44708260 Zbirka Resenih Zadataka Iz Elektrotehnike

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 1. KULONOV ZAKON, JAINA ELEKTRINOG

POLJA, POTENCIJAL I NAPON Kulonov zakon: sila kojom se privlae ili odbijaju dva takasta naelektrisanja upravo je proporcionalna njihovim koliinama elektriciteta, a obrnuto proporcionalna kvadaratu meusobnog rastojanja:

221

02

21

rQQ

41

rQQkF ==

gde je 229 CNm109k = ili dielektrina konstanta vakuuma mF10858NmC10858 1222120

== ,, Potencijal elektrinog polja u nekoj taki brojno je jednak potencijalnoj energiji koju bi imalo telo jedinine koliine elektriciteta dovedeno u tu taku. Jedinica za potencijal je VOLT. Potencijal elektrinog polja na rastojanju r od izvora polja iznosi:

rQ

41

rQk

0

== Ako elektrino polje potie od vie takastih naelektrisanja, rezultujui potencijal jednak je algebarskom zbiru potencijala koji su izazvani svakim naelektrisanjem pojedinano:

n21 +++= Napon izmeu take A (koja je na rastojanju rA od izvora radijalnog elektrinog polja) i take B (koja je na rastojanju rB od izvora radijalnog elektrinog polja) jednak je razlici potencijala:

=

==

BA0BABAAB r

1r1Q

41

r1

r1kQU

Jedinica za napon je VOLT. Pri pomeranju naelektrisanja q iz take A u taku B sile elektrinog polja obave rad koji se moe izraunati:

( )

=

===

BA0BAbaABAB r

1r1qQ

41

r1

r1kqQqqUA

Jaina elektrinog polja u nekoj taki brojno je jednaka sili kojom bi polje delovalo na jedininu koliinu elektriciteta dovedeno u tu taku:

QFErr =

1

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom gde je sila kojom bi polje delovalo na telo koliine elektriciteta dovedeno u posmatranu taku. Jedinica za jainu elektrinog polja je jedan NJUTN po KULONU ili jedan VOLT po METRU (1N/C ili 1V/m). Jaina elektrinog polja koje stvara takasto naelektrisanje Q u taki koja je od njega udaljena za r moe se izraunati po obrascu:

Fr

Q

20

2 41

rQ

rQkE ==

Ako polje potie od pozitivnog takastog naelektrisanja vektor jaine polja usmeren je od tog naelektrisanja, a ako je izvor polja negativan vektor jaine polja je usmeren ka njemu.

Kapacitet provodnika brojno je jednak koliini elektriciteta koju treba dovesti tom provodniku da bude na jedininom potencijalu. Jedinica za kapacitet je FARAD:

V1C1F1 =

Kapacitet kondenzatora brojno je jednak koliini elektriciteta koju treba dovesti tom kondenzatoru da mu se napon povea za 1V.

UQC =

Kapacitet ravnog kondenzatora nalazi se po obrascu:

dSC r0=

gde je S-povrina ploa, d-rastojanje izmeu ploa, 0 -dielektrina konstanta vakuuma i r -relativna dielektrina konstanta Ekvivalentni kapacitet paralelno vezanih kondenzatora jednak je zbiru kapaciteta tih kondenzatora:

=

=++++=n

1iin321e CC...CCCC

Reciprona vrednost ekvivalentnog kapaciteta redno vezanih kondenzatora jednaka je zbiru recipronih vrednosti kapaciteta tih kondenzatora:

=

=+++=n

i ine CCCCC 12111...111

Energija kondenzatora kapacitivnosti C moe se odrediti na osnovu izraza

2

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom

CQ

21CU

21QU

21W

22 ===

gde je Q koliina elektriciteta na elektrodama kondenzatora, a U napon izmeu njih. 1.1 Tri jednaka pozitivna optereenja q su u temenima jednakostraninog trougla. Kakvo i koliko naelektrisanje Q treba postaviti u teite trougla da bi rezultujua sila na svako optereenje bila jednaka nuli?

REENJE: Sila na jedno naelektrisanje potie od Kulonove sile druga dva naelektrisanja i jednaka je vektorskom zbiru tih sila.

Fr

21 FFFrrr +=

Smer sila je kao na slici, a intenzitet je:

2

2

2

2

21

2

2

21

3

23230cos230cos2

aqkF

aqkFFF

aqkFF

oo

=

===

==

Da bi rezultujua sila na naelektrisanju Q bila jednaka nuli intenziteti sila FQq i F moraju biti jednaki, a suprotnog smera i zato naelektrisanje Q mora biti negativno da bi se ove dve sile ponitile. Koliinu naelektrisanja nalazimo iz uslova:

3qQ3aQqk3

a3qk

a3qkF

aQqk3

a3qQ9k

33a

qQk

23a

32

qQkF

23ah

FF

22

2

2

2

2222Qq

Qq

===

==

=

=

==

3


qQ33=

Reenje pokazuje da koliina elektriciteta Q zavisi samo od koliine pozitivnog naelektrisanja q u temenima i da je nezavisno od rastojanja a. 1.2 Takasta naelektrisanja q1=4nC i q2=1nC nalaze se na rastojanju a=60cm. Odrediti poloaj C takastog naelektrisanja q3 tako da posle postavljanja naelektrisanja q3 sva tri naelektrisanja budu nepokretna i odrediti koliinu elektriciteta q3

REENJE: Ako sa oznaimo rastojanje takastog naelektrisanja qx 1 od take C gde treba da se postavi naelektrisanje q3 tada je rastojanje take C do naelektrisanja q2 iznosi .Da bi posle postavljanja naelektrisanja sistem bio nepokretan treba da intenziteti sila zadovolje sledei uslov:

xa

2313 FF =

a smerovi su oznaeni na slici.

( )

04800160

03

606043608

0483484

2

41

41

2

2

22

222

222

1

2

232

02

31

0

=+=+

=++=+=

=

xx

xx

aaxxxaxax

xaxaxqq

xaqq

xqq

4

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom Ovo je kvadratna jednaina ija su reenja i . 1x 2x

cmx

cmx

x

x

x

402

80160

a xjejer odbaciti trebaresenje ovo 1202

801602

801602

1216401602

12441616101602

48004160160160

2

1

21

21

21

==

=+=

==

=

=

f

( )

nCqaxqq

xqq

aqq

FFnCq

axaq

xaqq

aqq

F

444.094

60401

444.0914

6040604

F

3

22

23

213

221

3121

3

22

3

223

221

3212

==

=

=

===

=

=

==

=

1.3 Dve veoma male kuglice, istih masa m1=m2=m, vise o koniima jednake duine l=10cm koji su uvreni u taki A. Kada se kuglicama dovedu koliine elektriciteta Q1=Q2=Q=10pC one se odbijaju tako da svaki koni gradi sa vertikalom ugao =30o. Odrediti masu kuglica. Napomena: Kuglice smatrati takastim naelektrisanjima. Masu konia zanemariti. Sistem se nalazi u vakuumu.

5

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom REENJE:

( ) kg10589,130tggl kQmmgG

lQk

lQkQF

30tgGF

1102

2

2

2

221

0

===

==

=

1.4 Dva tela naelektrisana koliinama elektriciteta Q1 i Q2 nalaze se u vakuumu na rastojanju r=1m. Odrediti taku u kojoj je sila koja deluje na jedinicu pozitivnog naelektrisanja jednaka nuli i to kada je: a) Q1=10C Q2=15C b) Q1=10C Q2=-15C c) Q1=-10C Q2=-15C Dimenzije tela su male u odnosu na rastojanje.

REENJE: a) Oba tela su pozitivno naelektrisana. Rezultantno polje je:

21 EEErrr +=

a bie jednako nuli ako je 21 EErr =

( )( )

mxmx

xx

xrQ

xQ

xrrxr

rQ

rQ

EE

45,445,0

110151010

41

41

2

1

2

6

2

6

22

21

2

1

22

2

02

1

1

0

21

==

=

==

==

=

r

r =x1 r2

E1E2+ +Q1 Q2

6

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom Poto x treba da bude na dui koja spaja naelektrisanja Q1 i Q2 ( 0


( )

CN

bQkE

EEEC

NEEE

cmd

cmd

bad

BB

CBy

CDx

79.1

0sin0

57.4cos02330coscos

2130sinsin

20400

40010310

2

0

0

2222

222

===+===

==

====

=+=+=

CNEEE

CN

aQkE

CN

dQ

kE

yx

DD

CC

57.4057.4

49.1

59.3

222

2

2

=+=+=

==

==

(Vektor Er

lei na x osi) 1.6 Odredi ekvivalentni kapacitet baterije prikazane na slici.

REENJE:

8


4321

3223

1111CCCCC

CCC

e

+++=+=

( )( )

( )( )( )324141

3241

3241

41

3241

41

2314

2314e CCCCCC

CCCC

CCCC

CC

CCCC

CC

CCCC

C ++++=

+++

++=+=

1.7 Na slici su naznaeni kapaciteti kondenzatora u F. Bez pisanja formula odredi ekvivalentni kapacitet i koliinu elektriciteta na ekvivalentnom kondenzatoru. VUFCFCFCFCC 12,3 i 6 ,1 ,10 54321 ======

REENJE: U jednoj grani imamo dva jednaka kondenzatora od po F10 redno vezana. Njih moemo zameniti jednim kondenzatorom iji je kapacitet upola manji od kapaciteta jednog kondenzatora tj. F5 . Ovaj kondenzator je paralelno vezan sa kondenzatorom kapaciteta F1 . Njihov ekvivalentni kapacitet jednak je zbiru kapaciteta tako da se dobije F6 . Ovaj kondenzator je redno vezan sa kondenzatorom kapaciteta F3 , pa je njihov ekvivalentni kapacitet jednak koliniku njihovog proizvoda i njihovog zbira. Na taj nain se dobija da je njihov ekvivalentni kapacitet jednak F2 . Ovaj kondenzator je paralelno vezan sa kondenzatorom kapaciteta F6 . Ukupni ekvivalentni kapacitet jednak je zbiru ova dva tj. F8 . Koliina elektriciteta na tom kondenzatoru bila bi jednaka proizvodu ekvivalentnog kapaciteta i napona tj. C96 . 1.8 Dva kondenzatora iji su kapaciteti FC 61 = i FC 32 = vezani su a) redno b) paralelno Kolike koliine elektriciteta e da budu na pozitivnim ploama tih kondenzatora, ako takvu vezu kondenzatora prikljuimo na izvor napona V10U = ?

9


REENJE: a) Na redno vezanim kondenzatorima moraju biti jednake koliine elektriciteta. Ta koliina elektriciteta jednaka je koliini elektriciteta na njihovom ekvivalentnom kondenzatoru. Ekvivalentni kapacitet jednak je rednoj vezi kondenzatora i pa je: 1C 2C

21

21e CC

CCC += Prema tome

C20UCC

CCUCQQQ21

21ee21 =+====

b) Kod paralelno vezanih kondenzatora naponi su isti na oba kondenzatora pa je:

C30UCQC60UCQ

22

11

====

1.9 Kapaciteti kondenzatora prikazanih na slici su nF4C1 = , i , dok je napon .

nF2C2 =nF3C3 = V18U =

a) Odredi koliinu elektriciteta na kondenzatoru 2Cb) Kako se menja napon na kondenzatoru 3C ako d e do proboja kondenzatora

2C ? o

10

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom REENJE: a)

( ) ( )nFC

CCCCCC

CCCCC

CCC

nFnFnFCCC

e

ee

29

18324324111

624

321

321

312

312

312

2112

==++

+=+++=+=+=

=+=+=

Na redno vezanim kondenzatorima moraju biti jednake koliine elektriciteta pa i paralelna veza i tj. imaju iste koliine elektriciteta 3C 1C 2C 12C( )

nCCCC

UCCUCQ

CCCUC

CQU

QQUCCCCCCUCQ

ABAB

ee

12321

3222

321

3

12

12

312321

321

=++==++==

==+++==

b) Pre probijanja navedenog kondenzatora napon na kondenzatoru je 3C( ) UCCC

CCCQ

U321

21

3

33 ++

+== Kada doe do proboja kondenzatora ploe kondenzatora postanu kratko vezane: njihovi potencijali se izjednae pa je napon na jednak . Prema tome napon se povea

2C 1C3C U

puta ,CC

CCCUUn 51

21

321

3

=+++==

1.10 Na slici je prikazana baterija kondenzatora iji kapaciteti iznose

, nF60C1 = nF30C2 = i C . Ako je koliina elektriciteta na kondenzatoru C jednaka Q koliki je napon U ?

nF103 =3 =3 nC30 AB

REENJE: Na redno vezanim kondenzatorima moraju biti jednake koliine elektriciteta pa i tj. imaju iste koliine elektriciteta

1C 2C 12C

( ) VCCCQC

CQU

CQ

CCCCQQQ

CQ

U

UCC

CCUCQQQ

AB 1321

32

1

1

3

3

21

212112

3

3

21

21122112

=+==

+====+====

11

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 1.11 Kondenzatori kapaciteta povezani su kao to je prikazano na slici. Koliki treba da bude napon U da bi napon na kondenzatoru iznosio

? Smatrati da je

4321 C i C,C,C

1C

1U CCCC 431 === i 2CC2 = .

REENJE: Potrebno je najpre izraunati ekvivalentnu kapacitivnost kola

32

212

CCC

CCC =

+

= - jer su i CC =1 22 CC = vezani redno

CCCC34

312123 =+= - i su vezani paralelno 12C 3C

1234

74

QQQ

CC

e

e

===

Koliine elektriciteta na i su jednake jer su vezani redno eC 4C

111121

2112

44

44

771

73

74

UUUCQCUUCC

CCQ

UUUUUCQU

AD

AD

====+=

====

1.12 Ravan vazduni kondenzator, kapacitivnosti C0=100pF, prikljuen je na izvor stalnog napona U=100V. Kada se kondenzator napunio izvor je iskljuen, a izmeu elektroda je, do polovine ubaena ploa od dielektrika relativne dielektrine konstante 4r = . a) Odrediti potencijalnu razliku izmeu elektroda kondenzatora posle ubacivanja dielektrika b) Izraunati energiju kondenzatora pre i posle ubacivanja dielektrika

12

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom REENJE: a)

pFC 1000 = Kapacitet ravnog ploastog kondenzatora se izraunava po obrascu:

UCQdSC

==

00

00

Posle iskljuivanja izvora i uvlaenja dielektrika (prema slici) dobija se paralelna veza dva kondenzatora i pa je ekvivalentna kapacitivnost jednaka zbiru pojedinanih kapacitivnosti.

1C 2C

pFCCCCC

Cd

SC

Cd

SC

re

rr

2505.221

2

22

22

0021

002

001

==

+=+=

==

==

Ukupna koliina naelektrisanja kondenzatora je ista pre i posle uvlaenja dielektrika pa je:

const=Q

V405.2

UU

UC5.2UCQ

/

/000

====

b)

( ) adielektrik ubacivanja posle energija - J102UC5.221W

adielektrik ubacivanja pre energija - J105UC21W

72/0

/

7200

==

==

1.13 Ravan vazduni kondenzator, povrine elektroda i rastojanja izmeu njih

2cm6040S =mm5d = prikljuen je na izvor napona . Po

izvrenom optereivanju kondenzator se iskljui od izvora i povea mu se rastojanje izmeu elektroda na . Odrediti energiju i jainu polja u oba sluaja, kao i promenu napona izmeu elektroda kondenzatora do koje dolazi pri poveanju rastojanja.

kV2U =mm10d1 =

13


2212

0 1085,8 mNC =

Kapacitet ravnog vazdunog kondenzatora se izraunava po obrascu:

FdSC 701 10248,4

== Energija kondenzatora je:

JUCW 4211 10496,821 ==

Jaina elektrinog polja je:

mkV

dUE 4001 ==

Koliina naelektrisanja kondenzatora je:

CUCQ 711 10496,8==

Kada se razmaknu ploe dolazi do promenekoliina naelektrisanja ostaje nepromenjena jer je izvor iskljuen. U ovom sluaju dolazi do promene napona izmeu ploa kondenzatora.

kapacitivnosti kondenzatora, a

kVkVkVUUU

mkV

dUE

kVVCQU

JCQW

CQ

CQCUCW

CQUUCQQ

FdSC 2==

224

400

44000

107,121

21

21

21

1012,

12

1

22

2

22

3

2

22

2

2

22

22

22

22

222

2

222221

10

102

=====

===

==

===

===

.14 Ravan vazuni kondenzator, povrine elektroda i 1 2cm7070S =

rastojanja izmeu njih cm5.0d = , prikljuen je na izvor napon sle optereivanja kondenzatora rastojanje izmeu njegovih elektroda se povea na

cm1d / = , ne iskljuujui pri tome izvor. Izraunati optereenje kondenzatora i elektrinog polja, kao i energiju pre i posle razmicanja elektroda.

a Po

intenzitet

kV5U = .

14


EENJE:

ovom sluaju se menja koliina elektriciteta jer napon baterije ostaje isti pa

R U Qje:

mMV1

dUE

C10334UCQ

mJ8410UC21W

F106738dS

1

611

211

1001

====

==

==

,

,

,

C

mkV

dUE

C.UCQ

J,UCW

F,dSC

constU

/

/

500

1016522

1042521

1033644

2

622

3222

1002

======

===

.15 Ploasti kondenzator, ije su elektrode dimenzija 1 cm30a = i , a cm40b =

rastojanje izmeu njih cm1c = , prikljuen je na nap kV5.on 1U = . Izmeu elektroda se nalazi stakle a dielektrine konstante rna plo 5= , debl

EENJE:

jine 1cm. Ako se posle odvajanja kondenzatora od izvora izvue izolaciona ploa od stakla, odrediti promenu energije kondenzatora i privlanu silu, izmeu elektroda kondenzatora bez dielektrika. R

J10975UC21W

F10315c

abC

42rr

10r0r

==

==

,

,

Kondenzator se odvoji od izvora i izvue se dielektrik

F,c

ab0

100 100621

== C

15


J,WWW

J,CQUCW

CQUUCQ

C,UCQconstQ

r

r

30

3

0

22

00

00

7

109832

10987221

21

109657

=====

====

=

Privlana sila izmeu elektroda kondenzatora je:

( )

NS

QF

SQ

ddS

QCd

CUd

CU

299.02

221

21

21F

dWFdFW

0

2

0

2

0

222

=

====

==

1.16 Naelektrisana estica mase nalazi se u ravnotei u homogenom elektrinom polju horizontalnog ravnog kondenzatora. Kondenzator je prikljuen na napon

g01.0m =

kV20U = , dok je rastojanje izmeu elektroda . Odrediti naelektrisanje estice.

cm5d = REENJE: Uslov za ravnoteu estice je:

GF = pri emu su smerovi sila oznaeni na slici.

nCCCq

q

Umgdq

mgdUq

mgqE

245,010245,01045,21020

10581,91001,0

910

3

23

===

=

=

==

1.17 Ravan vazduni kondenzator, rastojanja izmeu elektroda , smeten je u posudu od izolacionog materijala tako da jedna elektroda lei na dnu posude. Debljina elektroda je zanemarljiva. Kondenzator je prikljuen na

mm9d =

16

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom stalni napon U tako da polje u njemu ima vrednost m

kV500E 0/ = . Do koje visine h treba naliti ulje u posudu da bi polje u vazdunom delu kondenzatora dostiglo vrednost m

MV5.1E0 = . Relativna dielektrina konstanta ulja je 4r = .

REENJE:

VdEU 4500/0 == Sa slike je vidljivo da se radi o rednoj vezi dva kondenzatora gde je:

hSC

hdSC

r

02

01

==

Ekvivalentna kapacitivnost je:

( )hdhS

CCCCC

r

re +=+

= 0

21

21

Koliina naelektrisanja je ista za oba kondenzatora i iznosi: UCQ e =

Napon na kondenzatoru , koji za dielektrik ima vazduh, je: 1C

( ) ( )( )hdh

Uhd

hdS

Uhdh

S

CQU

r

rr

r

+=

+==

0

0

11

Jaina elektrinog polja koju treba realizovati je data relacijom:

( ) mmhmMVhdhU

hdUE

r

r 85,110 ==+==

17

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 1.18 Ravan vazduni kondenzator, povrine elektroda ba i razmaka izmeu njih d, prikljuen je na stalni napon U. Odrediti potrebnu silu da bi se izvrilo pomeranje jedne od elektroda u pravcu i smeru kao na slici. Zanemariti efekat krajeva. mm5.2d ,m5.0b ,m1a ,V500U ==== . REENJE:

( )

[ ]N,

daU

xWF

xbbdaUWWW

dxbaUUCW

cabUUCW

40

2

02

21

022

22

022

11

10425421

21

21

21

21

21

===

+==

==

==

1.19 Jedna elektroda ravnog vazdunog kondenzatora povrine je uvrena, dok je druga okaena o oprugu konstante

2cm100S =m

N275.11c = . Kada je kondenzator neoptereen, rastojanje izmeu njegovih elektroda je . Kada se kondenzator prikljui na izvor napona U, opruga e se istegnuti za

. Odrediti napon izvora U. Efekat krajeva zanemariti.

mm2d =mm3,0x =

REENJE: Sila opruge je , a privlana sila izmeu obloga kondenzatora je . Ove sile moraju biti u ravnotei pa je:

1F 2F

( )2020

20

2

0

22

0

21

0

2

2

1

222

2

xdS

USxd

S

US

UCcx

xdSC

CUQFF

SQF

cxF

=

==

=====

18


( )

( ) VS

xdcxU

ScxxdU

4702

2

0

2

0

22

==

=

1.20 Ravan kondenzator sa vrstim dielektrikom relativne dielektrine konstante r , prikljuen je na stalni napon U. Dimenzije elektroda su , a rastojanje izmeu njih . Odrediti silu potrebnu za izvlaenje dielektrika u pravcu i smeru kao na slici.

bad

5 ,mm2d ,cm20ba ,V100U r ===== REENJE: .

dab

dSC rrr 00 ==

Energija kondenzatora pre izvlaenja dielektrika je : 2

21 UCW rr =

Kada se dielektrik izvue za x dobija se paralelna veza dva kondenzatora i pa je ekvivalnetna kapacitivnost data relacijom:

1C

2C

( )

( )[ ]xaxdbCCC

dxabC

dxbC

re

r

+=+=

=

=

021

02

01

Energija ekvivalentnog kondenzatora je: 2

21 UCW ee =

Razlika energija je:

19


[ ] [ ]( )1

21

21

21

20

022

=

+==

r

rrrer

xdbUW

xxaad

bUCCUW

Sila potrebna za izvlaenje dielektrika se izraunava: ( ) Nd

bUx

WF r 532212

20 1077,1102

410010201085,85,0121

===

= 1.21 Ravan vazduni kondenzator ima rastojanje izmeu elektroda d i prikljuen je na stalni napon U. Ako se u meuelektrodni prostor kondenzatora ubaci ploica od izolacionog materijala, relativne dielektrine konstante r i debljine 2

d , jaina polja u vazdunom delu kondenzatora e se poveati za

50% u odnosu na prvobitnu. Odrediti r . REENJE:

0r

r

21

21e

0r0r2

001

00

C12

CCCCC

C2

2dSC

C2

2dSC

dUE

dSC

+=+=

==

==

=

=

( )

( )3 5,15,0

5,15,115,12

5,1125,1

2

5,1121

2

r

1

1

0

0

111

21

==+=+=

=+==

+=+===+==

r

rrr

r

r

r

r

r

re

e

dU

dU

EE

UUC

CC

UCCQU

UUUUCQ

20

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 1.22 Ravan vazduni kondenzator, rastojanja izmeu elektroda , prikljuen je na stalni napon U. Polje u kondenzatoru ima vrednost

mm9d =

mMV5.0E = . U prostor izmeu elektroda kondenzatora ubaci se ploica

debljine od materijala relativne dielektrine konstante mm8d1 = 4r = . Odrediti elektrino polje u obe sredine. REENJE:

mkV375

CQE

mMV5.1

mm1UE

V3000CQU

V1500CQU

UCUCUCQ

C89

CCCCC

C89

d98SC

C9d

S9

9dSC

rkondenzato vazduni - dSC

V4500109105.0dEU

22

11

22

11

2211ekv

0r

r

21

21ekv

0rr02

00

01

00

36

==

==

==

=====

+=+=

==

===

====

21


2. JAINA I GUSTINA ELEKTRINE STRUJE.

ELEKTRINI OTPOR PROVODNIKA Elektrina struja predstavlja usmereno kretanje naelektrisanih estica Trenutna jaina elektrine struje definisana je izrazom:

dtdqi =

gde je dq koliina elektriciteta koja protekne kroz popreni presek provodnika u beskonano kratkom vremenskom intervalu dt . Srednja vrednost jaine elektrine struje u duem vremenskom intervalu je: t

tqI

= Jedinica za jainu elektrine struje je amper:

sC

sCA 1

111 ==

Gustina elektrine struje brojno je jednaka koliniku jaine elektrine struje i poprenog preseka jedinine povrine provodnika:

vneSIj r==

gde je I jaina struje koja protie kroz popreni presek provodnika povrine S, n koncentracija slobodnih elektrona (broj slobodnih elektrona u jedinici zapremine ), e apsolutna vrednost koliine elektriciteta elektrona, a srednja brzina usmerenog kretanja elektrona.

vr

Otpor homogenog provodnika duine l i povrine poprenog preseka S je.

Sl

SlR ==

1

gde je specifian otpor provodnika, a specifina provodnost provodnika. Jedinice za otpor i specifini otpor su om i ommetar respektivno: [ ] [ ] m ,R == 11 Provodnost provodnika jednaka je recipronoj vrednosti otpora tog provodnika. Jedinica za provodnost je simens, a za specifinu provodnost simens po metru. Dakle:

[ ] [ ]mS

m ,SG ,

RG 11111 =====

Otpor provodnika menja se sa temperaturom po formuli: ( )tRR += 10 22

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom gde je R otpor na 00C, a temperaturni koeficijent otpora. Ekvivalentna otpornost redne veze otpornika

n21

n

1iie R...RRRR +++==

=

Ekvivalenta otpornost paralelne veze otpornika

n21

n

1i ie R1...

R1

R1

R1

R1 +++==

=

Omov zakon Jaina struje kroz provodnik upravo je proporcionalna naponu na krajevima provodnika, a obrnuto proporcionalna njegovoj otpornosti. Omov zakon se moe napisati u jednom od sledeih oblika:

IUR IRU

RUI ===

Prvi Kirhofov zakon algebarski zbir jaina struja u provodnicima koji se sustiu u jednom voru elektrine mree jednak je nuli:

=n

kkI

1

0

Drugi Kirhofov zakon U bilo kojoj zatvorenoj konturi elektrinog kola (zatvorena putanja formirana od grana kola) koja sadri proizvoljan broj elektromotornih sila i otpornika, kora biti zadovoljen drugi Kirhofov zakon koji se iskazuje sledom relacijom:

= 0RIE ili = RIE pri emu elektromotorne sile treba uzimati sa pozitivnim predznakom ako je njihov smer saglasan sa proizvoljno odabranim smerom obilaska po konturi i obrnuto. Naponi na otpornicima se uzimaju sa pozitivnim predznakom ako je referentni smer struje kroz otpornik saglasan sa smerom obilaska po konturi i obrnuto. Elektrini rad Prilikom pomeranja naelektrisanja Q u elektrostatikom polju od take A, koja se nalazi na potencijalu A , do take B, koja se nalazi na potencijalu B sile polja izvre rad koji je jednak: ( ) ABBA QUQA == Ako se na osnovu ovog izraza dobije pozitivna vrednost to znai da su sile polja izvrile rad. Kada se rad vri protivu sila polja za A se dobija negativna vrednost. Snaga P kojom se rad sila stacionarnog elektrinog polja transformie u toplotnu energiju na nekom otporniku, proporcionalna je otpornosti otpornika R i kvadratu struje I kroz otpornik (Dulov zakon):

RUUIRIP

22 ===

Teorija superpozicije Jaina struje u bilo kojoj grani sloenog linearnog elektrinog kola, nastala kao posledica jednovremenog dejstva svih generatora

23

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom u kolu, jednaka je algebarskom zbiru jaina struja koje bi u toj grani tekla pod dejstvom pojedinih generatora kada su svi ostali generatori zamenjeni svojim unutranjim otpornostima. Tevenenova teorema Svako linearni aktivni dvopol sa nepromenljivim otpornicima i generatorima moe se zameniti realnim naponskim generatorom ija je elektromotorna sila jednaka naponu praznog hoda dvopola, a unutranja otpornost ekvivalentna otpornosti dvopola. 2.1 Elektrina struja tee izmeu ploa kondenzatora (povrine Zemlje i sloja na visini 50-ak kilometara) prenosei svakog dana koliinu elektriciteta od priblino 0.15GC. Izraunaj srednju jainu elektrine struje. REENJE: Srednja jaina elektrine struje je protekla koliina elektriciteta za dato vreme, pa je:

kAs

CtqI 7,1

6060241015.0 9 ===

2.2 Kolika koliina elektriciteta e da protekne kroz popreni presek provodnika u toku jednog minuta, ako kroz provodnik protie elektrina struja jaine 10mA? REENJE:

C6,0s60A1010Itq 3 ===

2.3 Ako pri udaru groma kroz vazduh protekne koliina elektriciteta 20C, pri srednjoj jaini elektrine struje od 20kA, koliko vremena traje protok elektriciteta? REENJE:

ms1s10A1020

C20Iqt 33 ====

2.4 Kroz vlakno sijalice prenika 19m protie struja jaine 125mA. Kolika je gustina struje u vlaknu? REENJE:

( ) 228263

2 mmA441

mA1041,4

m1019A101254

dI4

SIj ==

===

2.5 Iz kosmosa prema Zemlji kreu se protoni ija je prosena brzina oko skmv 470= . Njihova koncentracija je . Kada ih Zemljino

magnetno polje, iznad atmosfere, ne bi skretalo i rasejavalo, kolika bi bila

378 = cm.n

24

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom gustina elektrine struje tih protona koja bi uvirala u atmosferu? Kolika bi bila ukupna jaina te struje? Poluprenik Zemlje je kmR 6370= . REENJE:

GA3.33jR4R4neImA105.6

sm10470C106.1m107.8nej

22

2731936

======

2.6 Metalni provodnici mogu da izdre protok elektrine struje ija je gustina oko 210 mmAjmax = . Ako je koncentracija slobodnih elektrona proceni srednju brzinu usmerenog kretanja elektrona.

32910 = mn

REENJE:

smm6.0

C106.1m10mA1010

nejnej 19329

26

maxmax =

===

2.7 Snop elektrona daje elektrinu struju gustine 210 mmAj = . Ako je brzina elektrona smv 610= . Kolika je zapreminska gustina elektriciteta? REENJE: Zapreminska gustina je jednaka ne= pa je:

3mC10jnej ====

2.8 Ako nervno vlakno zamislimo kao cilindar poluprenika mr 5= i duine

koliki je elektrini otpor tog vlakna? Specifini otpor supstance vlakna (aksoplazme) je

cml 1=m= 2 .

REENJE:

( ) ====

Mmmm

rl

SlR 255

105102 26

2

2

2.9 Od nikelinske trake irine i debljine cma 1= mm,d 40= treba napraviti otpornik iji je otpor = 1R . Kolika je potrebna duina trake? Specifini otpor nikelina je . m= 7104 REENJE:

madRladl

SlR 10====

25


sijalice ima pre

2.10 Volframsko vlakno nik mm,d 020= . Ako je specifini ejanog vlakna , = 1047otpor zagr 7 , a ukupni otpor zagrejanog vlakna

kolika je duina vlakna? REENJE:

m= 330R ,

cmRdl 144

2

==

2.11 Pretpostavimo da je radna ura sijalice Ct 02000= . Ako je otpor vlakna sijalice na C00 jednak

temperat= 240R , proceni otpor na radnoj temperaturi.

( ) ( )Termiki koeficijenti otpora za volfram iznose priblino ( ) 10910603 1020,107,0,1024,5 === CC 1 06. C . Koliko puta je tpor na radnoj temperaturi vei od otpora na ?

EENJE:

Ako za zavisnost otpora od temperature koristimo priblinu formulu dobija se.

o C00 R

( ) =+= 527510 ,tRR Prethodna formula vai samo za male temperaturne promene. Za vee temperaturne promene koristi se relacija: ( )320 1 tRR ++= Kada se zamene zadate vr os

tt + edn ti dobija se = 355R . Ovaj otpor je priblino

5 puta vei od otpora na

ni otpor a na iznos0 iznosi . Koliki je temperaturni

oeficijent otpora?

REENJE:

C00 . 1 2.12 Specifi aluminijum i m, =0 1042 , dok na temperaturi t 20=

C00 8

C m, = 81062k

( ) ( ) 100

0 t2.13 Na kojoj temper e od nihroma iznosi

0 00401 ==+= C,t aturi otpor ic = 48R , ako je njen

otpor na temperaturi ? Temperaturni koeficijent otpora nihroma

REENJE:

= 360 00 R Cje ( ) 104104 = C .

( ) CR

RRttRR 0

0

00 8331 ==+=

26

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 2.14 Popreni presek provodnika je krug iji je prenik mm,d 80= . Za koje vreme e kroz provodnik da protekne koliina elektriciteta ako kroz

provodnik protie struja konstantne gustine

Cq 1=210 mm

A,j = ? REENJE:

s,jd

qttd

qd

ISIj 919444 222 =====

2.15 Kroz provodnik protie elektrina struja jaine AI 10= . Kolika je u eV kinetika energija usmerenog kretanja? Povrina poprenog preseka provodnika je , a koncentracija slobodnih elektrona . 21mmS = 3221052 = cm,n REENJE:

eV,neS

ImmEk17

22 1081

21

21 =

==

2.16 Provodnik kroz koji protie struja sastoji se iz dva dela valjkastog oblika kao na slici. Prenik preseka debljeg valjka iznosi mmd 41 = , a ueg . Ako u irem delu protie elektrina struja gustine

mmd 22 =21 2 mm

Aj = , kolika je gustina u uem delu?

REENJE: Jaina struje u oba poprena preseka je ista, ali se gustine struja menjaju pa je:

22

2

2

11

2

1122211 88 m

MAmm

Addj

SSjjSjSjI ==

====

2.17 U rentgenskoj cevi iri snop elektrona obrazuje struju gustine

220 mmA,j = . Elektroni padaju na povrinu tapa koja je zaseena u obliku

klina pod uglom (vidi sliku).tap je postavljen u pravcu ose snopa. Ako je povrina kolika je jaina elektrine struje?

030=2100mmS =

27


S

REENJE: Povrina poprenog preseka tapa iznosi:

sinSSn = pa je jaina struje: AsinjSjSI n 10=== 2.18 Specifini otpor provodnika na temperaturi iznosi

. Koliki je specifini otpor tog provodnika na ako

je toplotni koeficijent otpora

Ct 01 15=m, = 81 1041 Ct 02 30=( ) 103104 = C ?

REENJE: ( ) ( )[ ]

( )[ ] m,, ttt =+= +=+= 8382 12112 1048115301041104111

2.19 Jaina elektrine struje se menja u toku vremena po zakonu gde je 2atI =

23 sAa = . Kolika koliina elektriciteta proe kroz popreni presek provodnika u

toku vremena st 31 = ? REENJE:

CsAtadttaIdtq

t

273330

3

3

2

31

3

0

2

0

1

===== 2.20 Otpornost jednog metalnog provodnika na temperaturi ima vrednost

C10t 01 =8,20R1 = , a na temperaturi je C80t 02 = 4,26R2 = . Izraunati

temperaturni koeficijent otpora provodnika. Kolika je otpornost tog provodnika na ?

0RC00

REENJE: ( )

( )202101

t1RRt1RR

+=+= ( )( ) 101221

12

20

10

2

1 C004,0tRtR

RR t1Rt1R

RR =

=++=

28


20Rt1RR 0

1

10 =+=

2.21 ajnik ima dva grejaa. Pri ukljuivanju jednog grejaa aj provri za

,a pri ukljuivanju samo drugog grejaa za min4t1 = min12t2 = . Za koje e vreme ista koliina aja da provri kada su ukljuena oba grejaa i to:

a) redno b) paralelno

Smatrati da u oba sluaja ukupna koliina toplote ide samo na zagrevanje aja. REENJE:

12

21

1221

12

2

11

2

R3RR4R12tRtR

tRUt

RU

====

a) min16t

tRR

UtRU

3

321

2

11

2

=+= b)

( )min3t

tRR

RRUtRU

4

421

212

11

2

=

+=

2.22 Metalna spirala otpornosti 40R = napravljena je od ice prenika

. Spirala je priljuena na izvor napona tako da gustina struje

iznosi

mm6,0r2 = U2cm

A320j = . Odrediti vrednost napona U i snage spirale P . REENJE:

( )

W74,32R

UP

V19,36102827433,032040RjSRIU

cm103,0cm

A320rjjSISIj

2

2

212

2

==========

2.23 Reo je prikljuen na izvor napona V110U = . Za vreme na reou se zagreje vode od do . Kolika je otpornost

min15t =l 6,0 C20t 01 = C100t 02 =

29

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom reoa ako je koeficijent korisnog dejstva 40= %?. Specifina toplota vode je

CkgJ4186c 0= .

REENJE: ( 12 ttmctmcQ )== - koliina toplotne energije koja je potrebna za zagrevanje vode

3mkg1000

Vm

==

kg6,0m106,0mkg1000m 333 ==

RtUtmc

2

= 68,21

tmctUR

2

== 2.24 Kolika koliina elektriciteta q treba da proe kroz elektrini greja ija je otpornost 20R = da bi se grejaem zagrejalo vode za u toku

. l100 C50t 0=

min30t = REENJE:

C1034,4603011,24ItQ

A11,24Rt

tmcIRtItmcQ

4

2

=======

2.25 Zlatna ica duga ml 51 = , a srebrna ml 82 = . Koliki e da bude ekvivalentni otpor, ako ove provodnike veemo:

a) redno b) paralelno?

Specifine provodnosti zlata i srebra su m

MS501 = i mMS672 = respektivno.

Oba provodnika imaju jednake povrine poprenog preseka . 240 mm,S = REENJE: a)

=+=+=+= 55010408

10671

10405

1050111

66662

2

1

121 ,,,S

lSlRRRe

30

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom b)

( ) =+=+= 140122121

21

21 ,llS

llRR

RRRe 2.26 ta biva sa jainom struje u provodniku, ako se napon na njegovim krajevima :

a) povea dva puta b) smanji dva puta

REENJE:

a) Na osnovu Omovog zakona moe se zakljuiti da se jaina struje kroz provodnik pove dva puta

b) Na osnovu Omovog zakona moe se zakljuiti da se jaina struje kroz provodnik smanjuje dva puta

2.27 Ako kroz provodnik prikljuen na konstantni napon VU 12= u toku 1h protekne koliine elektriciteta kCq 80= odrediti otpor tog provodnika. REENJE:

==== 540

1080360012

3 ,qUt

IUR

2.28 Na zemlji ispod 400 kilovoltnog dalekovoda, jaina elektrinog polja

dostie vrednost i do mkVE 5= . Proceni kolika je jaina struje koja moe da

protekne kroz telo oveka visine , ako je otpor tela (sa otporom kontakta sa zemljom) jednak

mh 2== MR 1 ?

REENJE: Izmeu glave i stopala oveka vlada napon :

kVEhU 10==

pa je jaina struje koja protie kroz telo:

mAREh

RUI 10===

31

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 2.29 Izvor ima elektromotornu silu VE 6= i unutranji otpor = 1r . Kolika e da bude jaina struje koja e proticati kroz kolo, ako na taj izvor prikljuimo potroa otpora = 5R ? REENJE:

ArR

EI 1=+=

2.30 Baterija za tranzistorski radioprijemnik ima elektromotornu silu . Ako polove te baterije spojimo kratkom bakarnom icom iji otpor moemo zanemariti (tzv. kratki spoj) onda kroz tu icu tee struja jaine . Koliki je unutranji otpor te baterije?

VE 9=AI 40 =

REENJE:

( ) ===+=+= 25200 ,IEr

rEI

rREIIrRE

2.31 Provodnik duine l iji je poluprenik poprenog preseka , r , prikljuen je na napon U . ako se menja jaina struje u tom provodniku kada poveamo n

ta: K

pua) napon b) duinu provodnika c) poluprenik poprenog preseka?

REENJE: Na osnovu Omovog zakona.

lUr

lUS

RUI

2

=== sledi:

a) kada se napon povea n puta toliko puta se povea i jaina struje b) kada se duina provodnika povea n puta jaina struje se smanji n puta c) ako se poluprenik poprenog preseka povea n puta jaina struje se

povea 2n 2.32 Bakarni provodnik duine l prikljuen je na izvor napona U . Koliko vremena je potrebno da slobodni elektron pree put od jednog do drugog kraja provodnika? Koncentracija slobodnih elektrona u bakru je

322 , a specifini otpor

m1= 6=

= cm,n

V

1048 mn = 17 .

32


sU

nellt

lUS

neSI

38

RUI

2

===

===

2.33 Napon na krajevima provodnika menja se linearno od vrednosti do vrednosti

VU 101 =VU 202 = . Kolika koliina elektriciteta protekne kroz provodnik

za vreme , ako je otpor provodnika mint 1= =10R ? REENJE:

CtRUUtIIq 90

222121 =+=+=

2.34 Otpori = 21R , = 62R i = 33R vezani su kako je to prikazano na slici. Nai ekvivalentne otpore u ovim sluajevima.

a) b) c) REENJE:

a) Kada paralelno vezane otpore i zamenimo njihovim ekvivalentnim otporom dobiemo vezu prikazanu na crteu. Prema tome je:

2R 3R

23R

=++= 43232

1 RRRR

R+= 231 RRRe b) ( ) =++

+= 218321

321

3 RRRRRR

+= 12312

RRRRRe

33


c)

=++=

++=++=

1

1111

323121

321

321

323121

321

RRRRRRRRR

R

RRRRRRRRR

RRRR

e

e

2.35 Kolika je jaina struje koja protie kroz otpornik kada je prekida K: 1R

a) otvoren b) zatvoren

Vrednosti veliina prikaznih na crteu su 10VE 0,r ,R ,R ==== 4060 21 . Smatraj da je otpor provodnika a jednak nuli.

REENJE:

a) A1.0RR

EI21

=+= b) Kada je prekida K zatvoren napon na krajevima provodnika a je jednak

nuli ( 0U AB = ), pa je i jaina struje kroz otpornik jednaka nuli ( 0

RUI

1

AB1 == )

2.36 Odrediti vrednost otpornosti tako da se na njemu razvije maksimalna vrednost snage i nai tu snagu. Dato je

xR=== 8,6,120 21 RRVU

34


( )( )

( )( ) ( )

WIRP

AIAI

RRdRdP

IRP

RRRRRUR

RRRRRRRU

RRRI

RRRRRRRU

RRRRR

UI

RRRII

xxx

x

xxx

x

xxx

xxxx

x

xx

xx

x

x

x

xx

343

1028,14

428,3144848140

2

1

2212

2

212

2

2

2

221

2

2

21

1

2

21

====

====

++=++++=

+++=

++=

+=

2.37 U kolu prikazanom na slici dato je 6R,8R,V36U 21 === . Odrediti vrednost otpora tako da se na njemu razvija maksimalna snaga kao i vrednost te snage.

xR

REENJE:

( ) 0RRU

RRU2R

RRU

dRdP

0dRdP

RRURP

RRRR

UI

IRP

43,36868

RRRRR

2exex

x

2

exx

x

2

xex

ex

xe

2xx

21

21e

=

+

++

+=

=

+=

=+=

==+

=+=

35


( ) ( )

( ) ( )( )

W46,94IRP

A24,5RR

UI

RR0RR

0RR

R2RR

0RR

R2RR

1U

0RRUR2

RRU

2xx

ex

ex

xe

3ex

xex

3ex

x2

ex

2

3ex

2x

2ex

2

===+=

==

=++

=

++

=++

2.38 Galvanometar unutranje otpornosti = 8r vezan je na red sa otporom od

.Ako se otpor = 200R R zameni otporom = 401R da bi kroz galvanometar tekla struja iste jaine galvanometar se mora antirati otporom . Kolika je otpornost anta?

1r

REENJE: ( ) UIrR =+ ( )

UrrRRr

rRU

rRUI

UrrRRrI

UrrIIRrI

rrIIIrrI

UIIRrI

=

+++

+=

=

++

=

++

===++

111

111

11

1111

11

36


==

+

=

+

+=++

2

200140

1

1

1

11

111

rrr

RrrR

rRrrRRr

Ovi otpornici slue za ogranienje struje kroz galvanometar. 2.39 Generator stalne elektromotorne sile VE 20= , unutranje otpornosti

i prijemnik otpornosti = 50,Ri = 50R vezani su kao na slici. Odrediti: a) intenzitet struje u kolu b) napon na krajevima prijemnika c) elektrinu snagu prijemnika

REENJE:

W,RIP )cV,RIU )b

A,,,RR

EI )ai

847819

3960550

205050

20

2 ====

==+=+=

2.40 Generator stalne elektromotorne sile VE 20= i zanemarljive unutranje otpornosti i otpornici otpornosti === 500300200 21 3R i R,R . Obrazuju elektrino kolo kao na slici. Odrediti napone na krajevima otpornika i snage na njima usled Dulovog efekta. REENJE:

mWEImWIRPmWIRP

mWIRPVIRU

VIRUVIRU

mARRR

EI

400200

12080

1064

20

233

222

211

33

22

11

321

=============

=++=

37

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 2.41 Generator VE 201 = i VE 62 = , unutranjih otpornosti i

i prijemnici = 201 ,Ri

= 0502 ,Ri === 400700300 321 R i R,R vezani su u kolo prikazano na slici. Odrediti struje u svim granama kola.

REENJE:

231 III =+ Na osnovu I Kirhofovog zakona moe se napisati:

( )( )

( )( ) 22i12i22122i2212332i22

133111i

IRIRIRIRRRII

EIRRRIEIRIRR

1121n

+++=++=++=+

==

Na osnovu II Kirhofovog zakona moe se napisati: ( )

( )( ) ( )

mAAAImAI

mAAAI

IIII

EIRRRRRIEIRRRI

IRIREIRIRIREIR

nn

ii

i

i

i

g

40040,0039,0202040

20020,0019,0

605,110005,700204002,300

00

2131

1

2

3

31

31

23223221

133111

3322222

3311111

====

===+

==++++

=+=++

=+==

38

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 2.42 Tri generatora elektromotornih sila V30E,V5E,V25E 321 === i etri prijemnika otpornosti 200R,150R,50R,100R 4321 ==== , vezani su u kolo kao na slici. Odrediti jainu struje u kolu i napon izmeu taaka A i B. REENJE:

( )

( ) V5301,0350EIRRUIRIREU

A1,050050I

EEERRRRI0IRIRIRIREEE

343AB

433AB

2314321

1432321

==+=+=+

==+=+++

=+++++

2.43 Elektrini toster namenjen za rad pri naponu od V120U = ima unutranji otpor 6,10R = . Kolika je snaga tog tostera? REENJE:

W13606,10

120R

UP22

=== 2.44 Sijalica snage namenjena je za rad na naponu . Koliki je otpor sijalice na radnoj temperaturi? Kolika je jaina struje koja protie kroz vlakno?

W100P = V220U =

REENJE:

A45,0220100

UPIUIP

484100220

PUR

RUP

222

====

====

39

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 2.45 Uporedi koliinu elektriciteta koja protekne u toku 1s kroz jedan popreni presek vlakna sijalice za depnu lampu snage W1P1 = koja je prikljuena na izvor napona V5,4U1 = i sijalice snage W60P2 = koja je prikljuena na izvor napona . V220U 2 = REENJE: Koliine elektriciteta su:

CU

tPtIQ

CU

tPtIQ

27,0

22,0

2

222

1

111

===

===

U sijalicama se elektrina energija indirektno transformie u svetlosnu, a ta energija ne zavisi samo od koliine proteklog elektriciteta. Energija je:

PtUItW == Iako nema velike razlike izmeu jaina struja (ili koliina elektriciteta) druga sijalica proizvodi veu svetlosnu energiju jer se prikljuuje na vii napon. 2.46 Koliko vremena treba da protie struja jaine kroz provodnik iji je otpor

kA2,0k1,0 da bi se u njemu oslobodila koliina toplote ? MJ4,0

REENJE:

sRIQttRIQ 1,0

)102,0(101,0104,0

233

6

22 =

=== 2.47 Na izvor ija je EMS jednaka V5E = , a unutranji otpor 5,0r = prikljuen je potroa otpora 5,4R = .

a) Koliki rad izvre strane sile u izvoru u toku s10t = ? b) Kolika se koliina toplote oslobodi u izvoru za isto to vreme? c) Kolika se koliina toplote oslobodi u potroau za vreme s10t = ? d) Kolika je, u toku tog istog vremena, osloboena ukupna koliina toplote

u kolu? REENJE:

a) J50105,05,4

5trR

EtrR

EEEItEqAqAE

22

=+=+=+====

b) JtrR

ErtrIQr 5105.05,455,0

222 =

+=

+==

40


c) JtrR

ERQR 45105,05,455,4

22

=

+=

+= d) AJ50455QQQ RrrR ==+=+=+

41


3. ELEKTROMAGNETIZAM Amperova sila kojom magnetno polje indukcije B

rdeluje na provodnik duine ,

kroz koji protie elektrine struja jaine l

I , jednaka je: BxIlFrr =

gde vektor Il ima smer kao elektrine struja. Intenzitet vektora Fr

jednak je: sinBIlF =

gde je ugao koji zaklapa provodnik sa magnetnim linijma sila datog polja. Jedinica za indukciju magnetnog polja je tesla (T):

[ ] [ ][ ] [ ] TmAN

lIFB 11 ===

Lorencova sila deluje na naelektrisanu esticu (koliine elektriciteta ) koja se kree brzinom

qr kroz magnetno polje indukcije Br :

BsinqFB x qF

== rrr

gde je ugao koji zaklapa vektor brzine sa magnetnim linijama sila. Bio-Savarov zakon: magnetno polje koje izaziva vrlo mali deo provodnika duine , kroz koji protie elektrina struja jaine l I , u taki koja je za r udaljena od tog elementa moe se izraaunati kao:

20

200

4

4

rsindlIdB

rrxdlIdB

=

=

gde je 0r - jedinini vektor usmeren od posmatranog elementa ka taki u kojoj je indukcija polja B

r, a ugao koji zaklapa jedinini vektor sa posmatranim

elementom (sa vektorom lI ). Indukcija magnetnog polja na rastojanju r od dugog pravolinijskog provodnika kroz koji protie elektrina struja jaine I moemo izraunati po Bio-Savarovom zakonu:

rIB =

2

0

gde je

= A

Tm70 104 magnetna permeabilnost vakuuma.

42

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom Indukcija magnetnog polja u centru krunog provodnika poluprenika r kroz koji protie elektrina struja jaine I, moemo izraunati kao:

rIB =

20

Indukcija magnetnog polja u centru solenoida jednaka je: nIB 0=

gde je n broj namotaja po jedinici duine solenoida. Obrazac vai ako je duina solenoida mnogo vea od njegovog prenika. Fluks homogenog magnetnog polja indukcije B kroz povrinu jednak je: S

cosBS= gde je ugao izmeu normale ne povrinu i magnetnih linija sila. Jedinica za fluks je veber (Wb): [ ] [ ] [ ] WbmTSB 11 2 ===

3.1 Data je strujna kontura oblika kao na slici. Odrediti vektor indukcije B u taki O.

1

2R

O I

1

2

xB1

B2R/2

REENJE:

00

0

120602

6021

2211

22

2==

=====

arccosR

RR

R

cos

0120= - 1/3 punog kruga

( )

23150

2330

24

231

02

01

210

2

01

==

==

=

=

coscos

coscos

coscosRIB

RIB

43


===

=

313

2231

23

23

00012

02

RI

RI

RIBBB

RIB

3.2 Odrediti fluks vektora magnetne indukcije koja potie od beskonano dugog provodnika kroz pravougaonu konturu dimenzija (u vakuumu). axb

I

x

c ab

dxx

xB

dS

REENJE:

= dSBr Fluks je pozitivan zbog istog smera vektora B

r i dS .

caclnIb

caclnIb

xdxIbbdx

xI

bdxdSac

c

ac

c

+=

+====

++

2

222

0

000

3.3 Odrediti proteklu koliinu elektriciteta koja nastaje kada se pravougaona kontura otpornosti

QR , prikazana na slici, pomeri na rastojanje od beskonano

dugog provodnika kroz koji protie struja x

I .

I

x0 a

h

dx1x1

x2 dx2

x

1 2

44


( )( )

0

00

1

101

1

01

21

012

0

12

222

1

1

0

0

0

0

2

1

xax

lnIh

xdxIhhdx

xI

RQ

Rdt

Rdtddt

ReidtQ

dtdQi

Rei

dtde

ax

x

ax

x

tt

+===

=

====

==

==

++

( )( )

( )( )axx

axxlnRIhQ

axxaxxlnIh

xax

xax

lnIh

xaxlnIhhdx

xIax

x

++=

++=+

+=

+== +

0

00

0

000

0

021

02

2

02

2

22

22

3.4 Dva veoma duga paralelna pravolinijska provodnika i pravougaona kontura dimenzija nalaze se u istoj ravni, u vakuumu. Smer struje kroz provodnik (1) oznaen je na slici. Odrediti struju u drugom provodniku tako da magnetni fluks kroz pravougaonu konturu bude jednak nuli.

axb

45

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom REENJE: Iz uslova zadatka sledi da je:

21

21 0=

==

Kako je:

4ln2

3

34

ln2

22

10101

34

31

1103

4

3

11

101

bIa

abI

xdxbIbdx

xI

a

a

a

a

==

==

i

322

202

3

2

22

202 ln

bIbdx

xI

a

a

==

pa onda dobijamo:

322

34

32

42

112

2010

lnlnI

lnlnII

lnbIlnbI

==

=

3.5 Provodnik savijen u obliku pravouglog trougla stranica cmb,cma 2010 == nalazi se na rastojanju od beskonano dugog tankog pravolinijskog provodnika kroz koji tee struja . Odrediti fluks kroz konturu.

cmd 3=AI 50=

46


( )

( )Wb,

xbdbay

dxydS

dxx

xbdbIa

dxxbdba

xI

dSxI

dSBbd

dS S

bd

d

6

000

10341

222

++

=+=

=

+=+=== r

3.6 U blizini magneta indukcija magnetnog polja iznosi mTB 10= . Kolikom silom to polje deluje na deo provodnika duine cml 1= kroz koji protie elektrina struja jaine kA,I 10= ako provodnik zaklapa ugao sa magnetnim linijama sila? Uporedi tu silu sa teinom tela ija je masa .

090=g1

REENJE:

N,sinmA,mA

NsinBIlF 010901010101010 0233 ===

Moe se zapaziti da je sila malog intenziteta iako kroz provodnik protie relativno jaka struja. Ta sila je priblino jednaka teini tela mase 1g. 3.7 Izmeu polova magneta je polje indukcije TB 1= . U to polje postavljen je provodnik duine m,l 30= kroz koji protie elektrina struja. Kada je taj provodnik upravan na linije vektora indukcije onda magnetno polje na njega deluje silom NF 9= . Kolika je jaina struje koja protie koja protie kroz provodnik? REENJE:

ABlFI

BIlF

3090

sin

0 ====

3.8 Kroz provodnik tramvajske linije protie struja jaine AI 400= . Kolika je horizontalna komponenta sile kojom Zemljino magnetno polje deluje na dno provodnika duine ml 10= na mestu gde je vertikalna komponenta zemljinog magnetnog polja ? TBy

6105 = REENJE:

N,IlBsinBIlF yx 020=== 47

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 3.9 Pod kojim uglom u odnosu na magnetne linije sila magnetnog polja indukcije treba postaviti provodnik duine mTB 10= ml 2= kroz koji protie elektrina struja jaine , pa da polje na provodnik deluje silom

? AI 5=

mNF 50= REENJE:

03021 ====

BIlFsinsinBIlF

3.10 Tipini laboratorijski kalem ima 1000 navoja po jednom metru duine. Pretpostavimo da moemo smatrati da je njegova duina mnogo vea od prenika. Kolika e da bude indukcija magnetnog polja u centru kalema (solenoida) kada se kroz njega propusti elektrina struja jaine AI 10= ? REENJE:

mT,nIB 57120 == 3.11 Elektron uleti u homogeno magnetno polje magnetne indukcije B=1T

brzinom sm7102 = . Koliki ugao sa magnetnim linijama sila treba da zaklapa

vektor brzine da bi magnetno polje delovalo na elektron silom pN,F 61= ? REENJE:

03021 ==== Be

FsinsinBeF

3.12 Ram oblika kvadrata stranice cma 20= nalazi se u homogenom magnetnom polju indukcije mTB 1= . Koliki je maksimalni fluks magnetnog polja kroz ovaj ram? REENJE: Fluks je maksimalan kada je ram upravan na magnetne linije sila polja. Tada je: ( ) WbBaBS 401041041010210 5232132 ====== 3.13 Kruna kontura nalazi se u homogenom magnetnom polju indukcije

ali tako da normala na povrinu konture zaklapa ugao sa magnetnim linijama sila. Ako je fluks magnetnog polja kroz konturu

koliki je onda poluprenik konture?

T,B 10= 060=mWb10=

48


EENJE: R

cm,cosB

rcosBrcosBS 2252 ==== .14 Dat je elektromagnet ije su duine srednjih linija

4 S,cmS =rijala ija se karakt

3mm,l,cml,cml 202010 021 === . Povrine poprenog preseka jezgra

22 8cm= i kvadratnog su oblika. Jezgro je

napravljeno od mate eristika magneenja moe predstaviti

funkcijom ( )elektromagneta su 21

= ABBH 2310 . Odrediti struju m I kroz namotaj elektromagneta

kroz koji tee struja I1ako je broj namotaja , tako da sila na provodnik u vazdunom procepu

1400=NA= bude NF 31016 = .

REENJE:

ila u vazdunom procepu je: ava magnetna indukcija

- se u u provodnika u polju.

S

01 BlIF = odakle se izraun 0B . cml 2= izraunava iz odnosa 21 lS = i predstavlja d in

T,lI

FB = 801

0 = Fluks je isti u celom kolu:

mA,

BH

T,BT,BBSBSBSB 0221100

77636619

4080

0

00

2

1

===

====

49


A,IlHlHlHNImABH

mABH

5580

16010

64010

221100

22

32

21

31

=++===

==

3.15 Elektromagnetom preseka sa 221 6cmSS == 400=N zavojaka podie teret mase kgm 80= . Dime zije naznaene na slici su n

mm,l,cml,cml 301030 021 === . Odredit minimalnu vrednost struje za odizanje tereta i energiju u vazdunom zazoru. Za koliko treba poveati struju

da bi stala nes pni flu

pkroz namotaje ako se 0l povea na sila o promenjena. Polje je homogeno, a ra i ks zanemarljiv. Karakterisitka magneenja je data tablicom:

mm,50

( )mAH 0 100 200 300 400 500 600 700 ( )TB 0 0, 5 0,65 0 1,00 1,10 1,25 1,30 3 0,8

REENJE: Na teret mase deluje zemljina tea silom

va sila se uravnoteava sa privlanom silom elektromagneta pa je:

m

N,mgF 8784== O

0

20

2SBF / = - odakle se izraunava magnetna indukcija 0B .

50


luks je isti u celom magnetnom polju: TBFF 28,12 0

/ = F

T,BBBBS 281210221

mA,BH

BSBS

10185910

00

100

======

6

=

JlSHBW

AIlHlHlHNI

AIlHlHlHNI

mAH 650==H

23,0221

196,32

17,22

0000

2

2211/

002

1

2211001

21

===

++==

++=

3.16 Elektromagnetom prema slici podie se teret kgm 60= . Duine i preseci naznaeni na slici su: mm,l 300 = , cml 401 = , cml 122 = , 201 6cmSS == ,

22 7cmS = . Ako je rasipni fluks zanearljiv, a polje u zazoru homogeno i kalem

ma zavojaka, odrediti minimalnu vrednost struje za podizanje tereta.

truje

i 400=NPri dozvoljenoj gustini s 25 m

A= pr a a je data tablicom:

mj , odrediti prenik ovodnika. Kriv

magneenj(AH 0 100 200 400 600 700 )m ( )TB1 0 0,15 0,5 1,0 1,25 1,3 ( )TB2 0 0,1 0,75 1,0 0,25

Ovo su tablice magneenja za oblasti (1) i (2). Take na grafiku B=B(H) spajati pravim linijama (duima).

51


++=== 002 S

SBB

=====

===

===+====

221100

2

01221100

0/

0

20/

20

21

2

95,0

11,1.

11,1

2

122

606,58860

lHlHlHNI

T

TBBSBSBSBconst

TBFF

SBF

cmSSkgmmm

NgmgF

mAH T,B

mAH T,B

mA,BH T,B

2

1

0

650950

470111

9883309111

2

1

0

00

==

==

===

ekvivalentna ema magnetnog kola

mm,djIS

A,I

710

991

===

3.17 Elektromagnet se sastoji od jezgra, na kome se nalazi namotaj sa N navojaka i kotve. Jezgro je kvadratnog poprenog preseka aaS = , duine srednje linije l1 i nainjeno je od ferom aterijala ija se karakteristika magneenja moe aproksimirati duima koje B-H koordinatnom sistemu spajaju take

B(T) 0 0.1 0.9 1.0

agnetnog m

H(A/m) 0 100 200 400 Kotva je takoe kvadratnog poprenog preseka bbS2 = ima duinu srednje linije l2 i nainjena je od materijala ija se karakterisitika magneenja moe proksimirati duima koje u B-H koordinatnom sistemu spajaju take a

52


1.2

B(T) 0 0.1 1.0 H(A/m) 0 50 100 400

Duina vazdunog procepa izmeu jezgra i kotve je l0. Zanemariti rasipni fluks.

drediti struju kroz namotaj tako da nosea sila ovog elektromagneta ima vrednost F. Numeriki odaci: a=6cm =4cm, l1=0 l2=0.2m, l mm,

=5 6N.

O p , b .5m, 0=0.5

N 00, F=93

S2

S1

l

l1

N

l02

REENJE: Najpre treba odrediti povrinu vazdunog procepa, odnosno povrinu u vazdunom procepu izmeu jezgra i kotve kroz koju se zatvaraju linije polja. Posmatrajmo presek elektromagneta nainjen kroz jezgro (sl.1a). Oigledno je da je zajednika povrina, povrina kroz koju se zatvaraju linije polja, ona tamnije osenena i da iznosi 20 cm24axbS == .

aa

b

Iz poznate nosee sile elektromagneta

00

20

00

20 S

BS2

2B

F ==

moe se odrediti indukcija u vazdunom procepu

T7.0S

FB

0

00 ==

dok se iz uslova S221100 BSBSB == odreuju magnetne indukcije u jezgru T467.0B1 = i kotvi , a sa karakterisitike magneenja materijala (sl.1b) odgovarajue ja

i

T05.1B2 =ine magnetnog polja:

m/A146H1 m/A175H2

53


Kako je jaina magnetnog polja u vazdunom procepu

m/A1057.5BH 5000 =

potrebna magnetopobudna sila je (sl.1c) A665lH2lHlHNI 002211 ++=

N I

H l0 0 H l0 0

H l2 2

H l1 1

sl.1c

odnosno struja kroz namotaj je

A33.1I

-83.18 Dva bakarna provodnika (=1,7510 m ) duine L=25 m, preseka S=50 mm2, na meusobnom rastojanju d=10 cm, privreni su za zid nosaima od izolatora. Nosai se nalaze na rastojanju od 1 m. Vodovi se koriste za prikljuivanje ureaja na napon U=120V. Odrediti srednju prosenu silu koja deluje na jedan nosei izolator pri kratkom spoju na ureaju.

REENJE: Ukupna otpornost oba provodnika je R RLSv

= =2 2' , a posle zamene brojnih vrednosti je:

Rv = =

2 1 75 10 50 108

6, 17 25

,510-3 Pri kratkom spoju na ureaju kroz vodove tee struja:

54


IURk v

= = =120

1 75 10 3,6,86 103 A

Ukupna sila koja deluje na provodnike je:

FI I L I Lo o 1 2 2 4

d d= = =

=

7 2

22 210 6860 252 10 10

( )2352,98 N=2353 N

Broj noseih izolatorskih nos 2611251 =+=+= Ln

d , a sila koja optereuje aa je

jedan nosa je FF

'= = =2353 90,5 N. n 26

3.19 Jaina elektrine struje I=1,2A kroz N zavojaka namotaja izaziva u azdunom zazoru (lo=1 mm) fluks =1mWb. Dimenzije torusa naznaene su na

pri toj struji jaina magnetnog polja u amotaja.

vslici (Ds=150 mm, Du=90 mm). Ako je orusu 800 A/m, izraunati broj zavojaka nt

REENJE: Srednja indukciona linija u torusu je:

( ) 31011202

=

+= ouss lDDL-3

m

a u zazoru lo=10 m. S obzirom da je =BoSo=B1S1 i S=So=S1=0,25(0,03)23,14=7,065 cm2 vrednosti indukcije u zazoru je Bo=/S=1,415T, a jaine polja Ho=Bo/o=1,27 106A/m. Na osnovu zakona ukupne struje je:

( )N I H l H lo o = + = + = + = 1 1 3 6 310 1 27 10 10 120 1 800 1127 301 1427 7, , odakle je N=1427,7/1,2=1190 .

procenata e se smanjiti privlana sila elektromagneta ako C. Provodnik namotaja je od bakra (=0,004 nije u oblasti zasienja.

3.20 Koliko temperatura namotaja poraste na 501/C). Radna taka u magnetnom kolu

55

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom REENJE: Otpornost namotaja na temperaturi od 50 e C jR R Ro o o50 1 50 0 1 0 004 50 1 2= + R = + =( ( )) ( , ) , . Ako je napon konstantan, struja kroz otpornik pri zagrevanju opadne na

ukcija 50=0,83o i B50=0,83Bo Kako je po Maxwell-ovoj formuli privlana sila elektromagneta:

I =U/R =0,83I , gde je I struja 50 50 o o nezagrejanog provodnika. Za isti odnos se smanji magnetopobudna sila, fluks i indukcija. Iz Maxwell-ove formule zbog nezasienosti magnetnog kola i fluks kao i ind

( )F F F

o o oo o50

50 2

2 20 83 0 69= = = = = , , .

Sila privlaenja se zbog zagrevanja provodnika smanjila za 31%.

B S B S B S2 22

0 83, o2

onog kretanja sa motora na radni deo maine frikcione delovi spojnice privlae pri zazoru uin

l =21 cm i l =9 cm. Presek magnetnog kola S=80cm je isti po celoj duini linija

3.21 Za prenos rotacispojnice treba obezbediti silu F=1 kN, kojom se lo=0,3 mm izmeu delova magnetnog kola. D e srednjih linija indukcije su

21 2

polja. Odrediti potrebnu jainu struje ako spojnica ima N=300 zavojaka. Kriva magnetisanja je data.

a) b)

REENJE: Iz Maxwell-ove formule FB S

o=

2

2 dobija se vrednost indukcije B=0,56T. Iz krive magnetisanja se nalazi da je pri ovoj indukciji jaina polja H=600 A/m. Poto je u vazdunom zazoru B=Bo= oHo , Ho=B/o po zakonu ukupne struje je:

( )NI H l H l H l B l H l lo oo

o= + + = + + = +2 2 267 5 1801 1 2 2 1 2 , = 447,5 AN S obzirom da je broj zavojaka N=300, potrebna jaina struje za obezbeenje sile privlaenja F=1 kN je I=44 .

agneta iji namotaj ima N=450 za Dimenzije magnetnog kola elektromagneta su naznaene na slici: S0=S1=S2=6cm2, l0=0.3mm, l1=30cm i l2=10cm. Zavisnost B=B(H) je data tabelarno:

7,5/300=1,49 A 3.22 Privlana sila elektrom vojaka je F=620N.

56


B(T) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 H(A/m) 0 40 95 160 270 440 850

l S2 , 2

l S1, 1

l s0 , 0

NI

Od jainu struje kroz namota nergij lja u unomrediti j i e u po vazd zazoru. Rasipni fl gnetnom kolu anema .

EENJE: Vidi zadatak 3.17

3.23 Dat je elektromagnet sa duinama srednjih linija l1=10cm, l2=20cm, l0=0.2mm. Povrine poprenog preseka su S1=4cm2, S2=8cm2 i kvadratnog su oblika. Jezgro je napravljeno od materijala ija se karakterisitika magneenja moe predstaviti

uks u ma je z rljiv R

l S2 , 2

l S1, 1 l 0

NI

REENJE: Vidi zadatak 3.17

)m/A(B10)B(Hf 23== . Odrediti struju I kroz namotaj elektromagneta ako je broj namotaja N=400, tako da sila na provodnik u vazdunom procepu kroz koji tee struja I1=1A bude N1016F 3= .

57

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom 3.24 Elektromagnetom preseka S1=S2=6cm2 sa N=400 zavojaka podie se teret mase m=80kg. Dimenzije naznaene na slici su l1=30cm, l2=10cm i l3=0.3mm. Odrediti minimalnu vrednost struje za podizanje tereta i energiju u vazdunom zazoru. Za koliko treba poveati struju kroz namotaje ako se l0 povea na l0=0.5mm da bi sila ostala nepromenjena. Polje je homogeno, a rasipni fluks zanemarljiv. H(A/m) 0 100 200 300 400 500 600 700

B(T) 0 0.35 0.65 0.8 1.0 1.1 1.25 1.3

l S1, 1

l s0, 0l S2 , 2

NI

la su: l0=1mm, l1=l2=25cm, l3=10cm, S0=S1=S2=25cm2, S3=100cm3. en na napon U=24V. Odredit inu s I

pri kojoj je dukc vaz om zazoru T, s top ubi u na i pr anu me lova trom ta. R ni fl nem .

B(T) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

REENJE: Vidi zadatak 3.17 3.25 Kriva magnetisanja materijala magnetnog kola data je tabelarno, a dimenzije magnetnog koNamotaj (N=300 zavojaka) je priklju i ja

lih gtruje

taka in ija u dun B =10agne

nagumotaju ivl silu iz u po elek asip uks za ariti

H(A/m) 40 65 100 130 200 400

U

l S0, 0

sl.9 REENJE: Vidi zadatak 3.17

12

3

58


astoji iz 1000 navoja , a kroz njega protie struja od 0.04A. Relativni magnetni

per litet je 1500.

EENJE: Jaina magnetnog polja u unutranjosti solenoida sraunavamo po formuli

3.26 Duina jezgra elektromagneta iznosi 0.10m, a povrina poprenog preseka 0.01m2. Odrediti magnetni fluks elektromagneta ako se zna da mu se kalems

meabi

R

=mA

lINH

gde je: I jaina struje (A) N broj navoja l duina (m)

Kada znamo jainu magnetnog polja i relativni permeabilitet moemo nai jainu magnetne indukcije B po formuli

HHB r0a == a - je apsolutni permeabilitet 0 - je permeabilitet vakuuma i sistemu SI iznosi mH104 7 r - relativna permeabilnost

dobiti magnetni fluks

Poto nam je poznata jaina magnetne indukcije i popreni presek solenoida moemo

Wb075.0

01.01.0100004.01500104.0

Sl

HSBS

6

r0r0IN

=

====

e kroz kalem sa 300 navoja, srednje duine magnetnog jezgra 0.8m, poprenog preseka 0.0016m2 i vazdunog proreza v=0.002m, da bi jaina magnetne indukcije

nom prorezu jednak je nuli.

3.27 Nai jainu struje koja treba da proti

lB iznosila 0.8T. Koeficijent magnetnog rasipanja u vazdu

REENJE: Magnetni fluks u vazdunom prorezu i magnetnom jezgru iznosi:

59


Wb00128.00016.08.0BS ===

Prema krivoj magneenja materijala nalazimo jainu magnetnog polja u eliku za jainu magnetne indukcije

ANlHmH

CC

C

2408.0300

300

===

Jaina magnetnog polja u vazdunom prorezu iznosi

ATB 8.0=

ANlHmAH

vv

v

1340002.01067

10674

4

===

mAH v 107.64.0104.0 60====

Magnetopobudna sila M iznosi:

B 1088.0 55

NIAlHlHM vvCC ==+=+= 15801340240 Jainu struje koja protie kroz namotaj kalema izraunavamo po formuli

ANMI 26.5

3001580 ===

3.28 Po inama ije je meusobno rastojanje , kree se provodnik brzinoml . ine lee normalno na magnetno polje indukcije B , a zatvorene su otpornikom

. Nai strujuR I kroz kolo kao i mehaniku silu, po intenzitetu i pravcu, da bi

se savladala sila r akcije. Zadati pode aci: ==== 21201 R,T,B,sm,ml 10,

60


Pr

REENJE:

ilikom kretanja provodnika kroz polje magnetne indukcije B indukuje se elektromotorna sila e : ( )

N,FBlIF

AR

BlReI

BleBxle =

288211240

240

===

====

r

rrr

Da bi se provodnik kretao konstantnom brzinom mora da deluje mehanika sila

koja ima pravac i smer brzine

NFFm 288== r .

3.29 Pravougaoni ram stranica i cma 10= cmb 5= ima 10=n namotaja tanke ice. Ram se postavi u magnetno polje indukcije T,B 10= tako da magnetne linije sila budu para lnle e sa ravni rama. Koliki oment, a koliki obrtni moment magnetnih linija struja jaine

e da bude magnetni msila kada se kroz provodnik propusti

AI 1= ? REENJE:

mNBpMnabInISp

m

m

=====

3

2

105

105

61


4. KOLA SA NAIZMENINOM STRUJOM. RLC

ELEMENTI U KOLIMA. SNAGA, FAKTOR SNAGE. TROFAZNI SISTEM. OBRTNO MAGNETNO POLJE. MERNI MOSTOVI

Za periodine funkcije vai relacija : ( ) ( )f t f t kT= + , k= -n, -(n-1), ... , -2, -1, 1, 2, ... , gde je Tperioda odnosno vreme trajanja jednog ciklusa. U elektrotehnici su sledee veliine opisane periodinim funkcijama: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }tptitutetf , , , Prostoperiodine funkcije vremena imaju oblik trigonometrijskih funkcija sinusa i kosinusa. Prostoperiodina elektromotorna sila se analitiki izraava u obliku : ( ) ( ) (e t e E t E fm m= = )+ = +cos cos 2 , gde je: Em amplituda, kruna uestanost, fuestanost, poetna faza, a t+faza periodine funkcije. Efektivna vrednost periodine struje izraunava se prema relaciji:

( )= Teff dttiTI 021

a srednja vrednost u intervalu trajanja jedne periode T:

( )= Tsr dttiTI 01

U sluaju prostoperiodine vremenske promene struje vai :

2m

effII = i I I Isr m m= =2 0 637 ,

Padovi napona na pasivnim komponentama kola sa naizmeninom strujom su:

u RR = i , u L didtL = i ( )u C i t dtCT

= 10

Kada se kolo sa rednom vezom otpornosti R, induktivnosti L i kapaciteta C prikljue na napon u=Um cos t u kolu e tei struja :

( ) ( )i i t I tm= = cos , gde je I UZm m= amplituda struje .

62

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom Impedansa kola je:

Z R LC

= +

221

a XL= L reaktansa kalema i XC=1/ C reaktansa kondenzatora, a fazna razlika:

=

arctg

LC

R

1

Prostoperiodine veliine se mogu predstaviti obrtnim vektorima ( fazorima), koji su odreeni intenzitetom i uglom u odnosu na referentnu osu kao to je naizmenina veliina odreena amplitudom i poetnom fazom. Shodno tome sabiranje struja i napona u kolu vri se kao i kod vektora. Ako se prostoperiodine veliine mogu predstaviti obrtnim vektorima, a vektori kompleksnim brojevima u kompleksnoj ravni onda se prostoperiodine veliine mogu predstaviti kompleksnim brojevima uvoenjem kompleksnih predstavnika. Kompleksni broj A se moe predstaviti na jedan od naina:

( )A a ja A e A jm j m= + = = +1 2 cos sin pri emu je :

22

21 aaAm += = arctg aa

2

1

Napon i struja u kompleksnom obliku su : U U em

j u= I I e I jIm j a ri= = + a impedansa Z i admitansa Y su :

( )Z R jX Z j Z eY

Z R jXR

R Xj X

R XG jB

j= + = + = = = + = + + = +

cos sin 1 1

2 2 2 2

gde je Gkonduktansa, a Bsusceptansa. Pri reavanju kola naizmenine struje korienjem kompleksnog rauna koriste se sve mogue metode koje se koriste za reavanje kola jednosmerne struje. Pri tome je omogueno i crtanje fazorskih dijagrama napona i struja. Prelaz sa kompleksne na trenutnu vrednost naizmenine struje vri se na osnovu relacije : ( ) { } ( )i t Ie I tj t m i= =Re cos + .

Snaga naizmenine struje u kompleksnom obliku je : S P jQ= + , aktivna snaga: P U I UIm m= =12 cos cos (W) reaktivna snaga: Q U I UIm m= =12 sin sin (VAr)

63


prividna snaga : S U I Um m= =12 I (VA) Uslov prilagoenja prijemnika na generator u kolu naizmenine struje je: Z Zp g= ( gpgp XX,RR == ) Uslov za rezonansu u kolu sa rednom vezom otpornika R,induktivnosti L i kapaciteta C je :

X XL C= , L C=1 tj. 0 1= LC , pri emu je I

URm

= . U kolu koje sadri paralelnu vezu kalema (R, L) i kondenzatora (C) antirezonansa nastupa kada je :

0 1= LC Popravka faktora snage cos u kolu potroaa impedanse Z R j L= + vri se paralelnim vezivanjem kondenzatora C. U trofaznom sistemu trenutne vrednosti napona su:

u U m1 = cos t , u U tm2 23=

cos i u U tm3

23

= +cos .

Kompleksni predstavnici trofaznih napona su:

U Um1 = , U U emj

2

23= i U U em

j

3

23= .

U simetrinom trofaznom sistemu odnos linijskih napona Ul i struja I1 faznih napona Uf i struja If pri sprezi u trougao je Ul=Uf , Il= 3 If , a u zvezdu je Ul= 3 Uf , Il=If . Aktivna snaga simetrinog trofaznog sistema je : P U Il l= 3 cos a reaktivna snaga : Q U Il l= 3 sin Kod obrtnog polja trofaznog sistema intenzitet vektora magnetne indukcije je :

B Bm= 32 a pravac vektora je u funkciji vremena odreen sa = t Wheatston-ov most: se koristi za merenje otpornosti (otpornici, otporni pretvarai neelektrinih veliina u elektrine i sl.). Pomou njega se mogu vriti veoma precizna merenja iako je njegova konstrukcija veoma jednostavna (sl.1)

64


G

E , r

R , I1 1 R , I3 3

R , I2 2 R , I4 4

A

B

D

C

U

G

E , r

A

B

D

C

U

R x

R I1, 1 R I3 , 3

R I2 , 2

a) b)

sl.1 Uslov koji moraju zadovoljiti vrednosti otpornosti R1-R4 (odn. odnos njihovih vrednosti R1-R4 ) da bi most bio u ravnotei:

3241 RRRR = ... (1)

1

32321 R

RRRRRRR xx == ... (2) - merenje se vri kada je most u ravnotei i kad kroz indikator ne protie

struja tako da on ne utie na ishod merenja - u jednaini (2) ne figurie napon za napajanje (U) kao i otpornosti

prikljunih vodova tako da male promene njihovih vrednosti ne utiu na ishod merenja

- Vitstonov most je u ravnotei kada su proizvodi otpornosti u suprotnim granama kola meusobno jednaki

Mostovi za naizmeninu struju se koriste za merenje induktivnosti., kapacitivnosti, impedanse i uestanosti.

Z I1 1, Z I3 3,

Z I2 2, Z 4 4, I

A

B

D

C

E sl.2

Uslov ravnotee impedansi je: 3241 ZZZZ = ...(3)

65

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom a kako je tii eZZZ == to se uslov ravnotee moe napisati u obliku sistema jednaina:

3241

3241 ZZZZ +=+

= (4)

S obzirom na vrstu impedanse razlikuju se Maxvell-ov, Desotijev, Vinov i sl. mostovi. 4.1 Potroa impedanse )(12j5.12Z += prikljuen je preko bakarnog dvoinog voda prenika d=4mm , a na rastojanju L=180m od izvora U=220V, f=50Hz. Odrediti za koliko e se promeniti snaga toplotnih gubitaka u napojnom vodu posle prikljuivanja kondenzatora kapaciteta C=150F paralelno potroau zatvaranjem prekidaa P. Induktivnost voda R

m= 81075,1

v zanemariti. REENJE:

Otpornost voda za napajanje je:

=

===

5.0

10414.3418021075.1

4

262

8

2d

LRV

2L jer se vod sastoji od dva provodnika

Z C

P

U ,fKada kondenzator nije prikljuen ukupna impedansa je:

)12j13(jXRRZ LV +=++= , a moduo impedanse iznosi: 7.171213Z 22 =+=

Faktor snage je: 735.0ZRR

cos V1 =+= Vrednost struje u vodu za napajanje je: A43.12

7.17220

ZUI1 ===

Snaga gubitaka u vodu za napajanje je: W..IRP V 247743125022

1 ===Impedansa kondenzatora je: == 2.21 1 j

CjZC

Ukupna impedansa potroaa posle prikljuenja kondenzatora je:

4j3.23ZZZZ

RZC

CVe =+

+=

66


98506523323

65234323

2

22

...cos

..Z

===+=

Struja u vodu za napajanje posle zatvaranja prekidaa je:

)A(3.9I

)A(57.1j16.94j3.23

220ZUI

2

e2

=+===

Snaga gubitaka na vodu posle zatvaranja prekidaa je:

W34PPW2.434.865.0IRP

21

22V2

====

4.2 U kolu prikazanom na slici poznato je: t314cos120u = , 10R = i

. Odrediti kapacitet kondenzatora C tako da pokazivanje ampermetra A bude jednako pri otvorenom i pri zatvorenom prekidau P. Pri kojoj e uestanosti kod otvorenog prekidaa pokazivanje ampermetra biti najvee?

mHL 7.63=

REENJE: Efektivna vrednost struje kroz kolo pre ukljuivanja prekidaa iznosi:

R g

C

U ,f

A

L

P

( )IUZ

U

R X XL C1

1 22

= =+

a posle zatvaranja prekidaa :

I UZ

UR X L

22

2 2= = +

iz uslova jednakosti struja pre i posle zatvaranja prekidaa sledi :

( )CCL

LCL

XXX

XRU

XXR

UII

=+=+

=

2222

21

pa je XC=2XL Kako je LX L =

== 2010376314 3,X L to je = 40CX Kapacitet kondenzatora je 6,79

4031411 === CX

C F

67

Zbirka reenih zadataka iz elektrotehnike sa elektronikom Ako se uestanost f izvora menja pokazivanje ampermetra e biti najvee pri naponskoj rezonansi kada je XL=XC jer je tada Z najmanje. Na osnovu toga je

HzLC

f

LC

LC

LC

7,702

12

1

1

1

2

===

=

=

=

4.3 Odrediti pokazivanje mernih instrumenata ukljuenih u kolo prikazano na slici. Dato je )( 1000cos2100)( Vttu = 60R1 = , 100R2 = , i H1.0L =

FC 20= . Pretpostaviti da su instrumenti idealni.

REENJE: Pri odreivanju pokazivanja instrumenata koristiemo ekvivalentno kolo prikazano na slici pod b). Reaktanse su XL=1000 0,1 =100 i XC= 1 50C = , a impedans pon :

e i na

( )Z R j L j1 1 60 100= + = + , Z R2 2 100= = , Z

Cj503

1= = , U U e j= = 100 2

C

W

A

R1L

R2V

U,f

U,f

I2 I3

I1

Z1

Z3Z2

a

b

V

kupna impedansa kola je U( )

5010050100106032 jZZZZ +=+= 0

221 j

jZZ

++ a struja kroz kolo je :

)85,013,1(UI ==32

321

j

ZZZZZ

++

68


Dalje je : U Z ZZ Z

I jab = + = 2 3

2 3

11 3 62 2( , , ) V

.Napon na voltmetru je U U U jab 130 62 2= = , (V) .

I3 se nalaze na osnovu : 1

Struje I2 i

I U jab2 0 113 0= = ( , ( )I I I j3 2 1 24 0 23= = , ,Z2 62, ) A, A . nosti, a njihova pokazivanja su: Instrumenti pokazuju efektivne vred

Ia = + =12 113 0 85 0 45 A 2 2, , , , Uv = + = 1012 130 62 2 1 9

2 2, , V.

z kompleksne Vatmetar meri aktivnu snagu na delu a-b kola.Ova snaga se dobija isnage kao :

[ ] ( ) ( ) 2085,013,12,623,1122 abw

gde je

1Re1ReRe =+=== jjIUSP W

( )I = 1, ,j+13 0 85 konjugovano kompleksna vrednost struje .Na osnovu izraunatih kompleksnih vrednosti mogu se nacrtati potpuni fazorski dijagrami napona i struja.

or naizmenine 4.4 Mot struje iji je nominalni napon U=36V, f=50Hz pri faktoru snage 7.0cos = ima potronju Pm=10W. Da bi se prikljuio na vei,

reni napon Um =220V, f=50Hz redno motoru se vezuje kondenzator kapaciteta C ili otpornik R. Izraunati potrebne vrednosti kapaciteta C, otpornosti R kao i faktora snage i aktivne snage u oba sluaja.

R R

R

L L

U,f1 U,f1

I1 I1

C

REENJE: Motor se moe smatrati kao potroa impedanse Z R jXm L= + . Parametri impedanse se odreuju na osnovu nominalnih podataka za motor :

10cos11 == IUPm W , I PUm

11

0 397= =cos

, A pedansa Z je prema tome : Im

69


Z R X UIm L

= + = = 90,2 2 11

72

a faktor snage co = Rm sZ

odakle je R Zm = = =cos , , , 90 72 0 7 63 5 tada X Z RL m= =2 2 64 8, Reaktansa XL je , XL 65

ivanju na mreni napon sa kondenzatorom C redno vezanim motoru kolo treba da ima vrednost I1=0,397 A .Ukupna impedansa kola u tom

Pri prikljustruja krozsluaju je

Z UI1 1

2200 379

554= = =,

( )Z Rm L1 2= + X X C 2 odakle je X Z R XC m L= + =2 2 2 615 3, a kapacitet kondenzatora C je

CX C

= = F= = 1 1

2 3 14 615 3 505 17 10 6

, ,, 5,17 F

rnikom R kao i kod veza sa kondenzatorom C struja kroz motor treba da ima vrednost (da bi aktivna snaga

motora imala istu vrednost k aju kada je prikljuen na

Kod redne veze motora sa otpoI1=0,397 Aao i u sluP R Im m= 12

36V).Ukupna impedansa motora i redno vezanog otpora je

554== UZ Kako je u ovom sluaju impedansa ( )Z R R Xm L= + +2 2 , sle

1I

di :

R Z X RL m= =2 2 487 . age je : Pri vezivanju kondenzatora faktor sn

6685,631

,R

tan CL === , 615864,XX cos , 1 0 115= m

a ukupna aktivna snaga P U I1 1 1 220 0 379 0 115 10= = =cos , , W Pri vezivanju otpornika R faktor snage je :

tan,

, 2 487= + = +R Rm65

63 50 118=X L , 993,0cos 2 =

a ukupna aktivna snaga P U I2 1 2 220 0 397 0 993 86 7= = =cos , , , W Na osnovu prethodnih rezultata moe se zakljuiti da se pri obezbeenju normalnih uslova rada motora pri korienju otpornika potronja poveava 8,67 puta u

denzatora. odnosu na korienje kon

70


uktivnog karaktera.

Pogoranje vrednosti faktora snage pri vezivanju kondenzatora,s obzorom na malu vrednost struje lako se kompenzira drugim potroaem koji se skoro uvek vezuje na mreu 220 V ,a koji su uglavnom ind 4.5 Sijalica sa uarenom niti snage P=60W predviena je za prikljuivanje na napon HzfVU 50,110 == . Izraunati kapacitet kondenzatora C koji treba

dno vezati sa sijalicom pri prikljuivanju na mreu U =220V, f=50Hz.

ri napajanju naponom U=110V struja ima

re 1 REENJE: Pvrednost

AUPI

16== 1

Otpornost sijalice je : 7.201IPR 2 ==

Kada se sijalica rednoimpedansa potroaa je

vezana sa kondenzatorom, prikljui na napon U1, :

XRZ += 222 CTreba da vai da je 1II = . Kako je:

RUI =

2C

21U= 1

XI

+R

2C

21

XR

URU

+=

Odatle je:

3503RRRUC U

X 22

1 ===

F1.9X1C

C ==

4.6 Otpornik R=150, kalem induktivnosti L=1.2H i kondenzator C=16F vezani su redno i prikljueni na napon U=60V, 50Hz. Izraunati struju kroz kolo

napone na otporniku, kalemu i kondenzatoru. Odrediti kapacitivnost C1 i nain i njegovog vezivanja sa kondenzatorom C da bi u kolu nastala naponska rezonansa. REENJE: I=0.258 A, UR=39 V, UL=97.2 V, UC=51.342 V , 7,49= o , C1 =18 F. Vezuje se redno sa kondenzatorom C.

C

I 1U , f1

71


ija je ema data na slici prikljueno je na napon 4.7 Kolo

t1000cos2100)t(u = , a parametri kola su R1=60, R , L=0.1H i C=20F. Odrediti struje i napon

2=100e u kolu. Koliko je pokazivanje mernih

instrumenata vezanih u kolo prema slici.

R 1

R 2

L

C

R 1 L

R 2C

Documents

44708260 Zbirka Resenih Zadataka Iz Elektrotehnike