4.4 4.5 Distrib Cont Exp

MODELOS DEMODELOS DEMODELOS DE MODELOS DE PROBABILIDADPROBABILIDADPROBABILIDAD PROBABILIDAD CONTINUOSCONTINUOS

1Notas de clase AVEM

Tema 4. Modelos probabilísticos Tema 4. Modelos probabilísticos comunescomunes

Objetivo: El alumno conocerá algunas de las distribuciones más utilizadas en la práctica de la ingeniería y seleccionará la más adecuada para analizar algún fenómeno aleatorio en g y p gparticular.

Contenido: 4.1 Ensayo de Bernoulli. Distribución de Bernoulli, determinación de su media y variancia. 4 2 Ensayo binomial Distribución binomial determinación de su media y variancia 4.2 Ensayo binomial. Distribución binomial, determinación de su media y variancia.

Distribución hipergeomética. Distribución geométrica, determinación de su media y variancia. Distribución Binomial negativa su media y variancia.

4.3 Proceso de Poisson. Distribución de Poisson, determinación de su media y variancia. Aproximación entre las distribuciones binomial y Poisson.

4.4 Distribuciones continuas. Distribución uniforme continua, determinación de su media y variancia.

4.5 Distribución exponencial, determinación de su media y variancia. Distribuciones normal y normal estándar. Uso de tablas de ydistribución normal estándar. Aproximación de la distribución binomial a la distribución normal.

4.6 Números aleatorios. Uso de paquetería de cómputo para la generación de números aleatorios con una distribución dada, utilizando el método de la transformada inversa y comparación con las distribuciones teóricas mediante la construcción de histogramas comparación con las distribuciones teóricas mediante la construcción de histogramas.


DISTRIBUCIONES CONTINUASDISTRIBUCIONES CONTINUASUNIFORMEUNIFORME

FUNCIÓN 1

f x a x bb a

MEDIA

0 otro caso

2

a bE X MEDIA

VARIANZA

2

2

12

a b

Var X

FUNCIÓN GENERADORA DE

12

t b t a

X tX

e eM t E et b a

MOMENTOS t b a


Distribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencialLa distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que nos i t b l ti h t interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t hasta pueda ocurrir desde cualquier instante dado t , hasta que ello ocurra en un instante tf , no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha p qpasado nada.


Distribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencial

La distribución exponencial vienen derivada de la pdistribución de Poisson, ya que al suponerse que para cada valor t > 0, que representa el tiempo, el número de sucesos de cierto fenómeno aleatorio sigue una distribución de Poisson de parámetro λt. Entonces, l s tiem s disc rrid s entre d s s ces s s cesi s los tiempos discurridos entre dos sucesos sucesivos sigue la distribución exponencial.


Distribución exponencialDistribución exponencial

El descubrimiento de este distribución se debe a dos personas Erlang y Poisson:debe a dos personas Erlang y Poisson:Agner Krarup ErlangNace el 01 de enero de 1878, Lønborg, Nace el 01 de enero de 1878, Lønborg, Jutlandia, Dinamarca. Y muere el 3 de febrero de 1929 en Copenhague, Dinamarca.Fue un matemático que realizó estudios d á i l i id d d de matemáticas en la universidad de Copenhague, licenciándose en 1901.


Distribución exponencialDistribución exponencial

Trabajó como asesor científico en una compañía telefónica en Dinamarca, y en 1908 ocupó su puesto telefónica en Dinamarca, y en 1908 ocupó su puesto como encargado del laboratorio de investigación científica, aplicando sus conocimientos matemáticos a la resolución de problemas del tráfico telefónico (T.T.).En 1917 publicó el que sería su trabajo mas En 1917 publicó el que sería su trabajo mas importante en el terreno del T.T. “ Soluciones a problemas importantes de la teoría de probabilidades p p paplicada a centrales automáticas de conmutación telefónica”


Distribución exponencialDistribución exponencialppEs la distribución de Probabilidad del tiempo, espacio o distancia en la que ocurre el 1er evento. X = (tiempo, espacio o distancia) X es continuaPartiendo de la distribución de Poisson

En Poisson

0, 1,2,3,..., 0! !

x xc te c e tP X x n

x x

c tEn PoissonDonde:C = número total de ocurrencias

c t

C número total de ocurrenciasλ = tasa media de ocurrenciast = periodo de tiempo, espacio, distancia, área o volumen.Para Poisson t=1 ya que se espera la primera ocurrencia en un periodo.


Distribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencialDistribución exponencialA partir de la expresión de la Distribución de Poisson, al calcular la probabilidad de que no ocurra algún evento en el

d h l periodo hasta el tiempo t

0

0!

tte t

P X x F x e

Cuya interpretación es una distribución acumulada para cero ocurrencias. Esta función al derivarla con respecto a t, se considera una función continua y representa una función de

0!

considera una función continua y representa una función de densidad para la variable aleatoria continua t

Para obtener la función de distribución acumulada de esta

tf t e

a a obte e a u c ó e st buc ó acu u a a e esta

nueva función que

representa el área bajo la curva su complemento se

0

1x

t tF t e dt e P T t

representa el área bajo la curva, su complemento se

representa como Notas de clase AVEM 9

tP T t e

Distribución exponencialDistribución exponencialppEs la distribución de Probabilidad del tiempo, espacio o distancia en la que ocurre el 1er evento. T ( i i di i ) T = (tiempo, espacio o distancia) T es continua

0t t

FUNCIÓNSi

, 00

te tf t

otro caso

tP T t e Si

Si

MEDIA

P T t e

1 tP T t e

1MEDIA

VARIANZA

22

1

FUNCIÓN GENERADORA DE

MOMENTOS XM t

t


Gráfica de la Distribución Gráfica de la Distribución exponencialexponencial

λ = 0.2 0 7X P(X) F(X)0 0.2 00.2 0.19215789 0.039210560.4 0.18462327 0.076883650.6 0.17738409 0.11307956 0 4

0.5

0.6

0.7

DIRECTA

ACUMULADA

0.8 0.17042876 0.147856211 0.16374615 0.181269251.2 0.15732557 0.213372141.4 0.15115675 0.244216261.6 0.14522981 0.27385096

0 1

0.2

0.3

0.4

1.8 0.13953527 0.302323672 0.13406401 0.329679952.2 0.12880728 0.355963582.4 0.12375668 0.381216612.6 0.11890411 0.40547945

0

0.10

0.2

0.4

0.6

0.8 1

1.2

1.4

1.6

1.8 2

2.2

2.4

2.6

2.8 3

3.2

3.4

3.6

3.8 4

4.2

4.4

4.6

4.8 5

2.8 0.11424181 0.428790943 0.10976233 0.451188363.2 0.10545848 0.472707583.4 0.1013234 0.493383013.6 0.09735045 0.51324774


Teoría de colasTeoría de colasTeoría de colasTeoría de colasLa teoría de colas es el estudio matemático del

d lí d E comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad pde atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de esperaforma la línea de espera.“No importa en qué cola se sitúe: La otra siempre avanzará

más rápido” (Primera Ley de Harper)” “Y si se cambia de cola, aquélla en la que estaba al principio

empezará a ir más deprisa” (Segunda Ley de Harper)”

Notas de clase AVEM 12

EjemplosEjemplos1. El tiempo requerido para que ocurra una reacción química es de 5

minutos.

Q é ió d i f á d d i ?a) Qué proporción de sustancia se formará dentro de un minuto?

b) Dentro de 5 minutos?

c) Entre 4 y 8 minutos?

2. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de operación antes del fallo, en años, está dado por T. La variable tiempo de operación antes del fallo, en años, está dado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio de operación antes del fallo de 5 años. Si se instalan 5 de estos componentes en diferentes sistemas ¿cuál es la probabilidad de p pque al menos 2 de estos componentes aún funcionen al final de 8 años?


EjemplosEjemplosEjemplosEjemplos3. Las duraciones de neumáticos para automóvil de una cierta

marca, bajo condiciones promedio de manejo es 30,000 kilómetros, calcular la probabilidad de que una de esas llantas comprada hoy dure

a) Mas de 30,000 km;b) Entre 25,000 y 33,000km

4 El número de llamadas telefónicas que entran a una central de 4. El número de llamadas telefónicas que entran a una central de edificio de oficinas es de cuatro por minuto en promedio

a) Calcular la probabilidad de que no lleguen llamadas en un periodo de un minutoperiodo de un minuto.

b) Calcular la probabilidad de que lleguen por lo menos dos llamadas en un periodo de un minuto.

) C l l l b bilid d d ll l d c) Calcular la probabilidad de que lleguen por lo menos dos llamadas en un periodo de dos minutos.


Distribución NormalDistribución NormalDistribución NormalDistribución NormalLa distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham De Moivre (1667 1754) vez por el francés Abraham De Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la

ó d l d ó ó d ecuación de la curva y derivó su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad; de ahí que también se la conozca, qmás comúnmente, como la "campana de Gauss".

Pto. Infl.


Propiedades de la Propiedades de la DistDist. Normal. NormalppI. Tiene una única moda, que coincide con su media y su

mediana. II La curva normal es asintótica al eje de abscisas Por ello II. La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello,

cualquier valor entre (- ∞ , ∞) es teóricamente posible. El área total bajo la curva es, por tanto, igual a uno.

III. Es simétrica con respecto a su media μ. Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de y q , yobservar un dato menor.

IV. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de i fl ió d l i l d i ió tí i inflexión de la curva es igual a una desviación típica o estándar σ. Cuanto mayor sea σ, más aplanada será la curva de la densidad. Los puntos de inflexión de la curva son x=µ ± σ es cóncava hacia abajo si µ - σ ‹ X ‹ µ + σ y es cóncava hacia arriba en cualquier otro caso.


Propiedades de la Propiedades de la DistDist. Normal. NormalppV. El área bajo la curva comprendida entre los valores

situados aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a 0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor comprendido en el intervalo (μ – 1.96 , μ + 1.96) . (μ , μ )

VI. La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ. La media indica la posición de la campana de modo que para diferentes valores de μ la campana, de modo que para diferentes valores de μ la gráfica es desplazada a lo largo del eje horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.


Grafica de Distribución NormalGrafica de Distribución NormalGrafica de Distribución NormalGrafica de Distribución Normal

μ = 0 σ = 1 μ = 0.3 σ = 0.7μ 0 σ 1 μ 0.3 σ 0.7X p(x) X p(x)

‐2.5 0.0175283 ‐2.5 0.00019119‐2.4 0.02239453 ‐2.4 0.00033511‐2.3 0.02832704 ‐2.3 0.00057553

0.5

0.6

‐2.2 0.03547459 ‐2.2 0.00096845‐2.1 0.0439836 ‐2.1 0.0015967‐2 0.05399097 ‐2 0.00257934‐1.9 0.06561581 ‐1.9 0.00408253

0.3

0.4

‐1.8 0.07895016 ‐1.8 0.00633121‐1.7 0.09404908 ‐1.7 0.00962014‐1.6 0.11092083 ‐1.6 0.01432231‐1.5 0.1295176 ‐1.5 0.020892061 4 0 14972747 1 4 0 02985977

0.1

0.2

‐1.4 0.14972747 ‐1.4 0.02985977‐1.3 0.17136859 ‐1.3 0.04181465‐1.2 0.19418605 ‐1.2 0.05737297

0

Normal estándarM di

Normal no estándarMedia

MedianaModa

MediaMedianaModa 18Notas de clase AVEM

Grafica de Distribución NormalGrafica de Distribución NormalGrafica de Distribución NormalGrafica de Distribución Normal0.45

0.3

0.35

0.4

0.15

0.2

0.25

68 %0

0.05

0.1 68 %σ σ

μ


Función de la Distribución NormalFunción de la Distribución Normal

La función de la distribución normal es

2

221x

Y que analíticamente el área bajo la curva se

2212

f x e

Y que analíticamente el área bajo la curva se puede calcular así:

2

1xb

2212

b

a

P a X b e d x

Haciendo un cambio de variable se estandariza la función, quedando al final con μ = 0 y σ =1

XZ


Lectura en tablasLectura en tablasLectura en tablasLectura en tablasLa columna de la izquierda indica el valor z cuya

b bilid d l d L probabilidad acumulada queremos conocer. Las segunda columna nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando.del valor que estamos consultando.Atención: la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable.


Tabla Z normal estándarTabla Z normal estándarZ 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.090.0 0.50000 0.50399 0.50798 0.51197 0.51595 0.51994 0.52392 0.52790 0.53188 0.535860.1 0.53983 0.54380 0.54776 0.55172 0.55567 0.55962 0.56356 0.56749 0.57142 0.575350 2 0 57926 0 58317 0 58706 0 59095 0 59483 0 59871 0 60257 0 60642 0 61026 0 614090.2 0.57926 0.58317 0.58706 0.59095 0.59483 0.59871 0.60257 0.60642 0.61026 0.614090.3 0.61791 0.62172 0.62552 0.62930 0.63307 0.63683 0.64058 0.64431 0.64803 0.651730.4 0.65542 0.65910 0.66276 0.66640 0.67003 0.67364 0.67724 0.68082 0.68439 0.687930.5 0.69146 0.69497 0.69847 0.70194 0.70540 0.70884 0.71226 0.71566 0.71904 0.722400 6 0 72575 0 72907 0 73237 0 73565 0 73891 0 74215 0 74537 0 74857 0 75175 0 754900.6 0.72575 0.72907 0.73237 0.73565 0.73891 0.74215 0.74537 0.74857 0.75175 0.754900.7 0.75804 0.76115 0.76424 0.76730 0.77035 0.77337 0.77637 0.77935 0.78230 0.785240.8 0.78814 0.79103 0.79389 0.79673 0.79955 0.80234 0.80511 0.80785 0.81057 0.813270.9 0.81594 0.81859 0.82121 0.82381 0.82639 0.82894 0.83147 0.83398 0.83646 0.838911 0.84134 0.84375 0.84614 0.84849 0.85083 0.85314 0.85543 0.85769 0.85993 0.862141.1 0.86433 0.86650 0.86864 0.87076 0.87286 0.87493 0.87698 0.87900 0.88100 0.882981.2 0.88493 0.88686 0.88877 0.89065 0.89251 0.89435 0.89617 0.89796 0.89973 0.901471.3 0.90320 0.90490 0.90658 0.90824 0.90988 0.91149 0.91309 0.91466 0.91621 0.917741.4 0.91924 0.92073 0.92220 0.92364 0.92507 0.92647 0.92785 0.92922 0.93056 0.931891.5 0.93319 0.93448 0.93574 0.93699 0.93822 0.93943 0.94062 0.94179 0.94295 0.944081.6 0.94520 0.94630 0.94738 0.94845 0.94950 0.95053 0.95154 0.95254 0.95352 0.954491.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.963271.7 0.95543 0.95637 0.95728 0.95818 0.95907 0.95994 0.96080 0.96164 0.96246 0.963271.8 0.96407 0.96485 0.96562 0.96638 0.96712 0.96784 0.96856 0.96926 0.96995 0.970621.9 0.97128 0.97193 0.97257 0.97320 0.97381 0.97441 0.97500 0.97558 0.97615 0.97670


Buscar en tablasBuscar en tablasBuscar en tablasBuscar en tablas1. Z = 2.72. Z = 2.753. Z= - 2.7

Z 2 754. Z = -2.755. P( Z < 1.5)6 P( Z > 1 5)6. P( Z > 1.5)7. P (- 1.05 ≤ Z ≤ 2.45)8. P( Z < z ) = 0.95( )9. P (z1 ≤ Z ≤ z2 ) = 0.68


EjemploEjemploEjemploEjemplo1. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años,

con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña d d d 10 000 h bciudad de 10 000 habitantes:

a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

2. El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de un í 58 li i d 36 país es 58 litros por persona, con una varianza de 36.

Suponer que se distribuye según una distribución normal.a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de ) p ¿

cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?

b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y si le califican de b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y si le califican de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa?


EjemploEjemploEjemploEjemplo3. El tiempo requerido para presentar un examen de

aprovechamiento es de 70 minutos en promedio, con una p pdesviación estándar de 12 minutos. ¿cuánto durará el examen si se desea que haya suficiente tiempo para que termine el 90% de los estudiantes?termine el 90% de los estudiantes?


Gráfica para la distribución Gráfica para la distribución binomialbinomialGráfica para la distribución Gráfica para la distribución binomialbinomialn= 5 p= 0.2

0.5

0.2

0.3

0.4

0

0.1

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

1

1.5

0

0.5

0


Aproximación de la Normal a la Aproximación de la Normal a la BinomialBinomial

Teorema: Si X es una variable aleatoria binomial

con media y variancia entonces

la forma limitante de la distribución de

n p 2 npq

X n pZ la forma limitante de la distribución de

conforme , es la distribución normal estándar.

Zn p q

n


Aproximación de la Aproximación de la binomialbinomial a la a la Distribución NormalDistribución Normal

Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p. Entonces X tiene aproximadamente una distribución normal con y y

n p

2 1 x

P X b ky yes proximadamente igual al área bajo la curva normal a la izquierda de

2 1n p q n p p 0

; ,k

P X x b k n p

normal a la izquierda de0.50.5 x npx P zn p q

y la aproximación será buena si n p y no están cercanas a cero

n p q

1n p p

no están cercanas a cero.



EjemploEjemploEjemploEjemplo

La probabilidad de que un componente p q pelectrónico falle en menos de 1000 horas de uso continuo es 0.25. Calcular la probabilidad de que entre 200 de tales componentes menos de 45 fallen en menos pde 1000 horas de uso continuo.


EjemploEjemploEjemploEjemplo

Un ingeniero de seguridad industrial cree g gque 30% de todos los accidentes industriales en su planta se deben a que los p qempleados no siguen las disposiciones de seguridad. Si esta apreciación es correcta, g pcalcular la probabilidad aproximada de que, entre 84 accidentes industriales, de 20 a 30 se deban a eso.


EjemploEjemploEjemploEjemploSe examina a los empleados de un negocio de fabricación de

l h b l S d aislantes para ver si hay asbestos en sus pulmones. Se pide a la empresa que mande a tres empleados cuyos resultados fueron positivos a un centro médico para mayores exámenes.p p ya) Si el 40% de los empleados tuvieron resultados positivos

en la detección de asbestos en sus pulmones, calcular la b bilid d d d b li di l d probabilidad de que se deba analizar a diez empleados para

encontrar a tres con asbestos en sus pulmones.b) Si cada análisis cuesta $20, calcular el valor esperado y la ) $ , p y

variancia del costo total de llevar a cabo las pruebas para encontrar tres empleados con resultados positivos. ¿Piensa el lector que sea muy probable que el costo de completar el lector que sea muy probable que el costo de completar los análisis sea mayor a $350?


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