VIGAS CONTINUASEl cálculo de un pórtico de vigas continuas constituye un problema común en el calculista de

estructuras de edificios, a los fines de obtener el armado final de las mismas. La secuencia decálculo a continuación parece difícil, pero no lo es, sólo hay que cuidar el orden y los signos.Cuando cargas y luces son similares o la menor no difiere del 80% de la mayor podemos emplearel Método de los Coeficientes, bastante expeditivo, que nos proporciona los MomentosDefinitivos de apoyo, es decir los momentos negativos, y los Momentos Máximos de Tramo, esdecir los positivos.Una vez determinados los momentos se puede obtener la armadura de las vigas. Si las cargas y luces difieren bastante podemos emplear el Método de Cross, que nosproporciona sólo los Momentos definitivos de apoyo. Es más laborioso pero de buena exactitud.Y después pasamos a calcular todos los demás valores.Ambos métodos son aplicables al cálculo de losas, tomando las mismas como vigas de 1m deancho.

METODO DE LOS COEFICIENTES

La figura muestra los valores de los denominadores de cada tramo y apoyo. Para el cálculo sepromedian las cargas y las luces concurrentes a cada apoyo.

MOMENTOS Y REACCIONES ISOSTÁTICAS

Para la aplicación del método de Cross y para otros métodos es necesario conocer losmomentos de empotramiento perfecto y reacciones isostáticas en las vigas, según el tipo decarga y formas de apoyo.Las más usuales en la práctica del cálculo estructural de edificios está en la siguiente tabla:

donde las primeras 3 columnas corresponden a cargas uniformemente repartidas:en voladizo, doble empotrada y empotrada y apoyada. Las 2 últimas a cargas puntuales enbarra doble empotrada y empotrada y apoyada.

METODO DE CROSS

La figura muestra un ejemplo con los casos de cargas más usuales en la práctica con todoslos valores hasta la obtención de los Momentos Definitivos de Apoyos. Las filas de la figuramuestran:1) rigideces de las vigas.2) los coeficientes de distribución3) los momentos isostáticos de apoyo (ver figura anterior)4) los procesos de aproximaciones sucesivas5) los Momentos Definitivos de Apoyo

Metodología del Cálculo

1) Se calculan las rigideces suponiendo las secciones constantes de las vigas. r = 1/L, salvo las vigas extremas r= 0.75/LTramo 1 r = 0Tramo 2 r = 1/6 = 0.17Tramo 3 r = 1/7 = 0.14Tramo 4 r= 0.75/ 5 = 0.15

2) Se calculan los coeficientes de distribución para cada viga según rigideces (%). Ejemplo:

Tramo 3 C3 = 0.14/ (0.14 + 0.15) = 0.49Tramo 4 C4= 0.15/ (0.14 + 0.15) = 0.51

3) Se determinan los momentos de empotramiento perfecto de las vigas (se colocan con signoalternado):

Tramo 1 : MB= q x L2/ 2 = 3 x 4 / 2 = 6.00 tm Tramo 2: MA=MB= q x L2/12 = 3 x (6)2 / 12 = 9.00 tm Tramo 3 carga repartida : MAq=MBq = q x L2 / 12 = 1.5 x (7)2 / 12 = 6.15 tm carga concentrada : MAp = P x b / L = 4 x 5/ 7 = 4.08 tm MBp = P x a /L = 4 x 2/ 7 = 1.63 tm MAq + MAp = 10.23 tm MBq+ MBp = 7.78 tm

Tramo 4: MA = q x L2 / 8 = 3 x (5)2/ 8 = 9.35 tm

4) Se equilibran los nudos con momentos de igual valor y signo contrario según los coeficientesde rigidez. Ejemplo:

Tramo 2/3: +9.0 -10.23 = -1.23 ----> 0.54 x (+1.23) = +0.66 ------> 0.46 x (+1.23) = +0.57Luego: -1.23 + 0.66 + 0.57 = 0 (equilibrado)Se repite para el resto de los apoyos.

5) Se transmiten los momentos al nudo opuesto con la mitad de su valor y el mismo signo. (fig.)

6) Se repiten los pasos 4) y 5) sucesivamente

7) Equilibrio final de los nudos cuando los valores son ya muy pequeños.

8) Obtención de los Momentos Definitivos de Apoyo: La suma de los valores de las columnas a izquierda y derecha de las verticales debes ser igualesen valor pero con signo contrario.

Obtención de Reacciones Definitivas

Obtenidos los momentos definitivos de apoyo pasamos a calcular los momentosmáximos de tramo, para obtener la armadura final de las vigas a la flexión. Las filas de lafigura muestran los siguientes valores:

Ro q = Reacciones isostáticas de las cargas q (uniformes)

Ro p = Reacciones isostáticas de las cargas P (puntuales)

dM/L = Término de corrección, si el momento izquierdo (MA) es mayor que el derecho(MB) la reacción definitiva RA Def se incrementa (se suma a la reacción isostática) y laotra se decrementa. Y viceversa.

R Def = Reacciones Definitivas, es la suma de los valores anteriores.

N Col = Cargas que llegan a las columnas (suma de las reacciones concurrentes al nudo ).Estas deben sumarse a las vigas en sentido perpendicular a las consideradas.

Momentos máximos de tramo

Viga 2 (6m) : La posición del momento máximo (corte nulo) desde el apoyo A es:Xa= RA/ q ---> 8.31tn/ (3tn/m) = 2.77m

Mmáx= 8.31tn x 2.77m - 3tn/m x 2.77m x 2.77m x 0.5 - 6tnmMmáx= 5.5 tnm

Viga 3 (7m) : Si la carga puntual está a la izquierda del centro de la luz de la viga,calculamos la posición de X desde el apoyo derecho (Xb) y viceversa.

Xb= RB/ q ---> 6.17/ 1.5 = 4.11m Mmáx= 6.17tn x 4.11m - 1.5tn/m x 4.11m x 4.11m x 0.5 - 8.46tnm

Mmáx= 4.2 tnm

Viga 4 (5m) : Xa= RA/ q ----> 9.19tn/ 3(tn/m) = 3.06m

Mmáx= 9.19tn x 3.06m - 3tn/m x 3.06m x 3.06m x 0.5 - 8.46tnmMmáx= 5.6 tnm

En la unión viga 4-columna (apoyo derecho) en general el momento negativo vale:M=q (L)2/ 20

M = (3tn/m x 5m x 5m )/ 20 = -3.75 tn-m

La figura muestra los diagramas de Corte y Momentos Flectores calculados

METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS

El ingeniero francés Clapeyron en 1857; enuncio por primera vez la ecuación fundamental delos tres momentos.“La ecuación de los tres momentos es aplicable a tres puntos cualquiera de un viga, siempreque no haya discontinuidades, tales como articulaciones, en esa parte de la estructura”.Entonces, este método sirve para hallar los momentos en los apoyos de una viga hiperestática, oen puntos característicos o notables de la viga.Al aplicar la ecuación fundamental de los tres momentos, a tres puntos de apoyo consecutivos i,j, k, los términos del corrimiento del segundo miembro de la ecuación serán nulos o iguales amovimientos conocidos de los puntos de apoyo; obteniendo de esta manera una ecuación quecontiene, como únicas incógnitas, a los momentos en los apoyos.Esto significa, que podemos escribir una ecuación en forma independiente, para tres puntos deapoyo consecutivos en una viga continua. De esta manera, se llega a un sistema compatible “n”

ecuaciones independientes con “n” incógnitas que son los movimientos en los apoyos, loscuales se hallan resolviendo el sistema. Cuando en una estructura continua, tenemos un apoyoextremo empotrado, la forma de salvarlo lo veremos en los ejercicios de aplicación.

ECUACIÓN DE LOS TRES MOMENTOS - VIGAS CONTINUAS

Cuando se trabajan con vigas con más de un tramo, las reacciones no pueden ser calculadasestáticamente. Una forma de resolverlas es aplicando el Teorema de los Tres Momentos, elcual puede ser utilizado también para resolver vigas de un solo tramo. Esta ecuación puedeser expresada de la siguiente manera:

Los términos:

pueden obtenerse fácilmente de la siguiente tabla, que agrupa los 6 tipos de cargas básicos.

Estos tipos básicos de carga pueden combinarse para obtener tipos más complejos, sumándose orestándose.Si se va a trabajar con más de dos tramos, deben escribirse una ecuación de Tres Momentos porcada par de tramos consecutivos. Por ejemplo:

Tramos 1 – 2:

Tramos 2 – 3:

Tramos 3 – 4:

En este caso tendríamos 3 ecuaciones con 5 incógnitas (M1, M2, M3, M4 y M5).Generalizando, siempre vamos a tener dos incógnitas más que las ecuaciones de TresMomentos que vamos a construir. Pero los momentos en los extremos pueden ser hallados deacuerdo a los siguientes criterios:

1º Si tenemos un apoyo simple, el momento en dicho extremo será igual a cero. Para eldiagrama de arriba, M1 = 0 y M5 = 0.

2º Si tenemos un empotramiento, se puede construir una ecuación adicional de TresMomentos, creando un tramo virtual en el que todos los valores sean iguales a cero. Para eldiagrama de arriba, si suponemos que el apoyo 5 es un apoyo empotrado, podríamos escribir lasiguiente ecuación de Tres Momentos, en donde todos los términos con subíndice cero valencero:O sea:

3º Si tenemos un voladizo, el momento en tal extremo seguirá valiendo cero. Además, elmomento siguiente al de dicho extremo será igual a la suma de los productos de las cargaspor su brazo de palanca a este último apoyo.

Aplicando el Teorema de los Tres Momentos es fácil obtener los momentos flectores en cadaapoyo. Hallar las reacciones en cada apoyo es igualmente sencillo, utilizando la siguientefórmula, para cada tramo:

Posteriormente, las reacciones equivalentes de cada tramo se suman. Por ejemplo: