Januar 1987: Indizes mit Basisperiode Ja-nuar 1987 (in Prozent)
1975 1980 1985 1990 1995 2000
Jahr
100
200
300
400
500 Bier
Lebenshaltung
[email protected] 5–15
5.6 Preisindizes in Deutschland
• Der aus den Massenmedien bekannte Preisindexbezieht sich auf die Lebenshaltung aller privatenHaushalte. Daneben werden durch das statistischeBundesamt z.B. Indizes der Einfuhrpreise, Aus-fuhrpreise, Grundstoffpreise oder Erzeugerpreiseberechnet.
• Der zum Preisindex für Lebenshaltung gehörendeWarenkorb wird ca. alle 5 Jahre aktualisiert.
Seit Februar 2003 liegt der Warenkorb von 2000den Berechnungen des Preisindexes der Lebens-haltung aller privaten Haushalte in Deutschlandzugrunde. (Davor war das Basisjahr 1995.)
• Die zur Berechnung von Indexzahlen (wie z.B. desPreisindex für Lebenshaltung) verwendeten Wa-renkörbe sind oft sehr umfangreich. Häufig werdendie unterschiedlichen Güter und Dienstleistungenzu mehreren, möglichst homogenen Gruppen zu-sammengefasst und für jede Gruppe zunächst Teil-oder Subindexzahlen berechnet. Diese werdendann unter Benutzung entsprechender Gewichts-faktoren zu einem Gesamtindex aggregiert.
Sind M Teilgruppen gegeben, so nennt man die
[email protected] 5–16
zugehörigen Gewichtsfaktoren g1, . . . , gM ein Wä-gungsschema. Auf der Basis von Indizes PL
0t(j)
für jede Teilklasse j = 1, . . . ,M ergibt sich dannein Gesamtindex durch
P0t,Gesamt =
M∑j=1
gj · PL0t(j)
P0t,Gesamt ist selbst wieder ein Index nach Las-peyres zur Basisperiode „0“ (bzgl. des gesamtenWarenkorbs), falls gj so bestimmt ist, dass in derBasisperiode
gj =Ausgaben für die Güter der j-ten TeilgruppeGesamtausgaben für alle Güter im Warenkorb
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Vom statistischen Bundesamt verwendetes Wägungungs-schema für den Preisindex für Lebenshaltung.
Verbrauchsgruppe Basisjahr 91 Basisjahr 95
Gewichte gj Gewichte gj
Nahrung/Getränke 0,1448 0,1313
Alkohol/Tabak 0,0452 0,0417
Bekleidung/Schuhe 0,0452 0,0417
Wohnung/Nebenkosten 0,2405 0,2748
Hausrat/Möbel 0,0729 0,0706
Gesundheitspflege 0,0306 0,0344
Verkehr/Fahrzeugkauf 0,1568 0,1388
Kommunikation 0,0179 0,0227
Freizeit/Kultur/Unterh. 0,0996 0,1036
Bildungswesen 0,0054 0,0065
Hotels/Cafes/Restaur. 0,0584 0,0461
Sonst. Waren/Diensleist. 0,0511 0,0609
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5.7 Indexumrechnungen
Im Folgenden bezeichne I0t jeweils einen Preis-, Mengen-oder Wertindex. Die nachfolgenden Umrechnungsver-fahren dienen dazu, verschiedene Zeitreihen von In-dexzahlen, die bzgl. unterschiedlicher Basisperiodengebildet wurden, miteinander vergleichbar zu machen.
5.7.1 Umbasierung
Beispiel 4:
Zeitreihe von Indexzahlen mit Basisperiode „0“
I00 I01 I02 I03
1 1.03 1.05 1.08
Umbasierung auf Indexzahlen mit Basisperiode „1“
I∗10 = I00I01
I∗11 = I01I01
I∗12 = I02I01
I∗13 = I03I01
0.971 1 1.019 1.049
Im allgemeinen handelt es sich bei der Umbasierungum eine approximative Umrechnung.
[email protected] 5–19
Die allgemeine Formel für die Umbasierung einer Zeitrei-he von Indexzahlen I00, I01, . . . auf die Basisperiode k
lautet
I∗kt =I0tI0k
für t = 0, 1, . . ..
Bei der Interpretation der umbasierten ZeitreiheI∗k0, I
∗k1, . . . ist zu beachten, dass i. Allg. I∗kt = Ikt ist,
wenn Ikt den eigentlichen Index (nach Laspeyres oderPaasche) zur Basisperiode „k“ bezeichnet.
PL∗kt =
PL0t
PL0k
=
∑mi=1 ptiq0i∑mi=1 pkiq0i
=∑m
i=1 ptiqki∑mi=1 pkiqki
= PLkt
[email protected] 5–20
5.7.2 Verknüpfung
In der Praxis steht man häufig vor dem Problem, dasseine alte Zeitreihe von Indexzahlen (bis zur Periodet) und eine neue Zeitreihe (ab Periode t) wegen ei-nes Wechsels in der Basisperiode nicht ohne weiteresvergleichbar sind.
1. Reihe I01 I02 . . . I0t
1.1 1.3 . . . 3.8
2. Reihe Ikt Ik,t+1 Ik,t+2 . . .
1.2 1.4 1.7 . . .Durch eine sogenannte Verknüpfung läßt sich eineeinzige lange Zeitreihe herstellen:
• Fortführung der alten Zeitreihe:
I∗0,t+h = Ik,t+h · I0tIkt
, h = 1, 2,
I01 I02 . . . I0t I∗0,t+1 I∗0,t+2 . . .
1.1 1.3 . . . 3.8 4.43 5.38 . . .
• Rückrechnung der neuen Zeitreihe:
I∗k,t−h = I0,t−h · IktI0t
, h = 1, 2,
I∗k1 I∗k2 . . . Ikt Ik,t+1 Ik,t+2 . . .
0.35 0.41 . . . 1.2 1.4 1.7 . . .
[email protected] 5–21
Beispiel 2 (Fortsetzung):
Monatlicher Preisindex für Bier und monatlicher Ge-samtpreisindex für private Lebenshaltung in Großbri-tannien
Gesamtpreisindex:
Dez. 86 Jan. 87 Feb. 87
Reihe (Basis 74) 393.0 394.5
Reihe (Basis 87) 100.0 100.4
Verknüpfung 393.0 394.5 396.1
1975 1980 1985 1990 1995 2000
Jahr
0
200
400
600
800
1000
Verknuepfte Zeitreihen
Bier
Lebenshaltung
[email protected] 5–22
5.7.3 Verkettung
Manchmal liegen Indexwerte vor, die sich auf das glei-che Phänomen beziehen, jedoch nicht mit einer fixenBasis, sondern mit der jeweiligen Vorperiode als Basisberechnet wurden (Kettenbasis). Als Verkettung sol-cher Werte
I01, I12, I23, I34, . . .
bezeichnet man die Bildung einer Zeitreihe mit dergemeinsamen Basis ”0” gemäß der Vorschrift
I∗0t = I01 · I12 · · · · · It−1,t
Beispiel 1 (Fortsetzung):
Wir betrachten wiederum den Preisindex nach Las-peyres für den gegebenen Warenkorb aus m = 3 Gü-tern. Eine Verkettung von
PL01 = 1.047, PL
12 = 0.865
liefertPL∗02 = 1.047 · 0.865 = 0.906
[email protected] 5–23
5.8 Deflationierung
• Hängen die Werte einer ökonomischen Variablenvon einer Preiskomponente ab (wie z.B. Sozialpro-dukt, Umsatz, Einkommen), liegt eine nominaleGröße vor.
• Die Elimination desjenigen Teils der zeitlichen Ent-wicklung einer nominalen Größe, der nur von Preis-veränderungen abhängt, heißt Deflationierungoder Preisbereinigung.
• Deflationierte Variablen werden als reale Grö-ßen bezeichnet.
• Der formale Zusammenhang zwischen einer no-minalen Größe Vt und einer realen Größe Rt istRt = Vt/P0t, wobei P0t einen sachlich zugehöri-gen Preisindex bezeichnet.
[email protected] 5–24
Eine formal exakte Deflationierung erhält man, wennz.B. eine Umsatzgröße der Form
Vt =m∑i=1
ptiqti
durch einen Preisindex PP0t nach Paasche dividiert wird,
der auf dem gleichen Warenkorb definiert ist:
Rt =Vt
PP0t
=
m∑i=1
ptiqti ·∑m
i=1 p0iqti∑mi=1 ptiqti
=
m∑i=1
p0iqti
Analog liefert W0t/PP0t eine exakte Preisbereinigung,
falls W0t ein Wertindex der Form
W0t =m∑i=1
ptiqti/m∑i=1
p0iq0i
ist.
W0t
PP0t
=
∑mi=1 ptiqti∑mi=1 p0iq0i
·∑m
i=1 p0iqti∑mi=1 ptiqti
=
∑mi=1 p0iqti∑mi=1 p0iq0i
= QL0t
Man beachte, dass hier die deflationierte Indexzahl einMengenindex nach Laspeyres ist.
[email protected] 5–25
In der Praxis sind oft nur approximative Deflationie-rungen möglich, da häufig kein genau passender Preis-index existiert oder nur Indizes nach Laspeyres zurVerfügung stehen.
Beispiel für approximative Preisbereinigung:
reales Einkomment = nominales Einkomment/PL0t,
wobei PL0t den Preisindex (nach Laspeyres) für die Le-
benshaltung aller privaten Haushalte bezeichnet.
[email protected] 5–26
5.9 Formale Indexkriterien
Neben den in der Praxis hauptsächlich verwendetenIndizes nach Laspeyres und Paasche gibt es eine Rei-he von weiteren Indexzahlen, die von verschiedenenAutoren vorgeschlagen wurden.
Von besonderem Interesse ist z.B. der Preisindexnach Fisher. Er ist definiert als
PF0t =
√PP0tP
L0t,
wobei PP0t , PL
0t den Preisindex nach Paasche bzw. Las-peyres bezeichnen.
Der Preisindex nach Fisher steht im Zusammenhangmit der Diskussion über die Konstruktion von „idealenIndexzahlen“.
Die Frage, was einen idealen Index auszeichnet, hateine messtheoretische Seite, die anhand formaler Kri-terien geprüft werden kann. Die sogenannten Fisher-Proben (Fisher 1922) umfassen 7 formale Bedingun-gen, die ein solcher Index erfüllen sollte.
[email protected] 5–27
Nach Fisher sind dies für einen Index I0,t
1. Identitätsprobe It,t = 1
2. Zeitumkehrprobe It,0 = 1/I0,t
3. Rundprobe It1,tn = It1,t2 · It2,t3 · · · Itn−1,tn
4. Faktorumkehrprobe Iv0,t = Ip0,t · Iq0,t
(Wertindex = Mengenindex mal Preisindex)
5. Proportionalitätsprobe Ip0,t = 1+α, wenn allePreise um α · 100% steigen.
6. Dimensionswechselprobe Der Wert des Inde-xes ist unabhängig von den Einheiten, in denenPreise und Mengen gemessen werden.
7. Bestimmtheitsprobe Der Index soll bestimmtsein, wenn einzelne Preise oder Mengen gleich Nullsind.
[email protected] 5–28
Die nachstehende Tabelle gibt an, ob die Preisindi-zes nach Laspeyres, Paasche und Fisher die einzelnenBedingungen erfüllen (+) oder nicht erfüllen (−).
Probe Laspeyres Paasche Fisher
Identität + + +
Zeitumkehr − − +
Rundprobe − − −
Faktorumkehr − − +
Proportionlität + + +
Dimensionswechsel + + +
Bestimmtheit + + +
Man sieht, dass auch der Index nach Fisher nicht allesieben Bedingungen erfüllt. Es lässt sich in der Tatmathematisch zeigen, dass es nicht möglich ist einenIndex zu konstruieren, der alle Bedingungen gleich-zeitig erfüllt. Eine „ideale“ Indexzahl in obigem Sinneexistiert daher nicht.
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![Blockpraktikum [0.7ex] Zeitreihenanalyse mit R · Programmierung Schleifen und Abfragen whileSchleife WillmaneinenVorgangwiederholen,aberweißimVorweldnicht, wanndieSchleifeabbrechensoll,sohilfteinemdiewhileSchleife](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5ba0719a09d3f2fb538c9817/blockpraktikum-07ex-zeitreihenanalyse-mit-r-programmierung-schleifen-und.jpg)
