48. konferencia slovenských matematikovkonferenciajasna.sk/storage/root/archiv/ZbornikKSM2016.pdf · bozena.dorociakoa@fstrov j.uniza.sk 12. Jasná pod Chopkom, 24. 27. november,

Slovenská matematická spolo£nos´sekcia JSMF

�ilinská pobo£ka JSMF

48. konferenciaslovenských matematikov

24. � 27. november 2016Jasná pod Chopkom

Slovenská matematická spolo£nos´

sekcia JSMF

�ilinská pobo£ka JSMF

48. konferenciaslovenských matematikov

24. � 27. november 2016Jasná pod Chopkom

Editori: Mariana Mar£oková, Mária Kúdel£íková

Konferencia slovenských matematikov

4

Jasná pod Chopkom, 24. � 27. november, 2016

Obsah

1 O konferencii 9

Výbor Slovenskej matematickej spolo£nosti . . . . . . . . . . . . 10

Výbory konferencie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Predbeºný program 48. konferencie slovenských matematikov . 14

2 Abstrakty predná²ok 17

Martin Ambroz, Karol Mikula:

Matematický model ²írenia lesného poºiaru na reálnej

topogra�i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ján Bak²a:

Aplikácia geometrie v robotike . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Max Igor Bazovský:

Simple Velocities of Shadows on Various Surfaces . . . . . 19

Vojtech Bálint:

Krása geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Kristína Bulková, Petronela �ov£íková, So¬a �eretková:

Tímové súáºe Matematický B−de¬ a IM2C . . . . . . . 21

Katarína Cechlárová:

Paradoxy slovenských parlamentných volieb . . . . . . . . 22

So¬a �eretková:

MaT 2SMC - Materiály podporujúce vyu£ovanie

matematiky s akcentom na medzipredmetové vzáhy . . . . 23

Lenka Hal£inová:

Teória miery (a integrálu) bez poºiadavky aditivity . . . . 24

Michaela Hole²ová:

História a sú£asnos´ geometrických kon²trukcií . . . . . . 25

Katarína Hri¬áková:

Ako vnímajú ²tudenti FIIT matematiku? . . . . . . . . . . 26

5


Veronika Hube¬áková:

Matematický krúºok a budúci u£itelia matematiky . . . . . 27

Iveta Ilavská, Boºena Dorociaková, Rudolf Olach:

Vekovo ²truktúrovaný popula£ný model pre vývoj hmyzu . 28

Viera Kleinová, Luká² Tomek:

Optimálne riadenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Michal Kollár:

Napäóvá analýza pohybov litosférických platní v programe

ANSYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Jana Kraj£iová:

Na²e skúsenosti s prácou s nadanými de´mi . . . . . . . . 31

Marek Macák:

Atmosférický veterný tunel a jeho vyuºitie . . . . . . . . . 32

Matej Med©a:

Rekon²trukcia objektov z 3D mra£ien bodov . . . . . . . . 33

Miroslav Repovský:

Maturitná skú²ka z matematiky - sú£asnos´ a moºnosti jej

zmien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Gabriel Semani²in:

Problém vyvaºovania zááºe . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Ingrid Semani²inová:

Nad £ím premý²©a dobrý u£ite© matematiky... a ako vies´

k didaktickému mysleniu budúcich u£ite©ov . . . . . . . . . 36

Ladislav Spi²iak:

Nieko©ko príspevkov k matematike na gymnáziu . . . . . . 37

Mária Stankovi£ová, Milada Pecnová:

Praktické vyuºitie matematického editora LAMBDA

na vyu£ovaní matematiky pri integrácii nevidiacich ºiakov

na strednej ²kole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6


O©ga Sta²ová, Karol Mikula, Mariana Reme²íková,

Nadine Peyriéras:

Matematické metódy v spracovaní obrazu . . . . . . . . . . 39

Mária Tje²²ová, Milan Sokol:

Tvorba 3D geometrického modelu lumbálneho stavca z 2D

snímok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

�tefan Tka£ik, Katarína �ilková:

Geometrické miskoncepcie 15-ro£ných ºiakov . . . . . . . . 41

Luká² Tomek:

ANSYS - inºiniersky softvér pre fyzikálne simulácie . . . . 42

Jozef Urbán:

Vyuºitie kriviek v spracovaní medicínskeho obrazu . . . . . 43

Peter Vankú², Ivana Ochodni£anová:

Efektívnos´ vyu£ovania matematiky metódou didaktických

hier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Anna Va²utová:

Tvorba £íselných predstáv v primárnom matematickom

vzdelávaní . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 �lánky na aktuálne témy 46

Memorandum o partnerstve a spolupráci . . . . . . . . . . . . . 46

Beloslav Rie£an:

Tibor Neubrunn (1929 - 1990) . . . . . . . . . . . . . . . 48

Beloslav Rie£an:

O kultúre v komunikácii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Organizujeme. . . 57

Súáº � O cenu akademika �tefana Schwarza � . . . . . . . . . 57

Súáº � O cenu Petra Pavla Barto²a � . . . . . . . . . . . . . . 57

7


8


1 O konferencii

TradíciaPrvá konferencia slovenských matematikov sa konala v roku 1969. Jej za-kladate©mi boli Ladislav Berger a Jozef Morav£ík.

Usporiadatelia

• Jednota slovenských matematikov a fyzikov (JSMF), pobo£ka �ilina,

• Slovenská matematická spolo£nos´, sekcia JSMF,

• Katedra stavebnej mechaniky a aplikovanej matematiky �ilinskejuniverzity v �iline,

• Katedra aplikovanej matematiky �ilinskej univerzity v �iline.

�peci�káciaDomáca konferencia. Na konferenciu sú pozývaní hostia zo zahrani£ia.

�asová periodicitaKaºdoro£ne koncom novembra.

Miesto konaniaJasná pod Chopkom

CieleV rámci celej matematickej komunity na Slovensku

• sprostredkováva´ informácie o nových poznatkoch v matematike,

• napomáha´ rie²i´ problémy ºivota u£ite©ov matematiky,

• zdokona©ova´ metodiku vyu£ovania matematiky,

• plni´ aj spolo£enskú, komunika£nú a organizátorskú funkciu.

9


Výbor Slovenskej matematickej spolo£nosti

Predseda:prof. RNDr. Karol MIKULA, DrSc.

Podpredseda pre vedeckú sekciu:prof. RNDr. Daniel �EV�OVI�, CSc.

Podpredseda pre pedagogickú sekciu:doc. RNDr. Du²an �VEDA, CSc.

Tajomník:Ing. Róbert �PIR, PhD.

Revízna komisia:doc. RNDr. Martin KALINA, PhD.

PaedDr. Lucia RUMANOVÁ, PhD.

�lenovia vedeckej sekcie:

prof. RNDr. Pavol BRUNOVSKÝ, DrSc.

prof. RNDr. Katarína CECHLÁROVÁ, DrSc.

prof. RNDr. Roman NEDELA, DrSc.

doc. RNDr. Mariana MAR�OKOVÁ, CSc.

doc. RNDr. Peter FROLKOVI�, PhD.

doc. RNDr. Boºena DOROCIAKOVÁ, PhD.

doc. Ing. Gabriel OK�A, PhD.

doc. RNDr. O©ga NÁNASIOVÁ, PhD.

RNDr. Ján BAK�A, PhD.

Mgr. Barbora KAMRLOVÁ, PhD.

10


�lenovia pedagogickej sekcie:

RNDr. Ladislav SPI�IAK

RNDr. Hynek BACHRATÝ, PhD.

PaedDr. �ubica TÖRÖKOVÁ

doc. PaedDr. So¬a �ERETKOVÁ, PhD.

doc. PaedDr. Katarína �ILKOVÁ, PhD.

Mgr. Tatiana HIKOVÁ

RNDr. Jozef �KORUPA

RNDr. Franti²ek KOSPER

doc. RNDr. Iveta SCHOLTZOVÁ, PhD.

Mgr. Zdenko KUCHARIK

11


Výbory konferencie

Organiza£ný výbor: Mariana Mar£oková

Boºena Dorociaková

Zuzana Sedlia£ková

Mária Kúdel£íková

Martin Záborský

Programový výbor:

Vedecká sekcia: Karol Mikula

Roman Nedela

Katarína Cechlárová

Mariana Mar£oková

Daniel �ev£ovi£

Didaktická sekcia: Du²an �veda

Iveta Scholtzová

Hynek Bachratý

Franti²ek Kosper

Editori zborníka: Mariana Mar£oková

Mária Kúdel£íková

Adresa konferencie:

• www.konferenciajasna.sk• [email protected]• [email protected]• [email protected]

12


Pozvaní predná²ajúci:

• Ján Bak²aTU Zvolen

• Vojtech Bálint�U �ilina

• Milan HejnýUK Praha, �R

• Jana Kraj£iováGymnázium Ko²ice

• Mária Luká£ová - Medvi¤ováUniversity of Mainz

• Ingrid Semani²inováUPJ� Ko²ice

Súáºe

Na konferencii sú kaºdoro£ne vyhlásené výsledky dvoch mate-matických súáºí:

• Súáº � O cenu akademika �tefana Schwarza �

• Súáº � O cenu Petra Pavla Barto²a �

13


Predbeºný program 48. konferencie slovenskýchmatematikov

�tvrtok 24. novembra 2016

14.00 � 22.00 hod. Príchod, prezentácia, ubytovanie, schôdze.

Piatok 25. novembra 2016

09.00 � 09.15 hod. Otvorenie konferencie a vyhlásenie výsledkovsúáºí SMS

09.15 � 10.15 hod. V. Bálint: Krása geometrie

10.15 � 10.45 hod. Prestávka na kávu

10.45 � 11.45 hod. J. Bak²a: Aplikácia geometrie v robotike

11.45 � 12.15 hod. Predná²ka víáza súáºe � O cenu akademika�tefana Schwarza �

Obed

16.00 � 18.05 hod. Prihlásené referáty (Rie£an - 10 minút, Cechlárová,Semani²in, Hole²ová, Tka£ik, Med©a - kaºdý 20 minút, Tje²²ová -15 minút)

Ve£era

20.00 � Schôdza výboru Slovenskej matematickej spolo£nosti

14


Sobota 26. novembra 2016

Pedagogicko-didaktický blok:

09.00 � 10.00 hod. I. Semani²inová: Nad £ím premý²©a dobrý u£ite©matematiky. . . a ako vies´ k didaktickému mysleniu budúcich u£ite©ov

10.00 � 10.30 hod. Prestávka na kávu

10.30 � 11.30 hod. J. Kraj£iová: Na²e skúsenosti s prácou s nadanýmide´mi

11.30 � 12.00 hod. Predná²ka víáza súáºe � O Cenu Petra PavlaBarto²a �

Obed

16.00 � 18.00 hod. Prihlásené referáty (�eretková, Bulková, Stankovi-£ová, Hube¬áková, Vankú², Bazovský - kaºdý 20 minút)

19.00 hod. Ve£era a spolo£enský ve£er

Nede©a 27. novembra 2016

9.30 � 11.50 hod. Prihlásené referáty (Ilavská, Macák, Kleinová, Sta-²ová, Tomek, Kollár, Ambroz - kaºdý 20 minút)

12.00 hod. Ukon£enie konferencie

Obed

15


16


2 Abstrakty predná²ok

Matematický model ²írenia lesného poºiaruna reálnej topogra�i

Martin Ambroz, Karol Mikula

V predná²ke predstavujeme roz²írený matematický model ²írenia lesnýchpoºiarov, ovplyvnený hor©avosóu porastu, rýchlosóu vetra, sklonom te-rénu, geodetickou krivosóu hranice poºiaru a krivosóu zemskej topogra-�e. Hranicu poºiaru reprezentuje uzavretá krivka na ploche, ktorá je ponumerickej diskretizácii daná po £astiach lineárnou aproximáciou. V prís-pevku popisujeme funkciu, ktorá riadi pohyb krivky na ploche v smerenormály a je získaná na základe pozorovaného správania sa lesných po-ºiarov a fyzikálnych zákonov. Pohyb krivky na ploche je daný pohybompriemetu tejto krivky do roviny (rovinnou krivkou), kde prebieha samotnývýpo£et a následne sa rovinná krivka premietne spä´ na plochu. Prezentu-jeme numerické experimenty a softvér, ilustrujúci vlastnosti ná²ho novéhomatematického modelu, ako aj porovnania s priebehmi reálnych poºiarov.

Kontakt: Ing. Martin AmbrozKMDG Svf STURadlinského 11, 813 68 Bratislavae-mail: [email protected]

prof. RNDr. Karol Mikula, DrSc.KMDG Svf STURadlinského 11, 813 68 Bratislavae-mail: [email protected]

17


Aplikácia geometrie v robotike

Ján Bak²a

Robotika je relatívne mladou vednou disciplínou, ktorá zasahuje do via-cerých vedných a technických odborov. Týka sa mechaniky, elektrotech-niky, teórie riadenia, programovania, umelej inteligencie, rozpoznávaniaobrazu a iných. Základom ve©kej £asti robotiky je matematika, obzvlá²´geometria pohybu pevného telesa, ktorá môºe by´ skúmaná prostriedkamidiferenciálnej geometrie.

Z h©adiska ²truktúry je v robotike najpouºívanej²í tzv. sériový robot(robot-manipulátor), ktorý je zostrojený ako postupnos´ £lánkov spoje-ných v k¨boch. Posledný £lánok sa nazýva efektor. Jeho pohyb je výsled-kom £innosti v²etkých k¨bov a £lánkov robota. K¨by sú technicky kon²tru-ované tak, ºe umoº¬ujú jeden z pohybov: rotáciu okolo osi k¨bu, posúvaniev smere osi k¨bu alebo skrutkový pohyb okolo osi k¨bu. Z technických dô-vodov sa v praxi málo pouºívajú skrutkové k¨by.

Pri práci robota efektor, ako aj ostatné £asti robota, vykonávajú eu-klidovské pohyby v euklidovskom trojrozmernom priestore, preto hlavnev teoretickej robotike, dôleºitú rolu hrá Lieova grupa priamych zhodnostía jej Lieova algebra.

Kontakt: RNDr. Ján Bak²a, PhD.Katedra matematiky a deskriptívnej geometrieDrevárska fakulta TU vo Zvolenee-mail: [email protected]

18


Simple Velocities of Shadows on VariousSurfaces

Max Igor Bazovský

We discuss several simple examples of the following problem: A pencil thinlight beam is moving on a curve L(t), with an angular direction that variesaccording to a known function Θ(t). Find its trace on a given surface S.

Kontakt: Mgr. Ing. Max Igor BazovskýRetired�tefánikova 704, 905 01 Senicae-mail: [email protected]

19


Krása geometrie

Vojtech Bálint

Stru£ne o tom, pre£o 3 dimenzie nesta£ia a ako sa niekedy zvidite©¬ujevy²²ia dimenzia.Malá ukáºka geometrických optimaliza£ných problémov a význam odha-dov.Hustota uloºenia resp. pokrytia - ve©mi stru£ne pripomenieme dva slávneproblémy tohto typu a trochu viac povieme o niektorých ²peciálnych prí-padoch.

Kontakt: doc. RNDr. Vojtech Bálint, CSc.Katedra kvant. metód a hospod.inform. Fakulty PEDaS �U�ilinská univerzita, Univerzitná 8215/1, 010 26 �ilinae-mail: [email protected]

20


Tímové súáºe Matematický B−de¬ a IM2C

Kristína Bulková, Petronela �ov£íková, So¬a �eretková

Potreba rozvoja k©ú£ových kompetencií jednotlivca, ku ktorým neodde-lite©ne patria matematické kompetencie, je dôleºitá pre spolo£nos´ a jejneustály rast. Mnohé slovenské a zahrani£né ²túdie zaoberajúce sa ma-tematickými kompetenciami, poukazujú na významné zastúpenie prob-lematiky uvádzania a rozvoja matematických kompetencií vo výchovno-vzdelávacom procese.

Vo výchovno-vzelávacom procese je v ostatných rokoch venovaná sa-mostatná pozornos´ kompetenciám zameraným na rozvoj kreatívneho mys-lenia, tímového rie²enia problémov a budovanie s tým súvisacich sociál-nych kompetencií. OECD najnov²ie za£le¬uje do svojich meraní aj pozo-rovanie a hodnotenie tímovej spolupráce v rie²ení matematických problé-mov. V pilotnom meraní PISA v roku 2015 ºiaci rie²ili problém pomocoupo£íta£ovej aplikácie, ktorá slúºila aj ako nástroj pre vzájomnú komuni-káciu.

�Svet sa stal nato©ko komplexným, ºe uº nie je moºné rie²i´ problémyjednotlivo.� (Schleicher, 2016).

Na rozdiel od individuálneho rie²enia úloh má ºiak pri tímovom rie-²ení matematických problémov moºnos´ osvojova´ si nové vedomosti práveprostredníctvom vzájomej komunikácie.

V príspevku sú predstavené tímové matematické súáºe MatematickýB−de¬ a IM2C, ktorých podstatou je práve rie²enie matematických ot-vorených problémov v malých skupinách a rozvoj spomínaných k©ú£ovýchkompetencií ºiakov.

Kontakt: Mgr. Kristína BulkováMgr. Petronela �ov£íkovádoc. PaedDr. So¬a �eretková, PhD.Katedra matematiky FPV UKF v NitreTrieda A. Hlinku 1, 949 74 Nitrae-mail: [email protected]

[email protected]@ukf.sk

21


Paradoxy slovenských parlamentných volieb

Katarína Cechlárová

Napriek titulku, tento príspevok nebude o politike, ale o zlomkoch, celých£íslach a monotónnosti. Vedeli ste, ºe do slovenského 150-£lenného par-lamentu je moºné, striktne dodrºiavajúc literu Zákona o vo©bách do NRSR £. 333/2004 Z.z., rozdeli´ 226 mandátov? A vedeli ste, ºe strana môºezíska´ o jeden hlas viac a strati´ kreslo?

Slovenská metóda prerozde©ovania parlamentných kresiel patrí medzitzv. metódy volebných kvót. Okrem týchto metód sa v praxi e²te pouºí-vajú metódy volebného delite©a, ale je matematicky dokázané, ºe ºiadnametóda prerozde©ovania mandátov sa nemôºe vyhnú´ nepríjemným para-doxom. Sústredíme sa na metódy volebných kvót a ukáºeme, ºe mnohýmz týchto paradoxov sa moºno vyhnú´, ke¤ nebudeme zaokrúh©ova´ sa-motnú kvótu, ale aº po£et pridelených mandátov.

Literatúra:

1. M. L. Balinski a H. P. Young, Criteria for proportional representa-tion, Operations Research 27, 80-95, 1979.

2. V. Dan£i²in, Negative vote weight and the no-show paradox in party-list proportional systems, 2014.

3. F. Pukelsheim, Proportional Representation, Springer, 2014.

4. E. A. Robinson Jr. a D. H. Ullman, A Mathematical Look at Politics,CRC Press, 2010.

Kontakt: Prof. RNDr. Katarína Cechlárová, DrSc.Ústav matematických vied PF UPJ� v Ko²iciachJesenná 5, 040 01 Ko²icee-mail: [email protected]

22


MaT2SMC - Materiály podporujúcevyu£ovanie matematiky s akcentomna medzipredmetové vzáhy

So¬a �eretková

Problematika medzipredmetových vzáhov matematiky a ¤al²ích ²kol-ských predmetov na základnej a strednej ²kole je stále ve©mi aktuálnaa to nielen v podmienkach slovenského ²kolstva. Uvedené tvrdenie do-kazujú viaceré ukon£né i prebiehajúce medzinárodné projekty, �nanco-vané zo zdrojov EÚ, do ktorých sa prostredníctvom partnerstiev zapájajúnajmä pracoviská slovenských univerzít a následne tieº spolupracujúcezákladné a stredné ²koly.

V rámci rie²enia projektu MaT 2SMC (Materiály na podporu spolo£-ného vyu£ovania matematiky prírodovedných predmetov, COMENIUS -539242 - LLP-1-2013-1-AT-CO - MaT2SMc, www.mat2smc-project.eu)boli vypracované a odskú²ané konkrétne návody na vyu£ovacie hodinymatematiky, prírodovedných predmetov ale i výtvarnej tvorby, vrátanepracovných listov a apletov. Materiály predstavujú zaujímavé a aktuálnenámety, ako by sa dali motivujúco budova´ vedomosti z matematiky vovzáhu k iným ²kolským predmetom a to nielen výberom zaujímavéhoobsahu vyu£ovania, ale aj prostredníctvom metód aktívneho vyu£ovania.

Vystúpenie sa bude tieº zaobera´ problematikou skúseností z reali-zácie medzinárodného projektu, úskaliami prekladu odborných textov ire�exiou ²tudentov u£ite©stva na pilotné overovanie materiálov.

Kontakt: doc. PaedDr. So¬a �eretková, PhD.Katedra matematiky, FPV UKF v NitreTr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitrae-mail: [email protected]

23


Teória miery (a integrálu) bez poºiadavkyaditivity

Lenka Hal£inová

V príspevku sa budeme zaobera´ teóriou nie nutne aditívnych mier aintegrálov, ktorá sa prirodzene vyvinula, aby vyhovela poºiadavkám apotrebám spolo£nosti. Aditívna vlastnos´ ²tandardných mier sa totiº vreálnych situáciách a pri vzájomných interakciách javí by´ ve©mi obme-dzujúca (ilustrujeme na jednoduchých príkladoch). Vzh©adom na takétotriedy mnoºinových funkcií je moºné kon²truova´ zodpovedajúce neadi-tívne integrály. Za v²etky spomenieme seminormovaný integrál, popí²emejeho vlastnosti a vzáh k doteraz známym triedam integrálov.

�al²í rozmer teórii nie nutne aditívnych mier a integrálov dáva ichpouºitie v pravdepodobnostnom kontexte, na tzv. pravdepodobnostnýchmetrických priestoroch. Dokonca je to viac neº ºiadúce napríklad pri me-raní rôznych fyzikálnych veli£ín, ktorých hodnotu nevieme popísa´ presne,ale máme o nej len pravdepodobnostnú informáciu v podobe distribu£nejfunkcie. V príspevku predstavíme pravdepodobnostne-hodnotové miery aintegrál skon²truovaný vz©adom na ne. Nadviaºeme na na²e doteraj²ievýsledky a na£rtneme moºnosti ¤al²ieho výskumu.

Kontakt: RNDr. Lenka Hal£inová, PhD.Ústav matematických vied PF UPJ� v Ko²iciachJesenná 5, 040 01 Ko²icee-mail: [email protected]

24


História a sú£asnos´ geometrických kon²trukcií

Michaela Hole²ová

V dne²nej dobe moderných technológií a digitalizácie ²kolstva sa klasickýprístup vo vyu£ovaní geometrie postupne vytráca a s ním sa vytrácajúaj mnohé poznatky, ktoré v minulosti patrili k v²eobecným vedomostiamz geometrie. Medzi také patria napríklad aj kon²trukcie úse£iek racionál-nej a iracionálnej d¨ºky, zlatý rez úse£ky, £i aritmetický, geometrický aharmonický pomer, ktoré sa pouºívali vo ve©kej miere aj v stavebníctve.Zastávame názor, ºe moderné prvky vo vyu£ovaní je potrebné vyuºíva´,uº sa tomu pri eduka£nom procese nevyhneme, ak chceme robi´ vyu£ova-nie £o najpríáºlivej²ím, av²ak popri tom by sme nemali zabúda´ aj na topekné, £o nám geometria ponúka. V²ak práve ona bola jedným zo základ-ných pilierov ©udského poznania. Aj v minulom tisícro£í ©udia povaºovalizákladné geometrické kon²trukcie za nevyhnutné a potrebné, o £om sved£íaj vyjadrenie nemeckého matematika, astronóma a fyzika Johannesa Kep-lera (1571-1630):�Geometria má dva poklady: Pytagorovu vetu a zlatý rez. Prvá má cenuzlata, druhý pripomína skôr drahocenný kame¬.�Preto si myslíme, ºe by bola ve©ká ²koda, keby sa klasické metódy z vy-u£ovania geometrie úplne vytratili.

Kontakt: RNDr. Michaela Hole²ová, PhD.Katedra stavebnej mechaniky a aplikovanej matematikyStavebná fakulta �U v �ilineUniverzitná 8215/1, 010 26 �ilinae-mail: [email protected]

25


Ako vnímajú ²tudenti FIIT matematiku?

Katarína Hri¬áková

V príspevku zhrniem moje skúsenosti s výu£bou algebry a diskrétnej ma-tematiky na FIIT STU. Zameriam sa najmä na vzáh ²tudentov informa-tiky k matematike, ich poh©ad na uºito£nos´ matematiky, a ich vnútornúpotrebu zdôvod¬ovania si jednotlivých tvrdení.

Kontakt: Mgr. Katarína Hri¬áková, PhD.Katedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakultaSlovenská technická univerzita v BratislaveRadlinského 11, 810 05, Bratislavae-mail: [email protected]

26


Matematický krúºok a budúci u£iteliamatematiky

Veronika Hube¬áková

V akademickom roku 2016/2017 sme otvorili matematický krúºok pre detiz málo podnetného prostredia. Cie©om krúºku je hravou formou rozví-ja´ rôzne matematické kompetencie resp. spôsobilosti ºiakov. �peci�komkrúºku je aktívna spolupráca budúcich u£iteliek matematiky s jeho prí-pravou a vedením. To umoº¬uje individuálny prístup k deóm. Zárove¬na²e ²tudentky na základe dát získaných pri vedení krúºku budú tvori´svoje závere£né práce, £ím budú nútené k hlbokej re�exii nad výberomaktivít aj nad myslením detí a jeho rozvíjaním.

Kolaboratívny prístup k príprave krúºku, zameranie pravidelných prí-pravných stretnutí na vytváranie obsahu krúºku, aktívne u£enie sa a ko-herencia s inými aktivitami sú znaky efektívnych kurzov profesionálnehorozvoja u£ite©ov. Preto predpokladáme, ºe okrem rozvíjania myslenia ºia-kov sa bude intenzívne rozvíja´ aj didaktické poznanie obsahu u ²tudentiekzapojených v krúºku. V príspevku zhrnieme prvé skúsenosti a predstavímevýskumné otázky, ktorým sa budeme venova´ v ¤al²om výskume.

Kontakt: RNDr. Veronika Hube¬áková, PhD.Ústav matematických viedPrírodovedecká fakulta UPJ�Jesenná 5, 040 01 Ko²icee-mail: [email protected]

27


Vekovo ²truktúrovaný popula£ný modelpre vývoj hmyzu

Iveta Ilavská, Boºena Dorociaková, Rudolf Olach

Vývojové obdobia jednotlivých druhov hmyzu sú rôzne. Niektoré druhyhmyzu majú krátku iné dlhú larvovú fázu vývoja. Podobne je to s dospe-lou populáciou hmyzu. Niektorý hmyz ºije iba nieko©ko týºd¬ov alebo ajmenej. Napr. niektoré druhy cikád, ktoré ºijú vo východných oblastiachUSA majú dlhú larvovú fázu vývoja, zatia© £o v dospelosti ºijú iba ²tyriaº ²es´ týºd¬ov. Dospelú fázu vyuºívajú hlavne na reprodukciu. Nymfy(kukly) tohto hmyzu ºijú v pôde a sú stále vystavené rôznym rizikám,napr. de²trukcii lesa, urbanizácii alebo lesným poºiarom. Ohrozované súaj predátormi, i ke¤ evolúcia zosynchronizovala vývojové ²tádiá tak, abysa minimalizovali zásahy predátorov.

Predmetom príspevku je popula£ný model pre vývoj hmyzu s larvo-vou fázou. Model je reprezentovaný nelineárnou neutrálnou diferenciálnourovnicou. Rie²enie rovnice predstavuje po£et jedincov dospelej populácieur£itého druhu hmyzu v £ase. Predpokladá sa, ºe výsledok reprodukciezávisí od rozsahu dospelej populácie. Korektnos´ modelu je podporovanádôkazom existencie rie²enia neutrálnej diferenciálnej rovnice, ktorá mode-luje vývoj hmyzu. Model nemusí by´ realistický pre v²etky druhy hmyzu.

Kontakt: RNDr. Iveta Ilavská, PhD.Katedra kvant. metód a hospod.inform. Fakulty PEDaS �U�ilinská univerzita, Univerzitná 8215/1, 010 26 �ilinae-mail: [email protected]

doc. RNDr. Boºena Dorociaková, PhD.doc. RNDr. Rudolf Olach, CSc.Katedra aplikovanej matematiky Strojníckej fakulty �U�ilinská univerzita, Univerzitná 8215/1, 010 26 �ilinae-mail: [email protected]

[email protected]

28


Optimálne riadenie

Viera Kleinová, Luká² Tomek

V príspevku sa budeme venova´ ukáºkam príkladov optimálneho riadeniaod najjednoduch²ích aº k zloºitej²ím. Ukáºkové príklady pre jednoduchúoptimalizáciu pomocou jedného parametra zah¯¬ajú napríklad vytvore-nie ²katule s najvä£²ím objemom z papiera ve©kosti A4. Ukáºky budúzah¯¬a´ aj samotné optimálne riadenie. Takýmto príkladom je napríkladoptimalizácia cesty plav£íka, ktorý zachra¬uje topiaceho sa.

Kontakt: Ing. Viera KleinováIng. Mgr. Luká² TomekKMDG SvF STU BratislavaRadlinského 11, 810 05 Bratislavae-mail: [email protected]

29


Napäóvá analýza pohybov litosférických platnív programe ANSYS

Michal Kollár

Príspevok je venovaný ²túdiu napätí, ktoré vznikajú pri pohybe litosfé-rických platní. Úvod sa stru£ne venuje prí£inám a druhom tektonickýchpohybov a deformácií, ¤alej popisuje základy teórie pruºnosti a odvádzaLamého rovnice elasticity, ktoré sú teoreticky rie²ené pomocou metódy ko-ne£ných prvkov. Praktická £as´ je venovaná numerickým experimentom, vktorých výpo£tová oblas´ je zhora ohrani£ená zemským povrchom a zdolaMohorovi£ovou plochou. Ako okrajové podmienky sú na hornej hranici ap-likované 3D posuny získané z modelu globálnych rýchlostí HS3-NUVEL1Aa na dolnej hranici je aplikovaná podmienka symetrie. Numerické experi-menty boli vykonané v kone£no-prvkovom programe ANSYS, pri£om vovybraných oblastiach zlomových zón bola vykonaná podrobnej²ia napä-óvá analýza.

Kontakt: Ing. Michal KollárStavebná fakulta STU v BratislaveRadlinského 11, 810 05 Bratislavae-mail: [email protected]

30


Na²e skúsenosti s prácou s nadanými de´mi

Jana Kraj£iová

V sú£asnej dobe, ke¤ v spolo£nosti absentujú ©udia, ktorí sú elitou nie lenv¤aka svojmu sociálnemu postaveniu, ale hlavne kvôli svojim individuál-nym morálnym vlastnostiam a profesionálnym kvalitám, je ve©mi dôleºitévenova´ pozornos´ práci s nadanými de´mi.

Vo svojom príspevku popí²em program práce s nadanými de´mi, a topredov²etkým v oblasti matematiky, ktorý sme rozbehli na na²ej ²kole.Program nadväzuje na mnohoro£né skúsenosti získané prácou v matema-tických triedach a následne v triedach s roz²íreným vyu£ovaním matema-tiky (ke¤ºe matematické triedy boli celo²tátne legislatívou zru²ené).

Kontakt: Jana Kraj£iováGymnázium, Alejová 1, 041 49 Ko²icee-mail: [email protected]

31


Atmosférický veterný tunel a jeho vyuºitie

Marek Macák

Atmosférický veterný tunel je pomerne nové experimentálne pracoviskona STU v Bratislave. Jeho hlavnou úlohou je mera´ ú£inky vetra (la-minárneho i turbulentného) na nové i existujúce kon²trukcie a budovy.V tomto príspevku sa zameriam na vytvorenie numerickej simulácie ú£in-kov vetra pomocou rie²enia 3D Navier-Stokesových rovníc v programeANSYS Fluent s pouºitých rôznych turbulentných modelov. Nameranéhodnoty z experimentu vo veternom tuneli sú pouºité na vyhodnoteniekvality simulácie.

Kontakt: Ing. Marek Macák, PhD.Katedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakulta STU v BratislaveRadlinského 11, 810 05 Bratislavae-mail: [email protected]

32


Rekon²trukcia objektov z 3D mra£ien bodov

Matej Med©a

Výstupom viacerých aplikácií je takzvané mra£no bodov, ktoré môºe vovysokom rozlí²ení reprezentova´ reálny objekt. Príkladom je 3D laserovéskenovanie historických pamätihodností a iných scén. Po tzv. registrácii£iastkových mra£ien, získaných z rôznych pozícií skenera, sú výstupombody, ktoré leºia na povrchu objektu. Z praktických dôvodov je dôleºitévytvori´ sie´, ktorá toto mra£no bodov £o najlep²ie popisuje. V prvej £astipredná²ky prezentujem aplikáciu na registráciu mra£na bodov. Potom sav predná²ke venujem matematickým postupom, ktoré samotné mra£noa následne takúto sie´ dokáºu vytvori´. Budem prezentova´ výsledky zospolo£ných prác s M. Reme²íkovou, K. Mikulom a R. �pirom.

Kontakt: Ing. Matej Med©aKatedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakulta STU v BratislaveRadlinského 11, 810 05 Bratislavae-mail: [email protected]

33


Maturitná skú²ka z matematiky - sú£asnos´ amoºnosti jej zmien

Miroslav Repovský

Poh©ad autora na sú£asnos´ maturitnej skú²ky z matematiky so zamera-ním na jej externú £as´, s priblíºením najdôleºitej²ích zistení z testovaniav ²kolskom roku 2015/2016 a h©adanie moºností, ako by sa maturitnáskú²ka z matematiky mohla zmeni´, aby výraznej²ie ovplyvnila priprave-nos´ maturantov na vysoko²kolské ²túdium.

Kontakt: RNDr. Miroslav RepovskýNÚCEM�ehrianska 9, Bratislavae-mail: [email protected]

34


Problém vyvaºovania zááºe

Gabriel Semani²in

Problém vyvaºovania zááºe súvisí s viacerými praktickými úlohami z ob-lasti IT a manaºmentu. Na jeho rie²enie je moºné vyuºi´ koncept semi-spárenia z oblasti teórie grafov. Semi-spárením v bipartitnom grafeG = (U, V,E) nazývame mnoºinu hrán M ⊆ E takú, ºe kaºdý vrchol z U

je incidentný s práve jednou hranou zM . Optimálne semi-spárenie je semi-spárenie s minimálnou hodnotou ú£elovej funkcie

∑v∈V

degM (v)·(degM (v)+1)2 .

Vyuºijúc princíp �Rozde©uj a panuj� ukáºeme ako zredukova´ pôvodnýproblém na jednoduch²iu verziu, pre ktorú je potrebné vypo£íta´ ma-ximálne semi-spárenie s ohrani£eným stup¬om. Pomocou tejto reduk-cie navrhneme tri algoritmy na nájdenie optimálneho semi-spárenia. Zlo-ºitos´ prvého algoritmu je O(

√n · m · log n), kde n je po£et vrcholov

grafu a m je po£et hrán grafu. Druhý algoritmus je pravdepodobnostný anájde optimálne semi-spárenie s ve©kou pravdepodobnosóu v £ase O(nω ·log1+o(1) n), kde ω je exponent najlep²ieho známeho algorimu pre náso-benie matíc. Pretoºe ω < 2.38, tento algoritmus pre husté grafy vylep²ujedoteraz známu hranicu O(n2.5). V prípade planárnych grafov tretí algorit-mus spo£íta optimálne semi-spárenie deterministickým spôsobom v £aseO(n · log4 n).

Kontakt: doc. RNDr. Gabriel Semani²in, PhD.Ústav informatiky, Prírodovedecká fakulta UPJ�Jesenná 5, 041 54 Ko²icee-mail: [email protected]

35


Nad £ím premý²©a dobrý u£ite© matematiky...a ako vies´ k didaktickému mysleniu budúcichu£ite©ov

Ingrid Semani²inová

Mnohé oblasti poznania, v ktorých by mal dobrý u£ite© matematiky sys-tematicky rás´ a dosahova´ ur£itý ²tandard, sú pomenované uº nieko©kodesa´ro£í. Ke¤ºe nesieme zodpovednos´ za vzdelávanie u£ite©ov matema-tiky, musíme h©ada´ efektívne spôsoby, ktoré ²tudentom u£ite©stva umoº-nia £o najviac zlep²i´ ich didaktickú prípravu v predmete. To nás viedlok zavedeniu nového spôsobu hodnotenia v predmete Didaktika matema-tiky. �tudenti si v rámci tohto predmetu vytvárajú prípravy na vyu£ova-cie jednotky, pri£om dopredu vedia, ako bude táto príprava hodnotená.Cie©om navrhnutého spôsobu hodnotenia, je motivova´ ²tudenta - tvorcuprípravy, aby sa hlb²ie zamý²©al nad cie©mi vyu£ovacej hodiny, nad prí-stupom, ktorý zvolil na vyu£ovaciu hodinu, nad výberom úloh, nad ko-rektnosóu obsahu, ktorý preberá z dostupných zdrojov, nad didaktickýmiproblémami, ktoré súvisia s preberanou témou, nad ²tandardnými miskon-cepciami, ktoré pri danej téme ºiaci môºu ma´. V príspevku sa budemevenova´ analýze konkrétnych príprav ²tudentov u£ite©stva matematiky navyu£ovaciu hodinu s cie©om poukáza´ na typické chyby. Uvedieme, akézmeny v ich prístupe k príprave na vyu£ovaciu hodinu nastali po zavedenínového spôsobu hodnotenia, ktorý sme navrhli a implementovali.

Kontakt: RNDr. Ingrid Semani²inová, PhD.Ústav matematických vied, Prírodovedecká fakulta UPJ�Jesenná 5, 040 01 Ko²icee-mail: [email protected]

36


Nieko©ko príspevkov k matematikena gymnáziu

Ladislav Spi²iak

Obsahom predná²ky je prezentovanie u£ebných textov a podujatia, ktoréboli podstatnými sú£asámi podkladov v súáºi o cenu P. P. Barto²a.U£ebné texty �Dôkazy v (stredo²kolskej) matematike� a �Lineárne trans-formácie elementárnych funkcií� boli vytvorené v rámci projektu SapereAude, ktorý bol rie²ený na Gymnáziu �robárova 1 v Ko²iciach v rokoch2013 - 2015.

Publikácia �Dôkazy v (stredo²kolskej) matematike� je pokusom o pri-blíºenie problematiky dokazovania ²tudentovi gymnázia, ale aj moºnoupomôckou pre stredo²kolského u£ite©a. Text okrem popisu základnýchpojmov a metód obsahuje ukáºky dôkazov £lenených pod©a niektorýchoblastí stredo²kolskej matematiky, ale z principiálnych dôvodov nemoºnovyºadova´, aby bol systematickou u£ebnicou dokazovania. Cie©om textu�Lineárne transformácie elementárnych funkcií� je pomocou rie²ených ajnerie²ených úloh popísa´ (ºia©, vo vyu£ovaní neraz prehliadaný) jednotnývýznam koe�cientov v násobkoch a posunoch premenných v rôznych ty-poch (nielen) elementárnych funkcií. Na Gymnáziu �robárova 1 v Ko-²iciach sa uskuto£nilo uº 9 ro£níkov ve©mi úspe²ného podujatia Camp�robárky, ktoré je trojd¬ovým spolo£ným sústredením záujmových krúº-kov (matematický, informatický, kultúrny, at¤.). Jeho program pozostávaz odbornej £innosti v krúºkoch a zo spolo£ných aktivít, turistiky a zá-bavy, v rovnakom duchu, ako na dobre známych sústredeniach kore²pon-den£ných matematických seminárov (na ktorých sme viacerí z nás boli�odchovaní�).

Kontakt: RNDr. Ladislav Spi²iakGymnázium�robárova 1, 042 23 Ko²icee-mail: [email protected]

37


Praktické vyuºitie matematického editoraLAMBDA na vyu£ovaní matematiky priintegrácii nevidiacich ºiakov na strednej ²kole

Mária Stankovi£ová, Milada Pecnová

Príspevok je zameraný na spôsob práce nevidiaceho ºiaka s matematickýmzápisom. V krátkosti sú uvedené technológie, ktoré nevidiaci pouºívajú privzdelávaní. Bliº²ie je opísaný interaktívny matematický editor LAMBDA,ktorý sa povaºuje za vhodný nástroj pre nevidiacich ºiakov nielen na zís-kanie poznatkov z matematiky, ale aj umoº¬ujúci preh©adne rie²i´ zadanéúlohy. Uvedené je tieº jednoduché ovládanie editora pre vloºenie a £ítaniezápisu, ktoré v kombinácii s hlasovým výstupom pouºíva o�ciálnu ma-tematickú terminológiu. Pre nevidiacich ºiakov, integrovaných v beºných²kolách, je editor LAMBDA zárove¬ u£ebnicou aj zo²itom. Predloºené súaj príklady z na²ej osobnej skúsenosti a ukáºky zápisu rôznych matema-tických úloh v editore LAMBDA.

Kontakt: Mgr. Mária Stankovi£ováUniverzita Komenského v BratislaveCentrum podpory ²tudentov so ²peci�ckými potrebamiMlynská dolina, FMFI842 48 Bratislavae-mail: [email protected]

RNDr. Milada PecnováGymnázium Jána PapánkaVazovova 6, 811 07 Bratislavae-mail: [email protected]

38


Matematické metódy v spracovaní obrazu

O©ga Sta²ová, Karol Mikula,Mariana Reme²íková, Nadine Peyriéras

Príspevok sa zaoberá vyuºitím výpo£tových metód v oblasti spracovaniaobrazu.

Najskôr je predstavená nelineárna tenzorová difúzia. Jej difúzny tenzorvedie �ltráciu obrazu intenzívne v smere hrán (£o zabezpe£í uzavretieporu²ených miest v obrazových ²truktúrach) a slabulinko v kolmom smere(aby sa hrany obrazových ²truktúr príli² nerozmazali).

�al²ia £as´ je venovaná aplikáciám nelineárnej tenzorovej difúzie. Táto�ltrácia je ve©mi vhodná na zhladzovanie obrazov s vlasovými ²truktúrami(napr. v daktyloskopii). Významnú úlohu zohráva aj v predspracovaní ob-razu. Ke¤ obraz najskôr zhladíme (odstránime ²um, opravíme poru²enémiesta,...) a potom na¬ aplikujeme ¤al²ie obrazové algoritmy (detekciahrán, segmentácia obrazových ²truktúr,...), dostane podstatne lep²ie vý-sledky ako v prípade, keby sme ich pouºili priamo na pôvodný (neupra-vený) obraz.

Na záver uvedieme praktické vyuºitie týchto metód. Filtrácia a seg-mentácia spolu s ¤al²ími obrazovými algoritmami boli úspe²ne pouºité vrámci rie²enia EU projektov. Aj v¤aka ich implementácii sa nám podarilozrekon²ruova´ �rodokme¬� buniek (t.j. zachyti´ vývoj a postupné deleniejednotlivých buniek v rannom embryonálnom ²tádiu), ktorý na²iel uplat-nenie nielen v medicíne ale aj vo farmakológii (testovanie liekov).

Kontakt: Mgr. O©ga Sta²ová, PhD.Katedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakulta, Slovenská technická univerzitaRadlinského 11, 810 05 Bratislavae-mail: [email protected]

Dr. Nadine PeyriérasInstitut de Neurobiologie Alfred Fessard, CNRS-NEDAvenue de la Terrasse, 91198 Gif-sur-Yvette, Francee-mail: [email protected]

39


Tvorba 3D geometrického modelu lumbálnehostavca z 2D snímok

Mária Tje²²ová, Milan Sokol

V príspevku opí²em proces tvorby 3D geometrického modelu ©udskéhostavca z 2D röntgenových snímok. Snímky sú zhotovené v dvoch projek-ciách predo-zadnej a bo£nej, z ktorých vieme od£íta´ rozmery stavca. Súzade�nované veli£iny, ktoré stavec opisujú z h©adiska proporcií a sú po-trebné na vymodelovanie 3D modelu. Na záver stru£ne opí²em problémy,ktoré môºu pri modelovaní nasta´.

Kontakt: Ing. Mária Tje²²ováKatedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakulta STURadlinského 11, 811 08 Bratislavae-mail: [email protected]

prof. Ing. Milan Sokol, PhD.Katedra stavebnej mechanikyStavebná fakulta STURadlinského 11, 811 08 Bratislavae-mail: [email protected]

40


Geometrické miskoncepcie 15-ro£ných ºiakov

�tefan Tka£ik, Katarína �ilková

Dlhodobo pozorované a výskumne overené geometrické miskoncepcie ²tu-dentov u£ite©stva a ich silná stabilita boli podnetom na skúmanie mis-koncepcií detí a ºiakov, identi�káciu prí£in ich vzniku a súvis s teóriouvan Hiele o vývine geometrického uvaºovania. V rámci rie²enia projektuVEGA 1/0440/15: �Geometrické koncepcie a miskoncepcie detí pred²kol-ského a ²kolského veku� sme uskuto£nili pilotné overovanie, predvýskuma v sú£asnosti prebieha výskum v uvedenej oblasti so ºiakmi 9. ro£níka,resp. kvarty.

Cie©om príspevku bude prezentova´ výsledky predvýskumu a £iasto£neaj výskumu, ktorý zisóval úrove¬ geometrického myslenia pod©a van Hieleteórie (identi�koval jednotlivé hladiny geometrického myslenia ºiakov),identi�koval a analyzoval naj£astej²ie miskoncepcie o geometrických poj-moch testovaných ºiakov a zisóval, £i existuje vzájomná závislos´ medzijednotlivými van Hiele hladinami.

Na základe predbeºných výskumných záverov sa vynára poºiadavka navytvorenie modernej matematickej terminológie elementárnych geometric-kých pojmov, ktoré budú re�ektova´ jednotlivé vývinové fázy ºiaka.

Kontakt: RNDr. �tefan Tka£ik, PhD.Katedra matematikydoc. PaedDr. Katarína �ilková, PhD.Katedra pred²kolskej a elementárnej pedagogikyPedagogická fakulta, Katolícka univerzita v RuºomberkuHrabovská cesta 1, Ruºomberoke-mail: [email protected]

41


ANSYS - inºiniersky softvérpre fyzikálne simulácie

Luká² Tomek

- Ako prúdi vietor nad kopcami £i okolo krídla lietadla?

- O ko©ko centimetrov sa zohne zaáºený ºeriav?

- Aké sú vlastné tvary a frekvencie vibrujúceho mosta?

- Aký hrubý polystyrén treba na zateplenie ná²ho domu?

ANSYS je softvér, ktorý dáva odpovede aj na takéto otázky. V príspevkupomocou ANSYSu na ukáºku vyrie²ime jednoduchý problém. Novinkou jevo©ne stiahnute©ná verzia ANSYS Student vhodná napríklad aj pre Stre-do²kolskú odbornú £innos´ ºiakov so záujmom o po£íta£ové modelovaniefyzikálnych dejov.

Kontakt: Ing. Mgr. Luká² TomekStavebná fakulta STURadlinského 11, 810 05 Bratislavae-mail: [email protected]

42


Vyuºitie kriviek v spracovaní medicínskehoobrazu

Jozef Urbán

V príspevku prezentujem vyuºitie 2D a 3D kriviek v spracovaní obrazuv medicíne. Zameriam sa predov²etkým na segmentáciu 2D obrazu a ex-trakciu 3D ciest vyuºitelných pre diagnostiku vyuºitím virtuálnej kamery.

Kontakt: Ing. Jozef Urbán PhD.Katedra matematiky a deskriptívnej geometrieStavebná fakulta STU v BratislaveRadlinského 11, 813 68 Bratislava

a TatraMed Software s.r.o.Lí²£ie údolie 9, 841 04 Bratislavae-mail: [email protected]

43


Efektívnos´ vyu£ovania matematiky metódoudidaktických hier

Peter Vankú², Ivana Ochodni£anová

Cie©om príspevku je prezentova´ výsledky prieskumu vplyvov dlhodobéhopouºívania didaktických hier na postoje ºiakov k matematike. Závery z vý-skumu týchto vplyvov sú jedným z výstupov projetku M�VVa� SR KEGA£. 074UK-4/2014, ktorý sa zaoberá efektívnosóu vyu£ovania matematikymetódou didaktických hier.

Kontakt: PaedDr. Peter Vankú², PhD.FMFI UK BratislavaMlynská dolina F1, 842 48 Bratislavae-mail: [email protected]

Mgr. Ivana Ochodni£anováFMFI UK BratislavaMlynská dolina F1, 842 48 Bratislavae-mail: [email protected]

44


Tvorba £íselných predstáv v primárnommatematickom vzdelávaní

Anna Va²utová

Jednou z priorít matematickej edukácie je vytváranie predstáv o £íslach,£o v kontexte primárneho vzdelávania predstavuje najmä oblas´ prirodze-ných £ísel. Ich zavádzanie do výu£by zasahuje uº do obdobia pred²kolskejprípravy, ktorú ale na Slovensku deti nemusia absolvova´, preto sa jej na1. stupni základnej ²koly venuje zvý²ená pozornos´. Rozvíjanie £íselnýchpredstáv má isté zákonitosti, ktoré vyplývajú najmä z poznatkov zo psy-chológie dieáá v danom vývinovom období. Napriek tomu je metodikazavádzania a sprístup¬ovania problematiky naprie£ krajinami odli²ná.

Príspevok prezentuje koncepciu rozvíjania £íselných predstáv v pri-márnom stupni vzdelávania na Slovensku a vo Fínsku. Uvedená oblas´ sazárove¬ stáva zdrojom in²pirácií v pregraduálnej matematickej prípravebudúcich u£ite©ov- elementaristov.

Kontakt: Mgr. Anna Va²utová, PhD.Katedra matematickej edukácie PF PU v Pre²ove17. novembra 15, 080 01 Pre²ove-mail: [email protected]

45


3 �lánky na aktuálne témy

Memorandum o partnerstve a spolupráci

medziSlovenskou matematickou spolo£nosóu a

Asociáciou riadite©ov ²tátnych gymnázií SR

Preambula

Slovenská matematická spolo£nos´ a Asociácia riadite©ov ²tátnych gym-názií SR spolo£ne uznávajúc rozhodujúci význam vzdelania pre kultúrnuaj ekonomickú budúcnos´ Slovenka ako hrdej a sebazodpovednej krajiny,si uvedomujú k©ú£ovú úlohu matematického vzdelávania na základnýcha stredných ²kolách a svojej zodpovednosti za toto vzdelávanie. Pretosa rozhodli vytvori´ partnerstvo, ktoré by malo vytvori´ platformu na for-movanie i podporu matematického vzdelávania na základných a stredných²kolách.

Asociácia riadite©ov ²tátnych gymnázií

• Bude iniciova´ u riadite©ov gymnázií aby podporovali £lenstvo svo-jich u£ite©ov v SMS/JSMF.

• Bude iniciova´ u riadite©ov gymnázií aby podporovali ú£as´ svojichu£ite©ov na podujatiach SMS.

• Poverí svojich zástupcov zodpovedných za spoluprácu so SMS a po-bo£iek JSMF.

• Kaºdý rok na jednom zo svojich seminárov zaradí do programu bod� Výsledky partnerstva s SMS/JSMF�.

• Aktívne prijme výzvy SMS na rie²enie problémov alebo podporuprojektov SMS.

• Bude iniciova´ u riadite©ov gymnázií, aby na regionálnej úrovni gym-náziá prevzali líderstvo v komunite u£ite©ov matematiky.

46


Slovenská matematická spolo£nos´

• Na svojich konferenciách a iných vhodných podujatiach bude zara-¤ova´ problematiku výu£by matematiky na základných a stredných²kolách.

• Poskytne riadite©om gymnázií výsledky analýz, ²túdií a výskumu,ktoré sa dotýkajú matematického vzdelávania na základných a stred-ných ²kolách, pre potreby inovácie �kolských vzdelávacích progra-mov a ich manaºérskeho rozhodovania.

• Bude v spolupráci s AR�G aktívne h©ada´ cesty k modernizácii,no zárove¬ dostato£nej stabilite �tátneho vzdelávacieho programu avyu£ovaniu matematiky.

• Bude iniciova´ u svojich £lenov ústretový aj aktívny prístup k po-nuke kvalitných programov kontinuálneho vzdelávania v didaktikematematiky.

Spolo£ne

a v spolupráci s M�VVa� budú h©ada´ reálne aplikovate©ný rámec poºia-daviek na implementáciu Národného ²tandardu �nan£nej gramotnosti.

47


Tibor Neubrunn (1929 - 1990)

Beloslav Rie£an

Re£ je o knihe autorov Anatolija Dvure£enského, �ubice Holej, KatarínyJankovej a Beloslava Rie£ana: Tibor Neubrunn (1929 - 1990), ktorú vydalaFakulta Matematiky fyziky a informatiky Univerzity Komenského vo vy-davate©stve Matfyzpress Praha ako 61. zväzok edície Dejiny matematiky.Kniha bola uvedená uº na 37. konferencii História matematiky v auguste2016 v Pod¥bradoch, o�ciálna prezentácia sa konala 10. októbra 2016na Fakulte MFI UKo v Bratislave. Za reprezenta£nej ú£asti poprednýchslovenských matematikov knihu uviedli do ºivota prof. RNDr. MartinaBe£vá°ová, PhD., doc. RNDr. Jind°ich Be£vá°, CSc., dekan FMFI UKoprof. RNDr. Jozef Masarik, DrSc. a predseda JSMF prof. RNDr. MartinKalina, CSc.

Kniha pozostáva z dvoch £astí. Prvá je spomienková a vychádza z nejhlboký ©udský pro�l Tibora Neubrunna. V prílohe uvádzame ukáºky zospomienok najbliº²ej rodiny, kolegov a priate©ov, doktorandov a bývalých²tudentov.

Druhá £as´ obsahuje ponor do vedeckých prác prof. Neubrunna a uka-zuje, ºe aj pri jemných Tiborkových prístupoch ku kolegom, £i ºiakommoºno dosahova´ významné vedecké výsledky. Tiborko stál pri zrode via-cerých vedeckých ²kôl, ktorými slovenskí matematici prerazili do sveta.Tak B. Rie£an pí²e o teórii miery, �. Holá o zov²eobecnení pojmu spojitejfunkcie, A. Dvure£enskij o za£iatkoch teórie kvantových logík na Sloven-sku a K. Janková o ¤al²ích vybraných výsledkoch.

Kniha obsahuje zoznam publikácií Tibora Neubrunna a obrázkovú prí-lohu.

Knihu moºno dosta´ za 5 euro na Fakulte matematiky, fyziky a infor-matiky Univerzity Komenského.

48


Príloha

Jana Belasová

Neviem, ako sa konkrétne vlastne podarilo zoznámi´ Tibora Neubrunnas jeho manºelkou Hankou, ale myslím, ºe to bolo pre¬ho ²ástné stretnutie.Na druhej strane sa Tiborko, ako ho v²etci jeho priatelia volali, ve©mi rádsmial svojím typickým �hih¬avým� výrazným a srde£ným smiechom nakaºdom z vtipov, rozprávaním ktorých sa matematici ve©mi radi bavili.Myslím, ºe sa nenájde £lovek, ktorý by na¬ho spomínal v zlom. Jehobezkon�iktná, priate©ská povaha a korektný prístup ku kaºdému spôsobili,ºe nemal nijakých nepriate©ov.

Ak spomínam na Neubrunna ako na jedného zo svojich u£ite©ov naMatematicko - fyzikálnej fakulte, musím kon²tatova´, ºe to bol profesi-onálny predná²ate©, výborný odborník a nadov²etko priate©ský a slu²nýskú²ajúci. Ís´ k nemu na skú²ku bola pre kaºdého ²tudenta radostná uda-los´, pretoºe Neubrunn nevyhadzoval, bol k nám vºdy ústretový, a ke¤ uºnaozaj niekto ni£ nevedel a on ho musel vyhodi´, tak ho to ur£ite mrzeloviac, ako samotného ²tudenta.

Anatolij Dvure£enskij

Neraz si spomeniem na pána profesora, na jeho férovos´, £estnos´, láskuk matematike a k ²tudentom. Teraz v nových £asoch, ke¤ sa za£ínajústráca´ niektoré etické hodnoty a nahrádzajú ich honby za materiálnymivýhodami, vidím, ºe odi²iel z tohto sveta príli² skoro. Chýba celej sú£asnejslovenskej matematike. . .

�ubica Holá

Prichýlil ma pod svoje ochranné vedecké krídla a s ve©kou trpezlivosóuma viedol v mojich za£iatkoch. Ako môj vedúci vºdy láskavý, tolerantný,oh©aduplný, vºdy ochotný pomôc´, s úºasným zmyslom pre humor. Vedelúºasne stmeli´ kolektív, na²e výlety sa te²ili ve©kej ob©ube.

49


Du²an Holý

Profesor Neubrunn od doby, kedy som ho za£al registrova´ po£as môjho²túdia na fakulte, pôsobil na m¬a ako skromný a pokorný £lovek. V zim-nom semestri druhého ro£níka nám profesor Neubrunn predná²al teóriumiery. Musím poveda´, ºe tieto predná²ky mali vysokú pedagogickú úro-ve¬ a sám profesor Neubrunn sa pre m¬a stal ve©kou autoritou.

Katarína Janková

Ke¤ som si vyberala ²tudijný program na vysokej ²kole, uº mi bolo jasné,ºe chcem ²tudova´ matematiku, bol to práve otec, ktorý mi poradil prav-depodobnos´ a matematickú ²tatistiku, aj ke¤ to nebola priamo jeho par-keta. K pravdepodobnosti a ²tatistike sa dostal ako k oblasti, kde sa dajúdobre aplikova´ poznatky z teórie miery, ktorou sa hlb²ie zaoberal.

Ako u£ite© rád vysvet©oval, ale nerád skú²al, niekedy bol k ²tudentommoºno aº príli² tolerantný, dával dobré známky.

Vladimír Jodas

Moºno mnohí z jeho ºiakov uº zabudli na to, ako integrova´ substitu£noumetódou, £i ako vyzerá rozvoj tej £i onej funkcie do Fourierovho radu, aleako ho po£úvali s otvorenou du²ou, tak pevne dúfam, vracajú svojím ºia-kom Tiborovu láskavos´, porozumenie pre problémy druhých, toleranciu,trpezlivos´ a pevne verím, ºe u£ia aj to ako �Správne vari´ £aj�.

�o chcem poveda´? Nie som matematik, som u£ite© matematiky. Ajpreto si myslím, ºe odkaz £loveka netvorí len jeho vedecké dielo. Je to ajtá £as´ jeho du²e, ktorú rozdal svojím ºiakom. A ak ju oni budú rozdáva´¤alej, tak Tibor Neubrunn bude ºi´ dlho medzi nami.

Tibor Katri¬ák

Zdá sa mi, ºe ²es´desiate roky boli pre T. Neubrunna tými naj²ástnej-²ími. Matematici na PFUK tvorili veselú druºinu. Rozhýbal sa matema-tický ºivot, e²te neexistoval konkuren£ný boj a panovala dobrá atmosféra.Hoci vä£²ina ©udí z katedry nemala v Bratislave ani trvalé ubytovanie

50


(prespávalo sa v pracovniach), vedecké kontakty boli skoro nulové a beºnémateriálne podmienky boli ºalostné, napriek tomu pretrvával optimizmus.

Ak by som mal charakterizova´ jednou gramatickou vetou Tiborka,tak by to bolo kon²tatovanie, ºe on bol stvorený pre iný svet ako bol tenná². Cítim sa poctený, ºe môºem poveda´, ºe som bol jeho priate©om.

Ivan Kupka

Do miestnosti vo²iel zhruba pä´desiatro£ný muº drobnej postavy, s ºivýmio£ami a pokojným vystupovaním. Správal sa k nám ²tudentom priate©sky.vedel látku, ktorá bola pomerne zloºitá, jasne a zrozumite©ne vysvetli´.To si získalo ná² re²pekt a na²e sympatie.

Lubomír Kubá£ek

Ve©mi som si ho váºil ako matematika, ale aj ako £loveka. Za celý £as, £osme sa spoznali, nikdy nepovedal o nikom ni£ znevaºujúceho, komu mohol,pomohol, a £o som povaºoval za ve©mi zriedkavé, premý²©al ako stimulova´kolegov k ich odbornému rastu. Takáto zvlá²tna forma altruizmu aj m¬apozitívne zasiahla, za £o mu budem vºdy v¤a£ný.

Dagmar Markechová

Pamätám si doteraz na predná²ky prof. Neubrunna, ktoré boli vºdy pre-myslené do posledného detailu. Aj náro£né matematické teórie vedel poda´takým majstrovským a jedine£ným spôsobom, ºe boli pre nás prístupnéa zrozumite©né uº hne¤ na predná²ke.

Radko Mesiar

Jeho krédom bolo: Nebojte sa ís´ do nových oblastí, práve jeho záslu-hou sa Slovensko stalo poprednou krajinou vo výskume ne²tandardnýchmier a integrálov. Aj ke¤ v²etky doteraz spomínané vplyvy vo mne silnerezonujú, azda najvä£²í vplyv na m¬a mala jeho ©udská stránka: aj v naj-áº²ích chví©ach treba ©u¤om veri´, podporova´ ich, otvára´ sa im, a párprípadných sklamaní nás nesmie odvráti´ od snahy osta´ vºdy ústretovým£lovekom.

51


Andrej Náther

Myslím, ºe v pamäti v²etkých, ktorí sa s ním stretli a mali to ²ástie s nímspolupracova´, zostane na¬ho milá spomienka, ktorá sa spája s jeho mimo-riadnymi ©udskými vlastnosámi. Bol príkladom toho, ºe je moºné spoji´ve©kú múdros´ a vzdelanos´ s rovnako ve©kou skromnosóu a pokorou.

Andrej Pázman

Skú²al ve©mi opatrne, a ke¤ moja odpove¤ trochu prerástla jeho otázku,k môjmu pote²eniu zvolal: �Aj toto viete?� Aj táto mali£kos´ sved£í o tom,ºe prof. Neubrunn mal neuverite©né schopnosti empatie. A naviac, ako namálokoho, platilo na¬ho v pozitívnom zmysle pravidlo L. N. Tolstoja:hodnota £loveka je zlomok, v menovateli je to, £o si sám o sebe myslí, v£itateli to, £o si o ¬om myslia tí druhí.

Beloslav Rie£an

V tých rokoch sme matematickú tvorbu nepestovali kvôli gólom, bodom,sekundám, ale pre rados´ a jej uºito£nos´. Príkladom bol seminár o neko-ne£ne malých veli£inách, v ktorom sme sa zaoberali touto problematikou.Výsledkom bola populariza£ná publikácia.

V devä´desiatych rokoch som mal moºnos´ publikova´ v zahrani£í. Takvznikla publikácia Rie£an, B. - Neubrun: T. Integral, Measure, and Or-dering. Knihu som venoval dcére Hanke, ktorá v r. 1994 zahynula priautomobilovej nehode. Do úvodu som napísal: �Hanka and Tibor wereamong the best people I met in my life. If there is a heaven, then Hankaand Tibor certainly met there and now watch our steps.�

Zdenka Rie£anová

Áno, boli sme tá ²ástná generácia posluchá£ov, ktorá mala vynikajúcichu£ite©ov, medzi ktorými prof. Tibor Neubrunn zaujíma jedno z £estnýchmiest. Pí²em o nás, ke¤ mám písa´ o Tiborovi? No áno, ve¤ my sme tenTiborov odkaz, ktorý tu po ¬om zostal. Sná¤ sa podarí aj nám posunú´ho ¤al²ej generácii a hlavne tú pravdivos´ a úprimnos´, ktorú sme sa my

52


v²etci práve od Tibora nau£ili. Lebo my sme Tiborovi ºiaci a to sme muzostali dlºní.

Vladimír Toma

Ke¤ som zaklepal na dvere jeho pracovne, ozval sa detský hlások �¤alej� ake¤ som vstúpil, tak pozerali na m¬a dve malé okaté diev£atká, o ktorýchsom sa neskôr dozvedel, ºe to boli dve jeho dcéry, ktoré pri²li s otcom dopráce po£as prázdnin. Ú£el mojej náv²tevy bola prosba na prof. Neub-runna, aby mi poradil oh©adom mojej orientácie v za£ínajúcom výskume.Vedel som od star²ích spolupracovníkov, ºe prof. Neubrunn pracuje v ob-lasti teórie miery a teórie reálnych funkcií. Ke¤ som sa ho spýtal, £o tovlastne reálne funkcie sú, s potmehúdskym úsmevom jemu vlastným mipovedal, ºe �reálne funkcie sú od dekana vy²²ie�.

Jozef Vencko

Pri nejakej príleºitosti prof. Valter �eda upozor¬oval, ºe viacerí autoriv snahe zdôrazni´ vlastnú vedeckú erudíciu, £i uº verbálne alebo písomne,sk¨zavajú do zloºitých, ba aº nezrozumite©ných vyjadrení, len aby ich nie-kto nepovaºoval za vedeckých nedovzdelancov. Valter �eda ako protipóluvádzal Tibora Neubrunna, ktorého prejav bol vºdy jasný, jednoduchý azrozumite©ný, a nikto ho nemohol podozrieva´ z vedeckej nedovzdelanosti.

Gejza Wimmer

Profesor Neubrunn skú²al s ve©kým pochopením pre to, ºe ²tudent ne-môºe úplne perfektne a do detailov ovláda´ bezbrehú látku. Mal ve©kýzmysel pre rozlí²enie podstatných vecí od menej podstatných. Pri skú²kebol ve©mi trpezlivý. Mal som dojem, ºe pri jeho skú²ke sa ²tudent do-u£í v²etko, £o mu nie je celkom jasné. Neskôr som poznal pána profe-sora Neubrunna ako £loveka, ktorý ve©mi povzbudzoval mlad²ích kolegov,podporoval a staral sa o ich profesionálny rast. Jeho odchod bol ve©kouodbornou ale aj ©udskou stratou pre celú matematickú komunitu.

53


O kultúre v komunikácii

Beloslav Rie£an

Pôjde o skuto£ný príbeh. I²lo o ktorúsi u£ebnicu. Na pozadí bol pravde-podobne spor didaktický, pre£o nie? V tomto £lánku nám v²ak nepôjdeo matematiku, ale o matematikov.

Sporiaca sa didaktická stránka si dala prácu s podrobným súpisovmatematických nedokonalostí tej u£ebnice. Bol som so sáºnosóu obo-známený asi ako známy bojovník. Pravda, ke¤ som si ten zoznam prezrel,usúdil som, ºe matematické chyby sa dajú odstráni´ ©avou rukou. Niedlho predtým totiº vy²lo 6. vydanie mojej gymnaziálnej u£ebnice o prav-depodobnosti a ²tatistike. Uº som sa obával, ºe bude zastaralé, ponúkolsom preto spoluautorstvo mladej krvi. Doktorandke, zoznámenej s dielomA. Plockého, zaoberajúcim sa didaktikou pravdepodobnosti a ²tatistiky.A tak sme s ve©kou radosóu pripravili do tla£e to ²ieste vydanie, rovnakozrozumite©né ako predo²lých pä´, ak nie zrozumite©nej²ie. A v známomvydavate©stve so skúsenou redaktorkou. Ke¤ v²ak vy²lo tla£ou, dokto-randka sa chytala za hlavu, to©ko tam bolo chýb. Ni£ sa v²ak nestalo,vydavate©stvo pripravilo na oto£ku opravené vydanie. To ²ieste vydaniemalo, podobne ako predo²lých pä´, e²te jednu vlastnos´, zaberalo neve©kýpriestor, celkom 70 strán formátu A5.

Tak toto bolo stanovisko amatéra: opravi´ ©avou rukou. A teraz sta-novisko profesionála, odborníka na teóriu vyu£ovania matematiky: �U£eb-nicu som si dos´ podrobne pre²tudoval a do²iel som k názoru, ºe je vhodná.Je pozoruhodné ako ste dokázali sk¨bi´ dve koncepcie u£ebníc - �predreform-ných a reformných� - do jedného celku. Pouºívam úvodzovky, pretoºe sinemyslím, ºe ide o reformu pri tvorbe u£ebníc. �ir²ej matematickej verej-nosti sú známe podmienky, za ktorých sa presadili �reformné� u£ebnice.Výhrady k týmto �reformným u£ebniciam prichádzali jednak priamo odich uºívate©ov, ale aj od vedeckých pracovníkov z oblasti Teórie vyu£ovaniamatematiky. Napriek týmto výhradám boli postupne u£ebnice vydávané.�

Ale uº dva týºdne predtým iný odborník na vyu£ovanie matematikynapísal: �U£ebnica môºe slúºi´ ako výborný vzor toho ako u£ebnica nesmievyzera´. Dovolím si zdôrazni´ obludnos´ chýb spomínanej u£ebnice, a to

54


s jediným cie©om: Aby sa takýto nekvalitný text uº nemohol nikdy viacobjavi´ na ²kolách v Slovenskej republike.�A podali návrhy.Prvý. �K podpornému stanovisku za jej skoré vydanie sa pripájam aj ja,pri£om tento mail môºete pouºi´ pri ¤al²ích rokovaniach o moºnostiachvydania u£ebnice.�Druhý. �Povaºujem za nutné u£ebnicu ihne¤ stiahnu´ z obehu a zakáza´jej pouºívanie.�

A tretie stanovisko, jedného z na²ich najlep²ích stredo²kolských u£i-te©ov matematiky. �Vyda´ metodický pokyn odstra¬ujúci najvä£²ie nedos-tatky. V ¤al²om vydaní upravi´ aspo¬ úvody £lánkov v duchu spomínanýchpokynov. Ideálnym (ale asi nie reálnym) rie²ením by bolo presved£i´ sá-ºovate©ku, aby na tom spolupracovala.�

Ale je tu e²te stanovisko jedného z na²ich najznámej²ích matemati-kov - vedcov: �Ja som presved£ený, ºe existuje jediné rozumné rie²enie:u£ebnicu stiahnu´ z obehu a �nan£nú stratu necha´ uhradi´ vinníkom. Jeniekto ochotný prispie´ svojimi da¬ami na podvádzanie a balamutenie na-²ich detí? �

A pre£o to? �Ke¤ u£ebnicu uvideli ©udia, ktorí aspo¬ trochu rozumejúmatematike, tak sa zhrozili: u£ebnica obsahuje mnoho chýb vecných, di-daktických, dokonca je v spore s tým, £o vedeli Gréci pred 2500 rokmi.�

A ¤alej: �Musím zdôrazni´ triviálne princípy, ktoré neboli dodrºané privydaní a následne distribuovaní tejto neprijate©nej a pod©a m¬a neopravi-te©nej u£ebnice.�

A nakoniec: �Aby sme celý ²kandál �zamietli pod koberec�, h©adámemoºnos´ elektronicky napravi´ chyby v inkriminovanej u£ebnici a hlavneh©adáme hlupáka, ktorý by sa na to podujal.�

E²teºe uvedené stanovisko nebolo v²eobecne známe. Neviem, £i by somsa bol odhodlal vyjadri´ k upravenému textu u£ebnice len dva mesiace potých ostrých slovách.

Vo Zvonovom Tanci nad pla£om gróf odpovedá svojmu nemému slu-hovi na jeho mrnkanie: �Viem, £o chce² poveda´, netreba to©ko slov.�

Dovo©te aj mne zdôrazni´, ºe netreba to©ko slov.Beloslav Rie£an

55


P.S. Po dvoch rokoch vy²lo druhé vydanie, ktoré predtým pre²lo rukamidvoch ¤al²ích recenzentov, takých, ºe lep²ích nepoznám. Tá u£ebnica jeteraz bezchybná, ak vôbec existuje bezchybný text. O didaktike moºnodiskutova´, pre£o nie? Ale nie o didaktike bol tento £lánok, ale o komuni-kácii.

Kontakt: prof. RNDr. Beloslav Rie£an, DrSc., dr. h. c. mult.Katedra matematiky FPV UMBTajovského 40, 974 01 Banská BystricaMatematický ústav SAV�tefánikova 49, 841 01 Bratislavae-mail: [email protected]

56


4 Organizujeme. . .

Súáº � O cenu akademika �tefana Schwarza �

Vyhlásenie súáºe:

Slovenská matematická spolo£nos´, sekcia JSMF, vyhlasuje narok 2017 súáº

O cenu akademika �tefana Schwarza

Súáº � O cenu Petra Pavla Barto²a �

Vyhlásenie súáºe:

Slovenská matematická spolo£nos´, sekcia JSMF, vyhlasuje narok 2017 súáº

O cenu Petra Pavla Barto²a

Podmienky oboch súáºí budú zverejnené na stránke konferencie, na stránkeJSMF: www.jsmf.eu.sk, aj na stránke SMS: www.math.sk/sms.

57


Poznámky:

58


59


60

Za obsahovú a jazykovú stránku príspevkovzodpovedajú autori.

DOVIDENIA V ROKU 2017

OPÄ� V JASNEJ,

PRIATELIA!

Editori: Mariana Mar£oková, Mária Kúdel£íková

Tla£: EDIS � vydavate©ské centrum �ilinskej univerzity,�ilina, november 2016

Vydanie: prvéNáklad: 170 výtla£kovISBN: 978-80-554-1279-5

Vytla£ené z dodaných predlôh

Documents

48. konferencia slovenských matematikovkonferenciajasna.sk/storage/root/archiv/ZbornikKSM2016.pdf · bozena.dorociakoa@fstrov j.uniza.sk 12. Jasná pod Chopkom, 24. 27. november,