470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Ю.А. БРЮХАНОВ

ДИНАМИКА ЦИФРОВЫХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ

СИСТЕМ

Издание второе, переработанное и дополненное

Учебное пособие

Ярославль 2005

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 621.37 (075.5) ББК 3841-01я73 Б 89

Рецензенты: кафедра радиофизики Воронежского государственного университета; доктор

технических наук, профессор А.А. Ланнэ

Брюханов Ю.А. Динамика цифровых колебательных систем: учеб. пособие / Ю.А. Брюханов; Яросл. гос. ун-т. – 2-е изд., перераб. и доп. – Ярославль : ЯрГУ, 2005. – 153 с. ISBN 5-8397-0405-9

Излагается теория цифровых колебательных систем первого и второго

порядков. Приводится математический аппарат, основанный на теории одномерных точечных отображений. Рассматриваются линейные и нелинейные свободные колебания и колебания при постоянном и гармоническом входных воздействиях. Во 2-е издание включены новые разделы: «Свободные колебания в нелинейных рекурсивных системах второго порядка» и «Динамика рекурсивных систем первого порядка с учетом эффектов квантования». Результаты анализа иллюстрируются траекториями движений, бифуркацион-ными и вероятностными диаграммами.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 01380 Радиофизика и электроника (дисциплина «Динамика цифровых колебательных систем», блок ДС).

Может использоваться студентами, обучающимися по направлениям подготовки дипломированных специалистов 654200 Радиотехника, 654400 Телекоммуникации и 653700 Приборостроение.

Ил. 100. Библиогр.:21 назв.

УДК 621.37 (075.5) ББК 3841-01я73

Ярославский государственный университет, 2005 ISBN 5-8397-0405-9 Брюханов Ю.А., 2005


3

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

После выхода в свет первого издания прошло девять лет. Они отмечены новыми значительными результатами исследований в области динамики цифровых систем, особенно в нелинейной ее части. Эти достижения нашли свое отражение в данном издании, что обусловило существенное изменение общего плана и объема книги.

Широко используемая при изложении материала теория одномерных точечных отображений вынесена в самостоятельный первый раздел. Из содержания второго раздела (бывшего первого) исключено рассмотрение характеристики сумматора с насыщением, вместе с тем оно дополнено анализом колебаний в линейной и нелинейной рекурсивной системе первого полрядка при постоянном входном воздействии.

Материал второго и третьего разделов в данном издании объединен в один третий раздел и подвергнут методической переработке с учетом опыта преподавания соответствующей учебной дисциплины. При этом исключен п.2.8, посвященный свободным колебаниям на границах зон бифуркационного портрета.

С учетом новых достижений в области нелинейной динамики цифровых систем в книгу включены новые четвертый и пятый разделы: «Свободные колебания в нелинейных рекурсивных системах второго порядка» и «Динамика рекурсивных систем первого порядка с учетом эффектов квантования». В первом из них содержится материал о колебательных процессах в автономных системах с двумя видами нелинейности сумматора: с насыщением и пилообразной. В пятом разделе изложены вопросы теории свободных колебаний и колебаний при постоянном входном воздействии в системах, использующих целочислен-ную арифметику с фиксированной запятой, прямым или обратным кодом, с округлением результатов сложения. Рассмотрено квантование с произвольным количеством уровней. Список литературы значительно изменен и дополнен новыми источниками.

Автор признателен всем высказавшим суждения, замечания и предложения по содержанию первого издания книги. Учет их способствовал повышению научного и методического уровня данного пособия. г. Ярославль, 2005 Ю.А. Брюханов


4


5

ВВЕДЕНИЕ

Последнее десятилетие отмечено широким внедрением компьютерных технологий в системы передачи информации. Основу этих технологий составляют цифровые системы передачи сигналов и цифровые методы обработки сигналов. В настоящее время они составляют основу важнейших разработок в области физики, электроники и электротехники, в особенности в системах связи, радиолокации, контрольно-измерительных системах и системах автоматического управления.

Бурное развитие компьютерных технологий обусловлено несколькими причинами: высокая эффективность цифровых методов позволяет лучше обрабатывать и анализировать сигналы; при их применении проявляется большая гибкость и имеется все возрастающая возможность использования высокопроизводительных ЭВМ или быстродействующих специализированных цифровых вычислителей, стоимость которых постоянно снижается.

Основу устройств цифровой обработки сигналов составляют цифровые цепи, широкий класс которых можно отнести к числу колебательных систем дискретного времени. Теория колебаний непрерывных систем изложена в классической монографии А.А. Андронова, А.А. Витта и С.Э. Хайкина, а также в работах С.П. Стрелкова, В.В. Мигулина, В.И. Медведева, Е.Р. Мустель и В.Н. Парыгина. Классическая теория колебаний построена на базе теории дифференциальных уравнений.

Сегодня активно разрабатывается теория колебаний цифровых систем, включающая общие закономерности колебательных процессов в различных динамических системах дискретного времени. Разрабатываются эффективные методы анализа и расчета процессов, изучаются закономерности их протекания в реальных системах с использованием в каждом случае наиболее адекватных методов рассмотрения. При этом многообразие цифровых колебательных систем требует при изучении нахождения общих черт у различных систем и объединения их по наиболее характерным признакам в определенные классы и типы.

Как и аналоговые (непрерывные), цифровые системы можно классифицировать по их параметрам, выделяя системы с параметрами, не зависящими от их состояния (линейные системы с постоянными параметрами, линейные системы с параметрами, зависящими от времени, – параметрические), и с параметрами, зависящими от состояния системы (нелинейные системы), а также по условиям воздействия, разделяя системы на автономные и неавтономные.


6

Свойства цифровых цепей наиболее полно описаны в классической монографии Л. Рабинера и Л. Гоулда, а также в работах А.В. Оппенгейма, Р.В. Шафера, В. Каппелини, А.Дж. Константинидиса, П. Эмилиани и автора данной книги. Значительные исследования в области нелинейной динамики цифровых систем выполнены А. Дэвисом и М. Огорзалеком.

В настоящем пособии излагается теория рекурсивных цифровых колебательных систем первого и второго порядков, на базе которых, как и в системах непрерывного времени, строится большинство сложных колебательных систем. Большое внимание уделяется одному из главных вопросов теории колебаний – условию устойчивости динамической системы. Рассматриваются режим свободных колебаний для различных сочетаний параметров системы, построение бифуркационной диаграммы, а также поведение системы под действием внешней силы (вынужденные колебания) и частотные свойства. Полагается, что эффекты квантования отсутствуют.

Первый раздел посвящен теории систем первого порядка. Рассмотрены свободные колебания при линейной и нелинейной (с тремя видами нелинейности) характеристиками сумматора, а также линейные колебания под действием гармонической внешней силы.

Во втором и третьем разделах изложены вопросы теории свободных и вынужденных колебаний в линейной системе второго порядка – цифровом осцилляторе. Показаны траектории движения в сравнении с фазовыми портретами непрерывных систем, определены условия устойчивости и частотные свойства, приведен анализ резонансных законов.

Математический аппарат, используемый в учебном пособии, основан на теории разностных уравнений, классической теории колебаний и методе точечных отображений (преобразований).

В основу пособия положен материал лекций, читающихся автором студентам физического факультета Ярославского университета, обучающихся по специальности «Радиофизика и электроника». Он дополняет содержание традиционной дисциплины «Теория колебаний».

Автор признателен профессорам С.И. Баскакову, А.А. Ланнэ, С.А. Кащенко, Н.В. Михееву и Л.Н. Казакову за творческие дискуссии, конструктивные замечания и рекомендации, оказавшие большую практическую поддержку. Большую помощь при подготовке материала оказали коллеги по кафедре динамики электронных систем, особенно доцент, к.т.н. А.Л. Приоров, старшие преподаватели, кандидаты наук В.В. Хрящев, А.Н. Тараканов и заведующий лабораторией Ю.А. Лукашевич, который выполнил компьютерный набор рукописи.


7

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

Метод точечных отображений (преобразований) является одним из эффективных методов изучения динамики сильно нелинейных систем, поведение которых описываются дифференциальными или разностными уравнениями с кусочно-гладкими нелинейностями. Этот метод, зарождение которого связано с именами А. Паункаре и Дж. Биркгофа, был введен в теорию нелинейных колебаний А.А. Андроновым. Установив связь между автоколебаниями и предельными циклами А. Пуанкаре и опираясь на математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, А.А. Андронов существенно расширил возможности метода «припасовывания» и сформулировал принципы, которые легли в основу метода точечных отображений, что позволило эффективно использовать этот метод при исследовании конкретных систем автоматического регулирования и радиотехники.

Сущность метода заключается в следующем. Пусть задан отрезок прямой ( )ba, и каждой точке x этого отрезка поставлена в соответствие точка x этого же отрезка. Такое соответствие называется точечным отображением отрезка ( )ba, в себя.

Любое точечное отображение может быть задано в виде функции ( )xfx = , (1.1) называемой функцией последования, и, наоборот, любая функция определяет, некоторое точечное отображение. Точки x и x называются соответственно начальной и последующей, или точкой-оригиналом и точкой-образом.

Пусть точечное отображение F отрезка ( )ba, в себя определяется функцией последования (1.1), причем эта функция и отрезок таковы, что для любого ( )bax ,∈ существует ( ) ( )baxf ,∈ . Возьмем на отрезке ( )ba, некоторую точку 0x и найдем ее последующую ( )01 xfx = . Применив к точке 1x отображение F , получим точку

( ) ( )[ ]012 xffxfx == . Отображение, переводящее точку 0x в точку 2x , представляет собой

произведение отображения F и F и записывается как степень отображения F (т.е. 2FFF =⋅ ). Применяя далее отображение F к точке 2x , получим точку ( )23 xfx = , которая является результатом

применения отображения 3F к точке 0x , причем ( )[ ]{ }03 xfffx = .


8

В общем случае этот процесс описывается следующим образом: ( )1−= nn xfx . (1.2) Значение nx называется n-й итерацией начального значения 0x .

Точечное отображение отрезка прямой имеет наглядную геометрическую интерпретацию в виде диаграммы Ламерея, представляющую собой график функции последования ( )xfx = с нанесенной на нем биссектрисой координатного угла xx = (рис. 1.1). Итерационный процесс, порождаемый точечным отображением F , изображается на этой диаграмме лестницей Ламерея.

x* x

x

x=f x( )x=x

x00

Рис. 1.1

Точка ∗x отрезка ( )ba, , являющаяся корнем уравнения

( ) 0=− xxf , (1.3) т.е. отображающаяся сама в себя (поскольку ( )∗∗ = xfx ), называется простой неподвижной (или инвариантной) точкой отображения F . На диаграмме Ламерея простая неподвижная точка отображения F является


9

абсциссой точки пересечения графика функции последования ( )xf с биссектрисой координатного угла xx = . Как видно из рис. 1.1, неподвижная точка ∗x может являться пределом последовательности (1.2).

Неподвижная точка ∗x точечного отображения F называется устойчивой в малом, если существует хотя бы сколь угодно малая окрестность этой точки, такая что любая последовательность (1.2), начинающаяся в этой окрестности, сходится к точке ∗x . В противном случае неподвижная точка ∗x называется неустойчивой. На рис. 1.1–1.4 приведены примеры точечных отображений, имеющих устойчивые и неустойчивые простые неподвижные точки.

x

x

x=f x( )

x=x

0

Рис. 1.2


10

x

x

x=f x( )

*x

x=x

0x0

Рис. 1.3

x

x

x=f x( )

*x

x=x

0

Рис. 1.4


11

Условие устойчивости в малом простой неподвижной точки

точечного отображения задается теоремой Кенигса: неподвижная точка ∗x точечного отображения F с функцией последования ( )xf устойчива,

если в сколь угодно малой окрестности этой точки выполняется условие

1<∗= xxdx

df, (1.3а)

и неустойчива, если

1>∗= xxdx

df. (1.3б)

Следует заметить, что эта теорема не решает вопроса об устойчивости неподвижной точки в критическом случае, когда 1=dxdf . В этом случае устойчивость определяется знаками старших производных функции последования.

Вместе с тем итерационный процесс, порождаемый точечным отображением, может сходиться не только к простой устойчивой неподвижной точке. На рис. 1.5 приведен пример точечного отображения, у которого последовательность итераций сходится к паре точек 1a и 1b , таких что ( ) ( ) 1111 , abfbaf == . Такое инвариантное многообразие называется двукратным циклом точечного отображения, или циклом периода 2, а точки 1a и 1b называются двукратными неподвижными точками точечного отображения F . Они находятся как корни уравнения: ( )[ ] 0=− xxff . (1.4)


12

x

x

x=f x( )

ca bx0 0

x=x

Рис. 1.5

Рассмотрим подобные многообразия в общем случае. Если функция последования ( )xf , заданная на интервале ( )ba, , и сам интервал ( )ba, таковы, что для любого ( )bax ,∈ имеет место ( ) ( )baxf ,∈ , то в этом интервале можно построить последовательность следующих итерированных функций:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ){ } ( ) ( )

0 0 1 1 2 2

3 3 1

, , ,

, ..., .n n n

x f x x x f x f x x f x f f x

x f x f f f x x f x f x −

= = = = = =

= = = = (1.5)

Функция ( ) ( )1−= nn xfxf называется n -й итерацией функции

( )xf . Для натуральных итераций имеет место следующее основное функциональное уравнение: ( )[ ] ( )xfxff mnmn += . (1.6)

Пусть N – минимальное число, при котором для некоторой точки 0x выполняется равенство


13

( ) 00 xxfN = . (1.7) Тогда точка 0x называется N -кратной неподвижной (или инвариантной) точкой точечного отображения F . Применяя к обеим частям равенства (1.7) операцию f , получим, что одновременно с точкой 0x N -кратными неподвижными будут и точки ( ) ( ) ( )011022011 ...,,, xfxxfxxfx NN −− === . (1.8)

Инвариантное множество (1.8) называется N -кратным циклом точечного отображения F , или циклом периода N , и представляет собой совокупность N точек, которые последовательно циклически отображаются одна в другую. На диаграмме Ламерея кратные циклы отображаются в виде замкнутых контуров, состоящих из отрезков вертикальных и горизонтальных прямых (рис. 1.6).

x

x

x=f x( )

x=x

0

Рис. 1.6

Очевидно, что при выполнении равенства (1.7) имеет место и равенство ( ) 00 xxfkN = , (1.9)


14

где k – целое число. Нахождение N -кратных неподвижных точек сводится к нахождению действительных корней уравнения ( ) 0=− xxfN , (1.10) называемого уравнением N-кратных неподвижных точек.

Достаточное условие устойчивости в малом кратного точечного отображения может быть сформулировано в виде следующей обобщенной теоремы Кенигса: N -кратный цикл (цикл периода N ) устойчив, если для сколь угодно малой окрестности некоторой инвариантной точки C выполняется условие

1<=Cx

Ndx

df, (1.11)

и неустойчив, если

1>=Cx

Ndx

df. (1.12)

Задача исследования динамической системы методом точечных

отображений состоит в нахождении всех неподвижных точек, исследовании их устойчивости и зависимости от параметров. Наиболее сложной является задача нахождения многократных неподвижных точек. При этом следует пользоваться критериями, позволяющими по свойствам данного отображения судить о свойствах кратных ему отображений и, в частности, о существовании кратных неподвижных точек.

Имеется 6 теорем о существовании и единственности кратных циклов одномерного точечного отображения. Три теоремы со следствиями, используемые ниже, даны в приложении.

Согласно следствию 1 теоремы 1 непрерывное отображение с монотонно возрастающей функцией последования не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости (см. рис. 1.1 – 1.2).

Согласно следствию 2 теоремы 1 непрерывное отображение не имеет кратных неподвижных точек, если во всей области определения выполняется условие

1−>dxdf

. (1.13)


15

При этом отображение имеет лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости (см. рис. 1.1 – 1.3).

На основании следствия 3 теоремы 1 непрерывное отображение, удовлетворяющее во всей области его определения условию

1<dx

dfN , (1.14)

не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь единственную устойчивую простую неподвижную точку (см. рис. 1.1 и рис. 1.3).

В соответствии со следствием теоремы 2 непрерывное отображение с монотонно убывающей функцией последования не может иметь неподвижных точек кратности выше второй (смотри рис. 1.5).

Точечное отображение зависит от параметров, причем эта зависимость носит только количественный характер за исключением бифуркационных значений параметров, при которых происходит качественное изменение отображения. Бифуркации точечного отображения сводятся в основном к бифуркациям неподвижных точек и циклов: их рождению, исчезновению, изменению устойчивости.

Одним из основных понятий в теории нелинейных колебаний является устойчивость движения. Среди многих определений устойчивости наиболее известны устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. В отношении состояния равновесия эти определения совпадают и для дискретного времени n состоят в следующем.

Определение 1. Состояние равновесия ∗= xx называется устойчивым, если для любого числа 0>ε можно указать настолько малое число )(εδ , что для любого другого движения )(nxx = с начальными условиями, отличающимися от ∗x меньше, чем на δ , при всех последующих значениях n выполняется неравенство

ε<ρ ∗)),(( xnx ,

где )),(( ∗ρ xnx – расстояние между изображающими точками с координатами )(nx и ∗x в пространстве состояний.

Определение 2. Состояние равновесия называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво согласно определению 1 и в дополнение к нему ρ стремится к нулю при неограниченном возрастании времени.


16

Применительно к динамическим системам дискретного времени ниже также используются следующие понятия состояния равновесия.

Определение 3. Состояние равновесия ∗x называется суперустой-чивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется равенство

Nnxnx ≥∗ =ρ 0)),(( . Определение 4. Состояние равновесия называется нейтрально

устойчивым, если устойчивым является любое состояние системы. Определение 5. Состояние равновесия ∗x называется полуустой-

чивым, если характер равновесия (устойчивое или неустойчивое) зависит от знака отклонения состояния )(nx от ∗x .

Для периодических движений понятия устойчивости по Ляпунову и орбитной устойчивости различаются.

Определение 6. Периодическое движение )(nxx ∗= называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0>ε можно указать такое сколь угодно малое )(εδ , что для всякого другого движения )(nxx = , для которого 0 0( ( ), ( ))x n x n∗ρ < δ , при всех 0nn > выполняется неравенство

ε<ρ ∗ ))(),(( nxnx . Определение 7. Периодическое движение )(nxx ∗= называется

орбитно устойчивым, если для любого 0>ε можно указать такое сколь угодно малое 0)( >εδ , что при выполнении неравенства δ<γρ )),(( 0nx следует выполнение неравенства ε<γρ )),(( nx для всех значений 0nn > . Здесь γ – замкнутая траектория движения, отвечающая периодическому движению )(nxx ∗= , устойчивость которого исследуется, а

));0[()( ∞∈= nnxx – произвольная траектория движения. Определениям 6 и 7 можно дать наглядную геометрическую

интерпретацию. Требование устойчивости по Ляпунову означает (рис. 1.7), что изображающие точки, расстояние между которыми в начальный момент времени не превышает δ , в дальнейшем будут находиться друг от друга на расстоянии, меньшем ε . Требование орбитной устойчивости несколько слабее (рис. 1.8): если в начальный момент расстояние изображающей точки от замкнутой траектории меньше δ , то в дальнейшем это расстояние не превышает ε . Итак, орбитно устойчивое движение может быть неустойчивым по Ляпунову, однако периодическое движение, устойчивое по Ляпунову, всегда орбитно устойчиво.


17

δ

εx n( )

x n( )

0

x n( )*

Рис. 1.7

δ

ε

x n( )

x n( )

0

x n ( )*

γ

0

x n( )*

Рис. 1.8


18

2. ДИНАМИКА ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Цифровые системы (цепи) первого порядка широко распространены в системах передачи информации. Они используются самостоятельно в качестве фильтров нижних (ФНЧ) и верхних (ФВЧ) частот, а также в совокупности с цепями второго порядка при каскадной (или последовательной) и параллельной формах реализации цифровых фильтров высокого порядка.

Структурная схема рекурсивной системы первого порядка изображена на рис. 2.1. Здесь ( )1+nx – входное воздействие, ( )11 +ny –

реакция системы, 1−z – элемент задержки, 1b – умножитель с коэффициентом 1b , блок ( )ϕf определяет вид характеристики сумматора. Здесь и ниже тип этой характеристики (линейный или нелинейный) определяет тип динамической системы.

y n+( 1)x n+( 1)

y n( )

1

1

b1

z-1

f( )

Рис. 2.1

Линейной характеристике сумматора соответствует равенство ( ) ϕ=ϕf . Нелинейная характеристика бывает двух видов – с насыщением

и пилообразная. Полагаем, что характеристика с насыщением описывается функцией

( ) ( )при 1,

signпри 1.f

ϕ ϕ <ϕ = ϕ ϕ ≥

(2.1)

График ее изображен на рис. 2.2.


19

f( )

1

-1

0 1 2-1-2

Рис. 2.2

Пилообразная характеристика описывается функцией ( ) ( ) 1)2(mod1 −+ϕ=ϕf , (2.2) а график ее показан на рис. 2.3.

f( )

1

-1

0 1 2 3-1-2-3

Рис. 2.3

Заметим, что функции (2.1) и (2.2) соответствуют использованию в цифровых фильтрах арифметики с фиксированной запятой и чисел, выровненных слева.

Колебания в рекурсивной системе первого порядка в общем случае описываются разностным уравнением


20

( ) ( ) ( )( )11 111 ++=+ nxnybfny . (2.3) Реальные цифровые динамические системы нелинейны. Рассмотрение линейных систем связано с определенной идеализацией, в частности, в цифровой системе это идеализация характеристики сумматора. Вместе с тем изучение линейных систем позволяет установить ряд фундаментальных практически важных свойств динамических реальных систем, таких как устойчивость, частота собственных колебаний, частотные свойства и.т.п. Заметим, что идеализация (линейность) характеристики сумматора во многих случаях справедлива. Рассмотрим свободные колебания и колебания при внешнем воздействии в линейной и нелинейной системах.

2.1. Свободные колебания в линейной системе

Изучение свободных колебаний линейной динамической системы играет большую роль, поскольку оно дает сведения об устойчивости системы, позволяет установить влияние параметров системы на ее основные динамические характеристики. Полагаем, что характеристика сумматора линейна, т.е. справедливо равенство ( ) ϕ=ϕf .

Известно, что свободные колебания динамической системы описываются однородным уравнением. В линейной цифровой рекурсивной системе первого порядка таковым является разностное уравнение ( ) ( )nybny 111 1 =+ (2.4) при ненулевом начальном условии ( ( ) 001 ≠y ). Введем функцию

( ) ( )112 += nyny , тогда уравнение примет вид ( ) ( )nybny 112 = . (2.5)

Исследование динамических процессов в рассматриваемой системе удобно проводить методом одномерных точечных отображений. В данном случае отображение задается функцией последования 112 yby = . (2.6)


21

Точки ( )ny1 и ( )11 +ny называются соответственно начальной и последующей, или точкой-оригиналом и точкой-образом. Точка ( )ny1 называется n -й итерацией начального значения ( )01y .

Точка ∗1y , являющаяся корнем уравнения 0111 =− yyb , т.е.

отображающаяся сама в себя ( ∗∗ = 111 yby ), является простой неподвижной точкой отображения. На диаграмме Ламерея она является абсциссой точки пересечения графика функции последования с биссектрисой координатного угла. Как видно из рис. 2.4, неподвижная точка может являться пределом последовательности (2.4).

y

y

y =b y

21 1

1y (0)1

2

0

y =y

21

Рис. 2.4

Обратимся к упомянутым в разделе 1 теоремам о существовании и

единственности кратных циклов одномерного точечного отображения и их следствиям. Следствию 1 теоремы 1 (согласно которому непрерывное отображение с монотонно возрастающей функцией последования не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости) удовлетворяет функция (2.6) при

01 >b . Это отображение имеет простую неподвижную точку в начале координат (см. рис. 2.4).


22

Следствию 2 теоремы 1 (согласно которому непрерывное отображение не имеет кратных неподвижных точек, если во всей области определения выполнено условие (1.13), и может иметь лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости) удовлетворяет функция (2.6) при 11 −>b . В этих условиях рассматриваемое отображение не имеет кратных неподвижных точек.

Следствию 3 теоремы 1 (согласно которому непрерывное отображение, удовлетворяющее во всей области его определения условию (1.14), не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь единственную устойчивую простую неподвижную точку) удовлетворяет функция (2.6) при 11 <b . При этом рассматриваемое отображение имеет единственную устойчивую простую неподвижную точку – начало координат (см. рис. 2.4 и 2.5).

y

y

y =b y21 1

1y (0)1

2y =- y2

1 y =y

21

Рис. 2.5

Следствию теоремы 2 (согласно которому непрерывное отображение

с монотонно убывающей функцией последования не имеет неподвижных точек кратности выше второй) удовлетворяет функция (2.6) при 01 <b . Следовательно, при 01 <b нет неподвижных точек кратности выше второй. При 11 −=b отображение (2.6) имеет нейтрально устойчивый цикл периода 2 (см. рис. 2.6).


23

y

yy =- y2

1

1y (0)1

2

y =y

21

Рис. 2.6

Отметим, что при 11 =b отображение (2.6) имеет нейтрально

устойчивые неподвижные точки (соответственно рекурсивная система имеет нейтрально устойчивые состояния равновесия) (см. рис. 2.7).

y

y

y =y

21

1

y (0)1

2

y (0)1y (0)1 y (0)10

Рис. 2.7


24

Если 11 >b , то отображение имеет единственную неподвижную точку в начале координат. Согласно теореме Кенигса (1.3б) она неустойчива (см. рис. 2.8 и 2.9).

y

y

1

2

y (0)1

y =b y

21

1

0

y =y

21

Рис. 2.8

y

yy =b y2

11

1

2

y =y

21

y (0)1

y =-y2

1

Рис. 2.9


25

Зависимость точечного отображения от параметров можно изобразить в виде бифуркационных диаграмм состояний равновесия и периодов колебаний динамической системы. Выполненные рассуждения позволяют построить бифуркационную диаграмму состояний равновесия рассматриваемой системы в виде рис. 2.10а.

b

y

1

1

0 1-1

1

-1

а)

b

T

10 1-1

1

2

б)

Рис. 2.10


26

Здесь и ниже обозначено: – устойчивость, – неустойчивость, – нейтральная устойчивость. Состояние покоя системы ( 01 =y )

устойчиво при 11 b . Если 11 =b , система нейтрально устойчива при всех значениях 1y .

Бифуркационная диаграмма периодов колебаний (рис. 2.10б) показывает зависимость периода возникающих колебаний (с указанием его устойчивости) от параметра (коэффициента) системы 1b . В зависимости от величины 1b в рассматриваемой системе возможны устойчивое или неустойчивое состояние покоя ( 0=T ), нейтрально устойчивые колебания с периодом 1=T или 2=T .

Колебательную систему, описываемую уравнением (2.4), можно исследовать и таким образом. Решение уравнения (2.4) имеет вид

( ) nbCny 111 = , где ( )011 yC = . Состояние равновесия системы определяется равенством 111 yby = .

Возможны следующие варианты: 1. 11 ≠b . Имеется единственное состояние равновесия в точке ( )01y

(состояние покоя). 2. 11 =b . Имеется бесконечное множество состояний равновесия,

устойчивых нейтрально. 3. 11 −=b . Существует бесконечное множество нейтрально

устойчивых циклов периода 2=T . Метод точечных отображений дает больше информации о процессах

в динамической системе и более предпочтителен, особенно для изучения нелинейных систем.

2.2. Свободные колебания в нелинейной системе

Свободные колебания в нелинейной рекурсивной системе первого порядка описываются разностным уравнением ( ) ( )( )nybfny 111 1 =+ (2.7) при ненулевом начальном условии ( ( ) 001 ≠y ). Ему соответствует функция последования ( )112 ybfy = , где ( )ϕf – характеристика сумматора.

Рассмотрим рекурсивную систему с двумя видами характеристики сумматора – с насыщением и пилообразной, – которые описываются


27

функциями (2.1) и (2.2) соответственно. Исследование проводим методом точечных отображений.

Если выполняется условие

1dd

101 1

<==

byf

y,

то в системе существует единственное состояние равновесия в начале координат. Это состояние асимптотически устойчиво независимо от вида характеристики. Остаются справедливы все приведенные в п. 2.1 рассуждения, относящиеся к случаю 11 ==

byf

y.

При 1b > 1 отображение имеет три простые неподвижные точки: неустойчивую 01 =Y и две суперустойчивые { }1;11 −∈Y (см. рис. 2.11). Свойства устойчивости вытекают из теоремы Кенигса, а отсутствие кратных неподвижных точек обусловлено следствием 1 теоремы 1.

1

-1

0-1-2

1 2

y =y

21y =f b y ( )2 1 1

y (0)1

y 2

y 1

Рис. 2.11


28

При 1b < -1 отображение имеет три неподвижные точки: простую неустойчивую в начале координат (на основании теоремы Кенигса) и двукратные суперустойчивые неподвижные точки { }1;11 −∈Y , образующие цикл периода 2=T (см. рис. 2.12).

1

-1

-1-2

1 2

y =y

21

y =f b y ( )2 1 1

y 2

y 1

y =-y2

1

Рис. 2.12

Если 1b = 1, отображение имеет множество нейтрально устойчивых простых неподвижных точек на отрезке ( )1;11 −∈y и нейтрально-суперустойчивые простые точки { }1;11 −∈Y .

При 1b = -1 отображение имеет множество двукратных нейтрально устойчивых неподвижных точек на отрезке ( )1;11 −∈y и двукратные нейтрально-суперустойчивые неподвижные точки { }1;11 −∈Y , образую-щие цикл периода 2=T .

Выполненные рассуждения позволяют построить бифуркационную диаграмму состояний равновесия рассматриваемой системы в виде рис. 2.13а.

Здесь и ниже обозначено: – суперустойчивость. На бифуркационной диаграмме периодов колебаний (рис. 2.13б) показана зависимость возможных периодов, возникающих в системе свободных колебаний (с указанием их устойчивости), от параметра 1b . В зависимости от величины коэффициента 1b в рассматриваемой системе возможны устойчивые или неустойчивые состояния покоя ( 0=T ); при 11 ≥b имеем суперустойчивые, или нейтрально-суперустойчивые, или нейтрально устойчивые колебания с периодом 1T = ; при 11 −≤b имеем


29

суперустойчивые, или нейтрально-суперустойчивые, или нейтрально устойчивые колебания с периодом 2=T .

b

y

1

1

0 1-1

1

-1

а)

b

T

10 1-1

1

2

б)

Рис. 2.13


30

Пилообразная характеристика сумматора В данном случае отображение является разрывным и может

порождать более сложные движения. Рассмотрим случай

1dd

101 1

>==

byf

y.

Пример графика функции последования при 11 >b показан на рис.

2.14. здесь функция терпит разрыв первого рода в точках a± , a3± и т.д., где 11 ba = . На интервале [ )aay ;1 −∈ функция последования имеет вид

112 yby = , на интервале [ )aay 3;1 ∈ имеем 2112 −= yby , а на интервале [ )aay −−∈ ;31 имеем соответственно 2112 += yby .

2-2a-a

y =y

21

y 2

y 1

y =b y

21

1

y =b y

-22

11

y =b y

+2

21

1

Рис. 2.14

Это отображение имеет простую неподвижную неустойчивую точку

в начале координат и может порождать квазипериодические движения, или, иначе, ограниченные непериодические движения. Таким движениям на диаграмме Ламерея соответствует лестница Ламерея в виде ломаной неограниченной длины, плотно заполняющей диаграмму в некоторой ограниченной области. Пример такого движения представлен на рис. 2.14.

Данное отображение при 1b > 1 может порождать и двукратные неподвижные точки (циклы периода 2). Покажем это (см. рис. 2.15).


31

2-2a-a

Y ( )01

Y ( )11

1

-1

y =y

21

y 2

y 1

y =b y

21

1

y =b y

-22

11

y =b y

+2

21

1

Рис. 2.15

Пусть стартовое состояние соответствует условию ( ) [ )1;01 ay ∈ , тогда

( ) ( ) 201 111 −= yby . Эта точка принадлежит области [ )aay −−∈ ;31 , следовательно, ( ) ( ) 212 111 += yby . Периоду 2=T соответствует равенство ( ) ( )02 11 yy = . Откуда имеем ( ) ( ) ( ) =+== 2100 1111 ybYy

( )( ) ( ) 220220 1121111 +−=+− bybybb . Следовательно,

( )1

1 120b

Y+

= ,

соответственно

( ) ( ) ( )01

211 11

11 Yb

Yy −=+

−== .

С помощью обобщенной теоремы Кенигса ((1.11), (1.12)) определим

устойчивость двукратной неподвижной (инвариантной) точки ( )01Y

данного отображения. В нашем случае имеем == 2ffN 22 1121 +− byb , а

производная

1dd

dd 2

11

2 >== byf

xfN .


32

Следовательно, точка ( )01Y , а вместе с ней и точка ( )11Y (а вместе с ними и цикл периода 2) неустойчивые.

При 1b < -1, кроме простой неподвижной неустойчивой точки в начале координат, отображение порождает еще несколько простых неподвижных неустойчивых точек, например, абсциссы точек пересечения биссектрисы с прямыми 2112 ±= yby (см. рис. 2.16).

2-2a-a

1-1

1

-1

y =y

21

y 2

y 1

y =b y -2

21

1

y =b y +2

21

1

Рис. 2.16

Значения этих абсцисс получаются из системы уравнений

2 1 1

2 1

2,

y b yy y

= ± =

откуда следует

1

11 12b

Yy−±

== .

Если 1b = 1, отображение имеет множество нейтрально устойчивых

простых неподвижных на отрезке [ )1;11 −∈y . При 1b = -1 отображение порождает множество двукратных нейтрально устойчивых неподвижных точек на отрезке ( ]1;11 −∈y , образующих цикл периода 2=T .


33

b

y

1

1

0 1-1

1

-1

а)

b

T

10 1-1

1

2

б)

Рис. 2.17

Проведенный анализ позволяет построить бифуркационные диаграммы состояний равновесия и периодов колебаний рассматриваемой системы. Они показаны на рис. 2.17а и б соответственно. В зависимости от величины коэффициента 1b в рассматриваемой системе возможны устойчивые или неустойчивые состояния покоя ( 0=T ). Если 11 =b ,


34

имеем нейтрально устойчивые колебания с периодом 1T = , а при 1 1b > – неустойчивые колебания с периодом 2=T . В случае 11 −=b в системе возникают нейтрально устойчивые колебания с периодом 2=T , а когда

11 −<b – неустойчивые колебания с периодом 1T = .

2.3. Колебания при постоянном входном воздействии

Одним из основных сигналов в цифровых системах передачи информации является прямоугольный импульс. Изучение колебательных режимов при постоянном внешнем воздействии позволяет определить длительность переходного процесса, а также реакцию динамической системы в установившемся режиме при включении импульса.

Колебания в рекурсивной цепи первого порядка при постоянном внешнем воздействии A описываются вытекающим из (2.3) разностным уравнением ( ) ( )( )Anybfny +=+ 111 1 . (2.8) Полагаем, что коэффициент 1b выбирается в области устойчивости линейной системы, т.е. 11 <b . Рассмотрим процессы в линейной и нелинейной системах.

2.3.1. Колебания в линейной системе

Колебания в линейной системе описываются уравнением ( ) ( ) Anybny +=+ 111 1 , (2.9) для решения которого можно воспользоваться методом одностороннего z -преобразования. Выполним z -преобразование обеих частей (2.9):

( ) ( ) ( )1

0 1111 −+=−

zAzzYbzyzzY .

Изображение реакции имеет вид

( ) ( )( )( )1

0

11

11 −−

+−

=zbz

Azbz

zyzY ,

а сама реакция системы выражается функцией


35

( ) ( )1

11

11 110

bAb

bAyny n

−+

−

−= . (2.10)

Поскольку 11 0 (цепь является ФНЧ), 0>A . Переходный процесс при включении постоянного воздействия считается оконченным при Nn = , если выполняется равенство ( ) 111 1,0 YNyY =− . После преобразований при нулевом начальном условии получим 1,01 =Nb . Искомая величина N находится логарифмированием обеих частей последнего выражения и равна

1ln

3,2b

N −≈ .

Это выражение справедливо для любых знаков 1b и A .

Колебания в линейной системе можно изучить и методом точечных отображений. Для этого введем функцию ( ) ( )112 += nyny . Согласно уравнению (2.9) функция последования имеет вид Ayby += 112 . На рис. 2.18 изображены диаграмма и лестница Ламерея при 01 >b ,

0>A . Координата простой неподвижной точки 1Y находится из (2.11). Диаграмма состояний равновесия линейной системы при { }4,0;2,0∈A приведена на рис. 2.19. Все состояния равновесия устойчивые.


36

-1

1

1

-1

y2

y1

y =b y +A2 1 1

A

Y1

y =y

21

y (0)1 0

Рис. 2.18

b0 10,2 0,4 0,6 0,8-0,2-0,4-0,6-0,8-1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

Y1

A=0,4 0,2

Рис. 2.19


37

2.3.2. Колебания в нелинейной системе

Рассмотрим процессы в рекурсивной системе с двумя видами характеристики сумматора: с насыщением и пилообразной, которые описываются функциями (2.1) и (2.2) соответственно. Используем метод точечных отображений, имея в виду, что функция последования выражается как ( )Aybfy += 112 .

В зависимости от значений 1b и A в системе возможен линейный или нелинейный режимы.

Линейный режим Пусть 1b > 0 (система является ФНЧ). Линейный режим имеет

место, если определяемая из (2.11) величина 1Y удовлетворяет условию 11 ≤Y (см. рис. 2.18), т.е.

11 1

≤− bA

,

откуда следует 1 11 1b A b− ≤ ≤ − + . (2.12) Область линейного режима ФНЧ показана заштрихованной на рис. 2.20.

-1

1

1

-1

1b

A

0

Рис. 2.20


38

Пусть 1b < 0 (система является ФВЧ). Пример диаграммы и лестницы Ламерея при 0>A показан на рис. 2.21.

-1

1

1

-1

y2

y1

y =b y +A2 1 1

A

y =y

21

y =-y2

1

Y1y (0)1

Рис. 2.21

В линейном режиме модуль абсциссы точки пересечения графика

функции последования и биссектрисы второго и четвертого координатных углов меньше или равен 1. Отсюда следует

11 1

≤+ bA

,

т.е. 1 11 1b A b− − ≤ ≤ + . (2.13) Область линейного режима ФВЧ показана заштрихованной на рис. 2.20.

При выборе величин 1b и A за пределами показанной на рис. 2.20 области в колебательной системе возникает нелинейный режим. Характер поведения системы в этом случае зависит от вида характеристики сумматора.


39

Характеристика сумматора с насыщением Пусть 1b > 0 . Пример диаграммы и лестницы Ламерея при 0>A

показан на рис. 2.22. При этом отображение имеет единственную неподвижную суперустойчивую точку 11 =Y .

-1

1

1

-1

y=f b y

+A(

)

y2

y1y (0)1 0

y =y

21

1 1

Рис. 2.22

После включения постоянного воздействия до достижения ( ) ( ) 1122 == Nyny в цепи существует линейный режим. Функция ( )ny2

находится из (2.10) следующим образом:

( ) ( )1

11

112 11

0b

Abb

Ayny n

−+

−

−= + .

При ( ) 001 =y величина 1N выражается функцией

1ln

1ln

1

11 −

−

=bY

A

N ,


40

где [ ]• – целая часть числа, а величина 1Y находится из (2.11).

В общем случае произвольного знака внешнего воздействия A при ( ) 001 =y имеем

1ln

sign1ln

1

11 −

−

=bY

A

N .

Далее имеет место режим с насыщением, а полная длительность переходного процесса на 2 единицы больше, чем величина 1N .

Пусть 1b < 0 . Пример диаграммы и лестницы Ламерея при 0>A показан на рис. 2.23. При этом отображение имеет единственную неподвижную устойчивую точку с координатой 1Y , определяемой из (2.11). Здесь начальное состояние ( )01y соответствует режиму с насыщением, а при 1≥n система переходит в линейный режим, описываемый уравнением (2.9). Такое сочетание режимов имеет место при ( ) ( ) 11 10 bAy −< . В других случаях в системе существует только линейный режим.

-1

1

1

-1

y2

y1Y1

y=f b y +A(

)

y (0)1

y =y

21

y =-y2

1

1 1

Рис. 2.23


41

Если 0<A , а ( ) ( ) 11 10 bAy +−> , то также существуют режимы с насыщением и линейный (при 1≥n ).

Бифуркационная диаграмма состояний равновесия системы, сумматор которой имеет характеристику с насыщением, приведена на рис. 2.24.

b0 10,2 0,4 0,6 0,8-0,2-0,4-0,6-0,8-1

0,2

0,4

0,6

0,8

Y1 A=0,40,2

Рис. 2.24

Пилообразная характеристика сумматора В зависимости от знака коэффициента 1b в системе изменяется

характер движений. Пусть 1b > 0 . В отличие от системы, имеющей сумматор с

насыщением, в системе с пилообразной характеристикой сумматора в нелинейном режиме возникают периодические колебания. Установим связь между периодом таких колебаний T , параметром 1b и величиной внешнего воздействия A .

Рассмотрим процесс возникновения колебаний с периодом 2=T . Диаграмма Ламерея при 1 0,6, 0,9b A= = изображена на рис. 2.25. Функция последования терпит разрыв в точке ( )1 11 1/ 6y A b= − = .

Пусть система стартует из точки ( ) ( )00 11 Yy = . Тогда

( ) ( ) ( )1 1 1 11 1 0y Y bY A= = + . Согласно правилу отображения имеем ( ) ( ) 212 112 −+= Ayby .


42

-1

1

1

-1

y2

y1Y (1)1Y ( )01

y =b y +A

21 1

y =b y +A-

2

21 1

y =y

21

0 0,4 0,8- ,40- ,80

0,4

0,8

- ,80

- ,40

Рис. 2.25

При 2=T для обеспечения инвариантности точек ( )01y и ( )11y

должно выполняться равенство ( ) ( )02 11 yy = , т.е.

( ) ( ) 200 11211 −++= AAbyby . Откуда следует

( ) ( ) ( )21

111 1

2100b

bAYy−

−+== . (2.14)

Соответственно

( ) ( )21

111 1

211b

bbAY−

−+= . (2.15)

Например, при 6,01 =b , 9,0=A имеем ( ) 875,001 −=Y , ( ) 375,011 =Y (см. рис. 2.25).

Исследуем устойчивость цикла периода 2=T . С помощью обобщенной теоремы Кенигса ((1.11), (1.12)) определим устойчивость двукратной неподвижной (инвариантной) точки ( )01Y . В данном случае имеем


43

211212 −++== AAbybffN ,

а производная

1dd

dd 2

11

2 <== byf

xfN .

Следовательно, точка ( )01Y , а вместе с ней и точка ( )11Y (а вместе с ними и цикл периода 2=T ) устойчивые.

Выражения (2.14) и (2.15) позволяют определить область параметров ( )Ab ,1 , соответствующую периоду 2=T . При 0>A нижняя граница этой области находится из условия ( ) 101 −≥Y , (2.16) а верхняя граница – из условия ( ) 111 <Y . (2.17) Из выражений (2.14) и (2.16) получим

1

21

11

bbA

++

≥ ,

а из (2.15) и (2.17) имеем выражение для верхней границы

1

211

121

bbbA

+−+

< .

На рис. 2.26 заштрихованной показана область, соответствующая колебаниям с периодом 2=T . Вследствие специфики характеристики сумматора верхняя граница этой области задается прямой 1=A .


44

0 0.2 0.4 0.60.6

0.7

0.8

0.9

A

0.8 bA= -1 b

1

1

Рис. 2.26

Рассмотрим колебательный процесс с периодом 3=T . Диаграмма

Ламерея при 1 0,6, 0,7b A= = приведена на рис. 2.27.

-1

1

1

-1

y2

y1Y ( )21

Y ( )01

y =b y +A

21 1

y =b y +A-

2

21 1

Y (1)1

y =y

21

0 0,4 0,8- ,40

0,4

- ,80

0,8

- ,80

- ,40

Рис. 2.27


45

Пусть система стартует из точки ( ) ( )00 11 Yy = . Тогда ( ) ( ) ( ) AYbYy +== 011 1111 , ( ) ( ) == 22 11 Yy ( )1 1 1b y A+ . Согласно правилу

отображений имеем ( ) ( ) 223 111 −+= Ayby . При 3=T для обеспечения инвариантности точек ( )01y , ( )11y и

( )21y должно выполняться равенство ( ) ( )03 11 yy = , т.е.

( ) ( ) 200 1211

311 −+++= AAbAbyby . Откуда следует

( ) ( ) ( )31

121

11 12100

bbbAYy−

−++== . (2.18)

Соответственно

( ) ( )31

1121

1 1211

bbbbAY

−−++

= .

Поскольку ( ) ( ) AAbyby ++= 11

211 02 , получим

( ) ( )31

211

21

1 1212

bbbbAY

−−++

= . (2.19)

Например, при 6,01 =b , 7,0=A имеем ( ) 801,001 −=Y , ( ) 219,011 =Y ,

( ) 832,021 =Y . По аналогии со случаем 2=T нетрудно определить устойчивость

трехкратной неподвижной (инвариантной) точки ( )01Y . В данном случае имеем 21

211

313 −+++== AAbAbybffN ,

а производная

331

1

d d 1d d

Nf f bx y

= = < .


46

Следовательно, согласно обобщенной теорема Кенигса, точка ( )01Y , а вместе с ней и точка ( )11Y и ( )21Y (а вместе с ними и цикл периода 3=T ) устойчивые.

С помощью выражений (2.16) и (2.17) определим область параметров ( )Ab ,1 , соответствующую 3=T . Из (2.16) и (2.18) для нижней границы получим

1

21

31

11

bbbA++

+≥ ,

из (2.17) и (2.19) имеем выражение для верхней границы этой области

1

21

31

21

121

bbbbA

++−+

< .

На рис. 2.28 заштрихованной показана область, соответствующая колебаниям с периодом 3=T .

0 0.2 0.4 0.60.6

0.7

0.8

0.9

A

0.8 b1

A= -b1 1

Рис. 2.28

Распространим установленные закономерности на случай

произвольного периода T . При этом должно выполняться равенство


47

( ) ( )011 YTY = ,

где ( ) ( ) 21111 −+−= ATYbTY , ( ) ( ) ∑−

=

− +=−2

011

111 01

T

i

iT bAYbTY .

Отсюда получим

( ) T

T

i

i

b

bAY

1

1

01

1 1

20

−

−=

∑−

= , (2.20)

( ) T

T

i

Ti

b

bbATY

1

1

0

111

1 1

21

−

−=−

∑−

=

−

. (2.21)

Эти выражения позволяют определить область параметров ( )Ab ,1 ,

соответствующих периоду T . При 0>A нижняя граница этой области задается условием (2.16), а верхняя граница – условием ( ) 111 <−TY . (2.22) Из (2.16) и (2.22) для нижней границы получим

∑−

=

+≥ 1

01

11T

i

i

T

b

bA , (2.23)

из (2.21) и (2.22) имеем выражение для верхней границы этой области

∑−

=

− −+< 1

01

11

121T

i

i

TT

b

bbA . (2.24)

На рис. 2.29а и б заштрихованными изображены рассчитанные по формулам (2.23), (2.24) области параметров для { }5;4∈T соответственно.


48

0 0.2 0.4 0.6 0.8 b10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

A

A= -1 b1

b10.3 0.44

0.4

0.3

0.5

0.6

A

0.58 0.72 0.86

A= -1 b1

а) б)

Рис. 2.29

Вследствие симметричности характеристики сумматора в случае

0<A соответствующие области располагаются симметрично относительно оси абсцисс областям, показанным на рис. 2.26, 2.28, 2.29.

Пусть 1b < 0 . Пример диаграммы Ламерея при 0>A показан на рис. 2.30. В отличие от системы, имеющей сумматор с насыщением (см. рис. 2.23), в данном случае графики функции последования и биссектрисы

12 yy = пересекаются в двух точках B и C . Им соответствуют простые устойчивые неподвижные точки 11Y и 12Y отображений, определяемых функциями последования ( )Aybfy += 112 и ( )2 1 1 2y f b y A= + − соответственно. При 0>A координаты этих точек выражаются следующим образом:

1

121

11 12,

1 bAY

bAY

−−

=−

= .

В случае 0<A имеем


49

1

121

11 12,

1 bAY

bAY

−+

=−

= .

Заметим, что режиму ФВЧ соответствует только точка B .

Приведенные на рис. 2.30 лестницы Ламерея показывают, что координата неподвижной точки зависит от начального условия ( )01y . Режим фильтрации верхних частот, который в линейной системе обеспечивается при 01 A выполняется

условие ( )1

110

bAy −

> , а в случае 0<A имеем ( )1

110

bAy +

−< .

-1

1

1

-1

y2

y1

A

Y11

B

C

Y12

y =b y +A 2

1 1

y =b y +A- 22 1 1

y ( )01

y ( )01

y =y y =-y2

21

1

Рис. 2.30

2.4. Колебания в линейной системе при гармоническом воздействии

Гармоническое воздействие имеет место, когда динамическая система используется, например, в качестве фильтра. После окончания переходного режима, обусловленного включением гармонического сигнала, (режима свободных колебаний) в системе устанавливаются вынужденные колебания. Исследование их дает сведения о частотной характеристике системы, позволяет установить важные для практического


50

использования связи между параметрами системы и ее частотными свойствами. Рассмотрим линейную систему с параметром 11 <b .

Колебания в цифровой линейной системе первого порядка (см. рис. 2.1) под действием внешней силы описываются разностным уравнением ( ) ( ) ( )11 111 +=−+ nxnybny , (2.25) с начальным условием ( )01y . Считаем внешнее воздействие гармоническим и имеющим вид ( ) ( )[ ]1cos1 +ω=+ nXnx .

Для нахождения вынужденных колебаний воспользуемся методом комплексных амплитуд. Входное воздействие и реакцию системы представим в комплексной форме ( 1)( 1) e j nx n X ω ++ = , (2.26) )1(

11 e)1( +ω=+ njYny . (2.27) Подставим выражения (2.26) и (2.27) в уравнение (2.25). Полагая

( )1 0 0y = , получим )1(

11)1(

1 eee +ωω+ω =− njnjnj XYbY . Сократив обе части этого выражения на )1(e +ω nj , получим XYbY j =− ω−e111

.

Следовательно, комплексная амплитуда реакции системы определяется соотношением

1e1 1

1 ω−−= jb

XY (2.28)

и зависит от амплитуды и частоты внешнего воздействия и параметра системы. Модуль этой функции равен


51

ω+ω−

=22

12

11

sin)cos1( bbXY .

Исследуем частотные свойства системы. Они характеризуются

функцией )e()e()e( 1ωωω jjj XYH = , называемой частотной

характеристикой. Модуль ее есть амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), т.е. )()()( 1 ωω=ω XYH , а аргумент – фазочастотная

характеристика, т.е. )e(arg)( ω=ωϕ jH . Работаем с функцией

ω+ω−

=ω 221

21

2

sin)cos1(1)(

bbH .

Обозначим знаменатель ее функцией ( )ω2f . После преобразований эта функция примет вид ( ) ω−+=ω cos21 1

21

2 bbf . Найдем ее производную по ω:

ω=ω

ω sin2d

)(d1

2bf

.

Исключительной особенностью цифровой системы является

периодичность частотной характеристики с периодом 2π , что обусловливает необходимость выполнения требований однозначности. Функция

ω−+

=ωcos21

1)(1

21

2

bbH

на интервале [ ]π∈ω 2;0 однозначна в диапазоне [ ]π∈ω ;0 , а производная ее знаменателя обращается в нуль при { }π∈ω ,0 . Знак производной совпадает со знаком параметра 1b . Следовательно, при


52

01 >b система является фильтром нижних частот, а при 01 <b – фильтром верхних частот.

На практике удобно работать с нормированной АЧХ. Для ФНЧ квадрат ее равен

ω−+

−=

ωcos21

)1()0()(

12

1

21

2

2

bbb

HH

,

а для ФВЧ

ω−+

+=

πω

cos21)1(

)()(

12

1

21

2

2

bbb

HH

.

В обоих случаях имеем

ω−+

−=ω=

πω

=ω

cos21|)|1()(

)()(

)0()(

12

1

212

2

2

2

2

bbbH

HH

HH

H .

На рис. 2.31 представлены графики квадрата нормированной АЧХ для двух значений параметра 1b .

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2 0.4 0.6

-0.6

0.8 ω /π

Hb = 0.6

2H

1

Рис. 2.31

Определим частоту среза фильтра cω , для этого воспользуемся

зависимостью


53

cbb

bω−+

−=

cos21|)|1(

21

12

1

21 .

Отсюда следует

1

211

21||4

cosbbb

c−−

=ω ,

1

211

21||4

arccosbbb

c−−

=ω .

Заметим, что при 01 =b функция cωcos не определена.

Установим зависимость частоты среза cω от параметра 1b . При 01 >b существует соотношение

1

211

214

cosbbb

c−−

=ω . (2.29)

Найдем производную этой функции:

21

21

1 21

dcosd

bb

bc −

=ω

. (2.30)

Поскольку 11 <b , то производная положительна, а при 11 =b она обращается в нуль. Зависимость (2.30) справедлива и для 01 <b , а при

11 −=b производная обращается в нуль. Весьма важно, что понятие частоты среза имеет смысл только при [ ]π∈ω ;0c . Определим интервалы значений параметра 1b , для которых

частота среза существует. Рассмотрим случай 01 >b . При 11 =b имеем 1cos =ωc , 0=ωc . Определим, при каком значении 1b справедливо

соотношение 1cos −=ωc , (т.е. π=ωc ). Из (2.29) получим квадратное уравнение 016 1

21 =+− bb ,


54

корнями, которого являются 83

2,11 ±=b . Поскольку 11 <b , то имеем

172,0831 ≈−=b . Представляет интерес найти значение 1b , для которого 0cos =ωc , 2π=ωc . Из формулы (2.29) получим квадратное уравнение 014 1

21 =+− bb

с корнями 32

2,11 ±=b . По вышеуказанной причине имеем

268,0321 ≈−=b . Выполнив аналогичные операции для 01 <b , получим

{ }0,2, ππ∈ωc соответственно при { }83,32,11 +−+−−∈b . Графики зависимости ( )1bcω изображены на рис. 2.32.

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.2-0.2-0.6 -1 0.6

c

b1

Рис. 2.32

Таким образом, линейная цифровая система первого порядка при 01 >b обладает свойствами фильтра нижних частот, а при 01 <b –

фильтра верхних частот. В отличие от аналоговых в цифровых фильтрах нижних и верхних частот область существования частоты среза ограничена.


55

3. ДИНАМИКА ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

Цифровой осциллятор является рекурсивной колебательной системой второго порядка. Роль его в цифровых системах передачи информации аналогична роли колебательного контура в аналоговых системах. Это основной элемент для построения сложных колебательных систем.

Рассмотрим осциллятор с линейной характеристикой сумматора. Структурная схема осциллятора изображена на рис. 3.1, где 1b и 2b – умножители с коэффициентами 1b и 2b соответственно.

y n+( 2)x n+( 2)1

b1

z-1

b2

z-1

y n+( )11

y n( )1

Рис. 3.1

Колебания в такой системе описываются линейным разностным уравнением второго порядка: ( ) ( ) ( ) ( )212 12111 ++++=+ nxnybnybny .

Исследуем устойчивость автономной системы, установим влияние параметров на ее основные динамические характеристики. Проведем анализ колебаний при гармоническом воздействии.


56

3.1. Свободные колебания

Свободные колебания описываются разностным уравнением ( ) ( ) ( )nybnybny 12111 12 ++=+ или ( ) ( ) ( ) 012 12111 =−+−+ nybnybny (3.1) с начальными условиями ( ) ( )1,0 11 yy . Ему соответствует характеристическое уравнение 021

2 =−− bqbq , (3.2) корни которого равны

2

4 2211

2,1bbb

q+±

= . (3.3)

Решение уравнения (3.1) выражается зависимостью

( ) 22111

nn qCqCny += . (3.4)

Постоянные 1C и 2C находятся из начальных условий ( ) ( )1,0 11 yy и корней характеристического уравнения следующим образом. Из (3.4) имеем

1 1 2

1 1 1 2 2

(0)(1) .

y C Cy C q C q

= + = +

( )6.3

)5.3(

Определитель этой системы равен

.11

1221

qqqq

−=

Находим выражения для 1C и 2C :

( )( ) ( ) ( )

12

121

12

21

1

1101

10

qqyqy

qqqy

y

C−

−=

−= , (3.7)


57

( )( ) ( ) ( )

12

111

12

11

1

2011

01

qqqyy

qqyqy

C−

−=

−= . (3.8)

Запишем уравнение (3.1) в виде системы двух уравнений первой

степени. Обозначив ( ) ( )112 += nyny , (3.9) получим

( ) ( )( ) ( ) ( )

+=+=+

nybnybnynyny

21122

21

11

(3.10)

или в матричной форме

( ) ( ) [ ] ( )nY BnY bb

nY =

=+

12

101 . (3.11)

Решение системы (3.10) выражается следующим образом:

( )( )

+=

+=++ .1

221

112

22111nn

nn

qCqCny

qCqCny (3.12)

Состояние равновесия системы (3.10) характеризуется

соотношениями

1 2

2 2 1 1 2 ,y yy b y b y

= = +

или ( ) 2212 ybby += . Это равенство справедливо, если:

1) 012 == yy , при этом величины 2,1q находятся из (3.3),

2) 121 =+ bb , т.е. 12 1 bb −= . При этом из (3.3) имеем

( )2

22

44 111211

2,1−±

=−+±

=bbbbb

q ,

т.е. 111 −= bq , 12 =q .


58

3) 01 =b , 2 1b = , при этом 122,1 ±=±= bq . 4) 11 =b , 02 =b , при этом 111 == bq , 02 =b и система второго

порядка вырождается в систему первого порядка. Исследуем состояние равновесия в начале координат и характер

поведения фазовых траекторий вблизи его. Этот характер определяется корнями (3.3) характеристического уравнения. Полагаем, что эти корни разные.

3.1.1. Корни характеристического уравнения вещественные, с модулем меньшим единицы

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения 1,1 21 << qq . (3.13) Вещественность корней означает 04 2

21 >+ bb (3.14)

или 04 2

21 =+ bb , при этом 2121 bqq == (этот случай не

рассматривается). Из неравенств (3.13) следует условие

12

4 2211 <

+± bbb, (3.15)

или

<+−

<++

.12

4

12

4

2211

2211

bbb

bbb

( )

( )17.3

16.3

Работаем с неравенством (3.16). В данном случае имеем пересечение

двух неравенств:


59

−>++

<++

.12

4

12

4

2211

2211

bbb

bbb

(3.18)

Преобразуем эту систему неравенств следующим образом:

2

1 1 2

21 1 2

4 2

4 2,

b b b

b b b

+ + <

+ + > −

или

−−>+

−<+

.2424

1221

1221

bbbbbb

( )( )20.3

19.3

Работаем с неравенством (3.19). Поскольку в левой части стоит

величина положительная (из-за вещественности корней 1q и 2q ), то неравенство (3.19) справедливо при 21 <b . При этом условии обе части

(3.19) можно возвести в квадрат, т.е. получим ( )212

21 24 bbb −<+ ,

112 +−< bb . Проведем прямую 112 +−= bb на плоскости ( )21, bb (рис. 3.2). Граница вещественности описывается равенством

212 4

1 bb −= . (3.21)

Условиям (3.14) и (3.19) удовлетворяет заштрихованная область на

рис. 3.2. Рассмотрим условие (3.20). Вследствие вещественности корней

характеристического уравнения это условие выполняется всегда при 21 −>b , так как при этом правая часть неравенства (3.20) отрицательна (с

учетом условия вещественности (3.14)). Покажем это на рис. 3.3 горизонтальной штриховкой. При 21 −+ , или 112 +> bb . Покажем это на рис. 3.3

вертикальной штриховкой.


60

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

21 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

Рис. 3.2

b

b

b =b +

1

21

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

Рис. 3.3


61

В итоге область значений параметров ( )21, bb , соответствующая одновременно условиям (3.19) и (3.20), а следовательно, неравенству (3.16), имеет вид, изображенный на рис. 3.4 (она является пересечением заштрихованных областей на рис. 3.2, 3.3).

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.4

Работаем с неравенством (3.17). Введем замену 1bb −= . Тогда (3.17) примет вид

12

4 22

<++ bbb

,

аналогичный неравенству (3.16). Это означает, что соответствующая условию (3.17) область параметров ( )21, bb симметрична относительно оси ординат области, изображенной на рис. 3.4. Эта область показана на рис. 3.5.

Следовательно, область значений параметров ( )21, bb , удовлетворяющая условию (3.13), или все равно что условию (3.15), или одновременно условиям (3.16) и (3.17), является пересечением заштрихованных областей на рис. 3.4 и рис. 3.5. Покажем это на рис. 3.6.


62

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

21 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.5

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.6


63

Из теории динамических систем, описываемых разностными

уравнениями второго порядка, известно, что вещественным, разным и по модулю меньшим единицы корням характеристического уравнения соответствует состояние равновесия типа устойчивый узел. Следовательно, заштрихованная область на рис. 3.6 определяет значения параметров 1b , 2b , соответствующих вышеуказанному состоянию равновесия.

При рассмотрении поведения непрерывных систем второго порядка широко используется метод фазовой плоскости – плоскости переменных x и xy = . Здесь каждому состоянию системы соответствует пара значений x и y , т.е. точка на фазовой плоскости, называемая изображающей точкой. Движение, совершаемое системой, сопровождается изменением величин x и y , а следовательно, изображающая точка перемещается по некоторой кривой, которую принято называть фазовой траекторией движения.

Некий аналог метода фазовой плоскости принят и при рассмотрении поведения цифровых систем второго порядка на плоскости состояний ( )21, yy . При этом каждому состоянию системы соответствует пара значений 1y и 2y . Следовательно, изображающая точка имеет координаты 1y , 2y . С изменением величин 1y , 2y , сопровождающим движение системы, изображающая точка перемещается по некоторой линии, называемой траекторией движения. В общем случае это не будет кривая, характерная для непрерывных систем, т.к. движение непрерывной системы описывается линейной комбинацией экспоненциальных функций ( tt CCx 21 ee 21

λλ += ), а цифровой системы – линейной комбинацией геометрических прогрессий (см. (3.4)). Этим обусловливаются порой значительные отличия траекторий движения цифровых систем от фазовых портретов соответствующих непрерывных аналогов.

В качестве иллюстрации движения системы, когда корни характеристического уравнения вещественные и по модулю меньше единицы, на рис. 3.7а изображены траектории движений при 8,01 =b ,

1,02 −=b для ряда начальных условий. Для сравнения на рис. 3.7б изображен фазовый портрет непрерывной

системы (осциллятора) с особой точкой типа устойчивый узел. Качественно траектории аналогичны.


64

-0,2

0,2

0,2

-0,4 0,4-0,6

0,6

0,4

0,6

0,8

0,8

-0,4

-0,8

-0,6

-0,8

-0,2

7

y1

y2

а)

y

x

б)

Рис. 3.7


65

3.1.2. Корни характеристического уравнения вещественные, с модулем большим единицы

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения 1,1 21 >> qq . (3.22)

Из условий (3.22) следует

12

4 2211 >

+± bbb, (3.23)

или

>+−

>++

.12

4

12

4

2211

2211

bbb

bbb

( )

( )25.3

24.3

Работаем с неравенством (3.24). В рассматриваемом случае имеет

место объединение двух неравенств:

21 1 2

21 1 2

41

24

1,2

b b b

b b b

+ + > + + < −

или

−<++

>++

,2424

2211

2211

bbbbbb

или

−−<+

−>+

.2424

1221

1221

bbbbbb

( )( )27.3

26.3

Работаем с неравенством (3.26). В левой его части стоит величина положительная (из-за вещественности корня), а правая часть положительна при 21 + , 112 +−> bb .


66

Заметим, что условие (3.14) вещественности при этом выполняется автоматически (всюду). Если 02 1 <− b , т.е. 21 >b , то условие (3.26) выполняется при всех значениях коэффициентов 1b , 2b с учетом условия (3.14). Покажем на рис. 3.8 вертикальными штриховыми линиями область выполнения неравенства (3.26).

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

Рис. 3.8

Работаем с неравенством (3.27). Это условие может выполняться,

только если 02 1 >−− b (в силу вещественности корня), т.е. при 21 −<b . При этом правая часть (3.27) положительна и обе части этого неравенства можно возвести в квадрат, т.е. получим 2

11221 444 bbbb ++<+ , или

112 +< bb . Следует учесть и условие (3.14) вещественности. Покажем на рис. 3.9 вертикальными штриховыми линиями область выполнения неравенства (3.27).


67

b

b

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.9

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.10


68

В итоге область значений параметров 1b , 2b , удовлетворяющая одновременно неравенствам (3.26) и (3.27), или все равно что неравенству (3.24) , является объединением заштрихованных областей на рис. 3.8 и 3.9. Покажем это на рис. 3.10.

Работаем с неравенством (3.25). Рассуждая, как на с.61, приходим к выводу, что соответствующая условию (3.25) область параметров ( )21, bb симметрична относительно оси ординат области, изображенной на рис. 3.10. Эта область показана на рис. 3.11.

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.11

Таким образом, область значений коэффициентов ( )21, bb ,

удовлетворяющая условию (3.22), или все равно что неравенству (3.23), или одновременно условиям (3.24) и (3.25), является пересечением заштрихованных областей на рис. 3.10 и 3.11. Покажем это на рис. 3.12.


69

Из теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, известно, что вещественным, разным и по модулю большим единицы корням характеристического уравнения соответствует состояние равновесия типа неустойчивый узел. Следовательно, заштрихованные области на рис. 3.12 определяют значения параметров 1b , 2b , соответствующих этому состоянию равновесия.

На рис. 3.13а представлены траектории движения системы при 5,21 =b , 52,12 −=b для ряда начальных условий. В качестве сравнения

на рис. 3.13б изображен фазовый портрет непрерывной системы с состоянием равновесия типа неустойчивый узел.

b

b

b =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.12


70

-0,2

0,2-0,4 0,4-0,6

0,6

0,6

0,8

0,8

-0,4

-0,8

-0,6

-0,8

-0,2

y1

y2

0,2

0,4

а)

y

x

б)

Рис. 3.13


71

3.1.3. Корни характеристического уравнения вещественные.

Один из корней по модулю больше, а другой – меньше единицы

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения 1,1 21 <> qq . (3.28) Следует отметить, что условия (3.28) справедливы при 01 >b . Этим условиям соответствует пересечение неравенств

12

4 2211 >

++ bbb (3.29)

12

4 2211 <

+− bbb. (3.30)

Работаем с неравенством (3.29). Заметим, что оно совпадает с

неравенством (3.24). Область параметров ( )21, bb , соответствующая ему, при 01 >b совпадает с областью, изображенной на рис. 3.10. Эта область показана на рис. 3.14 наклонными штриховыми линиями.

Работаем с неравенством (3.30). Оно совпадает с неравенством (3.17). Область параметров ( )21, bb , соответствующая ему, при 01 >b совпадает с областью, изображенной на рис. 3.5. Покажем эту область на рис. 3.15 наклонными штриховыми линиями.

Условию (3.28), или все равно что условиям (3.29), (3.30) соответствует пересечение заштрихованных областей на рис. 3.14 и 3.15. Следовательно, область параметров ( )21, bb , удовлетворяющая неравенствам (3.28), имеет вид, изображенный на рис. 3.16.


72

b

b

b =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

21 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

Рис. 3.14

b

b

b =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.15


73

b

b

b =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

21 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.16

Рассмотрим случай вещественных корней и соотношения

1,1 21 >< qq . (3.31) Эти условия справедливы при 01 +−

<++

.12

4

,12

4

2211

2211

bbb

bbb

( )

( )33.3

32.3

Неравенство (3.32) совпадает с неравенством (3.16). Область

параметров ( )21, bb , соответствующая ему, при 01 <b совпадает с областью, изображенной на рис. 3.4, и имеет вид, показанный на рис. 3.17.


74

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

21 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.17

b

b

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.18


75

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Рис. 3.19

Неравенство (3.33) совпадает с неравенством (3.25).

Соответствующая ему область параметров ( )21, bb при 01 <b совпадает с областью, показанной на рис. 3.11, и изображена на рис. 3.18.

Условию (3.31), или все равно что неравенствам (3.32), (3.33), соответствует пересечение заштрихованных областей на рис. 3.17 и 3.18. Покажем это на рис. 3.19.

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, неравенствам (3.28) и (3.31) соответствует неустойчивое состояние равновесия типа седло. Этому состоянию и удовлетворяют заштрихованные области значений параметров ( )21, bb , изображенные на рис. 3.16 и 3.19.

На рис. 3.20а и б изображены траектории движения цифровой системы и фазовый портрет аналоговой системы соответственно в окрестности особой точки типа седло для ряда начальных условий. Траектории цифрового резонатора рассчитаны при 5,11 =b , 4,02 −=b . Качественно траектории аналогичны.


76

y

y

0 0,2

0,2

0,4

0,4

0,6

0,6

0,8

0,8

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

1

2

а)

x

y

б)

Рис. 3.20


77

3.1.4. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем меньшим единицы

Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней и соотношения 121 <= qq . (3.34) Комплексная сопряженность означает, что

1 1 21,2

42

b j b bq

± − −= . (3.35)

В общем случае решение разностного уравнения (3.1) имеет вид

(3.4). Постоянные 1C и 2C находятся из начальных условий согласно (3.7), (3.8). В силу вещественности функции ( )ny1 из выражения (3.4) следует, что величины 1C и 2C должны быть комплексно сопряженными,

т.е. *12 CC = . Докажем это двумя способами, воспользовавшись

соотношениями (3.7), (3.8). Первый способ доказательства. Из выражений (3.7) и (3.8) следует

( ) ( )1 1 1

11 1

0 1y q yC

q q

∗

∗

−=

−,

( ) ( )∗−

−=

11

1112

10qq

yqyC .

Значит, имеем *

12 CC = . Второй способ. Обозначим

jbaqjbaq −=+= 21 , , тогда получим

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ] .2

100201

,2

1002

10

111111

2

111111

∗=−−

=−

+−=

−+=

−−−

=

Cb

yayjbyjb

jbayyC

byayjby

jbyjbayC

(3.36)


78

Вещественную и мнимую части 1C можно найти из выражений (3.36) следующим образом: ( ) 20Re 11 yC = , (3.37)

( ) ( )

byayC

210Im 11

1−

= . (3.38)

Представим в показательной форме величину 1C :

ψ= jCC e11 (3.39) и корни характеристического уравнения: ω±= jreq 2,1 . (3.40)

Преобразуем общее решение (3.4) разностного уравнения (3.1) с учетом соотношений (3.39) и (3.40):

( ) { }

{ }1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

2Re 2Re e e

2 Re e e .

nn n n j j n

n j j n

y n C q C q C q C q

C q

∗ ∗ ψ ω

ψ ω

= + = = =

=

Следовательно, получим ( ) ( )ψ+ω= nrCny n cos2 11 . (3.41) Выразим величины r , ω, ψ и 1C через параметры (коэффициенты) системы.

Модуль и аргумент корня 1q соответственно равны

2221

212

12,1 4 bbbbrq −=−−== , (3.42)

2

1 2 1

1 2

4, cos

2b b barctg

b b− −

ω = ω−

= . (3.43)


79

Заметим, что в выражении (3.41) величина ω равна нормированной угловой частоте свободных колебаний в осцилляторе, произведение 12C есть амплитуда этих колебаний при 0=n , а величина

1

1

ImRe

CarctgC

ψ = (3.44)

есть начальная фаза. В свою очередь согласно (3.35), (3.36) имеем

( ) ( ) ( ) ( )1102021 2

1112121 yyayyb

bC +−−= ,

где 24,2 2211 bbbba −−== , т.е.

( ) ( ) ( ) ( )

221

21111

212

1 41100

bbyyybybC

−−+−−

= . (3.45)

Обратим внимание на выражение (3.35) для корней

характеристического уравнения. Комплексная сопряженность корней означает ,02 b . (3.48) Покажем на плоскости ( )21, bb область значений, удовлетворяющую одновременно условиям (3.46), (3.47) и (3.48) (рис. 3.21).


80

b

b

1

2

b =-

b2

114

2

1 2

1

-1

-2

-3

-1-2-3

Рис. 3.21

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными

уравнениями второго порядка, комплексно сопряженным характеристическим корням, удовлетворяющим условию (3.34), соответствует состояние равновесия типа устойчивый фокус. На рис. 3.21 этому состоянию удовлетворяет заштрихованная область значений параметров ( )21, bb .

Для построения траекторий произведен расчет движения цифрового осциллятора при 5,0,8,0 21 −== bb и двух начальных условиях. Результаты расчета изображены на рис. 3.22а. Фазовая траектория соответствующей непрерывной системы показана на рис. 3.22б. Характер движений обеих систем аналогичен.


81

y

y

00,2

0,4

0,4

0,6

0,6

0,8

0,8

-0,2-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,81

2

а)

x

y

б)

Рис. 3.22


82

3.1.5. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем большим единицы

Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней и соотношения 121 >= qq . (3.49) Как и в п. 3.1.4, решение разностного уравнения представляется в форме (3.41), где 1C находятся из (3.45), величина r определяется по формуле (3.42), а значения ω и ψ выражаются зависимостями (3.43) и (3.44) соответственно.

Из условия (3.49) с учетом равенства (3.42) следует 12 >− b . Поскольку обе части этого неравенства положительны, возведем их в квадрат получим 12 −<b . (3.50) Учтем также условия (3.46) и (3.47). Покажем на плоскости ( )21, bb область значений, удовлетворяющую одновременно неравенствам (3.46), (3.47) и (3.50) (рис. 3.23).

b

b

1

2

1 2

1

-1

-2

-3

-1-2-3

b =- b

2

11

4 2

Рис. 3.23

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными уравнениями второго порядка, комплексно сопряженным корням с модулем большим единицы соответствует состояние равновесия типа неустойчивый фокус. На рис. 3.23 этому состоянию удовлетворяет заштрихованная область значений параметров ( )21, bb .


83

На рис. 3.24а изображены траектории движения системы с параметрами 8,01 =b , 5,12 −=b для двух начальных условий.

y 10

00,2 0,4

0,4

0,6

0,6

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,8

2

y 101

а)

x

y

б)

Рис. 3.24


84

Для сравнения на рис. 3.24б показана фазовая траектория непрерывной системы второго порядка в окрестности состояния равновесия типа неустойчивый фокус. Характер движения цифрового осциллятора близок к движению непрерывной системы.

3.1.6. Бифуркационная диаграмма состояний равновесия

Исследования, выполненные в п. 3.1.1–3.1.5, позволяют установить зависимость характера состояний равновесия от параметров цифрового осциллятора на всей плоскости ( )21, bb . Для этого надо объединить рис. 3.6, 3.12, 3.16, 3.19, 3.21 и 3.23. Получаемая в результате картина, называемая бифуркационной диаграммой состояний равновесия, изображена на рис. 3.25.

b

bb =- b +1

2

1

1

2

b =-

b

2

114

2

1 2

1

-1

-3

-1-2-3

b =b +

1

21

Фокусыустойчивые

Фокусынеустойчивые

Узлыустойчивые

Узлынеустойчивые

Седла Седла



A

B

C

Рис. 3.25

Необходимым и достаточным условием устойчивости состояния

равновесия является неравенство 12,1 <q . На бифуркационной диаграмме ему соответствует так называемый треугольник устойчивости АВС. Состоянию равновесия типа устойчивый фокус соответствуют комплексно сопряженные корни характеристического уравнения.


85

Условием этого являются неравенства (3.46) и (3.47), т.е. этому условию отвечают точки плоскости ( )21, bb , которые лежат внутри параболы АОС. Состоянию равновесия типа устойчивый узел соответствуют вещественные корни характеристического уравнения. Это выполняется при условии (3.14).

Бифуркационная диаграмма позволяет наглядно судить об изменениях характера состояний равновесия в зависимости от изменений параметров 1b , 2b . Так, при 02 >b с увеличением параметра 1b от отрицательных значений седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый, который при дальнейшем увеличении 1b может опять перейти в седло и т.д. Значения параметров 1b , 2b , при которых происходит переход из одной области в другую, называются бифуркационными. Это обстоятельство и определяет название диаграммы.

3.1.7. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем равным единице

Рассмотрим случай комплексно сопряженных корней и 121 == qq . (3.51)

В соответствии с формулой (3.42) при этом 12 −=b , 1=r . На бифуркационной диаграмме (рис. 3.25) этому случаю соответствует отрезок AC. Данный режим представляет собой незатухающие колебания, изменяющиеся по закону (см. (3.41)): ( ) ( )ψ+ω= nCny 011 cos2 .

Здесь 1C находится с помощью выражения (3.45). Как и в

аналоговом гармоническом осцилляторе, здесь 0ω – нормированная резонансная частота гармонического цифрового осциллятора. Согласно (3.43) она равна

1

21 4

0 arctg bb +−

=ω ,

соответственно 20

1cos b=ω . (3.52)


86

Согласно теории динамических систем, описываемых разностными

уравнениями второго порядка, комплексно сопряженным корням характеристического уравнения с модулем равным 1 соответствует состояние равновесия типа центр.

Получим уравнение траекторий движения ( )12 yy ϕ= . Введем замену 112 YC = . При 12 −=b матричное уравнение (3.11) принимает вид

( ) ( )( )

( )( )

−

=

++

=+nyny

bnyny

nY2

1

12

1

110

11

1 .

Поскольку справедливо соотношение (3.9), т.е. ( ) ( )112 += nyny , а

( ) ( )ψ+ω= nYny 011 cos , то получим ( ) ( )ψ+ω+ω= 0012 cos nYny . (3.54)

Преобразуем это выражение:

( ) ( ) ( )

( ) ( ).sinsincossinsincoscos

00110

0010012

ψ+ωω−ω=ωψ+ω−ωψ+ω=

nYnynYnYny

Последнее выражение можно записать в виде

( ) ( ) ( )ψ+ω−=

ωω− nYnyny

010

102 sinsincos

.

Поскольку имеем ( ) ( )ψ+ω= nYny 011 cos , то, возведя в квадрат обе части двух последних равенств и сложив почленно их левые и правые части, получим

( ) ( ) ( ) 2

121

2

0

102sincos Ynynyny

=+

ωω

,

или ( ) ( )[ ] ( ) 0

221

210

22102 sinsincos ω=ω+ω− Ynynyny .

Преобразуем это выражение:


87

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

2 0 1 2 0 1 0 1

2 21 0

2cos cos sin

sin ,

y n y n y n y n y n

Y

− ω + ω + ω =

= ω

т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) 0

221

21210

22 sincos2 ω=+ω− Ynynynyny .

Учитывая, что из (3.52) следует 01 cos2 ω=b , получим, опуская n ,

−=+−

41

212

122211

21

bYyyyby . (3.55)

Получили уравнение второй степени, описывающее линию эллиптического типа.

Для доказательства этого воспользуемся общим уравнением кривых второго порядка 0222 22 =+++++ feydxcybxyax , описывающим эллипс (в частном случае окружность), гиперболу, параболу или пару прямых.

Инварианты кривой второго порядка выражается зависимостями

2, ,a b d

a bb c e ac b S a c

b cd e f

∆ = δ = = − = + .

Признаками эллипса являются следующие условия: 0, 0, 0S∆ ≠ δ > ∆ ⋅ < . В нашем случае имеем

2

2 11 11, 2, 1, 0, 0, 1

4ba b b c d e f Y

= = − = = = = − −

.

Значит,


88

1 2

12 11 1

122 1

1

1 2 01 2

2 1 0 12 14

0 0 14

bbbb Y

bbY

−−

∆ = − = − − = −

− −

22

2 11 1 ,

4bY

= − −

211,4

112

21 21

1

1 =+=−=−

−=δ Sb

bb

.

При 1 2b < имеем 0, 0, 0S∆ < δ > ⋅ ∆ < , что подтверждает эллиптический тип кривой (3.55).

Поворотом координатных осей на угол θ эту кривую можно привести к каноническому уравнению эллипса

12

22

2

21 =

β+

αxx

, (3.56)

где ( )21, xx – новая система координат, α и β – большая и малая полуоси эллипса соответственно.

Преобразование координат определяется известной зависимостью [ ]XCY = или

θθθ−θ

=

2

1

2

1

cossinsincos

xx

yy

.

Здесь [ ]C – матрица вращения на угол θ . Преобразуем правую часть, используя правило умножения матриц:


89

θ+θθ−θ

=

θθθ−θ

cossinsincos

cossinsincos

21

21

2

1

xxxx

xx

.

Следовательно, имеем

θ+θ=θ−θ=

212

211

cossinsincos

xxyxxy

.

Возведем в квадрат обе части этих равенств:

.cossincos2sin

sinsincos2cos22

221

21

222

22

221

21

221

xxxxy

xxxxy

θ+θθ+θ=

θ+θθ−θ=

Перемножив почленно левые и правые части, получим ( ) 2

221222

121 cossinsincossincos xxxxyy θθ−θ−θ+θθ= . Подставив эти соотношения в левую часть уравнения (3.55), получим

( ) ( )

2 2 2 21 2 1 1 1 2

2 2 2 21 1 2 1 1

cos sin cos sin1cos sin 4 .4

x x b x b x

b x x Y b

+ − θ θ + θ θ −

− θ − θ = −

Для ликвидации перекрестного члена необходимо выполнение равенства

0sincos 22 =θ−θ , т.е. 4π

±=θ .

Положим 4π

θ = , что означает выполнение равенства 1cos sin2

θ⋅ θ = . С

учетом этого получим уравнение траектории движения в новой системе координат:

( )21

21

22

121

122

21 4

41

22bYxbxbxx −=+−+

или

( )21

21

22

121

1 441

21

21 bYxbxb

−=

++

− .


90

Это уравнение приводится к каноническому виду (3.56), где

( )( )

( )( )

2 21 1

2 21 1

1

2 21 1

2 21 1

1

1 4 14 2 ,1 2 2

1 4 14 2 .1 2 2

Y bY b

b

Y bY b

b

−α = = +

−

−β = = −

+

Таким образом, новая координатная система ( )21, xx оказывается повернутой относительно системы ( )21, yy на угол 45°. В качестве иллюстрации на рис. 3.26 изображен график траектории движения в координатных системах ( )21, yy и ( )21, xx .

y

xyx

451

122

Рис. 3.26

Напомним, что величина 1C (а следовательно, и 1Y ) связана с начальными условиями согласно формуле (3.36).

Определим max2y . Согласно (3.54) имеем


91

( ) ( )ψ+ω+ω= 0012 cos nYny , следовательно, 2 max 1y Y= . Вследствие симметрии эллипса имеем

1max2max1 Yyy == . Выразим 1Y через параметр 1b и начальные условия. Воспользуемся

уравнением (3.55). Оно справедливо при любых n , в том числе и 0=n , т.е.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 2 2 1 1

10 0 0 0 4 ,4

y b y y y Y b− + = −

т.е.

( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 1 1 2 221 2

1

0 0 0 014 4

y b y y yY

b− +

=−

.

Это выражение соответствует (3.45) для 1C . Оно преобразуется к виду

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

1

221

1

221

1 200

200

byy

byyY

−−

+++

= .

В качестве иллюстрации на рис. 3.27 изображены траектории движения цифрового осциллятора с параметрами 684,01 =b , 12 −=b .

y1

y2

0 0,2

0,2

0,4

0,4

0,6

0,6

0,8

0,8

-0,2-0,2

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,8

Рис. 3.27


92

В общем случае произвольных начальных условий плоскость ( )21, yy заполнена вложенными друг в друга эллипсами, за исключением точки 01 =y , 02 =y ; "проходящий" через эту точку эллипс сам выражается в точку. Наличие на плоскости состояний замкнутых траекторий движения указывает на существование периодических движений. Следовательно, в окрестностях особой точки, соответствующей значению параметра 12 −=b , происходят периодические движения с эллиптическими траекториями, соответствующими гармоническим колебаниям.

3.2. Вынужденные колебания при гармоническом воздействии

Рассмотрим колебания, возникающие в линейной динамической системе под действием гармонической внешней силы. Полагаем, что параметры (коэффициенты) 1b и 2b выбираются внутри треугольника устойчивости АВС (см. рис. 3.25). Получим сведения о частотной характеристике системы, явлении резонанса. Анализируя резонансные законы, установим важные для практического использования связи между параметрами системы и ее частотными свойствами.

На с.55 отмечалось, что колебания в линейном цифровом осцилляторе (см. рис. 3.1) под действием внешней силы описываются разностным уравнением ( ) ( ) ( ) ( )nybnybnxny 12111 122 ++++=+ . (3.57) Считаем внешнее воздействие гармоническим и имеющим вид

( ) ( )2cos2 +ω=+ nXnx . Определим вынужденные колебания, воспользовавшись, как и в непрерывной системе, методом комплексных амплитуд. При этом входное воздействие и реакцию системы представим в комплексной форме ( ) ( )2e2 +ω=+ njXnx , (3.58) ( ) ( )2

1 12 e j ny n Y ω ++ = . (3.59) Подставим выражения (3.58) и (3.59) в уравнение (3.57). Полагая

( ) ( ) 000 21 == yy , получим ( ) ( ) ( )2

121

112

1 eeee +ωω+ω+ω =−− njnjnjnj XYbYbY ,


93

или ( ) ( ) ( ) ( )222

122

112

1 eeeeee +ω+ωω−+ωω−+ω =−− njnjjnjjnj XYbYbY . Сократив обе части этого выражения на ( )2e +ω nj , получим XYbYbY jj =−− ω−ω− 2

12111 ee .

Следовательно, комплексная амплитуда реакции системы определяется соотношением

ω−ω− −−= 2

211 ee1 jj bb

XY (3.60)

и зависит от амплитуды и частоты внешнего воздействия и от параметров системы. Найдем модуль этой величины:

( ) ( )

1 2 21 2 1 21 cos cos 2 sin sin 2

XYb b b b

=− ω − ω + ω + ω

.

Исследуем частотную характеристику и резонансные явления в системе.

3.2.1. Частотная характеристика

Частотные свойства осциллятора определяются функцией ( ) ( ) ( )ωωω = jjj XYH eee 1

, называемой частотной характеристикой. В разделе 2 на с.51 отмечалось, что модуль ее есть амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы, т.е. ( ) ( ) ( )ωω=ω XYH 1 .

Работаем с функцией

( )( ) ( )2

212

21

2

2sinsin2coscos11

ω+ω+ω−ω−=ω

bbbbH .

Обозначим знаменатель ее функцией )(2 ωϕ . После преобразования эта функция примет вид ( ) ( ) ( ) 2

12

2212

22 1cos12cos4 bbbbb +++ω−+ω−=ωϕ .

Обозначим ω= cosa , (3.61)


94

тогда )(2 ωϕ обратится в функцию ( ) ( ) 2

12

2212

22 1124)( bbabbaba +++−+−=ϕ . (3.62)

Найдем ее производную по a :

( )128d

)(d212

2−+−=

ϕ bbaba

a.

Экстремум этой функции соответствует

0d

)(d 2=

ϕa

a, т.е. ( ) 0128 212 =−+− bbab p .

Здесь pa – косинус резонансной частоты цифрового осциллятора. Последнее уравнение позволяет определить его величину:

( )

2

214

1cosb

bba pp−

=ω= . (3.63)

Заметим, что при 12 −=b имеем 21bap = и величина

pp aarccos=ω совпадает с резонансной частотой 0ω гармонического осциллятора, определяемой по формуле (3.52). График зависимости pω от

pa изображен на рис. 3.28. Введем обозначения

( ) ( ) 1,12=,4 2

12

2212 bbCbbBbA ++=−= . (3.64) Тогда выражение (3.62) примет вид ( ) CBaAaa ++−=ϕ 22 , а вместе с ним и

( )CBaAa

aH++−

= 22 1

.


95

Вид этой функции зависит от знака дискриминанта ACB 422 +=∆ и параметров системы. В нашем случае ( ) ( )2

122

2 414 bbb ++=∆ ,

следовательно, при 212 4

1 bb −< имеем 0<∆ и 0>∆ при 212 4

1 bb −> .

При 0<∆ функция ( )aH 2 (а вместе с ней и функция ( )ω2H ) описывает резонансную кривую полосового (пропускающего) фильтра, при 0>∆ ,

02 >b – режекторного (заграждающего) фильтра, при 0>∆ , 01 >b , 02 ∆ , 01 <b , 02 <b – фильтра

верхних частот. На рис. 3.29 показано разбиение треугольника устойчивости на области, соответствующие указанным четырем типам фильтров.

0 0,5 1-0,5-1

0,5

ω /πρ

aρ

1

Рис. 3.28

b11 2

1

-1

-1-2

Полосовойфильтр

Режект.фильтр

b2

Фильтрверхнихчастот

Фильтрнижних

частот

Рис. 3.29


96

Ниже рассматриваются частотные свойства полосового и режекторного фильтров. Примерный вид резонансных кривых полосового и режекторного фильтров показан на рис. 3.30а и б соответственно.

1-1

1

0

0

H a( )

a

2

ωπ

∆<0

а)

1-1

1

0

0

H a( )

a

2

ωπ

∆>0b >01

б)

Рис. 3.30


97

Резонансу в системе соответствует равенство ( ) CBaAaa ppp ++−=ϕ 22 . Из обозначений (3.64) имеем

22 pp AaBa = , следовательно, ( ) CAaa pp +=ϕ 22 . Заметим, что при 12 −=b имеем

( ) 02 =ϕ pa , т.е. функция ( )paH 2 не имеет физического смысла. Значит, в этом случае цифровой осциллятор обладает свойствами консервативной системы второго порядка.

На практике удобно пользоваться нормированной АЧХ, квадрат которой в нашем случае описывается выражением

( )( ) CBaAa

CAaaHaH p

p ++−

+= 2

2

2

2. (3.65)

В качестве иллюстрации на рис. 3.31 приведены графики функций

( ) ( )pHH ωω 22 для 6,02 −=b и трех значений коэффициента 1b , соответствующих 0<∆ , т.е. полосовому фильтру.

Аналогичные зависимости для режекторного фильтра при 4,02 =b и трех значениях коэффициента 1b изображены на рис. 3.32.

В разделе 2 на с.34 указывалось, что исключительной особенностью цифровой системы является периодичность частотной характеристики с периодом 2π , обусловливающая необходимость выполнения требований однозначности. Применительно к выражению (3.65) это означает, что функция ( ) ( )paHaH 22 имеет смысл при 1≤a , 1≤pa , а

соответствующая ей функция ( ) ( )pHH ωω 22 – при π≤ω≤π≤ω≤ p0, 0 . Последнее обстоятельство накладывает

ограничения на область параметров ( )21, bb , для которой справедливо выражение (3.65).


98

H

H

p

b =-0,6

b = 00,51

Рис. 3.31

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

HH

2

2p

b = 0,4

b = 0,4b = -0,4

0,4 -0,4

0 0

10

8

6

4

2

Рис. 3.32


99

Области однозначности резонансной частоты соответствует условие (см. формулу (3.63))

( ) 14

1

2

21 ≤−

bbb

.

Отсюда следуют соотношения

( )

( )

1 2

2

1 2

2

11

41

1,4

b bb

b bb

−≤

− ≥ −

или, т.к. 012 <−b ,

−−≤

−≥

.1

14

11

4

22

1

22

1

bbb

bbb

Если 02 >b (режекторный фильтр), то имеем

−−≤

−≥

.1

41

4

2

21

2

21

bbb

bbb

В полосовом фильтре (при 02 <b ) должны выполняться условия

−−≥

−≤

.1

41

4

2

21

2

21

bbb

bbb


100

Область параметров ( )21, bb внутри треугольника устойчивости, для которой π≤ω≤ p0 , показана на рис. 3.33 в виде незаштрихованной зоны.

-0,8

-0,40,4 0,8 1,2 1,6 2-0,4-0,8-1,2-1,6-2

0,4

0,8

b2

b1

b =- b2142 1

Рис. 3.33

3.2.2. Анализ резонансных законов

Резонансные свойства принято оценивать с помощью добротности Q колебательной системы, которую для рекурсивной системы второго порядка можно ввести как

1212 arccosarccos

arccosaa

aQ pp

−=

ω−ω

ω= . (3.66)

Здесь величины 2,1ω , 2,1a находятся из резонансной кривой. При этом необходимо рассмотреть два случая.

1. Полосовой фильтр (т.е. 0<∆ , 212 4

1 bb −< ). Величины 2,1ω , 2,1a

соответствуют границам полосы пропускания фильтра по уровню 21 от максимального уровня. Значения их определяются из равенства

21

2

2

=++−

+

CBaAaCAap

и являются корнями квадратного уравнения 02 =−−+− pBaCBaAa ,


101

т.е.

( )

AaBCABB

a p

24 2

2,1 −

+−±−= .

Графики зависимостей ( )1bQ при ряде значений коэффициента 2b показаны на рис. 3.34а.

40

30

20

10b

-0,9

-0,6-0,8

Q

-1 - 0,5 0,50 1-2 1,5-1,5 2

50b = - 0,952

1

а)

b

b =-1,8

0

1,51,8

-0,8 - 0,6-1

1

-1

- 0,4 - 0,2

40

30

20

10

Q50

1

2

б)

Рис. 3.34


102

С ростом величины 1b добротность фильтра уменьшается, и тем значительнее, чем значение 2b ближе к 1− . На рис. 3.34б изображены графики функции ( )2bQ для нескольких значений 1b . C увеличением коэффициента 2b добротность фильтра также уменьшается и особенно резко – в области значений 2b , близких к 1− .

Резонансную кривую удобно изображать как функцию относительной расстройки:

pp a

a arccos arccos

=ωω

=γ . (3.67)

Тогда формула добротности примет вид

12

1γ−γ

=Q , (3.68)

принятый в классической теории колебаний.

Как и в аналоговых резонансных системах, здесь уместно ввести понятие полосы пропускания (ширины резонансной кривой) системы

122 ω−ω=ω∆ и относительной ширины резонансной кривой 12 γ−γ . Ширина резонансной кривой есть мера избирательности колебательной системы. Она характеризует область тех частот, для которых энергия вынужденных колебаний будет больше 50% энергии колебаний при резонансе для той же амплитуды внешнего воздействия. С учетом этого понятия формула добротности (3.66) может быть записана как

ω∆

ω=

2pQ . (3.69)

Квадрат нормированной АЧХ выразится через γ следующим

образом:

( )( ) Ccoscos2

2

2

2

+γω+γω−

+=

γ

pp

p

p BCCAa

aHH

. (3.70)

Графики этой функции для 6,02 −=b и трех значений параметра 1b приведены на рис. 3.35.


103

b =-0,6

b = 1

0,50

HH a

p

Рис. 3.35

2. Режекторный фильтр (т.е. 0>∆ , 02 >b ). Величины 2,1ω , 2,1a ,

входящие в формулу (3.66), соответствуют границам полосы задерживания фильтра по уровню 2 от минимального уровня. Значения их определяются из равенства

22

2

=++−

+

CBaAa

CAa p

и являются корнями уравнения 02 22 =−−+− pAaCBaAa , т.е.

( )

AaACABB

a p

22 22

2,1 −

−+±−= .


104

И здесь уместно ввести относительную расстройку γ по формуле (3.67), добротность колебательной системы Q по формуле (3.68), ширину ω∆2 и относительную ширину 12 γ−γ резонансной кривой и с учетом этого использовать соотношение (3.69).

Квадрат нормированной АЧХ как функции относительной расстройки γ и здесь выражается зависимостью (3.70). Графики этой функции для 4,02 =b и трех значений параметра 1b (величины 1b и 2b совпадают с рис. 3.32) показаны на рис. 3.36.

Специфическим для цифровых колебательных систем в обоих случаях является следующее обстоятельство: понятие добротности имеет смысл, если 01 ≥ω , π≤ω2 , т.е. при 01 ≥γ , pωπ≤γ2 . Это накладывает ограничения на область параметров 21, bb , для которой справедливы выражения (3.66), (3.68) и (3.69).

HHa

p

b = 0,4

b = 0,4b = -0,4

0,4 -0,4

0 0

Рис. 3.36


105

-0,8

-0,40,4 0,8 1,2 1,6 2-0,4-0,8-1,2-1,6-2

0,4

0,8

b2

b1

b =- b2142 1

Рис. 3.37

Для выявления закономерностей произведен расчет величин 2,1ω

при различных сочетаниях параметров внутри треугольника устойчивости ABC (рис. 3.25). Область параметров 21, bb , для которой справедливо понятие добротности, показана на рис. 3.37 в виде незаштрихованной зоны.

Таким образом, в режиме вынужденных колебаний линейный цифровой осциллятор может обладать свойствами фильтров нижних (при

0>∆ , 01 >b , 02 >b ) и верхних (при 0>∆ , 01 ∆ , 02 >b ) фильтров. При использовании понятия резонансной частоты, ширины резонансной кривой и добротности необходимо учитывать диапазон однозначности частотной оси π≤ω≤0 .


106

4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим процессы в рекурсивных системах второго порядка с нелинейным сумматором в отсутствие внешнего воздействия. Структурная схема нелинейной рекурсивной системы второго порядка изображена на рис. 4.1. Эта схема отличается от приведенной на рис. 3.1 только наличием блока ( )ϕf , характеризующего нелинейность характеристики сумматора.

y n+( 2)0

y n+( 1)

1

1

b1

z-1

f( )

y n( )1

b1z-1

Рис. 4.1

Полагаем, что сумматор имеет характеристики с насыщением или

пилообразную, которые выражаются функциями (2.1) и (2.2) и графически изображаются, как показано на рис. 2.2 и 2.3 соответственно. Свободные колебания в таких системах описываются разностным уравнением ( ) ( ) ( )( )nybnybfny 12111 12 ++=+ (4.1) с ненулевыми начальными условиями ( )01y и/или ( )11y .

Динамические процессы в нелинейных системах второго порядка исследуем с помощью следующей методики. Характеристику сумматора разбиваем на 3 линейных участка, описываемых функциями ( )ϕf согласно табл. 4.1.


107

Таблица 4.1 Разбиение характеристики сумматора

Участок Вид характеристики

С насыщением Пилообразная обл. знач. ϕ функция ( )ϕf обл. знач. ϕ функция ( )ϕf

I 1−≤ 1− [ )1;3 −− 2+ϕ II ( )1,1− ϕ [ )1;1− ϕ III 1≥ 1 [ )3;1 2−ϕ

Введем функцию (2.9), т.е. ( ) ( )112 += nyny . Как и в разделе 3,

процессы рассматриваем на плоскости состояний ( )21, yy , которую, однако, разобьем на области I, II, III, соответствующие участкам характеристики сумматора. Расположение этих областей на плоскости состояний играет решающую роль в протекании динамических процессов.

Получим выражения для границ областей. Граница областей I и II может быть получена из условия 12112 −=+ ybyb , откуда следует

1

11

22

1b

ybby −−= .

Назовем эту прямую MN . Заметим, что сама граница для характеристики (нелинейности) с насыщением принадлежит области I, а в случае пилообразной характеристики (нелинейности) – области II.

Соответственно уравнение границы областей II и III получим из условия 12112 =+ ybyb , откуда имеем

1

11

22

1b

ybby +−= .

Назовем эту прямую PG . Сама граница принадлежит области III для обоих видов характеристики (нелинейности).

Динамический режим характеризуется перемещением изображающей точки на плоскости состояний. При этом принадлежность каждой начальной точки определенной области этой плоскости позволяет


108

при известных значениях 1b и 2b однозначно найти положение последующей точки, поскольку правило движения в каждой области задается исходным уравнением (4.1) с учетом данных о функции ( )ϕf , содержащихся в табл. 4.1.

Следует отметить, что вид рассматриваемых нелинейностей определяет особую роль на плоскости состояний ( )21, yy квадрата

( ) ( ) ( ) ( )1,11,11,11,1 −−−− DCBA . Принадлежность углов этого квадрата определенным областям плоскости ( )21, yy обусловливает область параметров (коэффициентов) ( )21, bb с характерным видом движений.

4.1. Система с нелинейностью с насыщением

Если сумматор имеет характеристику с насыщением вида (2.1), то уравнения движения в областях I, II, и III согласно (4.1) и табл. 4.1 соответственно имеют вид

( ) ( )( )

−=+=+

,111

2

21

nynyny

(4.2)

( ) ( )( ) ( ) ( )

+=+=+

nybnybnynyny

11212

21

11

и

( ) ( )( )

1 2

2

11 1 .

y n y ny n

+ = + =

(4.3)

Рассмотрим возможные движения в системе.

1. Пусть 5221 == bb . Уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид 2512 yy −= . Соответствующее этому сочетанию параметров 1b , 2b расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 4.2а.

Из этого рисунка видно, что квадрат ABCD полностью располагается в области II. Поскольку параметры 1b , 2b выбраны внутри треугольника устойчивости (рис. 3.25), все движения стремятся к началу координат. Следовательно, система имеет единственное состояние равновесия – состояние покоя – и оно является асимптотически устойчивым.


109

y

y

1

2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

G

N

M

III

III

0

а)

b

b

1

2

1-1

1

-1

б)

Рис. 4.2


110

Определим область значений параметров ( )21, bb , когда на плоскости состояний квадрат ABCD располагается в области II. Согласно табл. 4.1 для точки A выполняются условия 11 21 <+<− bb , т.е.

+−<−−>

,11

12

12

bbbb

(4.4)

а для точки B имеем 11 21 <+−<− bb , т.е.

+<−>

.11

12

12

bbbb

(4.5)

Нетрудно показать, что для точек C и D должны выполняться условия (4.4) и (4.5) соответственно. Искомая область параметров ( )21, bb изображена заштрихованной рис. 4.2б.

2. Пусть 11 =b , 212 −=b . Уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид 121 12 yy = . Расположение областей I–III на плоскости ( )21, yy показано на рис. 4.3а. Поскольку параметры системы выбраны внутри треугольника устойчивости, движения, начинающиеся в области II, стремятся к началу координат.

Если изображающая точка стартует из области I или III, то в силу уравнений движения в этих областях (4.2) и (4.3) она после первого шага оказывается в области II и далее стремится к началу координат. Следовательно, система имеет единственное состояние равновесия – состояние покоя – и оно асимптотически устойчиво.

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую данному расположению областей I–III относительно квадрата ABCD на плоскости ( )21, yy . Согласно табл. 4.1 для точки A выполняются условия (4.4), а для точки B имеем 121 ≤+− bb , т.е. 112 −≤ bb . (4.6)

Вследствие симметричности характеристики сумматора здесь и ниже условия для точек C и D совпадают с таковыми для точек A и B .


111

Найденным условиям внутри треугольника устойчивости соответствует заштрихованная на рис. 4.3б область.

y

y

1

2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

G

N

MIII

III

0

а)

b

b

1

2

1

-1

1

-1

20

б)

Рис. 4.3


112

3. Пусть 11 −=b , 212 −=b . Уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид 121 12 ±−= yy . Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 4.4а. Поскольку параметры системы выбраны внутри треугольника устойчивости, движения, начинающиеся в области II, стремятся к началу координат.

Если изображающая точка стартует из области I или III, то после первого шага она оказывается в области II и далее стремится к началу координат. Следовательно, система имеет единственное состояние равновесия – состояние покоя – и оно асимптотически устойчиво.

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A имеем 121 −≤+ bb , т.е. 112 −−≤ bb , (4.7) а для точки B выполняется условие (4.5). Искомая область параметров внутри треугольника устойчивости показана заштрихованной на рис. 4.4б.

4. Пусть 11 =b , 212 =b . Уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид 121 12 yy −= . Расположение областей I–III на плоскости ( )21, yy изображено на рис. 4.5а.

При старте из точек A или C , в силу уравнения движения в этих областях (4.3) или (4.2) соответственно, система сохраняет начальное состояние и на выходе ее имеем колебания с периодом 1 и мгновенными значениями соответственно +1 или -1, которые будем обозначать ( )11=T или ( )1 1T = − соответственно. При старте из точек, принадлежащих областям III или I, изображающая точка переходит в точку A или C соответственно не позднее, чем на втором шаге.

Поскольку коэффициенты 1b , 2b выбраны за пределами треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III. Последующий процесс описан выше. Следовательно, динамическая система имеет 2 суперустойчивых состояния равновесия в точках A или C , а на выходе ее в установившемся режиме существуют колебания с периодом один вида

( )11=T или ( )11 −=T соответственно.


113

y

y

1

2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

G

N

M

I

IIIII

0

а)

b

b

1

2

1-1

1

-1

-2 0

б)

Рис. 4.4


114

y

y

1

2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

G

N

M

I II

III

0

а)

b

b

1

2

1

-1

1

-1

0

б)

Рис. 4.5


115

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости ( )21, yy . Для точки A имеем 121 ≥+ bb , т.е. 112 +−≥ bb , (4.8) а для точки B выполняются условия (4.5). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 4.5б.

5. Пусть 11 −=b , 212 =b . В этом случае уравнения прямых MN и PG имеют соответственно вид 121 12 ±= yy . Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 4.6а.

Пусть изображающая точка стартует из точки B , тогда

( )( )

−==

.1010

2

1

yy

Поскольку эта точка принадлежит области III, согласно (4.3) получим

( ) ( )( )

=−==

.11101

2

21

yyy

Изображающая точка переместилась в принадлежащую области I точку D . Далее на основании (4.2) получим

( ) ( )( )

−===

.12112

2

21

yyy

Следовательно, изображающая точка снова оказалась в точке B . Далее процесс повторяется. Это колебательный процесс с периодом 2=T вида

→→→ DB .


116

y

y

1

2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

G

N

M

I

II III

0

а)

b

b

1

2

1-1

1

-1

0

б)

Рис. 4.6


117

При старте из других точек, принадлежащих областям I или III, изображающая точка переходит в точку B или D не позднее, чем на втором шаге. Поскольку коэффициенты 1b , 2b выбраны за пределами треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III. Последующий процесс описан выше. Таким образом, при выбранных коэффициентах 1b ,

2b динамический режим характеризуется двумя суперустойчивыми инвариантными точками B и D . На выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом 2=T вида

→−→→ 11 . Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую

данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняются условия (4.4), а для точки B имеем 121 ≥+− bb , т.е. 112 +≥ bb . (4.9) Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 4.6б.

6. Пусть 231 =b , 02 =b . В этом случае уравнения прямых MN и PG имеют вид соответственно 322 =y . Расположение областей I–III на плоскости ( )21, yy изображено на рис. 4.7а.

При таком разбиении плоскости состояний закономерности движений изображающей точки совпадают с приведенными в п. 4. Следовательно, динамическая система имеет 2 суперустойчивых состояния равновесия в точках A и C , а на выходе ее в установившемся режиме существуют колебания с периодом один вида ( )11=T или

( )11 −=T соответственно. Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую

данному расположению областей I-III на плоскости ( )21, yy . Для точки A выполняется условие (4.8), а для точки B – условие (4.6). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 4.7б.


118

y2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

DP G

NM

I

II

III

0

а)

b

b

1

2

1

1

-1

20

б)

Рис. 4.7


119

7. Пусть 231 −=b , 02 =b . В этом случае уравнения прямых MN и PG соответственно имеют вид 322 ±=y . Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 4.8а.

При таком разбиении плоскости ( )21, yy закономерности движений изображающей точки совпадают с приведенными в п. 5. Следовательно, динамический режим характеризуется двумя суперустойчивыми точками B и D . На выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом 2=T вида →−→→ 11 .

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняется условие (4.7), а для точки B – условие (4.9). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 4.8б.

8. Пусть 01 =b , 232 =b . В этом случае уравнения прямых MN и PG имеют вид соответственно 321 =y . Расположение областей I–III на плоскости ( )21, yy изображено на рис. 4.9а.

Здесь точки A и C принадлежат тем же областям, что и в п. 4, и при старте из них система сохраняет начальное состояние. На выходе ее имеем колебание с периодом 1 и мгновенными значениями 1+ или 1− . Точки B и D располагаются в тех же областях, что и в п. 5, и при старте из них в системе возникают колебания с периодом 2=T вида →→→ DB .

При старте из других точек областей I–III изображающая точка за конечное число итераций переходит в зависимости от начальных условий в один из углов квадрата ABCD . Поскольку коэффициенты 1b и 2b выбраны за пределами треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число итераций переходит в область I или III. Последующий процесс описан выше.

Следовательно, при выбранных коэффициентах 1b и 2b динамический режим характеризуется в зависимости от начальных условий суперустойчивыми состояниями равновесия в точках A или C , или двумя суперустойчивыми инвариантными точками B и D . На выходе системы по окончании переходных процессов устанавливаются колебания соответственно с периодом один вида ( )11=T или ( )11 −=T или с периодом 2=T вида →−→→ 11 .

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую данному расположению областей I–III относительно квадрата ABCD на плоскости состояний. Согласно табл. 4.1 для точки A выполняется условие (4.8), а для точки B – условие (4.9). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 4.9б.


120

y2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P G

NM

I

II

III

0

а)

b

b

1

2

-1

1

-1

-2 0

б)

Рис. 4.8


121

y

y2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

GN

M

III

III

0

а)

b

b

1

2

-1

1

1

2

0

б)

Рис. 4.9


122

9. Пусть 01 =b , 232 −=b . При этом уравнения прямых MN и PG имеют вид 1 2 3y = ± . Расположение областей I–III на плоскости состояний показано на рис. 4.10а.

Определим динамические режимы в системе. Пусть изображающая точка стартует из точки A , тогда

( )( )

==

.1010

2

1

yy

Поскольку эта точка принадлежит области I, воспользовавшись (4.2), получим

( )( )

−==

.1111

2

1

yy

Изображающая точка переместилась в точку B и осталась в области I, значит,

( )( )

−=−=

.1212

2

1

yy

Изображающая точка оказалась в точке C , расположенной в области III, поэтому согласно (4.3) имеем

( )( )

=−=

.1313

2

1

yy

Изображающая точка перешла в точку D и осталась в области III, следовательно,

( ) ( )( ) ( )

====

.014014

22

11

yyyy

Таким образом, изображающая точка снова оказалась в точке A .

Далее процесс повторяется. Это колебательный процесс с периодом 4=T вида →→→→→ DCBA .


123

y2

1 2-1-2

1

2

-1

-2

A

BC

D

P

G N

M

III

III

0

а)

b

b

1

2

-1

-1

1

-2

0

б)

Рис. 4.10


124

При старте из других точек, расположенных в областях I и III, изображающая точка за конечное число итераций переходит в зависимости от начальных условий в один из углов квадрата ABCD . Далее устанавливаются колебания с периодом 4=T .

Поскольку параметры системы 1b и 2b выбраны за пределами треугольника устойчивости, при старте из области II изображающая точка удаляется от начала координат и за конечное число шагов переходит в зависимости от начального состояния в область I или III. Последующий процесс описан выше. Таким образом, при выбранных значениях коэффициентов 1b и 2b динамический режим характеризуется четырьмя суперустойчивыми инвариантными точками A , B , C и D . На выходе системы после окончания переходных процессов имеем колебания с периодом 4=T вида →−→−→→→ 1111 .

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую данному расположению областей I–III на плоскости состояний. Для точки A выполняется условие (4.7), а для точки B – условие (4.6). Этим соотношениям удовлетворяет заштрихованная область на рис. 4.10б.

10. Осталось рассмотреть 2 области параметров ( )21, bb . Первая из них удовлетворяет условиям (4.4) и 12 −<b , вторая область – условиям (4.5) и 12 −<b . Первой из них на плоскости состояний ( )21, yy соответствует расположение областей I–III, приведенное на рис. 4.3а, а второй – расположение, приведенное на рис. 4.4а.

Каждая из этих областей параметров ( )21, bb разбивается на множество подобластей с определенными периодами суперустойчивых колебаний. Спектр периодов колебаний достаточно широк (от единиц до сотен). Бифуркационные кривые симметричны относительно оси ординат. Качественные бифуркационные диаграммы рассматриваемых областей приведены на рис. 4.11. Более подробные сведения о соответствующих колебаниях можно получить в специальной литературе, в том числе и из приведенного в настоящем издании списка.

11. Исследования, выполненные выше, позволяют установить зависимость периодов движений от параметров нелинейной рекурсивной системы второго порядка на всей плоскости ( )21, bb . Для этого надо объединить рис. 4.2б, 4.3б, 4.4б, 4.5б, 4.6б, 4.7б, 4.8б, 4.9б, 4.10б и 4.11. Получаемая в результате картина, называемая бифуркационной диаграммой периодов колебаний, изображена на рис. 4.12. Здесь обведены цифры, означающие величину периода колебаний T , цифрой ноль обозначено состояние покоя.


125

b

b

1

2

-1

1

1-20

2

Рис. 4.11

b

b

1

2

-1

1

1-20

2

4

1

0

2

1; 2

A

B

K C

E

D

F

GL

M

Рис. 4.12

Состоянию покоя соответствует выбор параметров внутри

треугольника устойчивости системы ABC (см. рис. 3.25). При выборе параметров в области EBG (ей соответствует второе из условий (4.5) и условие (4.8)) в системе имеют место колебания с периодом 1=T . При


126

определенных начальных условиях такие же колебания возникают и с выбором параметров в области FBE (ей соответствуют условия (4.8) и (4.9)).

Если параметры системы соответствуют области DBF , удовлетворяющей второму условию в (4.4) и условию (4.9), возникают колебания с периодом 2=T . При определенных начальных условиях такие же колебания существуют и при выборе параметров в области FBE .

Параметрам в области LKM , удовлетворяющей условиям (4.6) и (4.7), соответствуют колебания с периодом 4=T . Широкому спектру периодов колебаний (от единиц до сотен) соответствуют область DAKL , удовлетворяющая условиям (4.5) и 12 −<b , и область MKCG , которая удовлетворяет условиям (4.4) и 12 −<b .

4.2. Система с пилообразной нелинейностью

Если сумматор имеет пилообразную характеристику вида (2.2), то уравнения движения в областях I, II и III согласно (4.1) и табл. 4.1 имеют соответственно вид

( ) ( )( ) ( ) ( )

++=+=+

,211

12212

21

nybnybnynyny

(4.10)

( ) ( )( ) ( ) ( )

+=+=+

nybnybnynyny

12212

21

11

(4.11)

и

( ) ( )( ) ( ) ( )

−+=+=+

.211

12212

21

nybnybnynyny

(4.12)

Поскольку уравнения движения в области II при обоих видах

характеристик сумматора совпадают, то и в данном случае справедливы условия (4.4) и (4.5), когда квадрат ABCD располагается в данной области, а соответствующая область значений параметров ( )21, bb совпадает с изображенной на рис. 4.2б. Вместе с тем в рекурсивной системе второго порядка с пилообразной нелинейностью даже при выборе параметров внутри треугольника устойчивости линейной системы (но за пределами заштрихованной области, изображенной на рис. 4.2б) при определенных начальных условиях возникают свободные колебания с


127

различными значениями периодов. Рассмотрим условия возникновения колебания с периодами { }3;2;1=T .

1. Колебания с периодом 1=T Пусть области I–III расположены на плоскости состояний, как

показано на рис. 4.13, а изображающая точка стартует из области I. Согласно уравнениям (4.10) получим

( ) ( )( ) ( ) ( )

++==

.200101

12212

21

ybybyyy

y

y

1

2

1-1

1

-1

A

BC

D

P

G

N

M

IIIII

I

0

Рис. 4.13

Если движение имеет период 1=T , должны выполняться следующие равенства:

( ) ( )( ) ( )

==

0101

22

11

YYYY

, т.е . ( ) ( )( ) ( ) ( )

++==

.200000

12212

21

YbYbYYY

Решив эту систему уравнений, получим


128

( ) ( ) ( ) ( )21

1212 120000

bbYYyy

−−==== . (4.13)

Следовательно, инвариантные точки отображения, соответствующего колебаниям с периодом 1=T , располагаются на участке биссектрисы

12 yy = , принадлежащем области I, а координаты их находятся из (4.13). Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующую

этому движению. Согласно табл. 4.1 в области I справедливо соотношение ( ) ( ) 100 1221 −<+ ybyb , (4.14) подставив в которое формулу (4.13), получим

( ) 1

12

21

21 −<−−

+bb

bb. (4.15)

Поскольку в области треугольника устойчивости выполняется неравенство 112 +−< bb , т.е. 01 21 >−− bb , преобразовав (4.15), имеем 112 −−< bb . Этому условию внутри треугольника устойчивости удовлетворяет показанная на рис. 4.14 область abc .

b

b

1

2

-1

1

1-20

2

a c e

b d

Рис. 4.14


129

При таком выборе параметров 1b и 2b колебания с периодом 1=T имеют место и в области III. Здесь инвариантные точки отображения располагаются на участке биссектрисы 12 yy = , принадлежащем области III, а координаты их отличаются от определяемых из (4.13) только знаком.

2. Колебания с периодом 2=T Полагаем, что расположение областей I–III на плоскости ( )21, yy

имеет вид, показанный на рис. 4.15, а изображающая точка находится поочередно в областях I и III. Назовем это правилом движения

→→→ IIII .

y

y

1

2

1-1

1

-1

A

BC

D

P

G

N

M

IIIII

I

0

Рис. 4.15

При старте из области I согласно уравнениям (4.10) имеем

( ) ( )( ) ( ) ( )

++==

.200101

12212

21

ybybyyy

(4.16)

Если изображающая точка перешла в область III, то в силу уравнений (4.12) получим


130

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

2 1 2 2 1

2 12 1 1 2.

y yy b y b y

= = + −

Колебаниям с периодом 2=T должны удовлетворять следующие

равенства:

( ) ( )( ) ( )

==

0202

22

11

yyyy

, т.е. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=−+=++

02110200

22112

12112

yybybyybyb

или

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−=+−+−=+−

.220102001

12212121

2112

bybbybbybyb

Определитель этой системы уравнений равен ( ) 2

12

2 1 bb −−=∆ . По формулам Крамера найдем координаты первой инвариантной точки:

( )( ) ( )2

2 1 1 11

1 2

2 1 2 2 201

b b b bY

b b

− − + − −= =

∆ + −, (4.17)

( ) ( )( ) ( )2 1 1 22 1

1 2

1 2 2 2 20 01

b b b bY Y

b b− − +

= = − = −∆ + −

. (4.18)

Согласно уравнениям (4.16) координаты второй инвариантной точки равны

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1

2 1

1 0 0 ,1 0 .

Y Y YY Y

= = − =

)20.4()19.4(

Следовательно, инвариантные точки отображения, соответствующую колебаниям с периодом 2=T , располагаются на участках биссектрисы

12 yy −= , принадлежащих областям I и III, а координаты их находятся соответственно из (4.17), (4.18) и (4.19), (4.20).

Определим область значений параметров ( )21, bb , соответствующие колебаниям с периодом 2=T . Из принадлежности первой инвариантной


131

точки области I согласно табл. 4.1 вытекает неравенство (4.14), подставив в которое выражения (4.17), (4.18), получим

11

22

21

21 −<−+

+−

bbbb

. (4.21)

Заметим, что в области треугольника устойчивости справедливо неравенство 112 +< bb , значит, 01 21 >−+ bb . Преобразовав (4.21), имеем 112 −< bb . Этому условию внутри треугольника устойчивости удовлетворяет показанная на рис. 4.14 область cde .

3. Колебания с периодом 3=T

Полагаем, что расположение областей I-III на плоскости состояний

имеет вид, показанный на рис. 4.16, а правило движения следующее: →→→→ IIIIII .

y

y

1

2

1-1

1

-1

A

BC

D

P

G

N

M

II

III

I

0

Рис. 4.16


132

При старте из области III после первой итерации согласно уравнениям (4.12) изображающая точка имеет координаты

( ) ( )( ) ( ) ( )

−+==

.200101

21122

21

ybybyyy

(4.22)

Считаем, что она находится в области II, тогда в силу уравнений (4.11) координаты следующего ее расположения равны

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

2 2 1 1 2

2 12 1 1 .

y yy b y b y

= = +

(4.23)

Изображающая точка переместилась в область I, а после третьей итерации на основании уравнений (4.10) она занимает положение в области III с координатами

( ) ( )( ) ( ) ( )

++==

.222323

21122

21

ybybyyy

Колебаниям с периодом 3=T должны удовлетворять следующие

равенства:

( ) ( )( ) ( )

==

0303

22

11

yyyy

, т.е. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=++=+

.0222011

22112

12112

yybybyybyb

Подставив выражения для ( )11y , ( )12y и ( )21y , ( )22y из (4.22) и (4.23) соответственно, получим

( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )

=+++−+=−++

021120002000

22112121122

12112122

yybybbybybbyybybbyb

или

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−+=−+++=++−

.22201202001

2122

312112

21

22

12221121

bbybbbybbbbybbybb

Найдем определители


133

( )( ) ( )( )3 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

3 31 2 1 2

1 2 1

1 3 ,

b b b b b b b b b b

b b b b

∆ = − + − − + + =

= − − −

( ) ( )( )

( )

3 2 21 1 1 2 1 2 1 1 2

2 21 2 1 2

2 2 1 2 2 2

2 ,

b b b b b b b b

b b b b

∆ = + − − + − + =

= − + + −

( )( ) ( )

( )

2 2 22 1 2 2 1 2 1 2 1

22 1 2 1

1 2 2 2 2

2 1 .

b b b b b b b b

b b b b

∆ = − + − − + =

= − − −

Значит, координаты первой инвариантной точки равны

( ) ( )2 21 2 1 21

1 3 31 2 1 2

20

1 3b b b b

Yb b b b

− + + −∆= =

∆ − − −, (4.24)

( ) ( )22 1 2 12

2 3 31 2 1 2

2 10

1 3b b b b

Yb b b b− − −∆

= =∆ − − −

. (4.25)

Согласно уравнениям (4.22) вторая инвариантная точка имеет координаты ( ) ( ),01 21 YY = (4.26)

( ) ( ).31

12121

32

31

22211

2 bbbbbbbbY

−−−−++

= (4.27)

А координаты третьей инвариантной точки согласно (4.23) равны ( ) ( )12 21 YY = , (4.28) ( ) ( )02 12 YY = . (4.29) Таким образом, координаты инвариантных точек отображения, соответствующего колебаниям с периодом 3=T , находятся из соотношений (4.26)–(4.29).

Определим область значений коэффициентов ( )21, bb , соответствующую колебаниям с периодом 3=T . Если первая инвариантная точка находится в области III, то согласно табл. 1 выполняется соотношение


134

( ) ( ) 100 2112 ≥+ ybyb . Подставив выражения для координат из (4.24) и (4.25), получим

( ) ( ) 1

31122

2122

31

212121

22

21212 ≥

−−−−−−+−++−

bbbbbbbbbbbbbb

.

Следовательно, для границ искомой области получим 122 3

231

22211 =−−+− bbbbbb .

Это выражение позволяет вычислить значения границы как функции

( )12 bb Ψ= . Искомая область, принадлежащая треугольнику устойчивости, заштрихована на рис. 4.17.

b

b

1

2

1

-1

20

1

1,5

-0,5

Рис. 4.17

4. Колебания с широким спектром периодов Кроме рассмотренных в п.п. 1–3 существует широкий спектр

периодов свободных колебаний и правил движений. Сведения о них можно получить в специальной литературе, в том числе и из приведенного в настоящем издании списка. В этих работах исследована и устойчивость возникающих периодических колебаний, доказано, что каждая из инвариантных точек локально устойчива и имеет определенную аналитически рассчитываемую область притяжения.


135

5. ДИНАМИКА РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ

Специфика цифровых систем по сравнению с аналоговыми обусловлена конечной точностью представления чисел из-за ограниченного количества используемых двоичных разрядов. Вследствие этого цифровая колебательная система в общем случае является существенно нелинейной. В ней возникают специфические ошибки, называемые эффектами квантования.

При достаточно большом количестве разрядов эти эффекты незначительны и для анализа их влияния используется линейная статистическая модель системы. Такая модель неприемлема при воздействии постоянного или синусоидального сигнала, дискретизированного с частотой, кратной частоте синусоиды, а также при малом количестве разрядов.

Последнее обстоятельство характерно для цифровых фильтров, используемых при обработке радиосигналов в реальном времени. При этом числа представляются, как правило, в форме с фиксированной запятой.

Исследуем процессы в цифровых рекурсивных системах первого порядка с параметром (коэффициентом) 1b , выбранным в пределах устойчивости линейной системы, т.е. 11 <b . Полагаем, что используется арифметика с фиксированной запятой, точно задается коэффициент 1b и выполняется операция умножения, а квантуются путем округления результаты сложения чисел, представленных в прямом или обратном кодах. Результаты суммирования представляются в виде последовательности целых чисел. Сумматор без учета квантования имеет линейную характеристику.

Заметим, что структурная схема системы имеет вид, показанный на рис. 2.1, а колебания в ней в общем случае по-прежнему описываются уравнением (2.3), где ( )ϕf – характеристика сумматора с квантованием. Количество уровней квантования L при таком выборе кодирования чисел связано с количеством разрядов M в представлении чисел следующей зависимостью: 12 1 −= +ML . При использовании целочисленной арифметики шаг квантования равен единице, а характеристика квантователя (сумматора) чисел,


136

представленных в прямом или обратном кодах с округлением, выражается функцией ( ) ( )[ ]ϕ+ϕ=ϕ sign21f , где [ ]• – целая часть числа N≤ϕ≤0 , ( ) 21−= LN . График характеристики изображен на рис. 5.1.

N54321

-1-2-3-4-5-N1

2

3

4

5

N

-1

-2

-3

-4

-5

-N

ϕ

f( )ϕ

1

2

3

4

5

N

-1

-2

-3

-4

-5

-N

0

Рис. 5.1

Участки характеристики, соответствующие значениям

( )[ ]ϕ+ϕ sign21 , обозначим N±±± ,,2,1,0 . Имеем в виду, что вследствие квантования в системе первого порядка возможны L состояний.


137

В общем случае в зависимости от начального состояния в нелинейной системе возможны различные установившиеся движения. Поскольку все L возможных начальных состояний равновероятны и независимы, введем понятие вероятности P установившегося движения B в виде ( ) LmBP = , где m – количество начальных состояний, соответствующих этому движению.

Рассмотрим свободные колебания (когда ( ) 01 ==+ xnx ) и колебания при постоянном внешнем воздействии (когда

( ) Axnx ==+1 ). Такой вид функции ( )1+nx позволяет исследовать динамические процессы на плоскости состояний ( )21, yy методом точечных отображений с использованием диаграммы Ламерея. Введем замену ( ) ( )112 += nyny , тогда функция последования имеет вид

( )xybfy += 112 .

Плоскость состояний разбиваем на области соответственно участкам характеристики сумматора (квантователя). Обозначим эти области, как и соответствующие участки. При этом граница областей 1, 11 +YY определяется условием 21111 +=+ Yxyb и описывается уравнением

( ) 111 21 bxYy −+= . (5.1)

Сама граница при 01 >Y принадлежит области 11 +Y , а при 01 <Y – области 1Y . Задача исследования движений сводится к нахождению последовательности точечных отображений F отрезка [ ]NNy ,1 −∈ в себя.

5.1. Свободные колебания

Свободные колебания описываются нелинейным разностным уравнением (2.7), а функция последования имеет вид ( )112 ybfy = . При всех значениях коэффициента 1b одной из точек пересечения графика функции последования и биссектрисы 12 yy = является начало координат, что соответствует простой неподвижной (инвариантной) точке отображения.

Пусть 1b > 0 . Графики функции последования и биссектрисы

12 yy = пересекаются в точках с абсциссами 11 ±=Y , если граница


138

областей 1,0 проходит через точку 11 =y , а граница областей 0,1− – через точку 11 −=y соответственно. При этом согласно (5.1) выполняются условия ( ) 121 11 ±=±= by , т.е.

211 =b .

Следовательно, система имеет единственное состояние равновесия – состояние покоя – при ( )21;01 ∈b . При 211 ≥b число неподвижных точек увеличивается.

В качестве примера на рис. 5.2 обозначим области плоскости состояний и построим диаграмму Ламерея при 541 =b . Определяемые из (5.1) уравнения границ областей сведены в табл. 5.1.

N54321

-1-2-3-4-5-N1

2

3

4

5

N

-1

-2

-3

-4

-5

-N

y

y

1

2321-1-2-3

0

yy

=21

y f b y = ( )2 1 1

Рис. 5.2


139

Таблица 5.1 Уравнения границ областей при 0,541 == xb

Уравнения границ

Границы областей -4, -3 -3, -2 -2, -1 -1, 0 0, 1 1, 2 2, 3 3, 4

1y 835− 825− 815− 85− 85 815 825 835 Данное отображение имеет простые неподвижные точки

{ }2;1;01 ±±∈Y , которым соответствуют колебания с периодом 1=T и мгновенными значениями 11 Yy = . При старте из точки 21 >y и 21 −<y в системе устанавливаются колебания соответственно ( )21 ±=T . Значит, вероятности возможных колебаний равны ( ) ( ) LPP 110 =±= ,

( ) ( ) LNP 12 −=± . В общем случае произвольного 211 >b и 2≥N наиболее

вероятными являются колебания ( )11 YT ±= , где NY << 10 , если на диаграмме Ламерея точки 1Y и 11 +Y принадлежат области 1Y (на рис. 5.2 это точки 21 =y и 31 =y соответственно и область 2). Это означает выполнение условий ( ) 211212121 11111111 +<+≤−+<≤− YYbYYYbY , откуда следует ( ) ( ) ( )12121 11111 ++<≤− YYbYY . (5.2)

Заметим, что если граница областей 1−N , N проходит через точку Ny =1 , то в системе возможны равновероятные колебания ( )11 YT ±= ,

где [ ]NY ;01 ≤ , с вероятностью LP 1= . При этом согласно (5.1) выполняется условие ( ) NbNy =−+= 11 121 , т.е. ( ) NNb 211 −= . Значит, такие колебания возможны в интервале значений коэффициента ( ) 121 1 <≤− bNN . (5.3)

Пусть 1b < 0 . Графики функции последования и биссектрисы

12 yy = пересекаются только в начале координат. При уменьшении коэффициента 1b от нуля в данном отображении появляются и


140

неподвижные (инвариантные) точки кратности 2: 1 1Y = ± , когда графики функции последования и биссектрисы 12 yy −= пересекутся в точках с абсциссой 11 ±=Y . При этом граница областей 0,1− проходит через точку 1 1y = . Согласно (5.1) это означает выполнение условия ( ) 121 11 =−= by , т.е. 211 −=b .

Следовательно, в интервале значений ( )0;211 −∈b система имеет единственное состояние равновесия – состояние покоя. При дальнейшем уменьшении коэффициента 1b от 21− число неподвижных точек кратности 2 увеличивается.

В качестве примера на рис. 5.3 обозначим области плоскости состояний и построим диаграмму Ламерея при 541 −=b .

N54321

-1-2-3-4-5-N1

2

3

4

5

N

-1

-2

-3

-4

-5

-N

y

y

1

2-3-2-1123 y =

y2

1

y =-y2

1

y =f b y ( )2 1 1

Рис. 5.3


141

Области, на которые разбивается плоскость состояний, располагаются зеркально относительно оси ординат по сравнению с изображенными на рис. 5.2. Данное отображение имеет простую неподвижную точку в начале координат и две пары двукратных неподвижных точек: 11 ±=Y и 21 ±=Y , которым соответствуют колебания с периодом 2=T и мгновенными значениями 11 Yy ±= .

При старте из точек 21 >y и 21 −<y в системе устанавливаются колебания ( )222 −=T . Таким образом, вероятности возможных колебаний равны: ( ) LP 10 = , ( ) LP 211 =− , ( ) ( ) LLP 322 −=− .

В общем случае произвольного 211 −<b и 2≥N наиболее вероятным является колебание ( )112 YYT −= , где NY << 10 , если на диаграмме Ламерея точки 1Y и 11 +Y принадлежат области – 1Y (на рис. 5.3 точки 21 =y и 31 =y принадлежит области 2− ). Это означает выполнение условий ( ) ( ) ( ) ( ) ( )211212121 11111111 −−≤+<+−−−≤<+− YYbYYYbY , откуда следует ( ) ( ) ( ) 11111 21121 YYbYY −−≤<++− . (5.4)

Заметим, что если граница областей 1, +−− NN проходит через точку Ny =1 , то в системе возможны состояние покоя с вероятностью

( )0 1P L= и колебание с периодом 2 вида ( )112 YYT −= , где [ ]NY ;11 ∈ , с вероятностью ( ) LYYP 211 =− . При этом согласно (5.1)

выполняется условие ( ) NbNy =−= 11 21 , т.е. ( ) NNb 211 −−= . Значит, такое колебание возможно в интервале значений коэффициента ( ) NNb 211 1 −−≤<− . (5.5)

Следует отметить, что выражения (5.2)–(5.5), связывающие мгновенные значения наиболее вероятных колебаний с величиной коэффициента 1b , определяют размер мертвой зоны цифрового фильтра, реализуемого на базе рекурсивной системы. Эти выражения справедливы


142

для произвольного количества уровней квантования L и связанного с ним количества разрядов M в представлении чисел.

5.2. Колебания при постоянном входном воздействии

Колебания в рекурсивной системе первого порядка при постоянном входном воздействии A описываются разностным уравнением (2.8), где

( )ϕf – характеристика квантователя (сумматора), а функция последования имеет вид ( )Aybfy += 112 . При всех значениях коэффициента 1b график ее пересекается с осью ординат в точке Ay =2 .

Пусть 1b > 0 . Рассмотрим процессы при 541 =b , 1=A . Определяемые из (5.1) уравнения границ областей плоскости состояний сведены в табл. 5.2. На рис. 5.4 обозначим эти области и построим диаграмму Ламерея.

N54321

-1-2-3-4-5-N

2

3

4

5

N

-1

-2

-3

-4

-N

y

y

1

24320-1-2

y =y

21

y =f b y +A( )2 1 1

Рис. 5.4


143

Таблица 5.2 Уравнения границ областей при 1,541 == Ab


Границы областей -3, -2 -2, -1 -1, 0 0, 1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5

1y 835− 825− 815− 85− 85 815 825 835

Данное отображение имеет простые неподвижные (инвариантные) точки [ ]NY ;;5;4;31 ∈ , которым соответствуют колебания с периодом

1=T и мгновенными значениями 11 Yy = . При старте из точек 31 <y в системе устанавливаются колебания ( )31=T . Значит, вероятности возможных колебаний следующие: при 31 =Y имеем ( ) ( ) LNP 43 −= , при 31 >Y соответственно ( ) LYP 11 = .

В общем случае произвольного 01 >b и NA <≤1 наиболее вероятным является колебание ( )11 YT = , где NYA << 1 , если на диаграмме Ламерея точки 1Y и 11 −Y принадлежат области 1Y (на рис. 5.4 точки 31 =y и 21 =y принадлежат области 3). Это означает выполнение условий ( ) 211212121 11111111 −<+−≤−−<+≤− YAYbYYAYbY , откуда следует ( ) ( ) ( ) 11111 21121 YAYbYAY −+<≤−−− . При AY =1 следует пользоваться соотношениями ( )Ab 210 1 << .

Если NY =1 , необходимо, чтобы на диаграмме Ламерея точка 11 −= Ny принадлежала области N . Этому соответствует условие

( ) ( )1211 −−−≥ NANb , а верхним значением этого диапазона является 11 <b . В случае NA = ,

( )1;01 ∈b единственно возможным является колебание вида ( )NT 1= .


144

Для иллюстрации на рис. 5.5 приведены графики зависимости ( )11 bY , рассчитанной для трех значений количества разрядов M в

представлении чисел. Причем, когда 3=M , имеем 1=A . Эти зависимости можно сравнить с идеальной (соответствующей ∞=L ), установленной в п. 2.3.1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 b

0.2

0.4

0.6

0.8

1

M=3

5

10

YN1

1

Рис. 5.5

Пусть 1b < 0 . Рассмотрим процессы при 541 −=b , 5=A .

Определяемые из (5.1) уравнения границ областей плоскости состояний приведены в табл. 5.3. Обозначим эти области и построим диаграмму Ламерея на рис. 5.6. Данное отображение имеет единственную – простую – неподвижную точку 31 =Y . Следовательно, вероятность колебания

( )31=T равна 1.


145

Таблица 5.3 Уравнения границ областей при 5,541 =−= Ab


Границы областей 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5, 6

1y 835 825 815 85 85−

N54321

-1-21

2

3

4

N

y

y

1

2234

y =y2 1

y =f b y +A( )2 1 1

Рис. 5.6

В общем случае произвольного 01 <b и NA ≤<1 наиболее

вероятными и единственно возможными является колебание вида ( )11 YT = , где AY ≤< 11 , если на диаграмме Ламерея области 1Y

принадлежат точки 1Y и 11 −Y (что соответствует рис. 5.6, где точки 31 =y и 21 =y принадлежат области 3) или точки 1Y и 11 +Y . Это

означает выполнение условий ( ) 211212121 11111111 +<+−≤−+<+≤− YAYbYYAYbY или ( ) 211212121 11111111 +<++≤−+<+≤− YAYbYYAYbY , откуда следуют соотношения


146

( ) ( ) ( )12121 11111 −−+<≤−− YAYbYAY (5.6) или ( ) ( ) ( ) 11111 21121 YAYbYAY −+<≤+−− . (5.7)

При 11 =Y следует пользоваться соотношениями (5.7). Если 1=A , то единственно возможным колебанием с периодом 1 является ( )11=T при условии 021 1 <≤− b . (5.8) Левая граница этого интервала обусловлена принадлежностью точки

11 =y области 1. Другим по сравнению с определенными из (5.6)–(5.8) значениям

коэффициента 01 <b соответствуют наиболее вероятные колебания с периодом 2=T . Выражения (5.6)–(5.8) справедливы для произвольного количества уровней квантования L и связанного с ним количества разрядов M в представлении чисел. И при отрицательных 1b можно рассчитать зависимость ( )11 bY при заданных значениях M и сравнить ее с идеальной, установленной в п. 2.3.1.

Вследствие симметричности характеристики сумматора относительно 0=ϕ при отрицательных значениях внешнего воздействия и совпадающих со случаем 0>A величинах коэффициента 1b колебания в системе отличаются от рассмотренных выше только знаками мгновенных значений.

Содержащиеся в настоящем разделе закономерности нетрудно распространить и на случай, когда результаты суммирования представляются в виде последовательности чисел, выравненных слева (т.е. дробных чисел). Для этого достаточно ввести новую переменную

qyy 11 = , где Nq 1= – шаг квантования. Сведения о динамических режимах в рекурсивных системах первого

порядка с другими способами кодирования и квантования чисел можно получить в специальной литературе, в том числе и из приведенного в настоящем издании списка. Наряду с квантованием в этих работах рассмотрены эффекты переполнения, обусловленные характеристикой квантователя (сумматора) с насыщением или пилообразной.


147

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бутенин, Н. В. Введение в теорию нелинейных колебаний / Н. В. Бутенин, Ю. И. Неймарк, Н. А. Фуфаев. – М. : Наука, 1987. – 384 с.

2. Горяченко, В. Д. Элементы теории колебаний / В. Д. Горяченко. – М. : Высшая школа, 2001. – 360 с.

3. Гаушус, Э. В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований / Э. В. Гаушус. – М. : Наука, 1976. – 368 с.

4. Биркган, С. Е. Разностные уравнения : учебное пособие / С. Е. Биркган, Ю. А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 1994. – 63 с.

5. Брюханов, Ю. А. Цифровые цепи и сигналы : учебное пособие / Ю. А. Брюханов ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 1999. – 152 с. ; 2005. – 154 с.

6. Брюханов, Ю. А. Вынужденные колебания и частотные свойства цифрового линейного осциллятора / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 1994. – № 9. – С. 46–50.

7. Брюханов, Ю. А. Устойчивые периодические режимы одной раз-ностной модели цифрового фильтра с характеристикой типа насыщение / Ю. А. Брюханов, С. Д. Глызин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 1995. – Т. 3, № 4. – С. 53–61.

8. Брюханов, Ю. А. Свободные колебания в линейном цифровом осцилляторе / Ю. А. Брюханов // Радиотехника. – 1996. – № 5. – С. 46–50.

9. Брюханов, Ю. А. Частотные свойства цифровых цепей первого порядка / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Радиоэлектроника. – 1996. – № 11. – С. 37-41.

10. Брюханов, Ю. А. Частотные свойства рекурсивных цифровых цепей второго порядка / Ю. А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 1997. – Т. 42, № 7. – С. 836–838.

11. Брюханов, Ю. А. Свободные колебания нелинейного осциллятора дискретного времени / Ю. А. Брюханов // Радиотехника и электро-ника. – 1998. – Т. 43, № 6. – С. 677–681.

12. Брюханов, Ю. А. Колебания в нелинейных рекурсивных цифровых цепях первого порядка при постоянном внешнем воздействии / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 1999. – Т. 4, № 4. – С. 29–34.


148

13. Брюханов, Ю. А. Периодические движения в цифровой рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения / Ю. А. Брю-ханов // Известия вузов. Радиофизика. – 2000. – Т. 43, № 1. – С. 59–65.

14. Брюханов, Ю. А. Периодические колебания в рекурсивной системе второго порядка дискретного времени с нелинейностью насыщения / Ю. А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 2001. – Т. 46, № 3. – С. 320–323.

15. Брюханов, Ю. А. Периодические колебания в цифровых рекурсивных фильтрах второго порядка с пилообразной нелинейностью / Ю. А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 2001. – Т. 46, № 5. – С. 581–587.

16. Брюханов, Ю. А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Радиофизика. – 2001. – Т. 44, № 11. – С. 976–983.

17. Брюханов, Ю. А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по модулю результатов сложения / Ю. А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 2002. – Т. 47, № 10. – С. 1208–1211.

18. Брюханов, Ю. А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 2002. – Т. 10, № 6. – С. 35–41.

19. Брюханов, Ю. А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине после сложения / Ю. А. Брюханов // Радиотехника и электроника. – 2003. – Т. 48, № 5. – С. 565–570.

20. Брюханов, Ю. А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с округлением / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Радиофизика. – 2003. – Т. 46, № 11. – С. 990–997.

21. Брюханов, Ю. А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с представлением чисел в дополнительном коде с округлением / Ю. А. Брюханов // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. – 2004. – Т. 12, № 1–2. – С. 10–17.


149

ПРИЛОЖЕНИЕ

Теоремы о существовании и единственности кратных циклов точечного отображения

Теорема 1. Кусочно-непрерывное точечное отображение Т с функцией последования f(x) не имеет неподвижных точек в произвольной окрестности простой неподвижной точки С, если функция

( ) | ( ) ( ) | | |F x f x f c x c= − − −

знакоопределенна во всей окрестности точки С. Если при этом функция F(x) знакоотрицательна, то последовательность итераций сходится к точке C, а если F(x) знакоположительна, то итерационный процесс расходится.

Если существует разбиение области определения отображения T на окрестности простых неподвижных точек, в каждой из которых соответствующая функция F(x) знакоотрицательна, то отображение T не имеет кратных неподвижных точек.

Следствие 1. Непрерывное отображение с монотонно возрастающей функцией последования не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости.

Следствие 2. Непрерывное отображение не имеет кратных неподвижных точек, если во всей области определения выполнено условие

1dfdx

> − .

При этом отображение может иметь лишь простые неподвижные точки чередующейся устойчивости.

Следствие 3. Если непрерывное отображение во всей области его определения удовлетворяет условию

1dfdx

< ,

то оно не имеет кратных неподвижных точек и может иметь лишь единственную устойчивую простую неподвижную точку.


150

Теорема 2. Кусочно-непрерывное отображение Т с функцией последования f(x) не имеет неподвижных точек в произвольной окрестности простой или двукратной неподвижной точки С, если функция

( ) | [ ( )] [ ( )] | | |x f f x f f c x cΦ = − − −

знакоопределенна во всей окрестности точки С. Если при этом функция Ф(x) знакоотрицательна, то итерационный процесс сходится к точке C, а если знакоположительна, то расходится.

Если существует разбиение области определения отображения T на окрестности простых и двукратных неподвижных точек, в каждой из которых соответствующая функция Ф(x) знакоотрицательна, то отображение T не имеет неподвижных точек кратности выше второй.

Следствие. Непрерывное отображение с монотонно убывающей функцией последования не имеет неподвижных точек кратности выше второй.

Теорема 3. Пусть два числа 1n и 2n упорядочены в виде

1 2n n< ,

если из существования цикла кратности 1n следует существование цикла кратности 2n . Тогда для непрерывного точечного отображения множество натуральных чисел, соответствующих кратностям циклов этого отображения, упорядочено следующим образом:

1 2

3 5 7 ... 3 2 5 2 ... 3 2 5 2 ...... 2 2 ... 2 2 1.n n−

< < < < ⋅ < ⋅ < < ⋅ < ⋅ <

< < < < < <

Следствие 1. Если непрерывное отображение не имеет простых

неподвижных точек, то оно не имеет и кратных неподвижных точек. Следствие 2. Если непрерывное отображение не имеет двукратных

циклов, то оно не имеет и циклов более высоких кратностей. Следствие 3. Если непрерывное отображение имеет трехкратный

цикл, то оно непременно имеет циклы всех кратностей от 1 до ∞.


151

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ ...................................... 1

ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................ 5

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОДНОМЕРНЫХ ТОЧЕЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ................................................................................. 7

2. ДИНАМИКА ЦИФРОВЫХ РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ...................................................... 18 2.1. Свободные колебания в линейной системе.............................. 20 2.2. Свободные колебания в нелинейной системе .......................... 26 2.3. Колебания при постоянном входном воздействии.................. 34

2.3.1. Колебания в линейной системе ....................................... 34 2.3.2. Колебания в нелинейной системе ................................... 37

2.4. Колебания в линейной системе при гармоническом воздействии ................................................................................. 49

3. ДИНАМИКА ЛИНЕЙНОГО ЦИФРОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА .... 55 3.1. Свободные колебания ................................................................. 56

3.1.1. Корни характеристического уравнения вещественные, с модулем меньшим единицы .............. 58

3.1.2. Корни характеристического уравнения вещественные, с модулем большим единицы ............... 65

3.1.3. Корни характеристического уравнения вещественные. Один из корней по модулю больше, а другой – меньше единицы .............................. 71

3.1.4. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем меньшим единицы ................ 77

3.1.5. Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, с модулем большим единицы ................ 82

3.1.6. Бифуркационная диаграмма состояний равновесия ..... 84 3.1.7. Корни характеристического уравнения комплексно

сопряженные, с модулем равным единице .................... 85 3.2. Вынужденные колебания при гармоническом воздействии .. 92

3.2.1. Частотная характеристика ............................................... 93 3.2.2. Анализ резонансных законов ........................................ 100

4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМАХ ВТОРОГО ПОРЯДКА ............... 106 4.1. Система с нелинейностью с насыщением .............................. 108 4.2. Система с пилообразной нелинейностью ............................... 126


152

5. ДИНАМИКА РЕКУРСИВНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С УЧЕТОМ ЭФФЕКТОВ КВАНТОВАНИЯ ............ 135 5.1. Свободные колебания .............................................................. 137 5.2. Колебания при постоянном входном воздействии ............... 142

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................. 147

ПРИЛОЖЕНИЕ .................................................................................... 149


153

Учебное издание

Брюханов Юрий Александрович


СИСТЕМ



Редактор, корректор Л.Н. Селиванова Компьютерный набор, верстка Ю.А. Лукашевича

Подписано в печать12.07.05. Формат 60х84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,07. Уч.-изд. л. 8,7.

Тираж 100 экз. Заказ

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ. Ярославский государственный университет

150000, Ярославль, ул. Советская, 14.

Отпечатано ООО “Ремдер” ЛРИД № 06151 от 26.10.2001

г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37. Тел. (0852) 73-35-03.


154

УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ, ИЗДАННЫЕ РАНЕЕ

Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: учеб. пособие / Ю.А. Брюханов; Яросл. гос. ун-т. – 2-е изд., перераб. и доп. – Ярославль : ЯрГУ, 2005. – 154 с.

Приводится математический аппарат для анализа сигналов и цепей дискретного времени. Излагаются спектральная теория периодических и непериодических цифровых сигналов, теория цепей дискретного времени, частотные свойства и временные характеристики базовых нерекурсивных и рекурсивных линейных цепей первого и второго порядков. Рассматриваются эффекты квантования в цифровых сигналах и цепях.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 013800 Радиофизика и электроника (дисциплина «Цифровые цепи и сигналы», блок общепрофессиональных дисциплин) и направлению 550400 Телекоммуникации (дисциплина «Основы теории цепей», блок общепрофессиональных дисциплин). Может использоваться студентами, обучающимися по направлениям подготовки специалистов 653700 Приборостроение, 654200 Радиотехника и 634400 Телекоммуникации.

Брюханов Ю.А. Лабораторный практикум по курсу «Цифровые цепи и сигналы»: учеб. пособие / Ю.А. Брюханов; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2001. – 142 с.

Практикум включает в себя шесть лабора-торных работ, охватывающих всю программу курса «Цифровые цепи и сигналы». Приводятся теорети-ческие сведения, необходимые для выполнения работы, а также содержание и порядок выполнения работы, контрольные вопросы и список литературы. Лабораторные занятия проводятся на персональных ЭВМ.

При работе с пособием рекомендуется пользоваться книгой Брюха-нова Ю.А. «Цифровые цепи и сигналы».

Предназначено для студентов вузов, обучающихся по направлениям «Радиофизика», «Радиотехника» и «Телекоммуникации».


155


Приоров А.Л. Двумерные цифровые сигналы и системы: учеб. пособие / А.Л. Приоров; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2000. – 168 с.

Содержит изложение основных аспектов теории

двумерных цифровых сигналов и систем. Рассматривается математический аппарат для описания двумерных систем в пространственной и частотной областях, проблема устойчивости таких систем, их описание в пространстве состояний, а также некоторые современные подходы к изучению эффектов квантования.

Предназначено для специалистов по радиотехнике, радиофизике, информатике и вычислительной технике, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей вузов.

Брюханов Ю.А., Приоров А.Л. Цифровые фильтры: учеб. пособие / Ю.А. Брюханов, А.Л. Приоров; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2002. – 288 с.

Учебное пособие охватывает широкий круг

вопросов, связанных с теорией цифровых фильтров. Рассматриваются основные методы синтеза цифровых фильтров с конечной и бесконечной импульсными характеристиками (КИХ- и БИХ-фильтров), в том числе и синтез фильтров на основе методов оптимизации.

Приводятся основные сведения по многоскоростной цифровой фильтрации, включая основные понятия, связанные с преобразованием частоты дискретизации, децимацией и интерполяцией цифровых сигналов, основами теории банков фильтров. Излагаются вопросы технической реализации алгоритмов цифровой фильтрации: на специализированных БИС, на основе программируемых логических интегральных схем (ПЛИС) и цифровых сигнальных процессорах (ЦСП).

Учебное пособие представляет интерес для студентов, аспирантов и преподавателей радиотехнического и радиофизического профилей, инженеров и научных работников соответствующих специальностей, специалистов в области телекоммуникаций и программистов.


156


Приоров А.Л., Ганин А.Н., Хрящев В.В. Цифровая обработка изображений: учеб. пособие / А.Л. Приоров, А.Н. Ганин, В.В. Хрящев ; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2001. – 218 с.

Содержит изложение основных положений

цифровой обработки изображений. Рассматрива-ются основные положения обработки изображений, математический аппарат для описания изобра-жений, вопросы кодирования и сжатия изображе-ний, включая фрактальные и вейвлет-методы, а также линейные и нелинейные методы обработки изображений, включая полиномиальную фильтра-цию.

Предназначено для специалистов по радиотехнике, радиофизике, телекоммуникациям, информатике и вычислительной технике, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей вузов.

Тараканов А.Н., Хрящев В.В., Приоров А.Л. Адаптивная цифровая обработка сигналов: учеб. пособие / А.Н. Тараканов, В.В. Хрящев, А.Л. Приоров; Яросл. гос. ун-т. – Ярославль : ЯрГУ, 2001. – 134 с.

Учебное пособие содержит изложение основных вопросов теории адаптивной обработки сигналов и адаптивных цифровых фильтров, широко использующихся в современных системах телекоммуникаций. Излагаются основные понятия теории адаптивных систем, необходимый математический аппарат, критерии оценки параметров, наиболее часто применяемые в алго-

ритмах адаптации. Приводится описание алгоритмов оптимизации коэффициентов цифровых фильтров, таких, как методы градиентного поиска (Ньютона и наискорейшего спуска), метод наименьших квадратов, алгоритм последовательной регрессии. Даются общие сведения об адаптивном подавлении помех. Рассматриваются примеры использования адаптивной цифровой обработки сигналов в конкретных приложениях.

Предназначено для специалистов по радиотехнике, радиофизике, телекоммуникациям, информатике, вычислительной технике и кибернетике, а также студентов и аспирантов соответствующих специальностей вузов.


147

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987, 384 с.

2. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний. М.: Высшая школа, 2001. 360 с.

3. Гаушус Э.В. Исследование динамических систем методом точечных преобразований. М.: Наука, 1976. 368 с.

4. Биркган С.Е., Брюханов Ю.А. Разностные уравнения: Учебное пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1994. 63 с.

5. Брюханов Ю.А. Цифровые цепи и сигналы: Учебное пособие / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1999. 152 с. 2005. 154 с.

6. Брюханов Ю.А. Вынужденные колебания и частотные свойства цифрового линейного осциллятора // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1994. № 9. С. 46-50.

7. Брюханов Ю.А., Глызин С.Д. Устойчивые периодические режимы одной разностной модели цифрового фильтра с характеристикой типа насыщение // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3. № 4. С. 53-61.

8. Брюханов Ю.А. Свободные колебания в линейном цифровом осцилляторе // Радиотехника. 1996. № 5. С. 46-50.

9. Брюханов Ю.А. Частотные свойства цифровых цепей первого порядка // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1996. № 11. С. 37-41.

10. Брюханов Ю.А. Частотные свойства рекурсивных цифровых цепей второго порядка // Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. № 7. С. 836-838.

11. Брюханов Ю.А. Свободные колебания нелинейного осциллятора дискретного времени // Радиотехника и электроника. 1998. Т. 43. № 6. С. 677-681.

12. Брюханов Ю.А. Колебания в нелинейных рекурсивных цифровых цепях первого порядка при постоянном внешнем воздействии // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 4. № 4. С. 29-34.

13. Брюханов Ю.А. Периодические движения в цифровой рекурсивной системе второго порядка с нелинейностью насыщения // Известия вузов. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 1. С. 59-65.


148

14. Брюханов Ю.А. Периодические колебания в рекурсивной системе второго порядка дискретного времени с нелинейностью насыщения // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. № 3. С. 320-323.

15. Брюханов Ю.А. Периодические колебания в цифровых рекурсивных фильтрах второго порядка с пилообразной нелинейностью // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. № 5. С. 581-587.

16. Брюханов Ю.А. Динамика цифровой рекурсивной системы второго порядка с бинарным квантованием // Известия вузов. Радиофизика. 2001. Т. 44. № 11. С. 976-983.

17. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по модулю результатов сложения // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47. № 10. С. 1208-1211.

18. Брюханов Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10. № 6. С. 35-41.

19. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с усечением по величине после сложения // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. № 5. С. 565-570.

20. Брюханов Ю.А. Эффекты квантования в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с округлением // Известия вузов. Радиофизика. 2003. Т. 46. № 11. С. 990-997.

21. Брюханов Ю.А. Колебания в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с представлением чисел в дополнительном коде с округлением // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004. Т. 12. № 1-2. С. 10-17.


151

Учебное издание

Брюханов Юрий Александрович


СИСТЕМ



Компьютерный набор, верстка Ю.А. Лукашевича

Подписано в печать12.07.05. Формат 60х84/16. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. .

Тираж экз. Заказ

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ. Ярославский государственный университет

150000, Ярославль, ул. Советская, 14.

Отпечатано ООО “Ремдер” ЛРИД № 06151 от 26.10.2001

г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф. 37. Тел. (0852) 73-35-03.

Documents

470.динамика цифровых колебательных систем учебное пособие