48459-macch_rp_rev1.2.pdf

Macchina a regime periodico{ rev. 1.2 {

, t

m

Jm Jv

'

`r

motore

pa

pm

x, _x, x

0 (P.M.E.)

F

Figura 1: Schema dell'impianto di pompaggio

Della pompa volumetrica a stantuo a singolo eetto rappresentata in gura 1 sono notii seguenti dati:

- pressione di mandata pm = 4:8 bar- pressione di aspirazione1 pa = 0:5 bar- corsa dello stantuo c = 280mm- diametro dello stantuo D = 210mm- momento d'inerzia del motore Jm = 0:1 kgm

2

- massa del piede di biella m = 54 kg- velocita di rotazione media dell'albero di manovella n = 195 rpm- rapporto di trasmissione = 1=7:5- rendimento della trasmissione t = 0:85

Si chiede di:

determinare il momento d'inerzia Jv del volano che garantisca di limitare il valoredell'irregolarita periodica i a 0:03;

determinare la legge di moto a regime dell'albero di manovella della pompa con-siderando come curva caratteristica del motore quella rappresentata in gura 2 diequazione:

Mm = M0 +K nm

dove: M0 = 308Nm, K = 0:1225Nm=(rpm).

1Le pressioni sono da intendersi come pressione relative; si ricorda inoltre che: 1 bar = 10N=cm2

2 Macchina a regime periodico

0 500 1000 1500 2000 2500 30000

50

100

150

200

250

300

350

n [rpm]

Mm

[Nm

]

M0

Figura 2: Curva caratteristica del motore

Traccia di soluzione

Momento motore. Per fare in modo che la condizione di moto periodico sia garantita,il motore deve esser in grado di produrre sul periodo un lavoro Lm pari al lavoro resistentepiu quello perduto Lr=, dove e il rendimento totale del sistema.

2

La forza netta sul pistone, dovuta alle pressioni del uido, e sempre opposta alla velocita, equindi resistente; in particolare, i moduli delle forza di aspirazione e della forza di mandatapossono essere espressi rispettivamente come:

Fa = jpaj D2

4, Fm = pm

D2

4

Il lavoro resistente corrispondente sara quindi:

Lr = Fa c+ Fm c =D2

4c (jpaj+ pm)

Il lavoro su un periodo del momento motore (considerato costante) ridotto all'albero dellamanovella sara:

Lm = Mm 2

Essendo nulle le perdite del manovellismo, si puo scrivere:

Lm = Lr ! Mm =D2

4 c (jpaj+ pm)2

Il momento sul motore sara inne:

Mm = Mm

t

2Si ricorda che, in condizioni di regime periodico, la variazione dell'energia cinetica sul periodo e nulla(E = 0).

3Calcolo di Emax. Scrivendo l'equazione di bilancio delle potenze del sistema si ottiene:

W m +Wr =dE

dt

dove: W m e la potenza motrice a valle della trasmissione (quindi gia depurata della po-tenza perduta nella trasmissione stessa), Wr e la potenza resistente, E e l'energia cineticaassociata a tutte le inerzie presenti nel sistema.L'energia cinetica puo essere suddivisa in due distinti contributi, uno dovuto alle masserotanti, l'altro dovuto alle masse in moto alterno. Per quanto riguarda le masse in motoalterno, il loro contributo puo essere tenuto in conto attraverso la potenza delle loro forzed'inerzia3; in particolare si puo scrivere:

W m +Wr +Wi =dErdt

dove: Wi e la potenza delle forze d'inerzia delle masse in moto alterno, Er e l'energiacinetica delle masse rotanti.Procedendo al calcolo del momento d'inerzia del volano secondo la metodologia a rigidezzanulla, si ottiene:

Ermax = J i !2

dove: Ermax e la variazione massima di energia cinetica delle masse rotanti, J e il

momento d'inerzia di tutte le masse rotanti ridotto all'albero di manovella, i e l'irregolaritaperiodica, ! e la velocita media di rotazione dell'albero.Esplicitando i termini della precedente equazione di bilancio delle potenze, si ottiene:

Mm _'+Mr _'+ Fi _x =

d

dt

1

2(Jv + J

m) _'

2

dove: Fi = mx e la forza d'inerzia associata al piede di biella, Jv e il momento d'inerziadel volano, Jm e il momento d'inerzia dell'albero motore ridotto all'albero della manovella.Pensando di ridurre anche la forza d'inerzia all'albero della manovella, l'equazione prece-dente puo essere riscritta come:

Mm _'+Mr _'+M

i _' =

d

dt

1

2(Jv + J

m) _'

2

dove: Mi e la coppia d'inerzia ridotta all'albero di manovella corrispondente alla forzad'inerzia Fi.Considerando che ! = d'=dt si puo scrivere:

(Mm +Mr +M

i ) d' = dEr

Integrando da 0 ad un generico angolo ', si ottiene l'andamento dell'energia cinetica Erin funzione dell'angolo di manovella:Z '

0(Mm +M

r +M

i ) d' = Er(') Er(0)

da cui, estendendo l'integrale all'intero periodo, e possibile trovare il valore massimo, ilminimo e quindi la loro dierenza Ermax

4.Per il calcolo dell'integrale si puo procedere per via numerica valutando l'area sottesa dallafunzione integranda, ad esempio con il metodo dei trapezi.

3Si ricorda che la potenza delle forze d'inerzia e pari alla derivata dell'energia cinetica cambiata di

segno: Wi = dEdt

.4Si noti che il calcolo di Ermax non dipende dal valore Er(0).


''j1 'j 'j+1 'j+2

Mj1

MjMj+1 Mj+2

M

j j + 1 j + 2

Figura 3: Esemplicazione graca del metodo dei trapezi

Posto M(') = (Mm +Mr +Mi ), l'applicazione del metodo dei trapezi porta alla se-guente formula ricorsiva:

Er ('j+1) = Er ('j) +[M ('j+1) +M ('j)]'

2

In questo modo, salvando tutti i valori di Er calcolati ai vari passi, si ottiene l'andamentodell'energia cinetica in funzione dell'angolo di manovella, da cui si possono possono poiricavare il valore minimo e il valore massimo.

Dal punto di vista graco, con riferimento alla gura 3, il generico valore Er ('j+1) e lasomma delle aree di tutti i trapezi in cui e stata suddivisa l'area sottesa dalla funzioneM ('), dalla prima alla (j + 1).Un altro modo per calcolare Ermax e osservare che l'energia cinetica avra il suo massimoe il suo minimo in corrispondenza degli zeri della funzione integranda, come mostrato ingura 4 dove si e assunto zero come valore iniziale dell'energia cinetica.

Una volta calcolata la variazione massima di energia cinetica delle masse rotanti, e imme-diato calcolare il momento d'inerzia del volano che garantisce una determinata irregolaritaperiodica:

J =Ermaxi !2

Il corrispondente momento d'inerzia ridotto all'albero motore (l'albero veloce) sara:

J = J2

t

Momento resistente. Per il calcolo del momento resistente ridotto all'albero dellamanovella, si considerino positive le forze dirette verso destra (gura 1).

In gura 5 e rappresentato l'andamento della forza resistente in funzione dell'angolo dimanovella.

Nota la forza resistente, occorre ridurla all'albero di rotazione della manovella; per questosi deve allora sviluppare l'analisi cinematica del manovellismo per poter determinare ilrapporto di trasmissione tra piede di biella e albero di manovella.

In particolare, considerando anche lo spostamento x positivo verso destra e con originein corrispondenza del P.M.E (punto morto esterno), e l'angolo di rotazione ' positivo se

50 50 100 150 200 250 300 350 4002000

1500

1000

500

0

500

1000

1500

2000

2500

[]

M m

+ M r

+ M i

[Nm]Er [J]

Figura 4: Andamento di M e di Er

0 50 100 150 200 250 300 35020000

15000

10000

5000

0

5000

[]

Fr

[N]

Figura 5: Andamento della forza resistente in funzione dell'angolo di manovella

antiorario, la relazione tra x e ' puo essere scritta, in forma semplicata5, come:

x = r [1 cos (')]

5La forma semplicata e tanto piu valida quanto piu il rapporto tra la lunghezza della biella e dellamanovella e piccolo: = r=` 1.


Di conseguenza la velocita, considerata anch'essa positiva verso destra, sara:

_x = r sin (') _'

dove il termine [r sin (')] rappresenta il rapporto di trasmissione m tra la velocitaangolare della manovella e del piede di biella.Una volta determinato il rapporto di trasmissione, il momento resistente ridotto Mr ,rappresentato in gura 6, sara:

Mr = Frm = Fr [r sin (')]

0 50 100 150 200 250 300 350 4002500

2000

1500

1000

500

0

500

[]

M r

[Nm

]

Figura 6: Andamento del momento resistente ridotto in funzione dell'angolo di manovella

Coppia d'inerzia. Per poter procedere al calcolo dell'integrale ed arrivare cos a de-terminare Ermax, manca solo la coppia d'inerzia associata alle masse in moto alternoMi :

Mi = Fim = mx [r sin (')]Derivando l'espressione della velocita _x, considerando _' costante (pari alla velocita media!), si ottiene:

x = r _'2 cos (')da cui:

Mi = mr2 _'2 cos (') sin (')La gura 7 ne rappresenta l'andamento.La gura 8 rappresenta i tre contributi (Mm, Mr , Mi ) che costituiscono la funzioneintegranda.Una volta determinato Ermax, e immediato calcolare l'inerzia del volano J

v :

Ermax = (Jv + J

m) i !

2 ! Jv =Ermaxi !2

Jm

70 50 100 150 200 250 300 350 400250

200

150

100

50

0

50

100

150

200

250

[]

M i

[Nm

]

Figura 7: Andamento della coppia d'inerzia dovuta alle masse in moto alterno

0 50 100 150 200 250 300 350 400500

0

500

1000

1500

2000

2500

[]

Nm

M m

M r

M i

Figura 8: Andamento dei vari contributi

Legge di moto. Per la determinare la legge di moto dell'albero della manovella, bisognaintegrare l'equazione di moto del sistema.Dal bilancio delle potenze si ottiene:

Mm( _')! +Mr ! +M

i ! =

d

dt

1

2(Jv + J

m)!

2

dove: Mm( _') e l'espressione della curva caratteristica del motore, Mr e ancora il momento


resistente ridotto e Mi e ancora la coppia d'inerzia associata alle masse in moto alterno,con la dierenza che ora, per il calcolo dell'accelerazione x, la velocita _' non e ritenutacostante. In particolare:

x = r _'2 cos (') ' r sin (')da cui:

Mi = mx m = mr2 sin (')h_'2 cos (') + ' sin (')

iL'equazione di moto diventa quindi:

Mm( _') +Mr (')mr2 sin (')

h_'2 cos (') + ' sin (')

i= (Jv + J

m) '

da cui:

' =Mm( _') +Mr (')mr2 _'2 sin (') cos (')

Jv + Jm +mr2 sin2 (')

La gura 9 mostra il risultato dell'integrazione ottenuto considerando come velocita inizialedel sistema un valore prossimo al regime. Si noti che la velocita angolare della manovellasi assesta attorno ad un valor medio pari a quello di progetto e che l'irregolarita periodica,visto che nella simulazione e stata utilizzato come momento d'inerzia del volano quelloprecedentemente calcolato, rimane entro il valore di 0:03.

0 2 4 6 8 10188

190

192

194

196

198

tempo [s]

n[rpm

]

Andamento della velocita` dellalbero di manovella

8 8.5 9 9.5 10192

193

194

195

196

197

198

tempo [s]

n[rpm

]

Dettaglio della condizione di regime

Figura 9: Legge di moto dell'albero di manovella

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