4.3 Distribuciones Continuas

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4.3 Distribuciones Continuas

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  • Vzquez, H. 2009 1

    4. VARIABLES ALEATORIAS Y

    DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

    4.4 Distribuciones de Probabilidad para

    variables aleatorias continuas

    4.4.1. Distribuciones de Probabilidad .

    Continua

    4.4.1.1. Distribucin Normal

    4.4.1.2. Distribucin Exponencial

    4.4.1.3. Distribucin Weibull

    4.4.2. Ejercicios Resueltos

    4.4.3 Ejercicios Propuestos

  • Vzquez, H. 2009 2

    4.4.1 Introduccin

    Caso Real: Variables Aleatorias Continuas

    El acero que se utiliza para tuberas de agua a menudo se recubre internamente

    con un mortero de cemento para evitar la corrosin. En un estudio de los

    recubrimientos de mortero de una tubera empleada en un proyecto de transmisin

    de agua en Mxico, se especific un espesor de pulgada para el mortero. Un gran

    nmero de mediciones de espesor dieron una media de 0.635 pulgadas y una

    desviacin estndar de 0.082 pulgadas. Si las mediciones de espesor tenan una

    distribucin normal, qu porcentaje aproximado fue interior a 7/16 de pulgada?

    La distribucin de la demanda (en nmero de unidades por unidad de tiempo) de

    un producto a menudo puede aproximarse con una distribucin de probabilidad

    normal. Por ejemplo, una compaa de comunicacin por cable ha determinado que

    el nmero de interruptores terminales de botn solicitados diariamente tiene una

    distribucin normal con una media de 200 y una desviacin estndar de 50.

    Con base en consideraciones de costos, la compaa ha determinado que su mejor

    estrategia consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para

    atender plenamente la demanda en 94% de todos los das. Cuntos interruptores

    terminales deber producir la compaa cada da?

    Suponga que usted es el director del programa de entrenamiento diseado para

    mejorar la calidad de las habilidades de supervisin de los supervisores de la lnea

    de produccin. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores

    requieren un nmero diferente de horas para terminarlo. Usted ha realizado un

    estudio de los participantes anteriores y tiene datos que indican que el tiempo

    medio que se lleva el programa es de 500 horas, y que est variable aleatoria est

    normalmente distribuida con una desviacin estndar de 100 horas, adems usted

    est interesado en determinar cual es la probabilidad de que un supervisor termine

    su programa de entrenamiento entre 550 y 650 horas. Cmo calculara usted esta

    probabilidad?. No se preocupe, en est seccin usted adquirir los conocimientos

    necesarios para dar solucin al problema planteado.

    En la seccin anterior se consider slo distribuciones de probabilidad para

    variables aleatorias discretas. En sta seccin se estudiar una familia de

    distribuciones para variables aleatorias continuas. Recuerde que stas surgen de

    una medicin, pueden tomar un valor infinito de valores dentro de un intervalo

    determinado y que por lo tanto pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto

    de los nmeros reales. As como exista, para variables discretas, una funcin de

    probabilidad, tambin la hay para variables continuas, la cual recibe el nombre de

    "Funcin de Densidad de Probabilidad", recibe este nombre porque calcula el rea

    bajo la curva o la probabilidad de una variable aleatoria continua dentro de un

    intervalo de valores.

    Funcin de Densidad de Probabilidad:

    Si f es una funcin integrable definida para todos los valores de una variable

    aleatoria continua "x", se define la probabilidad de que el valor de la variable est

    entre a y b como:

    P(a x b)

  • Vzquez, H. 2009 3

    A las funciones se les denomina funciones de densidad de probabilidad,

    o simplemente densidades de probabilidad.

    Observe y Analice:

    La expresin de funcin de densidad de probabilidad, , se llama "integral definida" y

    proviene del clculo diferencial e integral. Recuerde que la integral definida es una

    medida del rea bajo la curva f(x). En este caso el rea est acotada entre a y b,

    y en la parte superior por f(x) y en la inferior por el eje de las abscisas. Recuerde

    tambin que la integral significa, en forma simple, una sumatoria, en este caso en

    lugar de sumar la probabilidad de cada valor de la variable continua "x" en el

    intervalo de inters, bastar con aplicar la funcin de densidad de probabilidad e

    integrar entre los valores del intervalo deseado.

    4.4.1.1. Distribucin Normal:

    La ms importante de las funciones de densidad de probabilidad es la distribucin

    normal, la cual recibe tambin el nombre, de distribucin Gaussiana, Acampanada o

    Monticular (recuerde que esta distribucin se trato en la seccin tres en el tema de

    regla emprica). Aunque existen varios tipos de distribuciones continuas muchas

    variables tienen una distribucin aproximadamente normal.

    En esta seccin usted aprender a calcular probabilidades, a representarlas

    grficamente y a utilizar la distribucin normal en la resolucin de problemas.

    La funcin de densidad de probabilidad normal es:

    Donde:

    = Desviacin estndar de la poblacin = 3.1416... = Media aritmtica de la poblacin x = Variable aleatoria continua

    e = 2.71828...

    Su grfica es de forma semejante al perfil de una campana :

  • Vzquez, H. 2009 4

    As, la probabilidad de que la variable normal x est entre a y b est dada por:

    Esta integral definida es una medida del rea bajo la curva de f(x) acotada a la

    izquierda por a y a la derecha por b:

    Como se puede apreciar en la frmula anterior, una importante caracterstica de la

    distribucin normal, es que dependen slo de dos cantidades, la media poblacional

    , y la desviacin de la poblacin .

    Las probabilidades relacionadas con la distribucin normal, se pueden calcular por

    medio de la funcin de densidad de probabilidad, pero, existe una tabla (Tabla de

    Distribucin Normal) en donde se encuentran valores tabulados y por lo tanto las

    probabilidades asociadas a las variables suelen obtenerse a partir de esta tabla.

    Esta tabla corresponde a la distribucin normal estndar, dicha distribucin se

    tratar a continuacin.

    Distribucin Normal Estndar:

    En la seccin tercera se trat como se puede calcular la distribucin de un conjunto

    de datos, ya sea a travs de Teorema de Tchebysheff o Regla Emprica. Recuerde

    que la regla emprica se aplica para distribuciones de forma simtrica y

    mesocrtica, y es precisamente este tipo de distribucin el que recibe el nombre de

    distribucin normal.

    Unas de las principales caractersticas de la distribucin normal estndar:

    a) Su forma es acampanada (simtrica y mesocrtica)

    b) Al ser simtrica su distribucin, sus medidas de tendencia central son iguales, y

    por lo tanto las tres se ubican en la parte central, siendo stas, entonces, el eje de

    simetra de la distribucin.

    c) El rea bajo la curva representa la probabilidad, de aqu que, la suma de toda el

    rea equivalga al 100%

    d) La curva de distribucin normal es asinttica respecto al eje de las abscisas, es

    decir, nunca llega a tocarla.

    e) Al ser simtrica la curva, el rea bajo la curva, respecto al eje de simetra, ser

    del 50% por abajo de ella y el otro 50% por arriba de ella.

    f) Su variable aleatoria continua asociada tiene rango infinito ( - < x < + )

  • Vzquez, H. 2009 5

    g) Existe una medida que determina el nmero de desviaciones estndar que una

    observacin particular, de la variable aleatoria continua, se aleja por debajo o por

    arriba de la media. Esta medida recibe el nombre de puntuacin estndar o

    estandarizada. Si "x" representa una observacin, entonces la puntuacin estndar,

    representada por "z", se calcula a partir de datos poblacionales:

    z =

    h) En la distribucin normal estndar, a la distribucin de variable x corresponde

    = 0 y = 1, si se sustituye estos datos en la frmula de "z", se observa que a cada observacin "x" le corresponde un valor "z".

    i) El grfico para esta distribucin normal estndar es:

    j) Representando las observaciones con su correspondiente puntuacin estndar:

    Observe y Analice:

    La puntuacin "z" es precisamente el nmero de desviaciones que se aleja una

    observacin de la media, por ejemplo, cuando z=+1 indica que en esa posicin se

    encuentra una observacin que se aleja de la media +1 desviacin estndar. Se

    haba mencionado, que existe un tabla de distribucin normal estndar, por medio

    de la cual se pueden calcular las reas bajo la curva o la probabilidad de una

    determinada observacin.

    Tabla # 10

    Tabla de la Funcin de distribucin de la variable Normal(0,1)

    A continuacin se indicar sus caractersticas y como debe usted manejarla.

    a) La primera columna (vertical) se indica el valor de "z" , la cual puede tomar

    valores de un entero con un decimal.

    b) La primera fila (horizontal) indica el segundo valor decimal que puede tomar

    "z".

    c) Cada celda, que conforma la tabla, indica el "rea entre 0 y la z buscada".

    d) Para manejar la tabla, usted debe ubicarse en el valor de la "z" que interesa,

    posteriormente, obtener el dato que se encuentra en la celda correspondiente, el

  • Vzquez, H. 2009 6

    cual ser precisamente el rea entre 0 y la "z" de inters. Analice los siguientes

    ejemplos:

    Ejemplo 1.- Para una variable aleatoria con distribucin n