477.нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов учебное пособие

1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

А.И. Григорьев С.О. Ширяева Д.Ф. Белоножко

Нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов

Учебное пособие

Рекомендовано Научно-методическим советом университета

для студентов специальности Физика

Ярославль 2006

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2

УДК 532.51 ББК В 253.322я73 Г 83

Рекомендовано Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного издания. План 2006 года

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент В.А. Коромыслов;

кафедра прикладной математики и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета.

Г 83

Григорьев, А.И. Нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов: учебное пособие / А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко; Яросл. гос. ун-т. им. П.Г. Демидова. Ярославль: ЯрГУ, 2006. 92 с.

ISBN 5-8397-0415-6 Излагаются основы математического моделирования нели-

нейных периодических движений заряженной свободной поверх-ности жидкости на примере нелинейных осцилляций заряженной капли.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлению 510400 Физика, специальности 010400 Физика (дисциплина «Нели-нейные задачи гидродинамики», блок ДС), очной формы обучения.

УДК 532.51

ББК В 253.322я73

ISBN 5-8397-0415-6

Ярославский государственный университет, 2006

А.И. Григорьев, С.О. Ширяева, Д.Ф. Белоножко, 2006


3

Введение

В последние два с половиной десятилетия (первая теоретическая статья [1] появи-лась 1983 году) начались регулярные исследования нелинейных осцилляций заряженных капель [1 – 33], хотя экспериментальные и теоретические исследования устойчивости и динамики колебаний заряженных капель жидкости в линейном по амплитуде осцилля-ций приближении проводятся уже почти полтора столетия. Интерес к заряженной капле объясняется тем, что она является ключевым объектом в самых разнообразных академи-ческих, геофизических, технических и технологических явлениях и процессах. Напри-мер, с ней приходится встречаться при распыливании жидких топлив, инсектицидов, ла-кокрасочных материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, при исследова-нии проблем грозового электричества, в капельной модели ядра атома (см., например, обзоры [34 – 46] и указанную там литературу).

Впервые теоретическое изучение капиллярных колебаний и линейная теория ус-тойчивости заряженной сферической капли были проведены Рэлеем [47, 48] в конце де-вятнадцатого века. Он представил каплю как колебательную систему с бесконечным набором собственных частот колебаний. В качестве отдельных мод осесимметричных колебаний поверхности рассматривались колебания, описываемые соответствующими полиномами Лежандра, при этом номер моды соответствовал числу выпуклостей (или впадин) на поверхности капли. Рэлей рассчитал частоты капиллярных колебаний и на-шел критические условия потери устойчивости различными осесимметричными модами сильно заряженной капли. Наименее устойчивой оказалась основная (вторая) мода ка-пиллярных колебаний, критические условия потери устойчивости которой и определяют устойчивость всей капли. Величину заряда на капле фиксированного радиуса с задан-ным коэффициентом поверхностного натяжения, при которой теряет устойчивость ос-новная мода, принято называть Рэлеевским пределом устойчивости заряженной капли. При превышении зарядом Рэлеевского предела капля неустойчива и у нее не существу-ет равновесных сферических форм. С тех пор проделана масса исследований линейной устойчивости капель в различных усложняющих вариантах, количество публикаций, по-священных линейным исследованиям, измеряется сотнями (см., например, обзоры [34 – 46] и указанную там литературу).

Но сосредоточимся на исследованиях нелинейных осцилляций заряженных капель [1 – 32, 49 – 51]. Можно выделить три основных направления проведенных исследова-ний: 1) нелинейный анализ эволюции капиллярных осцилляций поверхности капли в рамках методов теории возмущений; 2) расчет равновесных форм заряженных капель вблизи Рэлеевского предела и анализ характера бифуркаций решений, имеющих место в окрестности критического значения заряда; 3) исследование нелинейного взаимодейст-вия между отдельными модами колебаний заряженной капли.

Впервые классические методы теории возмущений (метод Линштедта – Пуанкаре) к исследованию осесимметричных капиллярных колебаний конечной амплитуды, со-вершаемых поверхностью незаряженной капли несжимаемой невязкой жидкости, были применены в [1]. Это позволило получить квадратичные по амплитуде начальной де-формации поправки к форме поверхности капли, потенциалам скоростей и в третьем по-рядке малости к частотам колебаний. Расчеты проводились для трех типов начальных условий, определявшихся заданием начальной деформации капли в виде виртуальной возмущения n-ой моды осцилляций для n = 2,3,4. В экспериментальных исследованиях


4

сдвига частоты при нелинейных колебаниях капли в условиях отсутствия силы тяжести, проведенных в [32], получено хорошее согласие с данными работы [1].

В работе [29] на основе более подходящего для исследования многочастотных ко-лебаний метода многих масштабов были исследованы осцилляции конечной амплитуды заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, вызванные начальным возбужде-нием первых трех мод (n = 2,3,4), для случая заряда, меньшего Рэлеевского предела. Од-нако выяснилось, что при приближении величины заряда к критическому значению *Q

найденные в [29] поправки к амплитудам гармонических колебаний становятся неспра-ведливыми, так как содержат неограниченно нарастающие при Q > *Q слагаемые. Для

устранения таких расходимостей в [32] на основе анализа асимптотического поведения решений, полученных в [29], малый параметр масштабирования вводится таким обра-зом, чтобы он характеризовал соотношение между амплитудой деформации и отклоне-нием величины заряда на капле Q от критического ∗Q . Это позволило авторам [32]

проанализировать нелинейную динамику осесимметричных осцилляций поверхности невязкой заряженной капли вблизи Рэлеевского предела и получить с точностью до вто-рого порядка малости по величине решения, описывающие эволюцию формы капли, по-ля скоростей и электрического поля при начальном возбуждении основной моды коле-баний поверхности.

Нелинейный анализ неосесимметричных колебаний капли, несущей заряд, мало отличающийся от Рэлеевского предела, методами, использованными в [32], предпринят в [24], где получены динамические уравнения для амплитуд неосесимметричных мод, описываемых сферическими функциями второго порядка. Решения выведенных уравне-ний в зависимости от величины начальной деформации капли и близости заряда к кри-тическому значению могут проявлять стохастическое поведение.

Нелинейная структура и устойчивость осесимметричных статических форм по-верхности идеально проводящей заряженной невязкой капли с зарядом вблизи Рэлеев-ского предела при начальном возбуждении основной (n = 2) моды рассматривались в [32]. В частности, было показано, что Рэлеевский предел соответствует точке транскри-тической бифуркации семейства статических сферических форм капли на семейства осе-симметричных вытянутых и сплюснутых сфероидальных форм (этот результат был под-твержден численными расчетами [51]). Вытянутые формы существуют при значениях заряда, меньших критического, и неустойчивы по отношению к малоамплитудным воз-мущениям поверхности. Сплюснутые статические формы существуют при зарядах, больших Рэлеевского предела, причем они оказались устойчивыми по отношению к ма-лым осесимметричным возмущениям. Кроме того, выяснилось, что при значениях заря-да, немного меньших критического, устойчивость исходной сферической формы капли может быть нарушена колебаниями конечной амплитуды. Причем, величина заряда, на которую снижается его критическое значение, пропорциональна амплитуде начального удлинения капли. Результаты аналитических вычислений в [32] подтверждаются чис-ленными расчетами статических форм поверхности капли при возбуждении первых трех мод. Численный анализ осесимметричных статических форм заряженной капли вблизи Рэлеевского предела был продолжен в [25] с использованием интегральной формы урав-нения Лапласа. В квадратичном по амплитудам мод приближении обнаружены несим-метричные относительно экваториальной плоскости формы капель, неустойчивые в ли-нейном приближении. В работе [24] при анализе неосесимметричных колебаний капли получено, что сплюснутые сфероидальные формы капли, существующие согласно [32] и численным расчетам [51] при Q > *Q с неустойчивым по отношению к неосесимметрич-

ным возмущениям (позднее аналогичный результат получен и в линейном анализе [49, 50]). Таким образом, Рэлеевский предел соответствует точке абсолютной неустойчиво-


5

сти заряженной капли. Начальная стадия реализации неустойчивости заряженной капли проходит через последовательность удлиняющихся вытянутых сфероидов.

В [1, 12] был также подтвержден ранее отмеченный в [26 – 28] факт временной асимметрии осцилляций: при начальном возбуждении основной моды, когда форма кап-ли осциллирует между вытянутым и сплюснутым сфероидами, время нахождения капли (пузыря) в состоянии вытянутого сфероида превышает время ее нахождения в сплюсну-том состоянии, и эта тенденция усиливается с увеличением амплитуды осцилляций. Но констатацией факта Тсамопулос и Браун и ограничились. Истолкование же ему дано в [52], где показано, что при нелинейных осцилляциях капля совершает колебания не воз-ле сферической формы, как было в линейном случае, а в окрестности фигуры, близкой к вытянутому сфероиду.

Вопросы взаимодействия различных мод капиллярных колебаний заряженной по-верхности капли рассматривались в работах [2, 29]. Найденные в [29] в расчетах второго порядка малости квадратичные по малому параметру компоненты решений (деформации формы капли, потенциала поля скоростей течения жидкости в ней и электростатическо-го потенциала в окрестности капли), а также поправки к частотам осцилляций, опреде-ляемые в расчетах третьего порядка малости, содержали в знаменателях множители ви-

да: ( )222

nm j ωω ⋅− , где mω и nω – частоты различных мод осцилляций капли; j – целое

число. В некоторых ситуациях (при некоторых значениях собственного заряда капли Q, ее радиуса и величины коэффициента поверхностно натяжения) может выполниться со-

отношение ( ) 0222 =⋅− nm j ωω . Такие ситуации по аналогии с вынужденными гармони-

ческими осцилляциями принято называть резонансными, поскольку в точках резонансов решения расходятся. В теории возмущений отработаны процедуры отыскания решений, как в окрестности, так и в самой точке резонанса [53 – 55] путем введения параметра расстройки, величина которого может непрерывно изменяться. В физических задачах в параметры расстройки вводятся на основе изменения неких параметров задачи, которые ранее принимались фиксированными. В итоге резонансные компоненты решения сво-дятся к секулярным слагаемым, которые в свою очередь обрабатываются в стандартных математических процедурах.

В [29] в расчетах второго порядка малости был обнаружен резонанс между четвер-той (n=4) и шестой (n=6) модами при некотором заряде капли rQ , докритическом в

смысле линейной устойчивости заряженной капли по отношению к собственному заряду (в смысле анализа устойчивости, проведенного Рэлеем) rQ < *Q , здесь *Q – критический

заряд, при котором теряет устойчивости основная мода (n = 2). Тсамопулос и Браун [29] ввели параметр расстройки на основе варьирования заряда капли Q в малой окрестности

rQ и построили решение, справедливое в самой точке резонанса и в его окрестности.

Они показали, что в точке резонанса энергия полностью перекачивается из изначально возбужденной четвертой моды в шестую меньше чем за три периода осцилляций четвер-той моды. Они показали, что максимальная амплитуда шестой моды достигается в по-ложении точного резонанса (при равной нулю величине параметра расстройки) и что амплитуда шестой моды убывает по гиперболическому закону при увеличении абсо-лютной величины параметра расстройки.

В [29] также показано, что резонансные ситуации между модами осцилляций реа-лизуются и для незаряженной капли. В частности, такое взаимодействие для основной (n = 2) и четвертой (n = 4) мод обнаруживается в расчетах третьего порядка малости. Ука-занная степень малости приводит к существенному увеличению (на порядок) характер-ного времени обмена энергией между резонансно взаимодействующими модами.

Нелинейное резонансное взаимодействие пятой (n = 5) и восьмой (n = 8), а также десятой (n = 10) и шестнадцатой (n = 16) мод в незаряженной капле идеальной несжи-


6

маемой жидкости рассмотрено Натараньяном и Брауном в [3]. Само исследование про-ведено в рамках Лагранжева подхода, ранее использованного при изучении капиллярно гравитационных волн на поверхности воды. В выписываемый Лагранжиан вводятся в соответствии с идеей метода разных временных масштабов быстрое (характеризующее решения первого порядка малости) и медленное (характеризующее решения второго по-рядка малости и в том числе нелинейное взаимодействие мод) времена. Начальная де-формация задается суперпозицией пары взаимодействующих мод: 5-й и 8-й или 10-й и 16-й. Затем Лагранжиан усредняется по быстрому времени. Уравнения Эйлера – Ла-гранжа, соответствующие оставшейся после усреднения части Лагранжиана, содержат лишь медленное время и описывают квадратичное по малому параметру взаимодействие мод, определяющих начальную деформацию. Результаты расчетов резонансного обмена энергией между взаимодействующими модами в случае осесимметричных осцилляций зависят от парциального вклада взаимодействующих мод в начальную деформацию.

В [3] показано, что если не ограничивать рассмотрение осесимметричными модами осцилляций, то следует учесть, что с m-ой осесимметричной модой связаны 2m+1 неосе-симметричных мод с одинаковыми частотами и близкими величинами энергии их воз-буждения, и осесимметричные моды неустойчивы в смысле передачи своей энергии в связанные с ними неосесимметричные моды. В итоге энергия, изначально заключенная в виртуально возбужденной в начальный момент времени в осесимметричной m-ой моде, «размазывается» по 2m+1 неосесимметричным модам. При возбуждении в начальный момент двух резонансно взаимодействующих мод с высокими номерами, количество связанных с ними неосесимметричных мод оказывается весьма большим и обмен энер-гией между взаимодействующими неосесимметричными модами носит стохастический характер.

Внутреннее резонансное взаимодействие мод, реализующееся в третьем порядке малости, выполненное с использованием Лагранжева формализма, исследовано Ната-раньяном и Брауном в [4]. В экспериментах Тринча и Ванга [5], которые исследовали возбуждаемые акустическим полем осцилляции большой амплитуды капель, подвешен-ных в акустическом подвесе, оказалось, что осцилляции большой амплитуды весьма трудно возбудить вследствие появления на поверхности капли неосесимметричной бе-гущей волны, которая, в конце концов, приводила к вращению капли как целого. Такой же эффект проявлялся и в экспериментах Якоби и др. [6] со свободно висящими в усло-виях невесомости каплями, осцилляции которых генерировались акустическим полем. Натараньян и Браун предположили, что такое поведение акустически возбуждаемых ле-витирующих капель связано с реализацией в каплях резонанса третьего порядка с уча-стием неосесиметричных мод. Они указали, что кроме резонанса третьего порядка меж-ду второй (n=2) и четвертой (n=4) модами, для которых выполняется условие

03 24 =⋅± ωω , о котором сообщалось ранее в [29], существуют резонансы третьего по-

рядка между (2m+1) неосесиммтеричными модами, связанными с m-ой осесимметрич-ной модой. Возбуждение таких резонансов и может привести к вращению капли как це-лого. В [4] исследованы в рамках Лагранжева метода резонансное взаимодействие меж-ду неосесиммтеричными модами, связанными с третьей модой (m=3), также между второй (n=2) и четвертой (n=4) модами с учетом влияния связанных с ними неосесим-метричных мод. Показано, что при начальном возбуждении третьей осесимметричной

моды (n=3, m=0), неосесимметричная тессеральная мода ∼ ),(2

3 ϕθP , (т.е. n=3, m=2),

претерпевает неустойчивость, что в итоге может привести к вращению капли как целого. Для ситуации начального возбуждения второй (n=2) и четвертой (n=4) мод, резонансно между собой взаимодействующих, претерпевает неустойчивость неосесимметричная

тессеральная мода ∼ ),(2

4 ϕθP , (т.е. n=4, m=2), что также может привести к вращению

капли как целого. Тем не менее, результаты [4] вызывают сомнение, поскольку нели-


7

нейная поправка к частоте третьей моды, полученная в [4], отличается от найденной ра-нее в строгом гидродинамическом анализе [29], и сами авторы [4] говорят, что результа-ты их последнего расчета нуждаются в независимой проверке на предмет наличия оши-бок. Сама идея возможности перекачки без постороннего силового воздействия энергии из осесимметричных мод капли в неосесимметричные, сопровождающаяся понижением порядка симметрии реализующихся осцилляций, представляется сомнительной, хотя для системы взаимодействующих точечных осцилляторов перекачка энергии из высоких мод в низкие имеет место и даже получила специальное название «распадная неустой-чивость». В экспериментах [5, 6] направленное силовое воздействие на каплю со сторо-ны акустического поля имело место, и возникновение в итоге вращения капли как цело-го не представляется необычным, чего нельзя сказать о проводимом в [4] анализе.

Следует отметить, что сама идея возможности внутреннего резонансного взаимо-действия мод осцилляций с различной симметрией не вызывает никаких возражений. Тщательного рассмотрения требует вопрос о направлении перекачки энергии при реали-зации внутреннего резонансного взаимодействия. Во всех вышецитированных работах при упоминании о нелинейном внутреннем резонансном взаимодействии мод речь шла о так называемом вырожденном трехмодовом резонансе, когда одна мода дважды взаимо-действует с другой, и лишь о факте существования такого взаимодействия. В реальности вырожденное внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод обладает асим-метрией, и энергия, запасенная в модах, определяющих начальную деформацию капли, перекачивается только из мод с малыми номерами в моды с бóльшими номерами. Об-ратная перекачка энергии из высоких мод в низкие идет лишь в рамках той доли энер-гии, которая поступила из низких мод в высокие. Если же в реальности взаимодейству-ют три моды с различными номерами, то говорят уже о вторичном комбинационном ре-зонансе, при котором возможна перекачка энергии из определяющих начальную деформацию капли мод с высокими номерами в моду с низким номером, отсутствую-щую в спектре мод, определяющих начальную деформацию.

Вопрос о направлении перекачки энергии между резонансно взаимодействующими модами осцилляций капли с различной симметрией до настоящего времени не исследо-вался, но такое исследование выполнено для волн на поверхности заряженной струи идеальной несжимаемой жидкости [30]. Выяснилось, что перекачка энергии из неосе-симметричной моды в осесимметричную может иметь место, но обратный перенос, со-ответствующий распадной неустойчивости, не реализуется, что совершенно не понятно. Примерно таково же положение дел для резонансного обмена энергией между модами нелинейно-осциллирующей капли, движущейся относительно среды [31]: распадная не-устойчивость не имеет места.

Все аналитические исследования [2, 24 – 33] нелинейной динамики поверхности капли проводились в рамках модели идеальной жидкости. Лишь в работе [23] при расче-тах численными методами было учтено влияние вязкости жидкости на осцилляции фор-мы капли. Получено, что даже наличие малой вязкости существенным образом сказыва-ется на резонансном взаимодействии отдельных мод колебаний.

Одним из интереснейших явлений, тесно связанных с осцилляциями и неустойчи-востью заряженных капель, является возникновение огней св. Эльма (ОСЭ). В 93% слу-чаев это зажигание ОСЭ обусловлено неустойчивостью капель и пленок воды в электри-ческом поле [56 – 58]. На нелинейной стадии этой неустойчивости с поверхности жид-кости начинается эмиссия сильно заряженных высокодисперсных капелек, в окрестности которых зажигается самоподдерживающийся за счет фотоионизации ко-ронный разряд, что и объясняет наблюдающееся свечение. Интересно, что появление ОСЭ на самолетах, летящих в облаках, всегда сопровождается интенсивными радиопо-мехами. Из общефизических соображений можно выделить два источника радиоизлуче-ния ОСЭ: коронный разряд в окрестности эмиттированных капель и капиллярные ос-


8

цилляции капелек, несущих электрический заряд [59, 60]. Радиоизлучение коронного разряда изучено достаточно хорошо. Достаточно подробно разработана и теория элек-тромагнитного излучения от линейно осциллирующей капли [60]. Поэтому в настоящем исследовании основное внимание будет уделено оценке интенсивности радиоизлучения, связанного с нелинейными колебаниями заряженных капель.

Другой примечательный пример применения теории колебаний заряженной капли связан с исследованием взаимодействия звуковых волн с жидко капельными системами. В этом случае, как правило, пренебрегают наличием у капель внутренних степеней сво-боды, связанных с капиллярными колебаниями капель, хотя хорошо известно, что часто-ты капиллярных колебаний капель с размерами, характерными для жидко-капельных систем естественного происхождения (туманов, облаков, дождя), приходятся на диапа-зоны частот звуковых волн и длинноволновых ультразвуковых (см., например, [45, 61, 62] и указанную там литературу). Наличие на каплях электрического заряда, отклонение формы капель от сферической, движение капель относительно внешней среды, учет их вязкости – приводят к смещению спектра капиллярных колебаний в область более низ-ких значений [45, 65, 66], т.е. в область звуковых волн, воспринимаемых слухом.

Подводя итог вышесказанному, отметим, что, несмотря на обилие теоретических и экспериментальных исследований нелинейных осцилляций заряженных капель, многие вопросы, с ними связанные, остались слабо освещенными. В этой связи представляется своевременным более детально ознакомиться с характерными постановками задач и ма-тематическими методами, используемыми при анализе нелинейных осцилляций заря-женных капель.

1. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости по амплитуде исходной деформации

1.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли 1. Пусть в начальный момент времени t = 0 равновесная сферическая с радиусом R

капля идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ , коэф-

фициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , распределенным

по ее поверхности, претерпевает виртуальное осесимметричное возмущение фиксиро-ванной амплитуды, меньшей радиуса капли. Зададимся целью исследовать эволюцию во

времени формы поверхности такой капли, которая при t > 0 будет совершать нели-нейные осцилляции в окрестности равновесной сферической формы.

Очевидно, что капля будет осесимметричной как в начальный, так и во все после-дующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность в сфериче-ской системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в которых 1=== γρ R , можно записать в виде:

( ) ( )ttr ,1, θξθ += ; 1|| <<ξ . (1)

Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом поля

скоростей движения жидкости в капле ( )tr ,ψ ; само поле скоростей ( )trV ,

при этом

определяется через градиент потенциала ( ) ( )( )trgradtrV ,, ψ= . Принимая, что скоро-


9

сти гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распро-странения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрест-

ности капли будем считать электростатическим [59] и станем описывать его с помощью

потенциала ( )tr ,Φ , с которым напряженность поля E

связана известным соотношени-

ем ( )Φ−= gradE

.

Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:

Δψ ( t,r

)= 0; )t,r(ΔΦ ; (2)

r→0: ψ ( t,r

) → 0; (3)

r → ∞: ( )( ) 0|,| →trΦgrad

; (4)

r=1 + ξ(θ, t): ;r

1

rt 2 θψψξ∂∂−

∂∂=

∂∂

(5)

;ndiv)(8

1)(

2

1

tp 22 =∇+∇−

∂∂− Φ

πψψΔ (6)

Φ(r, θ, t) = const ; (7)

v

,3

4sin2 πϕθθ =dddrr

v = [ ]πϕπθθξ 20,0),t,(1r0 ≤≤≤≤+≤≤ (8)

0sin3 = ϕθθ dddrreV

r

; (9)

[ ]1( ) , 1 ( , ), 0 , 0 2 ;

4 s

n ds Q s r tξ θ θ π ϕ ππ

− ⋅∇Φ = = = + ≤ ≤ ≤ ≤

(10)

t=0: ∈

++=Ξ

μεμξμξθξi

ii1100 );(Ph)(P)(P)( ∈

=Ξi

i ;1h

0),( =

∂∂

t

tθξ; θμ cos= . (11)

Поскольку условия (8) и (9) должны выполняться в любой момент времени, в том числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности кап-ли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра. Иначе говоря, амплитуды нулевой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.

В выражениях (6) – (11) введены обозначения: pΔ – перепад постоянных давлений

внутри и вне капли в состоянии равновесия; n

– единичный вектор нормали к поверх-


10

ности (1); ε – безразмерная амплитуда начального возмущения формы поверхности ка-пли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – полиномы Лежандра порядка i;

ih – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в сум-

марное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбуж-денных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяемые из условий (8) и (9) в

начальный момент времени и с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные:

( ) ( )3

1

22

0 12εεξ O

i

h

m

i ++

−≈ ∞

=; ( )( ) ( )

Ξ∈

− ++−

−≈i

ii Oii

hhi 3121 1212

9 εεξ . (12)

2. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих

масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [1, 32]. Искомые функции ( )t,θξ ,

( )tr ,ψ , ( )tr ,

Φ представим в виде рядов по степеням малого параметра ε и будем счи-тать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов, определенных через

малый параметр ε : tmm ε≡Τ :

( ) ( )( )∞

==

110 ,...,,,

m

mm TTt θξεθξ ; ( ) ( )( )∞

==

110 ,...,,,,

m

mm TTrtr θψεψ ;

( ) ( )( )∞

=Φ=Φ

010 ,...,,,,

m

mm TTrtr θε. (13)

Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по ε прибли-

жении, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух временных масштабов 0T и 1T .

Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содер-жащие одинаковую степень параметра ε , получим набор краевых задач для определе-

ния функций ( )mξ , ( )mψ , ( )mΦ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удов-

летворять каждая из функций ( )mψ , ( )mΦ . В нулевом порядке малости несложно найти выражение для электростатического

потенциала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q :

( ) rQ /0 =Φ .

Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовле-

творяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅⋅=

1010 1,,,,

nn

nmn

m PrTTDTTr μθψ , ( )2;1=m ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=

+− ⋅⋅=Φ0

1010 1,,,,

nn

nmn

m PrTTFTTr μθ . (14)


11

Последовательные поправки к равновесной поверхности капли так же представим в виде разложений по полиномам Лежандра:

( )( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅=

0010 1,,,

nn

mn

m PTTMTT μθξ ; ( )2,1=m . (15)

Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных условий первого

порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований по-

лучим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов ( )( )101 ,TTM n :

( ) ( ) ( )( ) 0,

,10

122

0

1012

=+∂

∂TTM

T

TTMnn

n ω ; ( )( )Wnnnn −+−= )2(12ω ; π4

2QW = . (16)

Решением уравнений (16) являются гармонические функции с коэффициентами,

зависящими от времени 1T :

( ) ( ) ( ) .;.exp, 011

10)1( скTiTATTM nnn +⋅⋅⋅= ω )2( ≥n (17)

( ) ( ) ( )( )( )11

1)1(

11 exp TbiTaTA nnn ⋅⋅= ;

здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные к вы-

писанным; ( )11na T и ( )1

1 Tbn – вещественные функции, зависимость которых от времени

1T может быть определена только при рассмотрении задачи следующего порядка мало-

сти. Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении,

следует, что

( ) ( ) 0, 101

0 =TTM ; ( ) ( ) 0, 101

1 =TTM . (18)

Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для

n = 0 и n = 1. Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим:

( ) ii ha2

10)1( = ; ( ) 00)1( =ib ; ( )Ξ∈i ;

( ) 00)1( =na ; ( ) 00)1( =nb ; ( )Ξ∉n . (19)

Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m = 2 подставим в по-

лученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после гро-

моздких преобразований получим уравнение относительно коэффициентов ( ) ( )102 ,TTM n :

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) +⋅⋅⋅⋅⋅−=+∂

∂0

1

11

1012

20

1022

exp2,,

TidT

TdAiTTM

T

TTMn

nnn

n ωωω


12

+ ( ) ( ) ( ) ( )( )∞

=

∞

=

++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1 2

011

11 exp

l mmlmlmnlmlmnl TiTATA ωωηωωγ

( ) ( ) ( ) ( )( )+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ ..exp 01

11

1 скTiTATA mlmlmnlmlmnl ωωηωωγ ; (20)

+

++−−++−+++−=

2

Wn)3)7n2i2(i)1i(j()1)1j(j(n2)1in(K 2

iijnijn ωγ

+ ;2

Wn

i

1 2iijn

+ωα ;

21

11

2

++

+−=

j

n

ii

nK ijnijnijn αη

[ ] ;CK20n

0j0iijjn = .)1()1( 01)1(

000

nji

njiijjn CCjjii −++−=α

Здесь 01)1(

000

nji

nji CC − - коэффициенты Клебша – Гордана [64]. Они отличны от нуля,

только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:

( )jinji +≤≤− || ; ( ) gnji 2=++ . (21)

Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться колебания мод, номера

которых удовлетворяют (21). 3. Из вида правой части (20) можно заметить, что если для каких либо трех мод ко-

лебаний поверхности капли с номерами kqp ,, выполняется одно из соотношений:

kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =− , (22)

то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.

Заметим, что согласно (16) значения частот собственных колебаний поверхности капли nω зависят от величины заряда на капле (от параметра W ). Причем при значении

4=crW частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же

увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по от-ношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если соотношения (22) выполняются при crWW < . В работе [29] был обнаружен один резо-

нанс подобного типа для случая, когда 46 2ωω = , а в [65, 66] показано, что общее коли-

чество резонансов при 4<W весьма велико, и при 100,, <kqp их количество измеря-

ется сотнями. Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодей-

ствия во втором порядке малости, а индексы qpk ,, нумеруют моды, связанные резо-

нансным взаимодействием. Рассмотрим вначале случай, qpkn ,,≠ , т.е. когда мода n не связана никаким ре-

зонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с малыми знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:


13

( )01

1

=dt

TdAn .

Из этого равенства, используя выражение для ( )11 TAn через скалярные функции

( )1)1( Tan и ( )1

)1( Tbn (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой час-

тей, несложно получить

( ) ( )01

)1(1

)1(

==dt

Tdb

dt

Tda nn .

Эти равенства означают, что ( )1)1( Tan и ( )1

)1( Tbn не зависят от медленного времени

1T , и в рамках рассмотрения задачи с учетом лишь второго порядка малости их можно

считать константами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для

коэффициентов первого порядка малости ( )tM n)1( в разложении возмущения формы

равновесной поверхности ( ) ( )t,1 θξ в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид

( ) ( )thtM iiinn ⋅⋅⋅= ωδ cos,)1( ; qpkni ,,; ≠Ξ∈ , (23)

in,δ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости,

получаемые при решении уравнения (19), в рассматриваемой ситуации примут вид:

( )( ) ( ) ( ) ( ) +

⋅+−⋅

⋅++⋅⋅=

Ξ∈ Ξ∈

+

i jjinjinnjijin tthhtM ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin2

( ) ( ) ( )

⋅+−⋅

⋅−+⋅+ − tt jinjinnji ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin ; ( )kqpnn ,,;2 ≠≥

( ) ( ) ( )( ) 122 −± ±−⋅⋅⋅±≡ jinnjijinjinji ωωωηωωγλ . (24)

Заметим, что из соотношений для ( )±njiλ следует, что выражение для амплитуды до-

бавки второго порядка малости ( ) ( )tM n2 при выполнении условия

( ) 022 =±− jin ωωω (22a)

будет содержать малые знаменатели. Считая, что 0>nω , несложно увидеть, что это ра-

венство эквивалентно (22), т.е. условию реализации внутреннего трехмодового комби-национного резонанса.

4. Выражения (23), (24), подставленные в (15), дают закон эволюции поверхности

заряженной капли во времени, если характер взаимодействия между изначально возбуж-денными модами не резонансный:


14

Ξ∈

∞

=Ο+++=

j nnnjj PMPMtr

0

3)2(2)1( )()()(1),( εμεμεθ ;

);tcos(hM ii)1(

i ω= ));t2cos(1()1i2(

h

2

1M i

i

i)2(0 ω

Ξ+

+−=

∈

);tcos()tcos()1i2)(1i2(

hih9M 1ii

i

i1i)2(1 −

∈

− +−−= ωω

Ξ

[ ];)tcos()0(N)t(NM nnn)2(

n ω−= n > 2;

[ ];)t)cos(()t)cos((hh2

1)t(N

j,iji

)(ijnji

)(ijnjin

∈

−+ −++=Ξ

ωωλωωλ

Анализ полученных соотношений показывает, что начальное возмущение (четной

либо нечетной) одиночной моды m капиллярных колебаний приводит к возбуждению во втором порядке малости только четных мод с номерами, лежащими в диапазоне [0; m]. Численный анализ по (24) показывает, что в противоречии с предсказаниями линейной теории независимо от вида начальной деформации равновесной сферической формы ка-пли, несущей заряд, близкий к критическому, но меньший его, неустойчивость по отно-шению к собственному заряду может быть реализована через быстрое нарастание ам-плитуды основной моды (n=2), возбуждающейся во втором порядке малости за счет не-линейного взаимодействия, даже если основная мода не входит в спектр мод, опре-деляющих начальную деформацию. Этот вывод качественно согласуется с данными [51] посвященной численному расчету нелинейных осцилляций заряженной капли. Когда на-чальная деформация капли определена пятой модой, имеется и количественное согласие полученных выше временных зависимостей амплитуд мод, возбужденных во втором по-рядке малости с работой [2].

Расчеты показывают, что скорость увеличения амплитуды основной моды увели-чивается с ростом номера моды, определяющей начальную деформацию. С увеличением номера моды, начальное возмущение которой определяет исходное возмущение равно-весной сферической формы растет и количество мод капиллярных осцилляций заряжен-ной капли, возбуждающихся за счет взаимодействия.

Когда начальное возмущение равновесной формы определено четными полинома-ми Лежандра, то образующая формы капли в любой момент строится из четных же по-линомов Лежандра и имеет симметричный относительно начала координат вид. При достаточно большом значении времени t (лежащем на границе интервала равномерности решения по t) капля проявляет тенденцию к делению на две равные части. Если же на-чальное возмущение связано с нечетными полиномами Лежандра, то форма капли в лю-бой последующий момент времени асимметрична относительно начала координат, не-смотря на то, что за счет взаимодействия мод во втором порядке малости по ε возбуж-даются только четные моды. При больших значениях времени t такая капля проявляет тенденцию к асимметричному делению.

Взаимодействие вырожденного резонансного типа возникает между модами во втором порядке малости, когда начальная деформация капли определена одной модой, а частоты взаимодействующих мод при некотором значении заряда Q удовлетворяют со-

отношению 222nm j ωω ⋅= , где j – целое число, nm ≠ . В результате такого взаимодей-

ствия амплитуда одной из взаимодействующих мод растет со временем, а второй – уменьшается.


15

5. Расчеты показывают, что независимо от вида начальной деформации наиболее

быстро растет амплитуда основной моды капиллярных колебаний. Поскольку использо-ванная процедура расчета обеспечивает пригодность полученных выражений до тех пор, пока амплитуда мод, возбужденных во втором порядке малости, не сравняется с амплитудой начального возмущения, то увеличение амплитуды основной моды до вели-чины порядка ε будет соответствовать вытягиванию капли в сфероид с квадратом экс-

центриситета 22 25.53 εε −≈e [67]. Несложно видеть, что даже при малых значениях ε ~ 0.1 это приведет к заметному удлинению капли и к снижению критических условий реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду, которые для

сфероидальной капли в линейном по 2e приближении имеют вид:

( ) ( ) ( )( )7/25.432147/214 222* εε ⋅−−≈−= eeW .

Таким образом, если параметр Рэлея W капли близок к критическому, то может

реализовываться неустойчивость капли. Если капля характеризуется некоторым значе-нием параметра Рэлея +=WW , достаточно близким к критическому 4=W , но мень-

шим его, то из приведенного выражения для ( )2* eW можно найти текущую безразмер-

ную амплитуду основной моды 2a , при достижении которой капля претерпит неустой-

чивость:

( )2

11 8.17 1 8.17 .

3.5 +≈ − ⋅ − ⋅a W

Так, при 6.3=W капля станет неустойчивой, когда безразмерная амплитуда ос-

новной моды достигнет величины 16.0≈a . При этом капля сбросит часть своего заря-да путем эмиссии значительного количества сильно заряженных высокодисперсных ка-пелек [42 – 45, 68].

1.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое (вторичное комбинационное)

взаимодействие мод осцилляций заряженной капли 1. Внутреннее нелинейное резонансное взаимодействие мод осцилляций заряжен-

ной капли электропроводной несжимаемой жидкости среди прочих нелинейных эффек-тов, связанных с нелинейными осцилляциями капли, занимает в проводимых исследова-ниях видное место: начиная с первых работ на эту тему, появившихся двадцать лет назад [1, 3, 4, 24, 29] и до настоящего времени [2, 19, 21, 22, 69 – 77] более трех четвертей пуб-ликаций так или иначе его затрагивают. Причина такого интереса в том, что резонансное взаимодействие обеспечивает наиболее быстрое и эффективное перераспределение энергии начальной деформации капли между модами, возбуждающимися за счет нели-нейного взаимодействия, и тем самым оказывает определяющее влияние как на законо-мерности реализации нелинейных осцилляций (и связанными с ними акустическим и электромагнитным излучениями [71, 73]), так и на закономерности распада капли, несу-щей заряд, близкий к критическому в смысле линейной устойчивости [2, 24, 29, 70, 74, 76]. Но, несмотря на значительное количество публикаций, посвященных резонансному


16

взаимодействию мод, на многие вопросы, с ним связанные, ответа пока не получено. Так. до сих пор не исследован вопрос о направлении перекачки энергии между модами при резонансном взаимодействии. Первыми были открыты и исследованы так называе-мые вырожденные трехмодовые резонансы [1, 3, 29], в которых одна из двух взаимодей-ствующих мод дважды взаимодействует с другой. В [69, 75] было показано, что в таких резонансах энергия перекачивается только в направлении от низких мод к высоким, что, вообще говоря, не согласуется с представлениями о "распадной неустойчивости" при трехмодовых взаимодействиях [78]. В работе [72] было обнаружено, что распадная неус-тойчивость может иметь место при истинно трехмодовых резонансах (вторичных комбинационных резонансах): было показано, что существует несколько резонансных ситуаций, в которых энергия перекачивается из высоких мод в третью, но особенности такого взаимодействия (характерное время взаимодействия и его глубина) исследованы не были. В [72] было показано, что в четырехмодовых взаимодействиях энергия также может перекачиваться от высоких мод к низким, но с малой интенсивностью, поскольку эти взаимодействия реализуются только в третьем порядке малости. Исследование воз-можности перекачки энергии из высоких мод нелинейных осцилляций к низким (точнее говоря, к основной моде) представляет существенный интерес в связи с обсуждающимся в научной литереатуре механизме инициирования разряда молнии коронным разрядом в окрестности крупной сильно заряженной капли [74, 77].

В связи с вышесказанным в настоящей работе проводится детальное исследование закономерностей перераспределения энергии между модами в вырожденных и во вто-ричных комбинационных резонансах при трехмодовом взаимодействии.

2. Рассмотрим эволюцию во времени формы поверхности нелинейно осциллирую-

щей капли идеальной, несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ ,

коэффициентом поверхностного натяжения γ и электрическим зарядом Q , однородно

распределенным по ее поверхности. В начальный момент времени t = 0 равновесная сферическая форма капли с радиусом R претерпевает осесимметричное возмущение фиксированной амплитуды, существенно меньшей радиуса капли. Зададимся целью най-ти спектр возникающих капиллярных осцилляций капли (форму капли) при 0t > .

Примем, что форма капли – осесимметрична как в начальный, так и во все после-дующие моменты времени, и уравнение, описывающее ее поверхность, в сферической системе координат с началом в центре масс капли в безразмерных переменных, в кото-рых 1=== γρ R , имеет вид:

( ) ( )ttr ,1, θξθ += ; 1|| <<ξ . (1)

Движение жидкости в капле будем полагать потенциальным с потенциалом поля

скоростей движения жидкости в капле ( )tr ,ψ ; само поле скоростей ( )trV ,

при этом

определяется через градиент потенциала ( ) ( )( )trgradtrV ,, ψ= . Принимая, что скоро-

сти гидродинамических движений жидкости в капле много меньше скорости распро-странения электромагнитных взаимодействий, электрическое поле заряда Q в окрест-

ности капли будем считать электростатическим и станем описывать его с помощью по-

тенциала ( )tr ,Φ , с которым напряженность поля E

связана известным соотношением

( )Φ−= gradE

.

Математическая формулировка решаемой задачи имеет вид:

Δψ ( t,r

)= 0; )t,r(ΔΦ ; (2)


17

r→0: ψ ( t,r

) → 0; (3)

r → ∞: ( )( ) 0|,| →trΦgrad

; (4)

r=1 + ξ(θ, t): ;r

1

rt 2 θψψξ∂∂−

∂∂=

∂∂

(5)

;ndiv)(8

1)(

2

1

tp 22 =∇+∇−

∂∂− Φ

πψψΔ (6)

Φ(r, θ, t) = const ; (7)

V

,3

4sin2

πϕθθ =dddrr V=[ ]πϕπθθξ 20,0),t,(1r0 ≤≤≤≤+≤≤ (8)

0sin3 =⋅ ϕθθ dddrreV

r

; (9)

[ ];20,0),,(1,)(4

1 πϕπθθξπ

≤≤≤≤+===Φ∇•− trSQdsnS

(10)

t=0: Ξ∈

++=i

ii PhPP );()()()( 1100 μεμξμξθξ Ξ∈

=i

ih ;1 0),( =

∂∂

t

tθξ. (11)

Поскольку условия (8) – (9) должны выполняться в любой момент времени, в том

числе и в начальный, то при t = 0 они определяют амплитуды нулевой и первой мод в разложении начального возмущения равновесной сферической формы поверхности кап-ли ( )θξ в ряд по полиномам Лежандра. Другими словами, амплитуды нулевой и первой мод не могут быть произвольны, но будут зависеть от вида начальной деформации.

В выражениях (6) – (11) введены обозначения: θμ cos= ; pΔ – перепад постоян-

ных давлений внутри и вне капли в состоянии равновесия; n

– единичный вектор нор-мали к поверхности (1); ε – амплитуда начального возмущения формы поверхности ка-пли, являющаяся малым параметром задачи; ( )μiP – полиномы Лежандра порядка i;

ih – коэффициенты, определяющие парциальный вклад i-ой колебательной моды в сум-

марное начальное возмущение; Ξ – множество значений номеров изначально возбуж-денных колебательных мод; 0ξ и 1ξ – константы, определяемые из условий (8) и (9) в

начальный момент времени, с точностью до слагаемых второго порядка малости по ε , равные:

( ) ( )3

1

22

0 12εεξ O

i

h

m

i ++

−≈ ∞

=; ( )( ) ( )

Ξ∈

− ++−

−≈i

ii Oii

hhi 3121 1212

9 εεξ . (12)

3. Для отыскания решения поставленной задачи воспользуемся методом многих

масштабов, как это делалось в задачах этого типа в [2, 19, 21, 24, 29, 69 – 77]. Искомые функции ( )t,θξ , ( )tr ,

ψ , ( )tr ,Φ представим в виде рядов по степеням малого парамет-

ра ε , и будем считать зависящими не просто от времени t, а от разных его масштабов,

определенных через малый параметр ε : tmm ε≡Τ :

( ) ( )( )∞

==

110 ,...,,,

m

mm TTt θξεθξ ; ( ) ( )( )∞

==

110 ,...,,,,

m

mm TTrtr θψεψ ;


18

( ) ( )( )∞

=Φ=Φ

010 ,...,,,,

m

mm TTrtr θε. (13)

Ограничимся рассмотрением поставленной задачи в квадратичном по приближе-

нии, в рамках которого можно определить зависимость искомых величин от двух вре-менных масштабов 0T и 1T .

Подставляя разложения (13) в систему (2) – (11) и приравнивая слагаемые, содер-жащие одинаковые степени параметра ε , получим набор краевых задач для определе-

ния функций ( )mξ , ( )mψ , ( )mΦ . Очевидно, что линейным уравнениям (2) должна удов-

летворять каждая из функций ( )mψ , ( )mΦ . В нулевом порядке малости получим выражения для электростатического потен-

циала в окрестности равновесной сферической капли, обладающей зарядом Q : ( ) rQ /0 =Φ .

Решения уравнений (2) для функций первого и второго порядков малости, удовле-творяющие условиям ограниченности (3), (4), запишем в виде:

( )( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅⋅=

1010 1,,,,

nn

nmn

m PrTTDTTr μθψ , ( )2;1=m ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=

+− ⋅⋅=Φ0

1010 1,,,,

nn

nmn

m PrTTFTTr μθ . (14)

Последовательные поправки к равновесной поверхности капли так же представим

в виде разложений по полиномам Лежандра:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∞

=⋅=

0010 1,,,

nn

mn

m PTTMTT μθξ ; ( )2,1=m . (15)

Подставляя решения (14), (15) при 1=m в систему граничных условий первого

порядка малости, полученную из (5) – (7), после соответствующих преобразований по-

лучим дифференциальные уравнения относительно коэффициентов ( )( )101 ,TTM n :

( ) ( ) ( )( ) 0,

,10

122

0

101

=+∂

∂TTM

T

TTMnn

n ω ; ( )( )Wnnnn −+−= )2(12ω ; π4

2QW = . (16)

Решением уравнений (16) являются гармонические функции (для 2≥n ) с коэф-

фициентами, зависящими от времени 1T :

( ) ( ) ( ) .;.exp, 01)1(

10)1( скTiTATTM nnn +⋅⋅⋅= ω ( ) ( ) ( )( )( )1

11

11

)1( exp TbiTaTA nnn ⋅⋅= . (17)

Здесь и далее аббревиатура "к.с." обозначает слагаемые, комплексно сопряженные

к выписанным; ( )1)1( Tan и ( )1

)1( Tbn – вещественные функции, зависимость которых от


19

времени 1T может быть определена только при рассмотрении задачи следующего поряд-

ка малости. Из условий (9), (10), записанных в линейном по малой величине ε приближении,

следует, что

( ) ( ) 0, 101

0 =TTM ; ( ) ( ) 0, 101

1 =TTM . (18)

Отметим, что формально выражения (18) не противоречат уравнениям (16) для

n = 0 и n = 1. Удовлетворяя начальным условиям (11) в первом приближении по ε , получим:

( ) ii ha2

10)1( = ; ( ) 00)1( =ib ; ( )Ξ∈i ;

( ) 00)1( =na ; ( ) 00)1( =nb ; ( )Ξ∉n . (19)

Решения первого порядка (17), (18) и решения (14), (15) при m = 2 подставим в по-

лученную из (5) – (7) систему граничных условий второго порядка малости и после гро-моздких преобразований получим уравнение относительно неизвестных коэффициентов

( ) ( )102 ,TTM n :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )+⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅+∂

∂0

1

1)1(

1012

20

102

exp2,,

TidT

TdAiTTM

T

TTMn

nnnn

n ωωω

( ) ( ) ( ) ( )( ){ ∞

=

∞

=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++

2 201

)1(1

)1( expl m

mlmlmnlmlmnl TiTATA ωωηωωγ

( ) ( ) ( ) ( )( )

+−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−+ ..exp 01)1(

1)1( скTiTATA mlmlmnlmlmnl ωωηωωγ ; (20)

+

++−−++−+++−=

2)3)722()1(()1)1((2)1(2 WnniiijjjniniijnKijn ωγ

+ ;2

21

+ Wniiijn ωα ;2

11)12

+++−=

jn

iijninijnKijn αη

[ ] ;20

00n

jiCijnK = .01)1(

000)1()1( n

jiCnjiCjjiiijn −++−=α

Здесь 01)1(,0

00n

jiCnjiC − – коэффициенты Клебша – Гордана. Они отличны от ну-

ля, только если нижние индексы удовлетворяют следующим соотношениям:

( )jinji +≤≤= || ; ( ) gnji 2=++ . (21)


20

Поэтому во втором порядке малости будут возбуждаться только колебания мод, номера которых удовлетворяют (21).

4. Из вида правой части (20) видно, что если для трех мод колебаний поверхности

капли с номерами kqp ,, выполняется одно из соотношений:

kqp ωωω =+ ; kqp ωωω =+ , (22)

то в соответствии с общей идеологией метода многих масштабов эти моды вступают в резонансное взаимодействие, при этом говорят о вторичном (поскольку проявляется лишь во втором порядке малости) комбинационном резонансе.

Заметим, что, согласно (16), значения частот собственных колебаний поверхности капли nω зависят от величины заряда на капле (от параметра W ). Причем при значении

4=crW частота колебаний основной моды (с n = 2) обращается в ноль, дальнейшее же

увеличение W приводит к тому, что поверхность капли становится неустойчивой по от-ношению к собственному заряду. Поэтому вторичные резонансы оказывают влияние на нелинейные осцилляции капли, и их имеет смысл исследовать только в том случае, если соотношения (22) выполняются при crWW < . В работе [29] был обнаружен резонанс

подобного типа, для случая когда 46 2ωω = , а в [70, 72, 74] показано, что общее коли-

чество резонансов при 4<W весьма велико, и при 100,, <kqp их количество измеря-

ется сотнями. Пусть индекс n нумерует моды, возбуждающиеся за счет нелинейного взаимодей-

ствия во втором порядке малости, а индексы qpk ,, нумеруют моды, связанные резо-

нансным взаимодействием. 4а. Рассмотрим вначале случай qpkn ,,≠ , т.е. когда мода n не связана никаким

резонансным соотношением, а условие исключения секулярных членов и членов с ма-лыми знаменателями из решения уравнения (20) имеет простой вид:

( )01

)1(

=dt

TndA.

Из этого равенства, используя выражение для ( )1

)1( TAn через скалярные функции

( )1)1( Tan и ( )1

)1( Tbn (см. (18)) и требуя обращения в ноль действительной и мнимой частей,

несложно получить

( ) ( ) 01)1(

1)1(

==dt

Tndbdt

Tnda.

Эти равенства означают, что ( )1)1( Tna и ( )1

)1( Tnb не зависят от медленного времени

1T , и в рамках рассмотрения задачи во втором порядке малости их можно считать кон-

стантами, равными своим начальным значениям (19). Выражение (17) для коэффициен-


21

тов первого порядка малости ( )tnM )1( в разложении возмущения формы равновесной

поверхности ( )( )t,1 θξ в ряд по полиномам Лежандра (15) примет вид

( ) ( )tiihintnM ⋅⋅⋅= ωδ cos,)1(

; qpkni ,,; ≠Ξ∈ , (23)

где in,δ – дельта-символ Кронекера. Амплитуды поправок второго порядка малости, по-

лучаемые при решении уравнения (20), в рассматриваемой ситуации примут вид:

( )( ) ( ) ( ) ( ) +

⋅−−⋅

⋅++⋅⋅=

Ξ∈ Ξ∈

+

i jjinjinnjijin tthhtM ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin2

( ) ( ) ( )

⋅+−⋅

⋅−+⋅+ − tt jinjinnji ωωωωωωλ

2

1sin

2

1sin ; ( )kqpnn ,,;2 ≠≥

( ) ( ) ( )( ) 122 −± ±−⋅⋅⋅±≡ jinnjijinjinji ωωωηωωγλ . (24)

4b. При анализе уравнения (20) для мод с qpkn ,,= , чтобы отразить близость

комбинации частот qp ωω − к частоте kω , введем параметр расстройки ( )1~ Oσ , оп-

ределяемый соотношением:

( )kkqp ⋅+=− εωωω 1 . (25)

Отметим, что параметр расстройки можно связать с величиной собственного заря-

да капли (с величиной параметра W ), имея в виду, что, варьируя заряд капли, можно изменять частоту осцилляций, уводя ее от положения точного резонанса.

Если (25) подставить в (20), то в правой части уравнения (20) для рассматриваемых случаев появятся слагаемые, содержащие следующие сомножители:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )0100 expexpexpexp TiTiTiTi kkkkqp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ ωωσσωεωωω ;

( )( ) ( )( ) ( ) ( )0100 expexpexpexp TiTiTiTi pkkpqk ⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅−⋅=⋅+⋅ ωωσσωεωωω ;

( )( ) ( )( ) ( ) ( )0100 expexpexpexp TiTiTiTi qkkqkp ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅−⋅ ωωσσωεωωω ,

а условия исключения секулярных членов из решения уравнения (20) для qpkn ,,= за-

пишутся в виде:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0exp2 11

11

11

)1(

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅Λ+⋅⋅⋅− − TATATidt

TdAi qpkkqp

kk ωσω ;


22

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0exp2 11

11

11

)1(

=⋅⋅⋅⋅⋅−⋅Λ+⋅⋅⋅− + TATATidt

TdAi qkkpqk

pp ωσω ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0exp2 11

11

11

)1(

=⋅⋅⋅⋅⋅⋅Λ+⋅⋅⋅− − TATATidt

TdAi kpkqkp

qq ωσω ; (26)

( ) ( ) ( )nlmnmlmlnlmnmlnml ηηωωγγ +⋅⋅±+=Λ ± .

Приравнивая нулю действительную и мнимую части выражений (26) и вводя но-вую функцию

( )( ) ( )( )1

111

1 TbTT kkk −⋅⋅= ωσβ , (27)

получим систему дифференциальных уравнений относительно вещественных функций

( )( )11 Tak , ( ) ( )1

1 Tkβ , ( )( )11 Ta p , ( )( )1

1 Tbp , ( )( )11 Taq , ( ) ( )1

1 Tbq :

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

11

11

1

1

11

sin2 TTaTadT

Tdapqkqpkqp

kk ϕω ⋅⋅⋅Λ=⋅ − ;

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

11

11

11

12

1

11

11 cos22 TTaTaTa

dT

TdTa pqkqpkqpkk

kkk ϕσωβω ⋅⋅⋅Λ+⋅⋅=⋅⋅ − ;

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

11

11

1

11

sin2 TTaTadT

Tdapqkqkpqk

pp ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅ + ;

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

11

11

1

1

11

11 cos2 TTaTa

dT

TdbTa pqkqkpqk

ppp ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅⋅ + ;

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

11

11

1

11

sin2 TTaTadT

Tdapqkkpqkp

qq ϕω ⋅⋅⋅Λ=⋅ − ;

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

11

11

1

1

11

11 cos2 TTaTa

dT

TdbTa pqkkpqkp

qqq ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅⋅ − ;

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )11

11

11

11 TbTbTT qpkpqk −+= βϕ . (28)

Начальными условиями для уравнений (28) служат соотношения (19), причем из

требования непротиворечивости системы (28) при t = 0 получаем, что если какая либо из мод – k, p или q не присутствует в спектре изначально возбужденных мод Ξ , т.е. ее ам-плитуда в начальный момент времени равна нулю, то ее фаза при 0=t не произвольна, а равна 2/π . В итоге, начальные условия для системы (28) можно записать в следую-щей компактной форме:

( )( ) 2/0 ,1

jjij ha ⋅= δ ; ( )( ) ( ) 2/10 ,1 πδ ⋅−±= jijb ; qpkji ,,; =Ξ∈ . (29)


23

Коэффициенты первого порядка в разложении (15) для резонансно взаимодейст-вующих мод qpk ,, запишутся в виде (см. (17)):

( ) ( ) ( ) ( )( )( )tttatM kqpkk ⋅−⋅−⋅⋅⋅= εβωωε 1)1()1( cos2 ;

( ) ( ) ( )( )( )tbttatM pppp ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 1)1()1( cos2 ;

( ) ( ) ( )( )( )tbttatM qqqq ⋅+⋅⋅⋅⋅= εωε 1)1()1( cos2 , (30)

где коэффициенты ( )( )11 Tak , ( ) ( )1

1 Tkβ , ( )( )11 Ta p , ( ) ( )1

1 Tbp , ( )( )11 Taq , ( ) ( )1

1 Tbq являются ре-

шениями системы уравнений (28) с начальными условиями (29).

0 2 4 t

- 0.2

- 0.1

0

0.1

¶M4H1L,¶M5

H1L,¶M7H1L

Рис. 1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд ( )1nM резонансно

взаимодействующих четвертой, пятой и седьмой мод нелинейных капиллярных осцилляций заряженной капли в положении точного резонанса 649.1=W . Седьмая мода приведена

тонкой линией, четвертая – тонкой штрих-пунктирной, пятая – полужирной

Отметим, что в используемом приближении (до второго порядка включительно)

резонансное взаимодействие трех мод будет проявляться лишь в том случае, когда хотя бы две из них присутствуют в спектре мод, возбужденных в начальный момент Ξ , т.е. их амплитуды при 0=t должны быть отличны от нуля. Третья же мода, даже имея ну-левую начальную амплитуду, появится в спектре колебаний первого порядка малости, если ее номер удовлетворяет соотношениям вида: kqp ++ – четно;

)(|| qpkqp +≤≤− (для случая Ξ∉Ξ∈ kqp ;, ), возникающим из требования отли-

чия от нуля коэффициентов ( )−Λ kqp , ( )+Λ pqk , ( )−Λ qkp в уравнениях (28).


24

Результаты расчета по соотношениям (28) – (30) при 3.0=ε временной эволюции амплитуд первого порядка малости резонансно взаимодействующих при 649.1=W четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформация определена четвертой и седьмой модами, представлены на рис. 1. Видно, что возбуждение отсутствовавшей в спектре начального возмущения пятой моды происходит за счет резонансной перекачки энергии из наиболее высокой седьмой моды. Видно также, что часть энергии седьмой моды передается и четвертой, амплитуда которой увеличивается синхронно с амплиту-дой пятой моды, т.е. имеет место передача энергии от высокой моды к более низким в соответствии с представлениями о распадной неустойчивости.

4c. Рассмотрим теперь случай вырожденного резонанса, когда одна из мод дважды

резонансно взаимодействует с другой: т.е. когда ks ωω 2= .

Проводя такой же анализ, как описано выше, получим для временных коэффици-ентов первого порядка малости в разложении (15):

( ) ( ) ( )( )( )tttatM ssss ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= εβωε 1)1()1( 2cos2 ;

( ) ( ) ( )( )( )tbttatM kkkk ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅= εωε 1)1()1( 2cos2 , (31)

где вещественные функции ( )tas ⋅ε)1( , ( )ts ⋅εβ )1( , ( )tak ⋅ε)1( ; ( )tk ⋅εβ )1( являются ре-

шениями системы дифференциальных уравнений:

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )112

11

1

11

sin4 TTadT

Tdakskskk

ss ϕω ⋅⋅Λ=⋅ + ;

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )1

12

11

112

1

11

11 cos44 TTaTa

dT

TdTa kskskkss

sss ϕσωβω ⋅⋅Λ+⋅⋅=⋅⋅ + ;

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1

11

11

1

1

11

sin2 TTaTadT

Tdakskskks

kk ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅ − ;

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )1

11

11

1

1

11

11 cos2 TTaTa

dT

TdbTa kskskks

kkk ϕω ⋅⋅⋅Λ−=⋅⋅ − ;

( )( ) ( )( ) ( )( )1

11

11

1 2 TbTT ksks ⋅+= βϕ ; ( )( ) ( )( )11

111 TbTT sss −⋅⋅= ωσβ . (32)

Из соотношений (19) следует, что для системы (32) возможны следующие комби-

нации начальных условий:

Ξ∈],[ ks : ( )( ) 2/01ss ha = ; ( ) ( ) 001 =sβ ; ( )( ) 2/01

kk ha = ; ( )( ) 001 =kb ;

:,, Ξ∈Ξ∉ ks : ( )( ) 001 =sa ; ( ) ( ) 2/01 πβ =s ; ( ) ( ) 2/01kk ha = ; ( )( ) 001 =kb .


25

0 10 20 30 40 t− 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

∂ M 4 (1) , ∂ M 6

(1)

Рис. 2a

0 3 6 t− 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

∂ M 4

(1) , ∂ M 6 (1)

Рис. 2б

0 3 6 9 t

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

∂ M 4 (1) , ∂ M 6

(1)

Рис. 2в


26

0 3 6 t− 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

∂ M 4 (1) , ∂ M 6

(1)

Рис. 2г

0 3 6 t − 0.15

− 0.1

− 0.05

0

0.05

0.1

∂ M 4 (1) , ∂ M 6

(1)

Рис. 2д

Рис. 2. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд резонансно взаимодей-ствующих четвертой и шестой мод: a) в положении точного резонанса 66667.2=W ;

б) 5.1=W ; в) 5.2=W ; г) 3=W ; д) 9.3=W .

Тонкая линия соответствует четвертой моде, толстая – шестой

В ситуации, когда Ξ∉k , Ξ∈s (т.е. когда ( ) ( ) 001 =ka ; ( )( ) 2/01ss ha = ), резонанс-

ное взаимодействие мод s и k в используемом приближении иметь места не будет, так как из системы (32) при 0=t получим, что

( )( ) ( )( )0

00

1

1

1

1

==dT

da

dT

da ks ,

т.е. амплитуды ( )1ka и ( )1

sa сохраняют свои начальные значения. На рис. 2a представлены

временные зависимости амплитуд ( )( )tM 14 и ( )( )tM 1

6 резонансно взаимодействующих


27

четвертой и шестой мод, рассчитанные в положении точного резонанса 66667.2=rW

при 3.0=ε , когда в начальный момент времени возбуждена только четвертая мода, а шестая имеет нулевую амплитуду (при начальном возбуждении только шестой моды ре-зонансная раскачка амплитуды четвертой моды места не имеет [69]). На рис. 2б – 2д приведены аналогичные зависимости, рассчитанные при различных значениях парамет-ра W (определяющего величину расстройки σ ), отличных от rW .

Из сравнения зависимостей, приведенных на рис. 2, видно, что нелинейное взаи-модействие мод имеет резонансный характер при любых значениях параметра

4=< crWW , что означает малость расстройки частоты при изменении W в указанном

диапазоне; по мере увеличения абсолютной величины параметра расстройки уменьшает-ся: a) характерное время резонансного взаимодействия мод, определяемое временем на-растания амплитуды моды до максимального значения; b) характерное время нахожде-ния энергии в резонансно раскачиваемой моде; c) доля энергии, передаваемой изначаль-но возбужденной модой резонансно раскачиваемой моде, полная перекачка энергии между модами имеет место только в положении точного резонанса. К сказанному следу-ет добавить, что при резонансной раскачке мода, имевшая в начальный момент времени нулевую амплитуду, приобретает амплитуду первого порядка малости, хотя само резо-нансное взаимодействие мод обнаруживается и реализуется только во втором порядке малости.

5. Сказанное о слабой зависимости условий реализации резонанса от величины собственного заряда капли допускает обобщение на случай одновременной реализации нескольких резонансных взаимодействий [79]. Пусть при 4<W какая-либо, например, j -ая мода может быть вовлечена в резонансное взаимодействие в нескольких резонанс-

ных ситуациях, отличающихся наборами взаимодействующих мод и величинами W , соответствующими положениям точных резонансов. Например, пусть j -ая мода участ-

вует в двух резонансных ситуациях: kij ,, при 1CWr = и mnj, при 2CWr = , где

4, 21 <CC . Тогда при начальном возбуждении j -ой моды с ней будут резонансно

взаимодействовать моды из обеих существующих резонансных ситуаций: i -ая, k -ая, n -ая и m -ая. Амплитуды мод, резонансно раскачиваемых за счет взаимодействия с j -ой в каждой из комбинаций, будут зависеть от величины параметра расстройки для

данной ситуации (т.е. от отклонения истинного значения параметра W от резонансных значений 1C и 2C ). Так, например, при рассмотрении только первых десяти мод чет-

вертая мода может участвовать в следующих резонансных взаимодействиях: при 612.0=W четвертая мода резонансно взаимодействует с шестой и восьмой; при 649.1=W с пятой и седьмой; при 66667.2=W дважды с шестой (случай вырожден-

ного резонанса, рассмотренный выше); при 623.3=W с третьей и пятой. Таким обра-зом, виртуально возбужденная четвертая мода при любом 4<W может резонансно взаимодействовать со всеми перечисленными выше модами, степень же взаимодействия (доля передаваемой энергии) будет зависеть от величины расстройки в каждой из воз-можных комбинаций.

Проанализируем ситуацию, когда мода с номером k участвует одновременно в двух резонансных взаимодействиях: в одном вырожденном двухмодовом и одном невы-рожденном трехмодовом. Введем для обеих резонансных ситуаций параметры расстрой-ки 1σ и 2σ :

( )11 σεωωω ⋅+=− kqp ; ( )212 σεωω ⋅+=⋅ sk .


28

Проводя анализ этого случая аналогично тому, как это делалось выше, получим,

что амплитуды первого порядка малости для мод kqp ,, имеют вид (28), а для моды s

получим:

( ) ( ) ( ) ( )( )( )tttatM sqpss ⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅= εβωωε 1)1()1( 2cos2 .

Функции ( )( )ts ⋅εβ 1 из последнего выражения и ( )( )tk ⋅εβ 1 из (28) определены сле-

дующим образом:

( )( ) ( )( )11

1111 TbTT kkk −⋅⋅= ωσβ ; ( )( ) ( ) ( )( )1

11121

1 2 TbTT skss −⋅⋅⋅+⋅= ωσωσβ .

Система дифференциальных уравнений относительно вещественных функций

( )( )ta p ⋅ε1 , ( ) ( )tbp ⋅ε1 , ( )( )taq ⋅ε1 , ( ) ( )tbq ⋅ε1 ; ( )( )tas ⋅ε1 , ( ) ( )ts ⋅εβ 1 , ( )( )tak ⋅ε1 , ( ) ( )tk ⋅εβ 1

включает в себя третье, четвертое, пятое и шестое уравнения системы (28), а также уравнения:

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( );sinsin2 1

11

11

11

11

11

1

1

11

TTaTaTTaTadT

Tdakskskksqpkqpkqp

kk ϕϕω ⋅⋅Λ−⋅⋅Λ= −−

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )+⋅⋅⋅Λ+⋅⋅=⋅⋅ −

11

11

11

1112

1

11

11 cos22 TTaTaTa

dT

TdTa qpkqpkqpkk

kkk ϕσωβω

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )1

11

11

1 cos TTaTa kskskks ϕ⋅⋅⋅Λ+ − ;

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )1

12

11

1

11

sin4 TTadT

Tdakspskk

ss ϕω ⋅⋅Λ=⋅ + ;

( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( );cos244 1

121

11

112

1

11

11 TTaTa

dT

TdTa kskskkskss

sss ϕωσωσωβω ⋅⋅Λ++⋅=⋅ +

( )( ) ( )( ) ( )( )1

11

11

1 2 TbTT kssk −= βϕ . (33)

Начальные условия для системы решаемых уравнений можно записать в виде (29),

но .,,, sqpkj =

Результаты расчета по системе (33), дополненной третьим, четвертым, пятым и шестым уравнениями системы (28), временных зависимостей резонансно взаимодейст-вующих мод, а в том числе и резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод при тех же начальных условиях, что и на рис. 1 (в условиях точного резонанса четвертой, пятой и седьмой мод, когда начальная деформация задается четвертой и седьмой модами) пока-зывают, что имеет место перекачка энергии седьмой моды во все моды с меньшими но-мерами. Интересно, что шестая мода в вырожденном резонансе с четвертой модой рас-качивается за счет энергии четвертой моды [69] (cм. также рис. 2), тем не менее, в рас-


29

сматриваемой ситуации амплитуда четвертой моды не только не уменьшается, а немного увеличивается синхронно с пятой и шестой модами. Иными словами, перекачка энергии из седьмой моды в четвертую не только полностью компенсирует затраты энергии чет-вертой моды на раскачку шестой, но и приводит к ее увеличению.

Результаты аналогичных расчетов, выполненных при 66667.2=W , т.е. в услови-ях точного вырожденного резонанса между четвертой и шестой модами с теми же на-чальными условиями показывают, что в этом случае в отличие от предыдущей ситуации, энергию отдают и четвертая и седьмая моды, а сами временные зависимости амплитуд резонансно раскачиваемых пятой и шестой мод становятся асимметричными.

6. Заключение. В расчетах обнаружено различие в особенностях реализации внут-ренних нелинейных трехмодовых вырожденных и комбинационных резонансов: в пер-вых энергия, вложенная в начальную деформацию капли, переносится только от низких мод к высоким, а во вторых – в обоих направлениях. Оказалось, что вырожденные резо-нансы малочувствительны к значениям физических величин (например, к величине электрического заряда), определяющих точные положения резонансов: отклонения от резонансных значений сказываются лишь на доле энергии, участвующей в обмене меж-ду модами, и длительности характерного времени резонансного обмена энергией, само же взаимодействие остается резонансным.

При значениях параметра Рэлея меньших критического для основной моды, т.е. при 4<W расстройка частот возбуждающихся мод достаточно мала, чтобы нелинейное взаимодействие мод носило резонансный характер при любых W , независимо от вели-чины резонансных значений rW в положениях точных резонансов. Величина расстройки

отражается лишь на доле передаваемой энергии и характерных временах этого процесса. Механизм распада нелинейно-осциллирующей заряженной капли при малой вели-

чине собственного заряда может быть связан с нелинейной резонансной перекачкой энергии капиллярных осцилляций капли из высоких мод в низкие. Распадная неустойчи-вость при трехмодовых резонансах реализуется только для комбинационных резонансов, а для вырожденных резонансов она места не имеет.

2. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости

в третьем порядке малости по амплитуде исходной деформации

2.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли. Вывод выражений для нелинейных поправок

к частотам мод 1. Одной из первых работ, посвященных исследованию нелинейных осцилляций

поверхности заряженной капли идеальной жидкости, является статья Тсамопулоса и Брауна [1], в которой приведено решение задачи о нелинейных колебаниях поверхности заряженной капли при одномодовой начальной деформации, когда начальная форма ка-пли в сферической системе координат ),,( ϕϑr описывается уравнением


30

( ) ( )ϑεϑξ cosPcosPRr m++= 00 ,

где ε – произвольный малый параметр, определяющий амплитуду начальной деформа-ции, ( )ϑcosmP – полином Лежандра порядка m , 0ξ – константа, подобранная так, что-

бы объем капли при указанной начальной деформации оставался равным объему сфери-ческой капли радиуса R. В [1] аналитическое выражение для образующей капли, совер-шающей нелинейные осцилляции, было приведено с точностью до величин второго порядка малости по амплитуде начальной деформации. Кроме того, в [1] были рассчита-ны аналитические выражения для нелинейных поправок к частотам осцилляций для фиксированных начальных деформаций, появляющиеся лишь в третьем порядке мало-сти, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными [14]. Однако все исследо-вание было выполнено для ограниченного спектра начальных деформаций формы капли: когда начальная деформация капли определялась второй ( 2=n ), третьей ( 3=n ) или четвертой ( 4=n ) модой.

Исследование, начатое в [1], было продолжено в [80], где во втором порядке при-ближений по ε была проанализирована ситуация с начальным возбуждением произ-вольной m -ой моды. В [80] было также показано, что спектр мод, возбуждающихся во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, содержит только моды с четными номерами из диапазона [ ]m, 20 . Также выяснилось, что нелинейные осцилля-

ции поверхности капли происходят в окрестности фигуры типа вытянутого сфероида, а не в окрестности сферы, как это следовало из линейного анализа

Ситуация, когда начальная форма поверхности описывается выражением

( ) ( ) ( ) ( )( )ϑϑεϑξϑξ cosPhcosPhcosPcosPRr nnnn 22111100 ++++= ,

где 1ξ – константа, определяемая из условия неподвижности центра масс капли при не-

линейных осцилляциях, 1nh ,

2nh – константы, учитывающие парциальный вклад каждой

моды в начальную деформацию сферической поверхности, рассмотрена в квадратичном приближении по ε в работе [69]. В [69] исследованы также закономерности реализации нелинейного резонансного обмена энергией между модами, имеющем место при усло-вии выполнения соотношения:

212 nn ωω = ,

где ( )( )Wnnn)R/(n −+−= 213ρσω – частота n ой моды капиллярных колеба-

ний капли,

)R/(QW 32 4πσ= – параметр Рэлея.

Случай, когда начальная деформация поверхности капли определяется суперпози-

цией произвольного конечного числа мод, проанализирован в [81]. В такой ситуации на-чальная форма поверхности капли описывается уравнением

( ) ( )∈

+++=Ω

ϑεϑξϑξm

mm cosPhcosP)(cosPRr 1100 ,

где Ω – множество номеров изначально возбужденных мод, mh – константа, учиты-

вающая парциальный вклад m моды в формирование начальной деформации сфериче-ской формы капли. Исследования, выполненные в [81], были проведены с точностью до


31

величин второго порядка малости по величине ε , что позволило получить аналитиче-ские выражения для нелинейных поправок к амплитудам мод. Анализ этих выражений показал, что спектр мод второго порядка малости может содержать как четные, так и не-четные моды. Так, например, при возбуждении двух мод с номерами 1n и 2n в спектре

второго порядка малости будут содержаться только четные моды с номерами из диапа-зона { }[ ]21 220 n,nmax, , если 1n и 2n имеют одновременно либо четные либо нечет-

ные значения. Если же 1n четно, а 2n нечетно, то спектр второго порядка будет содер-

жать четные моды с номерами { }[ ]21 220 n,nmax, и нечетные из диапазона

[ ]2121 nn,nn +− .

В [82] расчет нелинейных осцилляций заряженной капли в третьем порядке мало-сти по амплитуде начальной деформации был проведен при произвольной одномодовой начальной деформации, получены аналитические выражения для образующей капли и нелинейных поправок к частотам. В [83] указано на существование внутренних нели-нейных резонансов, реализующихся в заряженной капле при четырехмодовом взаимо-действии, когда начальная деформация капли определена суперпозицией нескольких мод.

В настоящей работе, выполненной в развитие [82, 83], предполагается изучить осо-бенности реализации нелинейных осцилляций капли в третьем порядке малости по ам-плитуде начальной многомодовой деформации и найти в такой ситуации аналитические выражения для поправок к частотам осцилляций.

2. Пусть имеется капля радиуса R идеальной идеально проводящей жидкости с

плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения σ , несущая заряд Q . Дви-

жение жидкости в капле, связанное с ее капиллярными осцилляциями, примем потенци-альным с потенциалом скорости ψ . Потенциал электростатического поля собственного

заряда в окрестности капли обозначим φ . Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение поверхности капли в безразмерных переменных, в которых 1=== σρR , в произвольный момент

времени t запишется в виде 01 =−−= )t,(r)t,,r(F ϑξϑ . (1)

Начальную деформацию формы капли зададим в виде суперпозиции нескольких

мод:

:0=t ( ) ( )Ω∈

++=m

mmPhPP ϑεϑξϑξξ cos)(coscos 1100 ; (2)

а начальную скорость всех точек на поверхности капли примем нулевой

0=t : 0=∂ ξt , (3)

где знак t∂ означает частную производную по переменной t .

Полная математическая формулировка задачи о капиллярных колебаниях заряжен-ной капли, кроме уравнения поверхности капли (1) и начальных условий (2), (3), содер-жит [84, 85]: уравнения Лапласа для потенциалов скорости жидкости и электрического поля


32

;0=ψΔ ;0=φΔ (4)

условия ограниченности потенциалов

:0→r 0→ψ ; (5)

:+∞→r 0→φ∇ ; (6)

кинематическое и динамическое граничные условия

:),(1 tr ϑξ+= ;0=td

Fd (7)

( ) ;2

1 2σ−−+=ψ∇+ψ∂ pppp атqt (8)

условие неизменности объема капли

π=ϕϑϑ

V

dddrr ;3

4sin2 (9)

{ };20;0;10,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= rrV

условие неподвижности центра масс

=ϕϑϑV

dddrrr ;0sin2 (10)

условие постоянства полного заряда

:),(1 tr ϑξ+= ;4 QdSnS

π−=φ∇⋅ (11)

{ };20;0;1,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= rrS

условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности

:),(1 tr ϑξ+= );(tSφ=φ (12)

в выражениях (4) – (12) p – давление внутри капли в равновесном состоянии; qp и

σp – давление электрического поля и капиллярное, атp – атмосферное давление; n –

вектор нормали к поверхности капли; Sφ – электрический потенциал поверхности кап-

ли.


33

Для удобства записи дальнейших выражений расширим множество констант mh

дополнив его так, что при любых Ω∉m имеем 0≡mh .

3. Задачу (1) – (12) будем решать методом многих масштабов [53, 54]. Для этого

введем три различных временных масштаба tT mm ε= , 210 ,,m = , а искомые величи-

ны задачи представим в виде разложений:

( ) );(,,,,),,( 4210

)(3

0

εϑφεϑφ OTTTrtr n

n

n +==

(13)

( ) );(,,,),( 4210

)(3

0

εφεφ OTTTrtr nS

n

nS +=

= (14)

( ) );(,,,,),,( 4210

)(3

1

εϑψεϑψ OTTTrtr n

n

n +==

( )3

( ) 40 1 2

1

( , ) , , , ( )=

ξ ϑ = ε ξ ϑ + ε n n

n

t T T T O , (15)

где rQ /)0( =φ ; QS =φ )0( – решения нулевого порядка малости, т.е. для равновесной

сферической поверхности капли. Подставляя (13) – (15) в (1) – (12) получим задачи различных порядков малости,

которые для краткости изложения вынесены в Приложение A. Поскольку уравнение Лапласа (4) является линейным, то в каждом порядке мало-

сти потенциалы скорости жидкости и электрического поля будут являться решениями уравнений Лапласа (1А), (10А), (19А), и с учетом условий ограниченности их можно за-писать в виде

∞

==

1210

)(210

)( );(cos),,(),,,,(n

nm

nnm PTTTDrTTTr ϑϑψ ;3,2,1=m (16)

∞

=+=

01

210)(

210)( );(cos

),,(),,,,(

nnn

mnm P

r

TTTFTTTr ϑϑφ 3,2,1=m . (17)

Заметим, что в выражении (16) суммирование начинается с 1=n , поскольку, как

известно, потенциал определяется с точностью до произвольной функции времени, что

позволяет принять 0)(0 =mD .

Функцию, описывающую отклонение формы поверхности капли от сферической в произвольный момент времени, представим в виде разложения по полиномам Лежандра:

∞

==

0210

)(210

)( );(cos),,(),,,(n

nm

nm PTTTMTTT ϑϑξ 3,2,1=m . (18)


34

Подстановка выражений (16) – (18) в уравнения (1А) – (9А) позволяет определить явные зависимости величин первого порядка малости от 0T :

( ) ( ) ( )( )21)1(

021)1(

210)1( ,cos,,, TTTTTaTTTM nnnn τω += ; (19)

( ) ( ) nTTTMTTTD nTn /,,,, 210)1(

210)1(

0∂= ; (20)

( ) ( )210)1(

210)1( ,,,, TTTMQTTTF nn = . (21)

В выражении (19) амплитудный множитель ( )21)1( ,TTan и нелинейная поправка к

частоте ( )21)1( ,TTnτ – функции, зависящие только от времен 1T и 2T .

При решении задачи с точностью до величин первого порядка малости по величи-

не начальной деформации поверхности капли функции ( )21)1( ,TTan и ( )21

)1( ,TTnτ следу-

ет считать постоянными, значения которых определяются из начальных условии (9А), и имеют вид:

: nn ha =)1( , 0)1( =nτ , Ω∈n . (22)

Из выражений (22) следует, что величины ),( 21)1( TTan отличны от нуля только ко-

гда Ω∈n . При решении задачи с точностью до величин третьего порядка малости по величи-

не начальной деформации зависимости ( )21)1( ,TTan и ( )21

)1( ,TTnτ от 1T и 2T определя-

ются из требования обращения в ноль секулярных членов в задачах второго и третьего порядков малости соответственно, при учете начальных условий (9А).

Подставляя выражения (16) – (21) в уравнения (13А) – (18А) и исключая секуляр-

ные члены, найдем, что функции ( )21)1( ,TTan и ( )21

)1( ,TTnτ не зависят от временного

масштаба 1T . Явные зависимости величин второго порядка малости от временного мас-

штаба 0T с учетом (22) можно записать в виде:

( ) ( )∈ +

−=Ω

ω

m

m)(

m)(

m

Tcosa)T(M

120

221

02

0 ;

( ) ( )∈

++=Ω

ωωχm

mm)(

m)(

mm)( TcosTcosaa)T(M 010

11

10

21 ;

( ) ( )( )++= 12

012

102 TTcosTa)T,T(M )(

nn)(

n)(

n τω

( )( ) ( )( )( )∈

−+ −+++Ω

ωωλωωλm,l

ml)(

lmnml)(

lmn

)(m

)(l TcosTcos

aa00

11

2; (23)


35

;0)2(0 =F += )T,T(MQ)T,T,T(F )(

n)(

n 102

2102

( ) ( )∈

+Ω

ωωm,l

ml)(

m)(

llmn TcosTcosaaKlQ 0011 ; 1≥n (24)

+∂= )T,T(M

n)T,T(D )(

nT)(

n 102

102

0

1

( )( ) ( ) ( )

−−+ ∈Ω

ωωωαm,l

ml)(

m)(

ll

lmnlmn TcosTsinaal

Kll 00111 1≥n (25)

где mχ , )(+lmnλ , )(−

lmnλ , lmnK , lmnα – коэффициенты, определенные в Приложении B. Вы-

ражения для )(na 2 и 2

nτ , удовлетворяющие начальным условиям (18А), имеют вид

( )Ω∈

−+ +−=ml

lmnlmnml

nhh

a,

)()()2(

2λλ , 0)2( =nτ . (26)

Подставляя (16) – (21), (23) – (25) в систему уравнений (22А) – (28А) и исключая из

решений секулярные слагаемые, находим, что функции ( )2)1( Tan , ( )1

)2( Tan и ( )1)2( Tnτ не

зависят от временных масштабов 1T и 2T , и равны своим начальным значениям (22) и

(26). Для функции ( )2)1( Tnτ справедливо выражение

( ) ( )

−+

Ξ+−++Ξ==

Ω∈ )12(4

)1(2

)12(22

2222

22)1(

n

nh

k

hTbTT nnn

k

nk

nnn

ωω

τ

( ) ( )−β+βχ−β+βχ− +++

−++

−−−

+−−

−− )(2,,1,1,1

)(1,,1,1,1

2)(2

,1,1,,1)(2

,1,1,,1

211

44 nnnnnnnnnn

nnnnnnnnnn hh

( )( )[ ]

++δ−+++−Ω∈

−−+++−−−+++−

knkknkknnkknnknknknknknnkkn

k HHHHHHh ))((2))((2))((1))((2))((2))((1

2

14

; (27)

а коэффициенты разложений (16) – (18) определяются выражениями

( )−ω+

−= Ω∈k

kk

)(k)( Tcoshk

)T(M)T(M 0

02

03

0 12

2

( ) ( ) ( )000123TcosTcosTcos

)l(

hhhKlm

l,m,kk

lmkkml ωωω+

− Ω∈

;


36

( ) ( ) −−−= Ω∈

∞

=m kmmkkm ThTMKThTMTM

000

)2(10220

)2(10

)3(1 cos)(3cos)(

5

6)( ωω

( ) ( ) ( )000 ,,

01 coscoscos TTThhhKK lmg lmk

klmkglkmg ωωω ∞

= Ω∈− ;

( )( ) ( )( ) ( )( )

Ω∈−−+

++Ξ−−−=

knkn

knk

nknknn TT

k

nhhTM 00

2

0)3( cos2cos

)12(16

)1(2)( ωωω

ωωωωω

( )( )( ) ( )( ) ( )( )

Ω∈+−−

−+Ξ+−−−

knkn

knk

nknnkkn TTk

nhh00

2

cos2cos)12(16

)1(21 ωωωωωωωωδ

( ) ( )( )( )( )

+

−= Ω∈ +

+++

+++ +

++−−

+1

12

12

00))((1,,

)(1,,1,1,1 coscos

4

n

nk l llkn

nllknllkllkl TThhh

ωωωωωψβχ

( ) ( )( )( )( ) +

−+−−

++

−+++

−+

21

2

00))((1,,1,

)(1,,1,1, coscos

llkn

nllknllknllk TTD

ωωωωωψβ

( ) ( )( )( )( ) +

−−−−

++

−−++−

++

21

2

00))((1,,1,1,

)(2,,1,1, coscos

llkn

nllknllk

klnlnllk TTDD

ωωωωωψβ

( ) ( )( )( )( ) −

+−−−

++

−++−

−+

21

2

00))((

,1,1,)(2

,,1,1, coscos

llkn

nllkklnlnllk TTD

ωωωωωψβ

( ) ( )( ) ( )( )( )

∞

= Ω∈

+−+

++−

−++−

2 ,,22

00)(0)()( coscos

4g lmk gkn

ngkkgnlmglmglmk TTHhhh

ωωωωωωλλ

( )( ) ( )( )( ) +

−−

−−+

−

22

00)(0 coscos

gkn

ngkkgn TTH

ωωωωωω

( ) ( )( )( )

Ω∈

++−+

+++−

−+

lmk mlkn

nklmnkmllmkTTHhhh

,,22

00))(())((1 coscos

4 ωωωωωψ

( ) ( )( )( )

+ω−ω+ω−ω

ω−ψ+

−++−

22

001

mlkn

n))((

klmnl

kmknlm

))((nkml TcosTcosDDH


37

( ) ( )( )( )

+ω−ω−ω−ω

ω−ψ+

−−++

22

002

mlkn

n))((

klmnl

kmmnkl


( ) ( )( )( )

ω+ω−ω−ω

ω−ψ+

−+−−

22

002

mlkn

n))((

kmlknml

mnkl


; (28)

( ) ( ) ( )00,,

00)3(

0 coscoscos2

)1(

12

1)( TTThhhK

kk

l

kQTF lm

lmkklmkkmlkml ωωωα

Ω∈

+−

++= ;

( ) Ω∈

∞

=+++=

m kmmkkmnnn ThTFKkTQMTF

100

)2(0

)3(0

)3( cos)()1()()( ω

( ) ( ) −−+ Ω∈

∞

=k mkkmkmn ThTMKkQ

000

)2( cos)(1 ω

( ) ( ) ( )000 ,,

0 coscoscos2

)3(TTThhhKK

kkQ lm

g lmkklmknglkmg ωωω

∞

= Ω∈

+− ; 1≥n , (29)

( ) Ω∈

∞

=−−−−−∂=

m kkmnnnn

nnTn Kkk

nTbh

nTM

nTTD

10

10

)3(20

)3( )1((1

sin1

)(1

),(0

ωδ

( ) ( ) +−−+− Ω∈

∞

=k mkkkmkmnmmkkmn ThTMkk

nThTD

000

)2(00

)2( sin)()1(1

)cos()() ωωαωα

Ω∈

∞

=×−

−−+

lmk gkmgkmg kK

kk

n ,, 0

)2(2

)1(1 α

( ) ( ) ( )000 coscossin TTThhhK lmklmkkngl ωωωω× ; 1≥n , (30)

где nΞ , )(1 ±nkmglβ , )(2 ±

nkmglβ , )(0 ±kgnH , ))((1 ±±

nkmlH , ))((2 ±±nkmlH , ))(( ±±

kmlψ , knlmD – коэффициенты, вы-

несенные в Приложение B, knδ – символ Кронекера.

Подставляя (18) в (1), найдем выражение для образующей капли в виде

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∞

=Ω∈+++=

00

)3(0

)2(220

)1(20 coscos,1,,

nnnn

nnn PTMTMPTTMTTr ϑεεϑεϑ . (31)

4. Для анализа выражения (31) заметим, что амплитуды отклонения поверхности

капли от равновесной сферической формы пропорциональны следующим выражениям (см. выражения (23) и (28)):


38

Ω∈mk

kmgg KM,

)2( ~ , ∞

= Ω∈0 ,,

)3( ~g lmk

nglkmgn KKM ,

где коэффициенты kmgK отличны от нуля, только если mkgmk +≤≤− и

gmk ++ – четное число.

Таким образом, если изначально возбуждается только одна мода, т.е. { }1n=Ω , то

во втором порядке малости возбуждаются только четные моды с номерами из диапазона

120 ng ≤≤ , а в третьем порядке: при четном 1n возбуждаются четные моды из диапа-

зона 130 nn ≤≤ , а при нечетном 1n возбуждаются нечетные моды из диапазона

131 nn ≤≤ . Таким образом, при четном 1n поверхность капли формируется четными

модами из диапазона [ ]13,0 n , а при нечетном 1n – всеми модами из диапазона [ ]12,0 n

и нечетными из диапазона [ ]11 3,12 nn + .

Если изначально возбуждаются две моды с номерами 1n и 2n , то есть

{ }21, nn=Ω , то множество мод вовлеченных в формирование поверхности капли еще

более расширяется. Так если 1n и 2n – четные числа, то спектр мод второго порядка содержит только

четные моды с индексами из диапазона { }21 2,2max0 nng ≤≤ , а спектр третьего по-

рядка формируется четными модами из диапазона { }21 3,3max0 nnn ≤≤ . Иначе гово-

ря, суммарная поверхность капли формируется четными модами из диапазона { }[ ]21 3,3max,0 nn .

Если номера изначально возбужденных мод 1n и 2n являются нечетными, то во

втором порядке малости возбуждаются четные моды с номерами из диапазона { }21 2,2max0 nng ≤≤ , а в третьем порядке малости участвуют в формировании по-

верхности только нечетные моды с номерами, удовлетворяющими условию { }21 3,3max1 nnn ≤≤ . Другими словами, поверхность формируется всеми модами из

диапазона { }[ ]21 2,2max,0 nn и нечетными с номерами из промежутка

{ } { }[ ]2121 3,3max,12,12max nnnn ++ .

Если же номера изначально возбужденных мод таковы, что n1 – четное, а n2 – не-четное, то спектр второго порядка малости содержит моды с четными номерами из диа-

пазона 0 ≤ g ≤ max{2n1, 2n2} и нечетные с номерами |n1 – n2| ≤ g ≤ n 1+ n2. Спектр же третьего порядка малости содержит четные моды с номерами из диапазона 0 ≤ n ≤ max{3n1, n1+2n2} и нечетные с номерами 1 ≤ n ≤ max{3n1, n1+2n2}. В ито-ге, суммарная поверхность капли формируется четными модами из диапазона [0,max{3n1, n1+2n2}] и нечетными с номерами из промежутка [1,max{3n1, 2 n1+n2}]. Видно, что учет величин третьего порядка малости по величине начальной деформации приводит к существенному расширению спектра мод, вовлеченных в формирование по-верхности капли.

4а. Учет величин третьего порядка малости приводит к нелинейному сдвигу частот

изначально возбужденных мод, пропорциональному квадрату амплитуды начальной де-

формации 2ε . Знак поправки к частоте всегда отрицателен, а ее величина существенно зависит от спектра мод, вовлеченных в формирование поверхности капли в начальный


39

момент времени, и от величины заряда капли. Так, если изначально возбуждаются две моды, одна из которых, основная, 2=n , то наблюдается увеличение поправок к часто-там по сравнению с ситуацией одномодовой начальной деформации поверхности капли, исследованной в [1]. На рис. 1 приведены зависимости поправок к частотам различных пар мод, возбужденных в начальный момент времени, от величины безразмерного пара-метра W. Из рис. 1 видно, что величина поправки к частоте основной моды зависит от того, какая из мод возбуждается вместе с ней в начальный момент времени: с ростом номера моды, возбуждающейся одновременно с основной, величина поправки к частоте основной моды увеличивается. Если вспомнить, что критические условия реализации неустойчивости капли определяются требованием перехода с ростом параметра W квад-рата частоты основной моды через ноль (см. [43, 82]), то становится ясно, что учет нели-нейной поправки к частоте основной моды приводит к снижению критического значения

параметра W в соответствии с выражением [82]: 2 22 22 0ω + ⋅ε ⋅ =b (см. рис. 2). Выте-

кающая из этого соотношения нелинейная поправка к критическим условиям реализа-ции неустойчивости капли тем заметнее, чем более высокая мода возбуждается в на-чальный момент времени одновременно с основной.

На рис. 3 и 4 приведены временные зависимости нелинейно возбуждающихся мод:

видно, что в поправках второго порядка максимальной величины достигает амплитуда основной моды, а в поправках третьего порядка максимальную амплитуду может иметь и мода, отличная от m–ой с более высоким номером.

Численный анализ выражения (31) указывает на то, что наибольшим отклонениям от равновесного состояния подвергаются элементы поверхности капли, располагающие-ся в окрестности оси симметрии (см. рис. 5). Это связано с тем, что только при углах ϑ , близких к 0=ϑ и π=ϑ , наблюдается суммирование колебаний отдельных мод. Вдали от этих значений ϑ формируется более гладкая волнообразная поверхность. Ука-занная тенденция тем выше, чем больше значение номеров изначально возбужденных мод.

Рис. 1. Зависимости коэффициента mb от параметра Рэлея ( )π= 4/2QW .

Номер кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды


40

Рис. 2. Зависимости квадрата частоты 2mω основной моды

2=m от параметра Рэлея W : 1 – с учетом поправки mb2ε

для 3.0=ε ; 2 – без учета поправки

Рис. 3. Зависимости от времени t поправок к амплитудам мод третьего порядка малости при 2.2=W и начальном возбуждении третьей моды.

Номер у кривой совпадает с номером изначально возбужденной моды


41

Рис. 4. То же, что на рис. 3, применительно к амплитудам мод второго порядка малости

Рис. 5. Контур образующей капли при начальном возбуждении четвертой (a) и девятой моды (b). Для четвертой моды 3.0=ε , 5.2=W , 0=t (1); 5.0 (2); 9.0 (3); 1.1 (4).

Для девятой моды 3.0=ε , 2.2=W , 0=t (1); 1.0 (2); 2.0 (3); 3.0 (4)


42

Напряженность электростатического поля на свободной поверхности капли опре-деляется выражением

( ) ( ) ( )∞

=Ω∈+++=

0

)3()2(2)1()0( coscosn

nnnn

nnn PEEPEEE ϑεεϑε ; (32)

WQEn π2)0( == ; )1()1( )1( nn MnQE −= ;

+−+= )2()2()2( 2)1( nnn QMFnE

( )[ ] ( ) ( )Ω∈

+++−+mk

mkmkkmnkmn TThhKmmQ,

00 coscos2/)2)(1(3 ωωα ;

( ) ( ) −++−+−+= ∞

=Ω∈0

)2(0

)3()3()3( cos)2)(1(2)1(

mk

mkkkmnkmnnnn FThKmmQMFnE ωα

( ) ( )[∞

Ω∈=

∞

Ω∈=

−−++++−+−

nmkg

kmg

km

mkkkmn KkkkQMThKkkQ

,,00

)2(0 42/)3)(2)(1(cos)1)(4( ω

( ) ] ( ) ( ) ( )000 coscoscos12/)1( TTThhhKkl lmklmknglkmg ωωωα+++− ;

Согласно данным расчетов по (32) напряженность поля собственного заряда в

окрестности нелинейно осциллирующей капли существенно возрастает на полюсах кап-ли при ее вытягивании (см. рис. 5), что может привести к зажиганию у поверхности кап-ли коронного разряда. Это обстоятельство представляет интерес в связи с проблемой инициирования разряда молнии [86, 87]. Согласно существующим представлениям раз-ряд молнии может начаться с коронного разряда в окрестности падающей в облаке об-водненной градины или крупной капли. Признанию такого механизма инициирования разряда молнии препятствует то, что собственные заряды капель, регистрируемые при натурных измерениях в грозовых облаках, слишком малы для того, чтобы коронный разряд мог зажечься в окрестности невозмущенной капли [88]. Обнаруженный факт зна-чительного усиления электростатического поля у вершин нелинейно осциллирующей капли позволяет посмотреть на обсуждаемую проблему с новых позиций.

Расчеты, проиллюстрированные рис. 2 – 5, выполнены для случая отсутствия резо-нансного взаимодействия мод, которое требует отдельного детального рассмотрения [73]. Тем не менее возможность резонансного обмена энергией между модами существу-ет.

Из выражений (28) для нелинейных поправок третьего порядка малости к ампли-

тудам осцилляций )t(M )(n

3 несложно видеть, что они имеют резонансный вид: содер-

жат знаменатели, обращающиеся при определенных условиях в нуль. Все новые по сравнению с квадратичным приближением [1, 81, 82] (см. разделы 2.1, 2.2) резонансы соответствуют четырехмодовому взаимодействию капиллярных осцилляций капли, ко-гда частоты резонансно взаимодействующих мод связаны друг с другом одним из соот-ношений:

.mlkn 0=±±± ωωωω


43

Среди множества реализующихся в заряженной капле внутренних нелинейных ре-

зонансов наибольший интерес в связи с проблемой инициирования разряда молнии в грозовых облаках [86, 87] представляют такие, в которых основная мода (n = 2) увели-чивает свою амплитуду за счет перекачки энергии из более высоких мод при докрити-ческих в смысле устойчивости по отношению к собственному заряду значениях пара-метра Рэлея W < 4. Согласно данным расчетов, проведенных во втором порядке малости [73, 75, 80, 81], когда реализуются только трехмодовые резонансы, наинизшая мода, способная приобретать энергию у высоких мод за счет резонансного взаимодействия, – третья. В расчетах третьего порядка малости, когда реализуется четырехмодовое взаи-модействие появляется возможность резонансной раскачки и второй моды. Так, если ог-раничиться условиями

;mlkn 0=−−+ ωωωω 4≤W ,

то в диапазоне номеров мод 302 ≤≤ m,l,k,n реализуются более десятка резонансных

четырехмодовых ситуаций, в семи из которых участвует вторая мода. 5. Заключение. Учет величин третьего порядка малости по амплитуде начальной

многомодовой деформации капли позволяет получить нелинейные поправки к частотам капиллярных колебаний капли, которые существенно зависят от величины заряда капли и от спектра изначально возбужденных мод и приводят к появлению нелинейных попра-вок к критическому для реализации неустойчивости капли значению параметра Рэлея. Учет величин третьего порядка малости по амплитуде начальной многомодовой дефор-мации при расчете образующей нелинейно осциллирующей капли позволяет проследить тенденцию к вытягиванию капли вдоль оси симметрии. Это косвенно указывает на то, что эмиссионные выступы капли формируются наложением большого числа высоких мод [89].

6. Приложение A. Выделение задач различного порядка малости. После подстановки разложений (13) – (15) в систему уравнений (1) – (12), выделяя

слагаемые пропорциональные 1ε , несложно получить задачу первого порядка малости

;0)1( =ψΔ ;0)1( =φΔ (1A)

:0→r 0)1( →ψ ; (2A)

:+∞→r 0)1( →φ∇ ; (3A)

:1=r ;)1()1(0

ψ∂=ξ∂ rT (4A)

( ) )1()1()0()1()1()0()1( 24

10

ξΔ+ξ+φ∂ξ+φ∂φ∂π

=ψ∂ ΩrrrrT ; (5A)

−

=ϑξ1

1

)1( ;0)(cosd −

=ϑξ1

11

)1( ;0)(cosdP (6A)


44

( ){ }−

=ϑφ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()1()1( ;0)(cos2 drrrr (7A)

);()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ (8A)

:0=t )(cos)1( ϑε=ξ Ω∈

mm

mPh ; .0)1(0

=ξ∂T (9A)

Слагаемые, пропорциональные 2ε , определяют задачу второго порядка малости, которая имеет вид:

;0)2( =ψΔ ;0)2( =φΔ (10A)

:0→r 0)2( →ψ ; (11A)

:+∞→r 0)2( →φ∇ ; (12A)

:1=r ;)1()1()1()1()2()1()2(10

ψ∂ξ∂−ψ∂ξ+ψ∂=ξ∂+ξ∂ ϑϑrrrTT (13A)

( ) ( ) { +φ∂φ∂ξπ

=ψ∂+ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂ ϑ)0()0()2(2)1(2)1()1()1()1()2( 2

8

1

2

1

2

1010 rrrrrTTT

( ) ( )( ) ( ) ( ) +φ∂φ∂+φ∂+φ∂+φ∂φ∂+φ∂ξ+ ϑ)0()2(2)1(2)1()0()0(2)0(2)1( 2 rrrrrrrrr

( )} ( ) ;2222 )1()1(2)1()2()2()0()1()1()0()1( ξΔξ−ξ−ξΔ+ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+ ΩΩrrrrrr (14A)

( )( )−

=ϑξ+ξ1

1

2)1()2( ;0)(cosd ( )( )−

=ϑξ+ξ1

11

2)1()2( ;0)(cos32 dP (15A)

( ) ( ){−

+∂+∂+∂+∂+∂1

1

0021112 22 )(r

)(rr

)()(r

)(rr

)()(r φφξφφξφ

( ) ;0)(cos22

1 )1()1()0()0()0(2)1( =ϑφ∂ξ∂−

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ ϑϑ drrrrrr (16A)

( ) );(2

1 )2()0(2)1()0()2()1()1()2( tSrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ (17A)


45

:0=t ( ) ( )Ω∈Ω∈

−+

−=ml

lmmlm

m PKhhm

Ph

,11

0)2( cos2

3

12

cos ϑϑξ ; 0)1()2(10

=ξ∂+ξ∂ TT . (18A)

Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми, пропорциональными

3ε , и имеет вид:

;0)3( =ψΔ ;0)3( =φΔ (19A)

:0→r 0)3( →ψ ; (20A)

:+∞→r 0)3( →φ∇ ; (21A)

:1=r +ψ∂ξ∂−ψ∂ξ∂−ψ∂=ξ∂+ξ∂+ξ∂ ϑϑϑϑ)2()1()1()2()3()1()2()3(

210 rTTT

( )( ) ( ) )1(2)1()2()1()1()1()1()1()2(

2

12 ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂−ψ∂ξ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ rrrrrrrr ; (22A)

+ψ∂ψ∂+ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂+ψ∂ ϑϑ)2()1()2()1()1()1()2()1()3(

1120 rrrTTTT

( )( )+ψ∂ψ∂+ψ∂−ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ)1()1()1()1()1()2()1()1()2(

00 rrrrrTrT

( ) ( ) +

φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂ξ

π=ψ∂ξ+ )0()0()0()0(3)1()0()0()3()1(2)1(

3

12

8

1

2

10 rrrrrrrrrrrrrrrT

( )( )+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂+φ∂ξφ∂+φ∂φ∂+ ϑϑ)1()0()2()3()0()2()0()2()1()2()1(2 rrrrrrrrr

\

( )( ) ( )( +φ∂−φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑϑ)1()1()1()2()0()0()0(2)0()2()1(2 rrrrrrrrrr

) ( ) ( ) }+φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂+ )1()0()1()0()1()0(2)1()2()0()1()1( 2 rrrrrrrrrrrrrrrrrr

( ) ( ) ( )( ) ( ) −ξΔξ+ξΔξ−ξΔ+−ξξ+ξΔ++ ΩΩΩΩ)1(2)1()1()2()2(2)1()1()3( 32222

( ) ( ) )1(2)1()1(2)1(

2

1 ξΔξ∂−ξ∂ξ∂− Ωϑϑϑϑ ; (23A)

( )( ) ( )−

=ϑξ+ξξ+ξ1

1

3)1()2()1()3( 0cos63 d ; (24A)


46

( )( ) ( ) ( )−

=ϑϑξ+ξξ+ξ1

11

3)1()2()1()3( 0coscos3 dP ; (25A)

( ){ ( )+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂−

)1()1(1

1

)2()0()0()3()3( 22 rrrrrrr

( ) ( ) +

φ∂+φ∂+φ∂ξ+

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ )1()1()1(2)1()0()0()0(3)1( 2

2

1

6

1rrrrrrrrrrrrrrr

( )( )−φ∂ξ∂−φ∂+φ∂+φ∂+φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑ)1()1()2()2()0()0()0()2()1( 224 rrrrrrrrrr

} 0)(cos)2()1()1()2( =ϑφ∂ξ∂−φ∂ξ∂− ϑϑϑϑ d ; (26A)

( ) +φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ )1(2)1()0()3()1()2()2()1()3(

2

1rrrrr

( ) )(6

1 )3()0(3)1()0()2()1( tsrrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξξ+ ; (27A)

:0=t −ϑ+

−=ξ Ω∈lmk

kmllmk PK

l

hhh

,,0

)3( )(cos)12(3

)(cos5

91

0 ,,1

,12 ϑ

+−

∞

= Ω∈Ω∈PKKhhhKhhh

g lmkglkmglmk

mkkmmk ;

0)1()2()3(210

=ξ∂+ξ∂+ξ∂ TTT , (28A)

где ( )2000

nlmnlm CK = , а 0

00n

lmC – коэффициенты Клебша – Гордана [64].

7. Приложение B. Выражения для коэффициентов задачи

∞

=

−∞

=

−∞

=

++−+ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

+∞

=

+∞

=

−−+− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

+∞

=

+∞

=

++++ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;


47

∞

=

−∞

=

−∞

=

−−−− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

( )( ))()(2210)(0 −++ λ+λωΠ−ωωΠ−Π= mmgmmggmgngmmgnmgnmgnH ;

( )( ))()(2210)(0 −+− λ+λωΠ−ωωΠ+Π= mmgmmggmgngmmgnmgnmgnH ;

( ) ( )2210)(1mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω+ωΠ−ω+ωωΠ−Π=β + ;

( ) ( )2210)(1mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω−ωΠ−ω−ωωΠ−Π=β − ;

( ) ( )2210)(2mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω+ωΠ−ω+ωωΠ+Π=β + ;

( ) ( )2210)(2mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω−ωΠ−ω−ωωΠ+Π=β − ;

kmnlgmknlgmknlgmk ωωΓ−Λ=μ − 11)(1 ; kmnlgmknlgmknlgmk ωωΓ+Λ=μ + 11)(1 ;


{ −+ω−++−+α=Λ 4(())2(2))2(23(((2

1 220 knKkWkllknKk kmgkkmgnglnkmgl

−−++−−−++−++− )))22)3(23()9()2)(1(2()1(6 23 Wmmnknkmmkkk

}=ν

ν−+ν−α−ω−−−−]2/[

1,2,

2 )142(2)))2()1(l

nlgkmgk Klknnkkk

( )( ) +ωα−−α−−−=Λ 21 /)1(/)1( mkmgkmgnlgnlgnlgmk mKmgKng

( ) kmgnlgnlg KKgnlgWnk α+−−+++ )2)(1( ;

( )( ) +α−+−−+−−=Γ nlgkmgkmgnlgmk KkmmnmkKnkk )/())(1(2/))1(2)(1(0

( ) gmnglkglk KkkKkk /)2(2/)2)(1( α−−−−+ ;

( )( )( )−α−−α+−−−−=Γ mKmkgknKng lmglmggkngknnlgmk /)1()/()1(1

( )( )mKmgKng kmgkmgnlgnlg /)1(/)1( α−−α−−−− ;


48

( +−+++++−ω=Π nmmnkknknkkmn 4)1(2)1(2)1(20

( )) ( ) kmnkkmn WnkKmnkmkknWn α+ω+−−+++−−−+ /)2)(1()1)(5( 2 ;

( ) )/()2(1 mkmknKnkm kmnkmnkmn α++−−−+=Π ;

mKnm kmnkmnkmn /)1(2 α−−−=Π ; Wkkkkkkk )1(54)1(2 22 −−−++ω=Ξ

lmkkml ω+ω+ω=ψ ++ ))(( ; lmkkml ω−ω+ω=ψ −+ ))(( ; lmkkml ω−ω−ω=ψ −− ))(( ;

( ) ( )22)( )(/ lmnnlmlmnlmnlm ω±ω−ωηωω±γ=λ ± ;

;)1()1(01)1(

000 ++−=α − llmmCC n

lmn

lmnlm

[ −++−+++−ω=γ )1(()1)1((2)1(2 mlllnmnK mnlmnlm

] [ ];2//2/)3)722( 2 nWmnWnmm mnlm +ωα+++−−

( ) ( ) mlnmnK nlmnlmnlm /)2/(112/ +α++−=η ; knlmknlmD δδ−=1 .

2.2. Нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости

1. Некоторые вопросы нелинейных осцилляций заряженной капли, представляю-щие значительный интерес для теории грозового электричества, остались за рамками ра-нее проведенных исследований [1, 29, 52, 69, 71, 80, 82]. Это, в частности, относится к исследованию возможности резонансной раскачки амплитуды основной моды капли за счет перекачки в нее энергии из высоких мод. Данная проблема имеет принципиальное значение для теории грозового электричества в связи с обсуждающимся механизмом инициирования разряда молнии коронным разрядом в окрестности заряженной крупной капли или обводненной градины в грозовом облаке [86, 87]. Несмотря на очевидную привлекательность такого механизма, пока нет доказательств возможности его реализа-ции: согласно данным натурных измерений [88] собственные заряды крупных капель и градин в облаках слишком малы для того, чтобы в их окрестности мог зажечься корон-ный разряд или реализоваться неустойчивость заряженной поверхности капли. В то же время очевидно, что при вытягивании капли в фигуру, близкую к сфероиду, напряжен-ность поля у ее вершин существенно увеличивается. Одной из возможностей вытягива-ния капли в сфероид является возбуждение основной моды ее осцилляций при резонанс-ной перекачке энергии из высоких мод осцилляций в основную [65, 73, 75]. Однако про-веденные расчеты [73, 75] (см. разделы 2.1, 2.2) показывают, что при трехмодовом нелинейном резонансном взаимодействии осцилляций капли наинизшей модой, в кото-


49

рую возможна перекачка энергии из высоких мод, является третья. Только в расчетах третьего порядка малости по амплитуде начальной деформации капли, когда проявляют-ся четырехмодовые резонансы, основная (вторая) мода включается в резонансное взаи-модействие с высокими модами [82, 83]. Заметим, что трехмодовые резонансы, прояв-ляющиеся в расчетах второго порядка малости, приводят при реализации к эффекту пер-вого порядка малости: амплитуда моды, раскачивающейся за счет перекачки энергии из высоких мод, имеет первый порядок малости [73] и может превышать амплитуды изна-чально возбужденных высоких мод. В этой связи возникает и чисто академический во-прос теории нелинейного взаимодействия мод осцилляций: каким порядком малости бу-дет характеризоваться мода, раскачивающаяся за счет резонансной перекачки энергии при четырехмодовом взаимодействии, проявляющемся лишь в третьем порядке мало-сти? С целью отыскания ответов на поставленные вопросы и решалась приведенная ни-же задача.

2. Рассмотрим каплю радиуса R , обладающую зарядом Q , идеальной несжимае-

мой идеально проводящей жидкости с плотностью ρ и коэффициентом поверхностного натяжения γ в условиях отсутствия внешней среды и гравитации. Пусть в начальный момент времени равновесная сферическая форма поверхности капли претерпела возму-щение малой амплитуды. Зададимся целью проследить временную эволюцию формы поверхности капли и проанализировать закономерности её колебаний под действием ка-пиллярных и электрических сил. Учитывая, что движение жидкости в капле вызвано малыми колебаниями её поверхности, можно провести рассмотрение в рамках модели потенциального движения, когда поле скоростей характеризуется потенциалом ψ . По-

тенциал электрического поля в окрестности капли обозначим φ . Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Уравнение поверхности капли в сферической системе координат, связанной с её цен-тром масс, в безразмерных переменных, в которых 1=ρ , 1=R , 1=γ запишем в виде

.0),(1),,( =ϑξ−−≡ϑ trtrF (1)

где ϑ,r – сферические координаты, )t,(ϑξ – функция, описывающая отклонение фор-

мы капли от сферической ( 1<<ϑξ )t,( ).

Математическая формулировка задачи содержит: уравнения Лапласа для потен-циалов скорости жидкости и электрического поля

;0=ψΔ ;0=φΔ (2)

условия ограниченности

:0→r 0→ψ∇ ; (3)

:+∞→r 0→φ∇ ; (4)

кинематическое и динамическое граничные условия

:),(1 tr ϑξ+= ;Ft

0=∇⋅ψ∇+∂ξ∂− (5)


50

( ) ;ppppt атq σ−−+=ψ∇+

∂ψ∂ 2

2

1 (6)

условие неизменности объема капли

π=ϕϑϑ

V

dddrr ;3

4sin2 { };20;0;10,, π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= rrV (7)

условие неподвижности центра масс

=ϕϑϑV

dddrrr ;0sin2 (8)

условие постоянства полного заряда

;4 QdSnS

π−=φ∇⋅ { };;;r,,rS π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= 2001 (9)

условие постоянства электрического потенциала вдоль поверхности

:),(1 tr ϑξ+= );(tSφ=φ (10)

начальные условия

:0=t ( ) );(cos)(coscos 1100 ϑε+ϑξ+ϑξ=ξ Ω∈

kk

k PhPP ;0=∂ξ∂t

(11)

в выражениях (2) – (11) атp , p , qp , σp – атмосферное давление, гидродинамическое

давление в равновесном состоянии, давления электрического поля и капиллярное, соот-

ветственно; n – вектор нормали к поверхности капли; Sφ – электрический потенциал

капли; ε – амплитуда начальной деформации, являющаяся малым параметром задачи; Ω – спектр мод, определяющих начальную деформацию; kh – парциальный вклад k -ой

моды в начальную деформацию ( )1(~ Ohk

kΩ∈

); )(cosϑkP – полином Лежандра по-

рядка k ; 0ξ , 1ξ – величины, определенные так, чтобы интегральные условия (7) и (8)

выполнялись в начальный момент времени. Для удобства записи дальнейших выражений расширим множество констант kh ,

дополнив его так, что 0≡kh при любых Ω∉k .

3. Будем решать краевую задачу (2) – (11) методом многих масштабов с точностью

до третьего порядка малости по амплитуде начального возмущения ε , представляя все искомые величины в виде разложений по степеням ε и полагая, что они зависят не про-

сто от времени t , но от разных его масштабов tT jj ε= , ),,j( 210= . Производная по

времени t в этом случае выражается через производные по временным масштабам jT

следующим образом:


51

2

2

10 TTTt ∂∂ε+

∂∂ε+

∂∂=

∂∂

.

Подставляя разложения :

);( 4)3(3)2(2)1( ε+ξε+ξε+εξ=ξ O (12)

);( 4)3(3)2(2)1( ε+ψε+ψε+εψ=ψ O (13)

);( 4)3(3)2(2)1()0( ε+φε+φε+εφ+φ=φ O (14)

);( 4)3(3)2(2)1()0( ε+φε+φε+εφ+φ=φ OSSSSS (15)

в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые при одинаковых степенях ε , получим задачи различных порядков малости, которые для краткости изложения вынесены в

«Приложение A». В разложениях (14), (15) rQ /)0( =φ ; QS =φ )0( – решения нулевого

порядка малости, т.е. для равновесной сферической поверхности капли.

Очевидно, что в силу линейности уравнений Лапласа функции )k(ψ и )k(φ явля-ются решениями уравнений, аналогичных (2). Учитывая условия ограниченности (3), (4), можно записать:

∞

=ϑ⋅⋅=ψ

1

)()( );(cos)(n

nk

nnk PtDr ),,k( 321= ; (16)

∞

=+ ϑ=φ

01

)()( );(cos

)(

nnn

knk Pr

tF ),,k( 321= . (17)

Функцию, описывающую отклонение формы поверхности капли от сферической, представим в виде аналогичного разложения по полиномам Лежандра

∞

=ϑ⋅=ξ

0

)()( );(cos)(n

nk

nk PtM ),,k( 321= . (18)

Отметим, что в рамках рассмотрения задачи с точностью до третьего порядка ма-

лости, мы можем определить зависимость временных коэффициентов первого порядка в

(16) – (18) от трех масштабов времени: ),T,T,T(M )(n 2101 ),T,T,T(F )(

n 2101

)T,T,T(D )(n 2101 ; зависимость коэффициентов второго порядка – от двух масштабов

),T,T(M )(n 10

2 ),T,T(F )(n 10

2 )T,T(D )(n 10

2 ; а зависимость коэффициентов третьего

порядка – только от 0T : ),T(M )(n 0

3 ),T(F )(n 0

3 )T(D )(n 0

3 .

Последовательно используя решения (16) – (18) для разных значений 321 ,,k = , из

систем граничных условий первого, второго и третьего порядков малости получим диф-

ференциальные уравнения, которым должны удовлетворять коэффициенты )t(M )k(n ,

характеризующие временную эволюцию формы поверхности капли.


52

4. При решении задачи первого порядка (см. Приложение А) для коэффициентов

)t(M )(n1 получим гармоническое уравнение по времени 0T :

;0)()( )1(2

20

)1(2

=⋅ω+∂

∂tM

T

tMnn

n (19)

где )2)(1(2 Wnnnn −+−=ω – собственная частота n-ой моды колебаний поверхности

капли, )4/(2 π=QW – параметр Релея, характеризующий устойчивость капли по от-

ношению к собственному заряду. Общее решение этого уравнения содержит произволь-ные функции: одну комплексную, либо две действительные, зависящие от временных масштабов 21 T,T :

( ) [ ] ( ).),(cos),(2.).(exp),( 21)1(

021)1(

021)1()1( TTbTTTaскTiTTAtM nnnnnn +ω⋅=+ω⋅=

(20) Здесь и далее (к.с.) – означает слагаемые, комплексно сопряженные к выписанным;

[ ]),(exp),(),( 21)1(

21)1(

21)1( TTbiTTaTTA nnn ⋅= – комплексные амплитуды; )T,T(a )(

n 211

и )T,T(b )(n 211 – действительные функции, характеризующие амплитуду и фазу коле-

баний. Вид функций )T,T(A )(n 211 , )T,T(a )(

n 211 , )T,T(b )(

n 211 определяется при анализе

задач следующих порядков малости. 5. При рассмотрении задачи второго порядка малости (см. Приложение А) для эво-

люционных коэффициентов )t(M )(n

2 получим неоднородное дифференциальное урав-

нение:

[ ]+ω∂

∂ω−=⋅ω+∂

∂0

1

21)1(

)2(22

0

)2(2

exp),(

2)()(

TiT

TTAitM

T

tMn

nnnn

n

[ ]{ ( )[ ]+ω+ω⋅⋅⋅η⋅ω⋅ω+γ+ ∞

=

∞

=021

)1(

2 221

)1( exp),(),( TiTTATTA mkmk m

kkmnmkkmn

[ ] ( )[ ] }..).(exp),(),( 021)1(

21)1( скTiTTATTA mkmkkmnmkkmn +ω−ω⋅⋅η⋅ω⋅ω−γ+ . (21)

Константы kmnkmn ηγ , определены в Приложении B.

Для того чтобы решение уравнения (21) не содержало секулярных слагаемых, не-обходимо из его правой части исключить слагаемые, зависимость которых от времени

0T определяется выражением [ ]0exp Ti nω . Это требование позволяет выяснить зави-

симость функций )T,T(A )(n 211 (или )T,T(a )(

n 211 и )T,T(b )(

n 211 ) от временного мас-

штаба 1T . В простейшем случае такое условие имеет вид:


53

01

211

=∂

∂T

)T,T(A )(n (22)

и означает, что )(nA 1 , )(

na 1 и )(nb 1 не зависят от 1T .

Внимательный анализ функции неоднородности уравнения (21) показывает, что

если для каких-либо трёх мод капиллярных осцилляций с номерами n, p и q выполняется одно из соотношений: qpn ω±ω=ω , то условия исключения секулярных слагаемых из

решений аналогичных уравнений (записанных для мод n, p и q) будут иметь вид систе-мы трех связанных дифференциальных уравнений, определяющих зависимость от вре-

менного масштаба 1T взаимосвязанных функций )T,T(A )(n 211 , )T,T(A )(

p 211 и

)T,T(A )(q 211 . В таком случае принято говорить о внутреннем трёхмодовом резонанс-

ном взаимодействии капиллярных осцилляций капли, рассмотрению которого посвяще-ны работы [73, 75].

Общее решение уравнения (21) также содержит произвольные функции: одну ком-

плексную )(nA 2 , либо две действительные ( )(

na 2 и )(nb 2 ), но зависящие только от вре-

менного масштаба 1T . В случае отсутствия трёхмодовых резонансных взаимодействий

решение уравнения (21) для колебательных мод (n > 2) имеет вид:

[ ]+ω⋅= 01)2()2( exp)()( TiTAtM nnn (23)

{ ( )[ ] ( )[ ] }..).(expexp 0)1()1()(

0)1(

2 2

)1()( скTiAATiAA mkmkkmnmkmk m

kkmn +ω−ω⋅⋅⋅λ+ω+ω⋅⋅⋅λ+ −∞

=

∞

=

+

Выражения для констант )(kmn+λ и )(

kmn−λ приведены в Приложении В. Вид функций

)T(A )(n 1

2 , )T(a )(n 1

2 и )T(b )(n 1

2 (где [ ])(exp)()( 1)2(

1)2(

1)2( TbiTaTA nnn ⋅⋅= ) может

быть определен лишь в третьем порядке малости. 6. Остановимся более подробно на анализе неоднородного дифференциального

уравнения для эволюционных коэффициентов )t(M )(n

3 , получающегося при рассмот-

рении системы граничных условий третьего порядка (см. Приложение А):

[ ]+ω

⋅+

∂∂

+∂∂

ω−=⋅ω+∂

∂0

)1(

2

)1(

1

)2()3(2

20

)3(2

exp2)()(

TiAGT

A

T

AitM

T

tMnnn

nnnnn

n (24)

{ [ ]( ) [ ]( )}+⋅ω−ω⋅Η+⋅ω+ω⋅Η+ −∞

=

+ )2()1(0

)(0)2()1(0

2,

)(0 )(exp)(exp gkgkkgngkgkgk

kgn AATiAATi

[ ]( ) ( )[ ] −ω+ω⋅Ξ−ω⋅ω⋅−

++

∞

=0

2)1(

2

2exp)1(2)12(

1TiAn

k knknknk


54

[ ]( ) ( )[ ] +ω−ω⋅Ξ+ω⋅ω⋅−δ−− )1(

0

2)1(

, 2exp)1(2)1( nknknknkn ATiAn

( )[ ] [ ]( )+⋅Ψ⋅Η⋅+β⋅χ⋅δ+δ⋅δ+ −++−−+−+

)1()1(0

))((,,

))((1,,,

,,

)(1,,1,,1,1,1,

,, exp mlmlknlmk

mlnknlmklnknklm

nlmk AATiDD

( )[ ] [ ] +

⋅Ψ⋅Η+β⋅χ⋅δ+δ⋅δ⋅⋅+ −−+++

+−+)1()1(

0))((

,,))((2

,,,)(2

,,1,,1,1,1,,

,,, exp mlmlknlmknlmklnknklm

nmlk

nlmk AATiDD

( )[ ] [ ] } )1()1()1(0

))((,,

))((2,,,

,,

)(2,,1,,1,1,1,

,, exp kmlmlknlmk

mlnknlmklnknklm

nmlk AAATiDD

⋅⋅Ψ⋅⋅Η⋅+β⋅χ⋅δ+δ⋅δ+ +−−−−

+−+ ,

где mlkmlk ω±ω±ω≡Ψ ±± ))((,, , а ji,δ – дельта-символ Кронекера.

Выражения для коэффициентов, использованных в (24), вынесены в Приложение

В. Для краткости при записи (24) в правой его части комплексно сопряженные слагае-мые опущены.

Аналогично тому, как это описано выше, условие исключения секулярных членов

из решения уравнения (24) позволяет определить вид функций )T(A )(n 21 и )T(A )(

n 12 .

В простейшем случае отсутствия каких-либо резонансных взаимодействий между коле-бательными модами это условие имеет вид:

;0)()()(

2 2)1(

2

2)1(

1

1)2(

=⋅+

∂∂

+∂

∂ω TAG

T

TA

T

TAi nn

nnn

откуда несложно получить, что

221

2T

G)T(b

n

n)(n ω

= , (25)

в то время как, )(na 1 не зависит от времени 2T , а )(

na 2 и )(nb 2 – от времени 1T . Выраже-

ние (25) определяет поправки 2-го порядка малости к собственным частотам nω капил-

лярных осцилляций капли (см. (20)).

Решение уравнения (24) (из правой части которого исключены слагаемые, приво-дящие к появлению секулярных членов) после удовлетворения начальным условиям (11) может быть записано в виде:

[ ]( ) ( )( ) ( )[ ]

∞

Ξ∈+

ω−ω+ωω+ωω+Ξ−ωω−

−=ki

nknknk

nknnkn tсostсos

k

nhhtM 2

)12(

)1(2

16)(

2)3(

[ ]( ) ( )( ) ( ),

2( 1)(1 ) 2

(2 1)

− ω ω +Ξ + − δ ω − ω − ω − + ω ω −ω

n k nn k n k n

k n k

nсos t сos t

k


55

( ) [ ] ( ) ( )[ ]+ω−ω+ω

ω+ω−ω

Ηλ+λ−

∞

Ξ∈=

+−+ tсostсos

hhhngk

mlkg gkn

kgngmlgml

kml )()(4

,,2

22

)(0)(

,,)(

,,

[ ] ( ) ( )[ ] +

ω−ω−ωω−ω−ω

Η+

−

tсostсos ngkgkn

kgn )()( 22

)(0

( )[ ]( )

( ) ( )[ ]+

ω−Ψ

Ψ−ω

Η+β⋅χδ+δδ+

∞

Ξ∈

++

++

−+++−+

mlknmlk

mlkn

nlmknlmklnknklmkml tсostсoshhh

,,

))((,,2))((

,,2

))((1,,,

)(1,,1,,1,1,1,

4

( )[ ]( )

( ) ( )[ ]+ω−Ψ

Ψ−ω

Η+β⋅χδ+δδ+ −+

−+

+−−+−+

tсostсosDD

nmlk

mlkn

nlmkmlnknlmklnknklm

nlmk ))((

,,2))((,,

2

))((1,,,

,,

)(1,,1,,1,1,1,

,,

( )[ ]( )

( ) ( )[ ]+ω−Ψ

Ψ−ω

Η+β⋅χδ+δδ+ −−

−−

++++−+

tсostсosDD

nmlk

mlkn

nlmknlmklnknklmnm

lknlmk ))((

,,2))((,,

2

))((2,,,

)(2,,1,,1,1,1,

,,

,,

( )[ ]( )

( ) ( )[ ] .))((,,2))((

,,2

))((2,,,

,,

)(2,,1,,1,1,1,

,,

ω−Ψ

Ψ−ω

Η⋅+β⋅χδ+δδ+ +−

+−

−−−+−+

tсostсosDD

nmlk

mlkn

nlmkmlnknlmklnknklm

nmlk

Из вида функции неоднородности уравнения (24) несложно заметить, что помимо

трёхмодового резонансного взаимодействия, проявившегося при анализе задачи второго порядка малости (см. (21)), появляется дополнительная возможность четырёхмодового резонансного взаимодействия, когда для собственных частот мод с различными номера-ми n, p, q и s выполняется какое-либо из соотношений вида: nsqp ω=ω−ω±ω (см.

тройную сумму в функции неоднородности уравнения (24)). Возможна также ситуация, когда одна из мод участвует в резонансном взаимодействии дважды, что соответствует случаю вырожденного резонанса. Кроме того, в рассматриваемом приближении третьего порядка малости возможно трёхмодовое резонансное взаимодействие, при котором про-исходит обмен энергией между модами первого порядка малости, определяющими спектр начальной деформации капли, и модами, возбуждающимися во втором порядке малости (см. двойную сумму в функции неоднородности уравнения (24)). Взаимодейст-вия указанных видов в ранее выполненных расчётах третьего порядка малости обнару-жены не были (см. [29]).

Рассмотрим четырёхмодовое взаимодействие более подробно. 7. Чтобы отразить близость комбинации частот sqp ω−ω±ω к частоте nω , вве-

дём параметр расстройки σ ~ )(1Ο , определяемый соотношением:


56

( )σεωωωω 2

nsqp 1+=−± . (26)

Выписывая в дополнение к (24) аналогичные уравнения для мод p, q, s и исключая

из их правых частей слагаемые, приводящие к появлению секулярных членов в решени-ях, получим систему связанных дифференциальных уравнений относительно функций

)i(jA (где s,q,p,nj;,i == 21 ). Для примера приведём вид такой системы для случая,

когда реализуется первая из резонансных ситуаций (26) ( )σε+ω=ω−ω+ω 21nsqp :

−⋅+∂

∂ω=∂

∂ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi nn

nn

nn

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nsqpn ⋅σ⋅ω⋅⋅⋅⋅− + ;

−⋅+∂

∂ω=

∂∂

ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi pp

pp

pp

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nsqnp ⋅σ⋅ω⋅−⋅⋅⋅⋅− + ;

−⋅+∂

∂ω=

∂∂

ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi qq

qq

qq

[ ]22)1(

2)1(

2)1()( exp)()()( TiTATATAY nspnq ⋅σ⋅ω⋅−⋅⋅⋅⋅− + ;

−⋅+∂

∂ω=∂

∂ω− )()()(

2)(

2 2)1(

22

2)1(

1

1)2(

TATGT

TAi

T

TAi ss

ss

ss

[ ].exp)()()( 22)1(

2)1(

2)1()( TiTATATAY nqpns ⋅σ⋅ω⋅⋅⋅⋅⋅− + (27)

Выражения для всех использованных здесь обозначений приведены в Приложении

В. При рассмотрении второй резонансной ситуации ( )σε+ω=ω−ω−ω 21nsqp систе-

ма уравнений имеет вид, аналогичный (27). Систему (27) необходимо дополнить условиями исключения секулярных членов из

решений дифференциальных уравнений для амплитуд второго порядка малости мод n, p, q и s (см. (21)). Предположим, что моды n, p, q и s ни в каких других резонансах, кроме

резонансов вида (26) не участвуют. Это означает, что для функций )(nA 1 , )(

pA 1 , )(qA 1 и

)(sA 1 при анализе задачи второго порядка малости следует записать соотношения, ана-

логичные (22), согласно которым )(nA 1 , )(

pA 1 , )(qA 1 и )(

sA 1 не зависят от времени 1T . В

результате получим, что в уравнениях (27) слева от знаков равенства стоят функции


57

временного масштаба 1T , а справа – функции, зависящие только от 2T . Поскольку в ме-

тоде многих масштабов 1T и 2T рассматриваются как независимые переменные, то сле-

дует отдельно левые и правые части уравнений (27) положить равными константе, на-пример, нулю.

Для функций )(jA 2 (где s,q,p,nj = ) получим: 0

1

12

=∂

∂T

)T(A )(j

, откуда следует,

что )(jA 2 , )(

ja 2 и )(jb 2 являются постоянными величинами, равными своим начальным

значениям, которые несложно получить из (11), используя разложения (12), а также учи-

тывая (18), (20), (23): ( ) mkk m

kmjkmjj hha ⋅⋅λ+λ−= Ω∈ Ω∈

−+ )()()2(

4

1; 02 =)(

jb . В резуль-

тате выражение для амплитуд второго порядка малости (23) примет вид:

{ ( )( ) ( )[ ]+ω−ω+ωλ= ∞

=

∞

=

+ tсostсostM nmkk m

kmnn2 2

)()2( )(

( )( ) ( )[ ]} .2

)( mknmkkmn

hhtсostсos

⋅ω−ω−ωλ+ − (28)

Для функций )(jA 1 (где s,q,p,nj = ) получим комплексные уравнения, приравни-

вая нулю действительные и мнимые части которых, запишем следующую систему для

определения функций )1(ja и )(

jb 1 ( s,q,p,nj = ):

−

+

σω−

∂β∂ω )(

)(2)( 2

2

2)1(

2)1( TG

T

TTa nn

nnn (29)

[ ] 0cos)()()( ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()( =ϕ⋅⋅⋅⋅− ±+−±qpsnsqpn TaTaTaY ;

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅−∂

∂ω ±+−±qpsnsqpn

nn TaTaTaY

T

Ta;

[ ] 0cos)()()()()(

2)( ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(2

2

2)1(

2)1( =ϕ⋅⋅⋅⋅+

−

∂∂

ω ±+−±qpsnsqnpp

ppp TaTaTaYTG

T

TbTa ;

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅+∂

∂ω ±+−±

qpsnsqnpp

p TaTaTaYT

Ta;

[ ] 0cos)()()()()(

2)( ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(2

2

2)1(

2)1( =ϕ⋅⋅⋅⋅+

−

∂∂

ω ±+−±qpsnpsnqq

qqq TaTaTaYTG

T

TbTa ;


58

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅±∂

∂ω ±+−±

qpsnpsnqq

q TaTaTaYT

Ta;

[ ] 0cos)()()()()(

2)( ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(2

2

2)1(

2)1( =ϕ⋅⋅⋅⋅+

−

∂∂ω ±+−±

qpsnpqnsss

ss TaTaTaYTGT

TbTa ;

[ ] 0sin)()()()(

2 ))()((,,,2

)1(2

)1(2

)1()(

2

2)1(

=ϕ⋅⋅⋅⋅−∂

∂ω ±+−±qpsnpqns

ss TaTaTaY

T

Ta;

)()( 2)1(

22)1( TbTT nnn −⋅σ⋅ω=β ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2)1(

2)1(

2)1(

2)1(

2))()((

,,, TbTbTbTT qpsnqpsn ±+−β≡ϕ ±+− .

Начальные условия для системы (29) также несложно получить из исходных усло-

вий (11), учитывая (12), (18), (20). Отметим, что из вида уравнений (29) следует, что че-тырёхмодовый резонанс может проявляться лишь в том случае, если амплитуды хотя бы трёх из взаимодействующих мод в начальный момент времени отличны от нуля. Рас-смотрим для примера ситуацию, когда моды p, q и s присутствуют в спектре, опреде-ляющем начальную деформацию капли, а мода n возбуждается в результате межмодово-го взаимодействия (т.е. Ω∉Ω∈ n;s,q,p ). Система уравнений (29) в этом случае

должна быть дополнена следующими начальными условиями:

2)0(;0)0( )1()1( π±=β= nna ; 0)0(;

2)0( )1()1( == j

jj b

ha ; (j=p, q, s) . (30)

Решения системы (29) с начальными условиями (30) определяют зависимость от

медленного временного масштаба tT 22 ε= амплитуд 1-го порядка малости )t(M )(

j1

(см.(20)) для мод, связанных резонансным взаимодействием ( n,s,q,pj = ).

8. На рис. 1 представлены результаты численных расчётов, выполненных для резо-

нансной ситуации: 2302117 ω=ω−ω+ω , реализующейся при значении безразмерного

параметра W=0.460245 (параметр W характеризует величину заряда капли 32 4 R/QW γπ= ). Предполагалось, что начальное возмущение определяется 17, 21 и

30-й модами, парциальные вклады которых в амплитуду этого возмущения ( 1.0=ε ) равны между собой ( 3/1302117 === hhh ). Поскольку наибольший интерес представ-

ляет раскачка моды, отсутствующей в спектре начального возмущения, то на рис. 1 (и всех последующих) приводятся только результаты, полученные для второй (основной) моды. Из представленных графиков видно, что для данной моды, раскачиваемой за счет 4-модового резонансного взаимодействия, эволюционный коэффициент первого порядка

малости )()1(2 tM (см. разложения (12), (18)) может достигать лишь весьма незначитель-

ных амплитуд (на порядок меньших соответствующих амплитуд 17, 21 и 30-й мод) и не превышает величин второго порядка малости. Увеличение относительной амплитуды


59

начального возмущения ε приводит лишь к уменьшению периода резонансного взаимо-

действия, практически не сказываясь на амплитуде )()1(2 tM (см. рис. 2, где представле-

ны результаты аналогичных расчетов при 3.0=ε ).

Естественно предположить, что в реальности форма начального возмущения по-

верхности капли определяется более широким спектром мод (а не только 17, 21 и 30-й), тогда парциальный вклад интересующих нас мод уменьшится. На рис. 3 приведены ре-зультаты расчетов, выполненных для случая, когда 12/1302117 === hhh , а 1.0=ε .

Как и следовало ожидать, уменьшение парциального вклада резонансно взаимодейст-вующих мод приводит к пропорциональному уменьшению амплитуды раскачиваемой основной моды. При этом значительно увеличивается период резонансного взаимодей-ствия.

Рис. 2. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 3.0=ε

Рис. 1. Временная зависимость эволюционного коэффициента первого по-рядка малости в разложении в ряд по амплитуде начального возмущения амплитуды раскачиваемой основной (второй) моды капиллярных колеба-ний поверхности капли. Значение параметра W соответствует поло-

жению точного резонанса 46.0=W , 1.0=ε , 3/1302117 === hhh


60

Изменение величины заряда капли (величины параметра W) приводит к увеличе-нию параметра расстройки в соотношении (26), т.е. к ухудшению условий резонансной перекачки энергии из высоких мод в низкую – основную. На рис. 4 и 5 изображены за-висимости, рассчитанные при значениях заряда капли, больших и меньших резонансно-го: W = 0 и W = 0.87 соответственно. Параметры расстройки в этих случаях практически одинаковы, но имеют разные знаки. Несложно заметить, что следствием изменения за-ряда капли является уменьшение как амплитуды резонансно раскачиваемой моды, так и периода резонансного взаимодействия. Отметим, что при увеличении заряда снижение амплитуды основной моды менее значительно, поскольку в обычных условиях (при от-сутствии резонансов) увеличение заряда ведёт к росту амплитуд колебательных мод.

Рис. 3. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 12/1302117 === hhh

Рис. 4. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 0=W


61

Численные расчеты проводились также и для второй четырёхмодовой резонансной

ситуации ( )σε+ω=ω−ω−ω 21nsqp (см. (26)), реализующейся, например, для 34,

30, 10 и 2-й мод при значении параметра W = 0.983454. Однако полученные результаты полностью аналогичны представленным на рис. 1 и здесь не приводятся.

Расчёт обычными методами теории нелинейных осцилляций [1, 29, 52, 69, 71, 80, 81] возникающей за счёт нерезонансного межмодового взаимодействия поправки 2-го

порядка малости )t(M )2(

2 к амплитуде основной моды (см. (12), (18), (28)) показывает,

что она достигает величины, сравнимой с )t(M )1(

2 . Это вызвано тем, что выражение

для поправки второго порядка к амплитуде n-ой моды )()2( tM n содержит коэффициен-

ты ( )( ) 1( ) ~kmn n k m n k mλ ω ω ω ω ω ω −− − + + − , причём индексы k и m пробегают

значения номеров мод из спектра начального возмущения. Очевидно, что, когда k и m

принимают одинаковые значения, 2

)( 1~

nkkn ω

λ − . Поскольку частота второй моды сущест-

венно меньше всех возможных частот колебательных мод, то величины коэффициентов )(2

−λkk , а следовательно, и поправки )()2(2 tM значительно больше, чем аналогичные по-

правки )()2( tM n для высоких мод. В результате вклад нерезонансной поправки второго

порядка в суммарную амплитуду основной моды (равный )()2(2

2 tM⋅ε ) сравним со

вкладом, вносимым эволюционным коэффициентом первого порядка ( )()1(2 tM⋅ε ), по-

являющимся вследствие резонанса. Данное обстоятельство в сочетании с требованием равномерности асимптотического разложения для амплитуды раскачиваемой основной моды фактически накладывает ограничение сверху на величину малого параметра ε.

9. Заключение. При асимптотическом расчете нелинейных капиллярных осцилля-ций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости выяснилось, что в третьем по-рядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации имеет место четы-рехмодовое внутреннее резонансное взаимодействие мод, обеспечивающее раскачку ос-

Рис. 5. Те же зависимости, что на рис. 1, рассчитанные при 87.0=W


62

новной моды даже при отсутствии ее в спектре мод, возбужденных в начальный момент времени. Однако амплитуда основной моды, раскачиваемой при резонансной перекачке в неё энергии из возбужденных в начальный момент времени высоких мод, хотя фор-мально имеет первый порядок малости, тем не менее, не превышает величины поправки второго порядка малости, появляющейся за счет нерезонансного нелинейного взаимо-действия. Это делает возможность применения результатов проведенных расчетов к ис-толкованию проблемы инициирования разряда молнии достаточно проблематичной.

В том же третьем порядке малости проявляется трехмодовое резонансное взаимо-действие амплитуд мод первого порядка, возбужденных в начальный момент времени, с поправками к амплитудам, имеющим второй порядок малости.

10. Приложение A. Краевые задачи различных порядков малости. Подставляя разложения (12) – (15) в краевую задачу (2) – (11) и собирая слагаемые

при одинаковых степенях ε , получим задачи различных порядков малости. В нижесле-дующем изложении для частных производных (например, по переменной x ) использу-ется обозначение x∂ .

Выделяя слагаемые с 1ε , получим задачу первого порядка малости:

;0)1( =ψΔ ;0)1( =φΔ

:0→r 0)1( →ψ ;

:+∞→r 0)1( →φ∇ ;

:1=r ;)1()1(0

ψ∂=ξ∂ rT

( ) )1()1()0()1()1()0()1( 24

10

ξΔ+ξ+φ∂ξ+φ∂φ∂π

=ψ∂ ΩrrrrT ;

−

=ϑξ1

1

)1( ;0)(cosd −

=ϑξ1

11

)1( ;0)(cosdP

( ){ }−

=ϑφ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()1()1( ;0)(cos2 drrrr

);()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ

:0=t )(cos)1( ϑε=ξ Ω∈

kk

k Ph ; .0)1(0

=ξ∂T

Слагаемые, содержащие 2ε , определяют задачу второго порядка малости:

;0)2( =ψΔ ;0)2( =φΔ

:0→r 0)2( →ψ ;

:+∞→r 0)2( →φ∇ ;


63

:1=r ;)1()1()1()1()2()1()2(10

ψ∂ξ∂−ψ∂ξ+ψ∂=ξ∂+ξ∂ ϑϑrrrTT

( ) ( ) { +φ∂φ∂ξπ

=ψ∂+ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂ ϑ)0()0()2(2)1(2)1()1()1()1()2( 2

8

1

2

1

2

1010 rrrrrTTT

( ) ( )( ) ( ) ( ) +φ∂φ∂+φ∂+φ∂+φ∂φ∂+φ∂ξ+ ϑ)0()2(2)1(2)1()0()0(2)0(2)1( 2 rrrrrrrrr

( )} ( ) ;2222 )1()1(2)1()2()2()0()1()1()0()1( ξΔξ−ξ−ξΔ+ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+ ΩΩrrrrrr

( )( )−

=ϑξ+ξ1

1

2)1()2( ;0)(cosd ( )( )−

=ϑξ+ξ1

11

2)1()2( ;0)(cos32 dP

( ) ( ){−

+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂1

1

)0()0()2()1()1()1()2( 22 rrrrrrr

( ) ;0)(cos22

1 )1()1()0()0()0(2)1( =ϑφ∂ξ∂−

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ ϑϑ drrrrrr

( ) );(2

1 )2()0(2)1()0()2()1()1()2( tSrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ

:0=t ( ) ( )

Ω∈Ω∈ϑ−

+ϑ−=ξ

mkkmmk

k

k PKhhk

Ph

,11

0)2( cos2

3

12

cos; 0)1()2(

10=ξ∂+ξ∂ TT .

Задача третьего порядка малости определяется слагаемыми, содержащими 3ε :

;0)3( =ψΔ ;0)3( =φΔ

:0→r 0)3( →ψ ;

:+∞→r 0)3( →φ∇ ;

:1=r +ψ∂ξ∂−ψ∂ξ∂−ψ∂=ξ∂+ξ∂+ξ∂ ϑϑϑϑ)2()1()1()2()3()1()2()3(

210 rTTT

( )( ) ( ) )1(2)1()2()1()1()1()1()1()2(

2

12 ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂−ψ∂ξ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ rrrrrrrr ;

+ψ∂ψ∂+ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂+ψ∂+ψ∂ ϑϑ)2()1()2()1()1()1()2()1()3(

1120 rrrTTTT

( )( )+ψ∂ψ∂+ψ∂−ψ∂ψ∂+ψ∂ξ+ψ∂ξ+ ϑϑϑ)1()1()1()1()1()2()1()1()2(

00 rrrrrTrT


64

( ) ( ) +

φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂ξ

π=ψ∂ξ+ )0()0()0()0(3)1()0()0()3()1(2)1(

3

12

8

1

2

10 rrrrrrrrrrrrrrrT

( )( )+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂+φ∂ξφ∂+φ∂φ∂+ ϑϑ)1()0()2()3()0()2()0()2()1()2()1(2 rrrrrrrrr

( )( ) ( )( +φ∂−φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑϑ)1()1()1()2()0()0()0(2)0()2()1(2 rrrrrrrrrr

) ( ) ( ) }+φ∂φ∂+φ∂φ∂+φ∂φ∂ξ+φ∂φ∂+φ∂φ∂+ )1()0()1()0()1()0(2)1()2()0()1()1( 2 rrrrrrrrrrrrrrrrrr

( ) ( ) ( )( ) ( ) −ξΔξ+ξΔξ−ξΔ+−ξξ+ξΔ++ ΩΩΩΩ)1(2)1()1()2()2(2)1()1()3( 32222

( ) ( ) )1(2)1()1(2)1(

2

1 ξΔξ∂−ξ∂ξ∂− Ωϑϑϑϑ ;

( )( ) ( )−

=ϑξ+ξξ+ξ1

1

3)1()2()1()3( 0cos63 d ;

( )( ) ( ) ( )−

=ϑϑξ+ξξ+ξ1

11

3)1()2()1()3( 0coscos3 dP ;

( ){ ( )+φ∂+φ∂ξ+φ∂+φ∂ξ+φ∂−

)1()1(1

1

)2()0()0()3()3( 22 rrrrrrr

( ) ( ) +

φ∂+φ∂+φ∂ξ+

φ∂+φ∂+φ∂ξ+ )1()1()1(2)1()0()0()0(3)1( 2

2

1

6

1rrrrrrrrrrrrrrr

( )( )−φ∂ξ∂−φ∂+φ∂+φ∂+φ∂+φ∂ξξ+ ϑϑ)1()1()2()2()0()0()0()2()1( 224 rrrrrrrrrr

} 0)(cos)2()1()1()2( =ϑφ∂ξ∂−φ∂ξ∂− ϑϑϑϑ d ;

( ) +φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ∂ξ+φ )1(2)1()0()3()1()2()2()1()3(

2

1rrrrr

( ) )(6

1 )3()0(3)1()0()2()1( tsrrrrr φ=φ∂ξ+φ∂ξξ+ ;

:0=t −ϑ+

−=ξ Ω∈lmk

kmllmk PK

l

hhh

,,0

)3( )(cos)12(3


65

)(cos5

91

0 ,,1

,12 ϑ

+−

∞

= Ω∈Ω∈PKKhhhKhhh

g lmkglkmglmk

mkkmmk ;

:0=t 0)1()2()3(210

=ξ∂+ξ∂+ξ∂ TTT ;

где ( )2000

nmknmk CK = , а 0

00n

mkC – коэффициенты Клебша – Гордана.

11. Приложение B. Использованные обозначения.

[ −++−+++−ω=γ )1(()1)1((2)1(2 kmmmnknK kmnknmk

] [ ];2//2/)3)722( 2 nWknWnkk knmk +ωα+++−−

( ) ( ) kmnknK nkmnmknmk /)2/(112/ +α++−=η ;

( )2000

nmknmk CK = ; ;)1()1(0

1)1(0

00 ++−=α − mmkkCC nmk

nmknkm

( ) ( )22)( )(/ mknnmkmknkmnmk ω±ω−ωηωω±γ=λ ±

( )( ))()(2210)(0 −++ +−−= kkgkkggkgngkkgnkgnkgnH λλωΠωωΠΠ ;

( )( ))()(2210)(0 −+− λ+λωΠ−ωωΠ+Π= kkgkkggkgngkkgnkgnkgnH ;

( )( )( ++++−++−ω=Π )1()2(12)1(20 ggkknknkkgn

( ) ( )( )) ( ) kgnkkgn WnkKgkngknkWn α+ω++−−−+−−+ /333 2 ;

( ) )/()2(1 gkgknKnkg kgnkgnkgn α++−−−+=Π ;

gKng kgnkgnkgn /)1(2 α−−−=Π ;

( )Wnnnn )1(3 2 −−ω=Ξ ; ( )

( )( )3212

19

+++−=χ

ll

ll ;

( ) ( )2210)(1mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω+ωΠ−ω+ωωΠ−Π=β + ;

( ) ( )2210)(1mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω−ωΠ−ω−ωωΠ−Π=β − ;

( ) ( )2210)(2mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω+ωΠ−ω+ωωΠ+Π=β + ;


66

( ) ( )2210)(2mlkgnmlkkgnkgnnlgmk ω−ωΠ−ω−ωωΠ+Π=β − ;

∞

=

−∞

=

−∞

=

++−+ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

+∞

=

+∞

=

−−+− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(1))((1

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

+∞

=

+∞

=

++++ μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;

∞

=

−∞

=

−∞

=

−−−− μ+μ+λβ=0

)(0

1

)(1

2

)()(2))((2

gnlgmk

gnlgmk

ggmlnlgmknlmkH ;



( )[{ −++−+−ω−α=Λ 4(())13)2(2()2(2(2

1 20 knKllWkknkKk kmgkkmgnglnkmgl

−−++−−−++−++− )))22)3(23()9()2)(1(2()1(6 23 Wmmnknkmmkkk

] }=ν

ν−+ν−α−ω−−−−]2/[

1,2,

2 )142(2))2()1(l

nlgkmgk Klknnkkk ;

( )( ) +ωα−−α−−−=Λ 21 /)1(/)1( mkmgkmgnlgnlgnlgmk mKmgKng

( ) kmgnlgnlg KKgnlgWnk α+−−+++ )2)(1( ;

( )( ) +α−+−−+−−=Γ nlgkmgkmgnlgmk KkmmnmkKnkk )/())(1(2/))1(2)(1(0

( ) gmnglkglk KkkKkk /)2(2/)2)(1( α−−−−+ ;

( )( )( )−−−+−−−−= mKmkgknKng lmglmggkngknnlgmk /)1()/()1(1 ααΓ

( )( )mKmgKng kmgkmgnlgnlg /)1(/)1( α−−α−−−− ;


67

( )[ ]−

+−++

≡ ∞

=2

212212

1

kkkk,nnn )k(

)k(G ΞωδΞ

( ) [ ]−++− −+−+− +

)(1,,1,,

)(2,,1,,1,1, 1, nnkknnkkknknk nk

ββχδδ δ

( )[{ +−+−−− ∞

=

+++

0

)(,

)()(2,,,,1,0, )1()1)(1(

gnkgnkkngnngkkgg λδλβδδ

( ) ]+−+++ −−−− )(kkgngnn,k

)(nkg

)(kng

)(n,n,g,k,k )( λΠδλλβ 01 12

[ ]} ( ))1()1(0,,

1,,0,, )1()2( kkngkngkgnk AAZZ

+−−+ δδ ;

i

nkgnki

nkgkni

nngkki

ngkZ ,,,,,,,,)(

,,,,,, ΛΛμ ++≡ + (i = 0;1); m,ln,km,ln,kD δδ−≡1 ;

( )( ) +++= −+++−

+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(nqspssqqqsnpnp

spnqn DY βχδχδδδ

( )( ) ++++ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, npsqsspppsnqnqsqnpD βχδχδδδ

( )( )[ ++++ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, nqpsqqpppqnsns

sqnp

spnq DD βχδχδδδ

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ nqpsnpqsnspqnsqpnpsqnqsp HHHHHH ;

( )( ) +++= −+++−

− )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(nqpsppqqqpnsns

spnqn DY βχδχδδδ

( )( ) ++++ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, nspqppssspnqnq

pqnsD βχδχδδδ

( )( )[ ++++ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, nqspqqsssqnpnp

pqns

spnq DD βχδχδδδ

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ nqspnsqpnpsqnpqsnspqnqps HHHHHH ;

( )( ) +++= −+++−

+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(psqnqqsssqpnpn

spnqp DY βχδχδδδ

( )( ) ++++ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, pnqsqqnnnqpspssqnpD βχδχδδδ

( )( )[ ++++ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, pnsqssnnnspqpq

spnq

sqnp DD βχδχδδδ


68

]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ psnqpnsqpqnspqsnpnqspsqn HHHHHH ;

( )( ) +++= ++++−

− )(1,,1,,1,1,1,1,

)(psqnqqsssqpnpnpY βχδχδδδ

( )( ) ++++ ++++−

)(1,,1,,1,1,1,1, pnqsqqnnnqpsps βχδχδδδ

( )( ) ++++ ++++−

)(1,,1,,1,1,1,1, pnsqssnnnspqpq βχδχδδδ

))((1

,,,))((1

,,,))((1

,,,))((1

,,,))((1

,,,))((1

,,,−+−+−+−+−+−+ ++++++ psnqpnsqpqnspqsnpnqspsqn HHHHHH

( )( ) +++== −+++−

−+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)()(qspnppssspqnqn

sqnpqq DYY βχδχδδδ

( )( ) ++++ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, qnpsppnnnpqsqs

spnqD βχδχδδδ

( )( )[ ++++ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, qnspssnnnsqpqp

spnq


]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ qsnpqnspqpnsqpsnqnpsqspn HHHHHH ;

( )( ) +++= −+++−

+ )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(sqnpnnqqqnspsp

sqnps DY βχδχδδδ

( )( ) ++++ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, spnqnnpppnsqsq

spnqD βχδχδδδ

( )( )[ ++++ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, sqpnqqpppqsnsn

spnq


]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ sqpnspqnsnpqsnqpspnqsqnp HHHHHH ;

( )( ) +++= −+++−

− )(1,,1,,1,1,1,1,

,,

)(sqpnppqqqpsnsn

sqnps DY βχδχδδδ

( )( ) ++++ −+++−

)(1,,1,,1,1,1,1,

,, snpqppnnnpsqsq

pqnsD βχδχδδδ

( )( )[ ++++ ++++−

)(2,,1,,1,1,1,1,

,,

,, sqnpqqnnnqspsp

pqns


]))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((2,,,

))((1,,,

))((1,,,

++++−−−−+−+− ++++++ sqnpsnqpspnqspqnsnpqsqpn HHHHHH .


69

3. Временная эволюция формы поверхности деформированной в начальный момент

заряженной капли вязкой жидкости

1. Задача аналитического расчета нелинейных осцилляций заряженной капли до сих пор решалась лишь в приближении идеальной жидкости [1, 29, 52, 69, 71, 73, 82, 83], нелинейные анализы осцилляций вязких капель до сих пор выполняются лишь числен-ными методами [9 – 11]. Попытка аналитического асимптотического расчета нелиней-ных осцилляций капли с произвольной вязкостью, предпринятая в [90], привела к весьма громоздким выражениям на финальной стадии анализа и трудностям чисто математиче-ского плана. Представляется, однако, что в предельных ситуациях весьма большой и весьма малой вязкости, отмеченные в [90] трудности удастся обойти. В этой связи в на-стоящем рассмотрении решается задача об исследовании временной эволюции формы заряженной капли вязкой жидкости, деформированной в начальный момент времени, в линейном по амплитуде осцилляций приближении, и получаются асимптотики большой и малой вязкости. Следует отметить, что в ранее проведенных рассмотрениях линейных осцилляций заряженной капли вязкой жидкости основным результатом линейной теории являлось дисперсионное уравнение задачи, анализ которого позволял судить о режимах осцилляций и об устойчивости капли [45, 92 – 94], а начальные условия вообще не вхо-дили в постановку задачи. Исследования временной эволюции формы осциллирующей капли сводились к выписыванию асимптотических выражений для декрементов затуха-ния. В связи со сказанным проводимый в настоящей работе анализ представляет качест-венно иной подход к анализу осцилляций капли вязкой жидкости в рамках линейной теории, являясь, по сути, линейной стадией решения задачи о расчете нелинейных ос-цилляций вязкой капли.

2. Пусть сферическая капля радиуса 0r идеально проводящей несжимаемой вязкой

жидкости с плотностью ρ , кинематической вязкостью ν , коэффициентом поверхност-

ного натяжения σ , несет электрический заряд Q . Поле скоростей течения жидкости в

капле обозначим ( )trU ,, ϑ , поле давлений – ( )trP ,,ϑ , потенциалы электрического

поля в окрестности капли и на ее поверхности обозначим ( )tr ,,ϑφ и ( )tSφ соответст-

венно. Уравнение поверхности капли, совершающей осесимметричные осцилляции в любой момент времени t , запишем в сферической системе координат r , ϑ , ϕ в виде

),(),,( 0 trrtrF ϑξ−−=ϑ ; (1)

с начальным условием

:0=t ( ) ,cos, ϑμμεξ ≡= Ω∈m

mmPh ; (2)

где ε – малый параметр, характеризующий амплитуду начального возмущения;

( )μmP – полином Лежандра порядка m ; Ω – множество индексов изначально возбуж-

денных мод; mh – константы, учитывающие парциальный вклад m -ой моды в форми-

рование начальной формы капли, такие, что ( )1Ohm

m =Ω∈

.


70

Математическая формулировка задачи о расчете капиллярных колебаний заряжен-ной капли, форма которой определяется (1), (2), вязкой несжимаемой электропроводной жидкости имеет вид [91, 92]:

( ) UpgradUUUt Δ+−=∇⋅+∂ νρ1

; 0=Udiv ; 0=φΔ ;

0=t : 0=U ;

0→r : ∞<U ; +∞→r : 0→φ∇ ;

( )trr ,0 ϑξ+= : )(tSφ=φ ; ( ) 0=∇⋅+∂ FUFt ;

( ) ( ) 0=∇⋅⋅+∇⋅⋅ UnUn ττ ; ( ) 02 =+−∇⋅⋅+− σνρ ppUnnp Q ;

QdSnS

π−=φ∇⋅ 4 ; { }π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+=ϕϑ= 20;0;,, 0rrrS ;

π=ϕϑϑ

V

rdddrr 30

2

3

4sin ; { }π≤ϕ≤π≤ϑ≤ξ+≤≤ϕϑ= 20;0;0,, 0rrrV ;

=→

V

dddrrr 0sin2 ϕϑϑ ,

где символ t∂ означает частную производную по переменной t; n и τ – единичные век-

тора нормали и касательной к поверхности капли; σp и Qp – давления сил поверхност-

ного натяжения и электрического поля собственного заряда определяются выражения-ми:

( )2

8

1 φπ

∇=Qp , ( )np ⋅∇=σσ .

3. Поскольку выписанная система уравнений является нелинейной, то для отыска-

ния ее решения в рамках метода прямого разложения [53, 54] все искомые величины за-дачи представим в виде рядов по малому параметру ε

( ) ( ) ( )2)1( ,, ε+ϑξε=ϑξ Ott ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()1( ,,,,,, ε+ϑε+ϑε=ϑ ϑϑ OetrUetrUtrU rr ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()0( ,,,,,, εϑεϑϑ Otrptrptrp ++= ;

( ) ( ) ( ) ( )2)1()0( ,,,,, ε+ϑφε+φ=ϑφ Otrtrtr ; ( ) ( ) ( ) ( )2)1()0( ε+φε+φ=φ Ottt SSS .


71

3а. Подставляя эти разложения в выписанную систему уравнений и приравнивая коэффициенты при нулевой степени малого параметра, получим систему уравнений ну-левого порядка малости

0)0( =φΔ ;

:+∞→r 0)0( →φ∇ ;

0rr = : ( ) Qdr r 2cos1

1

)0(20 −=ϑφ∂

−

; )()0()0( tSφ=φ ; 0)0()0()0( =+−− σppp Q .

Решая которую, найдем

r

Q=φ )0( ; 0

)0(

r

QS =φ ;

0

4

0

2)0( 2

8 rr

Qp

σπ

=+ . (3)

3b. Выделяя слагаемые, содержащие малый параметр в первой степени, и учитывая

векторное тождество [93]

( ) ( )UrotrotUdivgradU −=Δ ,

получим задачу первого порядка малости, которая будет иметь вид:

( ) −∂+∂+∂−=∂ )1(

2

)1(

2

)1()1( 11rrrrt U

r

ctgU

rpU ϑϑϑ

ϑνρ

( ) ( )ϑ−∂−∂ϑ−∂− ϑϑϑϑϑϑ

)1(2

)1(2

)1()1( 11U

r

ctgU

rU

r

ctgU

r rr ;

∂−∂+∂+∂−=∂ )1()1()1()1()1( 1211

rrrrrt Ur

Ur

Upr

U ϑϑϑϑϑ νρ

;

( )

012 )1()1()1()1( =ϑ+∂++∂ ϑϑϑ U

r

ctgU

rU

rU rrr ; 0)1( =φΔ ;

0=t : ( )Ω∈

=m

mmPh μεξ )1( ; 0)1(=U ;

0→r : ∞<)1(

U ; +∞→r : 0)1( →φ∇ ;

0rr = : )1()1(rt U=ξ∂ ; 0

11 )1()1()1( =−∂+∂ ϑϑϑ Ur

Ur

U rr ;


72

( )−∂+∂∂−∂+− )0()1()1()0()1()1(

4

12 φξφφ

πνρ rrrrrr Up ( ) 02 )1(

2

0

=Δ+ Ω ξσr

;

( )( ) ( ) 021

1

)0()0(

0

)1()1(

0 =∂+∂+∂−

μφφξφ drr rrrr ; )()1()0()1()1( tSr φ=φ∂ξ+φ ;

−

=1

1

)1( ;0)(μξ d ( )−

=1

11

)1( ;0)(μμξ dP (4)

где ΩΔ – угловая часть оператора Лапласа.

4. В системе (4) выполним преобразование Лапласа по времени, т.е. от функций

перейдем к их изображениям [95]:

( ) ( ) ( ) tdtStfSF −= +∞

0

exp ; )1(rUf = ; )1(

ϑ=Uf ; )1(pf = ; )1(ξ=f ;

)1(φ=f ; )1(

Sf φ= .

Изображения Лапласа разложим по бесконечному набору полиномов Лежандра:

( ) ( ) ( )+∞

==

0

)1()1( ,,,n

nnrr PSrUSrU μϑ ; ( ) ( ) ( )+∞

=∂=

0

)1()1( ,,,n

nn PSrUSrU μϑ ϑϑϑ ;

( ) ( ) ( )+∞

==

0

)1()1( ,n

nn PSS μξϑξ ; ( ) ( ) ( )+∞

==

0

)1()1( ,,,n

nn PSrSr μφϑφ ;

( ) ( ) ( )+∞

==

0

)1()1( ,,,n

nn PSrpSrp μϑ . (5)

В результате чего система (4) примет вид

( ) ( ) +∂−= SrpSrUS nrnr ,1

, )1()1(

ρ

( ) ( ) ( ) ( )

−+∂+ν+ ϑϑ SrU

rSrU

rSrU

rnn nrnnr ,

1,

1,

11 )1(

2)1(

2)1( ; (6)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂−∂+∂+−= SrU

rSrU

rSrUSrp

rSrUS nrrnrnrrnn ,

1,

2,,

1, )1()1()1()1()1(

ϑϑϑ νρ

; (7)

( ) ( ) ( ) ( ) 0,1

,2

, )1()1()1( =+−+∂ ϑ SrUr

nnSrU

rSrU nnrnrr ; (8)

0→r : ( ) ∞<SrU nr ,)1( ; ( ) ∞<ϑ SrU n ,)1( ; (9)


73

0rr = : ( ) )1()1(nrnn UhSS =−ξ ; (10)

( ) ( ) ( ) 0,1

,1

, )1()1()1( =−+∂ ϑϑ SrUr

SrUr

SrU nnrnr ; (11)

( ) ( ) ( ) ( )( )+∂+∂∂−∂+− )0()1()1()0()1()1( ,4

1,2, φξφφ

πνρ rrnnrrnrrn SSrSrUSrp

( )( ) ( ) 012 )1(2

0

=ξ−+σ+ Snnr

n ; (12)

( ) ( ) −

+∞

==

1

1 0

)1( ;0)(μμξ dPSn

nn ( ) ( ) ( ) −

+∞

==

1

11

0

)1( ;0)(μμμξ dPPSn

nn (13)

( ) ( ) ( ) 0,)1(,2

, )1()1()1( =φ+−φ∂+φ∂ SrnnSrr

Sr nnrnrr ; (14)

+∞→r : ( ) 0,)1( →φ∂ Srnr ; ( ) 0,)1( →φ Srn ; (15)

0rr = : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 02,1

1 0

)0()0(

0

)1()1(

0 =∂+∂+∂ −

+∞

=μμφφξφ dPrSSrr n

nrrrnnr ; (16)

( ) ( ) ( ) 0)1()0()1()1( , nSrnn SSSr δφ=φ∂ξ+φ ; (17)

где 0nδ – символ Кронекера.

Решение системы (6) – (17) начнем с решения уравнений (13), которые с учетом

условия ортогональности полиномов Лежандра приводят к условиям

( ) ( ) 0)1(1

)1(0 =ξ=ξ SS . Используя эти условия и решение нулевого порядка малости (3),

нетрудно найти решение системы уравнений (14) – (17), которое имеет вид

( ) 0)1( =φ SS ; ( ) ( )Sr

r

r

QSr n

n

n)1(

10

20

)1( , ξ

=φ

+

. (18)

Для того чтобы найти поля скоростей жидкости и давления в капле из уравнения

неразрывности (8) выразим ( )SrU n ,)1(ϑ

( ) ( ) ( ) ( )

+∂

+=ϑ SrU

rSrU

nn

rSrU nrnrrn ,

2,

1, )1()1()1( ; (19)

а из уравнения (7) ( )Srpn ,)1(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂−∂+∂+−= SrU

rSrU

rSrUrSrUrSSrp nrrnrnrrnn ,

1,

2,,, )1()1()1()1()1(

ϑϑϑ νρρ . (20)

Выражения (19) и (20) подставим в (6), после чего оно примет вид [18]:


74

( )( ) ( )( ) ( ) 0,214214 )1(

22=

ν−+−−∂+∂

+−−∂+∂ SrU

S

r

nn

rr

nn

r nrrrrrrr . (21)

Решение уравнения (21), удовлетворяющее условиям ограниченности (9), имеет вид

( ) ( ) ( )

+= − r

Sj

rSBrSASrU nn

n

nnr ν1

, 1)1( , (22)

где ( )SAn , ( )SBn – произвольные постоянные, nj – модифицированная сферическая

функция Бесселя первого рода порядка n .

Подставляя (22) в (19) и (20) найдем ( )SrU n ,)1(ϑ и ( )Srpn ,)1( :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

∂+

++

+= − r

SjSBr

Sj

rSBrnSA

nnSrU nrnnn

n

nn ννϑ

11

1

1, 1)1( ; (23)

( ) ( ) n

nn rn

SSASrp

ρ−=, )1( . (24)

Подставим теперь (3), (18), (22) – (24) в уравнения (10) – (12), получим систему

трех уравнений для отыскания зависимостей ( )SAn , ( )SBn , ( )Sn)1(ξ

( )( ) ( ) ( ) ( )χ+=−ξ nnn

nnn jSBrSAhSSr 0)1(

0 ;

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 021112 20 =χ∂χ+χ+−++− χχ nnnn

n jjnnSBrnnSA ;

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 0212 200

)1(30

2 =χ−χ∂χν++−ν+ξω χ nnnn

nnn jjSBnSrnnrSASr ; (25)

0rS

νχ = ; ( )

πσ−+−

ρσ=ω

30

2

30

2

421

r

Qnnn

rn .

Используя рекуррентные соотношения для модифицированных сферических

функций Бесселя [96]

( ) ( ) ( )χχ

+χ=χ∂ +χ nnn jn

jj 1 ; ( ) ( ) ( )χχ+−χ=χ∂ −χ nnn j

njj

11 ;

( ) ( ) ( ) ( )χχ

−χ

χ−+=χ∂ +χχ 12

211 nnn jj

nnj ,

из системы (25) найдем функции ( )Sn)1(ξ , ( )SAn , ( )SBn и, подставляя их в выражения

(22) – (24), получим:


75

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )SD

h

j

j

rnn

rnnSS

n

n

n

nn

χχχ−ν+−+ν+−+=ξ

−

+

1

12

0

22

0

)1(

211121212 ;

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) +

ω

χχχ−

−

χχ

χ

ν

+−=−−

++

1

0

21

11

202)1(

211

2

112,

n

n

nn

n

n

n

nnr r

r

SD

h

j

j

j

jSrnSrU

( ) ( )( ) ( ) ( )

−−+

−

+ rS

jrSD

h

jSrj

jn n

n

n

n

n

n

n

νχνω

χχ

χ12

1120

21

12 ;

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) +

ω

χχχ−

−

χχ

χ

ν

+−=−−

++ϑ

1

0

21

11

202)1(

211

2

112,

n

n

nn

n

n

n

nn r

r

SDn

h

j

j

j

jSrnSrU

( ) ( )( ) ( ) ( )

+

+

−−+ +

−

+ rS

jS

rS

jr

n

SDn

h

jSrj

jn nn

n

n

n

n

n

n

νννχνω

χχ

χ 1

0

21

1 12112 ;

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) 1

0

21

11

2

02)1(

211

2

112,

−

−

++

−

−

+−−=

n

n

n

nn

n

n

n

nn rSDn

rhS

j

j

j

jSrnSrp

ρωχχχ

χχ

χν; (26)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

2

1

12

0

22

0

2

211121212 n

n

nn j

j

r

Snn

r

SnnSSD ω+

χχχ−ν+−+ν+−+=

−

+.

Из вида выражений (26) видно, что они имеют особые точки, положение которых

определяется условием ( ) 0)( =k

nn SD . Уравнение же ( ) 0)( =k

nn SD представляет собой

дисперсионное уравнение задачи и имеет бесконечное число решений, в каждом из ко-

торых функция ( )( ))(1 k

nn SD имеет полюс первого порядка. Кроме того, каждое из вы-

ражений (26) при ∞→S стремится к нулю, что позволяет в формуле обратного преоб-разования Лапласа

( ) ( ) ( )∞+

∞−

=i

i

SdtSSFi

tfγ

γπexp

2

1

интеграл вдоль прямой γ=SRe , заменить контурным интегралом, охватывающим всю левую часть комплексной плоскости и применить к этому интегралу теорему о вычетах. В результате формула обращения примет вид

( ) ( ) ( )[ ]+∞

=⋅=

1

,expk

kStSSFВычtf . (27)

Подставляя (26) в (5), используя формулу обращения (27) и начальные условия, найдем выражения для отклонения поверхности капли от равновесной сферической и полей давления и скоростей течения жидкости в капле:


76

( ) ( ) ( )Ω∈

=n

nnn Phtt μξϑξ )1()1( , ; ( ) ( ) ( )Ω∈

=n

nnnrr PhtrUtrU μϑ ,,, )1()1( ;

( ) ( ) ( )Ω∈

∂=n

nnn PhtrUtrU μϑ ϑϑϑ ,,, )1()1( ; ( ) ( ) ( )Ω∈

=n

nnnn Phtrptrp μϑ ,,, )1()1( ; (28)

где ( ) ( ) ( )+∞

==

1

)()1( expk

k

n

k

nn tSSat ξξ ;

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

∞+

=

−

+

=

1

)(

0

)(

)(1

0

)()1( exp1

,k

k

nk

nn

k

nnk

n

n

k

nnr tSrj

rj

rSb

r

rSatrU

ηη

;

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )∞+

=

+

−

+

++

=

1

)(

0

)(

)(

1

)(

0

)(

)()(

1

0

)()1( exp

1

1,

k

k

n

k

nn

k

nn

k

n

k

nn

k

nnk

n

n

k

nn n

tS

rj

rj

nrj

rj

rSb

r

rSatrU

ηηη

ηη

ϑ ;

;1)()( −≡ νη k

n

k

n S ( ) ( ) ( )∞+

=

−=

1

)(

0

)()(

0

)1( exp,

k

k

n

n

k

n

k

nn n

tS

r

rSSartrp ρ ; (29)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ))(

1

1

2

0

2

2

0

)()( 1

211121212

k

nnSn

nk

n

k

n SDj

j

rnn

rnnSSa

∂

−+−++−+=

−

+ χχχνν

ξ ;

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ))(

21

11

)(2

02)(

211

2

112

k

nnS

n

n

n

n

n

k

nk

n SDj

j

j

jSrnSa

∂

−

−

+−=

−

++

ωχχχ

χχ

χν;

( ) ( ) ( )( ) ( ))()(

0

21

12)( 2112

k

nnS

k

n

n

n

nk

n SDSrj

jnSb

∂

−−=

−

+ νωχχ

χ;

( ) ( )( ) ++−+=∂2

0

)()( 12122r

nnSSD k

n

k

nnS

ν

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

2

1

2

1

2

12

0

2

211

22

12211

−

+++

χχχ−

χχ−χ+

χχχ++ν+−+

n

n

n

n

n

n

j

j

j

j

j

jn

rnn .

Отметим, что в выражениях (29), определяющих коэффициенты разложений (28)

( )tn)1(ξ , ( )trU nr ,)1( , ( )trU n ,)1(

ϑ , ( )trpn ,)1( , суммирование ведется по бесконечному набору

корней уравнения ( ) 0)( =k

nn SD .

5. Рассмотрим случай маловязкой жидкости, т.е. ситуацию, в которой вязкость

жидкости является настолько малой, что аргумент сферической модифицированной


77

функции Бесселя принимает достаточно большие значения, чтобы было справедливо асимптотическое разложение [96]:

( ) ( ) ( ) ( )( )

++−++−=32

2 1

8

21

2

11

2

exp

χχχχχχ O

nnnnnjn ; ∞→χ . (30)

Выпишем выражения для ( ))(k

nSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(k

nSb , ( ))(k

nn SD , ограничиваясь

двумя первыми слагаемыми в ряде (30):

( ) ( )( ) ( ) ( ))(

2/3

2

0

)()( 11212

k

nnS

k

n

k

n SDO

rnnSSa

∂

++−+= νν

ξ ;

( ) ( ) ( ) ( ))(

22/3

)(2

0

2)( 121k

nnS

n

k

n

k

n SDO

SrnSa

∂

+−+−= ωνν

;

( ) ( ) ( ) ( ))(

22/3

)(

0

2)( 12k

nnS

n

k

n

k

n SDO

SrnSb

∂

+−= ωνν

;

( ) ( ) ( )( ) ( )2/32

2

0

)(2)()( 1212 νων

Or

SnnSSD n

k

nk

n

k

nn +++−+= . (31)

Из (31) видно, что в приближении малой вязкости дисперсионное уравнение

( ) 0)( =k

nn SD имеет только два комплексно сопряженных корня nnn iS ωδ +−=+ и

nnn iS ωδ −−=− , где ( )( ) 2

0/121 rnnn νδ +−= , поэтому в выражениях (29) вместо бес-

конечных сумм будем иметь сумму по двум значениям += nn SS )1( и −= nn SS )2( . При этом

коэффициенты (29) примут более простой вид:

( ) ( ) ( ) ( )tttt nn

n

nnn δω

ωδωξ −

+= expsincos)1( ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )−−

−−

−=

−

ttr

ntr

rtrU nnnn

n

nr δωνωω expcos12sin,2

0

2

1

0

)1(

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ttirSj

rSjti

rSj

rSj

rrn nn

nn

nnn

nn

nn δωνν

ωννν −

+−−−

−+

−+

−−

−−

expexpexp10

1

1

0

1

1

0

2 ;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

−−

−−=−

tr

ntr

r

n

ttrU nnn

n

nn ωνωωδ

ϑ cos12sinexp

,2

0

2

1

0

)1(


78

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) +

+−−+

−+

−+

−−

−−

tirSj

rSjtiExp

rSj

rSj

rrn n

nn

nnn

nn

nn ωνν

ωννν

exp10

1

1

0

1

1

0

2

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) +

+−−−+

−+

−++

−−

−−+ tii

rSj

rSjtii

rSj

rSj

rn n

nn

nnn

nn

nnn ωννω

νννω

expexp10

1

1

1

0

1

1

1

0

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

+−−+

−+

−++

−−

−−+ ti

rSj

rSjti

rSj

rSj

rn n

nn

nnn

nn

nn ωννω

ννν

expexp120

1

1

1

0

1

1

1

2

0

;

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−+−

= t

r

nt

n

t

r

rrtrp n

n

nn

n

nn ωω

νωδωρ sin1

cosexp

, 2

00

0

2)1( . (32)

Можно видеть, что в выписанных выражениях оставлены отношения сферических

цилиндрических функций, а не заменены согласно (30). Это обстоятельство связано с тем, что в центре капли, при 0→r , аргументы сферических цилиндрических функций, стоящих в (32) числителях, не будут малыми, и асимптотическое разложение (30) будет не справедливо.

Отметим, что выражения (32) при стремлении вязкости жидкости к нулю перехо-дят в хорошо известные выражения, справедливые для идеальной жидкости

( ) ( )tt nn ω=ξ cos)1( ; ( ) ( )tr

r

n

rtrp n

n

nn ωωρ

cos,0

0

2)1(

= ;

( ) ( )tr

rtrU nn

n

nr ωω

−=

−

sin,1

0

)1( ; ( ) ( )tnr

rtrU n

n

n

n ωω

−=

−

ϑ sin,1

0

)1( .

6. Рассмотрим случай умеренно вязкой жидкости, когда в разложении модифици-

рованной сферической цилиндрической функции [96]

( ) ( ) ( ) ( )( )

+++⋅⋅

++⋅⋅

++

= ...52322!2322!1

1!!12 2

4

1

2

nnnnj

n

n

χχχχ (33)

ее аргумент χ достаточно мал, чтобы в выражении, стоящем в скобках, каждый после-

дующий член ряда был меньше предыдущего, и выполнялось условие 2Reχ <0 так, чтобы ряд был знакопеременным, его можно было оборвать на нескольких первых сла-гаемых, и вместе с тем вязкость такова, что еще существуют периодические осцилляции капли.

Ограничиваясь в (33) первыми двумя слагаемыми, можно найти выражения для ко-

эффициентов ( ))(k

nSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(k

nSb и для ( ))(k

nn SD в виде:


79

( ) ( )( ) ( )

( )( )( ))(2

0

2)(

2

23)( 11

12

34212

5212

36843k

nnS

k

n

k

n SDO

rn

nnnS

nn

nnnSa

∂

+

+++−+

+++++=

νν

ξ ;

( ) ( ) ( )( )( )

( ))(

2

2

0

)(

2

2

23)( 1

12

3212

5212

922248k

nnS

n

k

n

k

n SDO

rSn

nn

nn

nnnSa

∂

+

++−+

+++++−= ω

νν

;

( ) ( )( )( ) ( ) ( ))(

2

0

)(2

0

2)( 1

325212

2

12

12k

nnS

n

k

n

k

n SD

rO

Srn

nnn

nSb

∂

++−

+++−−= ω

νν

;

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

++

+++−+

+++++=

νων 1

12

34212

5212

36843 2

2

0

)(22)(

2

23)( O

r

S

n

nnnS

nn

nnnSD n

k

nk

n

k

nn. (34)

Из выражения (34) хорошо видно, что дисперсионное уравнение ( ) 0)( =k

nn SD в

случае умеренной вязкости жидкости, как и для случая малой вязкости, имеет только два комплексно сопряженных корня:

nnn iS γδ +−=+ ; nnn iS γδ −−=− ; 12

24

0

2

0

−=νωβναγ n

nnn

r

r;

20r

nnνα=δ ;

( )( )( )( )( )36843

3421521223

2

+++++−++=α

nnn

nnnnnn

; ( )

( )( ) ( )222

23

342152

36843

++−+

+++=βnnnn

nnnn

. (35)

Поэтому в выражениях (29) вместо бесконечной суммы будем иметь сумму по

двум значениям += nn SS )1( и −= nn SS )2( . Учитывая это, а также разложения (33) и (34),

несложно получить асимптотические выражения для отклонения поверхности капли от равновесной сферической формы и полей скоростей и давлений жидкости в капле

( ) ( ) ( ) ( )

+⋅−= t

rttt n

n

nnnn γ

γναγδξ sincosexp

2

0

)1( ;

( ) ( ) ( ) ( )ttrn

nnr

r

r

nn

n

rtrU nn

n

n

nnnr γδ

γωα

sinexp1

2

342

1, 2

02

2

1

0

22

0

2)1( −

−+−

++

+=−

;

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )ttrnn

nnr

r

r

nnn

n

rtrU nn

n

n

nnn γδ

γωα

ϑ sinexp31

2

342

3, 2

0

2

1

0

22

0

2)1( −

+−

+−

++

+=−

;

( ) ( ) ( )×−

++++++= t

r

r

nnnn

nnnrtrp n

n

n

nn δ

γωρ

exp36843

922248,

0

23

23

0

2)1(

( )( )( )( ) ( ) ( )

+++++++++++× tt

nnnnn

nnnnnnnnn γγγδ cossin

922248342

9203428834232

234

. (36)


80

7. Наконец, можно выделить область больших значений вязкости (таких, что

( ) nnr β>>ων 240

2 / ), когда периодические движения жидкости исчезают, и капля может

совершать только апериодические движения. Воспользовавшись, как и в предыдущем

случае, разложением (33), можно найти, что два корня дисперсионного +nS и −

nS опре-

делятся выражениями:

( )( ) νω

++−+−=+

220

2 34212

12 nn

r

nnn

nS ;

20

2r

Snνα−≅− ;

и в широком диапазоне значений вязкости для них будет справедливо соотношение

−nS >> +

nS (см. рис. 1). В такой ситуации при построении асимптотического решения

можно вообще ограничиться лишь одним корнем, тем, величина которого убывает с рос-

том вязкости: +nS . В этом случае выражения (36) примут вид

( ) ( )tSt nn+=ξ exp)1( ; ( ) ( )( )

( ) ( )tSr

r

nnn

nnrtrp n

n

nn+

++++ωρ= exp

342

321,

020

2)1( ;

( ) ( ) ( )tSrn

nnr

r

r

nn

ntrU n

n

nnr

+−

−+−

++

+ν

ω= exp1

2

342

1

2, 2

022

1

02

2)1( ;

( ) ( )( )

( )( ) ( )tSrnn

nnr

r

r

nnn

ntrU n

n

nn

+−

ϑ

+−

+−

++

+ν

ω= exp31

2

342

3

2, 2

02

1

02

2)1( . (37)

Отметим, что выражения (37) хорошо согласуются с точным решением (29), только

в те моменты времени, для которых будет выполнено соотношение 1>>− tSn . При ма-

лых же временах, когда величина tSn− сравнима с единицей, получающиеся решения

для компонент поля скорости ( ( )trU nr ,)1( , ( )trU n ,)1(ϑ ) очень сильно отличаются от своих

истинных значений и пользоваться (37) нельзя. 8. Для удобства численного анализа полученного решения задачи о капиллярных

колебаниях заряженной осесимметричной вязкой капли перейдем к безразмерным пере-менным, принимая 10 ==σ=ρ r . Тогда все физические величины задачи будут выра-

жаться в своих характерных масштабах. Так, масштабами длины, плотности, времени, частоты, скорости, давления и кинематической вязкости будут соответственно величины

0r ; ρ ; σρ 3

0r ; 3

0rρσ

; 0rρ

σ;

0r

σ;

ρσ 0r .


81

Примем, что радиус капель меняется в пределах от cmr 4

0 10−= до cmr 1

0 10−= .

Поверхностное натяжение и плотность жидкостей в среднем составляют

cmdyne /50=σ и 3/1 cmg=ρ . При принятых значениях физических параметров ха-

рактерный масштаб измерения времени составит ss 37 10105 −− ÷⋅ , масштаб измерения

частоты 1712 10102 −− ÷⋅ ss , масштаб измерения скорости scmscm /700/20 ÷ , мас-

штаб давления cmdynecmdyne /105/105 52 ⋅÷⋅ , масштаб вязкости

scmscm /2/107 222 ÷⋅ − .

При использованном обезразмеривании все величины задачи будут зависеть от па-

раметра ( )π= 4/2QW – характеризующего устойчивость капли по отношению к собст-

венному заряду; безразмерной кинематической вязкости жидкости ν ; малого параметра ε ; множества значений индексов изначально возбужденных мод Ω и констант nh

( Ω∈n ), учитывающих парциальный вклад n -ой моды в формирование начальной формы капли.

Численный анализ точного дисперсионного уравнения (см. (26)) ( ) 0)( =k

nn SD ,

проведенный при использованном обезразмеривании, указывает на то, что оно имеет бесконечное число корней. Среди корней дисперсионного уравнения при малой и уме-

ренной вязкости ν и 4<W имеются два комплексно сопряженных корня )1(

nS и )2(

nS с

отрицательной вещественной частью, мнимая часть ( ) ( ))1()2( ImIm nn SS −= которых оп-

ределяет частоту колебаний поверхности капли (см. выражения (29)), а вещественная ( ) ( ))2()1( ReRe nn SS = – декремент затухания. Остальные корни )(k

nS уравнения

Рис. 1. Зависимость отношения второго )2(

nS и первого )1(

nS

корней дисперсионного уравнения ( ) 0)( =knn SD от безразмерной

вязкости ν , рассчитанная для области большой вязкости, когда периодические движения в капле исчезают, при 1=W , 2=n


82

( ) 0)( =k

nn SD с 3≥k являются отрицательными вещественными и определяют декре-

менты затухания.

Вещественные части корней )1(

nS и )2(

nS при увеличении вязкости жидкости увели-

чиваются по абсолютной величине, а мнимые уменьшаются до полного исчезновения

периодического движения при 65.0≈ν (см. рис. 2). При ν > 0.65 корни )1(

nS и )2(

nS оба

становятся чисто вещественными отрицательными, один из которых убывает по абсо-лютной величине, асимптотически приближаясь к оси абсцисс с ростом ν (как показано на рис. 2), а другой увеличивается по модулю, асимптотически стремясь к линейному

росту с увеличением вязкости (см. рис. 2 и 3). Корни )(k

nS с более высокими номерами k

с увеличением вязкости жидкости быстро уменьшаются по линейному закону (см. рис. 2).

На основе рис. 2б можно провести разграничение между приближниями малой,

умеренной и большой вязкостей. Из рис. 2б видно, что при ν > 0.1 различие между точ-ным решением дисперсионного уравнения и приближением умеренной вязкости весьма мало (порядка толщины линии). При ν < 0.05 частота осцилляций вязкой капли лучше аппроксимируется приближением маловязкой жидкости тогда, как приближение уме-ренной вязкости дает заниженное значение частоты в пределе 0→ν . Приближение большой вязкости естественно обозначится условием исчезновения периодических ре-шений ν>0.65.

Рис. 2. Зависимости вещественной ( ))(Re knS (a) и мнимой ( ))(Im k

nS (b)

компонент корней уравнения ( ) 0)( =knn SD от безразмерной вязкости ν ,

рассчитанные при 1=W , 2=n и различных k . Номер у кривой совпадает с номером корня k . Сплошная кривая – точное решение, пунктир – приближение маловязкой жидко-

сти, штриховая – приближение умерено вязкой жидкости


83

Численные расчеты (см. табл. 1), указывают, что при увеличении номера k корня

дисперсионного уравнения ( ) 0)( =k

nn SD коэффициенты ( ))(k

nSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(k

nSb , оп-

ределяющие форму поверхности осциллирующей капли, поля скоростей и давления в ней (см. (28), (29)), быстро стремятся к нулю. Причем скорость их стремления к нулю зависит от вязкости жидкости.

Отметим также, что согласно (29) коэффициенты ( ))(k

nSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(k

nSb экспо-

ненциально уменьшаются со временем, причем декременты затухания, равные ( ))(Re k

nS ,

с увеличением номера k быстро увеличиваются (см. табл. 1). Поэтому члены рядов (29) с большими номерами k весьма быстро стремятся к нулю с ростом времени, и опреде-ляющими становятся члены, соответствующие первым двум корням уравнения

( ) 0)( =k

nn SD , имеющие минимальные величины декрементов затухания. В итоге имеет-

ся хорошее численное согласие точных выражений (28) с приближенными, полученны-ми в асимптотиках малой (32) и умеренной (36) вязкостей жидкости (см. рис. 4).

Представляется, что для дальнейшего нелинейного анализа целесообразно исполь-зовать приближение умеренной вязкости, которое в приближениях второго и третьего порядков малости по амплитуде начальной деформации приведет к вполне разрешаемым неоднородным задачам.

9. Заключение. Проведенный в первом порядке малости по амплитуде начальной деформации анализ решений задачи о расчете временной эволюции капиллярных осцил-ляций заряженной капли вязкой несжимаемой электропроводной жидкости показал, что в используемом приближении форма капли как функция времени, а также поля скоро-стей и давлений жидкости в ней, представлены бесконечными рядами по корням дис-персионного уравнения и конечными суммами по номерам изначально возбужденных мод. В асимптотиках малой, умеренной и большой вязкости бесконечные ряды по кор-

Рис. 3. Зависимости вещественных ( ))(Re knS компонент корней точ-

ного дисперсионного уравнения ( ) 0)( =knn SD от безразмерной вязко-

сти жидкости ν , рассчитанные при 1=W , 2=n и различных k . Номер у кривой совпадает с номером корня k


84

ням дисперсионного уравнения можно асимптотически корректно заменить конечным числом слагаемых и найти компактные, удобные для дальнейшего анализа аналитиче-ские выражения, которые могут быть использованы для отыскания приближений более высоких порядков малости по амплитуде начального отклонения

Таблица 1.

Величины безразмерных значений корней )(k

nS дисперсионного уравнения ( ) 0)( =k

nn SD и коэффициентов ( ))(k

nSaξ , ( ))(k

nSa , ( ))(k

nSb , вычисленные при 2=n , 1=W и различных значениях безразмерной вязкости ν

k )(k

nS ( ))(k

nSaξ ( ))(k

nSa ( ))(k

nSb

01.0=ν 1 0 04721

2 44660

.

. i

− ++

0 50072

0 00936

.

. i

−−

i22244.103201.0 +

0 03274

0 00305

.

. i

− ++

2 0 04721

2 44660

.

. i

− −−

0 50072

0 00936

.

. i

++

0 03201

1 22244

.

. i

−−

0 03274

0 00305

.

. i

− −−

3 28228.0− 00061.0− 01319.0 01301.0− 4 78440.0− 00039.0− 00350.0 00319.0− 5 47743.1− 00024.0− 00164.0 00129.0− 6 36657.2− 00012.0− 00083.0 00055.0− 7 45262.3− 00005.0− 00041.0 00024.0− 8 73585.4− 00002.0− 00020.0 00011.0− 9 21638.6− 00010.0 00005.0− 10 89426.7− 00005.0 00003.0− 11 76952.9− 00003.0 00001.0− 12 84215.11− 00002.0

1.0=ν 1 0 39951

2 36952

.

. i

− ++

0 50799

0 07524

.

. i

−−

0 36731

1 12760

.

. i

++

0 39198

0 10615

.

. i

− ++

2 36952.239951.0 −−

0 50799

0 07524

.

. i

++

i12760.136731.0 −

0 39198

0 10615

.

. i

− −−

3 91160.2− 01548.0− 09730.0 05222.0− 4 87661.7− 00045.0− 00671.0 00317.0− 5 78764.14− 00003.0− 00099.0 00048.0− 6 67140.23− 00023.0 00011.0− 7 52866.34− 00007.0 00004.0− 8 35961.47− 00003.0 00001.0− 9 16433.62− 00001.0

1=ν 1 90254.0− 16747.1 81096.8 86465.9− 2 21851.6− 16697.0− 43380.0− 47210.1 3 93916.29− 00050.0− 02192.0 00703.0− 4 80501.78− 00078.0 00035.0− 5 88167.147− 00010.0 00005.0− 6 71521.236− 00002.0 00001.0−


85

Рис. 4. Зависимость обезразмеренного коэффициента )1(

nξ

от безразмерного времени t , построенная при 1=W , 2=n . Сплошная кривая – точное решение, пунктир – при-

ближение малой вязкости, штриховая - приближение уме-ренно вязкой жидкости. Когда пунктир или штриховая кри-вая не просматриваются, они совпадают со сплошной лини-

ей. a) 01.0=ν ; b) 1.0=ν ; c) 4.0=ν


86

Литература

1. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Nonlinear oscillation of inviscid drops and bubles // J. Fluid Mech. 1983. V. 127. P. 519 – 537.

2. Feng Z. Instability caused by the coupling between non-resonant shape oscillation modes of a charged conducting drop // J. Fluid Mech. 1997. V. 333. P. 1 – 21.

3. Natarajan R., Brown R.A. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillation of inviscid drops with surface tension // Phys. Fluids. 1986. V. 29, № 9. P. 2788 – 2797.

4. Natarajan R., Brown R.A. Third-order resonance effects and the nonlinear stability of drops oscillations // J. Fluid Mech. 1987. V. 183. P. 95 – 121.

5. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude free and driven drop-shape oscillations: expe-rimental observations // J. Fluid Mech. 1982. V. 122. P. 315 – 338.

6. Jakobi N., Croonquist A.P., Elleman D.D. Wang T.G. Acoustically induced oscilla-tions and rotation of a large drop in Space // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pa-sadena, 1982. JPL Publication 82 – 7. P. 31 – 38.

7. Brown R.A., Scriven L.E. The shape and stability of rotating liquid drop // Proc. R. Soc., London. 1980. V. A371. P. 331 – 357.

8. Patzek T.W., Benner R.E., Basaran O.A., Scriven L.E. Nonlinear oscillations of invis-cid free drops // J. Coputational Physics. 1991. V. 97. P. 489 – 515.

9. Basaran O.A. Nonlinear oscillations of viscous drops // J. Fluid Mech. 1992. V. 241. P. 169 – 198.

10. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscillation of drops in zero gravity with weak viscous effects // J. Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 479 – 510.

11. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Nonlinear dynamics of viscous droplets // J. Fluid Mech. 1994. V. 258. P. 191 – 216.

12. Baker G. R., Merion D.I., Orzag S.A. Generalized vortex methods for free-surface flow problems // J. Fluid Mech. 1982. V. 123. Р. 477 – 501.

13. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Experimental and theoretical investigation of large amplitude oscillations of liquid droplets // J. Fluid Mech. 1991. V. 231. P. 189 – 210.

14. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. 1996. V. 308. P. 1 – 14.

15. Azuma H., Yoshinara S. Three-dimensional large-amplitude drop oscillations: expe-riments and theoretical analysis // J. Fluid Mech. 1999. V. 393. P. 309 – 332.

16. Inculet I.I., Kroman R. Breakup of large water droplets by electric fields // IEEE Transactions on Ind. Appl. 1992. V. 28. № 5. P. 945 – 948.

17. Inculet I.I., Floryan J.M., Haywood R.J. Dynamic of water droplets in electric fields // IEEE Transactions on Ind. Appl. 1989. V. 25. № 5. P. 1203 – 1209.

18. Jong-Wook Ha, Seunng-Man Yang. Deformation and breakup of Newtonian and non- Newtonian conducting drops in an electric field. // J. Fluid Mech. 2000. V. 405. P. 131 – 156.

19. Feng Z.C., Leal L.G. On energy transfer in resonant bubble oscillations // Phys. Flu-ids. 1993. V. A5. № 4. P. 826 – 836.

20. Feng Z.C., Leal L.G. Bifurcation and chaos in shape and volume oscillations of a pe-riodically driven bubble with two-to-one internal resonans // J. Fluid Mech. 1994. V. 266. P. 209 – 242.

21. Feng Z.C., Leal L.G. Translational instability of a bubble undergoing oscillations // Phys. Fluids. 1995. V. 7. № 6. P. 1325 – 1336.


87

22. Feng Z.C., Su Y.H. Numerical simulation of the translational and shape oscillations of a liquid drop in an acoustic field // Phys. Fluids. 1997. V. 9, № 3. P. 519 – 529.

23. Lundgren T.S., Mansour N.N. Oscilllation of drops in zero gravity with weak viscous effects // J.Fluid Mech. 1988. V. 194. P. 479 – 510.

24. Natarayan R., Brown R. A. The role of three-dimensional shapes in the break-up of charged drops // Proc. Roy. Soc., London. 1987. V. A410. P. 209 – 227.

25. Pelekasis, Tsamopoulos J. A., Manolis G.d. Equilibrium shapes and stability of charged and conducting drops // Phys. Fluids. 1990. V. A2, № 8. P. 1328 – 1340.

26. Foote G.B. A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation // J. Comp. Phys. 1973. V. 11. P. 507 – 530.

27. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude drop oscillations // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena, 1982. JPL Publication. 82 – 87.

28. Beard K.V. Oscillation model for predicting raindrop axis and backscattering ratios // Radio Sci. 1984. V. 19, № 1. P. 67 – 74.

29. Tsamopoulos J. A., Brown R. A. Resonant oscillations of inviscid charged drop // J. Fluid Mech. 1984. V. 147. P. 373 – 395.

30. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Нелинейный аналитический асим-птотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости // ЖТФ. 2004. Т. 74, вып. 8. С. 6 – 14.

31. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные осцилляции и устойчивость заряженной капли, движущейся относительно диэлектрической среды // ЖТФ. 2004. Т. 74. Вып. 9. С. 23 – 31.

32. Tsamopoulos J. A., Akylas T.R., Brown R. A. Dynamic of charged drop break-up // Proc. Roy. Soc., London. 1985. V. A401. P. 67 – 88.

33. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. 1996. V. 308. P. 1 – 14.

34. Габович М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор) // УФН. 1983. Т. 140. № 1. С. 137 – 151.

35. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids (rev.) // Sci. Prog., Oxf. 1974. V. 61. P. 555 – 581.

36. Коженков В.И., Фукс Н.А. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи Химии. 1976. Т. 45, № 12. С. 2274 – 2284.

37. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet // Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V. 11. P. 207 – 228.

38. Bailey A.G. The Theory and Practice of Electrostatic Spraying (revue) // Atomization and Spray Technology. 1986. V. 2. P. 95 – 134.

39. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1987. 66 с.

40. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В. Электростатическое монодис-пергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор) // ЖПХ. 1989. Т. 62, № 9. С. 2020 – 2026.

41. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (revue) // Science. 1989. V. 246, № 4926. P. 64 – 71.

42. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (об-зор) // ЭОМ. 1990. № 6. С. 23 – 32.

43. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. ЭГД неустойчивости в дисперс-ных системах (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т. 1, № 3. С. 25 – 43.

44. Шевченко С.И., Григорьев А.И., Ширяева С.О. ЭГД распыление жидкости (об-зор) // Научное приборостроение. 1991. Т. 1, № 4. С. 3 – 21.


88

45. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной по-верхности капель и электродиспергирование жидкостей (обзор) // Изв. РАН. МЖГ. 1994. № 3. С. 3 – 22.

46. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель во внешнем элек-трическом поле на части сравнимых размеров (обзор) // ЭОМ. 2000. № 4. C. 17 – 27.

47. Rayleigh On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil. Mag. 1882. V. 14. P. 184 – 186.

48. Hendricks C.D., Schneider J.M. Stability of conducting droplet under the influence of surface tension and electrostatic forces // Amer. Phys. 1963. V. 1, № 6. P. 450 – 453.

49. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Критические условия неустойчивости сплюсну-той сфероидальной сильно заряженной капли ЖТФ. 1999. Т. 69, вып. 7. С. 10 – 14.

50. Щукин С.И., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида ЖТФ. 1998. Т. 68, вып. 11. С. 48 – 52.

51. Basaran O.A., Scriven L.E. Axisymmetric shapes and stability of isolated charged drops // Phys. Fluids A. 1989. V. 1, № 5. P. 795 – 798.

52. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли // ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 8. С. 45 – 52.

53. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с. 54. Найфе А. Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с. 55. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. М.: Мир, 1972. 274 с. 56. Григорьев А.И., Синкевич О.А. О возможном механизме возникновения огней

св. Эльма // ЖТФ. 1984. Т. 54. Вып. 7. С. 1276 – 1283. 57. Имянитов И.М. Особенности инициирования разряда с изолированных объек-

тов в облаках Атмосферное электричество. Тр. 2-го Всесоюзн. сим. 26 – 28 окт. 1982. Л.: Гидрометеоиздат, 1983. С. 237 – 242.

58. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Параметры электростатического распыливания жидкости //Изв. АН СССР. МЖГ. 1988. №2. С.5-13.

59. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Электромагнитное излучение осциллирующей заряженной капли конечной проводимости // Изв. РАН МЖГ. 2002. № 5. С. 74 – 80.

60. Калечиц В.И., Нахутин И.Е., Полуэктов П.П. О возможном механизме радиоиз-лучения конвективных облаков ДАН СССР. 1982. Т. 262. № 6. С. 1344 – 1347.

61. Гаибов А.Р., Григорьев А.И. Об акустическом излучении нелинейно колеблю-щейся заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 7. С. 13 – 20.

62. Trinh E.H., Holt R.G, Thiessen D.B. The dynamics of ultrasonically levitated drops in an electric field // Phys. Fluids. 1996. V. 8, № 1. P. 43 – 61.

63. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 7. С. 26 – 34.

64. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л.: Наука, 1975. 439 с.

65. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилля-ций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма в ЖТФ. 2003 Т. 29, вып. 6. С. 69 – 75.

66. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф. Григорьев А.И. Об условиях реализации внут-реннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, вып. 22. С. 45 – 51.

67. Ширяева С.О., Григорьев А.И. Характерное время развития неустойчивости сильно заряженной капли // ЖТФ. 1995. Т. 65, вып. 9. С. 39 – 45.

68. Григорьев А.И. Электродиспергирование жидкости при реализации колеба-тельной неустойчивости ее свободной поверхности // ЖТФ. 2000. Т. 70, вып. 5. С. 22 – 27.


89

69. Ширяева С.О. Асимметрия нелинейного резонансного взаимодействия мод ка-пиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 22. С. 76 – 83.

70. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилля-ций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 6. С. 69 – 75.

71. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при начальном воз-буждении соседних мод // ЖТФ. 2002. Т. 72, вып. 4. С. 15 – 22.

72. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об условиях реализации внут-реннего нелинейного резонанса при осцилляциях заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, вып. 22. С. 45 – 51.

73. Ширяева С.О.. О внутреннем резонансе мод нелинейно-осциллирующей объ-емно заряженной диэлектрической капли // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 2. С. 19 – 30.

74. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилля-ций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 6. С. 69 – 75.

75. Ширяева С.О. О влиянии собственного заряда нелинейно-осциллирующей кап-ли на внутреннее резонансное взаимодействие мод // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 17. С. 28 – 35.

76. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О некоторых особенностях нели-нейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций за-ряженной капли // ЖТФ. 2004. Т. 74, вып. 1. С. 10 – 20.

77. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В. О возможности зажигания корон-ного разряда в окрестности нелинейно-осциллирующей слабо заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 11. С. 31 – 36.

78. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.

79. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. М: Нау-ка, 1982. 439 с.

80. Ширяева С.О. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость сильно за-ряженной капли при одномодовой начальной деформации большой амплитуды // ЖТФ. 2001. Т. 71, вып. 2. С. 27 – 35.

81. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при многомодовой начальной деформации равновесной формы // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 173 – 184.

82. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О нелинейных осцилляциях заря-женной капли в третьем порядке малости по амплитуде одномодового начального воз-буждения // ЖТФ. 2003. Т. 73, вып. 6. С. 36 – 45.

83. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О внутреннем нелинейном четы-рехмодовом взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, вып. 9. С. 75 – 82.

84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.

85. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 733 с. 86. Дьячук В.А., Мучник В.М. Коронный разряд с обводненной градины, основной

механизм инициирования молнии // ДАН СССР. 1979. Т. 248, № 1. С. 60 – 63. 87. Grigor’ev A.I., Shiryaeva S.O. The possible physical mechanism of initiation and

growth of lightning // Physica Scripta. 1996. V. 54. P. 660 – 666. 88. Мазин И.П., Хргиан А.Х., Имянитов И.М. Облака и облачная атмосфера: Спра-

вочник. Л.: Гидрометеоиздат, 1989. 647 с. 89. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Закономерности рэлеевского распада заряжен-

ной капли // ЖТФ. 1991. Т. 61, вып. 3. С. 19 – 28.


90

90. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Световой В.Б., Григорьев А.И. Формулировка задач об аналитическом расчете нелинейных движений вязкой жидкости со свободной поверхностью. Препринт № 31. ИМИ РАН. Ярославль. 2001. 87 с.

91. Григорьев А.И., Лазарянц А.Э. Об одном методе решения уравнения Навье-Стокса в криволинейных системах координат // ЖВММФ. 1992. Т. 32, № 6. С. 929 – 938.

92. Ширяева С.О., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И. и др. Метод скаляризации век-торных краевых задач. Препринт № 27. ИМ РАН. Ярославль. 1994. 128 с.

93. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1973. 832 с. 94. Левачева Г.А., Маныкин Э.А., Полуэктов П.П. // Изв. АН СССР. МЖГ 1985.

№ 2. С. 17 – 22. 95. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: Высшая школа,

1975. 408 с. 96. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган.

М.: Наука, 1979. 832 с.


91

Оглавление

Введение ......................................................................................................................... 3

1. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости во втором порядке малости по амплитуде исходной деформации ........................................................................................... 8

1.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли ............................. 8

1.2. Внутреннее нелинейное резонансное трехмодовое (вторичное комбинационное) взаимодействие мод осцилляций заряженной капли ................................................................ 15

2. Анализ нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости в третьем порядке малости по амплитуде исходной деформации ......................................................................................... 29

2.1. Нелинейные осцилляции деформированной в начальный момент времени заряженной капли. Вывод выражений для нелинейных поправок к частотам мод ........................................................................................... 29

2.2. Нелинейное резонансное четырехмодовое взаимодействие капиллярных осцилляций заряженной капли идеальной жидкости ....................................................................................................... 48

3. Временная эволюция формы поверхности деформированной в начальный момент заряженной капли вязкой жидкости .................... 69

Литература ................................................................................................................... 86


92

Учебное издание

Григорьев Александр Иванович Ширяева Светлана Олеговна

Белоножко Дмитрий Федорович

Нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов

Редактор, корректор А.А. Антонова Компьютерная верстка И.Н. Ивановой

Подписано в печать 06.03.2005 г. Формат 60×84/8. Бумага тип. Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,69. Уч.-изд.л. 7,14. Тираж 100 экз.

Оригинал-макет подготовлен в редакционно-издательском отделе ЯрГУ

Ярославский государственный университет

150000 Ярославль, ул. Советская, 14

Отпечатано ООО «Ремдер» ЛР ИД № 06151 от 26.10.2001.

г. Ярославль, пр. Октября, 94, оф.37, тел.(4852) 73-35-03


93


Documents

477.нелинейные задачи гидродинамики волновых процессов учебное пособие