Proiectarea SAN prin alocarea poli zerouri

Ca si la sistemele continue se incearca satisfacerea performantelor impuse, pornind de la ideea ca sistemul inchis are o functie de transfer de ordinul II, ai carei poli trebuie alocati.

La sistemele continue functia de transfer in stare inchisa este:

cu polii:

La sistemele numerice functia de transfer trebuie sa fie de forma:

cu polii:

Remarcam aparitia unui zero , datorat prezentei elementului de retinere in cadrul partii fixate. Deci la SAN trebuiesc alocati doi poli si un zero.

Coeficientul trebuie sa aiba valoarea:

pentru a fi indeplinita conditia de eroare stationara nula la intrare treapta unitara:

O alta deosebire consta in faptul ca la SAN intervin elemente de esantionare si retinere care micsoreaza rezerva de stabilitate. Elementul de retinere introduce intarzieri care vor inrautati performantele tranzitorii fata de sistemul continuu corespunzator.

O prima problema este determinarea perioadei de esantionare care intervine in calculul functiilor de transfer discrete. Ea se alege dupa criteriul pierderii minime de informatie asupra evolutiei marimilor continue intre momentele de esantionare. Ea se alege fie in functie de perioada de oscilatie a raspunsului y, fie in functie de constantele de timp si durata

regimului tranzitoriu impus .Se pot aplica relatiile:

Se calculeaza apoi functia de transfer discreta cunoscand functia de transfer

continua a obiectului reglat.

De aici:

Daca are si timp mort atunci apare inmultit cu .

Urmeaza alocarea polilor si a zerourilor pentru satisfacerea unor performante de tipul:

Din relatia de legatura intre z si s rezulta:

Pentru alocarea polilor sunt utile locurile geometrice ale polului pentru =constant si

pentru =constant. Ele au aliura urmatoare:

La sistemele continue raspunsul si suprareglajul depindeau de si , fiind un parametru care preciza pozitia unui zerou suplimentar z introdus pentru ameliorarea unor performante.

Si aici raspunsul si deci , depind de un parametru care precizeaza pozitia zeroului

fata de polul .

Definirea parametrului

Reprezentam polul si zeroul ca in desenul alaturat:

Cu notatiile de pe desen avem:

Deci: (*)

Este posibil, dupa cum reiese din figura ca

Pentru a uni cele doua cazuri se face conventia si relatia (*) devine:

Determinarea raspunsului la un semnal de referinta treapta

Avem:

Deci:

Determinam raspunsul in timp prin aplicarea transformatei z inverse

unde este un contur care include toti polii lui Y(z).Se obtine prin metoda reziduurilor:

unde:

Tinand cont de expresia lui rezulta:

Notam:

si tinand cont ca simplificam pe q:

Dar:

(**)

Din fig. 2 constatam ca:

( )

Deasemenea din rezulta:

Revenind la relatia (**) avem:

Cu aceasta simplificare si cu inlocuirea

avem:

Trecand de la discretizarea kT la timpul t continuu avem:

Pentru determinarea suprareglajului trebuie sa aflam momentul atingerii maximului din conditia:

Introducand aceasta expresie in y(t) obtinem:

Din y( )=

Se vede deci ca depinde si de si de . Folosind aceasta relatie se determina caracteristicile pentru =constant care au aliura urmatoare:

Din aceasta caracteristica, pentru un impus, pot determina mai multe perechi ( ) care sa realizeze suprareglajul.

Se poate construi locul geometric al lui pentru =constant prin constructie punct cu

punct din intersectia locului geometric de pentru =constant cu locul geometric de pentru = constant.

Pentru locul geometric de pentru =constant presupunem ca z =constant (fixat).

Procedura de alegere a lui este legata de inlaturarea oscilatiei comenzii.

Din fig.2 reiese ca daca =constant si =constant, fiind unghiul sub care primeste

si punctul (1,j0).

Deci locul geometric a lui pentru constant este un arc de cerc.

Perechile de puncte ( ) le iau din diagrama 3 ducand o paralela in dreptul lui .

Util este si locul geometric pentru t =constant. Deducerea lui se bazeaza pe ideea ca relatia din domeniul continuu:

isi pastreaza valabilitatea.

Conditia de intrare in regim stationar este:

Daca

Deci

Adica =constant =constant.

Locul geometric a lui pentru =constant este un cerc concentric cu cercul unitate

Polii se determina din intersectia locului geometric al polului pentru =constant=

cu locul geometric pentru = constant = . Prin conjugare se determina si .

Domenii de alocare a polilor si zeroului functiei . Definirea parametrului

T se alege fie in functie de perioada de oscilatie a raspunsului y, fie de valorile de

timp , fi de durata regimului tranzitoriu .

Polii se aloca in senicercul drept al cercului unitar

Zeroul este negativ.