4.5 Metodo del simplesso - Intranet DEIBhome.deib.polimi.it/amaldi/LucidiFRODE-06-07/PL... · E. Amaldi -- Fondamenti di R. O. -- Politecnico di Milano 1 4.5 Metodo del simplesso

E. Amaldi -- Fondamenti di R. O. -- Politecnico di Milano 1

4.5 Metodo del simplesso

min z = cTxs.v.

Ax = bx ≥ 0

PL in forma standard

Esamina una sequenza di soluzioni di base ammissibilicon valori non crescenti della funzione obiettivo fino araggiungerne una ottima o a determinare che il PL èillimitato (Dantzig 1947).

Si passa da una soluzione di base ammissibile ad una “vicina”


cammino lungo gli spigolidel poliedro delle soluzioni ammissibili fino a un vertice ottimo

vertici adiacentiGeometricamente:

NB: Nel caso peggiore il metodo può esaminare tutte le soluzioni di base ammissibili ma mediamente risulta molto efficiente.


Bisogna sapere come:

• determinare una soluzione di base ammissibile iniziale (o stabilire che il PL è inammissibile)

applicando il metodo ad un altro PL

• verificare l’ottimalità della soluzione di base ammissibile corrente

• passare dalla soluzione di base ammissibile correntead una soluzione di base ammissibile vicina migliore(o stabilire che il PL è illimitato).


Costi ridotti

Dati un PL min{ cTx : Ax = b, x ≥0 }

e una base ammissibile B, Ax = b si può riscrivere come

B xB + N xN = b ⇒ xB = B-1b - B-1N xN

con B-1b ≥0.Soluzione di base ammissibile: xB = B-1b, xN = 0


Sostituendo nella funzione obiettivo:

espressa in funzione solo delle variabili fuori base

z0 = costo soluzione di base ammissibilexB = B-1b, xN = 0

costi ridotticT

N ≔

B-1b – B-1NxNxN

xBxN

cTx = (cTB cT

N) = (cTB cT

N)

cTx = cTB B-1b – cT

B B-1NxN + cTN xN

= cTB B-1b + ( cT

N – cTB B-1N ) xN


cj = variazione della funzione obiettivo se xj fuori base aumentasse di 1 unità e le altre variabili fuori base rimanessero uguali a 0

vettore dei costi ridotti rispetto alla base B

= 0T cTN

= IcT ≔ cT – cT

B B-1A = [cTB – cT

B B-1B, cTN – cT

B B-1N]

Def.:


Test di ottimalità

Dato un PL di min (max) e una base ammissibile B, setutti i costi ridotti (delle variabili fuori base) sono nonnegativi (non positivi) la soluzione di base ammissibile xB = B-1b ≥ 0, xN = 0 di costo cT

B B-1b è ottima.

Infatti cT ≥ 0T implica

cTx = cTB B-1b + cT

N xN≥ cTB B-1b ∀ x ≥ 0, A x = b

NB: Questa condizione di ottimalità è sufficiente ma in generale non è necessaria.


Cambiamento di base (min)Sia una base ammissibile B e xj fuori base (xN) con costo ridotto cj < 0.

Aumentare xj il più possibile (“entra in base”) mantenendo le altre variabili fuori base uguali a 0.

La variabile xi in base (xB) tale che xi ≥ 0 impone il limite alla crescita di xj più stringente si annulla (“esce dalla base”).

La nuova base ha una colonna diversa (vertici adiacenti)


Forma canonicaAd ogni iterazione bisogna porre il sistema

mibxan

jijij ,...,1

1==∑

=

BxB + NxN = bin forma canonica

xi xj miban

mjiij ,...,1

1==+ ∑

+=

che mette in evidenza le variabili in base in funzione di quelle fuori base.

I xB + N xN = b

xB = b - N xN


La forma canonica associata ad una base B si ottiene

• calcolano aij e bi in funzione di B-1

B-1B xB + B-1N xN = B-1b

• eseguendo una sequenza di operazione di “pivoting”

I bN

⇒ I xB + N xN = b mette in evidenza la soluzione di base xB = b e xN = 0 !


Operazione di “pivoting”

1. Scegliere un coefficiente ars≠ 0 (il “pivot”)2. Dividere per ars la r-esima riga3. Per ogni riga i ≠ r, sottrarre la r-esima riga

moltiplicata per ais

NB: Stesse operazioni (che lasciano invariato l’insieme delle soluzioni) usate nel “metodo di eliminazione di Gauss” per risolvere i sistemi di equazioni lineari.


5-43/2

0130212-30-20- ½½1½

523

0130210-1400-1121

Esempio: min z = x1 + x2 + x3

x1 +2x2 + x3 – x4 = 34x2 – x3 + x5 = 2

2x1 +3x3 + x4 = 5xi≥ 0 i = 1,…,5

pivot

r →

↑s

A b

→

→

5/2 1¼

0½3/201130000-¾-¼10

colonne variabili in base


Operazioni di “pivoting” permettono di:

• mettere un PL in forma canonica rispetto ad una base B• passare da una forma canonica ad un’altra, ovvero

cambiare base.

Vantaggio: B-1 della nuova base B non viene calcolatada zero ma in modo “incrementale” applicando all’inversa della base precedente (con un’unica colonna diversa) un’unica operazione di “pivoting”!


1) Variabile da fare entrare nella base

– con costo ridotto cj < 0 (NB: decremento ∆zdipende anche dal limite alla crescita di xj !)

– che produce ∆z massimo rispetto a z = cBTB-1b

– regola di Bland: s = min{ j : cj < 0}

scelta colonna s pivot

Scegliere la base ammissibile “vicina” (vertice adiacente) in modo tale da:

• migliorare il valore della funzione obiettivo

• mantenere l’ammissibilità

Per problemi di max: cj > 0


⇒ la funzione obiettivo è illimitata!

NB: Se ∃ cj< 0 con aij ≤ 0 ∀i, nessun elemento della colonna può fare da pivot

limite alla crescita di xs più stringente

altrimenti nessun limite!

scelta riga r pivot

2) Variabile da fare uscire dalla base

– indice i con minimo = θ* tra quelle con ais>0

– regola di Bland: r = min{ i : = θ*, ais>0 }– a caso…

is

i

ab

is

i

ab


Rappresentazione sotto forma di tabella(“tableau”)

z = cTxsistema

Ax = b

Tableau iniziale:- termine noto funz. obiettivo

↑termini noti

m righe

← funz. obiettivo

Ab

cT0x1 … xn

con vincoli di non negatività impliciti


N

cTN

Bb

cTB0

x1 … xm xm+1 … xn

0⋮0

-1z

Considerando una base B e partizionando A = [B N]

0 = cTx – z

con operazioni di “pivoting” (o pre-moltiplicando per B-1) si porta il tableau in forma canonica rispetto a B:

N

cTN

Ib

0 … 0-z0

x1 … xm xm+1 … xn

variabili in base

-zxB[1]⋮

xB[m] b = B-1b

z = cTB B-1b + cT

N xN

z0


Esempio:

Tableau rispetto alla base con colonne 3, 4:

min z = - x1 - x2

6x1 +4x2 +x3 = 243x1 – 2x2 + x4 = 6

xi≥ 0 i =1,…, 4

x4

x3

-z

10-23601462400-1-10x4x3x2x1

pivot

I2x2Pivot su 3 equivale a ricavare x1 dalla riga pivot e sostituirla nelle rimanenti righe

x1 entra nella base e x4 esce dalla base

r →

s↓

base


Tableau rispetto alla nuova base:

x1

x3

-z

1/30-2/312-2180121/30-5/302x4x3x2x1

base

soluzione di base ammissibile:

x1 = 2, x3 = 12, x2 = x4 = 0

con z = -2

1306·⇒·

x1x1

← costi ridotti


x2 unica variabile fuori base da “fare entrare” (c2 = -5/3 < 0)

x3 unica variabile in base che può “uscire” (ars = 8 > 0)

x1

x3

-z

1/30-2/312-2180121/30-5/302x4x3x2x1

r →

s↓

⇒x1

x2

-z

1/61/12013-1/41/8103/2-1/125/24009/2

x4x3x2x1

↑s

← r

x4

x2

-z

1½06180¼13/2 60¼0½6x4x3x2x1

Tutti i costi rodotti ≥ 0⇒ sol. di base (ammissibile) ottima:

x*1 = 0, x*

2 = 6, x*3 = 0, x*

4 = 18con z* = -6

⇒


Algoritmo del simplesso (PL di min)

],[]0,[

siaia

Procedura pivot(r,s)?

BEGIN

Siano B[1],…,B[m] gli indici delle colonne di una base ammissibile iniziale B;

Costruire il tableau iniziale A = {a[i,j]: 0≤i≤m, 0≤j≤n} in forma canonica rispetto a B;

illimitato:=false; ottimo:=false;

WHILE (ottimo = false) AND (illimitato = false) THEN

IF a[0,j] ≥ 0 ∀ j=1,…,m THEN ottimo := true; /* per PL di min */

ELSE

Scegliere una xs fuori base con a[0,s] < 0;

IF a[i,s] ≤ 0 ∀ i=1,…,m THEN illimitato := true;

ELSE

Determina indice r che minimizza

con 1 ≤ i ≤ m e a[i,s] > 0;

pivot(r,s) /* aggiornamento tableau */

B[r] := s;

END-IF

END-IF

END

costi ridotti


Degenerazione e convergenza

Def. Una soluzione di base ammissibile x è degenere secontiene almeno una variabile di base = 0.

x con più di n-m zeri corrisponde a più basi distinte!

Stesso vertice:

più di n vincoli ( gli m di Ax = b e più di n-mtra gli n di x ≥ 0 ) sono soddisfatti con segno di uguaglianza.

x


⇒ Si può percorrere ciclicamente (all’∞) una sequenza di basi “degeneri” associate allo stesso vertice.

In presenza di soluzioni di base (ammissibili) degeneriil cambiamento di base può non diminuire il valore della funzione obiettivo:

Se la sol. di base corrente è degenere, θ* può essere = 0 e quindi la nuova sol. di base identica a quella precedente.

Anche se θ* > 0, più variabili in base possono annullarsi quando xs viene aumentata a θ*. La nuova sol. di base èquindi degenere.


Esistono varie regole “anticiclo” per la scelta delle variabili che entrano ed escono dalla base (indici r, s)

# finito di pivot

nm

Proposizione: L’algoritmo del simplesso con la regola di Bland termina dopo ≤ iterazioni.

Regola di Bland: tra le variabili candidate ad entrare/uscire dalla base (xs e xr) scegliere sempre quella con indice minore.


Campagne sperimentali:

Il numero di iterazioni cresce linearmente rispetto a m(m ≤ . ≤ 3m) e molto lentamente (≈ logaritmicamente) rispetto a n !

In casi “patologici” (Klee & Minty 72) il numero di iterazioni può essere esponenziale in n e/o m,ma l’algoritmo è mediamente molto efficiente.


Metodo del simplesso a due fasi

Fase 1: Determinazione di una soluzione di base ammissibile iniziale

min z = x1 +x3

x1 +2x2 ≤ 5x2 +2x3 = 6

x1, x2, x3 ≥ 0

Esempio:→ x1 + 2x2 + x4 = 5

x4 ≥ 0∄ una sottomatrice I2x2 di A!

min z = cTxAx = b

x ≥ 0Ipotesi: b ≥ 0Sia (P)


Problema ausiliario con variabili artificiali yi, 1≤ i ≤ m

∑1

minm

iiyv

=

=

A x + I y = b

x ≥ 0, y ≥ 0

∃ una soluzione di base ammissibile iniziale ovviay = b ≥ 0

(PA)

1) Se v* > 0, (P) è inammissibile

2) Se v* = 0, chiaramente y* = 0 e x* è una soluzione di base ammissibile di (P)


Per 2) si verificano i sottocasi:

• Se yi fuori base∀i, 1 ≤ i ≤ m, eliminando quelle colonne si ottiene un tableau in forma canonica rispetto a una base; la riga di z va determinata mediante sostituzione.

cf. esempio

• Se ∃ yi in base (soluzione degenere), si può effettuare un pivot su un coefficiente ≠ 0 della riga yie “scambiare” yi con una variabile xj fuori base.


y2

y1

-v

22-4

10-61-201410002-22y2y1x3x2x1

Esempio: min z = x1+ x2+10 x3

x2 + 4x3 = 2

-2x1 + x2 - 6x3 = 2

x1, x2, x3 ≥ 0

Mettere v = y1+y2 in formacanonica sostituendo le espressioni di y1, y2 in funzione di x1, x2 e x3

(PA)

min v = y1+ y2

x2+ 4x3+ y1 = 2

-2x1+ x2 - 6x3+ y2 = 2

x1, x2, x3 , y1, y2 ≥ 0

(P)


y2

y1

-v

22-4

10-61-201410002-22y2y1x3x2x1

y2

x2

-v

020

1-1-100-201410021002y2y1x3x2x1

ottimo v* = 0


scegliendo come pivot il coefficiente –2 della riga di y2 si ottiene:

base ottima equivalente

⇒ soluzioni di base ottima per (PA) x1= 0, x2= 2, x3= 0

è di base ammissibile per (P)

x1

x2

-v

020

-½½5010141011000y2y1x3x2x1

trasferito la colonna di I nella zona delle variabili originali

01


z = x1+x2+10 x3 ≠ forma canonica

variabile fuori baseSostituendo:

x2 = 2 - 4x3

x1 = -5x3

⇒ z = 2 + x3

tableau corrispondente alla soluzione di base ammissibili iniziale per (P)

La soluzione di base ammissibile è gia ottima quindi niente seconda fase !

x1

x2

-z

02-2

501410100x3x2x1

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