430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถิตยศาสตรสถิตยศาสตรวิศวกรรมวิศวกรรม))

รศรศ..ดรดร.. สิทธิชัยสิทธิชัย แสงอาทิตยแสงอาทิตยสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตรสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร

พื้นที่ประกอบ (composite area) เปนพื้นที่ลัพธที่ไดจากการบวกเขา/ตัดออกจากพื้นที่ที่มีรูปรางพื้นฐาน เชน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และครึ่งทรงกลม เปนตน

หนาตัดแผงคอนกรีตกั้นถนน (barrier)หนาตัดของเขื่อนคอนกรีตกันดิน

4321 AAAAA −−−=∑xAxA

∑=∑% yAy

A∑

=∑%

ทบทวน centroid ของ composite area

ตย. ขั้นตอนการคํานวณ

xy

ตัวอยางจงหาตําแหนงของจุด C (centroid) ของพื้นที่ประกอบเทียบแกนอางอิง x-y

พื้นที่ประกอบ = 2*พื้นที่ A1 + พื้นที่ A2

mm 802

40404040=

+++=y

x

y

∑∑=

AAxx

~

21

2211

)(2

~)~(2AA

AxAx++

=

1,088,00016,000Σ

64,00040/2 = 2080(40) =3200

2

1,024,000160/2 = 802*40(160) =12,800

1x A (mm3)x (mm)A (mm2)ชิ้นสวน

21

2211

)(2

~)~(2~

AAAxAx

AAxx

++==

∑∑

= 1,088,000/16,000= 68.0 mm

mm 68=x

mm 80=y

x

บทที่บทที่ 10:10: โมเมนตความเฉื่อยโมเมนตความเฉื่อยจุดประสงคจุดประสงค

เพื่อใหทราบและเขาใจถึงวิธีการหาคาโมเมนตความเฉื่อย (moment of inertia) ของพื้นที่และของพื้นที่ประกอบ (composite area)

การประยุกตใชงานชิ้นสวนโครงสรางเหล็ก เชน คานและเสา

ดังแสดงในรูป มักมีหนาตัดเปนรูปตัว I, H และ C

ทําไมชิ้นสวนโครงสรางดังกลาวจึงมีหนาตัดเชนนั้น โดยไมมีหนาตัดตันแบบสี่เหลี่ยมผืนผา สี่เหลี่ยมดานเทา หรือทรงกลม?

เพราะหนาตัดดังกลาวเปนหนาตัดที่มีประสิทธิภาพมากกวาหนาตัดตัน โดยพิจารณาจากคาอัตราสวนของ moment of inertia ตอพื้นที่หนาตัด

พิจารณาทางเลือก (a) (b) และ (c) ของหนาตัดคาน AB ที่มีพื้นที่หนาตัดเทากันและมีน้ําหนักตอหนึ่งหนวยความยาวเทากัน

จากรูป: เมื่อ P มีคาๆ หนึ่งแลว หนาตัดใดของคานจะมีคาการแอนตัวต่ําสุด? ทําไม?

คําตอบ: หนาตัดรูป (a) เพราะมีพื้นที่โดยสวนใหญของหนาตัดอยูไกลจากแกน x มากที่สุด ทําใหมีคา moment of inertia รอบแกน x สูงสุด

10cm

10cm1cm

1cm

x

3cm

10cm 3cm

A B

P

(c)(b)(a)

ตารางเหล็ก

หนาตัด W ในระบบ US หรือหนาตัด H ในระบบ Japan

หนาตัด I

ตารางเหล็ก

ทําไมชิ้นสวนโครงสรางเหล็กหรือ aluminum มักจะมีหนาตัดแบบกลวงมากกวาหนาตัดแบบตัน?

การประยุกตใชงาน 10.1 นิยามของโมเมนตความเฉื่อยของพื้นที่

สําหรับ differential area dA:d Ix = y2 dA

moments of inertia ของพื้นที่รอบแกนอางอิง x และ y หาไดจากสมการIx = ∫A y2 dA Iy = ∫A x2 dA

moments of inertia ของพื้นที่เปน moment ที่สองของพื้นที่รอบแกนที่ผานจุดอางอิง โดยมีหนวยเปนความยาวยกกําลงัสี่ (m4)

JO = ∫A r2 dA = ∫A ( x2 + y2 ) dA = Ix + Iy

d Iy = x2 dAd JO = r2 dA

เมื่อ JO คือ polar moment of inertia รอบจุด O หรือแกน z

10.2 ทฤษฏีแกนขนานของพื้นที่ (Parallel Axis Theorem)จากรูป moments of inertia ของพื้นที่

dA รอบแกน x หาไดจากสมการ2( )x ydI y d dA′= +

2

2 2

( )

2

x yA

y yA A A

I y d dA

y dA d y dA d dA

′= +

′ ′= + +

∫∫ ∫ ∫

xI ′ A0y dA y dA′ = =∫ ∫

2x x yI I Ad′= +

ในทํานองเดียวกัน2

y y xI I Ad′= +

moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน x' ที่ผานจุด centroid

y

dy

y'

ตัวอยาง

h/2

h/2

C

y′

x′

y′

dy′

b/2 b/2

จงหา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน x' ที่ผานจุด centroid

3112xI bh′ =

2x

A

I y dA′ ′= ∫/ 2

2

/ 2

h

h

y b dy+

−

′ ′= ∫/ 2

2

/ 2

h

h

b y dy+

−

′ ′= ∫

1. กําหนดใหพื้นที่เล็กๆ รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

2. integration

จงหา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน xb โดยใช parallel-axis theorem

h C

y′

x′

b/2 b/2xb

2bx x yI I Ad′= +

313bxI bh=

231

12 2bxhI bh bh⎛ ⎞= + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ตัวอยาง

y′

dy′

dAyIA

xb ∫ ′= 2

ybdyh

′′= ∫0

2

hyb

0

3

3′

= C

y′

x′

x′ dx′

b/2 b/2

จงหา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน y' ที่ผานจุด centroid

3112yI hb′ =

2y

A

I x dA′ ′= ∫/ 2

2

/ 2

b

b

x h dx+

−

′ ′= ∫/ 2

2

/ 2

b

b

h x dx+

−

′ ′= ∫

1. กําหนดใหพื้นที่เล็กๆ รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

2. integration

ตัวอยาง

h

10.5 โมเมนตความเฉื่อยของพื้นที่ประกอบพื้นที่ประกอบ (composite area) เปนพื้นที่ที่ถูกประกอบ (บวกเขา

หรือ ตัดออก) จากพื้นที่ที่มีรูปรางพื้นฐาน เชน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และครึ่งทรงกลม เปนตน

0=x

yแกนสะเทิน(neutral axis)

3112xI bh=

3112yI hb=

3136xI bh=

Moment of inertia รอบจุด centroid ของพื้นที่ที่มีรูปรางพื้นฐาน

Moment of inertia รอบจุด centroid ของพื้นที่ที่มีรูปรางพื้นฐาน (ตอ)

414xI rπ=

414yI rπ=

418xI rπ=

418yI rπ=

4116xI rπ=

4116yI rπ=

ขั้นตอนในการคํานวณหา Ix:

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย

2. หาจุด centroid ของแตละพื้นที่ยอยและหาระยะตั้งฉากจากจุด centroid ไปยังแกนอางอิง x

4. หา moment of inertia ลัพธของพื้นที่ประกอบรอบแกนอางอิง x โดยการบวก/ลบทางพีชคณิตของคา moment of inertia ของแตละพื้นที่ยอยที่หาไดใน Step 3

3. หา moment of inertia ของแตละพื้นที่ยอยรอบแกนอางอิงโดยใช parallel-axis theorem ( Ix = Ix' + A ( dy )2 )

2'( )x x yI I Ad= +∑

dy1 dy2

ตัวอยางจงหาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกนสะเทิน N-A

2( )NAI I Ad= +∑3 212 (0.25)0.020 0.25(0.020)0.160

12⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

31 (0.020)0.30012⎡ ⎤+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4301.3(10 ) m−=

160 mm

160 mm

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย2. หาระยะของจุด centroid3. หา moment of inertia ของพื้นที่ประกอบและหาผลลัพธ

เนื่องจากหนาตัดสมมาตรสองแกน จุด C อยูที่จุดตัดของแกนสมมาตร

(0, 0)

46 mm )10(3.301= 4cm 130,30=

ตัวอยางจงหาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน z ของหนาตัดคาน

1 18.48 mmc =

2( )zI I Ad= +∑3 212 (12)80 80(12)(40 18.48)

12⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

3 21 (276)12 276(12)(18.48 6)12⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4 6 42.469(10 ) mm 2.469(10 ) m−= =

)( 11 yc −

)( 12 cy −

1 6 mmy =

2 40 mmy =

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย2. หาระยะของจุด centroid3. หา moment of inertia ของพื้นที่ประกอบและหาผลลัพธ

เนื่องจากหนาตัดสมมาตรรอบแกน yจุด centroid อยูบนแกน y ที่จุด O

C

25 mmyc

25 mm 25 mm

50 mm 75 mm 50 mm75 mm

100 mm

ตัวอยางที่ 10-4จงหาระยะของจุด centroid และหาคา moment of inertia ของพื้นที่

ประกอบรอบแกน x และแกน y

x

พื้นที่ประกอบไดจากการนําพื้นที่ยอย 3 พื้นที่มาประกอบเขาดวยกัน1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย

y

468750 37.5 mm12500cy = =

2. หาระยะของจุด centroid

C

25 mmy

25 mm 25 mm

50 mm 75 mm 50 mm75 mm

100 mm0=xyAyA

∑=∑% 37.5 mm

( )( ) ( )( )( )3 21 300 25 300 25 37.5 12.512xI ⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

C

25 mm 37.5 mm

25 mm 25 mm

50 mm 75 mm 50 mm75 mm

100 mmx

2.a หาจุด centroid และหาระยะ และ 3.a หา moment of inertia ของพื้นที่ยอย

6 416.3 10 mmxI = ×

4.a moment of inertia ของพื้นที่ประกอบ

37.5-25/275-37.5

( )( ) ( )( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++ 23 5.37752510010025121

( )( ) ( )( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++ 23 5.37752510010025121

2'( )x x yI I Ad= +∑

C

25 mm 37.5 mm

25 mm 25 mm

50 mm 75 mm 50 mm75 mm

100 mm

( )( ) ( )( )( )3 21 25 300 300 25 012yI ⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

x

( )( ) ( )( )( )3 21 100 25 100 25 0 87.512⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( )( )( )3 21 100 25 100 25 87.5 012⎡ ⎤+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 494.8 10 mmyI = ×

2.b หาจุด centroid และหาระยะ และ 3.b หา moment of inertia ของพื้นที่ยอย

4.b moment of inertia ของพื้นที่ประกอบ

75+25/2

2y y xI I Ad′= +

ตัวอยางจงหาคา moment of inertia ของพื้นที่ประกอบรอบแกน x' และแกน y'

mm 68=x

mm 80=y

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย

2. หาระยะของจุด centroid

2y y xI I Ad′= +

3.a หาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน y'

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=′

23 )6880)(160(40160)40(1212yI

23 )2068)(40(8040)80(121

−++

46 mm )10(95.36=′yI

2'( )x x yI I Ad= +∑

3.b หาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน x'

3160)160(121

=′xI 380)120(121

− 46 mm )10(5.49=

จงหาตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่เทียบกบัแกนอางอิง x-yตัวอยาง

และจงหาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน x' และแกน y'

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย

ตําแหนงของจุด centroid ในแนวแกน x

ตําแหนงของจุด centroid ในแนวแกน y

2. หาตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่เทียบกบัแกนอางอิง x-y 3.a หาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน x'

mm 2=y

23 )3)(6(26)2(121 yI x −+=′

23 )1)(2(62)6(121

−++ y

4mm 64=′xI

mm 3=x

3.b หาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน y'

23 2)2(62)6(121

+=′yI 23 2)6(26)2(121

++

4mm 136=′yI

0.10 m

0.20 m

2.0 m

Cyy0.105-Neutral axis

0.005 m

(c)

ตัวอยางจงหาคา moment of inertia ของพื้นที่รอบแกน neutral axis ของหนาตัดคาน

0.0708 m=

322(0.005) 2(0.005)(0.0708 0.0025)

12⎡ ⎤

+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦

6 4136.73(10 ) m−=

320.1(0.2) 0.1(0.2)(0.105 0.0708)

12NAI⎡ ⎤

= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

2'( )x x yI I Ad= +∑

1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย2. หาระยะของจุด centroid

3. หา moment of inertia ของพื้นที่ประกอบและหาผลลัพธ