44. Lektion: Stehende Wellen - eLearninglernserver.el.haw-hamburg.de/kurs/Physikpraktikum/Physikpraktikum/a... · 4 2 cos( )sin( )(cos)sin( ) 0 = 0 ≡ t I y σkω kx kx ωt ωt Einsetzen

H. Zabel 38. Lektion: Schwingungen 1

44. Lektion: Stehende Wellen

15.Schwingungen


Lernziel

Stehende Wellen entstehen aus der Stehende Wellen entstehen aus der Überlagerung von laufenden Wellen an Überlagerung von laufenden Wellen an

festen oder losen Enden. Die Superposition festen oder losen Enden. Die Superposition von einlaufender und reflektierter Welle von einlaufender und reflektierter Welle

ergibt eine stehende Wellen. ergibt eine stehende Wellen.


Begriffe:

• Randbedingung: festes und loses Ende

• Stehende Wellen (transversal und longitudinal)

• Diskreter Satz von Wellenlängen

• Eigenfrequenzen

• Intensität von stehenden Wellen

Begriffe


RandbedingungenBetrachten eine transversale Seilwelle, die auf ein festes und ein loses Ende zuläuft.

Festes Ende: Loses Ende:

0=x 0=xAm losen Ende x=0 ist die Amplitude zeitabhängig.

Am festen Ende x=0 ist die Amplitude für alle Zeiten Null.


Beobachtungen

Festes Ende:

Amplitude der reflektierten Welle ist invertiert, entsprechend eines Phasensprungs der reflektierten Welle um δ=π bzw. δ=180°.

Loses Ende:

Richtung der Auslenkung bleibt nach Reflexion erhalten, d.h. keine Phasenänderung oder δ =0°.


Veranschaulichung der Randbedingung durch Überlagerung von realem und virtuellem Puls

real virtuell

Loses Ende

0=x

real virtuell

Festes Ende

0=x


Stehende Welle mit zwei festen Enden

Stehende Wellen entstehen durch die Überlagerung (Superposition) von zwei gegenläufigen Wellen, die an den festen Enden reflektiert werden. t = T/2

t = T

t = T/10

t = T/4

t = 3T/4

t = 8T/10


Stehende Wellen


Stehende Wellen

21λ

=L

22 2λ

=L

23 3λ

=L

24 4λ

=L


Wellenlängenbedingung für stehende Wellen mit zwei festen Enden

2nnL λ

=Knoten

Bäuche

Oder:

nL

n2

=λ


Formale Herleitung

Superposition von rechts und links laufender Welle:

( ) ( ) ( )

( ) ( )321321

44 344 2144 344 21

igkeitOrtsabhängigkeitZeitabhäng

ndlinkslaufe und treflektierlaufend rechts

kxty

kxtykxtytxy

sincos2

sinsin,

0

00

×−=

+−−=

ω

ωω

An jedem Ort x variiert die Amplitude zwischen den Maximalwerten:

-2y0sin(kx) und +2y0sin(kx) .

Für die Werte kx =nπ bleibt die Amplitude immer Null (Knoten).

Für die Werte kx =(2n+1)π/2 hat die Amplitude immer den Maximalwert (Bauch).


Randbedingung für Wellenlängen

Die Randbedingung verlangt, dass Knoten an den festen Enden sind, d.h. für x=0 und x=L muss die Amplitude Null sein.

x=0: sin(kx) = 0 automatisch erfüllt

x=L sin(kL) = 0 nur dann wenn kL = n π

Oder für:

nLnL n

22=⇒= λπ

λπ

Nur Wellenlängen, die diese Bedingung erfüllen, sind erlaubt. Die Randbedingung schliesst ein kontinuierliches Spektrum von Wellenlängen aus. Der Randbedingung erzwingt, dass nur bestimmteWellen, d.h. ein diskreter Satz von Wellenlängen erlaubt ist:

λ = 2L, L, L/2, L/4, .....


Erlaubte Frequenzen

Wegen vkvfλππω 22 ===

Folgt für die erlaubten Frequenzen aus der Randbedingung:

vLnf

2=

Die erlaubten Frequenzen werden auch Eigenfrequenzen genannt. Sie sind typisch für die gesetzten Randbedingungen.

Auch Elektronen in Atomen unterliegen Randbedingungen, die einen Satz erlaubter Eigenfrequenzen der Elektronen erzeugen. Übergänge zwischen erlaubten Zuständen, gekennzeichnet durch Eigenfrequenzen, erzeugen das atomare Linienspektrum.


Stimmen von Saiteninstrumenten

Die Geschwindigkeit der transversalen Seilwelle hängt von den elastischen Eigenschaften ab, so dass man erhält:

ρσ

Lnf

2=

Bei Saiteninstrumenten wird über die Spannung σ die Grundfrequenz bestimmt. Um tiefere Töne zu erreichen, wird häufig die Saite mit einem Draht umsponnen, der die Dichte ρ erhöht.


Höhere Harmonische einer stehenden Welle


Intensität der stehenden Welle

yuI τ=

Laut 41. Lektion, Folie 8 ist die Intensität der transversalen Welle gegeben durch

Auf die stehende Welle angewandt ergibt sich:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )xktyt

txyu

xktky

kxtyxx

txy

y sinsin2,coscos2

sincos2,

0

0

0

ωω

ωσ

ωσστ

+=∂

∂=

+=

−∂∂

−=∂

∂−=

( ) ( ) ( ) ( ) 0sincossincos4 20 ≡=

tttxkxkkyI ωωωσ

Einsetzen ergibt:


Intensität der stehenden Welle

Die Intensität, die im zeitlichen Mittel pro Zeitintervall durch eine Querschnittsfläche durchtritt, ist Null. Im zeitlichen Mittel wird keine Energie transportiert. Genauso viel Energie läuft nach links wie nach rechts, so dass die Summe Null ergibt. In der stehende Welle ist selbstverständlich Energie gespeichert, aber wie beim Pendel kann diese Energie nicht vom Ort weg transportiert werden, daher I = 0. Anders ausgedrückt: zwischen τ und uy besteht bei stehenden Wellen eine Phasendifferenz von 90°, bei laufenen Wellen dagegen von 0°. Andererseits können wir ein Instrument hören, d.h. Intensität wird transportiert. Widerspruch wird aufgelöst durch die Tatsache, dass das Instrument von Luft umgeben ist. Damit wird durch Erzeugen von Schallenwellen Energie ausgekoppelt. Die Saitenschwingung ist dann gedämpft und die Phasenverschiebung weicht ab von 90° .


Stehende Wellen mit einem festen und einem losen Ende

41λ

=L

43 2λ

=L

23 3λ

=L

LAllgemein:

( )12

44

12+

=⇒+=n

LnL nn λλ


Eigenfrequenzen

( ) ( )ρσ

Ln

Lvnfn 4

124

12 +=

+=

Die Eigenfrequenzen bei einem freien Ende verhalten sich wie:

f1, f2, f3 = 1 : 3 : 5

Im Fall von zwei festen Enden verhalten sich die Eigenfrequenzen wie:

f1, f2, f3 = 1 : 2 : 3


Longitudinale Wellen:beiseitig offenes Schallrohr

21λ

=L

22 2λ

=L

23 3λ

=L

Oder:

nL

n2

=λ

Randbedingungen sind analog zu der beidseitig eingespannten Saite:

ρκλλ 0

22;2

2p

Ln

Lnvf

nLnL nn

n ===⇒=


Druckamplitude und Verschiebungsamplitude

Beim Schallrohr sind Druckamplitude und Verschiebungsamplitude 90° aus der Phase. Knoten in der Druckamplitude entspricht Bäuchen in der Verschiebungsamplitude. Teilchen sammeln sich im Knoten der Verschiebungsamplitude an (siehe Kundt‘sches Schallrohr).

Verschiebung Druck

Beim offenen Schallrohr muss an den Enden ein Druckknoten sein, da der Druck der Umgebung entsprechen muss.


Longitudinale Wellen:ein offenes und ein geschlossenes Ende

41λ

=L

43 2λ

=L

Druckamplitude

Geschlossenes Ende

Offenes Ende( ) ( )

ρκ 0

412

412 p

Ln

Lvnfn

+=

+=

Frequenzbedingung wie bei der einseitig eingespannten Saite:


MembranschwingungMembranenschwingungen sind zwei-dimensionale transversale Schwingungen mit festem Rand in der Schwingungsebene. Die Randbedingung erzeugt Eigenmoden, genauso wie im ein-dimensionalen Fall. Lösungen sind nicht sinus-Funktionen sondern Besselfunktionen.

Grundschwingung Erste Oberschwingung


Stehende Wellen auf einer Trommel

Wellen auf einer Trommel


Rechtwinklige Membrane

Knotenlinien für n=m=1

Knotenlinien für n=m=2

Auslenkung in der z-Richtung (senkrecht zur Blattebene) wird analog zur Dgl. In einer Dimension ausgedrückt:

0,1l

2,0 l

0,0

Die zeitunabhängigen Eigenfunktionen sind in cartesischen Koordinaten:

( ) ( ) ( )2

2

22

2

2

2 ,,1,,,,t

tyxzvy

tyxzx

tyxz

phase ∂∂

=∂

∂+

∂∂

21, sinsin),(

lym

lxnAyxz mn

ππ=


Stehende Wellen auf einer Gitarre


Stehende Wellen auf dem Schallkörper einer Geige

Schallbilder Geige

Sichtbar gemacht:

durch Mehl

Laserinterferometer


Stehende Elektronenwellenfunktionen an Oberflächen: Quantum corral (IBM)


Zusammenfassung

h Stehende Wellen entstehen durch Überlagerung von einlaufender und reflektierter Welle

h Zeitlich gemittelte Intensität von stehenden Wellen ist Null, genauso wie bei lokalen Schwingungen

h Bei schwingenden Saiten bzw. im Schallrohr wird Intensität ausgekoppelt, was zur Dämpfung führt.

h Randbedingungen erzeugen Eigenfrequenzen, d.h. ein diskretes Spektrum von Frequenzen

h Die Eigenfrequenzen hängen von der konkreten Randbedingung ab, d.h. loses oder festes Ende.

h Bei der transversalen Saitenschwingung ist Spannung und Geschwindigkeit um 90° phasenverschoben.

h Bei der stehenden Schallwelle ist Druckamplitude und Teilchenverschiebung um 90° phasenverschoben.

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