1

4.3 การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย การเคลอนทแบบสนจะมลกษณะพเศษคอ จะมการเคลอนทแบบซ ารอบรอยเดมกลบไปกลบมาจากอทธพลของแรงทมการเปลยนแปลงตลอดเวลา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (Simple harmonic motion - SHM) เปนการเคลอนทอกแบบหนง การกระจดของวตถซงมการเคลอนทแบบนจะวดจากต าแหนงเดมของวตถ เมอไมถกแรงภายนอกใดๆ มากระท า เรยกต าแหนงนวา แนวสมดล

การเคลอนทของลกตมแบบ SHM

จากภาพขางตน ออกแรงเลอนใหลกตมอยในต าแหนง A แลวปลอยใหลกตมเคลอนท ลกตมจะแกวงจาก A ไป B, C, D และ E เมอลกตมกลบมายง E หรอกลบมายงจดเรมตนอกครงจะเรยกวา เปนการสนครบ 1 รอบ จงตอบค าถามตอไปน 1. ลกตมเคลอนทอยในต าแหนงใดจะมการกระจดนอยทสดหรออยในแนวสมดล (B และ D) 2. ลกตมเคลอนทอยในต าแหนงใดจะมการกระจดมากทสด (C และ A) 3. นกเรยนคดวา ลกตมเคลอนทดวยความเรวคงตวในทกต าแหนงหรอไม ถาความเรวไมคงตว

ต าแหนงใดมความเรวมากทสด และต าแหนงใดมความเรวนอยทสด (ความเรวของลกตมจะเปลยนแปลงตลอดเวลา โดยจะมความเรวมากทสด เมอลกตมผานแนวสมดล (ต าแหนง B และ D ) และจะมความเรวนอยทสดหรอหยดนง เมอลกตมเคลอนหางจากสมดลมากทสด (ต าแหนง C และ A )) 4. นกเรยนคดวา ในการเคลอนทแบบสนน วตถมความเรงหรอไม ถามความเรงจะคงตวหรอไม

ขนอยกบปจจยใด (ลกตมมการเปลยนแปลงความเรวตลอดเวลา ดงนนจงนาจะมความเรง สวนความเรงกจะมคาไมคงตว เนองจากแรงทกระท าตอลกตมท าใหเกดการเคลอนทแบบสนมการเปลยนแปลงตลอดเวลาดวย)

2

5. ระยะทลกตมเคลอนทออกหางจากแนวสมดล ณ ต าแหนงใดๆ เรยกวาอะไร (การกระจด) 6. ระยะทลกตมเคลอนทออกหางจากแนวสมดลมากทสด เรยกวาอะไร (แอมพลจด (A))

การเคลอนทของสปรง

แรงทท าใหวตถในกรณนเคลอนทแบบ SHM คอ แรงยดหยน

เมอท าใหสปรงมความยาวเปลยนไปหรอเปลยนต าแหนงจากแนวสมดล จะมแรงทดงกลบ พยายามมาท าใหวตถรกษาสภาพเดมไว แรงนคอ แรงยดหยน F = -ks

ก าหนดให แทนการกระจดเชงมมของวตถ มหนวยเปนเรเดยน (rad) เปนการบอก ต าแหนงของการเปลยนแปลงการเคลอนทแบบสนของวตถ โดยถาวตถเคลอนทได 1 รอบ จะมคาเปลยนไป 2 rad จากความสมพนธ = t ดงนน การกระจด ณ ต าแหนงใดๆ ความเรว ณ ต าแหนงใดๆ

s = A cos t

v = -A sin t = 22 sA

ความเรง ณ ต าแหนงใดๆ จากกฎการเคลอนทของนวตน ขอ 2 ส าหรบ การเคลอนทแบบ SHM

a = -2 A cos t = -2s

F = am

F = -m2s

F = -ks

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

1. จากนยามของแรงยดหยน และแรงทท าใหเกดการเคลอนทแบบ SHM จะไดความสมพนธของ

ความเรวเชงมมหรอความถเชงมม () ในรปแบบใด

(จาก xF = -m 2s

-ks = -m 2s

k = m 2 หรอ = mk )

2. ความถเชงมม () มความสมพนธกบคาบและความถอยางไร

( = 2 f = T2π )

3.

4. จากขอ 3 ถา kA > kB แต mA = mB วตถใดจะสนไดเรวกวากน

การเคลอนทของลกตม

การสนของลกตม เมอดงใหลกตมเคลอนทจากแนวสมดลในภาพ (a) จะมแรงทดงกลบพยายามใหวตถรกษาสภาพเดมไว ในทนคอ แรง -mg sin เมอ เปนมมระหวางแนวเชอกกบแนวดง

แรงทท าใหวตถในกรณนเคลอนทแบบ SHM คอ -mg sin

จากภาพถา kA = kB แต mA > mB เมอท าให

A และ B เคลอนทแบบ SHM วตถใดจะสนไดเรวกวากน (B)

ค าถาม

ส าหรบการเคลอนทแบบ SHM ของสปรง ω = mk

T = mk2π , f = k

m2πk

4

ค าถาม 1. ความสมพนธของความเรวเชงมมหรอความเรงเชงมม ( ) ในกรณนมลกษณะอยางไร

(จาก -mg sin = -m 2 s

g sin = 2 s จากภาพ ถา เปนมมเลกๆ s x

และ Lx = sin

จงไดวา เมอ เปนมมเลกๆ Lx = sin

หรอ s2

ωLsg ดงนน = L

gω )

2.

3.

สรปสตรการเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

1.แรงทกระท าใหวตถเคลอนทแบบมเปลฮารมอนก แรงนเรยกแรงยอนกลบมทศเขาสแนวสมดลและแปรผนตามการขจดตามสมการ F = -ks

จากภาพ ถา mA = mB เมอแกวงให A และ B

เคลอนทแบบ SHM วตถใดจะสนไดเรวกวากน (B)

จากภาพ ถา LA = LB เมอแกวงให A และ B

เคลอนทแบบ SHM วตถใดจะสนไดเรวกวากน (ทงคสนไดเรวเทากน)

ส าหรบการเคลอนทแบบ SHM ของลกตม = lg

T = gL2π , f = L

g2π1

5

2.คาบเวลาของการเคลอนทแบบมเปลฮารมอนก

T = k

m2

โดย k คอคาของการเคลอนทแบบซมเปลฮารมอนก

3.คาบเวลาการแกวงของลกตมนาฬกา 3.1ลกตมนาฬกาแกงในระบบหยดนง

T = 2g

3.2ลกตมนาฬกาแกงในระบบทวงดวยความเรง

T = 2 ag

4.คาบเวลาการแกวงของมวลผกปลายสปรง

T = k

m2

5.การตอสปรงแบบตางๆ

5.1 การตอแบบอนกรม

21e k

1

k

1

k

1 …

5.2 การตอสปรงแบบขนาน

21e kkk + …

ตวอยางท 1 อนภาคหนงเคลอนทซมเปลฮารมอนกบนพนระดบทมแอมพลจด 10 ซม ทจดซงหางจากจดสมดล 6 ซม มความเรว24 ซม/วนาท จงหาคาบเวลา

วธท า หา จาก v = 22 SA จากโจทย A = 10x10-2 m , S = 6x10-2m , V =24x10-2m/s

แทนคา 24x10-2 = 2222 )106()0110( xx = 3

แต = 21

44

3

22

คาบเวลาการเคลอนท = 2.1 วนาท/รอบ ตอบ

6

ตวอยางท 2 อนภาคหนงเคลอนทซมเปลฮารมอนกบนพนระดบทมแอมพลจด 10 ซม ทจดซงหางจากจดสมดล 8 ซม มความเรว 18 ซม/วนาท จงหาคาบเวลา

ตวอยางท 3 อนภาคหนงเคลอนทซมเปลฮารมอนกบนพนระดบทมแอมพลจด 5 ซม ทจดซงหางจากจดสมดล 3 ซม มความเรว 12 ซม/วนาท จงหาคาบเวลา

ตวอยางท 4 น ามวล m มาผกตดกบสปรงซงมคานจสปรง K และแขวนในแนวดงจดสมดลปกตของสปรงแลวปลอยมอ มวล m จะเรมเคลอนทโดยมความเรวตนเปน 0 และ

สนแบบ SHM ถาก าหนดให m = 4 kg , K = 16 2 N/m และ g = 9.8

m/s2 2 m/s2 จงหา ก . คาบของการสน ข . คามถของกการสน ค . ความเรวเชงมม

7

ก. คาบ k

m2

แทนคา 216

42

= 1 วนาท/รอบ

ข. ความถ f = 11

11

รอบ/วนาท

ค. ความเรวเชงมม

21

22

เรเดยน/วนาท

ตวอยางท 5 น ามวล m มาผกตดกบสปรงซงมคานจสปรง K และแขวนในแนวดงจดสมดลปกตของสปรงแลวปลอยมอ มวล m จะเรมเคลอนทโดยมความเรวตนเปน 0 และ

สนแบบ SHM ถาก าหนดให m = 4 kg , K = 16 2 N/m และ g = 9.8

m/s2 2 m/s2 จงหา ก . คาบของการสน ข . คามถของกการสน

ค . ความเรวเชงมม

8

ตวอยางท 6 สปรงหนงมคานจ 100 นวตนตอเมตร ปลายสปรงขางหนงตดกบมวล 0.49 กโลกรม สวนปลายอกดานหนงของสปรงตดกบผนง เมอดงมวลแลวปลอยใหสปรงเคลอนทแบบ SHM บนพนลน จะมคาบของการเคลอนทเทาใด

วธท า จาก T = 2km

ตวอยางท 7 สปรงหนงมคานจ 100 นวตนตอเมตร ปลายสปรงขางหนงตดกบมวล 0.64 กโลกรม สวนปลายอกดานหนงของสปรงตดกบผนง เมอดงมวลแลวปลอยใหสปรงเคลอนทแบบ SHM บนพนลน จะมคาบของการเคลอนทเทาใด

วธท า จาก T = 2km

ตวอยางท 8 แขวนลกตมดวยเชอกยาว 0.4 เมตร จะแกวงดวยคาบเวลาเทาไร

วธท า จาก T = 2gL

ตวอยางท 9 แขวนลกตมดวยเชอกยาว 0.64 เมตร จะแกวงดวยคาบเวลาเทาไร

วธท า จาก T = 2gL

9

ตวอยางท 10 ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 1 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 2 วนาท ถาลกตมแขวนดวยเชอกยาว 16 เมตร จะแกวงดวยคาบเทาไร

วธท า คาบการแกวง g

2 - - - - - - - - -

ถา 1=1 m T1= 2 s จะได T1 = g12 - - - - - - - - - ถา 2=16 m T2= ? จะได g2T 22 - - - - - - - -

/ ; 1

2

1

2

แทนคาจะได 1

16

2

2

2 = 8 วนาท ตอบ

ตวอยางท 11 ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 1 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 3 วนาท ถาลกตม แขวนดวยเชอกยาว 9 เมตร จะแกวงดวยคาบเทาไร

ตวอยางท 12 ลกตมแขวนดวยเชอกยาว 0.4 เมตร แกวงไปมาดวยคาบ 4 วนาท ถาลกตม

แขวนดวยเชอกยาว 3.6 เมตร จะแกวงดวยคาบเทาไร

10

ตวอยางท 13 ลกตมนาฬกาแขวนดวยเชอกยาว 2 เมตร จงหาความถของลกตมในกรณตอไปน

ก. แกวงบนพนโลก ข. แกวงในลฟทขนดวยความเรง 2 m/s2 ค. แกวงในลฟทลงดวยความเรง 2 m/s2

วธท า ก. แกวงบนพนโลกจะได f =

g

2

1

แทนคาจะได f = 2

5

2

10

2

1

= 0.356 รอบ/วนาท ตอบ

ข.เมอแกวงในลฟททเคลอนทขนดวยความเรง 2 m/s2 ขนาดของความเรงลพธของลกตมเมอเทยบกบคนในลฟท

ag

= 10 + 2 = 12 m/s2

ความถของการแกวง f =

ag

2

1

แทนคา f = 2

12

2

1

= 0.39 รอบ/วนาท ตอบ

ค. เมอแกวงในลฟททเคลอนทลงดวยความเรง 2 ขนาดของความเรงลพทของลกตมเทยบกบคนในลฟท

ag

= 10-2 = 8 m/s2

ความถของการแกวง f =

ag

2

1

แทนคา f =2

8

2

1

= 0.318 รอบ/วนาท ตอบ

ตวอยางท 14 ลกตมนาฬกาแขวนดวยเชอกยาว 0.1 เมตร จงหาความถของลกตมในกรณตอไปน

ก. แกวงบนพนโลก ข. แกวงในลฟทขนดวยความเรง 3.6 m/s2

ค. แกวงในลฟทลงดวยความเรง 6.4 m/s2

11

ตวอยางท 15 จากรปตอไปน จงหาคาบเวลาการแกวงของมวล m วธท า ในแตละรปทโจทยก าหนดใหมา ท าการยบเปนสปรงเสนเดยวเสยกอน จงหา

คาบเวลา

จาก m

k2

12

จากรปสปรง 3 ตวตออยางอนกรมกน ยบใหเหลอสปรง 1 ตว ดงรป

321e k

1

k

1

k

1

k

1

321

211332

e kkk

kkkkkk

k

1

จากสตร ek

m2

แทนคาจะได 321

211332

kkk

)kkkkkk(m2

ตอบ

จากรป สปรง k1 และ k2 ตอขนานกนยบเปน 1 ตว แลละตออนกรมกบ k3 ดงรป

321e k

1

kk

1

k

1

321

213

e k)kk(

kkk

k

1

จาก ek

m2

321

321

k)kk(

)kkk(m2

ตอบ

16. สปรง S1 และ S2 มคานจ K1 และ K2 ตามล าดบ ผกตดกน แลวผกตดกบมวล m ดงรป มวล m จะสน ดวยคาบเวลาเทาใด

ก.

21 k

1

k

1m2 ข.

21 kk

m2

ค. 21

21

kk

kmk2

ง. 21 kk/m22

13

17. สปรง S1 และ S2 มคานจ K1 และ K2 ตามล าดบ ผกตดกน แลวผกตดกบมวล m แขวน ในแนวดง ดงรป มวล m จะสนดวยคาบเวลาเทาใด

ก. m)kk(2 21 ข. 2 )kk/m 21 ค. 2 )kk/m2 21 ง. 2 )kk/kmk 2121

18. สปรง S1, S2 และ S3 มคานจ K1 , K2 และ K3 ตามล าดบ ผกตดกบมวล m ดงรป คานจรวมของสปรงเทากบเทาใด

ก. 321 kkk3

1 ข. 321 kkk

ค. 3321 k.k.k ง.

321 k

1

k

1

k

1

19.จากรป คานจรวมของสปรงทงสามเทากบเทาใด ถา K1 , K2 และ K3 เปนคานจของสปรงทงสาม

ก. 321 k

1

k

1

k

1 ข.

321 k

1

k

1

k

1/1

ค. 321 kkk ง. 321 kkk3

1