media1.webgarden.esmedia1.webgarden.es/files/media1:4abbecbc52c20.docx.upl... · Web view*Conclusión. En un conjunto de fórmulas conjuntivas se puede obtener una consecuencia (deducción)

Lógica Matemática

Por César W. Jiménez Graña

Lógica Matemática Página 1

Procedimientos deductivos

Deducción natural: procedimiento por el que aplicando unas reglas de inferencia se concluye una cláusula o literal que se supone consecuencia.

Resolución: procedimiento con consistencia y completitud que por refutación de cláusulas expresadas en FNC (Forma Normal Conjuntiva), se pretende averiguar si existe un conjunto vacio que muestra que un conjunto de cláusulas es insatisfacible y por tanto se puede demostrar la consecuencia de la cláusula a estudiar.

Tablas semánticas: tablas analíticas o tableaux.

Símbolos y signos


∧ Conjunción (0, 0, 0, 1) ∨ Disyuncion (0, 1, 1, 1) ⟶ Condicional (1, 1, 0, 1) ⟷ Bicondicional (1, 0, 0, 1) ⊥, ⊤ Constantes (⊥ = 0, ⊤ = 1) ¬ Negación (¬⊤ = ⊥)

A: Alfabeto (A*, L, X) (*conjunto de expresiones)

Alfabeto griego: denota fórmula o conjunto de fórmulas (Θ, Ф. Las letras mayúsculas Θ se refieren a conjunto de fórmulas mientras que las minúsculas Ф lo hacen a fórmulas simples).

Form: conjunto infinito más pequeño que incluye todas las fórmulas que pueden formarse con las letras proposicionales y las conectivas binarias. Este está contenido en otros.

Form ⊂ 𝔛 𝔛 : Es el conjunto de todas las fórmulas que pueden formarse con

los componentes de conjunto Form. σ : Sigma. Símbolo de la sustitución uniforme. ()σ; σ(Pn). , v ⤳ : Asignación. Valor concreto de verdad v {0, 1} que se le da a cada

proposición de una fórmula o conjunto de fórmulas.

Las constantes siempre valen lo mismo: ⊥ = 0, ⊤ = 1.Se denota como v Ξ vAtom : Form_Atom {0, 1}⟼

I : Interpretación. Todas las asignaciones o valores de verdad que puede tomar una fórmula.

V : Form {0, 1}⟼

E : Eliminación de fórmulas. I : Introducción de fórmulas. ⊨ : Formula válida v(Ф) = 1, o consecuencia lógica. Ξ : Fórmula equivalente v(Ф) = v(ψ). Sii : Si y sólo si… v : Asignación o interpretación de un valor de verdad v = {0, 1} FND: Forma Normal Disyuntiva. Disyunción de cláusulas conjuntivas.

{Θ ∨ Ψ}; Θ = {Ф1 ∧ Ф ∧… ∧ Ф}, Ψ = { ψ1 ∧ ψ2∧… ∧ ψn}

FNC: Forma Normal Conjuntiva. Conjunción de cláusulas Disyuntivas.


{Θ ∧ Ψ}; Θ = {Ф1 ∨ Ф ∨… ∨ Ф}, Ψ = { ψ1 ∨ ψ2∨… ∨ ψn}

FC: Forma clausulada. Simplificación gramática de fórmulas. CH: Cláusula de Horm.

Deducción natural.

Conjunciones:

∧I Introducción de la conjunción ∧Ed, i Eliminación de la conjunción. Derecha e izquierda

Disyunciones:

∨Id,i Introducción de disyunción. Derecha e izquierda ∨E Eliminación de disyunción

Condicionales

I⟶ Introducción del condicional E⟶ Eliminación del condicional

L: Literal Lc: Literal complementado {}; ⬚: Conjunto vacio

En las tablas semánticas

α: Alfa. Forma conjuntiva β: Beta. Forma disyuntiva

Símbolos y signos en LPPO

Símbolos comunes A

Var: {x1, x2,… ,xn} Variables {∧, ∨, , , ⟶ ⟷ ⊥, ⊤ }: Conectivas {∀, ∃}: Cuantificadores: universal y existencial {≈}: Símbolo de igualdad

Símbolos propios S

C = {C1, C2,.. ,Cn} Cons. Constantes


F = {F1, F2,.. , Fn} Func. Funciones R = { R 1, R 2,.. , R n} Relac. Relaciones

A: Conjunto de símbolos comunes S: Conjunto de símbolos propios AS: Alfabeto resultante de un lenguaje L(S) ó L(R, F, C): Elección de S determinada de un lenguaje Term: Conjunto de todos los términos Atom: Conjunto de todas las formas atómicas Form: Conjunto de todas las fórmulas U: Universo o conjunto determinado I: Interpretación RI

A: Asignación XA Ξ A(x) < U, I>: Conjunto de estructuras ФI,A: Valor de verdad que obtiene una fórmula γ: Gamma. Regla de expansión de universales ∀x δ: Delta. Regla de expansión de existenciales ∃x ФPRENEX

SKO: Fórmula prenexada y skolemizada. ФPRENEXSKO Ξ FC

*: Los símbolos deductivos aplicados a LPPO tienen los mismos procedimientos que los empleados en LP, pero incorporan nuevas reglas de expansión, de inferencia, además de la unificación.

Conceptos, acrónimos y demás

A. alfabeto de un lenguaje, del que emanan los demás subconjuntos que forman lenguajes.

A ⊂ A; L ⊂ A; L ⊂ A

Form. Es el conjunto de todas las expresiones que se pueden formar con el alfabeto A y que se designa como el conjunto X.

Metalenguaje empleado. Se utiliza el alfabeto griego

-Mayúsculas. Conjunto de fórmulas

Θ = {Ф1 ∨ Ф ∨… ∨ Ф}

-Minúsculas. Fórmula simple

Ф, ψ…

Sobre la estructura inductiva del lenguaje, se pueden llevar a cabo:


Demostraciones inductivas. Demostrar que un conjunto verifica las propiedades base.

Definición recursiva. Definir del todo a la base.

Sustitución uniforme. (Ψ)σ (χ)⟹ *¬Ξ

Semántica

Satisfacción Validez de una asignación Insatisfacción Invalidez de una asignación Consecuencia Generación de una fórmula a partir de otra que tiene, por

lo menos, tantas asignación ciertas como la premisa. Toda fórmula es consecuencia de una insatisfacibilidad

Equivalencia Transformación de una fórmula con exactamente los mismos valores de verdad. Correspondería con la equivalencia de la igualdad de una operación aritmética

Validez Fórmula cierta para cualquier interpretación (tautología). Una fórmula Ф es válida sii ¬Ф es insatisfacible

Independencia Las líneas que simultáneamente hacen verdadera al antecedente, no confirman “todas” las interpretaciones del supuesto consecuente. Unas si y otras no, o todas no. Algunas no.

Asignación V(x) v = valor, vatom : Form {0, 1}⟼ Conectivas ∧ ∨ ⟶ ⟷ Interpretación Por extensión de la asignación. Todas las asignaciones

posibles de una fórmula. Tautología Toda la interpretación de una fórmula es verdadera Contradicción Toda la interpretación de una fórmula es falsa Contingencia Algunas asignaciones de la interpretación de una fórmula

son verdaderas y otras falsas

Conceptos semánticos

Satisfacibilidad

Insatisfacibilidad

Procedimientos de decisión.

-Extensivo. Estudio de toda la interpretación de una fórmula. Tablas de verdad.

-Intensivo. Estudio sintáctico-semántico.


Validez. Certeza de una formula

Ф válida sii ¬Ф es insatisfacible⟼Sustitución uniforme. Preserva la validez. Cambio de un literal por cualquier

literal en uno y otro lado de la igualdad.

Reemplazo (Sustitución). Sustitución de un literal por una fórmula equivalente, por lo que la validez de la fórmula sustituida sigue siendo cierta e igual que la fórmula inicial. No se altera la validez.

Consecuencia. Una premisa hipótesis o fórmula o fórmulas iniciales, tienen como consecuencia una fórmula, consecuencia de la fórmula hipótesis y por tanto coincide en las interpretaciones ciertas de la hipótesis y quizás alguna más.

Cuatro maneras de verificar la consecuencia.

- Apreciando la certeza en la tabla de verdad.- Que cumpla como tautología la relación v : (v sat Ф) (v sat ψ)⟶- Que la relación Ф y ¬ψ sea insatisfacible Ф ∧ ¬ψ insatisfacible- La condicional de la conjunción de todas las fórmulas premisas con

la fórmula consecuente con estudiar debe ser una tautología.

Ω = φ1 ∧ φ2… ∧ φn ψ ⟶ Iv(Ω) = 1

Propiedades de la consecuencia

Reflexiva Ф ⊨ Φ Transitiva Φ ⊨ ψ; ψ ⊨ χ; Φ ⊨ χ Monotonía Θ = {φ1, φ2,… φn} si Θ ⊨ Ψ y Θ ⊂ Ω Ω ⟹ ⊨ Ψ Cualquier fórmula es consecuencia de un conjunto de fórmulas Θ insatisfacible

Consecuencia, validez y satisfacibilidad

La conjunción de todos los literales o conjunto de fórmulas hipótesis, determinan la consecuencia de la fórmula consecuente con estudiar (si las interpretaciones válidas coinciden es consecuencia), y si el condicional entre hipótesis y consecuente es válida, es tautología, entonces las fórmulas son consecuencia.

v(φ1 ∧ φ2… ∧ φn) ≤ (Ψ) ⟹ Θ ⊨ Ψφ1 ∧ φ2… ∧ φn ⟶ Ψ (v = 1) ⟹ ⟹ Θ ⊨ Ψ

De consecuencia a insatisfacibilidad


Ф Ξ ψ

(Ф)σ Ξ (ψ)σ

Θ = {φ1, φ2,… φn} ⊨ Ψ ⟹ φ1 ∧ φ2… ∧ φn ∧ ¬Ψ v(⟹ Θ) = 0

De insatisfacibilidad a consecuencia

Θ = {φ1, φ2,… φn, ¬Ψ} v(⟹ Θ) = 0, insatisfacible

{φ1, φ2,… φn} ⊨ Ψ

Equivalencia. Dos fórmulas son equivalentes si:

Θ ⊨ Ψ y Ψ ⊨ Θ ó v(Θ) = v(Ψ)

Propiedades

Reflexiva Φ Ξ Φ Simétrica Φ Ξ ψ; ψ Ξ Φ Transitiva Φ Ξ ψ; ψ Ξ χ; Φ Ξ χ

Conjunto completos de conectivas Conectivas 22^2

Un conjunto completo es aquel que permita escribir cualquier fórmula empleando nada más las conectivas que pertenezcan al conjunto completo concretamente empleado.

Formas Normales Conjuntos completos

FN Disyuntiva Φ ∨ Φ ∨…FN Conjuntiva Φ ∧ Φ ∧…

F Clausulada (Θ1, Θ2,… ,Θk)1 ∧ (Θ1, Θ2,… ,Θk)2 ∧ (Θ1, Θ2,… ,Θk)ñ

{{{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}1, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}2, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}k}1, {{{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}1, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}2, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}k}2,… , {{{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}1, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}2, {{ φ1, φ2,… φn }1, { φ1, φ2,… φn }2,... ,{ φ1, φ2,… φn }m}k}ñ

Sistemas deductivos

Sistemas que se usan para demostraciones a partir de unos axiomas y de unas reglas de inferencia.

Deducción natural

- Conjunciones


o Introducción Sin máso Eliminación Sin más

- Disyuncioneso Introducción Sin máso Eliminación Debe hacerse una suposición para cada literal de

la disyunción eliminada- Condicionales

o Introducción Se introduce según la veracidad de la premisa y la deducción que se ha podido alcanzar en el ámbito de la caja de suposición.

o Eliminación Eliminación mediante suposiciones.

Literal l

Es una suposición

Literal complementado lc

Tanto la resolución como las tablas semánticas o tableaux son estrategias deductivas por refutación.

Notación uniforme

Forma de una fórmula en la que sus componentes están, o han sido transformadas en FNC ó FND.

Consistencia

Garantiza que todo lo que se va obteniendo es consecuencia de lo anterior.

Completitud

Se preserva la consecuencia en todas y cada una de las emanaciones que puedan hacerse de las premisas.

LPPO Conceptos

A: Símbolos comunes

S: Símbolos propios

Cada elección de S determina un lenguaje y se denota por L(S) o L(R, F, C).

Lenguaje. Elección de un alfabeto al que se restringen los términos y fórmulas, y las constantes, funciones y relaciones requeridas en su definición.


Término

Fórmula atómica. Es una expresión de la forma R(t1, t2,… tn). R, relación n-aria. t1, t2,… tn son términos (Atom)

Fórmula.

Principio de inducción estructural. Todos los términos de un LPPO tienen la propiedad P, ya que al obtener fórmulas recursivamente, estos y sus componentes por consistencia poseen las propiedades de sus entidades superiores.

Análisis sintáctico único

Variables libres. Son todas aquellas variables que no pertenecen al ámbito del cuantificador (∀xΦ), (∃xΦ). Si pertenecen se dicen ligados, sino no ligados.

Sentencia. Es una fórmula sin variables libres. Se usa para generalizar un concepto, idea, abstracción,…

Soporte finito de la sustitución. Una determinada sustitución sólo puede sustituirse por un conjunto concreto y finito de variables o términos.

Composición de funciones. Sea σ1 y σ2, la composición T(σ1σ2) es otra composición sobre los términos, definida como

t T = t(σ1σ2) = t(σ1)[σ2] = ((tσ1(σ2) t: término, T es una composición

T es una sustitución sucesiva de las sustituciones simultáneas σ1 y σ2

Notación. Indicación en fórmulas metalenguaje de manera directa

Φ(x, y)

Interpretación I en LPPO. Construcción de una estructura de un mundo o universo, es decir, designación que se hace para cada predicado (relación), función o constante, o sea designación de los valores de los símbolos propios de un lenguaje en particular L(R, F, C) ⟼ U.

Asignación. Valor que se le da a las variables procedentes de este universo estructurado, valores sobre una interpretación XAó A(x).

Particularización. Sustitución de una variable a la que se le puede asignar cualquier valor del universo, por una constante que tiene un solo valor.

Deducción natural. Reglas de inferencia

Cuantificadores ∀x, ∃x∀xI Sustitución de todas las constantes a por una var (x) cuantificada


∀xE Sustitución de todas las var (x) por un término (Const, var, f())

∃xI Sustitución de todas las var (x) por una constante

∃xE Tablas semánticas.

Parámetros. Constantes auxiliares (términos cerrados) que sirven para la sustitución de variables en la expresión γ y δ de fórmulas.

Reglas de expansión de un tableau en LPPO

Cuantificadores

o γ ∀x Un nodo. Sustitución de var por un parámetro de LPAR

o δ ∃x Un nodo. Sustitución de var por un parámetro de LPAR

o Demás reglas de inferencia en lógica de proposiciones α y β

Forma prenexa de los cuantificadores.

Fórmulas equivalentes

ΦPRENEX Fórmula prenexa

ΦPRENEXSko Fórmula prenexa skolemizada

Unificadores. Procedimiento de igualación de términos (argumentos de predicados) de dos predicados, mediante la instanciación para posibilitar la resolución.

Lógica matemática


Capitulo 1 Lógica de proposiciones

Existen diversas concepciones y grados de este saber, pero en este documento sólo se va a tratar la lógica de preposiciones de primer orden, pudiendo ser este orden de n y empezando por la lógica proposicional en la que no existe una sintaxis propiamente dicha.

1.1 Sintaxis

Desglose de términos y conceptos de lógica proposicional:

Def. 1.1 Alfabeto: conjunto de símbolos usados. Def. 1.2 Expresión: secuencia finita de símbolos, aunque la representación de

este pueda realizarse con infinitos símbolos de un conjunto finito que los define.

La representación de una expresión mediante un lenguaje L puede ser:

a, o aa, o aaa, o aaa…

Def. 1.3 Lenguaje: conjunto de expresiones.

*Sobre el alfabeto A, u lenguaje es cualquier subconjunto de A *

A * ⊂ A ⇒ L ⊂ A * Un subconjunto L de A * también es un lenguaje de A

Un lenguaje de lógica debe servir para inferenciar proposiciones sobre el mundo en que vivimos.

El alfabeto de lógica de proposiciones consta de:

Infinitas letras preposicionales. P0, P1, P2, Pn ó p, q, r, s… Símbolos lógicos

Constantes ⊥, ┬ Conectivas monarias ¬ (NO) Conectivas binarias ∧ ,∨ ,⟶ ,⟷ (y, o, entonces, ssi) Este conjunto es

completo, pues sólo con estas puede formarse cualquier expresión.


*El lenguaje de lógica de proposiciones, que incluye las infinitas fórmulas o expresiones bien formadas, lo denotaremos como el conjunto:

Form

Una inferencia cualquiera puede representarse, bien con fórmulas (expresiones), bien con tablas (gráficas), o bien con tablas de verdad en la que se observan todas las posibles interpretaciones de una expresión.

((p∧t)∨(¬p))

((p∧t)∨(¬p)) ∨

p∧t ¬p ∧ ¬

p t p p t p

Def. 1.4 Fórmulas atómicas: Son expresiones compuestas por un único carácter

(proposición), bien una letra preposicional, bien una constante ⊥, ┬. Así, el conjunto de fórmulas del lenguaje preposicional puede definirse como el conjunto X. Es decir, Form es el conjunto infinito de fórmulas que se forman con las conectivas y el alfabeto A, y es el menor conjunto que puede formarse del conjunto X.

Metalenguaje:

Es un lenguaje superior empleado para hablar de otro. Con este se forman abreviaturas de fórmulas del lenguaje que pueden incluir sus propiedades y relaciones.

*Se emplean letras griegas mayúsculas para denotar conjunto de fórmulas y minúsculas para fórmulas simples o literales.

Estructura inductiva del lenguaje


En esto se basa el estudio de las premisas matemáticas. Nos dice que a partir de fórmulas dadas se pueden obtener nuevas fórmulas equivalentes utilizando sistemas de generación con sus conectivas.

De ahí que en aritmética se igualen expresiones que resultan operación de lo anterior.

*Las demostraciones y definiciones se realizan por métodos inductivos y recursivos respectivamente.

Principio multifuncional Toda fórmula atómica pertenece a X y tiene la propiedad P ().

S1,2

1. φ Є X2. φ tiene P()

Si la expresión φ Є X y tiene la propiedad P(), entonces ¬φ también la tiene.

Si las expresiones φ y Ω Є X tienen la propiedad P(), entonces (φ ∧Ω) (φ ∨Ω) (φ ⟶Ω) (φ ⟷Ω) también la tienen.

Def. 1.5 Principio de inducción estructural

Todo conjunto P que satisface las expresiones S2 corrobora que el conjunto P contiene a Form. Form⊂ P, así que por inducción se demuestra que cumple las propiedades P.

Teorema 1.1 Análisis sintáctico único

Muestra la jerarquía que debe tener una expresión con sus conectivas y paréntesis para una expresión metalingüística y sus sustituciones.

La descomposición de una fórmula no atómica en sus componentes produce sus subfórmulas inmediatas separados por su conectiva principal.

Una fórmula sólo puede pertenecer a las siguientes categorías:

φ es una fórmula atómica φ es de la forma ¬φ, para una Ψ fórmula única φ es de la forma (φ * ψ)con una determinada conectiva

Definiciones recursivas


Son definiciones que se realizan teniendo en cuenta su propia estructura, de fuera a dentro.

Teorema 1.2 Principio de recursión estructural

Garantiza que para una determinada elección de funciones previas la función resultante es única y está bien definida.

Derivación de conceptos sintácticos

Rango

Proporciona la longitud (Nº) de la mayor rama del árbol sintáctico de la fórmula.

Rango: Form ⟼ N

Teorema 1.3 Principio de inducción completa

Todas las fórmulas menores con rango menor que ψ, tienen la propiedad P(), entonces todas las fórmulas cumplen la propiedad P(), es decir, si una parte del conjunto S ⊂ χ, entonces todo el conjunto χ cumple P().

Arboles sintácticos

Se define recursivamente como la relación que tienen sus fórmulas y que producen la fórmula nexa.

árbol(Ψ) ⇒ Ψ= (ψ * χ) (Ψ * χ)

árbol(Ψ) árbol(χ) ………

Def. 1.6 Subfórmula: dada una fórmula Ψ, el conjunto de sus subfórmulas se define recursivamente

{Ψ} ∪Subform (Ω) ∪subform (Θ) ; Ψ = (ψ * χ)

Subform (ψ) {Ψ} Subform (Ω) ; Ψ = (¬ψ)

{Ψ} ; Ψ atómica

Subform: Form ⟼P (Form)


Es una función del conjunto de fórmulas en el conjunto de subconjunto de fórmulas.

Ψ = {(p ∧r)⟶ (q∨ (¬t))}

Subform (Ø) = {(p ∧r)⟶ (q∨ (¬t)), (p ∧r), (q∨ (¬t)),p,r,q,¬t,t}

*Es la unidad más pequeña de una fórmula.

Sustitución uniforme

Permite escribir una fórmula a partir de otra.

(p ⟶ q) ⇒ (ψ ⟶ φ)* * Fórmula general

σ 1 = {p/ψ}

σ = σ1 σ2 * Y se sustituye ψ por una fórmula concreta

σ2 = {q/φ}

(p ⟶ q) σ = (ψ ⟶ φ)* (p ⟶ q) σ = (ψ ⟶ φ) σ

La sustitución es simultánea para todos los σi

Una función (Θ )σ: Form ⟼Form puede definirse recursivamente como

((Ψ) σ *(Θ)σ) ; Θ = (Ψ * φ)

(Ψ)σ ((Ψ) σ) ; Θ = (¬Ψ)

σatom(Ψ) ; Θ atómica

De σatom se requiere que

σatom(⊥) = ⊥ *Las sustituciones de las constantes dadas

σatom(┬) = ┬ siempre resultan de la misma condición.

Eliminar paréntesis

Los paréntesis siguen una jerarquía y sólo deben y pueden eliminarse aquellos que no produzcan ambigüedades.

Los conectores binarios pueden precederse, Notación Prefija

Jerarquías: -Negaciones


-Conjunciones y disyunciones

-Condicionales y bicondicionales

1.2 Semántica

Representación de declaraciones

Los sistemas lógicos se utilizan para representar declaraciones sobre el mundo y operar sobre ellos (Sobre el lenguaje natural). Cada declaración enuncia un estado de las cosas, pero una exclamación o una pregunta no lo hacen. De una expresión declarativa se puede juzgar cuan cierta es.

La lógica de proposiciones trata de captar la dependencia entre las declaraciones expuestas para determinar el valor de verdad que subyace. Cada conectiva tiene una dependencia distinta para los literales que relaciona, que precisa qué valor de verdad tiene la expresión compuesta para cada combinación de valores de las componentes; para cada interpretación.

Si una declaración es más o menos verdadera (por ejemplo un 80%) entramos en el ámbito de la lógica polivalente o borrosa.

Plantea miento sobre la veracidad y consecuencia de las cosas.

Satisfacibilidad: si hay alguna interpretación del enunciado que la hace verdadera se dice que es satisfacible, sino insatisfacible, por tanto, es el estudio de sus valores de verdad.

Consecuencia: si un predicado emana verdadero de unas interpretaciones verdaderas.

Equivalencia: Toda interpretación que hace a una declaración verdadera y que también lo hace para otra. Son expresiones diferentes que expresan lo mismo.

Validez: construcción de expresiones que sean verdaderas en toda interpretación.

Independencia: no se confirman las interpretaciones del antecedente en el consecuente.

Asignación - VAtom : Form ⟼{0,1}


Es una función en el conjunto de fórmulas atómicas en el conjunto de valores de verdad, es decir la correspondencia de un valor 0 ó 1 a cada fórmula atómica.

*Las constantes tienen valores fijos de verdad:⊥ = 0┬ = 1VAtom (Px) = {0,1}Una asignación completa produce una combinación de todos los valores de

verdad para todas las proposiciones. Una tabla de verdad. En general paran variables existen 2n asignaciones.

Semántica de conectivas

Cada conectiva se distingue por la función que la representa, para determinados valores de las proposiciones la conectiva los liga con un valor imagen.

Conectivas binarias:

∧ ( , ⋂, AND) Conjunción ∨ (+, ∪ ,OR) Disyunción ⟶() Condicional, Tiene un antecedente y un consecuente. P ⟶q ⟷(⨁, XOR) Bicondicional

p q p∧q p∨q

p⟶q

p⟷q

0 00 11 01 1

0001

0111

1101

1001

Interpretación

Cualquier fórmula debe poder evaluarse. La correspondencia v : Form ⟶{0,1} para cada una de las proposiciones en un enunciado es la interpretación. Debe verificar ciertas restricciones.


1. V(┬) = 1

C(⊥) = 02. V(┬Ψ ) = V ┬ (Ψ )3. V(Ψ * Θ) = v (Ψ) * v (Θ) Para todas las operaciones binarias

Realizando un árbol sintáctico en el que se han asignado valores se obtiene el valor de verdad de cada subfórmula obtenida en cada nodo.

(p∧q) V (¬⊥) 1

(p∧q) ¬

p q ⊥El principio de recursión estructural garantiza que la función obtenida es única

y está bien formada.

Interpretación por extensión de una asignación

Para un alfabeto una asignación v debe facilitar el valor de verdad de todas las proposiciones del alfabeto, es decir, cada proposición del enunciado para una asignación v {0,1} tiene un valor, dando sus conectivas el valor del enunciado.

Tabla de verdad

Asignación completa, expresa todas las interpretaciones, que permite ver el comportamiento global de la fórmula Ψ.

Se dice que un tipo de asignación es intensiva y otra extensiva.

Tipos de interpretaciones

Tautología: Fórmula verdadera para toda interpretación. Contradicción: Fórmula falsa para toda interpretación. Contingente: Ni una ni otra.

1.3 Conceptos semánticos básicos


1 0

0

0

1

Satisfacibilidad.

Potencialidad de ser satisfecho. Una interpretación satisface una o varias fórmulas cuando se evalúan como verdaderas en esa interpretación.

Satisfacción.

Una interpretación satisface una fórmula o conjunto de fórmulas v(Ψ) = 1 ; Θ ={φ1 φ2 φ3 φk}, v(Θ) = 1.

En una tabla de verdad si cualquier línea de una fórmula o conjunto de fórmulas se satisface para esa misma interpretación se evalúan como cierto, 1. Cuando se satisface se dice que es un modelo de esa fórmula o fórmulas.

Formalmente se dice, que una fórmula es satisfacible si existe alguna (aún sólo una) interpretación vI, tal que, v (Ψ) = 1, o un conjunto de fórmulas Ψ.

Para una determinada interpretación de un conjunto de fórmulas (Tabla. 1.2) se satisface simultáneamente X líneas. Si se elimina una de las fórmulas se satisfará un Nº igual o mayor de interpretaciones conjuntas. Si se añade lo será igual o menor.

V(ζ) = 1

ζ = Ψ ∧Θ ∧ χ

ζ = 1

Satisfacible.

Tabla 1.2

Sea Θ = {φ1, φ2,… φk} Satisfacible.

Si se elimina φk, entonces φE es satisfacible.(E, eliminado) Si se añade una tautología φI es satisfacible. (I, introducido) Si se añade una contradicción, entonces φI es insatisfacible.

Sea Θ = {φ1, φ2,… φk} Insatisfacible.


Ψ Θ χ

VVV

V

V

p q r p ⟶(q v r) (p ∧q) v r r⟶(r v p)

1 1 11 1 0 1 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

11101111

11101010

11111111

Si se añade cualquier fórmula, ΘI resulta siempre insatisfacible. Si se elimina de entre sus fórmulas una tautología, ΘE siempre es insatisfacible. Si se elimina una fórmula cualquiera ΘE puede resultar satisfacible.

No se puede asegurar nada si a la primera se le añade una satisfacción, o a la segunda se le quita una fórmula cualquiera.

Procedimiento de decisión

Es el más costoso porque se debe recorrer todas las interpretaciones de la tabla de verdad, pero una vez obtenida una satisfacción se sabe que la fórmula es satisfacible, ahora para averiguar la insatisfacibilidad se deben recorrer todas las interpretaciones.

En lógica de proposiciones las interpretaciones I son finitas I = 2 I, sin embargo en lógica de preposiciones se pierde esta propiedad. Existen infinitas interpretaciones I para una fórmula. La satisfacibilidad se obtiene mediante la conjunción de todas las fórmulas del conjunto.

Θ = {φ1, φ2, φ3,… φn} φ1∧ φ2∧ φ3 ∧… φn v(φn) = 1 satisfacible

Θ = {φ1, φ2, φ3,… φn} φ1∧ φ2∧ φ3 ∧… φn v(φn) = 0 Insatisfacible

Validez

Una fórmula válida es aquella que es verdadera para cualquier interpretación I de alguna asignación v(φ). La satisfacibilidad divide en dos al conjunto de fórmulas:

Insatisfacible Contradicción Satisfacible Tautología o contingencia

Procedimiento de decisión

Puede realizarse por dos caminos:

Extensivo: estudio de todas las asignaciones posibles de cada interpretación de fórmulas, tabla de verdad.

Intensivo: requiere recorrer las interpretaciones hasta encontrar una satisfacción que haga a la fórmula satisfacible.

Una fórmula es válida ssi ¬ψ es insatisfacible. Así cualquier método de decisión de la insatisfacibilidad permite decidir la insatisfacibilidad o viceversa.


Preservación por sustitución

Si una fórmula ψ es válida, entonces su instancia por sustitución (sustitución uniforme) es una fórmula válida para cualquier sustitución σ.

Consecuencia

Si se obtiene por consecuencia lógica ψ ⊨ χ, se puede decir que la interpretación de χ es satisfacible en las mismas interpretaciones en que lo es ψ, y quizá alguna más.

Ψ; ψ ⊨ χ

{(¬p v q); (p v r)} ⊨ (q v r)

Premisas o hipótesis Consecuencia lógica

La consecuencia puede tener más líneas verdaderas pero debe ser cierta en las mismas líneas comunes de las hipótesis.

Def. consecuencia: una fórmula Ψ es consecuencia lógica de Θ = {φ1, φ2,… φn} si toda interpretación que satisface Ψ también satisface a Θ, Ψ ⊨ Θ.

En todas las líneas en que la fórmula Θ coinciden en ser verdaderas, también lo es para Ψ. La consecuencia debe ser cierta en las líneas verdaderas comunes a la hipótesis.

Definición semiformal.

Si Θ ⊨ Ψ si;

∀ Iv : {(v satisface Θ) ⟶ (v satisface Ψ)}

Es decir, es consecuencia lógica si la tabla de verdad corrobora la satisfacción, o bien, si se cumple el condicional Tabla 1.2.

Satisface todas las líneas comunes, y alguna más, por tanto es


¬p p q r ¬p v q p v r ⟶ ⊨ q v r11110000

0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

11110011

01011111

11110011

01110111

consecuencia lógicaTabla 1.2

Consecuencia de un conjunto insatisfacible

Para cualquier fórmula Θ o conjunto de fórmulas insatisfacible, cualquier fórmula χ es consecuencia lógica de la primera o premisa.

Θv = 0 ⊨ χ

∀ Iv : {(v sat Θ) ⟶ (v sat χ)}, no haría falso ningún antecedente y por tanto ningún antecedente sería falso.

Absolutamente cualquier fórmula verifica que es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas insatisfacibles. Incluye tanto su fórmula como su negación.

{p, ¬q} ⊨ p v q Ξ {p, ¬p} ⊨ ¬(p v q)

Si la hipótesis es satisfacible esto nunca ocurre.

Θ ⊨ Ψ y Θ ⊨ ¬Ψ ssi Θ es insatisfacible

Consecuencia, validez y satisfacibilidad

Una fórmula Ψ es válida ssi ¬Ψ es insatisfacible. Existe una dependencia formal entre estos dos conceptos y el de consecuencia.

Si Θ ⊨ Ψ, no puede dejar de ser cierto:

Θ = {φ1, φ2,… φn} Θ ↦ Ψ ⟹ es valido

φ1 ∧ φ2 ∧… φn = r ⟼ Tautología, es valido

Consecuencia y validez. La fórmula condicional con la conjunción de de todas las hipótesis como antecedente, y la consecuencia como antecedente resulta siempre tautología.

Φ1 ∧ Φ2 ∧ …Φn ⟶ ψ es tautología

Consecuencia y satisfacibilidad. Existe una dependencia formal entre ellos.

Si {φ1, φ2,… φn} ⊨ ψ, entonces {φ1, φ2,… φn, ¬ψ} es insatisfacible.

Y viceversa.


O sea: φ1 ∧ φ2 ∧… φn ∧ ¬ψ es insatisfacible, entonces {φ1, φ2,… φn, ¬ψ} es insatisfacible.

*Si la conjunción del conjunto de fórmulas es insatisfacible, también la conjunción con la consecuencia negada es insatisfacible.

φ1 ∧ φ2 ∧… φn ∧ ¬ψ es insatisfacible, ⟼{φ1, φ2,… φn, ¬ψ}

De consecuencia a insatisfacibilidad.

Teniendo Θ = {φ1, φ2,… φn} ⊨ ψ, se sabe que lo que hace cierto Θ también lo hace ψ, así que si lo negamos ¬ψ se hace falsa en todas ellas, luego {φ1, φ2,… φn, ¬ψ}

es insatisfacible.

La consecuencia negada siempre es insatisfacible para un conjunto de hipótesis satisfacible

De insatisfacibilidad a consecuencia.

Si existe un conjunto de fórmulas Θ y son insatisfacibles (no existe ninguna interpretación común que las satisfaga a todas) se puede decir que para cualquiera de ellas negada se obtiene una consecuencia lógica, tabla 1.3.

Θ = {φ1, φ2,… φn}

{φ1, φ2} ⊨ φ3

Para ¬φ3 el conjunto de fórmulas es consecuencia

Tabla 1.3

Si un conjunto es insatisfacible y suprimo una φ j el conjunto resultante puede ser satisfacible o no. Así pues, se puede decir que si el conjunto resultante es satisfacible tras eliminar φ3 es consecuencia lógica de las otras 2

Un resultado equivalente:

¬{φ1, φ2,… φn, ¬ψ} es válido sii {φ1,… φn} ⊨ ψ

Que es similar a ,

φ1 ∧ φ2 ∧… φn ⟶ ψ es válida sii {φ1,… φn} ⊨ ψ


φ1 φ2 φ3 Insat. φ1 ∧ φ2 ∧ φ3 ¬ φ3 φ1 ∧ φ2 ∧ ¬ φ3 r1 0 01 1 00 1 00 1 1

0000

1110

1 1 11 0 10 0 10 0 0

1000

Equivalencia

Dos fórmulas son equivalentes si ψ ⊨ φ y φ ⊨ ψ, lo que quiere decir que la veracidad de la consecuencia debe verificar las mismas interpretaciones y sólo estas. V(ψ) = v(φ) para toda interpretación v.

Propiedades

Reflexiva ψ Ξ φ (ψ ⊨ φ) Simétrica ψ Ξ φ, entonces φ Ξ ψ Transitiva si ψ Ξ φ y ψ Ξ χ, entonces φ Ξ χ

La equivalencia representa una manera distinta de expresar lo mismo.

Sobre una fórmula con dos letras sólo hay 16 clases de equivalencia, tabla 1.4.

p q π⊥ ↓ ← π¬p → π¬q ⨁ ↑ ∧ ⟷ πq ⟶ πp ← ∨ π┬ ┬0 00 11 01 1

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Inverso

Tabla 1.4

Conjuntos completos de conectivas

Existen determinadas conectivas binarias con las que se puede representar cualquier fórmula usando estas únicamente.

∧ ∨ ⟶ ⟷ ; AND, OR, NOT (n electrónica digital ED) ↑ ; NAND (en ED) ↓ ;NOR (en ED)

Calculo de equivalencias, tabla 1.5.


Equivalencias básicas de la lógica de proposiciones¬¬p Ξ p doble negación¬ ⊥ Ξ ⊤ ¬⊤Ξ⊥p ∧ ⊤ Ξ p p∨⊥ Ξ pp ∧ ⊥ Ξ ⊥ p ∨ ⊤ Ξ ⊤p ∧ p Ξ p Idempotencia p ∨p Ξ pp ∧ q Ξ q ∧ p Conmutativa p ∨q Ξ q ∨pp ∧ (q ∧ r) Ξ (p ∧ q) ∧ r Asociativa p ∨(q ∨r) Ξ(p ∨q) ∨ rp ∧ (p ∨ q) Ξ p Absorción p ∨(p ∨q) Ξ pp ∧ (q ∨ r) Ξ (p ∧q) ∨ (p ∧r) Distributiva P ∨ (q ∧ r) Ξ (p∨ q)∧ (p

∨r ¿p ∧r Ξ ¬(¬p ∨ ¬r) De Morgan p ∨ q Ξ ¬(¬p ∧¬q)

p ⟷ q Ξ (p⟶q)∧ (q⟶p) p ⟷ q Ξ (p∧q) v (¬p∧¬q)p ⟶ q Ξ (¬p v q) p ⟶ q Ξ ¬q ⟶ p¬

Tabla 1.5

Sustitución y reemplazo

Dadas dos fórmulas, son equivalente sii la operación de su Bicondicional es una tautología.

Θ y Ψ ⟼ Θ ⊨ Ψ sii Θ ⟷Ψ es tautología

Teorema 1.XXXXXX. si tenemos dos fórmulas equivalentes, si se produce la misma sustitución uniforme σ en ambas, las fórmulas resultantes también son equivalentes.

Θ Ξ Ψ ⟼Θσ Ξ Ψσ

Si Θ ⟷Ψ es válido, también lo será su instancia por sustitución (Θ ⟷Ψ)σ = Θσ ⟷ Ψσ.

Θ ⟷Ψ ⟼ Θσ ⟷ Ψσ

Θ ⊨ Ψ ⟼ Θσ ⟷ Ψσ

*la tabla de lenguajes también es válida para los metalenguajes.

Ejemplo:

p ⟶ q Ξ ¬p v q σ(p) = (t ∧ s); σ(q) = (p v r)

(t ∧ s) ⟶ (p v r) Ξ ¬(t ∧ s) v (p v r)

La sustitución uniforme requiere que cada operación de la subfórmula que se quiere sustituir se cambie en uno y otro lado de la equivalencia Θ Ξ Ψ para que las dos fórmulas resultantes sean equivalentes.

Existe otro tipo de sustitución en el que no es necesario cambiar cada aparición de la fórmula que quiera sustituirse. Esto es el reemplazo. Aquí sólo hay una fórmula, no dos equivalentes. La sustitución de reemplazo es una sustitución de la subfórmula que se desee (no necesariamente de todas sus apariciones) por otra que sea equivalente a esta, es decir, se busca una equivalencia para poder ser sustituida.

En la sustitución uniforme, la fórmula sustituida no tiene porque ser equivalente. Lo que se busca es una igualdad entre las dos fórmulas sustituidas.

En el reemplazo se preserva la igualdad Ø = Øσ (reemplazo) porque el elemento sustituyente es igual o equivalente al sustituido, por lo que no requiere que la sustitución se realice en todas las apariciones del sustituido.


*En un circuito de computación cualquier reemplazo de parte de un circuito por una expresión equivalente produce un circuito con las mismas entradas y salidas.

Ejemplo:

χ = (p ⟶ q) ⟶ ((p ⟶ q) v p) (p ⟶ q) Ξ (¬q ⟶ ¬p)

ζ = (¬q ⟶ ¬p)⟶ ((¬q ⟶ ¬p) v p)

*Se verifica que χ = ζ, es un reemplazo de dos expresiones que tienen exactamente el mismo valor y por tanto pueden usarse indiferentemente según convenga para resolver la expresión.

Formas Normales

Forma normal disyuntiva (∧ ) v ( ∧); en ED suma de productos

Teniendo una tabla de verdad, la manera de encontrar una fórmula equivalente con las interpretaciones dadas (o sea todas Iv por extensión) es unir mediante conjunciones las letras que dan una interpretación válida y mediante disyunciones las fórmulas obtenidas. Tablas 1.6.

Ξ (¬p ∧

¬q) v (p ∧

¬q)

Tabla 1.6

*Todas las fórmulas pueden ser reescritas en esta forma, salvo las contradicciones. Para poder expresar contradicciones es preciso relajar la completitud, permitiendo incluso que algunas letras falten o se repitan.

Def. Forma normal disyuntiva FND. Es de la forma Ψ1 ∨ Ψ2 …∨ Ψk, donde cada Ψk es una conjunción de literales Ψk = ψ1 ∧ ψ2… ∧ ψk.

Es una forma de representar una fórmula equivalente según los valores que se obtienen en la tabla de verdad.


p q Ψ V0 00 11 01 1

1010

¬p ∧ ¬q

p ∧ ¬q

Una FND es una contradicción sii cada una de sus conjunciones incluye una letra negada y otra no negada.

Forma normal conjuntiva FNC ( v ) ∧ ( v ) ; en ED producto de sumas

Para pasar de FND a FNC o viceversa se usa el teorema de De Morgan. Toda expresión es expresable en esta forma salvo tautologías

Def. Forma normal conjuntiva FNC. Es de la forma Ψ1 ∧ Ψ2 ∧ Ψk, donde cada Ψk es una conjunción de literales Ψk = ψ1 ∨ ψ2… ∨ ψk.

Una FNC es una tautología sii cada una de sus disyunciones incluye una letra negada y otra no negada.

Forma clausulada FC

En FNC (o FND)una cláusula es cada una de las disyunciones (conjunciones) ψk . Como la conjunción (disyunción) es conmutativa el orden en que aparecen es irrelevante, y por tanto, tanto en FNC como en FND se pueden escribir en un conjunto de cláusulas.

Forma clausulada

FNC Ψ1 ∧ Ψ2 ∧ Ψk

Ξ {(Ψ1), (Ψ2),… (Ψk)}FND Ψ1 ∨ Ψ2…∨ Ψk

Y dentro de cada cláusula las subfórmulas también pueden escribirse de forma

clausulada, es decir, un conjunto de conjunto de literales.

FNC Ψ1 ∧ Ψ2 ∧ Ψk

Ξ {(Ψ1), (Ψ2),… (Ψk)} Ξ Ξ {( ψ1

1 ∨ ψ21… ∨ ψk

1), (ψ12∨ ψ2

2… ∨ ψk2),… (ψ1

k ∨ ψ2k… ∨ ψk

k)}

FND Ψ1 ∨ Ψ2…∨ Ψk Esta es la forma clausulada más clausulada posible.

Ejemplo:

p ⟶ (s ∧ q) Ξ (FNC) (¬p ∨s) ∧ (¬p ∨ q)

En FC {(¬p, s), (¬p, q)}

En el transcurso de operaciones hasta llegar a la fórmula necesitada se ha obtenido primero una expresión , tras la que obtenemos una segunda y tercera, y así


tantas transformaciones como necesitemos. La transitividad de la equivalencia que la primera es equivalente a la última.

Equivalencia, consecuencia, validez y satisfacibilidad. La equivalencia tiene conexiones formales con el resto de conceptos semánticos expuestos.

Sii Ψ ⊨ Θ y Θ ⊨ Ψ Sii (Ψ ⟶ Θ) es una tautología y (Θ ⟶ Ψ) Sii (Ψ ⟷ Θ) es una tautología Sii (¬Ψ ⟷ Θ) es insatisfacible

1.4 Sistemas deductivos

En general un sistema deductivo consta de un conjunto de fórmulas denominadas axiomas y de un conjunto de reglas de inferencia. El juego formal consiste en un conjunto finitos de pasos, de aplicaciones a esas reglas, para desarrollar la demostración o regla. Cada paso, cada fórmula obtenida tiene la peculiaridad de ser consecuencia de las anteriores, o bien, tener una relación de insatisfacibilidad.

El conjunto de fórmulas de la demostración debe ser consecuente, consistente y coherente.

Si el sistema es completo cada relación de consecuencia puede llegar a explicarse como derivación o demostración.

1.4 Deducción natural

Sistema de tipo Gentzer. Consta de varias reglas de inferencia y de ningún axioma. Se pueden hacer suposiciones adicionales, cuando se cierran aportan algo al flujo argumental principal.

Conjunciones

Introducción a la conducción.

Si tenemos unas hipótesis que se suponen ciertas, la conjunción de estas forman una fórmula que es consecuencia de ellas, tabla 1.7.

p (p ⟶ q) Ψ


Ψ Ξ Θ

q (r ∨ ¬p) Θp ∧ q (p ⟶ q)∧ (r ∨ ¬p) Ψ ∧ Θ

Tabla 1.7

Se garantiza que la conjunción es consecuencia de las fórmulas previas.

Eliminación de la conjunción. Partiendo de una única fórmula previa

p ∧ q (p ⟶ q)∧ (r ∨ ¬p) Ψ∧ Θp ó q (p ⟶ q) ó (r ∨ ¬p) Ψ ó Θ

Tabla 1.8

se obtiene una consecuencia de una de las fórmulas previas.

*Conclusión. En un conjunto de fórmulas conjuntivas se puede obtener una consecuencia (deducción) a partir de cualquiera de las subfórmulas que la componga. La conjunción es la suma de las líneas (interpretaciones) ciertas en cada una de las fórmulas conjuntivas, así, que si cojo una cualquiera, esta tendrá el mismo Nº de o más de interpretaciones ciertas. Igualmente si un conjunto de fórmulas se unen por conjunción, la fórmula obtenida tendrá las mismas líneas que hacen ciertas a todas las fórmulas conjuntivas a la vez.

A partir de este punto se describe una alternativa sintáctica basada en el cálculo. *Respetar estrictamente la forma de generación pues puede conducir a errores fácilmente.

Tres reglas:

Introducción de la conjunción I∧ Eliminación a la derecha E∧d

Eliminación a la izquierda E∧I


ΨΘ Ψ∧ Θ Ψ∧ ΘΨ ∧ Θ Θ Ψ

I∧ E∧d E∧I

Tabla 1.10

Por esta regla de la conjunción en que si partimos por un conjunto de fórmulas unidas mediante conjunciones se obtienen consecuencias lógicas (*no equivalencias*) eliminando e introduciendo fórmulas y conjunciones respectivamente se puede deducir que de unas premisas se obtienen consecuencias procedentes de estas.

Este proceso puede hacerse en árbol, si bien los números permiten linealizar la deducción.

Ejemplo.

1. p ∧ q ∧ r Premisa2. p ∧ (q ∧r) I()3. p 2 E∧d

4. q ∧ r 3 E∧I

5. r 4 E∧I

6. p ∧ r 3,5 I∧

Se introduce un nuevo símbolo ⊢ , deducción natural. La diferencia con ⊨ es de carácter semántico, en este se obtiene trabajando con los valores de verdad, mientras que con ⊢ es de carácter sintáctico, se llega a ella trabajando con las reglas de inferencia que se han propuesto en el lenguaje aunque si bien, están relacionadas ⊢∼⊨.

Cada regla introducida E∧I, E∧d y I∧ es correcta, consistente y coherente, puesto que toda fórmula deducida ⊢ es además consecuencia ⊨de las premisas de la regla.


p ∧ q ∧ r

p ∧ (q ∧r)

p q ∧ r

r

p ∧ r

43

2

6 5

6

Ψ Θ Ψ∧ Θp q r ¬p p ⟶ q r v ¬p (p ⟶ q) ∧ (r v

¬p)0 0 00 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

11110000

11110011

11110101

11110001

Ψ ∧ Θ ⊨χ

χ ⊨ Ψ ∧Θ

⊢≡⊨.

Disyunciones

Introducción de disyunciones. La fórmula se puede introducir disyuntivamente tanto por la derecha como por la izquierda I∨d I∨i. es indiferente (conmutativa). Se puede introducir porque si se admite la primera también debe admitirse la segunda.

Ψ Ψ (p ⟶ q)Ψ v Θ Θ v Ψ Ivd (p ⟶ q) v (r ⟷ s)

Ivd Ivi Ivi (r ⟷ s) v (p ⟶ q)Tabla 1.12

Eliminación de la disyunción. La eliminación de la disyunción es algo más complicada, no corresponde a su eliminación más directa. Se definen reglas diferentes para la introducción y eliminación en la disyunción.

Si en una disyunción damos por cierta bien la primera subfórmula, bien la segunda, cada una por separado puede llevarnos a fórmulas con valores distintos y no consecuencias o deducciones. Para eliminar una disyunción deben estudiarse cada una de las fórmulas por separado y verificar que dan el mismo resultado.

χ Ev

Pasos para llegar a la deducción a partir de un conjunto de fórmulas conjuntivas:

1. Se abre todo lo posible la fórmula aprovechando las conectivas conjuntivas que pueden deducirse sin más, puesto que sólo son ciertas para las premisas simultáneamente ciertas.

2. Una vez se haya llegado a fórmulas disyuntivas se hacen tantas suposiciones como fórmulas estén conectadas disyuntivamente, ya que, debe verificarse la certeza para cada una de ellas. Se nos presentan tantos caminos como literales haya. (p v q) dos caminos v(p) = 1, v(q) = 1.

Si por cada uno de los caminos que puedan presentarse se llega a la misma fórmula, se puede afirmar que esta fórmula común puede deducirse de la fórmula premisa. Si un camino no es cierto el otro si lo será y viceversa, y esto garantiza que la fórmula deducida es cierta.

Se dice que las suposiciones se encierran en cajas de suposición.


Ψ v Θ

Ψ Θ..χ

.

.χ

Ejemplos

Condicionales

Eliminación del condicional E⟶. también llamado Modus Ponens.

Cuando el condicional se supone verdadero sólo se descarta una de sus cuatro líneas de su tabla de verdad. Si a esta premisa se añade que otra afirma que p es verdadero , necesariamente q debe serlo

Introducción del condicional I⟶. No puede aplicarse tan directamente. Corresponde a la fórmula:

Si en un argumento se presume cierta una hipótesis adicional Ψ, lo que se deduce en el ámbito de la caja también es cierto. Se garantiza verdadero en tanto que Ψ lo sea, incluso cerrando el ámbito de la caja introduciendo la implicación.

Es decir, las deducciones que se realizan dentro del ámbito de la caja de suposición de un condicional sigue siendo cierto fuera de ella si se admite como verdadera la premisa, siempre y cuando el consecuente de la deducción de la última fórmula efectiva derivada en la caja.

Ejemplo.

Negación

Restan cuatro reglas para completar la descripción del sistema.

Introducción de la negación I¬. Si de una suposición adicional se deriva una contradicción, puede cerrarse el ámbito de aquella y concluir la suposición de la negación.

Eliminación de la negación E¬. Dadas dos fórmulas donde una es la negación de la otra, se puede concluir la contradicción.


p⟶ q

E⟶

q

Ψ..Χ

I⟶

Ψ ⟶ χ

¬Ψ Ψ

E¬⊥Ψ..¬

I¬¬Ψ

Eliminación de la contradicción. De una contradicción se puede concluir cualquier fórmula.

Eliminación de la doble negación. De una fórmula doblemente negada se puede derivar dicha fórmula.

En cualquier ámbito abierto puede utilizarse una fórmula anterior, siempre que pertenezca a este o a uno que le englobe. Anidamiento de los demás.

Recapitulación. Reglas de sistemas deductivos.

Introducción I∧ Eliminación E∧

Introducción Iv Eliminación Ev

Introducción I⟶ Eliminación E⟶

Introducción I¬ Eliminación E¬

Contradicción. De una contradicción se puede concluir cualquier fórmula.

Doble negación. De una fórmula doblemente negada se puede derivar dicha fórmula. ¬¬Ψ ⊢ Ψ

Existen 10 reglas de inferencia en el sistema deductivo natural.


Conjunciones

Disyunciones

Sin más

Deben abrirse tantas suposiciones como literales disjuntos haya y llegar a una conclusión común para llegar a esta.

CondicionalesDebe deducirse dentro de una caja a partir de una suposición, y lo que se derive de esta se puede dar como cierta si la premisa es cierta.

Negaciones

I¬. si de la suposición se deriva una contradicción puede cerrarse y concluir su negación.E¬. se puede concluir una contradicción de una fórmula y su negación.

⊥E⊥Ψ

¬¬ΨE¬¬Ψ

Reglas de derivación

La derivación, la deducción, se puede producir en cualquier punto de un argumento, no necesariamente tiene que ser de sus premisas. Las posibilidades de deducción de una expresión a otra son sólo posibles entre las relaciones que existen entre las jerarquías de anidamiento.

1.4.2 Resolución

Estrategia deductiva por refutación. Decidir si una fórmula o conjunto de fórmulas es consecuencia de otra u otras se reduce a comprobar si Θ y ¬Ψ pueden ser simultáneamente verdaderas.

Ψ1, … ψn ⊨ Ψ sii Θ U ¬Ψ = { Ψ1, … ψn , ¬Ψ} es insatisfacible

Para comprobar que una fórmula es ⊨ de otra niéguela e incorpórela conjuntivamente, si es insatisfacible es ⊨.

Si la fórmula a comprobar es muy compleja resulta difícil constatar la ⊨ por este camino: si Θ U Ψ era insatisfacible, en algún momento del cálculo se evidencia.

Procedimiento. Se añaden sucesivamente nuevas fórmulas menos complejas que no alteran la satisfacibilidad. Si la premisa es insatisfacible este procedimiento termina produciendo una cláusula vacía Θ ⟼ Ø y sólo aparece sii Θ U ¬Ψ es insatisfacible.

Requisitos formales. El cálculo mencionado sólo se define sobre fórmulas en FNC. Las premisas como la consecuencia deben escribirse en esta forma, transformándola mediante equivalencias.

A partir de esta FNC las fórmulas pueden escribirse en FC, que es las forma que se maneja en este procedimiento.

La transformación a FC ya ha sido expuesta.

Def. Literal l. Un literal es una fórmula atómica. La doble negación no es un literal, ¬¬p ⊨ p.

A cada l le corresponde un literal complementario lc, (l) p ⟶ ¬pc ¬p.

Def. Satisfacibilidad de cláusulas.

1. La cláusula vacía Ø ó {}es insatisfacible.2. La cláusula C = {l1,… ln}, (l1 v …v ln) es satisfacible si alguna de ellas es satisfacible.


3. Un conjunto de cláusulas {C1,… Cn} es satisfacible si hay una interpretación

común que satisfaga a todas simultáneamente. V(∑i=0

n

C i) = 1

Principio de resolución

Sean X e Y cláusulas tales que X ∈ l y Y ∈ lc. se denomina resolución a la regla:X Y

{X U Y} – {l , lc}

Las cláusulas se resuelven sobre l. A la cláusula resultante se la denomina resolvente.

Teorema 1.4. El principio de resolución preserva la satisfacibilidad. Una misma asignación satisface tanto a la premisa como al resolvente.

El resolvente tiene la misma satisfacibilidad, tanto para la primera resolución como para las resoluciones sucesivas.

Una resolución sobre cada una de los literales produciría una cláusula vacía C = Ø, {} que no satisface tanto a las premisas como al resolvente. Es un uso incorrecto de las reglas de resolución.

En una derivación pueden usarse tanto los literales premisas como las obtenidas, los resolventes.

Teorema 1.5. Un conjunto no vacio de clausulas es insatisfacible sii existe a partir del mismo una derivación por resolución de la cláusula vacía.

Consistencia y completitud de la resolución

La consistencia garantiza la corrección de las reglas: todo lo que se obtiene es consecuencia de lo anterior.

Completitud. De un conjunto de consecuencias, de resolventes, puede encontrarse una derivación por la que se obtenga la premisa.

La mención a la cláusula vacía es específica de este sistema, pues se utiliza la insatisfacibilidad para obtener indirectamente el concepto de consecuencia.

Un literal puede usarse más de una vez en la resolución.

Ejemplo:


Θ = {p v q, p ⟶ r, q ⟶ r} ⟹ Θ = {p v q, ¬p v r, ¬q v r} Ξ Θ U {¬Ψ}

Es insatisfacible. Existe(p v q) v (¬p v r) v (¬q v r) la cláusula vacía ⬚.

q v r

r ¬r

⬚Def. Cláusula de Horn CH

Es una cláusula con a lo sumo un literal positivo.

Facilita la representación legible e intuitiva de ciertos sistemas y además facilita el cálculo computacional.

Ejemplo de CH

1. {¬p, ¬q, ¬r, s} (p ⟹ ∧ q ∧ r) s⟶2. {¬p, ¬q} (p ⟹ ∧q) ⟶ ⊥3. {s}

1. {¬p, q}2. {¬p, r}3. {¬s}4. {¬t}5. {¬q, s, t }6. {¬s, q }7. {¬t, q}8. {p}9. {q} (8,1)10. {r} (8,2)11. {s, t} (9,5)12. {t} (11,3)13. { } (12,4)

1.4.3 tablas semánticas

También llamadas tablas analíticas o Tableaux (Tableau en singular). Al igual que la resolución también son estrategias deductivas por refutación.


Los del primer grupo se conocen como reglas.Los del segundo son equivalentes a un condicional.El último es un hecho

Una derivación de la cláusula vacía.

Los tableaux proporcionan un medio sintáctico de investigar la satisfacibilidad de un conjunto de fórmulas. Todo lo mencionado en las resolución sobre la consecuencia y la satisfacibilidad es aplicable a las tablas analíticas.

Se usa el mismo principio que en la resolución para ver si existe consecuencia entre el conjunto. Niegue el presunto consecuente e introdúzcala en el conjunto de las premisas, si es insatisfacible es consecuencia.

Constatación sintáctica de la insatisfacibilidad

De nuevo como en la resolución si el conjunto de partida Θ U {¬Ψ} es insatisfacible, en algún momento del cálculo se evidencia claramente.

Procedimiento. La fórmula del conjunto inicial se estructura como árbol (muy lineal). Existen dos reglas e inferencia que añaden nodos linealmente o por bifurcación e indicadores sintácticos que explicitan la satisfacibilidad. Cada ampliación de árbol no altera la satisfacibilidad.

*si el conjunto de partida, las premisas, eran satisfacibles todo el arbolo lo será, si por el contrario, eran insatisfacibles en algún momento de cálculo se constatará (sintácticamente).

Notación uniforme

Ya se da por sabido que cualquier fórmula con cualquiera de las 16 conectivas existentes pueden escribirse con otras conectivas que conformen un conjunto completo de conectivas. Es decir, cualquier fórmula puede transformarse en otra equivalente usando únicamente conjunciones o disyunciones es decir FNC o FND.

α α1 α2 β β1 β2

x ∧ y¬(x ∧ y)

¬(x y)⟶

x¬xx

y¬y¬y

¬(x ∧ y)x v y

x y⟶

¬xx

¬x

¬yyy

¬(x ← y)¬(x ↑ y)

x ↓ yx ↛ yx ↚ y

¬xx

¬xx

¬x

yy

¬y¬yy

x ← yx ↑ y

¬(x ↓ y)¬(x ↛ y)¬(x ↚ y)

x¬xx

¬xx

¬y¬yyy

¬yTabla 1.13 Notación uniforme

Cada fórmula α es equivalente a la conjunción de sus componentes x1 x2,… xn. Y cada fórmula β es equivalente a la disyunción de sus componentes. Tanto en α como en β las componentes son subfórmulas de la fórmula principal.


Llamemos A, a un árbol sintáctico, esta sólo incluye las tres primeras líneas de la tabla 1.13, aunque se podía haber incluido cualquiera de las 16 conectivas binarias. Recursivamente, cualquier fórmula y todas sus subfórmulas es de uno de estos dos tipos α ó β.

Ni el Bicondicional ni la negación (la disyunción exclusiva) se pueden escribir como una conjunción o disyunción de sus subfórmulas, por lo que no se consideran conectivas primarias del lenguaje sino abreviaturas.

Tableaux

Un tableau es un árbol sintáctico donde se aprecia con claridad si alguna proposición de la fórmula inicial unida conjuntivamente se contradice, se insatisface, con lo que, al ser una fórmula conjuntiva se aprecia, que en global no es satisfacible.

Al tener un conjunto de fórmulas en FNC o transformadas a esta forma, con que sólo una de ellas se contradiga con otra en el árbol, todo el conjunto es insatisfacible.

Un tableau no es más que un mero procedimiento, una manera de suavizar lo que debe apreciarse, ya que su único fin es el de facilitar la observación de alguna fórmula, subfórmula o proposición que se contradiga.

Def. Tableau de un conjunto de fórmulas. Con el conjunto inicial de fórmulas Θ = {Φ1, Φ2,… Φn} se forma el tableau inicial A. aplicando a A cualquiera de las reglas de expansión de tableaux resulta otro tableau A´ al que pertenece el conjunto de fórmulas creado Θ U Φ.

Reglas de expansión de un tableau proposicional Conectivas monarias ¬¬x/x ¬ /⊤ ⊥ ¬⊥/⊤ Conectivas binarias α/α1 β/(β1 ⎜β2)

Los literales no pueden expandirse. En un árbol se escoge una rama y se expande en el terminal de esa rama con alguna de las fórmulas expansibles que pertenezcan a esa rama.

Def. Tableau cerrado. Un tableau se dice que está cerrado si en el extremo de todas las ramas existe un literal, una fórmulas atómica o si ocurre la fórmula ⊥. Es decir, cuando ninguna de sus ramas puede seguir expandiéndose, están cerradas atómicamente.

El sistema descrito es consistente y completo en los mismos términos que en la resolución. Un conjunto es insatisfacible sii existe un tableau cerrado del mismo.

Una fórmula puede extenderse tantas veces como ramas haya o se precise. No se puede expandir en una misma rama una misma fórmula más de una vez.


No es necesario expandir completamente el árbol para comprobar su insatisfacibilidad, pues en determinadas situaciones se ve claramente sin necesidad de volver a expandir una fórmula en otras ramas.

Capitulo 2 Lógica de predicados de primer orden

A diferencia de la lógica de proposiciones, ahora existen infinitas interpretaciones para cualquier fórmula de este lenguaje, por lo que es imposible abordar su validez por procesos de decisión que requieran un recorrido exhaustivo de sus valores (intensivo).

Los sistemas deductivos se convierten en la única herramienta con la que trabajar, siempre que se demuestren correctos y completos.

Los sistemas más utilizados son, sobre todo la resolución, pues es más fácil de implementar en un sistema de computación, aunque los tableaux se están imponiendo.

Metodología. Trabaje con lenguajes progresivamente más complejos. Primero sólo cuantificadores y predicados monádicos, después diádicos, etc. Posteriormente el uso de funciones y por último la igualdad.

2.1 La sintaxis

Lenguajes de primer orden.

Def. 2.1 Alfabeto. Todas utilizan un conjunto común de símbolos, además de símbolos propios de lenguaje.

Símbolos comunes A Variables Var = {x1, x2,… xn} Conectivas {∧ ,∨ , , , ,⟶ ⟷ ⊤ ⊥, ¬} Cuantificadores {∀, ∃, }∄ Símbolos de puntuación Paréntesis (); comas ( , ) Símbolo de igualdad {≈}

Símbolos propios S Constantes C = {C1, C2,… Cn} Funciones F = {f1, f2,… fn}


A + S = AS

Relaciones R = {r1, r2,… rn}

Cada elección de S determina un lenguaje L(S); L(R,F,C).

Los R, F, C son independiente del lenguaje, pueden o no pertenecer a él.

Toda función y toda relación tiene asignado un Nº n. Una función o relación n-ádicas o n-arias se aplica sobre un n-upla de términos: R(t1, t2,… tn).

Representaciones Constantes: {a, b, c, d,…} Variables: {u, v, w, x,…} Funciones: {f, g, h,…} Relaciones(predicados): Letras mayúsculas

Lenguajes

Los términos y funciones serán expresiones sobre este alfabeto y las R, F, C deben pertenecer también a este.

Def. 2.2 Términos. Es una expresión obtenida por aplicación de las siguientes reglas:

1. Cada constante es un término.2. Cada variable es un término.3. Si f es una función n-aria y t1, t2,… tn son términos, entonces f(t1, t2,… tn)

es un término.

El conjunto de todos los términos se denota como Term.

Def. 2.3 Fórmula atómica. Es de la forma R(t1, t2,… tn). R es un símbolo relacional n-ario y t1, t2,… tn son términos.

Al conjunto de fórmulas atómicas se le denotan Atom.

Def. 2.4 Fórmula. Expresión obtenida de las reglas:

1. Toda Atom es una fórmula.2. Si Φ es una fórmula entonces (¬Φ) también lo es.3. Si Φ y ψ son fórmulas entonces (Φ * ψ) también lo es.4. Si Φ es una fórmula y x una variable, entonces ∀xΦ y ∃xΦ también son

fórmulas.

El conjunto de todas las fórmulas se denota por Form.

(∀x(R(x,c) P(f(y))))⟶

(R(x,c) ) P(f(y)))⟶


R(x,c) P(f(y))

x c f(y)

Árbol sintáctico de una fórmula de primer orden

Los términos son los sujetos citados en nuestras frases formales. No se dice si son V o F, sólo se dirán quienes son.

2.1.2 Inducción y recursión

Este es un concepto ya expuesto con anterioridad. En los lenguajes de predicados de primer orden LPPO existen dos conjuntos inductivos. El de términos y el de fórmulas.

Def. 2.5 Principio de inducción estructural. Para demostrar que todos los términos de un LPPO tienen la propiedad P basta demostrar que:

1. Toda var. tiene la propiedad P.2. Toda const. De A tiene la propiedad P.3. Si los términos t1, t2,… tn tienen la propiedad P y f es una función n-aria

del lenguaje A, tal que, f(t1, t2,… tn) entonces esta tiene la propiedad P.

Para demostrar que todas las fórmulas de un LPPO tienen la propiedad P basta demostrar que:

1. Toda Atom. Tiene la propiedad P.2. Si Φ p, entonces (⟹ ¬Φ) también.3. Si (Φ y ψ) p, entonces (⟹ Φ * ψ) también.4. Si Φ p, entonces ⟹ ∀, ∃ y x una variable, entonces ∀xΦ y ∃xΦ,

también.

Siempre existe una unicidad en la descomposición sintáctica de un término o una fórmula.

Teorema 2.5 1. Análisis sintáctico único. Cada termino pertenece a una y sólo una de las siguientes categorías.

Variable, var Constante de As

Función n-aria de As unívocamente determinados.

2. Cada fórmula pertenece a una y sólo una de las siguientes categorías.

Φ es atómica


Φ es de la forma ¬ψ para una ψ Φ es de la forma (Φ *ψ)… Φ es de la forma ∀xΦ o ∃xΦ, para cuantificadores, var y Form

determinados.

Esto garantiza que para un término o una fórmula existe un único árbol sintáctico; y para cada árbol sintáctico existe un único termino o fórmula.

2.1.3 Subfórmulas

Def. 2.6 Subfórmulas. Para una fórmula Φ, recursivamente se define el conjunto de todas sus subfórmulas como:

{Φ} ,Φ ⊂ Atom {Φ} U Subform(ψ) ,Φ = {ψ} {Φ} U Subform(ψ) U Subform(ψ) ,Φ = (ψ * χ) {Φ} U Subform(ψ) ∀ ,Φ = ∀xψ {Φ} U Subform(ψ) ∃ ,Φ = ∃xψ

Las subfórmulas de una fórmula son todas las que aparecen en su árbol sintáctico incluida ella misma.

Para ser fórmula debe inscribirse a una relación R(x), R(x) es una fórmula de x; f(x) son términos.

La función numsubf : Form N cálcula el Nº de subfórmulas de una fórmula⟼ dada.

1. , Φ atómica 1. numSubf(Φ) ,Φ = (¬ψ) ⎜ ( ∀xψ) ⎜ ( ∃xψ) 1. numSubf(Φ) + numSubf(ψ) , Φ = (Φ * ψ)

2.1.4 Eliminación de paréntesis

Sigue las mismas restricciones que la proposicional, pero siempre se podrán eliminar usando el sentido común.

2.1.5 Variables libres

Definición que produce todas las variables de una función dada. Se estudian las fórmulas y las subfórmulas hasta llegar a los términos. Las variables son las que hayan aparecido en sus términos.


Subform(Φ) =

numSubf(Φ) =

Vart : Term P(Var) /// Var que aparece en un término.⟼

∅ , t = c {x} , t = x Var (t1) U… U Var (tn) , t = f(t1,… tn)

Var : Form P(Var) /// Var que aparece en una fórmula.⟼

Vart(t1) U Vart(t2) , Φ = t1 ≈ t2

Vart(t1) U … Vart(tn) , Φ = R(t1, t2,… tn) Vart(ψ) , Φ = (¬ψ) ⎜(∀xΦ) ⎜(∃xΦ) Vart(ψ) U Var(χ) , Φ =(ψ * χ)

Ámbito del cuantificador (∀xΦ), (∃xΦ).

Si Φ está ligado a ∀ ó ∃, se dice que es del ámbito del cuantificador. Los ámbitos no se solapan, se anidan o son disjuntos ∀(∃x), (∀P(x)) v (∃P(y)).

Apariciones libres y ligadas.

Todas las apariciones de una variable x en el ámbito de un cuantificador, (∀xΦ), (∃xΦ) se denominan ligadas, sino la Var esta no ligada y se denomina libre.

Una Var puede tener apariciones libres o ligadas en una fórmula, pero se dice que es libre sii todas las apariciones de esta Var son libres.

Def. 2.7 Definición formal de la función que define el conjunto de las variables libres.

Var(t1) U Var(t2) , Φ = t1 ≈ t2

Var(t1) U … Var(tn) , Φ = R(t1, t2,… tn) libre (ψ) , Φ = (¬ψ) libre(ψ) * libre(χ) , Φ =(ψ * χ) libre(ψ) – (χ) , Φ = (∀xΦ) ⎜(∃xΦ)

Def. 2.8 Sentencia. Fórmula sin variables libres, es decir, todas las variables están ligadas, en el ámbito de un cuantificador.

2.1.6 Sustituciones

Cualquier fórmula tiene una estructura de árbol donde las fórmulas se desarrollan en sus subfórmulas y a su vez en otras hasta alcanzar sus fórmulas


Vart =

Vart =

Libres Φ

atómicas, que es en general un predicado n-ario aplicado a n términos. Estos términos admiten así mismo un desarrollo de árbol, que puede constar de variables, constantes o una fórmula k-aria aplicada a k-términos, que puede estar formado por el conjunto de Term.

Las sustituciones pueden realizarse sobre fórmulas completas o sobre términos.

Sustituciones de variables.

Una sustitución σv es una función σv: Var Term del conjunto de variables en⟼ el conjunto de términos, es decir, Var sobre el conjunto de términos Term de un lenguaje concreto L(C, F, R).

Cuando el Nº de Var de un lenguaje dado As sea finito, se dirá que la sustitución tiene un soporte finito.

Sustitución en términos.

Dado un término de entrada, al aplicar una sustitución σv se obtiene un único término de salida.

Se puede aplicar cada función σv (de Var en Term) a otra función σt (de Term en Term).

*Notación xσt = xσv(x) xσv es la imagen sustituida

La sustitución se realiza simultáneamente sobre cada una de las apariciones de la variable a término.

Composición de sustituciones.

En este caso se realiza primero una sustitución y luego la otra, y otras de manera secuencial. Una está dentro de otra.

tσ = σt Sustitución

tT = t[σ1 σ2] = t(σ1)[ σ2] = ((tσ1)(σ2)) = ((tσ1)σ2)Composición de sustituciones

T se refiere a una única sustitución contraída por dos previas.

Proposición. Sean σ1 y σ2dos sustituciones con soporte finito, entonces la sustitución compuesta σ1σ2 tiene soporte finito.

Proposición. La composición de sustituciones es asociativa. En general no es conmutativa.

(σ1 σ2) σ3 = σ1 (σ2 σ3) Asociativa


σ1 σ2 = σ2 σ1 Conmutativa

Sustitución en fórmulas.

Una vez aprendido el funcionamiento de las sustituciones, ahora limitaremos su uso para obtener un buen funcionamiento de estas “funciones”.

1. Sólo sustituiremos las apariciones libres de las variables.2. Las apariciones de las variables en la fórmula sustituida deben también

resultar libres, fuera del ámbito de los cuantificadores.

Las sustituciones con las restricciones mencionadas, producen nuevas fórmulas que son tan satisfacibles como la primera.

Esta es la estrategia utilizada en sistemas deductivos, como la resolución o lo tableaux. Mediante relación vía insatisfacibilidad que producen .⊨

Def. 2.9 Sea σt, se puede extender una fórmula recursivamente a una función σ de fórmulas en fórmulas.

1. (Q(t1, t2,… tn))σ = Q(t1Qt, t2Qt,… tnQt)2. ⊤σ= ; ⊤ ⊥σ = ⊥3. (¬χ)σ = ¬(χσ)4. (χ * ψ)σ = (χσt * ψσt) , Para toda conectiva binaria5. (∀xΦ) =∀x(xσx) ; (∃xΦ) = ∃x(xσx) , σx no modifica la variable x

Ejemplo

σ = [x/f(y),y/b]

(∀x(Qx Rxy⟶ ))σ Ξ ∀x((Qx Rxy⟶ )σ) Ξ ∀x ((Qx)σx ⟶ (Rxy)σx) Ξ ∀x(Qx Rxb⟶ )

(Qx xRxy⟶ ∀ )σ Ξ (Qx)σ ( xRxy)⟶ ∀ σ Ξ (Qx)σx x(Rxy)⟶ ∀ σx

Ξ Ξ (Qf(y)) x(Rxb)⟶ ∀ (∀x(Qx yRxy⟶ ∀ ))σ Ξ ∀x((Qx ⟶ ∀yRxy)σx) Ξ ∀x((Qx)σx ⟶ ∀y(Rxy)σxy) Ξ ∀x(Qx ⟶ ∀yRxy)

Notación.

En una fórmula Ф se representarán apariciones libres de alguna variable, mediante su indicación directa, junto a la fórmula de metalenguaje.

Ф(x,y)

Las apariciones de x que estuvieran ligadas por el cuantificador, resultan apariciones libres en la subfórmula Ф expresada mediante metalenguaje. Así una


fórmula como ∀xФ ó ∃xФ y una sustitución σ, si modificaran las apariciones de x en la subfórmula Ф.

Def. 2.9 Sustitución libre de una fórmula. Tanto la variable sustituida como la sustituyente deben estar fuera del ámbito de un cuantificador, aunque este no se refiera a la variable sustituida, es decir, toda variable sustituida debe estar fuera del ámbito de un cuantificador, aún cuando no se refiera a ella.

2.2 Semántica

En lógica de proposiciones basta una asignación del conjunto de los valores de verdad v {0,1} en el conjunto de las letras preposicionales para decidir su valor de verdad, es decir, basta una interpretación para comprobar si la interpretación de una fórmula se satisface.

La interpretación en LPPO.

Los LPPO tienen un alfabeto A más expresivo. La interpretación de las fórmulas se hace sobre una estructura de un mundo o universo. Descripción coloquial.

1. Escoger un conjunto U cualquiera (el universo).2. Por cada predicado (relación) n-ádico se debe escoger un subconjunto

de n-tuplos de elementos de U. P(x) un subconjunto de UR(x,y) dos subconjuntos de U

3. Por cada símbolo constante en la fórmula debe escoger un elemento de U.

4. Por cada término funcional f(t1, t2,… tn) con t1, t2,… tn términos debe escogerse una función sobre U con el mismo Nº de argumentos (t1, t2,… tn en el caso de f), n en el caso de f.

Estructura.

Cualquier sentencia se puede interpretar sobre una estructura adecuada a esta fórmula. Para un caso concreto es preciso establecer una correspondencia entre variables y elementos de U, que denominaremos asignación.

Relaciones y funciones sobre un universo.

Sea U un conjunto no vacio. El conjunto Un es el conjunto de todas las n-tuplas de U. una relación n-aria R sobre U es un subconjunto de Un.

Ejemplo


U = (a, b, c) , entonces

U2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)}

Una relación R puede contener el conjunto vacio R = ∅.

Existen 23x3 relaciones Rk binarias sobre un conjunto de tres elementos.

Una función f : Un ⟼ U hace corresponder a cada n-tupla de su dominio Un un elemento de U. en general, las funciones n-arias son especiales relaciones (n+n)-arias-

Existen 33 funciones diferentes sobre un U de tres elementos y treselecciones del representante de la constante. Es decir, existen 27 * 24 +1 interpretaciones distintas sobre U3.

2.1 Interpretaciones.

Para una fórmula Ф y una estructura adecuada se dice que se interpreta cuando se le asigna a un símbolo propio alguna correlación con el universo perteneciente a esa estructura.

Def. 2.11 Estructura. Una estructura adecuada al lenguaje L(R, F, C) es un par <U, I>.

1. U es un conjunto no vacio denominado dominio o universo.2. I es una función que hace corresponder sobre cada símbolo propio de S

= R U F U C.i. A cada R ∈ S n-aria, una relación n-aria sobre U.

ii. A cada F ∈ S n-aria, una función n-aria sobre U.iii. A cada C ∈ S un elemento de U.

Para decidir el valor de verdad de una expresión sobre una estructura es preciso designar un universo y unos valores de R, F, C sobre este.

Las fórmulas del alfabeto As pueden interpretarse sobre un Nº finito de estructuras.

Asignaciones

una asignación sobre una estructura <U, I> es una función A : Var ⟼ U. a cada x un elemento de U.

Notación: XA elemento de U imagen de x; A(x) función.


A cada uno de los términos del lenguaje se le hace corresponder una asignación y una interpretación. tIA del universo.

CI, A = CI

XtI,A = xA

f(t1, t2,… tn) = f(t1I, A, t2

I, A,… tnI, A)

Def. 2.11 Asignación variante de otro. Se ha asignado una asignación A para una variante del universo. Otra asignación Ax, es una variante en x de A si coincide con A en la asignación de toda la variable excepto para la variable x.

Satisfacción.

A cada fórmula Ф de L (F, R, C) perteneciente a una estructura <U, I>, se le hace corresponder un valor de verdad ФI, A como sigue:

1. ⊥I, A = 0; ⊥I,A = 1G (t1 ≈ t2)I,A = 1 sii t1

A = t2A

[R(t1, t2,… tn)]I, A = 1 sii (t1, t2,… tn) ∈ RI

2. [¬Ψ]I, A = [Ψ]I, A

3. [Ψ * Ф]I, A = ΨI, A * ФI, A

4. [∀xΨ]I,A = 1 sii ΨI, Ax para toda asignación Ax variante de x respecto a A5. [(∃xΨ)]I, A = 1 sii ΨI, Ax para toda asignación Ax variante de x respecto a A

Ejemplo. Son básicos. Se consideraran fórmulas con a lo sumo dos predicados Monádicos y tres constantes. No contienen funciones ni símbolos de igualdad. Pertenecen al lenguaje L(R, F, C) con:

R = {P, Q}, F = , C = {a, b, c}

Para cada una de estas fórmulas se escogerá (1) un universo U, (2) una interpretación I y (3) una asignación.

Cada interpretación de este lenguaje debe fijar, (1) que subconjuntos del universo PI y QI y (2) que elementos del universo son aI, bI, cI.

Figura 1.1 Tres estructuras sobre el mismo universo:


P1 2 3

P 21 3

P 2

1 3

Formalmente, siempre se requiere un universo U, una interpretación I y una correspondencia A entre variables y elementos.

I = <U = {1, 2, 3}; PI = {1, 3}; cI = 1>

Entonces aplicando la definición de satisfacción de una fórmula:

(Pc)I,A = 1 sii cI,A ∈ PI sii CI ∈ PI sii 1 ∈ {1, 3}

Luego Pc resulta verdadera sobre esta estructura. Sobre toda estructura en que Pc resulte verdadera ¬Pc resulta falsa. Y viceversa.

Ejemplo sobre universo figura 1.1

<U = {1, 2, 3}; PI = {1, 3}>, con A(x) = 3

La fórmula Px es verdadera sobre esta estructura. Aplicando la definición de satisfacción de una fórmula:

(Px)I, A = 1 sii xI, A ∈ PI sii xA ∈ PI sii 3 ∈ {1,3}

Sin embargo si variamos la asignación sobre x, en la misma estructura, se obtiene que la sólo es falsa.

<U = {1, 2, 3}; PI = {1, 3}>, con A(x) = 2

Otro ejemplo

∀xPx podría leerse todos (los elementos del universo) son rubios (cualquier otra cosa). Su valor de verdad no depende de la asignación, si todas las asignaciones de la variable x hace verdadera Px entonces ∀xPx es verdadera.

Otro universo.

Estructura con dos predicados monádicos.

Sobre esta estructura (∃xPx) ∧ (∃xQx) se pregunta si tanto P como Q cumplen la propiedad, pero poseen relaciones diferentes rubio y alto por ejemplo, es equivalente a escribir (∃xPx) ∧ (∃yQy).Lógica Matemática Página 50

3 1 2

P Q P

Q

¬P¬Q

P¬QPQ ¬PQ

En la evaluación de ∃x(Px ∧ Qx) ∃x referencian al mismo elemento.

Conceptos semánticos básicos

Def. 2.12 Satisfacibilidad. Una fórmula es satisfacible si existe algún universo, interpretación y asignación donde sea verdadera. Así un conjunto de fórmulas (Ф1, Ф2,… Фn) son satisfacibles si existe algún universo, interpretación y asignación donde coinciden todas en ser verdaderas (LPs se podría decir, si la conjunción de todas las fórmulas son verdaderas).

Def. 2.13 Validez. Una fórmula es verdadera si en una estructura <U, I> se satisface ФI, A en el mismo. Así una fórmula Ф es válida en esa estructura si satisface ∀ I, A.

Def. 2.14 Consecuencia. Una fórmula Ф es consecuencia lógica de fórmulas Θ sii en toda estructura <U, I> y asignación en que todas las fórmulas Θ son verdaderas también lo es Ф, Θ ⊨ Ф. Y puede que se satisfaga en alguno más.

Si Θ es insatisfacible cualquier fórmula es consecuencia lógica de ella.

Def. 2.15 Equivalencia. Dos fórmulas son equivalentes Ψ y Ф sii Ф ⊨ Ψ y Ψ ⊨ Ф, es decir, si se satisface exactamente para las mismas asignaciones de una estructura <U, I>.

2.3 Deducción natural

En los lenguajes proposicionales se tenían la gran ventaja de poder verificarse mediante tablas de verdad las cuestiones semánticas básicas sobre fórmulas. Ventaja en los lenguajes de predicados de primer orden no existe por la dificultad de averiguar extensivamente los valores de verdad de las fórmulas frente a un universo U dado. Otro tema era su complejidad temporal.

Consideraciones previas.

Una fórmula de particulariza cuando se realiza una sustitución de una variable que puede coger cualquier valor del universo, por una constante, es decir, por un solo valor de este universo y que es asignable a la variable.

Todos los sistemas deductivos hacen uso de esta particularización que toma la forma sintáctica de una sustitución, y gracias a unas restricciones impuestas se mantiene un buen comportamiento semántico de la expresión obtenida: se mantienen los valores de verdad necesarios, se produce una consecuencia.

2.3.1 cuantificadores universales


Primer ejemplo simple de una deducción natural en LPPO de una fórmula obtenida de la inferencia de una fórmula de LP.

1. P ⟶ q Premisa ⊢ p⟶ r

Pero no puede de⊢ fórmulas en el que el cuantificador posea a todo el ámbito de fórmulas unidas con conectivas binarias. ∀x(Px Qx)⟶∀x(Qx Sx)⟶ ∀x(Px Sx)⟶

2. Q ⟶ r Premisaq Suposic3.

4. p E⟶ 1,3

5. r E 2,3⟶

6. p I 4,5⟶

Es preciso abrir nuevas reglas de inferencia.

Abrir. Las fórmulas cuantificadas (eliminarlas) Aplicar las reglas de inferencia proposicionales Cerrar. Las fórmulas resultantes (introducir cuantificadores)

Reglas de introducción y eliminación.

Eliminación.

Es muy intuitivo, una fórmula universal ∀xPx puede particularizarse en cualquier momento. Tan sólo que el término sustituyente sea libre para x en Ф. De ahí ∀xPx Pa.⊨

∀xФ ∀xE

Ф[x/t]

El termino sustituyente puede ser de cualquier tipo de los símbolos propios de un lenguaje L(R, F, C).

Ejemplo

∀x(Qx ∧ ∃xRxx) ∀xE

Qa ∧ AxRxx

Se han sustituido todas las apariciones libres de la sólo (fuera del ámbito del cuantificador, pues se buscan en sus subfórmulas) de x por la constante a.


1. ∃xPx ⟶ ∀yQy Premisa ⊢ ∀xPx⟶ ∀zSz2. ∀yQy ⟶ ∀zSz Premisa∃xPx Suposic3.

4. ∀yQy E 1,3⟶5. ∀zSz E 2,3⟶6. ∃xPx ⟶ ∀zSz I 4,5⟶

Una fórmula como ∀x(Qx ∧ ∃xRxx) conviene escribirla como su equivalente ∀x(Qx ∧ AyRyy), pues la instanciación sobre x en el ámbito de ∀x sólo afectan a las apariciones libres de la subfórmula sin cuantificar. Es un mero proceso de aclaración de fórmulas. Podría realizarse sin la sustitución σ [x/y].

Introducción a los cuantificadores universales.

Esta instanciación se realiza para generalizar un caso particular, como puede ser una constante. Toda la interpretación de la fórmula cuantificada siempre incluirá entre sus líneas o interpretaciones la que designa la fórmula particularizada.

La generalización se produce sustituyendo todas las apariciones de la constante (a) por una variable (x) y ligando esta, anteponiendo el cuantificador ∀ con la var sustituyente ∀x.

a..

Ψ[x/a]∀xΨ ∀xI

La caja no se abre porque se haga una sustitución, sino que indica que se ha producido una particularización que tras un determinado desarrollo o deducción se vuelve a generalizar para ese resultado obtenido.

Se particulariza una fórmula para trabajar sobre ella en casos concretos que permiten volver a generalizar el resultado o deducción obtenida.

2.2.3 Cuantificadores existenciales

Introducción

Ф[x/a] ∃xI

∃xФ

Si un elemento a tiene cierta propiedad, se puede afirmar que existe algún elemento que la tiene.

Eliminación No directo

Si algún elemento tiene cierta propiedad, no se puede derivar que un elemento concreto la tenga. Regla.


Se hace suposición de que un determinado elemento tiene la propiedad, por ejemplo a. esta constante no debe aparecer en ninguna fórmula previa. Tampoco se exportará fuera de este ámbito. Ψ no la tiene. Es específica de la suposición y usos externos de la caja pueden traer confusiones.

2.4 Tablas semánticas

Son los tableaux de LPPO. Son similares.

2.4.1 Notación Uniforme. Para expandir las ramas del tableau, deben usarse notaciones uniformes que procedan de la descomposición de las fórmulas utilizando unas reglas de descomposición y por tanto de expansión.

En LPPO se introducen además de las dos reglas de inferencia de LP α y β, dos nuevas reglas más, que son γ y δ. ∀x y ∃x respectivamente. Así toda fórmula en este sistema es (intrínsecamente) conjuntiva (α), disyuntiva (β), universal (γ) o existencial (δ).

2.4.2 Reglas de expansión γ y δ

Tanto en γ (∀x) como δ (∃x) la expansión aporta un solo nodo, la subfórmula inmediata ∀xRx Rx.

Parámetros PAR

Cada lenguaje de LPPO fija sus propias constantes y funciones.

La demostración sobre fórmulas en LPPO suelen requerir, como herramientas, el uso de constantes auxiliares (parámetros) que son extensiones del determinado lenguaje L que se esté usando. Así las demostraciones usan este lenguaje extendido LPar.

Los sustituyentes en este lenguaje LPar serán parámetros o términos cerrados, no variables.

Reglas de expansión de δ


A [x/a]Ф Suposic..

ΨΨ ∃xE

Son del tipo ∃xФ ó ¬∀xФ. Su expansión es un único nodo de la forma Ф[x/t] ó ¬∀[x/t] donde sólo se han sustituido las apariciones libres de la subfórmula producida. *P es un parámetro.

El parámetro añadido debe ser nuevo en el árbol (o rama).

Reglas de expansión de γ

Son del tipo ∀xФ ó ¬∃xФ. Su expansión es un único nodo de la forma Ф[x/t] ó ¬Ф[x/r]. t es un término. Este debe ser cerrado, es decir, no debe incluir variables, sólo constantes o funciones de L o constantes auxiliares.

La particularización de un universo no requiere un trato especial, pues cualquier elemento pertenecerá al universo.

Ejemplo de tableau

∀xPx ∨ ∃yQy ⊢ ∃y∀x(Px ∨ Qy)

1. ∀xPx ∨ ∃yQy

2. ¬ (∃y∀x(Px ∨ Qy))

3. ¬∀x (Px v Qx)

4. ¬(Pb v Qa)

5. ¬Pb

6. ¬Qa

7. Pb v ∃yQy

8. Pb v Qa

9. Pb 10. Qa

⊥,5 ⊥,62.5 Resolución

Toda fórmula de primer orden admite infinitas fórmulas equivalentes.

2.5.1 Forma prenexa


Insatisfacible, por tanto la deducción propuesta es correcta.

Es encontrar una fórmula equivalente que tenga todos los cuantificadores al principio de ésta.

Ejemplo

(∀xPx ∧ ∃yQy) ⟶ ∀t∃wRtw Ξ ∃x∀y∀t∃w((Px ∧ Qy) Rtw) ⟶ Ξ ∀t∃x∀y∃w(¬(Px ∧ Qy) v Rtw)Teorema del reemplazo. Permite calcular sintácticamente fórmulas

equivalentes cambiando una subfórmula por otra equivalente, es decir, sólo una parte por otra equivalente.

Tabla de equivalencias

Siempre que la fórmula no prenexa no contenga variables libres de la variable del cuantificador prenexado.

∀xΘ ∧ Ψ Ξ ∀x (Θ ∧ Ψ) También para la conmutativa Ψ ∧ ∀xΘ Ξ ∀x (Θ ∧ Ψ)

∀xΘ v Ψ Ξ ∀x(Θ v Ψ)

∃xΘ ∧ Ψ Ξ ∃x (Θ ∧ Ψ)

∃xΘ v Ψ Ξ ∃x(Θ v Ψ)

Otras:

Introducir negación más la Ξ de De Morgan

¬∀xΘ Ξ ∀x¬Θ , ¬∃xΘ Ξ ∃x¬Θ

Renombrar variables

∀xΘ Ξ ∀yΘ [x/y] , ∃xΘ Ξ ∃yΘ [x/y]

Permutar cuantificadores del mismo tipo

∀x∀yΘ Ξ ∀y∀xΘ , ∃x∃yΘ Ξ ∃y∃xΘ

A veces ocurre que el significado intrínseco de un cuantificador no es el que aparece. Ocurre como con las conectivas binarias, cambian bajo el efecto de una negación. Así si el cuantificador esta en el ámbito de una negación y siempre que no existan más variables iguales de su ámbito su significado cambia. Como ocurre con los condicionales.

∀xΘ ⟶ Ψ Ξ ∃x (Θ ⟶ Ψ) Y su conmutación

∃xΘ ⟶ Ψ Ξ ∀x (Θ ⟶ Ψ)


2.5.2 Funciones de Skolen

La derivación por resolución requiere introducir, no sólo parámetros (Constantes auxiliares) sino también funciones auxiliares que se denominan constantes o funciones Skolen. Su elección se denomina Skolemización de una fórmula.

Se utiliza para eliminar cuantificadores existenciales.

Objetivo. A partir de fórmulas cuantificadas existencialmente, generar fórmulas tan satisfacibles como la inicial, no necesariamente equivalente.

Es similar a la eliminación de cuantificadores existenciales en deducción natural.

∃x∀yRxy Skolemización ∀yRay

Concepto de consecuencia por resolución.

Para confirmar que una fórmula es consecuencia de otra u otras, niéguela e incorpórela entre estas, escriba todas en forma clausulada FC, es decir, en FNC, y determine si el conjunto es insatisfacible por resolución.

La Skolemización forma parte del proceso de clausulación. La fórmula clausulada resultante no es equivalente sino igualmente satisfacible.

Ejemplo

∃x∀yQyx Ξ ∀yQya Ξ Qba

Función Skolem

∃x∀yQyx Ξ ∀yQyf(xy)

Las constantes de skolem se pueden interpretar como una función skolem de 0 argumentos, es decir, se producen cuando no hay cuantificadores universales delante del existencial.

2.5.3 Forma clausulada FC

Dada una fórmula cualquiera Ф, se puede obtener una fórmula prenexa equivalente ФPRENEX. Dada una fórmula cuantificada existencialmente, mediante constantes y funciones Skolem se puede obtener una PRENEX sin ellos ФPRENEX

SKO que resulta igualmente satisfacible que no equivalente.

Pasos para la clausulación.

1. Prenexación de los cuantificadores


2. Eliminación de las conectivas binarias no clausuladas3. Introducción de de las negaciones necesarias4. Prenexación de los cuantificadores en la cabecera de la fórmula.

Prenexar preferentemente los cuantificadores existenciales 5. Eliminación de existenciales mediante Skolemización6. Las cláusulas se independizan de los cuantificadores universales

Una cláusula C se define como la disyunción de literales y la forma clausulada FC está compuesta por la conjunción de cláusulas.

C = {l1 v l2 v… v ln}

FC = {C1 ∧ C2 ∧… ∧ Cn } FC = {⟹ {l1vl2v…vln}1, {l1vl2v…vln}2,…{l1vl2v…vln}n}

Al llegar a FNC las variables comunes en distintas cláusulas se les debe independizar renombrándolas.

Finalmente prescindir de los cuantificadores universales y presentar ya en forma clausulada, definir cada cláusula como el conjunto de sus literales.

2.5.4 Unificación

Principio de resolución.

Los literales que se contradicen pueden eliminarse de la unión de dos cláusulas, garantizando que los literales que quedan de la unión son igualmente satisfacibles.

(p ∨ ¬r ∨ t) (r ∨ ¬q) ⟹ {p, ¬r, t} ⟹ {p, t, ¬q}

{r, ¬q} También satisfacible

También puede aceptarse este principio en los LPPO, pero no se cumpliría si alguno de los términos del literal fuese distinto, ¬Rba ≠ Rca. Sin embargo si el término

distinto fuese una variable por sustitución podría obtenerse un literal adecuado, {¬Rba}, {Rxa} Rba, obtenida por instanciación [x/b].⟹

A este proceso de instanciación para obtener la cláusula adecuada se denomina unificación.

Si por resolución se obtiene la cláusula vacía, se puede afirmar que el conjunto de cláusulas iniciales es insatisfacible. Proceso sintáctico que sirve para la búsqueda de consecuencias.

Unificadores


Primero dos literales con distinto significado (P y Q) no son unificables. La unificación sólo trabaja sobre los términos dentro de un predicado. No usa los conceptos de resolución.

Debe unificarse término a término mediante sustitución.

Θ1 = P(x, f(g(c)), x) Θ2 = P(b, f(y), b)Θ1 : σ3 = σ1 σ2 = {x/b, y/g(c)}Θ1 = Θ2 ; unificadas

Debe sustituirse siempre la variable por el subtérmino máximo, es decir, la var por la que más subtérminos posea.

Ejemplo

1º inst σ1 = {x/g(y)} 2º inst σ2 = {z/ g(g(y))}

Θ1 = f(x, h(g(x)) Θ1 = f(g(y)), h(g(g(y)) Θ1 = f(g(y)), h(g(g(y))

Θ2= f(g(y)), h(z) Θ2= f(g(y)), h(z) Θ2= f(g(y)), H(g(g(y)))Unificación

Unificación mediante sustitución

σ3 = σ1 σ2 = [x/g(y), z/g(g(y))]

Recapitulación; casos.

Var – const σ = {var/const} Var1 – var2 σ = {var1/const, var2/const} / σ ={var1/var2} Func – func σ = {varfunc1/const, varfunc2/const} Var – func σ = {var/func}

También tiene funcionalidad para su conmutación.

Tipos de instanciación en la unificación.

σ inst de var por const σ = {x/a, y/a}

T inst de var por func σ = {x/h(z), y/h(z)}

μ inst de var por var σ = {x/y}

la instanciación μ es el unificador más general, porque particulariza lo mínimo posible para que ambos términos coincidan.

La particularización a una constante para las dos variables a unificar en una y otra fórmula, también produce la unificación, pero es una unificación más fuerte que la


necesaria. Aunque digo yo, a la hora de aplicar la resolución lo mismo da pues se resuelve igualmente, así pues, debe buscarse la unificación que resulte más cómoda.

En la sustitución, se aplica σ en todos y cada uno de los términos, en cada uno de los predicados existentes, pero en algunos suplementos no afecta.

P(t1, t2,… tn) σ0 = {…} P{ P(t1 , tσ 2 ,… tσ n )}σP(t´1, t´2,… t´n) P{ P(t´1σ, t´2σ,… t´nσ)}

Estas sustituciones se realizan hasta conseguir la unificación σ0 = σ0 σ1 … unificación⟹

⟹ σ0 σ1 … σn

Las fórmulas iniciales se clausulan y sobre el método de resolución (FC y numerada), se aplica sobre la marcha y simultáneamente la unificación y la resolución. Si es muy complejo unificar primero.

Ampliación de conceptos

∃es una extensión de ∧ y ∃ una de ∨ para dominios no finitos.

∀xPx = Pa ∧ Pb ∧ Pc…

∃xPx = Pa ∨ Pb ∨ Pc…

También los cuantificadores pueden expresarse así.

∀x∀y Ξ ∀xy

∃x∃y Ξ ∃xy

Procedimiento de interpretación

Hasta ahora he visto dos procedimientos.

Iteración de la asignación de cada uno de los ámbitos de los cuantificadores que aparecen en la fórmula.

Averiguar el valor de verdad de cada una de sus subfórmulas y realizar lo que sería una tabla de verdad, utilizando estos valores como asignaciones posibles de cada componente y estudiar el valor que


ofrecen estos valores con las conectivas binarias que relacionan las fórmulas.

Ejemplo

Θ Ψ χ… A(n) A(x) ∀

xPx∀xQx ∀xPx ∧ ∀xQx ∀

xPx∨∀xQx∀

xPx⟶∀xQx…

.

.

.

123

110

100

100

110

101

.

.

.

Θ es verdadera para A(x) = 1

Ψ es verdadera para A(x) = 1, 2

χ es verdadera para A(x) =1, 3

Tenemos un conjunto de fórmulas en un universo dado. Si alguna de estas fórmulas no es satisfacible para una determinada interpretación, convertirá en insatisfacción cualquier conjunto de fórmulas interpretadas sobre ese universo, que contenga a esa fórmula.

Ix =<Ux>

X2 = insatisfacible en Ix {x⟹ 1, x2, x3,… xn}, es insatisfacible

Leyes de lógica proposicional; expandible a LPPO

Simplificación (p ⟹ ∧ q) p; p (p ⟶ ⟶ ∨ q)

Transposición (p q) (⟹ ⟶ ⟷ ¬q ⟶ ¬p)

En la búsqueda de equivalencias o consecuencias en las fórmulas-enunciado de los problemas, usar métodos deductivos, el mejor resolución, pero también usar deducción natural.

En una interpretación es lo mismo:

v(¬Θ) = ¬v(Θ)

v(Θ * Ψ) = v(Θ) * v(Ψ)

Modelo. Interpretación que satisface una fórmula.

Propiedades de satisfacibilidad Si Θ es satisfacible : Θ = {Ф1, Ф2,… Фn}

o Si se elimina un Фk, será satisfacibleo Si se añade una tautología, será satisfacible


o Si se añade una contradicción, será insatisfacibleo Si se añade una fórmula satisfacible no se sabrá la

satisfacibilidad del conjunto resultante Si es insatisfacible

o Se añade cualquier fórmula, será insatisfacibleo Si se elimina una tautología, Será insatisfacibleo Si se elimina alguna fórmula, podrá ser satisfacible


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